Ex01 Resuelto 2012 (2012)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Algebra
Año del apunte 2012
Páginas 5
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 1

Descripción

Examen Resuelto

Vista previa del texto

` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 01.03.2012 Examen EX01 Q¨ uestio 1: (20p.) Siguin En , F , K-espais vectorials amb dimK En = n < +∞, i f ∈ LK (En , F ) tal que ∀m ∈ N {v1 , ..., vm } lliure {f (v1 ), ..., f (vm )} lliure =⇒ Demostreu que f ´es injectiva.
Problema I: (30p.) Sigui V una base ortonormal de l’espai euclidi`a real (E3 , < | >), ∀x ∈ E3 , xV = (x1 , x2 , x3 ).
Es considera tres vectors expressats en components en la base V : u1 = (1, 2, 2), u2 = (2, 1, 2), u3 = (2, 2, 1).
Algweb a)(20p.) Trobeu el vector z, del que coneixem les seves projeccions ortogonals sobre els tres vectors anteriors (tamb´e expressades en components en V ):   P ru1 (z) = −5/9(1, 2, 2) P ru2 (z) = 10/9(2, 1, 2)   P ru3 (z) = 5/9(2, 2, 1) b)(10p.) Trobeu la projecci´ o ortogonal de z sobre W , on W =< u1 , u3 >R .
Problema II: (25p.) Siguin Φ : MR (2 × 2) −→ A −→ f : MR (2 × 2) −→ A −→ R Φ(A) = tra¸ca(A) MR (2 × 2) f (A) = 21 (A + AT ) i la base N= 3 0 0 , 5 2 0 1 , 4 1 1 0 , 8 1 −1 1 −5 a)(12p.) Trobeu les components de Φ en la base N D .
b)(13p.) Trobeu les components de Φ · f en la base N D .
Problema III: (25p.) Considerem la forma bilineal sim`etrica g definida sobre l’espai euclidi`a real (E4 , < | >) segons g : E4 × E4 −→ (x, y) −→ R < x | u >< u | y > on uV = (1, 1, 1, 1), essent V una base ortonormal d’E4 .
Es demana: a)(5p.) g ´es definida positiva? b)(5p.) g ´es degenerada? c)(15p.) Trobeu una base d’E4 en la que g prengui la forma normal.
` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 01.03.2012 EX01 Q¨ uesti´ o 1: Siguin En , F , K-espais vectorials amb dimK En = n < +∞, i f ∈ LK (En , F ) tal que ∀m ∈ N {v1 , ..., vm } lliure =⇒ {f (v1 ), ..., f (vm )} lliure Demostreu que f ´es injectiva.
Per veure que ´es injectiva nom´es caldr` a comprovar que Ker(f ) = {0}.
Considerem V = {v1 , ..., vn } una base d’En i ∀x ∈ En , x = α1 v1 + · · · + αn vn . Llavors, ∀x ∈ Ker(f ), 0 = f (x) = f (α1 v1 + · · · + αn vn ) = α1 f (v1 ) + · · · + αn f (vn ) Algweb I aplicant la condici´ o de l’enunciat, com que {v1 , ..., vn } ´es lliure aleshores {f (v1 ), ..., f (vn )} tamb´e ho ´es. Aix` o implica que α1 = · · · = αn = 0 i per tant x = 0.
` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 01.03.2012 EX01 Problema I: Sigui V una base ortonormal de l’espai euclidi` a real (E3 , < | >), ∀x ∈ E3 , xV = (x1 , x2 , x3 ).
Es considera tres vectors expressats en components en la base V : u1 = (1, 2, 2), u2 = (2, 1, 2), u3 = (2, 2, 1).
a) Trobeu el vector z, del que coneixem les seves projeccions ortogonals sobre els tres vectors anteriors (tamb´e expressades en components en V ):   P ru1 (z) = −5/9(1, 2, 2) P ru2 (z) = 10/9(2, 1, 2)   P ru3 (z) = 5/9(2, 2, 1) b) Trobeu la projecci´ o ortogonal de z sobre W , on W =< u1 , u3 >R .
Algweb a) Amb [< | >]V = I3 , i anomenant zV = (z 1 , z 2 , z 3 ), sabem per definici´o de projecci´o ortogonal que P ru1 (z) = −5/9(1, 2, 2) = < z | u1 > z 1 + 2z 2 + 2z 3 u1 = (1, 2, 2) < u1 | u1 > 9 P ru2 (z) = 10/9(2, 1, 2) = 2z 1 + z 2 + z 3 < z | u2 > u2 = (2, 1, 2) < u2 | u2 > 9 P ru3 (z) = 5/9(2, 2, 1) = =⇒ 2z 1 + 2z 2 + z 3 < z | u3 > u3 = (2, 2, 1) < u3 | u3 > 9  1 2 3  z + 2z + 2z = −5 2z 1 + z 2 + z 3 = 10   1 2z + 2z 2 + z 3 = 5 Resolent el sistema,  1 2 2 2 1 2   1 2 −5 2 10  −2f1 ∼ 0 1 5 −2f1 0  1 ∼ 0 0 0 1 0   2 2 −5 1 −3 −2 20  −f3 ∼ 0 −2 −3 15 0   4 5 −4f3 1 −1 −5 +f3 ∼ 0 0 1 −1 0 1 0   1 2 2 −5 +2f2 −1 1 5 ∼ 0 −2 −3 15 −2f2 0  0 9 0 −6 1 −1 =⇒  0 4 5 −1 1 5 ·(−1) ∼ 0 −5 5 ·(−1/5) zV = (9, −6, −1) b) Com que < u1 | u3 >= 8 = 0, apliquem Gram Schmidt als dos vectors per obtenir una base ortogonal {w1 , w2 } de W: w1 = u1 = (1, 2, 2) <u3 |w1 > 8 1 w2 = u3 − < w1 |w1 > w1 = (2, 2, 1) − 9 (1, 2, 2) = 9 (10, 2, −7) Per comoditat prendrem la base ortogonal {(1, 2, 2), (10, 2, −7)}. Amb aquesta base podem calcular directament la projecci´ o a partir dels coeficients de Fourier: P rW (z) = < (9, −6, −1) | (1, 2, 2) > < (9, −6, −1) | (10, 2, −7) > (1, 2, 2) + (10, 2, −7) = < (1, 2, 2) | (1, 2, 2) > < (10, 2, −7) | (10, 2, −7) > = 5 1 −5 (1, 2, 2) + (10, 2, −7) = (45, 0, −45) = (5, 0, −5) 9 9 9 ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 01.03.2012 EX01 Problema II: Siguin Φ : MR (2 × 2) −→ A −→ f : MR (2 × 2) −→ A −→ R Φ(A) = tra¸ca(A) MR (2 × 2) f (A) = 21 (A + AT ) i la base 3 0 N= 0 , 5 2 0 1 , 4 1 1 0 , 8 2 0 1 4 Φ 1 1 1 −1 1 −5 a) Trobeu les components de Φ en la base N D .
b) Trobeu les components de Φ · f en la base N D .
T Algweb a) Sabem que [Φ]N D = [Φ]N {1} . Calculem [Φ]N {1} : 3 0 [Φ]N {1} = Φ = tr 3 0 0 5 tr 0 5 2 0 Φ 1 4 tr 1 1 0 8 tr 0 8 Φ 1 −1 1 −5 1 −1 1 −5 = =[ 8 6 9 −4 ] Per tant, ΦN D = (8, 6, 9, −4).
b) Observem que ∀A ∈ MR (2 × 2), (Φ · f )(A) = Φ(f (A)) = tr((1/2)(A + AT )) = tr(A) = Φ(A), de manera que Φ · f = Φ i per tant, (Φ · f )N D = ΦN D = (8, 6, 9, −4).
` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 01.03.2012 EX01 Problema III: Considerem la forma bilineal sim`etrica g definida sobre l’espai euclidi`a real (E4 , < | >) segons g : E4 × E4 −→ (x, y) −→ R < x | u >< u | y > on uV = (1, 1, 1, 1), essent V una base ortonormal d’E4 .
Es demana: a) g ´es definida positiva? b) g ´es degenerada? c) Trobeu una base d’E4 en la que g prengui la forma normal.
Algweb a) ∀x ∈ E4 es verifica g(x, x) =< x | u >< u | x >= (< x | u >)2 ≥ 0. Per tant, g ´es definida positiva.
b) Prenem un cert x ∈ E4 que verifica g(x, x) =< x | u >< u | x >= (< x | u >)2 = 0 Llavors < x | u >= 0, cosa que implica x ∈< u >⊥ o ho verifiquen vectors x = 0 (per exemple, xV = (1, −1, 0, 0)).
R . I aix` Per tant g ´es degenerada.
c) Anomenant V = {w1 , w2 , w3 , w4 }, es verifica que g(wi , wj ) =< matriu [g]V queda:  1 1 1 1 1 1 [g]V =  1 1 1 1 1 1 Aplicant operacions de fila i de columna,  1 1 1 1 [g]V =  1 1 1 1 1 1 1 1   1 1 0 −f 1 1  ∼ 1 −f1 0 1 −f1 0 1 0 0 0 wi | u >< u | wj >= 1 ∀i, j = 1, 2, 3, 4. Aleshores, la  1 1  1 1   1 1 0 0 ∼ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 0 −c1 − c1 − c1 Acumulant les operacions de fila a la matiu I4 ,  1 0  0 0 0 1 0 0 0 0 1 0   0 1 −1 0 −f 1  ∼ 0 −f1 −1 1 −f1 −1 0 1 0 0 0 0 1 0  0 0  = [Id]T NV 0 1 I per tant, N = {(1, 0, 0, 0)V , (−1, 1, 0, 0)V , (−1, 0, 1, 0)V , (−1, 0, 0, 1)V } ´es una base en la que g pren la forma normal.
...

Tags: