Mecánica Cuántica - Problema 41 (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 1
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 8
Subido por

Vista previa del texto

.
41 Trobeu el transformat de l’operador ‡y sota una rotaci´o d’angle Ï = ≠fi/2 entorn de l’eix z.
Soluci´ o: A classe, varem veure que pel moment orbital d’spin, els generadors dels operadors que implementen les rotacions s´on les matrius de Pauli (per j = 1/2). Una rotaci´o en l’espai f´ısic, es veu implementada en l’espai d’spins per l’operador Ë 1 2 È ˛ /~ , ˆ·S UR (ˆ n, Ï) = exp ≠iÏ n ˛ = ~ ˛‡ .
amb S 2 (0.8) En fer una rotaci´ o d’angle Ï, l’operador ‡y transforma com ‡y |R = UR (ˆ n, Ï)‡y UR† (ˆ n, Ï).
(0.9) Si la rotaci´ o ´es al voltant de l’eix z, el vector n ˆ t´e per components n ˆ = (0, 0, 1), de mane˛ = Sz = (~/2)‡z . Per tant, (del problema 9) UR (ˆ ra que n ˆ ·S n, Ï) = exp (≠i(Ï/2)‡z ) = cos(Ï/2) ≠ i‡z sin(Ï/2). Matricialment, UR (ˆ n, Ï) = A B cos(Ï/2) ≠ i sin(Ï/2) 0 0 cos(Ï/2) + i sin(Ï/2) Aleshores, UR† (ˆ n, Ï) = A = A B e≠iÏ/2 0 .
iÏ/2 0 e (0.10) B eiÏ/2 0 .
≠iÏ/2 0 e (0.11) Ara sols es tracta de fer el producte de matrius. D’acord amb (0.9), se segueix que ‡y |R = = A e≠iÏ/2 0 iÏ/2 0 e A e≠iÏ/2 0 iÏ/2 0 e Si Ï = ≠fi/2, ‡y |R = BA BA BA 0 ≠i i 0 eiÏ/2 0 ≠iÏ/2 0 e 0 ≠ie≠iÏ/2 0 ieiÏ/2 A B 0 ≠i(i) i(≠i) 0 com era d’esperar.
3 = B B = A 0 1 1 0 B A B 0 ≠ie≠iÏ .
ieiÏ 0 = ‡x , (0.12) (0.13) ...