Parcial Primavera 2013 Aroca (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Telemática - 2º curso
Asignatura PPEE
Año del apunte 2013
Páginas 3
Fecha de subida 02/12/2014
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Examen Parcial 2 de maig de 2013 1. A un compte de correu arriben un 40% de missatges d’spam. El sistema disposa d’un filtre que desvia els missatges d’spam a la carpeta d’spam (CS ) deixant la resta en la carpeta d’entrada (CE ). El filtre, per` o, pot fallar i hi ha una probabilitat 0,07 que un missatge d’spam (S) vagi a CE , i una probabilitat 0,05 que un missatge bo (B) vagi a CS .
(a) Amb 6 missatges entrants, (abans de l’acci´ o del filtre) quina ´es la probabilitat que hi hagi 3 o m´es missatges d’spam? Si hi ha 3 missatges d’spam, quina ´es la probabilitat que en els tres primers entrants n’hi hagi un d’spam? (b) Quin tant per cent de missatges d’spam cont´e la carpeta d’entrada? Quin tant per cent de missatges bons cont´e la carpeta d’spam? (c) Siguin N i M el nombre de missatges que cal obrir fina a trobar-ne un d’spam en CE i un de bo en CS , respectivament. Digues quin tipus de variable s´ on i qu`e valen les seves esperances i desviacions. Si la llista de missatges es visualitza a 20 per p` agina. Quina ´es la probabilitat en cada cas que la primera p` agina no mostri cap missatge an` omal? (d) L’usuari rep uns 40 missatges diaris. La carpeta d’spam els mant´e durant un m´es.
´ un valor acceptable una quota de 500 missatges en CS ? Quants mesos haurien Es de passar fins que not´essim problemes amb la quota? Soluci´ o: Segons l’enunciat, P (S) = 0,4, P (B) = 0,6, P (CE |S) = 0,07, P (CS |B) = 0,05.
(a) Sigui X el nombre d’spams en els 6 missatges (binomial n = 6 p = 0,4) i X1 , X2 els nombres d’spams en els tres primers missatges i en els tres u ´ltims missatges, respectivament (binomials n = 3 p = 0,4, independents).
P (X ≥ 3) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2) = 1 − 0,66 − 6 · 0,4 · 0,65 − P (X1 = 1|X = 3) = 6 0,42 · 0,64 = 0,4557.
2 P (X1 = 1)P (X2 = 2) = P (X = 3) = 3 1 3 2 = 6 3 3 1 0,4 · 0,62 6 3 3 2 0,42 · 0,6 0,43 · 0,63 9 = 0,45.
20 (b) P (S|CE ) = P (CE |S)P (S) 0, 07 · 0,4 = = 0,0468.
P (CE |S)P (S) + P (CE |B)P (B) 0, 07 · 0,4 + (1 − 0, 05) · 0,6 P (B|CS ) = P (CS |B)P (B) 0, 05 · 0,6 = = 0,0746.
P (CS |B)P (B) + P (CS |S)P (S) 0, 05 · 0,6 + (1 − 0, 07) · 0,4 Aix´ı, un 4, 7% d’spam en la carpeta d’entrada i un 7, 4% de missatges bons en la carpeta d’spam.
1 (c) S´ on variables geom` etriques. N amb p = P (S|CE ) = 0,0468 i, per tant, valor mitj` a √ q 1 o p = 20,8; M amb p = P (B|CS ) = 0,0746 i, per tant, valor mitj` a p = 21,3 i desviaci´ 13,4 i desviaci´ o 12,9.
Les probabilitats de no trobar missatges an` omals valen: en CE , P (N > 20) = (1 − 0,0468)20 = 0,38; en CS , P (M > 20) = (1 − 0,0746)20 = 0,21.
(d) En un m´es arriben uns 40 · 30 = 1200 missatges. El nombre de missatges d’spam t´e √ ona mitjana 1200 · 0,4 = 480 i desviaci´ o 1200 · 0,4 · 0,6 = 17. Com el marge que ens d´ la quota ´es de poc m´es d’una desviaci´ o, la capacitat resulta insuficient. La probabilitat que un m´es ´es superi la quota ´es, aproximant per la normal, P (X > 500) = 1−F (500) = √ 1 − 21 (1 + erf( 500−480 )) = 0,5 − 0,5 erf(0,83) = 0,12. Podem esperar tenir problemes en 2·17 uns 1 0,12 = 8 mesos.
2 2. L’ocupaci´ o d’ample de banda en una l´ınia de comunicaci´ o es descriu amb una variable aleat` oria X amb valors en l’interval ΩX = [0, 1] i funci´ o de densitat fX (x) = Kx(x + a)(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1, on K i a s´ on constants positives.
(a) Calcula el valor de K, en funci´ o de a. Quins valors pot tenir l’esperan¸ca, m, de X? (b) Per a = 1: Calcula la desviaci´ o est` andard, σ, de X. Calcula la probabilitat que X ∈ (m − σ, m + σ) i compara-la amb el valors que tindria si X fos uniforme o gaussiana.
(c) Per a = 1: Calcula la funci´ o de densitat i l’esperan¸ca de la variable Y = X 2 + 1.
Soluci´ o: 1 (a) 1 = 0 K(ax+(1−a)x2 −x3 )dx = K a 1−a 1 + − 2 3 4 =K 2a + 1 12 ⇒K= .
12 2a + 1 1 12 12 a 1−a 1 5a + 3 x(ax + (1 − a)x2 − x3 )dx = + − = .
2a + 1 0 2a + 1 3 4 5 10a + 5 ´ una funci´ Es o mon` otona que varia entre 35 = 0,6 (a = 0) i 21 = 0,5 (a = ∞). Per tant, 0,5 < E[X] ≤ 0,6.
E[X] = (b) En aquest cas, fX (x) = 4(x − x3 ) per 0 < x < 1 i m = E[X] = 1 2 1 x 4(x − x )dx = . σ = 3 2 E[X ] = 0 3 8 15 1 − 3 E[X 2] − E[X]2 = = 0,53.
8 15 2 = √ 11 = 15 0,2211.
m+σ P (X ∈ (m − σ, m + σ)) = m−σ 4(x − x3 )dx = 2x2 − x4 En el cas d’una variable uniforme (en [0, 1]) ´es m = probabilitat val F (m − σ) = erf √2 12 √1 2 1 2 0,7544 0,3122 iσ= = 0,629.
√1 12 amb el que l’anterior = 0,577. En el cas de la gaussiana la probabilitat val F (m + σ) − = 0,683.
Les probabilitats s´ on similars per` o la de X ´es superior a la de la uniforme i inferior a la de la gaussiana ja que la uniforme t´e la densitat m´es dispersa i la gaussiana la t´e m´es concentrada.
(c) Com X varia entre 0 i 1, la variable Y pren valors en [1, 2] i la seva densitat ´es: fY (y) = fX (x) 1 dy | dx | = 4(x − x3 ) 1 = 2(1 − x2 ) = 2(2 − y), 2x (per a cada y ∈ (1, 2) hi ha un u ´nic valor x = 2 E[Y ] = 1 Alternativament, E[Y ] = E[X 2] + 1 = √ y − 1 que hi va a parar.) 4 y · 2(2 − y)dy = .
3 1 4 +1= .
3 3 3 1 < y < 2.
...