Formulari Parcial 2 (2017)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura P.I.E. Probabilitat i Estadistica
Año del apunte 2017
Páginas 2
Fecha de subida 25/06/2017
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Series y càlculs: 𝑁2 Tema 0 – Combinatoria 𝑃(1 𝑎𝑠) = 𝑃(3𝑎𝑠𝑜𝑠) = (Escullo) 𝑃(𝑡𝑟𝑖𝑜) = 1 4 → 𝑃(4 𝑎𝑠) = 52 52 (Ordeno) 𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑘=𝑁1 (4) #𝑐𝑜𝑚𝑏 3 𝑎𝑠𝑜𝑠 = 3 # 𝑐𝑜𝑚𝑏 3 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 (52 ) 3 13 4 #𝑐𝑜𝑚𝑏 3 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑠 ( 1 )(3) = 52 # 𝑐𝑜𝑚𝑏 3 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 (3) 𝑃(𝐴𝑠 𝐴𝑠 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑖 𝑟𝑒𝑖) = 𝑃(𝐴)𝑛 → 𝑟 𝑁1 − 𝑟 𝑁2 ∑ 1−𝑟 (13 )(43) · (12 )(42) 1 1 (52 ) 5 Propietats de operacions lògiques num de vegades que hem de repetir l’esdevenim.
𝐴 ∪ 𝐵 → 𝑈𝑁𝐼Ó → 𝒐 𝐴 ∩ 𝐵 → 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼Ó → 𝒊 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) Tema 1 – Probabilitat: 𝐴 ⊂ 𝑏 = 𝑃(𝐴|𝐵) = Probabilitat condicionada: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵) − 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) → 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑃𝐸𝑁𝐷𝐸𝑁𝑇: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) Probabilitat total: 𝑃(𝐴) = ∑𝑛𝑖=0 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) · 𝑃(𝐵𝑖 ) 𝑃(𝐴|𝑥) → Prob de que el ratolí hagi mort, havent passat per el túnel A 𝑃(𝑥|𝐴)·𝑃(𝐴) Fórmula de Bayes: 𝑃(𝐴|𝑥) = 𝑃(𝑥|𝐴)·𝑃(𝐴)+𝑃(𝑥|𝐵)·𝑃(𝐵)+ 𝑃(𝑥|𝐶)·𝑃(𝐶) 𝑥 = 𝑟𝑎𝑡𝑜𝑙í 𝑚𝑜𝑟𝑡 𝑃(𝐴) = 𝑝𝑟𝑜𝑏 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑡 𝑝𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑛𝑒𝑙 𝐴 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) Funció densitat(C): 𝑓𝑋 (𝑥) = 𝐹𝑋 (−∞) = 𝑃(∅) = 0 Rang 𝑋 Bernoulli Binomial Num éxits en l’experiment Exponencial Uniforme {0,1} {0,1, … 𝑛} 𝑛 = num vegades experiment 𝑥 = num vegades que pasa Num de esperiments que hem de fer per aconseguir el primer exit {1, … , ∞} 𝑛𝑢𝑚 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 {0,1, … , ∞} 𝑓𝑋 (𝑥) Rang 𝑋 Gaussiana (o normal) Error gaussiana  𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 1 {𝑏 − 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 0 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑓𝑋 (𝑥) = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 · 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 −∞ ∞ Tª Esperança 𝐸(𝑔(𝑥)) = ∫ 𝑔(𝑥) · 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 −∞ Variança General Variança Continua Variança Discreta 1 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝐹𝑋 (𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑃(𝑋) 𝑃(𝑋 = 0 = 𝑓𝑎𝑖𝑙) = 1 − 𝑝 𝑃(𝑋 = 1 = 𝑒𝑥𝑖𝑡) = 𝑝 𝑒 (𝑥−𝑚)2 − 2𝜎2 𝜎√2𝜋 2 𝑥 −𝑦2 erf(𝑥) = ∫ 𝑒 𝑑𝑦 √𝜋 0 ∞ 𝐸(𝑋) 𝑉(𝑋) 2 𝑚=𝑝 𝜎 = 𝑝𝑞 𝑛 𝑃(𝑋 = 𝑥) = ( ) · 𝑝 𝑥 · 𝑞𝑛−𝑥 𝑥 𝑚 = 𝑛𝑝 𝜎 2 = 𝑛𝑝𝑞 𝑃(𝑋 = 𝑥) = (1 − 𝑝)𝑥−1 · 𝑝 1 𝑚= 𝑝 𝑞 𝜎 = 2 𝑝 𝑚=𝜆 𝜎2 = 𝜆 𝑃(𝑋) = 𝑒 −𝜆 · 𝜆𝑥 𝑥! 𝐹𝑋 (𝑥) {0,1, … , ∞} 𝑓𝑋 (𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 [𝑎, 𝑏] Esperança Continua 𝑎 ∞ ∫−∞ 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑋 CONTINUA 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 · 𝑃𝑥 (𝑥) 𝐹𝑋 (𝑏) − 𝐹𝑋 (𝑏) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 Indica si l’experiment té éxit o no 𝑋= 𝑃(𝐴|𝑋=𝑥)𝑓𝑋 (𝑥) 𝑏 DISCRETES Poisson ∞ ∫−∞ 𝑃(𝐴|𝑋=𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 𝑥 ∞ 𝑑 𝐹𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 𝐹𝑋 (𝑥) = 1 − 𝑒 −𝜆𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 0 𝑥−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 { 𝑏−𝑎 1 1 𝑥−𝑚 𝐹𝑋 (𝑥) = (1 + erf ( )) 2 𝜎√2 Aprox bin  gauss: 𝒏𝒑𝒒 ≫ 𝟏 𝑚 = 𝑛𝑝 → 𝜎 2 = 𝑛𝑝𝑞 3:Obtenim antiimatges Y=g(X)  𝑥 = ±√𝑦 4: Def: 𝐹𝑌(𝑦) = 𝑃(𝑔(𝑋) ≤ 𝑦)/ 𝑃(𝑥1 ≤ 𝑔(𝑋) ≤ 𝑥2 )/ 5:Calculem prob. (descartar sol intervals impossibles) 6: Substituir x amb les antiimatges (Opcio2): 𝑓𝑌 (𝑦)= 𝑑𝑦 1 Tª de Markov: 𝑃(𝑋 𝑥 𝑃(|𝑋 − 𝐸(𝑋)| ≥ 𝜀) ≤ ≥ 𝜀) ≤ 𝐸(𝑋) 𝜀 𝜎2 𝜀2 Un valor es anómalo si no está entre E(x) ±Std (𝑏 − 𝑎)2 12 𝜎2 = 𝜆 = 𝑛𝑝 𝑔(𝑥1) |𝑓𝑋 (𝑥1 )+...
𝑑 𝑔(𝑥1)| 𝑑𝑥 | 2 ∑(𝑥 − 𝐸(𝑋)) · 𝑃𝑥 (𝑥) 1 𝜆2 Aprox binpois: 𝒏𝒑 ≅ 𝟏 → 𝒑 < 𝟏 Mètode les 3 passos: (𝑓𝑥 (𝑥) → 𝑓𝑌 (𝑦)) 1: Trobar antiimatges i restriccions y 2: (Opcio1)Derivar antiimatges respecte y (Opcio2) Derivar g(x) i evaluar antimatg 𝑑𝑥1 𝜎2 = 1 𝜆 ∞ 3:(Opcio1): 𝑓𝑌 (𝑦)=| 2 −∞ 𝑉(𝑋) = 𝜎 2 1 𝜎2 = 2 𝜆 𝑎+𝑏 2 𝑚= ∞ ∫ (𝑥 − 𝐸(𝑋)) · 𝑓𝑥 (𝑥)𝑑𝑥 2 𝐸(𝑋) = 𝑚 1 𝑚= 𝜆 𝑚= 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝐸(𝑋)2 𝑆𝑡𝑑(𝑋) = √𝑉(𝑋) Desigualtat Cheby… 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) → 𝐸(𝑋𝑌) ≠ 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) = ∫−∞ ∫−∞ 𝑥 · 𝑦 · 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Check ↑ Mètode gràfic: (𝐹𝑥 (𝑥) → 𝐹𝑌 (𝑔)) 1:Dibuixem canvi var (𝑋 2 = 𝑌) 2:Intervals de la 𝐹𝑌 (rectes hor. per veure on talla g(X)) 𝑓𝑋 (𝑥) Esperança Discreta 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = Funció densitat(D): ∑𝑖 𝑝𝑖 · 𝛿(𝑥 − 𝑥𝑖 ) (𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟) Bayes: 𝑓𝑋 (𝑥|𝐴) = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 1 − 𝐹𝑋 (𝑎) ∑𝑛𝑘=1 𝑃(𝑘) 𝑃(𝑋≤𝑎) 𝑓𝑋(𝑥|𝐴)𝑃(𝐴) Prob.Total: 𝑃(𝐴) = ∫−∞ 𝑃(𝐴|𝑋 = 𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 𝐹𝑋 (𝑎) 𝐹𝑋 (∞) = 𝑃(Ω) = 1 𝑃(𝑋≤𝑥 ∩𝑋≤𝑎) ∞ Funció distribució(D): ∑𝑖 𝑝𝑖 · 𝑢(𝑥 − 𝑥𝑖 ) Geomètrica VA. Cond(tip X=x): 𝐹𝑋 (𝐴|𝑋 = 𝑥) = Check 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = Ω → 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ → 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅ → 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅ 𝐶𝑟𝑒𝑖𝑥𝑒𝑛𝑡 Funció distribució(D): 𝐹𝑋 [𝑛] = (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟) VA. Cond(interval): 𝐹𝑋 (𝑥|𝑋 ≤ 𝑎) = Prop. F.distribució Tema 2 – VA(1D): Funció distribució(C): Passi A tenint en compte que B ha passat 𝑓𝑋 (𝑥1 )+...
Mètode subst: (𝑃𝑥 (𝑥) → 𝑃𝑌 (𝑦)) 1. Rang Y (canvi var) 2: 𝑃𝑌 (𝑦)= 𝑃𝑌 (𝑌 = 𝑦)= 𝑃𝑌 (𝑔(𝑋) = 𝑦)) 𝐹𝑋 (−∞) = 𝑃(∅) = 0 𝐹𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 𝑖 𝑌 ≤ 𝑦) Funció distribució Conjunta Marginal: Funció densitat Conjunta: Marginal: ó Mètode del Jacobià Va típiques: 1 Uniforme: 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = Dos VA son independents quan (Producte tensiorial): 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 {𝑎𝑟𝑒𝑎 (𝐷) 0 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ∉ 𝐷 Gaussiana: • Pas1: Aillar (x,y) en funció de (z,w) • Pas 2: Fer el det del jacobià 𝑑 𝑑 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑑𝑧 𝑑𝑤 𝐽1(𝑧, 𝑤) = | | 𝑑 𝑑 𝒚 𝒚 𝑑𝑧 𝟏 𝑑𝑤 𝟐 • Pas 3: 𝑓𝑧𝑤 (𝑧, 𝑤) = |𝐽1(𝑧, 𝑤)| · 𝑓𝑋𝑌 (𝑥1 (𝑢, 𝑣), 𝑦1 (𝑢, 𝑣)) Funció densitat Condicionada: Esperança Condicionada: Suma de variables aleatòries.
Esperança Discreta 𝐸(𝑔(𝑋, 𝑌)) = ∑ ∑ 𝑔(𝑥, 𝑦) · 𝑃𝑥 (𝑥, 𝑦) 𝑥 𝑥 ∞ Esperança Continua 𝐸(𝑔(𝑋, 𝑌)) = ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦) · 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 −∞ ∞ 𝐸(𝑔(𝑋)|𝑌 = 𝑦) = ∫ 𝑔(𝑥) · 𝑓𝑋 (𝑥|𝑌 = 𝑦)𝑑𝑥 ¿? −∞ ∞ Esperança Condicionada = ∫ 𝑔(𝑥) · −∞ 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑓𝑌 (𝑦) 𝐸(𝐸(𝑋|𝑌)) = 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑋|𝑌) = 𝐸(𝑋) → Quan són independents Coovariança: 𝐶𝑋𝑌 = 𝐸[𝑋𝑌] − 𝑚𝑥𝑚𝑌 = 𝐸[𝑋𝑌] − 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌]  𝑉[𝑎𝑋 + 𝑏𝑌] = 𝑎2 𝑉[𝑋] + 𝑏2 𝑉[𝑌] + 2𝑎𝑏𝐶[𝑋, 𝑌] Coeficient de coorrelació: 𝜌= 𝐶𝑋𝑋 𝜎𝑥 ·𝜎𝑦 𝐸[𝑋𝑌] = 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌] 𝜌 = 0 → 𝐶[𝑋, 𝑌] = 0 → 𝑋 𝑖 𝑌 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑝 Tenen la mateixa variança X i Y Ortogonals: Error Quadratic Mitjà(ECM): Estimacions: No lin: 𝑌~𝑌̂ = 𝑐(𝑥) parametres X i Y indep X i Y icorrl X i Y Gaussn 𝑐(𝑥) = 𝐸[𝑌|𝑥] 𝑌~𝑌̂ = 𝐸[𝑌] 𝑌~𝑌̂ = 𝐸[𝑋|𝑌] 𝑌̂ = 𝑎𝑋 + 𝑏 𝑌~𝑌̂ = 𝐸[𝑌] 𝑌~𝑌̂ = 𝐸[𝑌] 𝑌̂ = 𝑎𝑋 + 𝑏 𝑌~𝑌̂ = 𝐸[𝑌] 𝑌~𝑌̂ = 𝐸[𝑌] 𝑌~𝑌̂ = 𝐸[𝑌] Lin: 𝑌~𝑌̂ = 𝑎𝑋 + 𝑏 Cte: 𝑌~𝑌̂ = 𝑎 𝑎 = 𝐸[𝑌] 2 𝐸𝐶𝑀 = 𝐸 ((𝑌 − 𝑌̃ ) ) = 𝐸 ((𝑌 − 𝑌̃ )𝑌) Principi d’ortogonalitat: Linealitat: 𝑌̃ = 𝑎𝑋 + 𝑏 𝑌 − 𝑌̃ ⊥ 𝑋 → 𝐸 ((𝑌 − 𝑌̃ )𝑋) = 0 𝑌 − 𝑌̃ ⊥ 𝑋 → 𝐸 ((𝑌 − 𝑌̃ )1) = 0 𝐸(𝑌𝑋) − 𝐸(𝑌̃𝑋) = 0 𝐸(𝑌) − 𝐸(𝑌̃ ) = 0 𝐸(𝑌𝑋) − 𝐸((𝒂𝑿 + 𝒃)𝑋) = 0 → → 𝐸(𝑋𝑌) = 𝑎𝐸(𝑋 2 ) − 𝑏𝐸(𝑋) 𝐸(𝑌) − 𝐸(𝒂𝑿 + 𝒃) = 0 → 𝐸(𝑌) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏 Aillem a y b amb un Sistema d’equacions ...