Apuntes (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2013
Páginas 36
Fecha de subida 16/01/2015
Descargas 6
Subido por

Vista previa del texto

Universitat Pompeu Fabra MATEMÀTIQUES III Curs 2011/2012 Elisa Alòs 07/04/2012 BLOC 1: OPTIMITZACIÓ RESTRINGIDA EN DIVERSES VARIABLES INTRODUCCIÓ En l’assignatura Matemàtiques II es van introduïr les tècniques bàsiques d’optimització restringida en dues variables. En concret, vam poder veure diferents tècniques, com ara les basades en: substitució, dibuix de les corbes de nivel, mètode de Lagrange (on una de le restriccions que apareixen és d’igualtat).
Els mètodes gràfics (basats en el dibuix de les corbes de nivell i de la restricció) resulten (quan es poden aplicar) molt simples i efectius. I en el cas en què la resolució ‘manual’ d’aquests problemes resulta complexa, sempre podem recorrer a procediments informàtics que ens realitzin el dibuix.
De totes maneres, el mètode gràfic té una limitació important: no podem dibuixar corbes de nivell en el cas de més de dues variables. És per això que es va desenvolupar el mètode de Lagrange i el mètode de Kunh-Tucker (que introduirem en aquesta asignatura pel cas de restriccions de desigualtat). Aquests mètodes es basen en les propietats observades en els mètodes gràfics, però es basen en mètodes analítics que no requereixen ‘fer el dibuix’ i que per tant es poden extendre sense problemes al cas de més de dues variables.
Sigui quin sigui el mètode utilitzat per trobar els punts que poden ser òptims, l’anàlisi de la concavitat/convexitat de la funció o de la funció Lagrangiana associada és sovint essencial per determinar si aquests punts són realment òptims. Per tant és imprescindible disposar de tècniques que ens permetin saber si una funció és còncava o convexa, o còncava i convexa, o ni còncava ni convexa, i que es puguin aplicar en el cas de moltes variables. La secció següent està dedicada a aquesta anàlisi de la concavitat/convexitat en el cas de moltes variables , de manera que obtindrem mètodes que, si bé poden ser llargs d’aplicar a ‘mà’, són fàcilment implementables en un ordinador.
1.1 FUNCIONS CÒNCAVES I CONVEXES EN DIMENSIÓ DE [S]) n (SECCIONS 14.4, 14.5, 14.6 I 15.9 L’estudi de la concavitat/convexitat en moltes variables requereix d’eines d’algebra matricial. No podrem demostrar tots els resultats que enunciarem, perquè alguns d’ells, si bé tenen un enunciat senzill, tenen demostracions que requereixen d’eines matemàtiques molt avançades.
Abans de començar, és recomanable tenir present la ‘idea de fons’ del que farem. La idea intuïtiva que hi ha darrera del que farem en aquest apartat és considerar primer el cas en què la matriu Hessiana és diagonal (és a dir, els elements de la qual són tots zero fora de la diagonal). En aquest cas és senzill veure quines condicions han de cumplir els elements de la diagonal per a què la funció d’interés (en els nostres problemes, la Lagrangiana) sigui còncava o convexa. En un segon pas, es demostrarà que tota matriu Hessiana pot relacionar-se amb una matriu diagonal, i a partir d’aquí es deduiran tècniques útils per tots els casos.
MATRIUS DIAGONALS A continuació detallem les definicions bàsiques que farem servir Definicions: Una matriu A és semidefinida positiva quan x' Ax  0 per qualsevol vector diferent del (0,0,…,0).
1 0  és una matriu semidefinida positiva.
0 0 Per exemple,  Una matriu A és semidefinida negativa quan x' Ax  0 per qualsevol vector diferent del (0,0,…,0).
 1 0  és una matriu semidefinida negativa.
 0 0 Per exemple,  Una matriu A és definida positiva quan x' Ax  0 per qualsevol vector diferent del (0,0,…,0). Per  2 1  és una matriu definida positiva.
 1 3 exemple,  Una matriu A és definida negativa quan x' Ax  0 per qualsevol vector diferent del (0,0,…,0). Per  2 0   és una matriu definida negativa.
 0  3 exemple,   x1   y1            Dos vectors i són ortogonals si x' y    x  y             x  y   n  n x y i i  0.
Un conjunt de vectors són linealment independents si cap d’ells no es pot escriure com a combinació lineal dels altres (ex: (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,3) són linealment independents).
Un valor propi  d’una matriu A és un valor tal que Ax=  x per a un cert vector que s’anomena vector propi. Aquesta condició es pot escriure com ( A  I ) x  0, on I és la matriu identitat. Per a que aquesta equació tingui una solución no nul.la cal que A  I  0, i aquesta equació, anomenada equació característica, és la que ens permet trobar els valors propis.
Exercici 1.1.1: Quins són els valors propis de les matrius anteriors? Quin és el vector propi associat a cada valor propi? Una matriu diagonal és una matriu els elements de la qual són tots zero fora de la diagonal.
Observem que en una matriu diagonal, els valors propis són els elements de la diagonal.
Una matriu A n  n és diagonalitzable si existeix una matriu P i una matriu diagonal D tals que P 1 AP  D Una matriu simètrica és una matriu on els elements aij compleixen aij  a ji (és a dir, podem intercanviar files per columnes, com en el cas de la matriu Hessiana).
Començarem veient alguns resultats bàsics sobre matrius diagonalitzables.
Si A és una matriu diagonalitzable, amb les notacions anteriors, A i P 1 AP tenen els mateixos valors propis.
Demostració: Veurem que les dues matrius tenen el mateix polinomi característic, la qual cosa implica que tenen els mateixos valors propis. En efecte, P 1 AP  I  P 1 AP  P 1IP  P 1  A  I P  P 1 A  I P  A  I .
Observació 1: El resultat anterior ens indica que, quan una matriu és diagonalitzable, està ‘relacionada’ amb una matriu diagonal, molt més fácil de ‘tractar’ (recordem que en una matriu diagonal, els valors propis són els elements de la diagonal). Això será un punt clau en les demostració dels resultats centrals d’aquesta secció.
Observació 2: El teorema anterior ens dóna una eina molt important, però només en el cas de matrius diagonalitzables. Com sabrem si una matriu és diagonalitzable? El primer pas cap a la resposta està en el teorema següent: Teorema 14.6 de [S]: Una matriu n  n A és diagonalitzable si i només si A té un conjunt de n vectors propis linealment independents. En aquest cas,  1    2   1   P AP         n   on P és una matriu que té com a columnes els vectors propis de A.
Demostració: A és diagonalitzable si i només si existeix una matriu P invertible (recordem que això és equivalent a que tingui totes les columnes linealment independents) de manera que P 1 AP  D o, equivalentment, que AP  PD . És a dir,   a1i pi1    a2i pi1      a a 1i pi1 2i pi 2   p111     p211           ani pin   p212 p222          pnnn   p11   p1n            Denotem per x1   els vectors columna de la matriu P. Aleshores La igualtat ,..., xn           p  p   1n   nn  anterior és equivalent a que Ax1  x1 ,..., Axn  xn . Això vol dir que les columnes de P són els vectors propis de A.
Observació 3: El teorema anterior ens dóna una caracterització de les matrius diagonalitzables, però de poca aplicabilitat pràctica. Els teoremes següents ens permetran veure que totes les matrius simètriques són en realitat diagonalitzables.
Teorema 14.7 de [S]: Sigui A una matriu simétrica . Aleshores: a) El polinomi característic de A té totes les arrels reals. És a dir, té n arrels reals (algunes poden ser iguals entre elles) b) Dos vectors associats a dos valors propis diferents són ortogonals.
Demostració: a) és molt difícil de demostrar. Per demostrar b) suposem que Ax  x i Ay  y .
Ara multipliquem aquestes equacions a l’esquerra per y ' i x' , respectivament: y' Ax  y' x, x' Ay  x' y Com es simètrica, podem trasposar la primera expressió, i tenint en compte que A és simètrica i per tant A=A’ tindrem x' Ay  x' y.
Aleshores, x' y  x' y. Això només és cert si    o bé si x' y  0. Això finalitza la demostració.
El Teorema següent és molt important en l’àlgebra lineal i será central en les nostres aplicacions.
En el cas en què tots els valors propis siguin diferents, és una aplicación directa dels Teoremes 14.6 i 14.7 de [S]. En el cas general en què dos valors propis poden ser iguals, la demostració és molt difícil.
Teorema 17.8 de [S] (Teorema espectral): Sigui A una matriu simétrica. Aleshores existeix una matriu ortogonal U (és a dir, U '  U 1 ) tal que  1    2   1  , U AU         n   on 1 ,..., n són els valors propis de la matriu A.
Exercici 1.1.2: Trobeu els valors propis, els vectors propis i la matriu U en la representació espectral per les matrius següents: 1 A   3 1  b) A   2 0  a) 3  4  2 0  1 3 3 2  VALORS PROPIS I FUNCIONS CÒNCAVES I CONVEXES El resultat següent, que enunciem sense demostrar, és central en l’estudi de la concavitat/convexitat de funcions.
Teorema 17.13 de [S]: Sigui f una funció amb derivades parcials de segon ordre contínues en un conjunt convex S de n R . Aleshores: a) f és còncava en S si i només si la seva matriu Hessiana és semidefinida negativa en tot S, i b) f és convexa en S si i només si la seva matriu Hessiana és semidefinida positiva en tot S.
c) Si la seva matriu Hessiana és definida negativa en tot S, f és estrictament còncava en S, i d) Si la seva matriu Hessiana és definida positiva en tot S, f és estrictament convexa en S Teorema 15.2 de [S]: Sigui A una matriu simétrica. Aleshores: a) A és semidefinida positiva si i només si tots els seus valors propis són més grans o iguals que zero.
b)A és semidefinida negativa si i només si tots els seus valors propis són més petits o iguals que zero.
c) A és definida positiva si i només si tots els seus valors propis són estrictament més grans que zero.
d)A és definida negativa si i només si tots els seus valors propis són estrictament més petits que zero.
Demostració: NOTA: aquí només demostrem l’apartat a), ja que els altres són similars. A l’examen podrem preguntar qualsevol dels apartats. Suposem primer que A és semidefinida positiva i sigui  un dels seus valors propis. Considerem el valor propi x associat. Aleshores, com A es semidefinida positiva, x' Ax  x2  0. Però observem que aquesta quantitat té el mateix signe que  . Per tant,  ha de ser positiva.
Suposem ara que tots els valors propis són positius. Observem que si la matriu és diagonal:  1       2  A         n    x1       Aleshores, per a qualsevol vector tindrem que x        x   n  1   x' Ax  x1 ,..., xn      2  x1            x 2  0.
    i i     n  xn  En el cas general sabem, pel Teorema espectral, que U 1 AU  D , on U '  U 1 i D és una matriu diagonal amb els mateixos valors propis que A. Aleshores, prenent y  U ' x, tenim que   U ' AU U x' Ax  x' Ú ' 1 1   x  x' Ú ' 1 DU 1 x  x'UDU ' x  y' Dy   i yi2  0, la qual cosa implica que A es semidefinida positiva, com volíem demostrar.
Observació 4: Els resultat anteriors ens permeten decidir si una funció és còncava o convexa analitzant el seu polinomi característic. No es sempre possible trobar ‘manualment’ les arrels d’aquest polinomi, però sí que és una tasca que pot ser resolta fàcilment per ordinador.
Exercici 1.1.3: estudieu la concavitat/convexitat de les funcions següents a partir del seu polinomi característic: f ( x, y , z )  x  y  z f ( x, y , z )  x 2  y 2  z 2 f ( x, y , z )  e x  y  z 2 , f ( x, y, z )  ze x y MENORS PRINCIPALS I FUNCIONS CÒNCAVES I CONVEXES Considerem una matriu n n  a11 a12    a a  21  22  A  a ij           a nn   Els menors principals d’A d’ordre n  r són tots els determinants que es poden construir eliminant files i les mateixes r columnes ( r  0,..., n  1) de la matriu A.
 a11   a 21 A  a ij        a12 a 22         a nn  1 2 0   Per exemple, els menors principals de la matriu A   2 1 3  són  0 3 2   ordre 1 : 1,1,2, ordre 2 : 1 3 1 0 1 2  7,  2,  3, 3 2 0 2 2 1 1 2 0 ordre 3 : 2 1 3  15 0 3 2 El menor principal dominant d’ordre k és el determinant corresponent a la matriu formada per les k primers files i les k primeres columnes Tenim aleshores el resultat següent que es demostra directament en el cas de matrius diagonals: Teorema (raonament en la pg. 536 de [S]) Sigui A  aij  una matriu simètrica. Aleshores: La matriu A és semidefinida positiva si i només si tots els seus menors principals són més grans o iguals que zero, i La matriu A és semidefinida negativa si i només si tots els seus menors principals d’ordre k tenen el mateix signe que (1) k .
La matriu A és definida positiva si i només si tots els seus menors principals dominants són més grans que zero, i La matriu A és definida negativa si i només si tots els seus menors principals dominants d’ordre k no són zero i tenen el mateix signe que (1) k .
Exercici 1.1.4: Considereu les funcions de l’Exercici 1.3.1 i estudieu la seva concavitat/convexitat fent servir la caracterització en termes de menors dominants.
FUNCIONS CÒNCAVES I CONVEXES I ÒPTIMS El Teorema següent, i d’altres que derivarem a partir d’ell, ocupa un lloc molt important en la teoria d’optimització (Teorema 18.2 de [S]): (Condicions suficients d’òptims globals) Suposem que f ( x1 , x2 ,...., xn ) és una funció diferenciable definida en un conjunt convex S i sigui ( x1 , x2 ,...., xn ) un punt estacionari de f en l’interior de S. Aleshores f ( x1 , x2 ,...., xn ) còncava en S  ( x1 , x2 ,...., xn ) és màxim f ( x1 , x2 ,...., xn ) convexa en S  ( x1 , x2 ,...., xn ) és mínim f ( x1 , x2 ,...., xn ) estrictament còncava en S  ( x1 , x2 ,...., xn ) és màxim estricte f ( x1 , x2 ,...., xn ) estrictament convexa en S  ( x1 , x2 ,...., xn ) és mínim estricte Exemple Considerem la funció f ( x, y)  x  y  z , definida en tot el pla real. Aquesta funció té un punt estacionari en (0,0,0). Podem veure fàcilment que la funció és convexa en tot el pla real. Per tant (0,0,0) és un mínim.
2 2 2 Exemple Fixem-nos que aquest Teorema exigeix que la funció f sigui còncava o convexa. És a dir, que sigui còncava/convexa en tot el domini S. No és suficient, doncs, que sigui localment còncava/convexa. Fixem1 nos en el gràfic següent: hi ha molts punts estacionaris on la 0.8 0.6 funció és localment còncava, però aquests punts NO són 0.4 màxims.
0.2 0 -0.2 5 x0 -5 6 4 2 0y -2 -4 -6 1.2 MÈTODES LAGRANGIANS GENERALITZATS A MÉS DE DUES VARIABLES I/O MÉS D’UNA RESTRICCIÓ (PEL CAS D’ÒPTIMS GLOBALS) Tal i com hem introduït anteriorment, el mètode Lagrangià pot extendre’s fàcilment a l’estudi de funcions de més de dos variables i amb més d’una restricció:  g1 ( x1 , x2 ,..., xn )  c1  màx(mín) f ( x1 , x2 ,..., xn ) amb  ....
... ...
 g ( x , x ,..., x )  c n m  m 1 2 En aquest cas un punt interior en què els vectors gradient de g1,..,gm són linealment independents (no comprovarem aquest punt en el cas n>2,m>1) serà ‘candidat’ a màxim/mínim si satisfà totes les restriccions i és punt estacionari de la funció Lagrangiana: L( x1 , x2 ,..., xn )  f ( x1 , x2 ,..., xn )    j g j ( x1 , x2 ,..., xn )  c j  m j 1 I en aquest cas segueixen sent vàlids el Teorema dels valors extrems (Teorema 17.3 de [S]) i el Teorema de Suficiència global (Teorema 18.2 de [S]) a) El Teorema dels valors extrems (Teorema 17.3 de [S]) b) El Teorema de suficiencia global (Teorema 18.2 de [S]) c) Suposem que les funcions del nostre problema f ( x1 , x2 ,..., xn ), g1 ( x1 , x2 ,..., xn ),..., g m ( x1 , x2 ,..., xn ) d) 0 0 0 són diferenciables. Suposem que tenim un punt ( x , x 2 ,..., x n ) interior que compleix les restriccions i 1 és punt estacionari de la funció Lagrangiana. Aleshores a) Si la funció Lagrangiana asociada és còncava el punt ( x 01 , x 02 ,..., x 0n ) és un màxim b) Si la funció Lagrangiana asociada és convexa el punt ( x 01 , x 02 ,..., x 0n ) és un mínim A més tenim que, de manera similar al cas de funcions de dues variables i una restricció df * (c)  i c  dci (dc petit) f * (c  dc)  f * (c)  1 c dc1      m c dcm Exercici 1.2.1: Estudieu els problemes 10 5 z0 -5 -10 2 1 x0 -1 -22 1 0y -1 -2 màx(mín) f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2  x  2y  z  1 amb  2 x  y  3z  4 1.5 x2  y 2  z 2 màx(mín) f ( x, y, z )  x  y  z amb   x yz 1 0.5 z0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1 y0 1 2 2 1 0x -1 -2 I mireu com canvia el valor mímim de la primera funció si canviem la restricció a  x  2 y  z  1.2  2 x  y  3z  3.9 Exercici 1.2.2 màx(mín) f ( x, y, z )  x 2  2 xy  2 xz  y 2  2 yz  z 2 , amb x  y  z  1 Exercici 1.2.3 Un estudiant ha aplicat el mètode de Lagrange al problema mínf ( x, y, z)  x  y  z, amb x 2  y 2  z 2  b i ha trobat com punts estacionaris del Lagrangià els punts  b b b  b b b   i   , , ,  ,   3 3 3   3 3 3     Trobeu el valor de  associat al problema per b=1.
1.3 EL MÈTODE DE KUHN-TUCKER Aquest mètode es pot interpretar com una extensió del mètode Lagrangià pel cas de restriccions de desigualtat, i es basa en el resultat següent (aquest resultat és una versió una mica més general que la del Teorema 18.6 de [S]): 1 1 Condicions necesàries de Kuhn-Tucker: Suposem que un punt x0 és solució del problema  g1 ( x1 , x2 ,..., xn )  c1  màx(mín) f ( x1 , x2 ,..., xn ) amb  ....
... ...
 g ( x , x ,..., x )  c n m  m 1 2 On f, g1,…,gm són funcions continuament diferenciables. Suposem que els vectors gradient de g1,..,gm són linealment independents*. Aleshores, existeixen uns únics nombres ,...,m tals que a) ( x 01 , x 02 ,..., x 0n ) és un punt estacionari de la funció Lagrangiana corresponent, i b) j(gj ( x A més, si 0 1 , x 02 ,..., x 0n ) -c)=0, per a tot j=1,…,m.
( x 01 , x 02 ,..., x 0n ) 0 és un màxim es compleix que totes les ,...,m són positives, i si si x0 és un mínim es compleix que totes les ,...,m són negatives.
(*)En el cas n=2, m=1 aquesta condició equival a que les derivades simultàniament. En la resta de casos no ho comprobarem.
g1' , g 2' no s’anul.len Observació: Les condicions a) i b) del Teorema anterior es denominen condicions necessàries de Kuhn-Tucker.
Observació: La condició b) vol dir que, o bé   0 o bé g ( x0 )  0. En el primer cas, tenim el mateix sistema que tindriem per buscar punts estacionaris de l’interior. En el segon cas, tenim el sistema Lagrangià que obtindríem en el cas en què la restricció d’igualtat. El mètode de Kuhn-Tucker ens permet trobar els punts estacionaris de l’interior i els ‘candidats’ a òptim de la frontera, que són (recordar el Teorema 17.4 de [S]), els únics punts que poden ser òptims globals del problema d’optimització amb restriccions de desigualtat.
Exercici 1.3.1 Trobeu els possibles candidats a maxim o mínim en els casos següents: Falta encara decidir quins d’aquests punts són realment màxims/mínims. Per respondre aquesta pregunta tenim, de manera similar al cas de dues variables, dues eines fonamentals: a) El Teorema dels valors extrems (Teorema 17.3 de [S]) b) Les condicions suficients de Kuhn-Tucker Condicions suficients de Kuhn-Tucker: Suposem que un punt x0 és solució del problema  g1 ( x1 , x2 ,..., xn )  c1  màx(mín) f ( x1 , x2 ,..., xn ) amb  ....
... ...
 g ( x , x ,..., x )  c n m  m 1 2 On f, g1,…,gm són funcions continuament diferenciables.
i) Suposem que la funció Lagrangiana asociada és còncava i que existeixen uns únics nombres ,...,m  0 tals que es compleixen les condidions necessàries a) i b) de KuhnTucker per a un cert punt x0 . Aleshores x0 és un màxim.
ii) Suposem que la funció Lagrangiana asociada és convexa i que existeixen uns únics nombres ,...,m  0 tals que es compleixen les condidions necessàries a) i b) de KuhnExercici 1.3.2Tucker Trobeuper elsamàxims/mínims les funcions restriccions un cert punt x0 .per Aleshores x0 ési un mínim de l’Exercici 1.5.1 Exercici 1.3.3 Resoleu els problemes següents: Exercici 1.3.4 Resoleu els problemes següents: màx(mín) f ( x, y, z )  x 2  y 2  e z màx(mín) f ( x, y, z )  e x y  z 2 x  y  z  1 amb  x y  z 3  e x  y  z  1 amb  2 2 x  y 3 LA FUNCIÓ VALOR De manera similar al problema d’optimització amb restriccions de desigualtat, els multiplicadors de Lagrange i ens permeten estudiar com canvia el valor òptim v(c) quan hi ha una petita variació en la restricció. Més concretament: Exercici 1.3.5 Estudieu com varien els òptims del problema 1.3.4 enfront petites variacions en les restriccions.
BLOC 2: EQUACIONS EN DIFERÈNCIES I EQUACI ONS DIFERENCIALS Les equacions en diferències i les equacion diferencials són equacions utilitzades per descriure l’evolució d’una certa magnitud (per exemple, el saldo d’un compte corrent, el nombre d’exemplars d’una certa espècie animal, etc.) en uns certs intervals de temps (per exemple, en una sèrie de dies, o mesos, o minuts, o segons). Les equacions en diferències i les equacions diferencials constitueixen un dels camps més actius de la matemàtica aplicada i s’utilitzen en problemes d’àrees molt diverses: demografia, economia, ecologia, biologia, etc.
Abans d’introduïr-nos en el seu estudi, necessitarem alguns coneixements bàsics sobre funcions trigonomètriques. Aquestes eines es troben resumides en l’Apèndix 1.
2.3 EQUACIONS EN DIFERÈN CIES EQUACIONS EN DIFERÈN CIES DE PRIMER ORDRE (SECCIÓ 20.1 DE [S]) Exemple 4.1.1 Un exemple molt senzill ve donat per l’evolució del saldo d’una llibreta a interés fix.
Considerem una sèrie d’anys consecutius 1,2,3, . És ben conegut que, si tenim una llibreta a un cert interés fix r anual, xn  xn1 (1  r ) , on x n denota el saldo en l’any n i xn 1 denota el saldo en l’any n  1 . Si inicialment ingressem 100 euros a interés fix del 5% anual, quin serà el saldo de la nostra llibreta després de 2 anys? Exercici 4.1.2 E. Coli és un tipus de bacteri que es reprodueix cada 20 minuts. Quina seria l’equació en diferències que descriu l’evolució del nombre d’exemplars d’una colònia d’aquest bacteri? Si inicialment tenim una colònia de 10 bacteris, quants bacteris hi haurà després de 12 hores? Les equacions en diferències ens permeten no només calcular la magnitud d’estudi en un cert moment futur, sino també estudiar si, a mida que avanci el temps, aquesta magnitud s’estabilitzarà al voltant d’un cert valor (estudi de l’estabilitat).
Anem ja a formalitzar els conceptes d’equació en diferències, solució i estabilitat.
Definició 4.1.1: Una equació en diferències de primer ordre relaciona el valor d’una magnitud en un moment t amb el valor de la mateixa magnitud en el moment anterior: Observació: Aquesta equació pot escriure’s de la forma xt 1  f t  1, xt , t  0,1,2,..., n  1 Direm que aquesta equació té solució per a un cert valor inicial x 0 si, fixat aquest valor x0, els valors x1, x2, x3, x4,…. queden unívocament determinats mitjançant l’aplicació recursiva de l’expressió de l’equació.
Teorema d’existència i unicitat de solució per equacions en diferències de primer ordre (Teorema 20.1 de [S]): Considerem l’equació anterior. Suposem que f : R  R està definida per qualsevol valor real i que x0 és un arbitrari però fix, existeix aleshores una única funció xt unívocament determinada que és solució de l’equació xt 1  f t  1, xt , t  0,1,2,..., n  1 i que val x0 en t=0.
f : R  R està definida per qualsevol real, qualsevol xt queda uniívocament definida de manera recursiva: x1  f x0 , x2  f x1 , x3  f x2 , etc.
Demostració: Si Observació: Notem que cal que considerem per exemple x1  f x0   4  2  0; la f estigui ben definida per tots els nombres reals. En efecte, funció f ( x)  x  2 , amb x0  4 .
Tindrem que x2  f x1   0  2  2 , i que x3 ja no està ben definida.
Definició 4.1.2: Una equació en diferències de primer ordre lineal és una equació del tipus Definició 4.1.3: Un estat d’equilibri (o estat estacionari) és un valor tal que si xt és igual a aquest valor, tots els següents també ho són.
Definició 4.1.4: Una equació en diferències és estable si té un únic estat d’equilibri i la seva solució xt tendeix cap a l’estat d’equilibri quan t tendeix a infinit, independentment de quin sigui el valor inicial x0 .
Guia de resolució d’equacions en diferències lineals de primer ordre lineals.
El requadre següent resumeix les expressions per la solució dels tipus posibles d’equacions en diferències lineals de primer ordre, així com les seves propietats d’estabilitat.: Demostració: i) Considerem primer el cas a  1 . En aquest cas, xt  xt 1  b . Si utilitzem aquesta expressió de manera recursiva obtenim: x1  x0  b; x2  x1  b  x0  2b; x3  x2  b  x0  3b, , Notem que en aquest cas, si b  1 no hi ha cap punt estacionari, doncs no hi ha cap punt x * tal que, si xt 1  x * , es compleixi que xt  x * . En efecte, si xt 1  x * tindrem que xt  x * b , que només és igual a x * quan b=1. Notem que, si b=1, tots els punts són estacionaris.
En aquest cas direm que la solució no és estable, doncs el comportament quan t   depèn de la condició inicial.
ii) Considerem ara el cas a  1 . En aquest cas, xt  axt 1  b . Busquem els punts estacionaris. Si xt  axt 1  b  xt 1 , caldrà que axt 1  b  xt 1 , d’on treiem que (1  a) xt 1  b, i per tant xt 1  b b b b  b  . Si xt 1  . es compleix que xt  a , i per tant x*  és b  1 a 1 a 1 a 1 a 1 a  l’únic punt estacionari.
Per obtenir una expressió general per la solució utilitzem aquesta expressió de manera recursiva i obtenim: x1  ax0  b; x2  ax1  b  a 2 x0  ab  b; x3  a 3 x0  a 2 b  ab  b, En general, es té que x n  a n x0  a n 1b  a n  2 b  a n 3 b    ab  b  1  a  b   a n x0  b a n 1  a n  2    a  1  a n x0 n 1  a   b 1 an 1 a n  x *  a  x0  x *  a n x0   Notem que, si a  1 , l’expressió anterior tendeix a zero quan n tendeix a infinit, i per tant en aquest cas l’equació és estable.
Notem que si a  1 , a  0 i x0  x * és positiu, el producte a n x0  x * serà una seqüència positiva decreixent a zero i per tant x n decreixerà cap al punt estacionari: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Si a  1 , a  0 i x0  x * és negatiu, el producte a n x0  x * serà una seqüència negativa creixent a zero i per tant x n creixerà cap al punt estacionari: 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Si a  0 , el producte a n x0  x * serà igual a zero per a tot n>0 i per tant x n serà igual al punt estacionari per a tot n>0: 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -1 -2 -3 -4 -5 Si a  1 i a  0 , el producte a n x0  x * canviarà de signe a cada interval de temps, i decreixerà en valor absolut, i per tant x n oscil.larà, convergint cap al punt estacionari (oscil.lacions amortiguades): 2,5 2 1,5 1 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Finalment, si a  1 , l’expressió anterior no convergirà cap al punt estacionari i per tant serà no estable.
Si a  1 i x0  x * >0, x n tendirà a  : 6000000 5000000 4000000 3000000 2000000 1000000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Si a  1 i x0  x * <0, x n tendirà a   : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -2000000 -4000000 -6000000 -8000000 -10000000 -12000000 -14000000 -16000000 Si a  1 , el signe del producte a n x0  x * canviarà a cada moment de temps, a la vegada que el seu valor absolut augmenta (oscil.lacions explosives).
10000000 5000000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -5000000 -10000000 -15000000 -20000000 -25000000 Exercici 4.1.1 Resoleu les equacions en diferències següents, trobeu si tenen punt estacionari i estudieu la seva estabilitat: Dibuixeu aproximadament el seu comportament quan t tendeix a infinit.
EQUACIONS EN DIFERÈN CIES DE SEGON ORDRE (SECCIONS 20.4 I 20.5 DE [S]) Definició 4.2.1 Una equació en diferències de segon ordre relaciona el valor d’una magnitud en un moment t amb el valor de la mateixa magnitud en el moment anterior: Teorema d’existència i unicitat de solució (Teorema 20.2 de [S]): Considerem l’equació anterior.
Si f està definida per qualsevol valor. Si x0 i x1 són arbitraris però fixos, existeix aleshores una única funció xt unívocament determinada que és solució de l’equació i que val x0 en t=0 i x1 en t=1.
Definició 4.2.2 La solució general (o solució completa) d’una equació en diferències de segon ordre és una funció que depèn de dos variables A i B i que compleix que qualsevol solució de l’equació es pot escriure d’aquesta manera donant valors adequats a A i B. És a dir, és solució general si i només si, donats dos valors inicials x 0 i x1, el sistema té solucions úniques en A i B.
Definició 4.2.3 Una equació en diferències de segon ordre lineal és una equació del tipus Definició 4.2.4 L’ equació homogènia associada a l’equació anterior és Definició 4.2.5 Una equació en diferències de segon ordre lineal amb coeficients constants és una equació del tipus RESOLUCIÓ D’UNA EQUACIÓ EN DIFERÈNCIES DE SEGON ORDRE LINEAL AMB COEFICIENTS CONSTANTS Per resoldre una equació en diferències de segon ordre lineal amb coeficients constants procedirem de la manera següent: a) Trobarem la solució de l’equació homogènia asociada ( xth ) Podem trobar-nos tres casos, segons siguin les arrels de l’equació característica x 2  ax  b : CAS 2 arrels reals m1,m2 xth  Am1   B(m2 ) t SOLUCIÓ t 1 arrel real m1 xth   A  Bt m1  Cap arrel real xth  Ar t cost   Br t sin t ; r  b , cos    t a 2 b b) Trobarem una solució particular ( xtp ). Ens serà d’utilitat el requadre següent: Si a la dreta de l’igual hi ha una funció constant del tipus 3t ,5t , e t ,...
polinomi de grau n Provarem amb… -una funció constant (si 1  a  b  0 ) -una funció del tipus Dt o Dt 2 (si 1  a  b  0 ) una funció del tipus 3t ,5t , e t ,...
Polinomi de grau n, amb tots els coeficients per determinar c) Escriurem la solució general, que vindrà donada per xt  xth  xtp .
d) Imposarem, si s’escau, les condicions inicials per determinar les constants A i B.
Exercici 4.2.1 Trobeu les solucions generals de les equacions Exercici 4.2.2 Trobeu les solucions de les equacions anteriors que compleixen x0=1,x2=3.
ESTABILITAT De manera similar al cas de les equacions en diferències de primer ordre, un dels conceptes més importants en l’estudi de les equacions en diferències de segon ordre és el d’estabilitat.
Definició 4.2.6 Una equació en diferències de segon ordre és estable si la solució general de l’homogènia associada tendeix a zero quan t tendeix a infinit (l’efecte de les condicions inicials, que es reflecteix en les constants A i B, desapareix amb el temps).
Per estudiar l’estabilitat d’una equació en diferències de segon ordre lineal amb coeficients contants procedirem segons el quadre següent, els resultats dels quals es dedueixen de l’expressió per la solució de l’equació homogènia.
Exercici 4.2.3 Estudieu l’estabilitat de les equacions estudiades en l’Exercici 4.2.1.
Exercici 4.2.4: Estudieu l’estabilitat de l’equació Exercici 4.2.5: Dibuixeu aproximadament el comportament de les solucions de les equacions estudiades en els exercicis anteriors, quan t tendeix a infinit.
2.4 EQUACIONS DIFERENCIA LS EQUACIONS DIFERENCIA LS DE PRIMER ORDRE (SECCIONS 21.1, 21.3, 21.5 I 21.7 DE [S]) Conceptes bàsics Definició 5.1.1 Una equació diferencial de primer ordre relaciona el valor d’una magnitud en un moment t amb el valor de la derivada de la mateixa magnitud en el mateix moment: Observació: x i x són funcions del temps t, encara que moltes vegades no s’indica aquesta dependencia.
Definició 5.1.2 Una corba integral d’una equació diferencial de primer ordre és la gràfica d’una solució.
Definició 5.1.3 La solució general (o solució completa) d’una equació diferencial de primer ordre és el conjunt de totes les seves solucions.
Resolució La taula següent resumeix els tipus principals d’equacions diferencials de primer ordre, i el mètode de resolució per cada una d’elles: CAS ‘cas senzill’: x  f (t ) SOLUCIÓ GENERAL Cas de variables separables:  g ( x)   f (t )dt  C; x   f (t )dt  C dx x  f (t ) g ( x) Cas lineal: x  a(t ) x  b(t ) x  a, amb g (a)  0   Si a(t )  a constant: x  e  at C  e at b(t )dt -  Si a(t )  a constant i b(t )  b constant: x  Ce at  b a Exercici 5.1.1 Identifiqueu de quin tipus són i resoleu les equacions següents i dibuixeu les corbes integrals corresponents: ESTABILITAT (CAS D’EQUACIONS DEL TIPUS x  F (x) ) Definició 5.1.4 Un punt a és un estat d’equilibri de l’equació anterior si F (a)  0 (la qual cosa implica que si en un cert moment x(t) és igual a a , ho és en qualsevol moment posterior).
Si a és un estat d’equilibri, podrà ser estable o inestable.
Definició 5.1.5 Un punt d’equilibri és estable si, quan partim d’un cert valor inicial diferent de a , es compleix que x(t )  a .
Per estudiar si un punt a és punt d’equilibri, estable o inestable, utilitzarem el resultat següent: Exercici 5.1.2 Estudieu l’estabilitat de les equacions següents: EQUACIONS DIFERENCIA LS DE SEGON ORDRE (SECCIONS 21.8 I 21.9 DE [S]) Conceptes bàsics Definició 5.2.1 Una equació diferencial de segon ordre relaciona el valor d’una magnitud en un moment t amb els valors de la derivada primera i de la derivada segona de la mateixa magnitud en el mateix moment: Definició 5.2.2 Una equació diferencial de segon ordre lineal és una equació del tipus Definició 5.2.3 L’ equació homogènia associada a l’equació anterior és Definició 5.2.4 Una equació diferencial de segon ordre lineal amb coeficients constants és una equació del tipus RESOLUCIÓ D’UNA EQUACIÓ DIFERENCIAL DE SEGON ORDRE LINEAL AMB COEFICIENTS CONSTANTS Per resoldre una equació diferencial de segon ordre lineal amb coeficients constants procedirem de la manera següent: e) Trobarem la solució de l’equació homogènia asociada ( xth ) Podem trobar-nos tres casos, segons siguin les arrels de l’equació característica x 2  ax  b : f) CAS 2 arrels reals r1,r2 SOLUCIÓ x  Ae  Be 1 arrel real r xth   A  Bt e rt Cap arrel real a a2 xth  Ae t cost   Be t sin t ;    ,   b  2 4 h t r1t r2t Trobarem una solució particular ( xtp ). Ens serà d’utilitat el requadre següent: Si a la dreta de l’igual hi ha una funció Constant c polinomi de grau n Provarem amb… xtp =c/b Polinomi de grau n, amb tots els coeficients per determinar g) Escriurem la solució general, que vindrà donada per xt  xth  xtp .
h) Imposarem, si s’escau, les condicions inicials per determinar les constants A i B.
Exercici 5.2.1. Trobeu la solució general de les equacions ESTABILITAT Definició 5.2.5 Una equació diferencial de segon ordre és estable si la solució general de l’homogènia associada tendeix a zero quan t tendeix a infinit (l’efecte de les condicions inicials, que es reflecteix en les constants A i B, desapareix amb el temps).
Es compleix que Exercici 5.2.2. Estudieu l’estabilitat de les equacions estudiades en l’Exercici 5.2.1.
APÈNDIX 1: NOCIONS BÀSIQUES SOB RE FUNCIONS TRIGONOMÈTRIQUES: FUNCIÓ SINUS I FUNCIÓ COSINUS La funció sinus (sin) és una funció que es defineix de la manera següent. El sinus d’un angle defineix com la longitud del catet oposat entre la longitud de la hipotenusa (és a dir, a/c).
 es 2 , i que    3  sin(0)  0, sin   1, sin    0, sin   1, sin 2   0 2  2  És fácil observar que la funció sinus és periòdica de periode De manera similar, la quantitat b/c es denomina cosinus (cos) de l’angle aquesta funció també és periòdica de periode 2 , i que  . És fácil observar que    3  cos(0)  1, cos   0, cos   1, cos   0, cos2   1 2  2  y 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -5 -4 -3 -2 -1 1 -0.2 2 3 4 5 x -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Aquestes funcions són molt importants en l’estudi de les equacions en diferències i diferencials, ja que apareixen sovint en la forma de la seva solució. És important recordar que són periòdiques.
APÈNDIX 2: NOCIONS BÀSIQUES SOB RE INTEGRACIÓ: INTEGRACIÓ PER PARTS Sovint en l’estudi d’equacions diferencials hem de resoldre algunes integrals inmediates i també resoldre algunes integrals no inmediates, especialment del tipus indefinit e ax x n dx.
Hi ha moltes maneres diferents de definir el concepte d’integral indefinida (òbviament, totes equivalents). En l’estudi de les equacions diferencials ens será útil pensar en integral indefinida de una funció f com ‘la funció inversa de la derivada’, en el sentit de que la integral será una funció g tal que g' f .
Exemple 2.2.1: La integral de 2x,  2 xdx és igual a x 2 , ja que si derivem aquesta última ens queda 2x.
Remarca: Notem que la integral indefinida no és única. Per exemple, en el cas anterior, les funcions x 2  3, x 2  5,... també són integrals de 2x. L’elecció de la integral adequada dependrà de les condicions del nostre problema, com veurem més endavant.
Ens caldrà, primer de tot, recordar les fòrmules bàsiques per algunes integrals inmediates:   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx Exercici 2.2.1: Resoleu les integrals  3x  4 x dx,  e 5 4x 1  3xdx, dx, x  e xdx.
2 INTEGRACIÓ PER PARTS Utilitzarem aquesta técnica per tractar de resoldre integrals del tipus  f ( x) g ' ( x)dx que no poden ser resoltes de manera inmediata. La regla d’integració per parts ens diu que  f ( x) g ' ( x)dx  f ( x) g ( x)   f ' ( x) g ( x)dx.
Veurem la seva utilitat amb un exemple: Exemple 2.2.2: Considerem la integral  xe x dx . Integrem per parts i obtenim:  xe dx  xe   e dx  (1  x)e x x x x  C.
Observem que el mètode d’integració per parts ens ha permès ‘eliminar’ el terme ‘x’ de dins de la integral. Aquest mètode, en diferents passos, ens permet treballar amb les integrals del tipus x e n ax dx, com veurem en l’exemple següent: Exemple 2.2.3: Considerem la integral  x e dx . Integrem per parts i obtenim:  x e dx  x e 2 x 2  2 x x  2 xe x dx   x 2 e x  2 xe x   e x dx  x 2 e x  2 xe x  2e x  C  e x x 2  2 x  2  C Exercici 2.2.2: Calculeu les integrals:  xe 2x dx, x e 2 2x dx, x e 3 5x dx.
APÈNDIX 3: COM RESOLDRE PROBLEMES D’OPTIMITZACIÓ GLOBAL DE FUNCIONS EN DUES VARIABLES? 1. Com resoldre un problema d’optimització amb restriccions d’igualtat? (és a dir, on almenys una de les restriccions és d’igualtat) mitjançant el mètode de Lagrange? Recordem que, si usem aquest mètode, per decidir si un punt solució del sistema Lagrangià és realment màxim o mínim, podem usar: i. El Teorema dels valors extrems (en el cas de tenir un domini tancat i acotat) ii. Si el Lagrangià (amb la  corresponent a aquest candidat) és convex, el punt candidat és mínim.
iii. Si el Lagrangià (amb la  corresponent a aquest candidat) és una funció còncava, el punt candidat és màxim.
iv. Si no podem aplicar cap dels criteris anteriors (i, ii o iii), caldrà usar arguments directes, o resoldre el problema mitjançant tècniques grafiques.
Exemple 1.1. f ( x, y)  x 2  y 2 , x  y  1.
 g g 0   Comprovem primer que no hi ha cap punt que compleixi  x y .
 x  y  1 La funció Lagrangiana ve donada per L( x, y)  x 2  y 2   x  y  1 . El sistema Lagrangià 2 x    0  queda 2 y    0 , que té com a solució : x  1 / 2, y  1 / 2,   1 . La funció Lagrangiana és en x  y  1  aquest cas convexa, i per tant el punt (1/2, ½) és un mínim. No hi ha màxim perque no hi ha cap candidat.
Observació: en aquest cas,   1 ens diu que, si variem la restricció a x  y  1   , el nou valor mínim f * (1   )  f * (1)    f * (1)   .
Exemple 1.2. Considerem el problema f ( x, y)  x 2  y 2 , x  y  1; x  0,1 . En aquest cas la solució del sistema Lagrangià és també el punt (1/2, ½), però hem de considerar també els candidats (0,1) i (1,0) (inici i final de la corba restricció). Com el conjunt que dóna la restricció és un conjunt tancat i afitat, podem aplicar el Teorema dels valors extrems. Tenim que f (0,1)  f (1,0)  1; f (1 / 2,1 / 2)  1 / 2. Per tant, el punt (1/2,1/2) és un mínim i (0,1) i (1,0) són dos màxims.
Exemple 1.3. Considerem el problema f ( x, y)  x 2  y 2 , aquest x  y  1; x  0 . En cas la solució del sistema Lagrangià és també el punt (1/2, ½), però hem de considerar també el candidat (0,1) (inici de la corba restricció). La funció Lagrangiana és en aquest cas convexa, i per tant el punt (1/2, ½) és un mínim. La funció no té màxim: prenent x  , y  1  x  , tenim que la funció tendeix a infinit.
2. Com resoldre un problema d’optimització amb restriccions de desigualtat? (totes les restriccions són de desigualtat) mitjançant el mètode de Kuhn-Tucker? Cal recordar que per veure si un punt solució del sistema de Kuhn-Tucker és realment màxim o mínim, podem usar: i. El Teorema dels valors extrems (en el cas de tenir un domini tancat i acotat) ii. Si el Lagrangià (amb la  corresponent a aquest candidat) és convex, el punt candidat és mínim.
iii. Si el Lagrangià (amb la  corresponent a aquest candidat) és una funció còncava, el punt candidat és màxim.
iv. Si no podem aplicar cap dels criteris anteriors (i, ii o iii), hem d’usar arguments directes.
Exemple 2.1 Considerem la funció f ( x, y)  x 2 y, x 2  y 2  1.
 g g 0   Comprovem primer que no hi ha cap punt que compleixi  x y . En 2 2  x  y  1 efecte, caldria que 2 x  0,2 y  0, x 2  y 2  1, la qual cosa és impossible.
La funció Lagrangiana ve donada per L( x, y)  x 2 y   x 2  y 2  1 . El 2 xy  2 x  0  sistema Lagrangià queda  x 2  2y  0 .
 x 2  y 2  1  0  2 xy  0  - Considerem primer el cas   0 . En aquest cas el sistema queda  x 2  0 ,   0   100 50  0 -50 -100 -4 -2 x0 2 4 -4 -2 0y 2 4   que té com a solució tots els punts del tipus (0, y) . Aquests punts són candidats a màxim i a mínim.
2 xy  2 x  0  - Considerem ara el cas x 2  y 2  1 . En aquest cas el sistema queda  x 2  2y  0 x 2  y 2  1  La primera equació del sistema queda 2 x y     0.
x  0  Considerem primer el cas 2 x  0. Aleshores el sistema queda  2y  0 , que y2  1  implica que   0. (cas ja estudiat).
y    Considerem ara el cas y  . Aleshores el sistema queda  x 2  2 y 2  0 . Restant la x 2  y 2  1  2 segona equació a la tercera queda 3 y  1 . Les solucions a aquest sistema són els punts  2 1  2 1  1  ,   ,   , ,  3 3   3 3 3    2 1  2 1  1  ,   ,    ,  ,   3    3 3  3 3  Els dos primers punts seran candidats a màxim i els dos segons candidats a mínim. Podem utilitzar el  2 1  2 1     3 , 3 ,   3 , 3     Teorema dels valors extrems com en el problema anterior per veure que   2 1  2 1     3 , 3 ,   3 , 3  són mínims.
   són màxims i que  Exemple 2.2. Considerem la funció f ( x, y)  x 2 y, x  2, y  1 . Per utilitzar el mètode de KuhnTucker hem d’escriure les restriccions de la forma f ( x, y)  x 2 y,  x  2, y  1 . El Lagrangià queda aleshores L( x, y)  x 2 y  1 ( x  2)  2 ( y  1) i tenim el sistema Lagrangià x y  2 xy  1  0  x2    0  2 .
 1 ( x  2)  0   2 ( y  1)  0 Els casos a considerar són a)1  0, 2  0; b)1  0, y  1; c) x  2, 2  0; d ) x  2, y  1 2 xy  0  x2  0  a) En el cas a), el sistema queda  . Aquest sistema té per solució   0 1    2  0 qualsevol punt del tipus (0, y ) . Però aquests punts no estan a la restricció i per tant no poden ser candidats.
 2x  0 x 2    0  2 b) En el cas b), el sistema queda  , que implica que 2  0 , cas  1  0  y  1 que ha estat estudiat en el cas anterior.
 4 y  1  0  40  c) En el cas c), el sistema queda  , i no té cap solució.
1 ( x  2)  0   2 ( y  1)  0  4  1  0 4    0  2 d) En el cas c), el sistema queda  . La única solució és el punt (2,1) x  2   y  1 amb 1  4, 2  4 . Aquest punt tampoc pot ser doncs candidat Finalment, deduïm que la funció no té ni màxim ni mínim en el domini demanat, doncs no hi ha cap candidat.
Exemple 2.3 Considerem la funció f ( x, y)  x 2  y 2 , x  y  1. Comprovem primer que no hi ha  g g 0   cap punt que compleixi  x y . En efecte, caldria que 1  0,1  0, x  y  1, la qual cosa és 2 2  x  y  1 impossible.
La funció Lagrangiana ve donada per L( x, y)  x 2  y 2   x  y  1 . El sistema Lagrangià 2 x    0  queda 2 y    0 .
 x  y  1  0  2 x  0  a) Considerem primer el cas   0. En aquest cas el sistema queda 2 y  0 . Queda doncs el   0  punt (0,0) com candidat a màxim i a mínim.
2 x    0  b) Considerem el cas x  y  1. En aquest cas el sistema queda 2 y    0 . De les dues x  y  1  primeres equacions es dedueix que x=y. Com x+y=1, la solució d’aquest sistema és el punt (1/2,1/2), amb   1. És doncs un candidat a màxim.
Intentem veure quins dels candidats són màxims/mínims. No podem aplicar el Teorema dels valors extrems, doncs la regió definida per la restricció no és un conjunt tancat i afitat. Comencem pel candidat (0,0), que té   0. Per aquesta  . tenim L( x, y)  x 2  y 2 , que és una funció convexa.
Per tant, (0,0) és mínim. Considerem ara el punt (1/2,1/2), amb   1. Aquest punt és candidat a màxim. El Lagrangià amb aquesta  . és una funció convexa. Per tant aquest argument no ens confirma que (1/2,1/2) sigui màxim. Hem doncs d’aplicar un argument directe. Si mirem les corbes de nivell veiem ràpidament que aquesta funció no té màxim en el domini demanat.
APÈNDIX 4: ALGUNS RESULTATS BÀSICS SOBRE OPTIMITZACIÓ EN UNA VARIABLE 1. Teorema dels valors extrems: 2. Concavitat/convexitat en una variable 3. Màxims i mínims de funcions còncaves i convexes (d’una variable) ...