Guia d'errors (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2014
Páginas 11
Fecha de subida 18/05/2014
Descargas 3
Subido por

Descripción

Introducció al tractament de dades.

Vista previa del texto

Departament de F´ısica i Enginyeria Nuclear (EET) Introducci´ o al tractament de dades 1 C` alcul d’errors Les lleis de la F´ısica expressen relacions entre magnituds com ara longitud, temps, for¸ca, energia o temperatura. Per aquest motiu, la capacitat de mesurar aquestes magnituds ´es un requisit de la F´ısica.
Per mesurar una magnitud, s’ha de comparar amb un cert valor de la mateixa que prenem com a refer`encia. A aquest valor se l’anomena unitat. Per exemple, s´on unitats el metre, el kilogram o el segon.
No obstant, el valor exacte d’una magnitud (que anomenarem X) ´es, en realitat, una abstracci´o matem`atica. Mai podrem con`eixer amb una precisi´ o absoluta quant val aquest valor. Aix`o es degut, en primer lloc, a que els aparells sempre tenen una resoluci´o limitada. Tamb´e, factors que estan fora de control (condicions ambientals, els reflexos de la persona que fa la mesura, . . . ) afecten la lectura que ens d´ ona l’instrument i, fins i tot, la pr`opia magnitud que volem mesurar.
A la pr`actica, doncs, sempre mesurarem un valor (x) que no coincideix amb el valor real de la magnitud (X). Definirem error absolut com la difer`encia entre aquests dos nombres ǫa ≡ x − X (1) i error relatiu com la relaci´ o entre l’error absolut i el valor que hem mesurat ǫr ≡ ǫa x−X = .
x x (2) L’error absolut d’una magnitud t´e les mateixes unitats que aquesta. En canvi, l’error relatiu ´es un nombre adimensional, que serveix per donar-nos una idea de la qualitat de la mesura.
Aquestes definicions matem`atiques no es poden emprar per calcular l’error perqu`e desconeixem X.
Per aquesta mateixa ra´ o, mai podrem calcular l’error d’una manera exacta. S´ı ´es possible, per`o, fer una estimaci´ o aproximada d’aquest error.
Estimar l’error vol dir que, a la pr`actica, sempre expressarem el resultat de qualsevol mesura en forma d’entorn x±ǫ (3) i amb aix`o indicarem que ´es “molt probable” que el valor veritable X es trobi a dintre de l’entorn (x − ǫ, x + ǫ).
De fet, sempre que expressem num`ericament una magnitud estem indicant de forma impl´ıcita un entorn, atenent al nombre de xifres significatives que utilitzem. Qualsevol xifra ´es significativa tret dels zeros a l’esquerra. Per exemple, 2.50 t´e 3 xifres significatives mentre que 0.003 nom´es en t´e una. Si no s’especifica un entorn expl´ıcitament, com a l’Eq. 3, s’ent´en que ǫ val la meitat que una unitat de l’ordre de la darrera xifra significativa. Per exemple, 2.5 indicaria l’entorn (2.45, 2.55). En canvi, 2.50 indicaria l’entorn (2.495, 2.505). En qualsevol cas, sempre ´es recomanable indicar un entorn expl´ıcitament.
El procediment per estimar l’error dep`en del tipus de mesura: • Mesures directes que es fan una sola vegada.
• Mesures directes que es fan N vegades.
• Mesures indirectes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cm Figura 1: Exemple de mesura que es fa una vegada. El resultat ´es 9 ± 1 cm El significat de “molt probable” dependr` a de la t`ecnica concreta que utilitzem per estimar l’error.
Aquest ´es un dels punts que discutirem especialment.
Abans de continuar, parlem breument de l’anomenat error de zero. Es d´ ona quan l’escala d’un instrument est` a despla¸cada i, per aquest motiu, totes les mesures tenen una quantitat (la mateixa) de m´es o de menys. No es tracta d’un error en el sentit estricte de la paraula doncs si ens adonem de la seva exist`encia despr´es d’haver realitzat les mesures, ´es possible recuperar els valors correctes. Tan sols caldr` a restar la lectura de l’instrument quan estem mesurant una magnitud zero a totes les dades.
1.1 Mesures que es fan una sola vegada En principi, sempre que sigui possible, s’intentar` a fer m´es d’una mesura. Es pot donar, per`o, el cas en qu`e una mesura sigui destructiva i nom´es es pugui fer una sola vegada. Tamb´e podria passar que el resultat de totes les mesures realitzades fos id`entic, de manera que sigui innecessari fer mesures addicionals. En ambd´ os casos, aplicarem la seg¨ uent t`ecnica.
Si l’instrument que estem emprant disposa una escala, com a la Fig. 1, considerarem que el valor mesurat correspon a la l´ınia m´es propera a la magnitud. En l’exemple de la Fig. 1 podr´ıem donar com a resultat de la mesura 9 cm o 8 cm per` o en cap cas 8.5 cm. En canvi, si l’instrument disposa d’un display digital, per exemple un tester digital, la mesura consistir` a en les xifres del display que es mantenen estables durant la mesura.
Considerarem que l’error es degut exclusivament a les limitacions de l’instrument. Per tant l’error ser`a l’anomenat error de resoluci´ o X = x ± ǫres .
(4) En el cas d’instruments anal`ogics, l’error de resoluci´o dep`en de molts factors com ara la mida de l’escala i l’habilitat de l’observador. Una opci´ o ´es agafar com a error de resoluci´o la magnitud que correspon a la meitat de la dist`ancia entre dues l´ınies adjacents de l’escala. Aquest ´es el mateix error que ens donen a entendre impl´ıcitament les xifres significatives si transcrivim sense m´es la lectura de l’instrument. Si ho fem aix´ı, quina ´es la probabilitat de que la magnitud que volem con`eixer es trobi a dins de l’entorn indicat per aquest error? Doncs ´es la mateixa probabilitat que la que t´e l’observador de determinar correctament a quina l´ınia de l’escala s’acosta m´es la magnitud a mesurar. En un instrument ben dissenyat ser`a una probabilitat elevada.
Quan les probabilitats d’apreciar equivocadament quina ´es la l´ınia m´es propera a la magnitud no s´on menyspreables (aix` o passa, per exemple, quan la separaci´o entre les l´ınies de l’escala ´es massa petita) ´es millor agafar com a error de resoluci´o la magnitud que correspon a la dist`ancia entre dues l´ınies consecutives de l’escala. Fent-ho aix´ı, la probabilitat de que l’entorn contingui el valor real ´es igual a la probabilitat d’encertar entre quines dues l´ınies es troba la magnitud. Es a dir, en un instrument ben dissenyat, la probabilitat de que aquest entorn contingui el valor real ser`a gaireb´e del 100%.
Per aquests motius, en principi agafarem com a error la magnitud que correspon a la dist`ancia entre dues l´ınies consecutives de l’escala.
2 En el cas d’instruments amb un display, l’error de resoluci´o acostuma a ser una unitat de la darrera xifra (estable, s’ent´en) del display. Per exemple, en el cas d’un cron`ometre digital que indiqui els temps fins a les cent`esimes de segon, l’error de resoluci´o ser`a de 0.01 s.
1.2 Mesures que es fan N vegades Pensem ara en un cas en que ha estat possible fer v`aries mesures x1 , x2 , x3 , . . . , xN (5) on N ´es el nombre de mesures que s’han realitzar.
´ molt dif´ıcil El m´es probable ´es que aquests valors xi siguin diferents entre ells, per molts motius. Es controlar completament tots els factors que poden afectar el resultat d’un experiment. Tamb´e cal tenir present l’error hum` a. Per tenir en compte tots els factors que varien entre mesura i mesura, introduirem l’error accidental.
A m´es, continuarem tenint un error de resoluci´ o degut a les limitacions de l’instrument. Per no complicar innecess` ariament l’explicaci´o, suposem (de moment!) que el nostre instrument no t´e problemes en aquest aspecte. Quin valor cal assignar a l’error accidental en aquest cas? En primer lloc s’ha de calcular la mitja < x >= 1 N N xi (6) i=1 i la desviaci´ o est` andard de la mitja σ<x> = N i=1 (xi − < x >)2 N −1 (7) Aquestes dues magnituds es representen a les calculadores cient´ıfiques pels s´ımbols x ¯ i σn−1 , respectivament. Considerem ara l’error accidental expressat per σ<x> = ǫacc = √ N N i=1 (xi − < x >)2 N (N − 1) (8) Si el nombre de mesures compleix N ≤ 15 hi haur` a una probabilitat entre el 60% i el 70% de que el valor veritable sigui a dins de l’interval determinat per aquest error accidental.
X ∈< x > ±ǫacc (9) Aquest interval s’anomena interval de confian¸ca i es caracteritza per la probabilitat de que l’expressi´ o9 es compleixi. L’expressi´ o 8 ´es adient la major part de les vegades. No obstant, si ens cal una expressi´ o de l’interval de confian¸ca m´es acurada podem afegir un factor que dep`en del nombre de mesures i de la probabilitat de que el valor veritable hi pertanyi σ<x> ǫacc = Fp (N ) √ (10) N Podem trobar aquest factor tabulat als llibres de taules m´es emprats. Per exemple, si volem un interval de confian¸ca del 97.5%, el factor que utilitzarem ´es: N 2 3 4 5 6 7 8 F0.975 (N ) 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 N 9 10 11 12 13 14 15 F0.975 (N ) 2.31 2.26 2.23 2.20 2.18 2.16 2.14 3 N 16 17 18 20 30 40 ∞ F0.975 (N ) 2.13 2.12 2.11 2.09 2.04 2.02 1.96 Ara s´ı, cal tenir en compte que la resoluci´o de l’instrument ´es limitada. Estimarem l’error de resoluci´o com en el cas d’una sola mesura i sumarem els dos errors, l’accidental i el de resoluci´o. Ara b´e, at`es que sempre hi ha una certa probabilitat de que els errors es cancel·lin, des del punt de vista estad´ıstic la manera m´es correcta de sumar els errors ´es quadr` aticament: ǫ= ǫ2res + ǫ2acc (11) Finalment, indicarem el resultat de la mesura com X =< x > ±ǫ (12) Si un dels dos errors, l’accidental o el de resoluci´o, ´es molt m´es gran que l’altre llavors l’error total ser`a aproximadament igual a l’error m´es gran.
Per fixar idees considerem el seg¨ uent exemple: volem mesurar el temps que tarda un m`obil en caure des de 10 m d’al¸cada i amb aquesta finalitat prenem 3 mesures: t (s) 1.43 1.38 1.47 En primer lloc calculem la mitja dels valors t = 1.43 + 1.38 + 1.47 = 1.42667 s 3 (13) Amb aquest resultat podem calcular l’error accidental ǫacc = El resultat ´es (1.43 − 1.42667)2 + (1.38 − 1.42667)2 + (1.47 − 1.42667)2 3·2 ǫacc = 0.02603 s (14) (15) Ara ja tenim els dos errors error accidental = 0.02603 s error de resoluci´o = 0.01 s Calculem l’error total i l’arrodonim a una xifra significativa (recordem que es tracta d’una estimaci´ o i no d’un c` alcul exacte).
ǫ = 0.026032 + 0.012 = 0.027789 ≃ 0.03 s (16) Finalment, presentem el resultat, arrodonint la mitja de manera que l’ordre de magnitud del darrer decimal sigui el mateix que el de l’error t = 1.43 ± 0.03 s (17) Finalment, uns comentaris sobre els arrodoniments.
Com que el c` alcul de l’error es tracta d’una estimaci´ o, els errors s’acostumen a arrodonir sempre a l’al¸ca, per augmentar la seguretat de l’interval de confian¸ca.
En general els errors s’arrodoneixen a una xifra significativa, ja que no es pot esperar molta mes precisi´ o d’una estimaci´ o.
Per una altra banda, en algunes situacions pot ser convenient expressar l’error amb dues xifres significatives. Per exemple, podem expressar l’error amb dues xifres significatives quan la primera xifra significativa (la que est` a m´es a l’esquerra) sigui “1” o “2”. D’aquesta manera, l’arrodoniment a l’al¸ca no suposa un augment de l’error tan gran com si no apliqu´essim aquest conveni. Per exemple, si el resultat a arrodonir ´es 1.4278 ± 0.0176 podem escriure 1.428 ± 0.018 per comptes de 1.43 ± 0.02.
En resum, sempre arrodonirem els errors a l’al¸ca deixant una o dues xifres significatives, encara que preferiblement en deixarem nom´es una.
En qualsevol cas, han de coincidir l’ordre de magnitud de la darrera xifra significativa de la magnitud i de l’error.
4 1.3 Mesures indirectes Sovint una magnitud no es mesura directament sin´ o que es calcula a partir d’altres magnituds, obtingudes experimentalment. Aquest proc´es s’anomena mesura indirecta.
Considerem una magnitud Z que es pot obtenir a partir de dues altres magnituds X i Y mitjan¸cant una relaci´o te`orica que se sap que es compleix Z = f (X, Y ) (18) Si x i y han estat mesurades experimentalment, despr´es de calcular el seu error (pel m`etode que pertoqui) tindrem X =< x > ±ǫx (19) Y =< y > ±ǫy (20) Denotarem per < z > el resultat de la mesura indirecta de Z i per ǫz el seu error.
Z =< z > ±ǫz (21) El valor de < z > es pot calcular a partir de la relaci´o te`orica que coneixem, agafant com a variables el resultat de les mesures directes < z >= f (< x >, < y >) (22) ´ m´es complicat veure quin error cal assignar al resultat de la mesura indirecta. L’error a Z provocat Es per l’error de X ´es ∂f ǫx (23) ǫzx = ∂X amb una expressi´ o an`aloga per a l’error a Z provocat per l’error de Y . Per trobar l’error indirecte a Z sumem les dues contribucions quadr` aticament ∂f ∂X ǫz = 2 ǫ2x + ∂f ∂Y 2 ǫ2y (24) Recordem que estad´ısticament els errors es sumen d’aquesta manera encara que es pot aproximar per la suma directa ∂f ∂f ǫz ≈ ǫx + ǫy (25) ∂X ∂Y sempre que els errors de X i Y siguin relativament petits.
En cas d’haver-hi m´es variables que aportessin error a Z, afegir´ıem termes addicionals.
Apliquem-ho a un exemple: volem con`eixer el volum d’un cilindre, un cop hem mesurat el seu di`ametre i la seva al¸cada D = 2.00 ± 0.02 m (26) h = 1.00 ± 0.01 m (27) La relaci´o entre el volum, el radi i l’al¸cada ´es V (D, h) = Per tant, el volum ´es V = π 2 D h 4 (28) π 2 · 2 · 1 = 3.1416 m3 4 (29) i el seu error ´es ǫV = ∂V (D, h) ∂D 2 ǫ2D + 5 ∂V (D, h) ∂h 2 ǫ2h (30) k L0 L 111 000 000 111 000 111 000 111 m Figura 2: Exemple de dues magnituds relacionades linealment (m i L). Els par` ametres de la molla, k i L0 , es poden determinar per regressi´ o lineal Desenvolupant aquesta expressi´ o π Dh 2 ǫV = 2 ǫ2D + π 2 D 4 2 ǫ2h (31) Finalment, substituint per les dades ǫV = π ·2·1 2 2 0.022 + π 2 ·2 4 2 0.012 = 0.070248 m3 (32) El resultat de la mesura indirecta ´es, despr´es de fer els arrodoniments V = 3.14 ± 0.08 m3 (33) Fixem-nos que l’error s’ha arrodonit per exc´es. Aix`o es fa per augmentar la fiabilitat del nostre resultat.
Es convenient recordar com s’aplica aquest esquema als casos m´es freq¨ uents per no estar fent derivades tota l’estona! Aquests s´on els m´es importants: • z = x + y: ǫz = ǫ2x + ǫ2y ≈ ǫx + ǫy • z = x − y: ǫz = ǫ2x + ǫ2y ≈ ǫx + ǫy • z = x × y: ǫz /|z| = • z = x/y: ǫz /|z| = (ǫx /x)2 + (ǫy /y)2 ≈ ǫx /|x| + ǫy /|y| (ǫx /x)2 + (ǫy /y)2 ≈ ǫx /|x| + ǫy /|y| Finalment, si tan sols en interessa escriure el resultat d’operacions elementals amb un nombre de xifres significatives que tingui sentit, sense donar expl´ıcitament un error indirecte, tan sols ens caldr` a arrodonir el resultat de les operacions d’acord amb unes regles molt senzilles.
• El resultat d’una suma o d’una resta no pot tenir xifres significatives m´es enll`a de la darrera xifra decimal en que ambd´ os nombres originals tenen xifres significatives.
• El nombre de xifres significatives del resultat d’una multiplicaci´o o divisi´ o no ha de ser m´es gran que el nombre de xifres significatives de qualsevol dels dos nombres originals.
2 Regressi´ o lineal Tot el que s’ha vist fins a aquest punt tenia com a finalitat mesurar una magnitud, amb el seu corresponent error. Ara ens plantegem un problema diferent. Es tracta de trobar quina relaci´o hi ha entre dues magnituds.
6 24 22 L (cm) 20 18 16 14 12 10 0 50 100 150 200 250 m (g) Figura 3: Representaci´o dels punts i de la recta de regressi´ o A l’hora de fer l’experiment, una d’aquestes magnituds ´es controlada per nosaltres mateixos. Per aix`o, utilitzarem la notaci´ o X per referir-nos a aquesta variable (variable independent). L’altra magnitud varia quan nosaltres canviem el valor de X. La notarem com a Y i l’anomenarem variable depenent. Un exemple podria ser una massa que penja d’una molla (variable independent) i l’estirament que produeix aquesta massa a la molla (variable depenent). Aquest exemple est` a representat a la Fig. 2 Durant l’experiment, donem valors xi a la magnitud que controlem (la massa, a l’exemple) i mesurem els valors yi que assoleix l’altra magnitud (l’estirament, en aquest exemple). El resultat es pot expressar en forma de conjunt de N punts (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xN , yN ) (34) El proper pas ´es representar aquests punts en un diagrama cartesi` a. Normalment, representarem la variable independent a l’eix d’abcises i la depenent a l’eix d’ordenades. Un cop representats els punts podrem inferir qualitativament quina forma t´e la depend`encia de Y respecte X.
Un dels casos m´es importants t´e lloc quan la depend`encia de Y respecte X ´es lineal. Ens n’adonarem perqu`e al diagrama cartesi` a els punts tenen tend`encia a formar una recta. En aquest cas, podrem ajustar una recta per regressi´ o lineal al conjunt de punts. Es a dir, podrem trobar una recta que sigui la que representi d’una manera m´es acurada tots els punts. Aquesta recta s’anomena recta de regressi´ o.
M´es endavant donarem una definici´o m´es rigorosa, juntament amb el procediment per fer aquest tipus d’ajust. El resultat de l’ajust per regressi´ o lineal ´es un parell de coeficients, a i b, que determinen la recta de regressi´ o mitjan¸cant l’expressi´ o Y = a + bX (35) Aquesta expressi´ o anal´ıtica de la recta de regressi´ o ´es interessant perqu`e si la comparem amb alguna f´ ormula te`orica que relacioni les dues variables, podrem obtenir el valor de par` ametres rellevants.
Tornem a l’exemple de la massa i de l’estirament de la molla. Imaginem que el nostre objectiu ´es esbrinar el valor de la constant k de la molla i la seva longitud natural L0 . Suposem que, amb aquesta finalitat, hem penjat diverses masses conegudes i hem mesurat els estiraments corresponents m (g) L (cm) 50 13 100 17 150 20 200 23 Aquests punts estan representats a la Fig. 3.
La llei de Hooke ens diu que l’estirament d’una molla ´es proporcional a la for¸ca a la que est` a sotmesa F = k(L − L0 ) (36) Per una altra banda, el pes d’una massa ve donat per F = mg 7 (37) y d4 d3 d4’ R d2 d1 d3’ d2’ d1’ R’ x Figura 4: Dist` ancies d’un conjunt de punts a dues rectes Combinant aquestes dues equacions obtenim una relaci´o te`orica de la depend`encia de L respecte m L= g m + L0 k (38) Seguint el procediment que s’explicar` a al seg¨ uent apartat, s’arriba a la conclusi´ o de que la recta de regressi´ o ´es L(cm) = 0.0654m(g) + 10 (39) Aquesta recta tamb´e est` a representada a la Fig. 3.
Comparant les Eqs. 38 i 39 es dedueix que 0.0654 cm · g −1 = g k 10 cm = L0 (40) (41) Tenint en compte que g val 981 cm · s−2 , al final aconseguim el valor de la constant k i de la longitud natural L0 k = 15000 g · s−2 (42) L0 = 10 cm (43) Ara que s’ha vist per a qu`e pot servir una regressi´ o lineal, veiem la definici´o matem`atica del que ´es ajustar una recta per regressi´ o lineal i quin ´es el procediment per fer-ho.
2.1 Ajust d’una recta per regressi´ o lineal A la Fig. 4 hi ha la representaci´o d’un conjunt de punts. Tamb´e s’hi poden veure les dist`ancies (en vertical) de cada punt a dues rectes. Pensem en la seg¨ uent quantitat: la suma, per a tots els punts, dels quadrats d’aquestes dist`ancies a una recta d21 + d22 + d23 + d24 + . . .
(44) Aquesta quantitat variar`a si es calcula per a rectes diferents. La regressi´ o lineal ens d´ ona els par` ametres (pendent i ordenada a l’origen) de la recta per a la qual aquesta quantitat ´es m´ınima. Intu¨ıtivament, podem pensar en la recta de regressi´ o com en la recta que “representa millor” la posici´o de tots els punts.
Per trobar els par` ametres presents a l’Eq. 35 s’han d’aplicar les seg¨ uents expressions a= Sxx Sy − Sx Sxy D b= SSxy − Sx Sy D 8 (45) (46) 6.0 5.0 6.0 r = 0.998 5.0 r = 0.92 4.0 4.0 3.0 3.0 2.0 2.0 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 1.0 1.0 5.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 5.0 5.0 5.0 r = 0.22 4.0 4.0 3.0 3.0 r = 0.65 2.0 2.0 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 1.0 1.0 6.0 2.0 3.0 Figura 5: Rectes de regressi´ o amb el seus coeficients de correlaci´ o a on s’ha emprat la notaci´ o N N i=1 i=1 N N x2i , Sxy = Sxx = yi xi , Sy = S = N, Sx = xi yi i=1 i=1 D = SSxx − (Sx )2 2.2 Coeficient de correlaci´ o Donat un conjunt de punts (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xN , yN ) podem calcular la quantitat coneguda com a coeficient de correlaci´ o: r= SSxy − Sx Sy (SSxx − Sx2 )(SSyy − Sy2 ) on N yi2 Syy = i=1 El coeficient de correlaci´ o t´e un valor absolut entre 0 i 1. Com es pot veure a la Fig. 5, un valor allunyat d’1 indica manca de linealitat. Aix`o pot ser degut a que l’experiment no ha estat realitzat correctament o a que la relaci´ o entre les dues magnituds no ´es lineal. En canvi, un coeficient de correlaci´ o proper a 1 assenyala una bona linealitat. Pel que fa al signe del coeficient de correlaci´ o ´es el mateix que el del pendent a.
9 10 2.5 ln(V) = −0.0059 t + 2.2 8 ln[V (V)] V (V) 2 6 1.5 4 2 0 50 100 t (s) 150 1 200 0 50 100 t (s) 150 200 Figura 6: Difer`encia de potencial entre les plaques d’un condensador a un circuit RC 2.3 Relacions no lineals A vegades la relaci´ o entre X i Y pot ser m´es complicada que una relaci´o lineal. Per exemple, ens podem trobar que sigui exponencial Y = cekX (47) Encara podem utilitzar el m`etode de la regressi´ o lineal per trobar c i k. Nom´es cal trobar dues variables, dependents de X i Y , que tinguin una relaci´o lineal. En l’exemple de l’Eq. 47 podem aplicar logaritmes a les dues bandes per obtenir una relaci´o lineal ln Y = ln c + kX (48) Aquesta relaci´ o ´es lineal si considerem que les nostres magnituds s´on X i ln Y . Per tant si fem una regressi´ o lineal dels punts (x1 , ln y1 ), (x2 , ln y2 ), . . . , (xN , ln yN ) (49) obtindrem els par` ametres a i b que caracteritzen la millor recta ln Y = a + bX (50) Comparant el resultat de la regressi´ o amb el comportament que esper`avem, calculem c i k ln c = a (51) k=b (52) Aquest procediment es pot aplicar a altres tipus de depend`encia (quadr`atica, proporcionalitat inversa, . . . ). El pas m´es dif´ıcil, per` o, sempre es trobar dues magnitud lineals, calculables a partir de les que ja coneixem.
Veiem un exemple: un fenomen que segueix una llei de tipus exponencial ´es la desc`arrega d’un condensador en un circuit RC. La difer`encia de potencial entre les plaques del condensador evoluciona amb el temps segons una llei del tipus V = V0 ekt (53) Es prenen experimentalment les seg¨ uents dades t (s) V (V) 0.00 9.19 50.0 6.78 100.0 5.04 150.0 3.75 200.0 2.81 que estan representades a la Fig. 6. Tamb´e s’ha representat el logaritme neperi`a de V en front de t, que ´es la gr`afica lineal. Es fa, doncs, una regressi´ o amb els punts d’aquesta segona gr`afica. Aplicant les Eqs.
51 i 52 obtenim k = −0.0059 s−1 V0 = e2.2 V = 9.03 V 10 Exercicis 1. Expressa el resultat de les operacions amb el nombre correcte de xifres significatives (a) 2.3 × 4.81 (b) 3.67 + 0.047 (c) 1534/8.5 (d) 7.9 × 104 − 2.1 × 103 (e) 27.4 + 0.456 (f) 678 − 4.7 (g) 2.82 × 2.1 (h) 300/2.3 2. Arrodoneix els seg¨ uents errors (a) 3.21876 m (b) 0.004715 s (c) 4.1 × 102 km (d) 0.9175 m (e) 73.12 kg (f) 8.8941 A (g) 0.01243 V 3. Expressa correctament els seg¨ uents resultats (a) 23.467854 ± 0.015862 s (b) 5 × 102 ± 0.01 mm (c) 23.4 ± 3.1 N (d) 18.6621 ± 0.9347 cm3 (e) 45896 ± 799.45 µm 4. Una probeta disposa d’una escala amb una resoluci´o de 2 ml. Inicialment l’escala indica una quantitat de l´ıquid de 28 ml. Despr´es d’afegir una certa quantitat de l´ıquid marca 36 ml. Calcula quina quantitat s’ha afegit, amb el seu error. Sol: 8 ± 3 ml.
5. Considera el seg¨ uent conjunt de dades (mm): 4.60, 3.25, 7.85, 6.50, 5.05, 4.85, 2.95, 8.90. Troba la mitjana i l’error accidental. De la manera com estan anotades, pots deduir quin ´es l’error de resoluci´o? En aquest cas, troba tamb´e l’error total. Sol: 5.5 ± 0.8 mm.
6. Segons unes mesures, el di`ametre d’un cilindre ´es 15.3 ± 0.2 mm i l’al¸cada 7.4 ± 0.3 mm. Troba el volum amb el seu error. Sol: 136 ± 7 101 mm.
7. Circulem a velocitat constant per una autopista i cada 30 km anotem el percentatge del dip`osit que est` a ple de benzina. Obtenim les seg¨ uents dades: km % 30 80 60 73 90 61 120 47 150 42 180 29 210 19 Quin percentatge del dip` osit estava ple quan vam entrar a l’autopista? En quin km ens quedarem sense benzina? Si el dip` osit ´es de 30 l, quin ´es el consum de l’autom` obil cada 100 km? Sol: 91.6%, 265 km, 10.4 l/100km.
11 ...