1.Cinemàtica_Relativista (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Electrodinàmica
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 9
Subido por

Vista previa del texto

.
Electrodin` amica - UB ———– Nota: aquest document no preten ser m´es del que ´es: unes notes explicatives del que representa cada f´ormula (les m´es rellevants) que apareix al llarg del curs; com aquestes es poden utilitzar en la ressoluci´ o de problemes, i quines s´on les variables que apareixen en les mateixes. Que quedi clar: no s´on apunts de teoria, aquesta la podeu consultar en qualsevol dels llibres citats a baix.
Bloc 1. Cinem` atica Relativista Les diferents mesures que efectuen diferents observadors associats a diferents SRI, es relacionen entre si a trav´es de les transformacions de Lorentz. Siguin dos SRI, S i S Õ , en moviment relatiu al llarg de l’eix x ˆ (configuraci´ o est` andard: boost al llarg de l’eix x ˆ), ˛v = (v, 0, 0) (ho indicarem: ˛v Õ S ≠≠æ S ), ctÕ = “ (ct ≠ —x) , xÕ = “(x ≠ vt), y Õ = y, z Õ = z, (0.1) essent “= 1 , 1 ≠ —2 —= v .
c Noteu: 0 Æ — Æ 1 i “ Ø 1. Pot resultar u ´til la seg¨ uent identitat: “— = implicacions f´ısiques de les transformacions de Lorentz: (0.2)  “ 2 ≠ 1. Propietats i 1. El temps no ´es absolut; cada observador mesura el seu temps. Les longituds transverses a la direcci´ o del moviment, no es veuen modificades.
2. En el l´ımit no relativista (v π c), tÕ ¥ t i xÕ = x ≠ vt, recuperem les transformacions de Galileu.
3. Dilataci´ o temporal.
tÕ = t/“ ( t Ø tÕ ).
t ´es l’interval de temps entre dos esdeveniments, que mesura un observador en rep`os a S, i tÕ ´es l’interval de temps que mesura un observador en rep` os a S Õ , el qual es mou a velocitat ˛v = (v, 0, 0) respecte d’S 4. Contracci´ o de Longituds: L = L0 /“ (L Æ L0 ). L ´es la longitud que mesura un observador en rep` os a S, i L0 ´es la longitud pr`opia que mesura un observador en rep`os a Õ S , el qual es mou a velocitat ˛v = (v, 0, 0) respecte d’S.
5. Invari` ancia de l’interval relativista. Les transformacions de Lorentz tenen la propietat de deixar invariant la quantitat: s2 = c2 ( t)2 ≠ ( x)2 ≠ ( y)2 ≠ ( z)2 = sÕ 2 = c2 ( tÕ )2 ≠ ( xÕ )2 ≠ ( y Õ )2 ≠ ( z Õ )2 , anomenada interval relativista.
Donada la forma de les transformacions de Lorentz, la simple addici´o de velocitats uÕ = u≠v, ´es substituida per: ux ≠ v uÕx = .
(0.3) 1 ≠ ux v/c2 1 .
Aix`o pel que fa a l’addici´ o de velocitats en la direcci´o del moviment. La resta components (les transverses), uy uz uÕy = , uÕz = .
(0.4) 2 “(1 ≠ ux v/c ) “(1 ≠ ux v/c2 ) En les f´ormules anteriors hi ha impl´ıcitament tres sistemes de refer`encia. La idea ´es la seg¨ uent: tenim S Õ que es mou a ˛v = (v, 0, 0) respecte d’un sistema S. Aleshores, considerem que en el ´ clar que aquesta part´ıcula sistema S hi ha una part´ıcula que es mou a ˛u = (ux , uy , uz ). Es defineix un nou sistema S ÕÕ , aquell en que la part´ıcula roman en rep`os. Ens preguntem quina ´es la velocitat a la que es mou la part´ıcula segons S Õ . La respota ve donada per (0.3) i (0.4). La corresponent composici´ o de “’s ´es “uÕ = “u “v 3 4 ˛u · ˛v 1≠ 2 .
c (0.5) Tamb´e es veuen modificades les f´ ormules de l’efecte doppler i de l’aberraci´o. Sigui la confi˛v Õ guraci´o t´ıpica S ≠≠æ S , si ⁄E ´es la longitud d’ona que emet S Õ , quina ´es la longitud d’ona ⁄R que mesura S? Es pot veure que ˛ E, ⁄R = “(1 ≠ n ˆ · —)⁄ (0.6) on n ˆ ´es la direcci´ o de propagaci´ o del feix de llum. E.g., si ˛v = (v, 0, 0) i S Õ emet cap “endarrera”, n ˆ = (≠1, 0, 0), S mesura una longitud d’ona major que l’emesa: ⁄R = “(1 + —)⁄E (redshift).
Altrament, podem escriure (0.6) com ⁄R = “(1 ≠ — cos –)⁄E , essent – l’angle entre la direcci´ o ˛ de propagaci´ o de la llum i —. Ara, suposem que al sistema S arriba un raig que forma un angle – amb el pla horizontal. Amb quin angle –Õ arribar`a el mateix raig a un sistema S Õ que es mou a velocitat v (en m` odul) respecte d’S? Aquest angle ve donat per la f´ormula de l’aberraci´o, sin –Õ = sin – , “(1 + — cos –) cos –Õ = cos – + — .
1 + — cos – (0.7) La teoria de la relativitat especial, com a teoria de l’espai-temps (pla) que ´es, admet una formulaci´o en termes geom`etrics. Hom defineix el 4-vector posici´o com xµ = (ct, x, y, z), de manera que ´es possible escriure l’interval relativista com (per esdeveniments separats infinitesimalment): ds2 = c2 dt2 ≠ dx2 ≠ dy 2 ≠ dz 2 = ÷µ‹ dxµ dx‹ .
(0.8) ÷µ‹ = ÷ µ‹ = diag(+1, ≠1, ≠1, ≠1) ´es la m`etrica de Minkowski. En general, l’interval ds2 pot ser major, menor o igual que zero (interval tipus temps, espai o llum, respectivament). Aquells esdeveniments que estan separats per un interval tipus temps estan connectats causalment; en el cas que estiguin separats per un interval tipus llum, sols estan connectats causalment mitjan¸cant un raig de llum, i per u ´ltim, si estan separats per un interval tipus espai, diem que ´ possible escriure les transformacions de Lorentz de forma estan desconnectats causalment. Es Õ Õ Õ compacte mitjan¸cant la notaci´ o tensorial. Aleshores, xµ = µ‹ x‹ , on µ‹ ´es la matriu de 2 .
Lorentz, que en configuraci´ o est` andard pren la seg¨ uent forma: µÕ ‹ Q R “ ≠—“ 0 0 c d c≠—“ “ 0 0d c d =c d.
c 0 d 0 1 0 a b 0 0 0 1 (0.9) ˛ ), com aquells que transformen linealment a trav´es Definim els vectors de Lorentz, V µ = (V 0 , V Õ Õ d’una matriu de Lorentz, V µ = µ‹ V ‹ , (el 4-vector posici´o ´es un bon vector de Lorentz). A trav´es de la m`etrica de Minkowski, a un vector de Lorentz el hi podem associar les corresponents ˛ ). Dit aix`o, definim el producte components duals (amb l’´ındex a baix): Vµ = ÷µ‹ V ‹ = (V 0 , ≠V µ µ escalar de dos 4-vectors amb components A i B com: ˛ · B.
˛ A · B = Aµ Bµ = Aµ B µ = ÷µ‹ Aµ B ‹ = A0 B 0 ≠ A (0.10) ´ a dir, el producte escalar de dos vectors de Lorentz, no ´es m´es que el producte de les Es components temporals menys el producte de les components d’espai. Demanant que l’interval relativista romangui invariant sota una transformaci´o de Lorentz, ´es f`acil demostrar que la m`etrica de Minkowski satisf` a: ÷µÕ ‹ Õ = µµÕ ‹‹ Õ ÷µ‹ (i de fet, aix`o ´es el que defineix el grup de Lorentz: aquell conjunt de transformacions que deixen invariant la m`etrica de Minkowski), i.e., la m`etrica de Minkowski ´es un bon tensor de Lorentz.1 Aquesta u ´ltima condici´o que satisf` a la m`etrica de Minkowski, t´e una conseq¨ u`encia immediata: el producte escalar ´es un invariant Õ Õ (Lorentz), A · B = A · B. El concepte de norma ens permet classificar els vectors de Lorentz.
Definim la norma al quadrat d’un vector com el producte escalar d’aquest per ell mateix: A·A = ÷µ‹ Aµ A‹ , i en funci´ o del seu signe, tenim: vector tipus espai A · A < 0, tipus temps A · A > 0, o tipus llum A · A = 0.
Buscam un 4-vector que faci el paper de velocitat en l’espai-temps de Minkowski. Definim la 4-velocitat com: 3 4 dxµ dt d˛x dt Uµ = = c , = “(v)(c, ˛v ).
(0.11) d· d· dt d· La 4-velocitat ´es un vector de Lorentz, donat que xµ ho ´es i d· ´es un escalar de Lorentz. Sigui S Õ el sistema en que la part´ıcula est` a en rep`os, el temps que es mesura en aquest sistema ´es · , el temps propi (dt = “d· ). Diferents observadors, faran mesures de temps diferents, per` o Õ tots vindran d’acord amb que el temps propi d’S ´es · . Com ja he dit, el producte escalar ´es invariant, de manera que per calcular la norma al quadrat de la 4-velocitat, ho podem fer en el sistema de refer`encia que ens sigui m´es f`acil, en particular, en aquell en que la tri-velocitat ´es zero: ˛v = ˛0 =∆ U µ = (c, ˛0). Se segueix que U µ Uµ = c2 > 0. La 4-velocitat d’una part´ıcula massiva sempre ´es tipus temps.
˛ · —) ˛˙ Seguint la mateixa l` ogica, definim la 4-acceleraci´o com (pot resultar u ´til: “˙ = “ 3 — Aµ = 1 3 4 dU µ ˛v · ˛a 4 ˛v · ˛a = . . . = “4 , “ 2 ˛v + “ 2˛a .
d· c c (0.12) Els objectes amb n ´ındexs a dalt i m ´ındexs a baix, que transformen linealment mitjan¸cant un producte de µÕ ...‹ Õ — µ...‹ µÕ ‹Õ – n + m matrius de Lorentz, els anomenem tensors de Lorentz: T – Õ ...— Õ = µ··· ‹ –Õ · · · — Õ T –...— .
3 .
En aquest cas, la 4-acceleraci´ o ´es un vector tipus espai. Si calculem la seva norma al quadrat B - · ˛a -2 4 2 A Aµ = ≠ “ + “ |˛a| , c µ A v 6 -˛ (0.13) veiem que aquesta ´es menor que zero. El que sigui tipus espai no ens ha de sorprende, ja que U µ Uµ = c2 =∆ d(U µ U µ )/d· = 2Aµ Uµ = 0 ≈∆ U µ i Aµ s´on ortogonals entre si.
4 ...