Derivades (2014)

Resumen Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 1º curso
Asignatura Càlcul I
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 08/11/2014
Descargas 2
Subido por

Descripción

Apunts aconseguits a traves d'un dropbox de domini públic.

Vista previa del texto

                1. Derivabilitat d’una funció.    4.1 Definició de derivada. Derivades bàsiques.  El pendent d’una recta es pot calcular amb el quocient següent:    Si fem que Ax tendeixi a zero podrem calcular el pendent de la recta  tangent en el punt. És a dir, la derivada en el punt.                D’aquesta manera podem definir la derivada d’una funció en un punt com:    Anomenarem derivada de f en x0 al límit següent, sempre que aquest existeixi.:  f '(x0 ) = lím h →0 f (x0 + h) − f (x0 ) =L  h   Per tots els valors de ‘x0’ on existeixi el límit definirem f’ com la funció derivada      A partir de la definició de derivada podem construir les rectes tangents i normals a un punt:    RECTA TANGENT: (pendent m=f’(c))  Definim l’equació d’una recta tangent a una funció en un punt (c,f(c)) com:   y − f (c) = f '(c)∙( x − c )     RECTA NORMAL: (pendent m=‐1/f’(c))  Definim l’equació d’una recta normal a una funció en un punt (c,f(c)) com:   y − f (c) = − 1 ∙( x − c )   f '(c)     Les regles bàsiques per calcular derivades són:    d [ f (x) + g(x)] = f '(x) + g '(x) dx   d 2) Derivada d’un producte:  [ f (x)∙g( x)] = f '(x)∙g( x) + f (x)∙g '( x)   dx d ⎡ f (x) ⎤ f '(x)∙g(x) − f (x)∙g '(x) = 3) Derivada d’un quocient:    2 dx ⎢⎣ g(x) ⎥⎦ [g(x)] 1) Derivada d’una suma:  4) Derivades trigonomètriques:  d [sin(x)] = cos(x) dx     d [sec(x)] = sec(x)∙tan(x) dx   d d [cos(x)] = − sin(x) [ tan(x)] = sec2 (x)   dx dx    d d [csc(x)] = − csc(x)∙cot(x) [cot(x)] = − csc2 (x)   dx   dx C/ González Tablas, 7 ‐  93.204.62.56  ‐  www.asesacademia.com                                  pàg 1    5) Derivada d’una composició: (REGLA DE LA CADENA)  Siguin f(x) una funció derivable en ‘g(x)’ i g(x) derivable en ‘x’, aleshores direm que:  (f g(x) )  ÉS DERIVABLE i  ( f g(x) ) ' =   d ⎡ f ( g(x) ) ⎤⎦ = f ' ( g(x) )∙g '(x) dx ⎣   6) Derivació logrítmica: Serveix per derivar funcions del tipus:  y = f (x)g ( x )     1. Apliquem logaritmes a les dues bandes:                      log(y) = log(f(x) g(x ) ) = g(x) ⋅ log(f(x))    y' f' (x)    2. Derivem a les dues bandes i queda:                                      = g' (x) ⋅ log(f(x)) + g(x) ⋅ y f(x) ⎡ g( x ) 3. Aïllem “ y’ “, substituim la “y”:                 y ' = f (x) ⋅ ⎢g '(x) ⋅ log ( f (x)) + g(x) ⋅ ⎣ f '(x) ⎤   f (x) ⎥⎦     2. Derivada de la funció. Derivació implícita.    • Derivada de la funció inversa.  Per trobar la derivada de la funció inversa f‐1(y) en un punt y=c seguirem els següents passos:  1) Buscar el valor de ‘x’ que és antiimatge de ‘c’ fent: f(x)=c => x=f‐1(c)  2) Calcular la derivada de f(x) en l’antiimatge de ‘c’: f’(f‐1(c))   3) La derivada de f‐1(y) serà la inversa de f’(f‐1(c)):  (f −1 (c)) = 1 .  f ' ( f −1 (c))   • Derivació implícita.  L’expressió on tenim aïllada la y(x) en diem expressió explícita (p.ex:  y(x)=3x2‐5). Si en canvi tenim la  funció y(x) barrejada amb la ‘x’ direm que és una expressió implícita (p.ex: xy=1).    Per trobar la primera derivada de la funció implícita farem:  1) Derivar als dos costats de l’equació respecte de ‘x’.  2) Agrupar a un costat tots els termes que depenguin de ‘dy/dx’ i la resta a l’altre costat.  3) Treure factor comú i aïllar ’dy/dx’.  4) Si ens demanen la derivada en un punt (a,b) substituim: ‘x=a’ i ‘y=b’ en l’expressió ‘dy/dx’.    Per trobar la segona derivada de la funció implícita farem:  1) Trobar la primera derivada (passos del 1 al 4)  2) En l’expressó de la 1ª derivada (pas3) tornar a derivar a tots dos costats. Regla de la cadena.  3)  Si ens demanen la 2ª derivada en un punt (a,b) substituim: ‘x=a’ i ‘y=b’ i ‘dy/dx’ pel valor  trobat en el pas4 de la 1ª derivada.      • La diferencial:  f ( x + Δx ) − f ( x )   Δx Δf Si definim:  Δf = f (x + Δx) − f (x)     aleshores ens queda l’expressió:                   f '( x) = lím Δx → 0 Δx   Hem vist anteriorment que si f és derivable en x podem dir que:           f '(x) = lím Δx → 0     D’on aïllarem l’expressió que definim com a diferencial:    df (x , Δx) = f '(x)∙Δx   C/ González Tablas, 7 ‐  93.204.62.56  ‐  www.asesacademia.com                                  pàg 2  3. Creixement/Decreixement. Extrems relatius i absoluts.    Hi ha 3 tipus de candidats a EXTREMS RELATIUS:    1) Punts de derivada 0: En els punts de derivada 0 mirarem:  Si  f ' ( x 0 ) = f ' ' ( x 0 ) = f ' ' ' ( x 0 ) = ... = f n −1 ( x 0 ) = 0  aleshores    ⎧ ⎧⎪ f n (x0 ) > 0 → f té unmínim en x 0 ⎪si n és parell ⎨ n si  f n (x0 ) ≠ 0 ⎨ ⎪⎩ f (x0 ) < 0 → f té unMàxim en x 0   ⎪ ⎩si n és senar → f té unpunt d'inflexió en x 0   2) Punts on f(x) no és derivable: En els punts no derivables mirem:  1. El valor dels límits laterals i el valor de la funció en el punt.  2. El creixement / decreixement a la dreta i esquerra del punt.  3. Normalment  quan  la  funció  canvia  el  seu  comportament  (creix  i  decreix)  aleshores  és  extrem relatiu (màx o mín). Cal avaluar la situació.    • Si  f(x)  NO és contínua (discontinuïtat de salt):              x0   Màxim relatiu en x 0   x0 x0 mínim relatiu en x0 Ni Màxim ni mínim en x0     • Si  f(x) NO és derivable (punt angulós):                x0 x0 Màxim relatiu en x0 mínim relatiu en x0     3) Punts frontera del domini de f(x): En els punts frontera del domini mirem:  1. Valor de la funció en el punt frontera.  2. Creixement  / Decreixement al voltant del punt. (només al costat que pertany al domini).  3. Avaluar el comportament per identificar si és Màx o mín segons els casos:                x0 Màxim relatiu en x0  x0 Màxim relatiu en x0 x0 x0 mínim relatiu en x0 mínim relatiu en x0     Per  calcular  els  EXTREMS  ABSOLUTS  només  cal  avaluar  la  funció  en  tots  els  extrems  relatius  i  escollir el valor més gran (màxim) i el més petit (mínim).    C/ González Tablas, 7 ‐  93.204.62.56  ‐  www.asesacademia.com                                  pàg 3  4. Teoremes del Continuïtat i derivabilitat    4.1 Teorema de Rolle:      Si f és contínua en [a,b] i derivable en (a,b) i f(a)=f(b) aleshores:    EXISTEIX c ∈ (a, b)  tal que  f '(c) = 0       És  a  dir  que  una  funció  contínua  amb  dos  punts  a  i  b  de  imatges iguals té com a mínim un punt pla entre ells (f’(c)=0).      f(a)=f(b) a    c  b    Observació:   1) Si tenim f(x) amb n arrels, la seva derivada f’(x) s’anul∙la com a mínim n ‐1 vegades.  2) Si la derivada f’(x) s’anul∙la n vegades, f(x) ho fa com a a màxim n+1 vegades.      Aplicació:  A partir del Tª de Rolle podem demostrar que una funció és injectiva.  Si  f' (x) ≠ 0 ∀x ∈R  segur que  f(a) ≠ f(b) ∀a, b ∈R  perquè si no no es compliria el Tª de Rolle.      4.2 Teorema de Lagrange (increment finit).      Si f és contínua en [a,b] i derivable en (a,b) aleshores  EXISTEIX c ∈ (a, b)  tal que  f ' (c ) = f ( b ) − f (a )   b−a       Si la funció és contínua i derivable en un interval (a,b) segur que  existeix  un  punt  intermig  que  tingui  per  derivada  la  derivada  mitjana de l’interval.    f(b) f(b)‐f(a) f(a) b ‐ a    a   Aplicació:  • Desigualtats: Normalment ens donaran una desigualtat de l’estil    f ' (b) < c  b  f (b) − f (a) < f ' (a)  i  b−a haurem  de  reconèixer  l’estructura  central  per  poder  substituir–la  per  f’(c).  Sabent  que  c ∈ (a, b)  la demostració que ens quedarà és:   f ' (b) < f ' (c ) < f ' (a)                       C/ González Tablas, 7 ‐  93.204.62.56  ‐  www.asesacademia.com                                  pàg 4    5. Polinomi de Taylor.   El  Polinomi  de  Taylor  és  una  aproximació  polinòmica  d’una  funció  a  l’entorn  d’un  punt.  La  principal  utilitat  és  treballar  amb  polinomis  enlloc  de  fer‐ho  amb  funcions  trigonomètriques,  logarítmiques  o  exponencials.  Com  tota  aproximació,  però,  el  PT  té  una  desviació  que  anomenem Residu.  f ( x ) = PT ( f ( x ), a, n ) + Rn +1 ( x )       Polinomi de Taylor en R:  2 (n) n f k (a) (x − a)k = f(a) + f' (a)(x − a) + f' ' (a)(x − a) + ... + f (a)(x − a) 2! n! k = 0 k!   n PT(f(x), a, n) = ∑     Propietats:  PT(λf(x) + μg(x), a, n) = λPT(f(x), a, n) + μPT(g(x), a, n)   PT(f' (x), a, n − 1) = PT' (f(x), a, n)   PT(f (g(x)), a, n) = PT(f(x), a, n) PT(g(x), a, n)  truncant fins a (x‐a)n    POLINOMIS DE TAYLOR BÀSICS:  Normalment calcularem tots els Polinomis a partir d’uns que anomenarem bàsics.  • PT (sin( x ),0, n ) = x − n ( −1)K x 2 k +1 x3 x5 x7 + − + ... = ∑   3! 5! 7! k = 0 (2k + 1)! • PT (cos( x ),0, n ) = 1 − n ( −1)K x 2 k x2 x4 x6 + − + ... = ∑   2! 4! 6! (2k )! k =0 • PT(tg(x),0,7) = x + • x 3 2x 5 17x 7 + +   3 15 315 n x2 x3 x4 xk PT(e x ,0, n) = 1 + x + + + + ... = ∑   2! 3! 4! k = 0 k! n x2 x3 x 4 x k +1 + − ... = ∑ (−1)k  = (∫(1+x)‐1dx)  k +1 2 3 4 k =0 • PT ( ln(1 + x ),0, n ) = x − • n ⎛ 1 ⎞ ,0, n ⎟ = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 ... = ∑ (−1)k x k = (ln(1+x))’  PT ⎜ k =0 ⎝ 1+ x ⎠   Per calcular el PT d’expressions de l’estil  (a + b)n  ho farem a partir del Binomi de Newton:  k termes ⎛r ⎞ (a + b)r = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟a r −k b k k =0 ⎝ k ⎠ n on ⎛r ⎞ r! r(r − 1)(r − 2)...(r − (k − 1)) ⎜⎜ ⎟⎟ =   = k k! ⎝ ⎠ k! (r − k)!     5.1 Error en el Polinomi de Taylor. Residu de Lagrange.  Depenent  de  com  volguem  tractar  l’aproximació  treballarem  amb  l’error  com  un  infinitèssim  si  no  volem exactitut  o si volem precissar l’acotarem segons el Residu de Lagrange.    RESIDU DE LAGRANGE. ERROR AMB PRECISIÓ. El residu i en conseqüent l’error serà:  Per 1 var:  Rn +1( x ) = f ( n +1) (c )( x − a )n +1  amb c valor que fa max la fn+1(x)  (n + 1)!       C/ González Tablas, 7 ‐  93.204.62.56  ‐  www.asesacademia.com                                  pàg 5    5.2 CÀLCUL DE LÍMITS    Fins ara teníem varies tècniques per calcular límits de funcions. Quan se’ns plantejava una  indeterminació, utilitzàvem Hôpital, infinitèssims, criteri de Logaritme… A partir d’ara totes les  indeterminacions les resoldrem amb el PT.    Farem:    1) Calcular tots els PT de les funcions fins al grau que marqui la indeterminació. Aquest grau  será el del 1r terme diferent de zero del denominador.  2) Substituir les funcions per els seus PT amb l’error. Només cal marcar el residu (Rn(x)).  3) Simplificar tots els termes possibles i calcular el límit com un quocient de polinomis.      5.3 DERIVADA n‐ÈSSIMA    És molt típic en el test o com a apartat d’un problema que ens demanin una o varies derivades de la  funció en el punt on fem el PT. Per calcular aquestes derivades ho farem a patir de la definició del PT.    • Per funcions de 1 variable seguirem el següent mètode:    1) Calcular el Taylor.  2) Igualar el terme buscat amb la definició fent:  αx n = Dn f (0) ⋅ x n   n! 3) Aïllar la derivada buscada.      C/ González Tablas, 7 ‐  93.204.62.56  ‐  www.asesacademia.com                                  pàg 6  ...