SFE_Proposat3 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

n Proposat: Equaci´ o de Liouville. Utilitzant el teorema de Liouville, dedu¨ıu l’equaci´o de Liouville: 3 3N ˆDN ÿ ˆDN ˆH ˆDN ˆH + ≠ ˆt ˆqi ˆpi ˆpi ˆqi i=1 4 = 0 ≈∆ ˆDN + {DN , H} = 0, ˆt essent { · , · } el par`entesi de Poisson.
Soluci´ o: Considerem un sistema f´ısic constitu¨ıt per N part´ıcules. Aquest sistema, vindr`a descrit per 6N punts de l’espai f` asic : (˛q1 , . . . , ˛qN , p˛1 , . . . , p˛N ), on cada vector ˛qi , p˛i t´e 3 components. En el cas que el sistema no es trobi en equilibri, existir`a una funci´o densitat4 DN = DN (˛q1 , . . . , ˛qN , p˛1 , . . . , p˛N , t) de 6N + 1 variables, que ens donar`a la probabilitat de que un punt representatiu de l’espai f`asic estigui ocupat. El que volem fer en aquest problema, ´es dedu¨ır l’equaci´o que governa la funci´o DN (˛qi , p˛i , t), i = 1, 2, . . . , N .
El teorema de Liouville, a grans trets, ens diu que existeix un invariant en l’evoluci´o del sistema: el volum f` asic. A mesura que passa el temps, cadascun dels punts que inicialment es trobaven en una configuraci´o donada, aniran evolucionant, per`o el volum f`asic associat als punts d’un instant, t, i el volum f`asic associat als punts d’un instant posterior, t + dt, esdev´e el mateix: d (t) = d (t + dt) ≈∆ N Ÿ d3 qi (t)d3 pi (t) = i=1 N Ÿ d3 qi (t + dt)d3 pi (t + dt).
(0.204) i=1 En virtut de que el nombre total de punts no canvia: dN (t) = dN (t + dt), es conclou que DN (˛qi (t), p˛i (t), t) = DN (˛qi (t + dt), p˛i (t + dt), t + dt), i = 1, 2, . . . , N (la funci´ o densitat tampoc canvia amb el temps). Fent un desenvolupament de Taylor a 1r ordre, se segueix DN (˛qi (t + dt), p˛i (t + dt), t + dt) ¥ DN (˛qi (t), p˛i (t + dt), t + dt) + ¥ DN (˛qi (t), p˛i (t), t + dt) + ¥ DN (˛qi (t), p˛i (t), t) + 3N ÿ ˆDN dqj j=1 ˆqj dt 3N 3 ÿ ˆDN dqj j=1 ˆqj dt + A 3N ÿ ˆDN dqj j=1 ˆqj dt 4 ˆDN dpj dt ˆpj dt ˆDN dpj + dt ˆpj dt B dt + (0.205) Per`o donat que DN (˛qi (t), p˛i (t), t) = DN (˛qi (t + dt), p˛i (t + dt), t + dt), i = 1, 2, . . . , N , es t´e 3N ( ( ÿ (( (( ((t), ((t), ( ( ( ( D (˛ q (t), p ˛ t) = D (˛ q (t), p ˛ t) + i i N (i N (i (( (( j=1 4 A ˆDN dqj ˆDN dpj + ˆqj dt ˆpj dt B dt + ˆDN dt, ˆt (0.206) A difer`encia de la funci´ o densitat d’un sistema en equilibri, ara la funci´ o densitat dep`en de manera expl´ıcita del temps.
41 ˆDN dt.
ˆt ´es a dir, Q a 3N ÿ j=1 A ˆDN dqj ˆDN dpj + ˆqj dt ˆpj dt B R ˆDN b + dt = 0.
ˆt (0.207) j = 1, 2, . . . , 3N, (0.209) Volem que l’equaci´ o anterior sigui certa per a qualsevol instant de temps, en conseq¨ u`encia A B 3N ÿ ˆDN dqj ˆDN dpj ˆDN + + = 0.
(0.208) ˆqj dt ˆpj dt ˆt j=1 Utilitzant les equacions de Hamilton, dqj ˆH = , dt ˆpj dpj ˆH =≠ , dt ˆqj arribam al resultat que vol´ıem demostrar: A 3N ˆDN ÿ ˆDN ˆH ˆDN ˆH + ≠ ˆt ˆq ˆp ˆpj ˆqj j j j=1 amb { · , H} = 3N ÿ j=1 A B = 0 ≈∆ ˆ · ˆH ˆ · ˆH ≠ ˆqj ˆpj ˆpj ˆqj 42 B ˆDN + {DN , H} = 0 ˆt (par`entesi de Poisson).
(0.210) (0.211) ...