Coleccion de Problemas (2013)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Circuits Lineales
Año del apunte 2013
Páginas 24
Fecha de subida 17/09/2014
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

Tema 1 Introducció Objectius: ➢ Saber analitzar i dissenyar circuits senzills que incorporin potenciòmetres.
➢ Aprendre a validar resultats obtinguts de l’anàlisi simbòlic.
Problema 1.1 (15 min.) Una de les aplicacions més interessants del potenciòmetre és la de poder disposar de resistors de valor ajustable, de gran utilitat en el disseny de circuits.
a) Per a cadascun del bipols de la figura 1.1, determineu l’interval de valors que pren la resistència vista des dels seus terminals en fer variar la posició del cursor. Calculeu el valor d’aquesta resistència quan el cursor del potènciòmetre es troba exactament a la meitat del seu recorregut.
b) Modifiqueu ara els bipols a) i b) de manera que s’eviti la formació d’un curtcircuit entre els seus terminals essent el valor mínim de la resistència de 100 Ω. Determineu el marge de valors de la resistència vista des dels seus terminals després de la modificació.
1k 1k a) 1k b) Fig. 1.1 Solució: a) La taula següent mostra els resultats demanats: Circuit a) Interval de resistència: Resistència amb α=0,5: 0 → 1 kΩ 500 Ω Circuit b) 1 kΩ 0 → 500 Ω 500 Ω = 333,33 Ω b) Per aconseguir el que es demana es pot col.locar un resistor de 100 Ω en sèrie amb un dels terminals d’entrada. Si es fa així, els marges de variació de la resistència dels bipols són: 3 TEMA 1. INTRODUCCIÓ Circuit a) Circuit b) 100 → 1.100 Ω 100 → 600 Ω ✻ Problema 1.2 (20 min.) Una altra aplicació fonamental del potenciòmetre és la d’obtenir tensions de valor ajustable. En aquest problema es parteix de dues fonts de tensió de 9 V per aconseguir, movent el cursor d’un potenciòmetre, una tensió positiva, negativa o nul.la.
Concretament, pels circuits de la figura 1.2 es demana: a) Per simple inspecció, determineu el marge de valors de la tensió vo que es pot aconseguir i el valor de vo amb el cursor a la meitat del seu recorregut.
b) Aplicant superposició, obteniu l’expressió de vo en funció del paràmetre α que descriu la posició del cursor. Verifiqueu els resultats obtinguts en l’apartat anterior assignant a α els valors 0, 1/2 i 1.
c) Comenteu els avantatges i desavantatges del circuit b) respecte del a).
d) Dibuixeu un esquema del circuit que permeti el seu muntatge utilitzant dues piles de 9 V.
e) Utilitzant un potenciòmetre de 10 k, assigneu nous valors als elements del circuit b) per tal que vo sigui ajustable entre +7,5 V i –7,5 V.
+9V 10k +9V 10k 10k Vo -9V Vo 10k -9V Fig. 1.2: Obtenció de tensions ajustables Problema 1.3 (10 min.) Tan interessant com obtenir resultats és validar-los. Es tracta que, pel circuit de la figura 1.3, trieu quin dels següents resultats podria ser correcte.
a) vo = (β + 1)Ro vs R1 + (β + 1)Ro b) vo = (β + 2)Ro vs R1 + (β + 1)Ro Es suggereix aplicar una anàlisi dimensional i, després, assignar valors particulars a β (β = 0 i β = −1) verificant per cadascun d’ells la coherència dels resultats que s’obtenen a partir de les expressions analítiques i del circuit. Comenteu la raó per la qual els valors de β suggerits són molt adequats.
4 TEMA 1. INTRODUCCIÓ ib R1 vs + − β ib vo R0 Fig. 1.3 Solució: ➢ Dimensionalment les dues expressions són correctes perquè a banda i banda de la igualtat les unitats són de Volt, atès que les fraccions són adimensionals (Ω/Ω) en tots els casos.
➢ Assignant diferents valors a β obtenim els següents resultats: a) β=0 β = −1 vo = b) Ro vs R1 + Ro vo = 0 2Ro vs R1 + Ro Ro vs vo = R1 + Ro vo = Els valors escollits de β són molt adequats per validar les expressions de l’enunciat. Per exemple, per β = 0 la font de corrent equival a un circuit obert, i per tant el circuit de la figura 1.3 esdevé un simple divisor de tensió, cosa que ens permet deduir fàcilment que l’expressió a) és correcta i la b) és errònia. De forma similar, per β = −1 la font de corrent força el pas d’un corrent de valor ib des del node de sortida a massa. Com que aquest corrent és justament el mateix que travessa el resistor R1 d’esquerra a dreta, es dedueix que no queda corrent que pugui travessar R0 i per tant la tensió de sortida vo ha de ser zero.
✻ 5 Tema 2 Amplificador Operacional Objectius: ➢ Saber analitzar i dissenyar circuits senzills que incorporin amplificadors operacionals.
Problema 2.1 (10 min.) Com s’ha estudiat, un circuit està format per la interconnexió d’una sèrie d’elements de circuit, que són models matemàtics intangibles de determinats fenomens físics. En canvi, quan volem procedir al muntatge d’aquest circuit al laboratori hem de recórrer a uns components que adquirim en empreses especialitzades. Els fabricants d’aquests components intenten que el seu comportament s’aproximi al descrit pel model matemàtic corresponent, però òbviament es produeixen desviacions que són precisament les que fan que el comportament real del prototipus muntat difereixi més o menys de les prediccions fetes a partir dels elements.
Tanmateix, no tots els elements de circuit tenen associat un component que puguem adquirir.
Aquest és el cas de la font controlada present al circuit de la figura 2.1. Si volem arribar a muntar un prototipus d’aquest circuit cal substituir prèviament la font controlada per un circuit equivalent format únicament per elements de circuit que tinguin associat un component real.
A tal efecte es demana que substiuïu la font controlada del circuit de la figura 2.1 per un circuit equivalent que incorpori amplificadors operacionals. Resoleu el problema per als casos k = 3, k = 1 i k = −3.
C C C vo(t) R R + v(t) R Kv(t) - Fig. 2.1 Solució: Una font de tensió controlada per tensió es pot implementar amb un amplificador basat en AO, de tipus inversor o no inversor en funció del signe del paràmetre k. Cal, però, tenir en compte que l’amplificador no inversor té una resistència d’entrada infinita, mentre que l’amplificador inversor no. Aquest fet s’ha de tenir en compte a l’hora de dissenyar per tal d’evitar o minimitzar els efectes de càrrega.
✻ 6 TEMA 2. AMPLIFICADOR OPERACIONAL C C C C + + R R C + + vo(t) − R C − v(t) R R R 2Rx - (a) Implementació per k = 3 C R v(t) - Rx C vo(t) (b) Implementació per k = 1 C R 3R R + − v(t) + vo(t) (c) Implementació per k = −3 Fig. 2.2: Circuits solució al problema 2.1 Problema 2.2 (15 min.) Per al circuit de la figura 2.3, expresseu l’amplificació, definida com la relació entre les tensions vo (t) i vi (t), en funció dels paràmetres del circuit.
R1 R5 R4 R3 +Vcc − vi(t) + − vo(t) R2 + -Vcc Fig. 2.3 Solució: vo (t) = − R2 R4 R5 · vg (t) R1 R3 R5 + R2 R3 R5 + R1 R2 R5 + R1 R2 R3 + R1 R2 R4 ✻ Problema 2.3 (20 min.) Donat el circuit de la figura 2.4, expresseu vo (t) en funció de vg1 (t) i vg2 (t).
7 TEMA 2. AMPLIFICADOR OPERACIONAL Rg2 vg2(t) + +Vcc vo2(t) − + − R R2 -Vcc A +Vcc R − R1 B +Vcc Rg1 -Vcc R R R2 − vo(t) + vo1(t) + -Vcc vg1(t) + − Fig. 2.4 Solució: vo (t) = 1+ 2R2 R1 · (vg1 − vg2 ) ✻ Problema 2.4 (30 min.) Dissenyeu dos circuits amb amplificadors operacionals, que realitzin les funcions definides en els blocs representats a la figura 2.5. Per fer-ho, tingueu en compte que es disposa de resistències de valor estandarditzat i de 2 fonts de +15 V i -15 V que són a més les encarregades d’alimentar simètricament els AO’s.
V1 V1 3V1+4V2 V2 a) 3V1+5 b) Fig. 2.5 8 Tema 3 Estudi de la resposta temporal de circuits dinàmics lineals Objectius: ➢ Analitzar circuits dinàmics lineals mitjançant el circuit transformat de Laplace.
➢ Determinar la funció de xarxa.
➢ Distingir i classificar els components de la resposta temporal d’un circuit ➢ Determinar l’estabilitat de circuits de primer i segon ordre.
➢ Determinar la durada del règim transitori de circuits estables.
➢ Simular la resposta temporal de circuits.
Problema 3.1 (25 min.) Sabent que els valors dels components del circuit de la figura 3.1 són R1 =3,3 kΩ, R2 =1,1 kΩ, C=1,8 µF i vg (t) = 5 cos(505,05t) · u(t), determineu la tensió al condensador, vo (t).
R1 vo(t) vg(t) + − R2 C Fig. 3.1 Solució: vo (t) = −0,8 · e−673,4t u(t) + cos(505,05t − 0,6435)u(t) ✻ Problema 3.2 (25 min.) Pel circuit de la figura 3.2 es demana: a) Suposant que el circuit té unes C.I.=0 i tenint en compte que R=47 Ω, C=100 nF, L=1 mH i vg (t) = 10u(t), calculeu el corrent i0 (t) per t ≥ 0.
9 TEMA 3. ESTUDI DE LA RESPOSTA TEMPORAL DE CIRCUITS DINÀMICS LINEALS b) Repetiu l’apartat anterior prenent ara R=200 Ω c) Comproveu que el resultat en l’instant t = 0+ és coherent amb el comportament dels elements dinàmics presents al circuit.
R io(t) vg(t) + − R C L Fig. 3.2 Solució: a) Per R=47 Ω: Io (s) = 2.128 · 109 ⇒ s3 + 4.255 · 105 s2 + 1010 s 5 4 io (t) = [0,21276 + 0,01414 · e−4·10 t − 0,2269 · e−2,5·10 t ] · u(t) b) Per R=200 Ω: Io (s) = 5 · 108 ⇒ s3 + 105 s2 + 1010 s 4 io (t) = [0,05 + 0,057735 · e−5·10 t cos(8,6603 · 104 t + 2,618)] · u(t) c) En t = 0+ , i suposant -atès que no ens indiquen res al respecte- que les condicions inicials són zero, l’inductor es comporta com una font de corrent de valor zero, és a dir, com un circuit obert. Per tant, el valor inicial del corrent a l’inductor serà sempre zero, cosa que concorda amb el valor en t = 0+ de les dues funcions obtingudes en els apartats anteriors.
✻ Problema 3.3 (40 min.) Pel circuit de la figura 3.3: a) Discutiu l’estabilitat del circuit.
b) Determineu la seva funció de xarxa H(s) = Vo (s)/Vg (s).
c) Trobeu la resposta del circuit en règim permanent quan l’excitació és vg (t) = u(t), c.1) a partir de H(s).
c.2) raonant sobre el circuit.
d) Per a R=1 kΩ, L=10 mH i C=10 nF, calcular el coeficient d’esmorteïment i la freqüència natural de ressonància.
e) Amb els valors relacionats a l’apartat anterior, obteniu la forma de la resposta al graó unitari (lliure i forçada).
f) Quin és el valor de la tensió de sortida a l’instant inicial (t=0)? g) Trobeu vo (t) simulant el circuit amb GnuCap i verifiqueu la bondat del resultat comparant-lo amb les previsions fetes als apartats anteriors.
10 TEMA 3. ESTUDI DE LA RESPOSTA TEMPORAL DE CIRCUITS DINÀMICS LINEALS R vo(t) vg(t) + − L C Fig. 3.3 Solució: a) El circuit és sempre estable perquè, fonts independents a banda, tots els elements són passius (no hi ha fonts controlades).
b) H(s) = s2 + 1 RC s 1 1 RC s + LC c) c.1) Per una excitació graó d’amplitud 1 es té que: vo (∞) = H(0) · 1 = 0 c.2) Quan l’excitacio és constant, en règim permanent els inductors es comporten com curtcircuits. Com que tenim un inductor connectat en paral.lel amb la sortida, la tensió de sortida valdrà zero en règim permanent.
d) ζ = 0,5 ωo = 105 e) La resposta forçada és constant, com l’excitació (mateixos pols).
El circuit és de segon ordre amb ζ < 1, per tant la resposta lliure és de segon ordre subesmorteïda, del tipus A · e−ζωo t cos(ωo 1 − ζ 2 t + θ) f) vo (0) = 0 g) El fitxer de simulació és: ’Simulació del problema 3.3 Vg 1 0 DC 1 R1 1 2 1k L1 2 0 10mH IC=0 C1 2 0 10nF IC=0 .PRINT TRAN V(2) .TRAN 0 200u 200n UIC .END En simular es pot observar que els valors inicial i final de la tensió de sortida són ambdós zero.
✻ Problema 3.4 (45 min.) Pel circuit de la figura 3.4, es demana: a) Determineu H(s) = Vo (s)/Vg (s) b) Discutiu l’estabilitat del circuit en funció del paràmetre K.
c) Assigneu valors a K, R i C per tal que el circuit es comporti com un oscil.lador sinusoïdal de freqüència 1 kHz.
d) Amb K=2 i els valors de R i C escollits a l’apartat anterior, 11 TEMA 3. ESTUDI DE LA RESPOSTA TEMPORAL DE CIRCUITS DINÀMICS LINEALS d.1) Estimeu la durada del règim transitori.
d.2) Determineu, sobre el circuit, la resposta, vo (t), en règim permanent al graó unitari.
Verifiqueu el resultat a partir de la funció de xarxa.
d.3) Obteniu l’expressió analítica de la resposta al graó unitari i condicions inicials nul.les, validant els resultats anteriors.
R C C vg(t) + − R v(t) Kv(t) vo(t) Fig. 3.4 Solució: a) H(s) = b) s2 + Ks2 + 3−K RC s 1 R2 C 2 ➢ Asimptòticament estable per K < 3 ➢ Marginalment estable per K = 3 ➢ Inestable per K > 3 c) Un oscil·lador és un circuit amb una resposta lliure sinusoïdal i d’amplitud constant. Per tant, el circuit presenta un parell de pols complexes conjugats situats sobre l’eix imaginari i de valor igual a la polsació d’oscil.lació. Podem aconseguir el que ens demanen amb K = 3, R = 1 kΩ, i C = 159 nF d) d.1) ζ = 0,5 ω0 = 1/RC = 2000π rad/seg 5τ = 5/ζω0 = 1/200π s 1,59 ms d.2) En r.p. al graó, els capacitors es comporten com circuits oberts i per tant v(∞) = 0 → v0 (∞) = 0.
El resultat concorda amb la funció de xarxa ja que H(0) = 0.
Com a resultat addicional, en t = 0+ els capacitors es comporten com a curtcircuits i v(0+ ) = vg (0+ ) = 1 V , i d’aquí es té que vo (0+ ) = 2 · v(0+ ) = 2 V d.3) La resposta al graó és: √ vo (t) = 2,3094 · e−1000πt cos(1000 3πt + π/6) · u(t) i els valors inicials i finals valen: v0 (0) = 2,3094 · cos(π/6) = 2 V ✻ 12 vo (∞) = 0 Tema 4 Resposta en R.P.S.
Objectius: Saber: ➢ Analitzar circuits en RPS (mitjançant el circuit transformat fasorial) ➢ Interpretar el diagrama fasorial associat a un circuit ➢ Interpretar oscil·logrames corresponents a mesures realitzades sobre un circuit ➢ Proposar un model equivalent d’un bipol a una determinada freqüència ➢ Identificar i caracteritzar estructures ressonants (freqüència de ressonància i model equivalent) ➢ Determinar la potència disponible d’un generador i la dissipada per una càrrega ➢ Dissenyar xarxes adaptadores i conversores d’impedàncies Problema 4.1 (15 min.) Es vol obtenir el model equivalent a la freqüència de 2 MHz d’un bipol caracteritzat per una certa impedància desconeguda. Amb aquest objectiu, s’ha realitzat el muntatge de la figura 4.1 i s’han obtingut els oscil.logrames de la figura 4.2.
R Generador + + vi(t) vo(t) - - Bipol A Fig. 4.1: Muntatge Sabent que R=300 Ω i que a l’oscil.loscopi s’ha seleccionat una base de temps de 50 ns/div i una mateixa sensibilitat per als dos canals de valor 200 mV/div, es demana: 13 TEMA 4. RESPOSTA EN R.P.S.
a) Expresseu la impedància Z del bipol A de la figura 4.1 en funció de R i dels fasors V i i Vo .
b) Calculeu el valor de Z i proposar un model circuital del bipol A.
v i(t) v o(t) Fig. 4.2: Oscil.lograma Solució: RV¯o a) Z = ¯ Vi − V¯o b) Prenent adequadament l’origen de temps, V¯i = 0,8 0◦ , V¯o = 0,4 −14,4◦ Z = 249,76 − 132,56j Un possible model equivalent d’aquesta impedància consistiria en un resistor de 249,76 Ω en sèrie amb un capacitor de 600 pF.
✻ Problema 4.2 (40 min.) Per al bipol de la figura 4.3, es demana: a) Expresseu la freqüència de ressonància en funció de R, L i C.
b) Suposant ara R=1 kΩ, L=150 µH i C=47 nF, doneu el model equivalent del circuit a les freqüencies de: b.1) f=60 kHz b.2) f=6 kHz b.3) f=600 kHz L R C R Fig. 4.3: Impedància equivalent d’un bipol Solució: a) Cal deixar les impedàncies dels elements en funció de una ω genèrica i determinar per quin valor d’aquesta ω -diguem-li ωr - es verifica que {Zeq (jωr )} = 0. En aquest cas, en lloc de treballar amb les impedàncies, el problema surt molt més senzill si utilitzem les admitàncies.
1 .
Resultat: ωr = √LC 14 TEMA 4. RESPOSTA EN R.P.S.
b) La següent taula mostra, per cadascuna de les freqüències, la impedància equivalent del bipol i un possible model amb 2 elements en sèrie. També seria possible plantejar un model equivalent alternatiu consistent en 2 elements en paral.lel, cosa que es deixa com a exercici pel lector.
Freqüència Model equivalent Zeq 60 kHz 6 kHz Zeq Zeq 501 Ω 537 − 129j Ω 600 kHz Zeq 537 + 129j Ω Resistor de 501 Ω Resistor de 537 Ω en sèrie amb un capacitor de 205 nF Resistor de 537 Ω en sèrie amb un inductor de 34 µH ✻ Problema 4.3 (25 min.) En el circuit de la figura 4.4(a), l’excitació és un senyal sinusoïdal del tipus vg (t) = 3 cos(2000π·t + 30◦ ). Es demana: a) Calculeu la impedància d’entrada del subcircuit requadrat, Zin , a la freqüència de treball.
b) Justifiqueu quins fasors representats en el diagrama fasorial de la figura 4.4(b) corresponen a V¯g , V¯in , I¯in , V¯L , V¯out , I¯R , i I¯C .
F1 1Ω 318µH iin + + + vg vin F5 vL 4Ω - F4 iR + vout iC F2 F3 39,7µF - F6 Zin F7 (a) Circuit (b) Diagrama fasorial associat Fig. 4.4 Solució: a) Zin = (2 + 0j) Ω b) F¯1 F¯2 F¯3 F¯4 F¯5 F¯6 F¯7 = V¯L = I¯C = I¯in = V¯in = V¯g = I¯R = V¯out ✻ Problema 4.4 (15 min.) Determineu l’expressió de la tensió de sortida, vo (t), del circuit de la figura 4.5.
15 TEMA 4. RESPOSTA EN R.P.S.
1k 10mH 4,7mH vo(t) + 3V 10kHz 16nF 1k Fig. 4.5 Solució: La solució es pot obtenir fàcilment aplicant anàlisi sistemàtica, per exemple malles: vo (t) = 1,4666 cos(2π · 10000t − 1,019) Per tal de corroborar la solució obtinguda es pot simular el circuit. El fitxer de simulació seria: ’Simulació del problema 4.4 Vg 1 0 AC 3 phase=0 R1 1 2 1K L1 2 3 10mH C1 3 0 16nF L2 3 4 4.7mH R2 4 0 1K .PRINT AC VM(4) VP(4) .AC 10k .END Noteu que el GnuCap dóna la fase en graus.
✻ Problema 4.5 (90 min.) Pràctica 4 de Circuits Lineals.
Problema 4.6 (15 min.) Donat el circuit de la figura 4.6, a) Determineu el seu comportament per a baixes i altes freqüències.
b) Hi ha alguna freqüència per a la qual l’amplificació es fa nul.la? A la vista dels resultats obtinguts, doneu un nom al circuit.
c) Si per a la realització de l’inductor de la figura 4.6 s’utilitza una bobina, expliqueu com es modificarien els resultats obtinguts als apartats anteriors.
R + L + vg(t) vo(t) C Fig. 4.6 Solució: a) ➢ A freqüències baixes els capacitors es comporten com a circuits oberts i els inductors com a curtcircuits. En aquest cas vo (t) = vg (t) perquè no passa corrent per la branca LC i, per tant, no cau tensió al resistor R.
16 TEMA 4. RESPOSTA EN R.P.S.
➢ A freqüències altes és al revés: els capacitors es comporten com a curtcircuits i els inductors com a circuits oberts. En aquest cas també passa que vo (t) = vg (t) pels mateixos motius que en el cas anterior.
b) L’amplificació del circuit és nul.la a la freqüència fr = 2π√1LC , que és la freqüència de ressonància de la branca LC. A aquesta freqüència la impedància de la branca és zero i la sortida queda curtcircuitada a massa.
El circuit seria un filtre banda eliminada, perquè elimina la freqüència fr = 2π√1LC i atenua molt les del seu voltant.
c) El model equivalent d’una bobina té com a elements principals una inductància L en sèrie amb un resistor rb que modela la resistència del fil del bobinat. Si substituïm l’inductor del circuit per aquest model compost, la branca LC no serà exactament un curtcircuit a la freqüència de ressonància, i per tant la sortida no serà zero, si bé pot ser petita si rb R.
✻ Problema 4.7 (15 min.) En el circuit de la figura 4.7, calculeu: a) la potència dissipada per cadascun dels resistors.
b) la potència subministrada per la font de tensió.
100Ω 20Ω + Amplitud=10V f=2kHz 2,5nF 8µH Fig. 4.7 Solució: a) Potència en el resistor de 100 Ω: 347,21 mW Potència en el resistor de 10 Ω: 69,44 mW Per corroborar els càlculs es pot simular el circuit. El fitxer seria el següent (cal recordar que per obtenir la potència correcta els generadors s’han d’especificar en valor eficaç): ’Simulació del problema 4.7 Vg 1 0 AC 7.071 R1 1 2 100 C1 2 0 2.5nF R2 2 3 20 L1 3 0 8uH .PRINT AC P(R1) P(R2) .AC 2k .END ✻ Problema 4.8 (20 min.) Al circuit de la figura 4.8 es té que l’excitació vg (t) correspon a un senyal sinusoïdal de valor eficaç 10 V, i que R1 =500 Ω, R2 =50 Ω i RL =75 Ω. Considerant el transformador ideal, es demana: 17 TEMA 4. RESPOSTA EN R.P.S.
a) Trobeu el valor de la relació de transformació n que fa que es produeixi l’adaptació d’impedàncies.
b) Calculeu els valors de la potència i la tensió a la càrrega en condicions d’adaptació.
La suposició que el transformador és ideal fa que el comportament del circuit sigui independent de la freqüència del senyal. Suposant ara que el transformador és perfecte amb una inductància del primari de L1 =1 mH i amb la relació de transformació calculada a l’apartat a) c) Determineu el valor de la mínima freqüència per a la qual la relació de transformació calculada a l’apartat a) es pot considerar vàlida.
R1 R2 n:1 + vg(t) RL R1 Fig. 4.8: Adaptació amb transformador Solució: Els resultats són: a) n=2 b) PL =208 µW c) fmin = 477,6 kHz ✻ Problema 4.9 (25 min.) L’esquema de la figura 4.9 descriu un emissor que consta d’un generador de senyal que treballa a 10 MHz connectat a una antena que presenta una impedància capacitiva a aquesta freqüència. Es demana: a) Determineu la potència disponible al generador i la potència absorbida per l’antena quan es connecta directament al generador.
b) Per tal que es produeixi la màxima transferència de potència a 10 MHz, dissenyeu una xarxa adaptadora a connectar entre el generador i l’antena.
c) Amb la xarxa adaptadora col.locada, calculeu la potència a l’antena quan la freqüència del senyal es desvia fins a 20 MHz.
10Ω + 50V 10MHz Xarxa adaptadora Generador Antena Fig. 4.9 Solució: a) Pdisp = 31,25 W, 100pF Pant = 17,314 W 18 50Ω TEMA 4. RESPOSTA EN R.P.S.
b) Una possible xarxa adaptadora està formada per un inductor de 318 nH en sèrie amb el resistor de 10 Ω i un capacitor de 536 pF en paral.lel amb la càrrega.
c) A 20 MHz, Pant = 3,8283 W ✻ Problema 4.10 (25 min.) L’objectiu d’aquest problema és dissenyar i verificar un circuit que adapti una càrrega determinada a un generador de senyal amb resistència de sortida de 600 Ω. En aquest sentit, es demana: a) Partint de les especificacions d’un generador que indiquen que la seva resistència de sortida és de 600 Ω, calculeu la potència disponible en aquest generador, per un senyal sinusoïdal d’amplitud 1 V.
b) Determineu la potència que aquest generador lliura a una càrrega de 100 Ω connectada directament. Obteniu també la tensió sobre la càrrega en aquest cas.
c) Dissenyeu una xarxa adaptadora LC a la freqüència de 35 kHz. Dels dos tipus possibles, escolliu aquella que elimina les freqüències altes.
d) Calculeu la tensió que s’aplicarà a la càrrega en adaptació. Observeu que aquesta tensió surt més alta que la tensió sense adaptació, cosa que és coherent amb el fet que la potència que es dissipa en aquest darrer cas sigui més gran.
Solució: a) Pdisp = 0,208 mW b) PL = 0,102 mW, vL (t) = 0,142 · cos(ωt) V c) La xarxa adaptadora consta d’un capacitor de 17 nF en paral.lel amb el generador, i d’un inductor d’1 mH en sèrie amb el resistor de càrrega de 100 Ω.
✻ 19 Tema 5 Resposta freqüencial Objectius: ➢ Representar gràficament en escales lineals i logarítmiques (traçats de Bode) les corbes de resposta freqüencial.
➢ Predir el tipus de resposta freqüencial a partir del comportament asimptòtic del circuit i a freqüències de comportament singular.
➢ Determinar, a partir d’unes especificacions, els paràmetres d’un filtre i dissenyar-lo (primer i segon ordre).
➢ Dissenyar filtres de resposta freqüencial arbitrària mitjançant blocs funcionals basats en AO.
➢ Aplicar tècniques de filtratge per a l’obtenció de components freqüencials de senyals.
Problema 5.1 (20 min.) Donat el circuit de la figura 5.1, es demana que: a) Dibuixeu les corbes de resposta en freqüència (amplificació i desfasament).
b) Dissenyeu un filtre passa-baixos amb amplificació en contínua de A=10 i freqüència de tall fc =100 Hz.
c) Determineu l’amplificació del circuit a 10 Hz i a 1 kHz.
C R2 R1 vIN(t) − +Vcc vO(t) + -Vcc Fig. 5.1 20 TEMA 5. RESPOSTA FREQÜENCIAL Problema 5.2 (30 min.) Donat el circuit de la figura 5.2, a) Obteniu la relació entre els senyals vin (t) i vo (t) per a baixes i altes freqüències.
b) Determineu la funció de xarxa H(s) i dibuixeu el seu diagrama de pols i zeros.
c) Representeu la corbes de resposta en freqüència (amplificació i desfasament) del circuit, tot verificant els resultats obtinguts a l’apartat a).
d) Assigneu valors als elements del circuit per tal que a la freqüència de f = 1,6 kHz els senyals de entrada i de sortida siguin de la mateixa amplitud i estiguin en quadratura.
e) A la vista dels resultats anteriors, quin nom li posaríeu a aquest circuit? R vin(t) R +Vcc − vo(t) R + -Vcc C Fig. 5.2 Problema 5.3 (40 min.) Un senyal vg (t) = cos(2πf1 t) + cos(2πf2 t) + cos(2πf3 t), amb f1 =10 kHz, f2 =30 kHz i f3 =60 kHz, conté un component útil de 30 kHz i dos d’interferents a 10 kHz i 60 kHz que es pretenen eliminar amb un filtre passa-banda. En aquest sentit, es demana: a) Raoneu quin dels dos senyals interferents és més difícil d’eliminar.
b) Determineu quin factor de qualitat Q ha de tenir el filtre per tal que l’atenuació dels senyals interferents sigui un mínim de 30 dB superior a la del senyal útil.
c) Escolliu un dels circuits de la figura 5.3 per tal de realitzar el filtre passa-banda desitjat.
C L L R1 R2 R (a) (b) R C C L (c) Fig. 5.3 Al circuit escollit a l’apartat c): d) Suposant que es disposa d’inductors de 2,2 mH, assigneu valors a la resta dels elements.
e) Calculeu l’amplada de banda i l’amplificació màxima del filtre resultant.
Problema 5.4 (45 min.) Es tracta de dissenyar un sistema d’altaveus de dues vies seguint l’esquema de la figura 5.4.
a) Doneu l’esquema circuital dels blocs A i B per tal que realitzin un filtratge de segon ordre.
21 TEMA 5. RESPOSTA FREQÜENCIAL vo1(t) A Altaveu greus R=8Ω vg(t) + − vo2(t) B Altaveu aguts R=8Ω Amplificador Fig. 5.4: Sistema d’altaveus de dues vies b) Determineu les funcions de xarxa H1 (s) = V01 (s)/Vg (s) i H2 (s) = V02 (s)/Vg (s).
c) Assigneu valors als elements per tal que la freqüència de tall dels dos filtres sigui de fc =500 Hz.
d) Dibuixeu els diagrames de Bode de guany dels dos filtres.
(20 min.) Amb un circuit RC format per la connexió en cascada de cèl.lules com la representada a la figura 5.5, es pretén realitzar la resposta freqüencial de la figura 5.6. Per fer-ho, es demana: Problema 5.5 a) Doneu l’expressió d’una funció de xarxa que pugui correspondre a la corba asimptòtica de guany de la figura 5.6.
b) Dissenyeu un circuit que s’ajusti a la funció de xarxa trobada i que per tant tingui el comportament freqüencial desitjat.
Z2 Z1 +Vcc − + -Vcc Fig. 5.5: Cèl.lula bàsica inversora amb A.O.
Problema 5.6 (20 min.) En els lectors de cintes de cassette, el senyal que recull el capçal de lectura s’ha de sotmetre a una amplificació variable segons la freqüència. Específicament, els senyals de baixa freqüència s’han d’amplificar més que els d’alta freqüència perquè els primers, en provocar variacions més lentes del camp magnètic en el capçal de lectura, hi indueixen també una tensió menor, fent necessària una compensació. Per tal d’augmentar la compatibilitat entre equips, alguns organismes oficials han estandarditzat la corba de resposta freqüencial dels preamplificadors de cassette, la qual acostuma a donar-se en forma de diagrama assimptòtic de Bode. Una d’aquestes possibles corbes es mostra a la figura 5.7. Es demana: a) Completeu la gràfica de la figura 5.7, indicant explícitament el valor de la freqüència f2 .
b) Escriviu l’expressió d’una funció de xarxa H(s) que tingui associada la resposta freqüencial de la figura.
c) Proposeu un circuit que realitzi aquesta funció de xarxa, tot calculant els valors de tots els components que hi intervinguin.
22 TEMA 5. RESPOSTA FREQÜENCIAL G (dB) 14 6 dB/oct 10 -6 dB/oct 6 0.1 1 1000 f (Hz) Fig. 5.6: Resposta freqüencial a realitzar G (dB) 50 -20 dB/dec 20 50 f2 f (Hz) Fig. 5.7 Problema 5.7 (40 min.) A partir de l’estructura del circuit de la figura 5.8, es pretén construir un filtre capaç d’eliminar dues freqüències f1 i f2 . Es demana: a) Proposeu una estructura pel bipol A de la figura 5.8, que realitzi aquesta funció. Justifiqueu la proposta.
b) Assigneu valors als elements de forma tal que les freqüències eliminades corresponguin a f1 =5 kHz i f2 =31 kHz, i el guany a f =33 kHz sigui de -3 dB.
c) Determineu les freqüències a les que el guany és de 0 dB.
d) Feu un esbós de la corba de guany del filtre incorporant els resultats obtinguts.
Problema 5.8 (60 min.) A l’entrada del circuit de la figura 5.9 arriben superposats un senyal útil de fi1 =1 kHz i un altre d’interferent de fi2 =4 kHz, ambdós sinusoïdals i de la mateixa amplitud. Per tal de verificar que aquest circuit deixa passar el senyal útil i elimina l’interferent es proposa fer el següent estudi: a) Trobeu la tensió de sortida del circuit de la figura 5.9, vo (t), per a freqüències altes i baixes.
23 TEMA 5. RESPOSTA FREQÜENCIAL R vo(t) vg(t) + − A Fig. 5.8 b) A partir dels resultats de l’apartat anterior i de l’estructura del circuit (sense analitzar-lo) digueu quin tipus de filtrat realitza i doneu la forma general de la seva funció de xarxa: H(s) = Vo (s)/Vi (s).
c) Determineu els paràmetres del filtre per tal que el guany a la freqüència del senyal útil sigui de 14 dB i l’atenuació del senyal interferent sigui de 17,5 dB.
d) Analitzeu el circuit obtenint ara la funció de xarxa H(s) en funció dels paràmetres circuitals.
e) Assigneu valors als elements del circuit per tal que es compleixin les especificacions de l’apartat c) (es suggereix utilitzar condensadors de 8,2 nF).
f) Dibuixeu el diagrama de Bode de guany corresponent al circuit de la figura 5.9 (diagrama asimptòtic més les correccions adients).
C1 C2 vin(t) R1 R2 +Vcc − vo(t) R3 + -Vcc Fig. 5.9 24 Tema 6 Representació freqüencial dels senyals Objectius: ➢ Representació espectral de senyals bàsics.
➢ Obtenció de l’espectre de sortida d’un circuit a partir de l’espectre d’entrada.
➢ Aplicació de tècniques de filtrat per a l’obtenció de components freqüencials de senyals.
Problema 6.1 (30 min.) En el circuit de la figura 6.1 es demana que: a) Determineu la funció de xarxa del circuit i digueu quin tipus de filtrat realitza.
b) Per R1 =1,6 kΩ, R2 =160 kΩ i C=1 nF, verifiqueu que la freqüència de ressonància és pràcticament de 10 kHz, l’amplificació màxima és igual a 50 i té un factor de qualitat de 5.
c) Essent vin (t) el senyal representat a la figura 6.2, dibuixeu amb precisió els espectres d’amplitud del senyal d’entrada vin (t) i del senyal de sortida vo (t), fins a la freqüència de 30 kHz inclosa. Expliqueu una possible aplicació del circuit.
C R2 R1 C +Vcc − vo(t) vin(t) + − + -Vcc Fig. 6.1 Problema 6.2 (30 min.) Un sistema de telemesura de temperatures compreses entre 10◦ C i 70 C proporciona el senyal periòdic, vg (t), de període T =1 ms, representat a la figura 6.3. El cicle de treball, δ, depén de la temperatura en ◦ C (θ) segons la relació: ◦ 25 TEMA 6. REPRESENTACIÓ FREQÜENCIAL DELS SENYALS vin(t) 0,4V 0V 0 t( µs) 100 Fig. 6.2 δ= t1 = 0,5 + 0,01(θ − 40) T vg (t) 5V 0V t t1 T=1ms Fig. 6.3: Sortida del sistema de telemesura Es demana que: a) Dibuixeu amb detall la tensió vg (t) per a les temperatures de 10◦ C, 40◦ C i 70◦ C.
Es tracta ara de dissenyar un circuit (figura 6.4) que, a partir del senyal vg (t), generi una tensió de sortida constant de valor Vo dependent de la temperatura θ. En aquest sentit, b) Proposeu un circuit, especificant els valors dels elements.
c) Per a θ=40 ◦ C, dibuixeu els espectres d’amplitud dels senyals d’entrada, vg (t), i de sortida, vo (t), del circuit proposat, verificant en quina mesura el disseny compleix les especificacions.
d) Representeu gràficament Vo en funció de θ en l’interval de temperatures de 10 ◦ C a 70 ◦ C.
? vo(t) vg(t) + − Fig. 6.4: Circuit per extreure la informació de temperatura 26 ...