Problemes 2 (2010)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 3º curso
Asignatura Estadística
Año del apunte 2010
Páginas 3
Fecha de subida 31/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Estad´ıstica. Llicenciatura en Ci`encies Ambientals Curs 2009–2010. Llista 2 1. Un qu´ımic analitza mostres d’aigua de mar per tal de detectar la pres`encia de plom i de mercuri. Troba que el 38% de les mostres contenen nivells alts de plom o de mercuri i que el 32% tenen nivells alts de plom. A m´es, el 10% de les mostres tenen nivells alts de tots dos metalls.
(a) Quina ´es la probabilitat que una mostra qualsevol tingui un nivell alt de mercuri? (b) Quina ´es la probabilitat que la mostra tingui, nom´es, un nivell alt de plom? 2. Hi ha una estrat`egia per estimar el nombre de peixos de certa esp`ecie d’una zona pesquera que consisteix, en primer lloc, en capturar, marcar i alliberar un cert nombre de peixos de l’esp`ecie. Llavors, es pot estimar la proporci´o de peixos de l’esp`ecie a la zona agafant una mostra de peixos i comptant quants d’ells estan marcats. En el nostre cas suposem que tenim una poblaci´o molt gran de peixos d’una esp`ecie i que se’n capturen i marquen 10, tornant-los al mar. Al cap d’un temps es capturen 4 peixos de l’esp`ecie i es mira si s´on marcats (m) o no (mc ), de manera que el resultat de l’experiment ´es una seq¨ u`encia com ara m mc mc mc . Es demana: (a) Representeu en un diagrama d’arbre els 16 resultats possibles d’aquest experiment. Quins camins representen l’esdeveniment A=“el primer i el darrer peix estan marcats”? Quins camins corresponen a l’esdeveniment B=“hi ha exactament tres peixos marcats”? Quins camins corresponen a la ocurr`encia ´ igual de f`acil que observem qualsevol simult`ania dels esdeveniments A i B? Es dels 16 camins de l’arbre? Si la resposta ´es negativa, quins seran m´es f`acilment observables i quins menys? (b) Per tal d’estimar el nombre de peixos de l’esp`ecie a la zona, diguem E (que era el nostre objectiu inicial), fem el seg¨ uent: ara agafem una mostra de peixos de l’esp`ecie de mida n i comptem quants d’ells estan marcats, diguem h. Llavors, la proporci´o de marcats a la mostra, nh , hauria de ser semblant a la qui hi ha a tota la poblaci´o de peixos de l’esp`ecie a la zona, que ´es 10 . Per tant, E 10 ∼ h n ∼ igualant E = n obtenim que E = 10 h . Si hem agafat 20 peixos de l’esp`ecie i hem trobat que hi ha 4 de marcats, doneu l’estimaci´o pel nombre de peixos de l’esp`ecie a la zona. (Aquest m`etode d’estimaci´o de mides de poblacions s’anomena mostreig directe).
3. Un tetrap`eptid bioactiu (un compost format per quatre amino`acids diferents lligats en cadena) t´e la seg¨ uent dotaci´o d’amino`acids: alanina (A), `acid glut`amic (G), lisina (L) i histidina (H). Suposant que totes les cadenes s´on igualment possibles, calculeu la probabilitat que la cadena contingui l’`acid glut`amic i l’alanina consecutius en aquest ordre.
4. En un laboratori es consideren 20 mostres d’aigua preparades per a un estudi de contaminaci´o per mercuri. En una primera fase es va posar cert reactiu a 8 de les mostres, per`o per error no se les va marcar per distingir-les de les altres. En la segona fase de l’estudi es volia agafar 10 de les mostres i van ser escollides a l’atzar (totes alhora) d’entre les 20 inicials. Quina ´es la probabilitat que de les 10 mostres escollides, 3 portin el reactiu i la resta no? 5. Es vol estudiar els efectes de temperatura, pressi´o i nivell d’humitat en el proc´es d’erosi´o de la sal de potasa. Es consideren 3 temperatures diferents, 4 pressions diferents i 5 nivells d’humitat diferents. Si en cada realitzaci´o concreta de l’experiment nom´es es pot fer servir una temperatura, una pressi´o i un nivell d’humitat, es demana: (a) Quantes possibles realitzacions de l’experiment diferents hi ha? (b) Quantes possibles realitzacions de l’experiment hi ha en qu`e intervenen la temperatura m´es baixa i alguna de les dues pressions m´es baixes? (c) Si un dia es fan 5 realitzacions de l’experiment, seleccionant a l’atzar per a cadascuna d’elles la temperatura, la pressi´o i el nivell d’humitat, quina ´es la probabilitat que s’hagin fet servir tots 5 nivells d’humitat? 6. Per estudiar la biodiversitat d’un ecosistema es va estudiar un conjunt de 3000 individus que hi viuen, i es va trobar que pertanyien a un total de 600 esp`ecies diferents.
(a) Si d’una certa esp`ecie hi ha 20 individus al conjunt dels 3000 i s’agafa aleat`oriament una mostra de dos individus del conjunt (sense reposici´o), calculeu la probabilitat que els dos pertanyin a aquesta esp`ecie concreta.
(b) Suposeu ara una poblaci´o formada per N individus d’E esp`ecies diferents, on hi ha Ni individus de l’esp`ecie i, i = 1, . . . , E . Calculeu la probabilitat d’obtenir dos individus de la mateixa esp`ecie quan s’agafa a l’atzar i sense reposici´o una mostra de dos individus de la poblaci´o. Expliqueu el significat o interpretaci´o probabil´ıstica de l’´ındex (anomenat ´ındex de Simpson) E D =1− Ni (Ni − 1) i=1 N (N − 1) com a mesura de la diversitat de la poblaci´o. Quins valors pot prendre aquest ´ındex? 7. A l’Ajuntament d’un poble del Pirineu hi ha nom´es tres partits A, B i C. El 20% dels votants s´on del partit A, el 50% s´on del partit B i el 30% restant s´on del partit C. Dels votants del partit A, el 10% est`a en contra de la construcci´o d’unes pistes d’esqu´ı, dels votants del partit B el 80% hi est`a en contra i dels votants del partit C el 60% hi est`a en contra. Es demana: (a) Quina ´es la proporci´o total de votants que estan en contra de la construcci´o de les pistes d’esqu´ı? (b) Si un votant escollit a l’atzar est`a en contra de la construcci´o de les pistes d’esqu´ı, quina ´es la probabilitat que sigui del partit C? 8. S’ha desenvolupat un procediment per detectar falles en terrenys urbanitzables. Se sap que si s’aplica el procediment proposat en terrenys urbanitzables que tenen falles, s’obt´e el diagn`ostic correcte en el 85% dels casos, i que quan el procediment es posa a prova en terrenys sense falles, s’obt´e un percentatge de falsos positius del 4%. A partir d’una investigaci´o realitzada a nivell comarcal se sap que un 10% dels terrenys urbanitzables de certa zona tenen falles. Quina ´es la probabilitat que un terreny de la zona tingui una falla si li hem aplicat el procediment i ha donat positiu? (Aquest percentatge s’anomena valor predictiu positiu del procediment de detecci´o).
9. Es vol estimar el percentatge d’estudiants de Batxillerat que han fumat marihuana alguna vegada al llarg de la seva vida, mitjan¸cant una enquesta realitzada a uns quants estudiants. Per tal de garantir l’anonimat i la sinceritat de la resposta a l’enquesta, s’els hi d´ona a cada estudiant una moneda i un dau perfectes (´es a dir, no trucats), que hauran de llen¸car sense que ning´ u els vegi. Primer llencen la moneda i si surt cara han de llen¸car el dau i respondre la pregunta A: El resultat del dau, ha estat parell? Si surt creu en llen¸car la moneda, llavors no han de llen¸car el dau i han de respondre amb sinceritat la pregunta B: Has fumat mai marihuana? Si de 100 estudiants enquestats va resultar que 70 varen contestar “S´I”, quin ´es, aproximadament, el percentatge d’estudiants que han fumat marihuana alguna vegada? 10. Durant la segona guerra mundial el procediment fet servir per identificar el grup sanguini dels ferits encara no estava massa perfeccionat i fallava. Concretament, el 4% de les persones que pertanyien al tipus O es classificaven com del tipus A, el 88% de les del tipus A es classificaven correctament, el 4% de les del tipus B es classificaven com del tipus A i el 10% de les del tipus AB es classificaven com del tipus A. Si la distribuci´o dels tipus de sang als Estats Units en aquell moment era A : 41%; B : 9%; AB : 4%; O : 46% i un soldat ferit va anar a l’infermeria i el van classificar com del tipus A, quina ´es la probabilitat que aquest fos realment el seu grup sanguini? ...