congruencias lineales (2017)

Apunte Español
Universidad Universidad Complutense de Madrid (UCM)
Grado Matemáticas y Estadística - 1º curso
Asignatura Elementos de matematicas
Año del apunte 2017
Páginas 2
Fecha de subida 08/07/2017
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apuntes de congruencias lineales

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CONGRUENCIAS LINEALES Def: llamamos congruencias lineales a una ecuación de la forma: 𝑎𝑥 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) 𝑎𝑥 − 𝑏 tiene que ser un múltiplo de m por tanto 𝑥 serán nuestras soluciones. El objetivo es encontrar las soluciones de x como si se tratase de una ecuación de primer grado.
Para ver si una congruencia tiene solución hay que calcular el mcd(m,n).
EJEMPLO: Consideramos la congruencia 56𝑥 ≡ 42 (𝑚𝑜𝑑 105)   Calculamos el mcd(105,56): 105 = 56 ∗ 1 + 49 56 = 49 ∗ 1 + 7 49 = 7 ∗ 7 El mcd(105,56) = 7 Identidad de Bezout.
7 = 56 − 49 7 = 56 − (105 − 56) 7 = 56 − 105 + 56 7 = 2 ∗ 56 − 105 7 = 2 ∗ 56 + 105 ∗ (−1) Como 7 divide a 42, nuestra congruencia tiene solución. Además tiene 7 soluciones.
Para que sean más sencillos los cálculos dividimos nuestra congruencia lineal entre 7.
56𝑥 ≡ 42(𝑚𝑜𝑑 105) → 8𝑥 = 6(𝑚𝑜𝑑 15) Por tanto, la identidad de Bezout será: 1 = 15 ∗ (−1) + 8 ∗ 2 Multiplicando todo por 6, obtenemos: 6 = 6 ∗ 15 ∗ (−1) + 6 ∗ 8 ∗ 2 ≡ 8 ∗ (6 ∗ 2) = 8 ∗ 12 (𝑚𝑜𝑑 15) Por tanto otra solución será 𝑥 = 12 Y el resto de las soluciones son: 12,12 + 15 = 27,12 + 2 ∗ 15 = 42,12 + 3 ∗ 15 = 57,12 + 4 ∗ 15 = 72,12 + 5 ∗ 15 = 87,12 + 6 ∗ 15 = 102 Otra forma mas sencilla es: Tengo 7 soluciones en total y me quedan 6 por averiguar, por tanto, multiplicare 12(primera solución) por 6 soluciones que me quedan por averiguar mas 15 del modulo.
12 + 6 ∗ 15 = 102 Probamos que 102 sea solución: 56 ∗ 102 = 5712 → 5712 − 42 = 5670 = 54 ∗ 105 Se tiene que: 56 ∗ 102 ≡ 42(𝑚𝑜𝑑105) ...

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