Mecánica Cuántica - Problema 49 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 8
Subido por

Vista previa del texto

.
49 Considereu un oscil·lador harm` onic en una dimensi´o pertorbat per 2 H Õ = ⁄Ep e≠ax on ⁄ ´es adimensional i Ep ´es una constant amb dimensions d’energia. Calculeu la correcci´ o al primer ordre en ⁄ de l’energia del nivell fonamental i del primer nivell excitat.
Soluci´ o: Considerem l’hamiltoni` a H = H0 + H Õ , on H0 = ~Ê(a† a + 1/2) ´es l’hamiltoni`a d’un 2 oscil·lador harm` onic, i H Õ = ⁄Ep e≠aX ´es una pertorbaci´o. De la teoria de pertorbacions (cas no degenerat), tenim que les correccions a primer ordre de l’energia, venen donades per: (1) EN = Èn|H Õ |nÍ, (0.1) essent |nÍ un estat propi d’H0 . Llavors, els nivells d’energia corresponents a l’hamiltoni` a H, a primer ordre s´ on EN = ‘n + Èn|H Õ |nÍ + O(2), (0.2) on ‘n = ~Ê(n + 1/2) s´ on els nivells d’energia d’H0 . En particular, ens demanen per les correccions de l’energia de l’estat fonamental (i.e. n = 0) i del primer estat excitat (n = 1), de manera que 1 E0 = ‘0 + È0|H Õ |0Í = ~Ê + È0|H Õ |0Í, 2 3 E1 = ‘1 + È1|H Õ |1Í = ~Ê + È1|H Õ |1Í. (0.3) 2 Donada la forma d’H Õ , per calcular È0|H Õ |0Í i È1|H Õ |1Í ens interessa anar a la representaci´ o de posicions. Per l’estat fonamental, È0| H Õ |0Í = ⁄⁄ È0|xÍÈx|H Õ |xÕ ÍÈxÕ |0ÍdxdxÕ = = ⁄Ep ⁄⁄ ⁄⁄ Â0ú (x)Èx|H Õ |xÕ ÍÂ0 (xÕ )dxdxÕ 2 Â0ú (x)Èx|e≠aX |xÕ ÍÂ0 (xÕ )dxdxÕ .
(0.4) En problemes anteriors, hem utilitzat que Èx|X|xÕ Í = xÕ ”(x ≠ xÕ ) = x”(x ≠ xÕ ), doncs b´e, aix` o ´es cert per una funci´ o gen`erica d’X, ´es a dir, Èx|f (X)|xÕ Í = f (xÕ )”(x ≠ xÕ ) = f (x)”(x ≠ xÕ ). Per tant, È0|H Õ |0Í = ⁄Ep = ⁄Ep ⁄ ⁄ 2 Â0ú (x)e≠ax dx ⁄ ”(x ≠ xÕ )Â0 (xÕ )dxÕ 2 Â0ú (x)e≠ax Â0 (x)dx = ⁄Ep ⁄ 2 e≠ax |Â0 (x)|2 dx.
(0.5) La funci´ o d’ona de l’estat fonamental de l’oscil·lador harm`onic ´es: Â0 (x) = Ò 1 ≠ 1 (x/x0 )2 , Ô e 2 x0 fi 1 (0.6) .
amb x0 =  ~/(mÊ). Llavors ⁄Ep È0|H |0Í = Ô x0 fi Õ ⁄ +Œ ≠Œ ≠x2 (a+1/x20 ) e ⁄Ep dx = Ô x0 fi Û fi ⁄Ep =Ò .
2 a + 1/x0 1 + ax20 (0.7) Tenim que la correcci´ o a primer ordre de l’energia de l’estat fonamental, ´es (1) E0 = Ò ⁄Ep (0.8) 1 + ax20 De la mateixa manera que acabam de procedir, calculam la correcci´o del primer estat excitat. Se segueix, ⁄ 2 Õ È1|H |1Í = ⁄Ep e≠ax |Â1 (x)|2 dx.
(0.9) Donat que Â1 (x) = Ô 2(x/x0 )Â0 (x), es t´e ⁄ ⁄ 2⁄Ep 2⁄Ep +Œ 2 ≠x2 (a+1/x2 ) 2 ≠ax2 2 0 dx Ô È1|H |1Í = x e | (x)| dx = x e 0 x20 x30 fi ≠Œ Ô 2⁄Ep fi ⁄Ep Ô = 3 = .
x0 fi 2(a + 1/x20 )3/2 (1 + ax20 )3/2 Õ (0.10) Per tant, la correcci´ o a primer ordre del primer nivell excitat, ve donada per (1) E1 = ⁄Ep (1 + ax20 )3/2 2 (0.11) ...