Exercicis del tema 1 resolts: Formes quadràtiques (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 11
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 6
Subido por

Vista previa del texto

Exercicis del tema 1: Formes quadràtiques 1. Considereu les matrius següents: a) Doneu l’expressió polinòmica de les formes quadràtiques associades a cadascuna d’aquestes.
 :   Per tant, l’expressió polinòmica de la forma quadràtica serà: :  89 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, l’expressió polinòmica de la forma quadràtica serà: b) Calculeu les imatges de i .
2. Determineu la matriu associada a les formes quadràtiques de R 3 següents: a) ax12 + dx 22 + fx 32 + 2bx1 x 2 + 2cx1 x 3 + 2ex 3 x 2 = x12  3x 22  x 32  6x1 x 3 b) ax 2 + dy 2 + fz 2 + 2byx + 2czx + 2ezy = 3x 2  4 xy + y 2  yz + z 2 90 Matemàtiques II 3. Sigui la forma quadràtica q : R3 AR, expressada per .
a) Escriviu la matriu associada i trobeu la imatge del vector (1,1,1) .
ax 2 + dy 2 + fz 2 + 2byx + 2czx + 2ezy = 2xy + 2xz + 2yz b) Determineu els valors propis i classifiqueu la forma quadràtica.
(multiplicitat doble), 4. Classifiqueu les formes quadràtiques següents: a) q1 ( x, y, z )  2 x 2 4 y 2 z 2 és definida positiva, ja que prenent qualsevol vector si fem la suma de les seves components al quadrat i multiplicades per un nombre positiu sempre serà positiu, excepte el vector nul.
b) q 2 ( x, y, z )  x 2 y 2 és semidefinida positiva, ja que prenent qualsevol vector si fem la suma de les seves components al quadrat sempre serà positiu o zero, i hi ha vectors no nuls, per exemple, el (0,0,3) tal que la forma quadràtica és 0.
c) q3 ( x, y )  x 2 2 y 2 és definida positiva, ja que prenent qualsevol vector si fem la suma de les seves components al quadrat i multiplicat per un nombre positiu sempre serà positiu, excepte el vector nul.
d) Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: 91 Llúcia Mauri Masdeu Per tant: Així ens queda la matriu: Apliquem el mètode utilitzant els valors propis de A: , Atès que tots els valors propis són negatius, tindrem que la forma quadràtica és definida negativa.
Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A: , Com que i els menors principals de la matriu associada alternen el signe (imparell negatiu i parell positiu) tindrem que la forma quadràtica és definida negativa.
e) Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: ax 2 + dy 2 + fz 2 + 2byx + 2czx + 2ezy = 3x 2 +11y 2  6xy 92 Matemàtiques II Per tant: Així ens queda la matriu: Apliquem el mètode utilitzant els valors propis de A: , , Atès que tots els valors propis són positius o zero, tindrem que la forma quadràtica és semidefinida positiva.
Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A: , , Com que A  A3  0 i els menors principals A1  0 , A2  0 i A3  0 són positius els dos primers; llavors, la forma quadràtica és semidefinida positiva .
f) Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: ax 2 + dy 2 + fz 2 + 2byx + 2czx + 2ezy = x 2 + 2xy + z 2  2yz  93 Llúcia Mauri Masdeu Per tant: Així ens queda la matriu: Apliquem el mètode utilitzant els valors propis de A: , , Com que hi ha valors propis positius i negatius, tindrem que la forma quadràtica és indefinida.
Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A: , , Si i els menors principals de la matriu associada són positius i negatius, però el A2  0 i té subíndex parell; llavors, la forma quadràtica és indefinida .
g) Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: ax 2 + ey 2 + hz 2 + jt 2 + 2bxy + 2cxz + 2 fzy + 2dtx + 2gty + 2itz = x 2  y 2 + z 2 + t 2 + xy  2xz + 4 yt + 2zt 94 Matemàtiques II Per tant, ens queda la matriu: Apliquem el mètode utilitzant els valors propis de A: , , i Atès que hi ha valors propis positius i negatius, tindrem que la forma quadràtica és indefinida.
Nota: Aquest mètode amb matrius d’ordre 4 és fa una mica feixuc, a causa de la problemàtica de resoldre una equació de quart grau. Per tant, serà recomanable utilitzar l’altre mètode.
Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A: , , , 95 Llúcia Mauri Masdeu Com que A  A4  3 & 0 i els menors principals de la matriu associada són positius i negatius però el A1  0 i té subíndex senar; llavors, la forma quadràtica és indefinida.
h) Busquem la matriu associada a aquesta forma quadràtica: ax 2 + ey 2 + hz 2 + jt 2 + 2bxy + 2cxz + 2 fzy + 2dtx + 2gty + 2itz = x 2 + y 2  z 2  t 2 + 4 xy + 3xt + 4 yt + 2zt Per tant, ens queda la matriu: Apliquem el mètode utilitzant els valors propis de A: , , i Atès que hi ha valors propis positius i negatius, tindrem que la forma quadràtica és indefinida.
Nota: Aquest mètode amb matrius d’ordre 4 és fa una mica feixuc a causa de la problemàtica de resoldre una equació de quart grau. Per tant, serà recomanable utilitzar l’altre mètode.
Apliquem el mètode utilitzant els menors principals de A: 96 Matemàtiques II , , , Com que i els menors principals de la matriu associada són positius i negatius, però el A1  0 i té subíndex senar; llavors, la forma quadràtica és indefinida .
5. Considereu la forma quadràtica amb matriu associada .
a) Doneu l’expressió polinòmica associada a aquesta forma quadràtica.
:           Per tant, l’expressió polinòmica de la forma quadràtica serà: b) Calculeu els valors propis de la forma quadràtica.
(multiplicitat doble), c) Classifiqueu-la.
Atès que la matriu associada a la forma quadràtica té valors propis positius i negatius, podem dir que la forma quadràtica és indefinida.
97 Llúcia Mauri Masdeu 6. Considereu la forma quadràtica amb matriu associada .
a) Doneu l’expressió polinòmica de la forma quadràtica.
:           Per tant, l’expressió polinòmica de la forma quadràtica serà: b) Calculeu els valors propis.
, i c) Classifiqueu la forma quadràtica.
Atès que la matriu associada a la forma quadràtica té valors propis positius i negatius, podem dir que la forma quadràtica és indefinida.
7. De les quatre afirmacions, només una és certa i les altres són falses. Sigui A una matriu quadrada d’ordre n que verifica A  At . Llavors, a) detA &0 98 Matemàtiques II No, ja que, per exemple, podem prendre la matriu nul·la d’ordre n , aquesta matriu compleix la condició de A=At i el detA=0.
b) A no és la matriu associada a una forma quadràtica.
No, hem definit que la matriu associada a una forma quadràtica havia de ser simètrica i aquesta condició és equivalent a A=At.
c) Tots els valors propis de A són reals.
Sí, això és degut a la simetria de la matriu associada a la forma quadràtica.
d) A no és simètrica.
No, es contradiu amb l’enunciat, ja que A és simètrica ‹A=At 99 ...

Tags: