Tema 3: Optimització sense restriccions (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 9
Subido por

Vista previa del texto

Tema 3: Optimització sense restriccions 3.1. Descripció del problema En el món de l’economia i de la gestió empresarial és molt important minimitzar costos, recursos... i maximitzar beneficis, producció... , és a dir, optimitzar. Tots aquests conceptes són variables que influeixen considerablement en els problemes d’optimització de qualsevol empresa o procés de producció, d’aquí la necessitat d’haver d’optimitzar funcions econòmiques de diverses variables.
Estudiarem les condicions necessàries i suficients per a la determinació d’òptims de funcions de diverses variables. El model de problemes a resoldre serà del tipus: I Optimitzar: f (x ) I On f (x ) serà una funció escalar de diverses variables.
Extrems òptims d’una funció escalar Sigui f : A„RnAR una funció escalar i un punt x0DA, direm que: t x0 és un mínim local de f ‹ Existeix un entorn de x0 on f(x0) )f(x) per tot x pertanyent a un entorn de A.
t x0 és un màxim local de f ‹ Existeix un entorn de x0 on f(x0) *f(x) per tot x pertanyent a un entorn de A.
t x0 és un mínim global de f ‹ f(x0) )f(x) per tot x pertanyent a un entorn de A.
t x0 és un màxim global de f ‹ f(x0) *f(x) per tot x pertanyent a un entorn de A.
35 Llúcia Mauri Masdeu Imatge 16 Imatge 17 Imatge 18 Imatge 19 Teorema de Weierstrass (o bé, Teorema dels valors extrems) Si f : A„Rn AR és una funció contínua i A un conjunt tancat i acotat; llavors, hi ha dos punts x1 i x2, tal que x1 és un màxim global de f i x2 és un mínim global de f.
Teorema d’optimitat local-global Sigui f : A„Rn AR, x0DA i A és un conjunt convex es verifica: a) Si f és convexa en A i x0 és un mínim local de f ‰x0 és un mínim global.
b) Si f és còncava en A i x0 és un màxim local de f ‰x0 és un màxim global.
36 Matemàtiques II 3.2 Condicions d’optimitat Condició necessària de primer ordre f té un punt òptim local en x0DA‰ ¢f(x0)=0 (és a dir f (x 0 ) = 0 ™i=1,...,n).
x i Cal tenir en compte però, i no confondre'ns entre punt òptim i punt crític: f té un punt crític en x0DA‹ ¢f(x0)=0 (és a dir f (x 0 ) = 0 ™i=1,...,n).
x i Aquests punts crítics o estacionaris no sempre són òptims de la funció (màxims o mínims), quan no ho són, s’anomenen punts de sella.
És a dir, quan tenim ¢f(x0)=0, aquest x0 pot ser màxim, mínim o punt de sella.
Punt de sella: x0 és un punt de sella ‹ En un entorn de x0 hi ha punts que verifiquen f(x0) )f(x) i punts que verifiquen f(x0) *f(x) És a dir, és un punt on, depenent com ho mirem, observem que la funció creix o decreix al seu voltant: Imatge 20 Imatge 21 Imatge 22 Per tant, per saber si es tracta d’un màxim, mínim o punt de sella necessitarem més condicions.
37 Llúcia Mauri Masdeu Condició necessària de segon ordre Sigui f : A„Rn AR, A obert, x0DA i, a més a més, f té les derivades parcials de primer i segon ordre contínues en A. Llavors: t si x0 és un mínim local de f ‰Hf(x0) és semidefinida positiva.
t si x0 és un màxim local de f ‰Hf(x0) és semidefinida negativa.
Corol·lari: Sigui f : A„Rn AR, A obert, x0DA i, a més a més, f té les derivades parcials de primer i segon ordre contínues en A. Llavors: t si ¢f(x0)=0 i Hf(x0) és indefinida ‰ x0 és un punt de sella.
Condició suficient de segon ordre Sigui f : A„Rn AR, A obert, x0DA i, a més a més, f té les derivades parcials de primer i segon ordre contínues en A. Llavors: t si ¢f(x0)=0 i Hf(x0) és definida positiva ‰ x0 és un mínim local (estricte) de f.
t si ¢f(x0)=0 i Hf(x0) és definida negativa ‰x0 és un màxim local (estricte) de f.
Conclusions: t si ¢f(x0)=0 i Hf(x0) és definida positiva ‰ x0 és un mínim local (estricte) de f.
t si ¢f(x0)=0 i Hf(x0) és definida negativa ‰x0 és un màxim local (estricte) de f.
t si ¢f(x0)=0 i Hf(x0) és indefinida ‰ x0 és un punt de sella de f.
t si ¢f(x0)=0 i Hf(x0) és semidefinida (positiva o negativa) ‰ (Cal d’estudiar-ho).
Recordem que podíem classificar les matrius simètriques utilitzant o bé els valors propis o bé els menors principals d’aquesta (vegeu Tema 1: Formes quadràtiques i matriu associada).
Com em vist en el cas en què Hf(x0) és semidefinida, cal estudiar què passa. Així doncs, tenim que: t si ¢f(x0)=0 i Hf(x0) és semidefinida positiva A x0 és un mínim local o un punt de sella.
t si ¢f(x0)=0 i Hf(x0) és semidefinida negativa Ax0 és un màxim local o un punt de sella.
Vegem com funciona amb un exemple (exemple 3): Exemples: 1) f(x, y)=x2+y2+y–1 38 Matemàtiques II Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: (Condició necessària de primer ordre) , Punt crític: Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) , Per tant, és definida positiva. Llavors, el punt és un mínim local 2) f(x, y)=x2–y2 Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: (Condició necessària de primer ordre) , Punt crític: (0, 0) Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) , 39 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, Hf(0, 0) és indefinida. Llavors, el punt (0, 0) és un punt de sella.
3) f(x, y)=x4+(y–x2)2 Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: (Condició necessària de primer ordre) ) , Punt crític: (0, 0) Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) Observem que en aquest cas el mètode per als menors principals no decideix: "Hf(0, 0)1"=0 , "Hf(0, 0)2"= =0 Utilitzem el mètode dels valors propis: i Per tant, Hf(0, 0) és semidefinida positiva. Així, el punt (0, 0) pot ser un mínim local o un punt de sella. Així doncs, hem d’estudiar què passa al voltant del punt (0,0): f(0, 0)=04+(0–02)2=0 Observem que f(x, y)=x4+(y–x2)2 serà sempre positiva per a qualsevol valor de (x, y) proper a (0,0). Per tant, el punt (0,0) serà un mínim local.
40 ...