Entrega Gross-Pitaevskii (2017)

Trabajo Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Mecànica Quàntica d'N-cossos i Sistemes Ultrafreds
Año del apunte 2017
Páginas 4
Fecha de subida 10/06/2017
Descargas 1
Subido por

Descripción

Nota: 10

Vista previa del texto

Laura Barrio Hernández Mecànica quàntica d’N-cossos i sist. ultrafreds Entrega: Weakly interacting and confined bosons at low density Considerem un sistema de N bosons idèntics confinats per un potencial extern d’oscil·lador harmònic a T=0. Aquest bosons interactuen entre si amb un potencial a dos cossos de la forma ( ⃗ ⃗ ). El hamiltonià que descriu el sistema és el següent: (⃗ )) ∑( ∑ (⃗ ⃗ ) Per trobar l’estat fonamental del sistema resoldrem el problema fent variacions sobre un funcional respecte , de manera que trobarem la funció que millor s’ajusta a l’estat fonamental.
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ Partim, però, de la funció d’ona de l’estat fonamental sense interaccions ( ) ( ), on tots els bosons es troben condensats al mateix estat.
( ) Minimitzant el funcional i imposant normalització amb un multiplicador de Lagrange μ (potencial químic) obtenim: ( ) [ ( )∫ ( ) ( ) ] Si considerem un gas molt diluït podem substituir la interacció a parelles per ( ) ( ) On as és el scattering length. Per a N grans podem aproximar Gross-Pitaevskii: [ i obtenir l’equació de ] [ ̅ ̅ ) √ Si fem servir les unitats d’oscil·lador harmònic ( obtenim l’expressió següent: ] Partint de la solució coneguda de l’estat fonamental de l’oscil·lador harmònic ( ) √ i mitjançant el mètode de temps imaginari podem resoldre l’equació de Gross-Pitaevskii.
També compararem els resultats obtinguts amb els resultats de l’aproximació de ThomasFermi, que consisteix en negligir els termes de l’energia cinètica.
Laura Barrio Hernández Mecànica quàntica d’N-cossos i sist. ultrafreds a) Part 1: sense interacció Si executem el programa posant que la interacció és igual a zero obtenim els resultats següents: N 100 1000 10000 100000 1000000 E 1,4999 1,4999 1,5000 1,5000 1,5000 0,7500 0,7500 0,7499 0,7500 0,7489 0,7500 0,7500 0,7501 0,7500 0,7511 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 μ 1,4999 1,4999 1,5000 1,5000 1,5000 Taula 1: taula que mostra l'energia total, el potencial químic, l'energia cinètica, el potencial de l'oscil·lador harmònic i el potencial d'interacció (zero en aquest cas) en funció del nombre de partícules.
Amb els resultats de la taula 1 podem comprovar que, com que el potencial d’interacció és zero, retrobem el resultat del oscil·lador harmònic per al potencial.
També observem que l’energia per partícula és igual al potencial químic. Això és degut a que el potencial químic és . L’energia per partícula és .
Si agrupem les dues expressions ens queda . Si no tenim energia d’interacció l’energia per partícula serà igual al potencial químic.
Part 2: amb interacció Ara, executem el programa prenent as=0,0043 i sense negligir el potencial d’interacció. Els resultats que obtenim són els següents: N E μ 100 1,6519 0,6565 0,8598 0,1356 1,7875 1000 2,4247 0,4375 1,3670 0,6199 3,0445 10000 5,0415 0,2404 2,9770 1,8240 6,8659 100000 12,1040 0,1237 7,2380 4,7430 16,8470 1000000 30,1200 0,0612 18,0600 12,0000 42,1190 Taula 2: taula que mostra l'energia total, el potencial químic, l'energia cinètica, el potencial de l'oscil·lador harmònic i el potencial d'interacció en funció del nombre de partícules.
Observant els resultats de la taula 2 veiem que l’energia total per partícula, el potencial químic, l’energia potencial, l’energia de l’oscil·lador harmònic i el potencial d’interacció creixen amb el nombre de partícules, mentre que l’energia potencial decreix quan major és el nombre de partícules.
b) Aproximació de Thomas-Fermi Ara, executem el programa negligint l’energia cinètica (aproximació de Thomas-Fermi) i obtenim els resultats següents: Laura Barrio Hernández Mecànica quàntica d’N-cossos i sist. ultrafreds N E μ 100 0,7585 0,0000 0,4722 0,2863 1,0448 1000 1,8969 0,0000 1,1470 0,7498 2,6468 10000 4,7630 0,0000 2,8560 1,9070 6,6704 100000 11,9640 0,0000 7,1800 4,7840 16,7480 1000000 30,0520 0,0000 18,0300 12,0200 42,0710 Taula 3: taula que mostra el mateix conjunt de dades que a la taula 2, però negligint la part de l'energia cinètica.
En aquest cas, veiem un comportament semblant al descrit en l’apartat anterior, però per a N més petites més diferents són els valors, mentre que per N grans més semblants són.
c) Perfil de la densitat Si representem la densitat normalitzada a 1 en funció del radi r per a N=1000 i N=100000 podem veure quina és la probabilitat d’una partícula de trobar-se en un radi r. Per als dos valors de N comparem el resultat del càlcul per Gross-Pitaevskii i per a l’aproximació de Thomas-Fermi.
Fig. 1: per a ρ(r) per a N=1000 (esquerra) i ρ(r) per a N=100000 (dreta) per a GP i TF Podem observar que el radi accessible augmenta amb el nombre de partícules, mentre que la densitat és major quan més petit és el nombre de partícules.
També observem que l’aproximació de Thomas-Fermi s’ajusta millor per a sistemes grans (gran nombre de partícules. Això ens serveix per comprovar la validesa de l’aproximació de ThomasFermi.
d) Comprovació numèrica Ara, comprovem si numèricament els resultats de GP i TF compleixen el teorema del Virial, que ve donat per l’expressió següent: Laura Barrio Hernández Mecànica quàntica d’N-cossos i sist. ultrafreds N GP TF 100 1000 10000 100000 1000000 100 1000 10000 100000 1000000 0,6565 0,4375 0,2404 0,1237 0,0612 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,8598 1,3670 2,9770 7,2380 18,0600 0,4722 1,1470 2,8560 7,1800 18,0300 0,1356 0,6199 1,8240 4,7430 12,0000 0,2863 0,7498 1,9070 4,7840 12,0200 0,00018 0,00072 -0,00128 0,00034 0,002478 -0,0855 -0,0446 0,009 -0,008 0 Taula 4: comprovació del teorema del Virial per a diferents valors de N, per GP i TF.
Podem veure que el teorema es compleix en ambdós casos, sobretot per a N grans. Però es compleix millor sense fer l’aproximació de Thomas-Fermi.
...