Tema 4: Funció real de variable real (2013)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 1
Año del apunte 2013
Páginas 41
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 5
Subido por

Descripción

Continuïtat, Tipus de discontinuïtats, Derivada i elasticitat d’una funció, Extrems absoluts i relatius. Creixement i decreixement,Curvatura: concavitat i convexitat,Representació gràfica de funcions

Vista previa del texto

Part ii: Anàlisi real Tema 4: Funció real de variable real La recta real i els intervals Els nombres reals es representen amb una recta que rep el nom de recta real.
Dins la recta real podem fer particions, és a dir, seleccionar-ne una part i no tenir en compte l’altra part. Per això, utilitzarem els intervals, que són subconjunts de nombres reals de la recta real. N’hi ha de tres tipus: Interval tancat: R Interval obert: R Interval semiobert: R o R o Nota: Quan a o b són +∞ o –∞, l’extrem de l’interval que conté aquests elements es considera obert, ja que són nombres que mai no arribem a agafar.
61 Llúcia Mauri Masdeu Exemples: 1) 2) 3) [–3,–1] (2,7) (0,4] 5) 6) [–3,+∞) (–∞,4) 4) [–3,1) Molt cops també necessitarem altres notacions com: • R o bé (–∞,+∞) que denoten tots els nombres reals.
• R\ {a} , que denota tots els nombres reals menys el nombre a.
• (a, b) ∪ (c, d) que denota la unió d’intervals, siguin de quin tipus siguin.
Exemples: 1) R\ {2} 2) [–4, –2)∪[0, 1] Concepte de funció real de variable real Una funció f real de variable real x,que denotarem per f(x), és una correspondència que assigna a cada element a ∈ A ⊂ R, un element b ∈ R f: A ⊂ R → R x 8 f(x) Imatge 7 62 Matemàtiques I Donat un valor a ∈ A ⊂ R, el valor que s’obté en fer f(a), s’anomena valor de la funció f(x) al punt a.
Exemples: x 1) f ( x) = x +1 → f ( 2) = 2 2 = 2 +1 3 2) f ( x) = x 2 + ln( x) → f (1) = 12 + ln(1) = 1 Les funcions es representen en gràfiques en un sistema cartesià de coordenades.
Aquestes estan formades pel conjunt de punts (x, f(x)); per tant, la gràfica de qualsevol funció f(x) és el conjunt Gf = {(x, y)| y = f(x)}.
Funció de proporconalitat Funció polinòmica de grau 3 Funció polinòmica de grau 4 Funció homogràfica Funció valor absolut lineal Funció valor absolut quadràtica Funció logarítmica ; Funció exponencial ; Funció arrel inversa 63 Llúcia Mauri Masdeu Funció sinus Funció cosinus Funció tangent Domini i recorregut d’una funció El conjunt de punts x ∈ R pel qual existeix f(x) s’anomena domini de f(x), i el denotarem per Domf(x).
Domf(x)={x ∈ R|∃ y ∈ R, y= f(x)} El conjunt de punts f(x) ∈ R que tenen antiimatge x s’anomenen recorregut o imatge de f(x), i el denotarem per Imf(x).
Imf(x)={y ∈ R|∃ x ∈ R, y= f(x)} Exemples: 1) f ( x) = sin( x) Domf(x)=R i Imf(x)= [–1, 1] Imatge 8 2) f ( x) = x Domf(x)=[0, +∞) i Imf(x)=[0, +∞) Imatge 9 64 Matemàtiques I 3) f ( x) = ln( x) Domf(x)= (0, +∞) i Imf(x)= R Imatge 10 4) f ( x) = 1 x Domf(x)=R\{0} i Imf(x)= R\{0} Imatge 11 Normalment per donar el domini d’una funció, no tindrem la seva gràfica per veure’l i haurem de fer servir alguns càlculs.
Gairebé sempre buscarem el domini i el recorregut de funcions conegudes, és a dir: funcions polinòmiques, racionals (homogràfiques o de proporcionalitat inversa ), exponencials, trigonomètriques, logarítmiques, radicals...
Domf(x) Imf(x) R R R\{els valors que anul·len el denominador} R R si f(x)=sin(x) o f(x)=cos(x) R\{ +kπ}, k ∈ Z si f(x)=tg(x) R\ {(*)} Funcions polinòmiques Funcions racionals Funcions exponencials Funcions trigonomètriques (solament: sin(x),cos(x), tg(x)) 65 (0, +∞) [–1, 1] R Llúcia Mauri Masdeu Domf(x) Imf(x) R\{els valors pels quals el logaritme Funcions logarítmiques Funcions amb radicals f ( x) = n x R no està definit} Si n és parell: R\{els valors pels quals el radical és negatiu} Si n és senar: Si n és parell: [0, +∞) Si n és senar: R R (*)En el cas que el polinomi del numerador sigui de grau 1o 0, i el polinomi del denominador sigui de grau 1, serà R\{el valor resultant de dividir els dos coeficients del terme de grau 1}. En la resta de casos ho haurem d’estudiar mitjançant els extrems de la funció i les asímptotes.
Exemples: 1) f ( x) = 3x + 1 x+2 x+2=0 ⇔ 2) f ( x) = x=–2 Per tant, Domf(x)=R\{–2} i Imf(x)= R\{3} 2x + 8 2x+8<0 ⇔ x<–4 Per tant, Domf(x)=[–4, +∞] i Imf(x)= [0, +∞] 3) Per tant, Domf(x)=R i Imf(x)= R 4) f ( x) = log( x + 7) x+7≤0 ⇔ x≤–7 Per tant, Domf(x)=(–7, +∞) i Imf(x)= R S’anomena funció identitat i la denotem per f(x)=Id(x)=x, la funció que deixa fixos tots els punts, és a dir, f(a)=a ∀a ∈ R.
Composició de funcions i funció inversa Composició de funcions Sigui i ,, definim la funció composta: 66 Matemàtiques I Imatge 12 I li direm f composada amb g, en què a x hi apliquen la funció f i després a f(x) hi apliquem g. Obtenim, així, .
Exemples: Considerem les funcions i 1) (g º f)(x)= 2) (f º g)(x)= 3) (f º f)(x)= Funció inversa Donada una funció f : A⊂ R→R, anomenarem inversa de la funció f , i la denotarem per f–1, la funció definida per f–1: f (A)⊂ R→R de manera que: (f–1º f)(x)=(f º f–1)(x)=IdA(x) Imatge 13 67 Llúcia Mauri Masdeu Exemples: 1) f(x)=x+3 i f–1(x)=x–3 (f–1 ° f) (x)= f–1 (f (x))=x+3–3=x 2) f(x)=ln(x) i f–1(x)=ex (f–1 ° f) (x)= f–1 (f (x))=eln(x)=x 4.1 Continuïtat. Tipus de discontinuïtats Límit d’una funció Definició de límit Sigui f : A⊂ R→R i sigui x0∈A. Diem que L∈ R és el límit de la funció f(x), quan x tendeix a x0 i el denotem per: Quan ens aproximem al valor x0, llavors les seves imatges s’aproximen a L.
El límit d’una funció f(x) en un punt x0 ∈ R, si existeix, és únic.
Exemple: Vegem el límit de la funció f ( x) = x 2 en el punt x0 = 2: X 1’9 1’99 1’999 ... ↓ 2 ... ↑ 2’001 2’01 2’1 f(x) 3’61 3’9601 3’996001 ... ↓ 4 ... ↑ 4,004001 4’0401 4’41 Imatge 14 Per tant, 68 Matemàtiques I Límits laterals Com que dins la recta real tenim dues possibilitats d’aproximar-nos a x0, per la dreta i per l’esquerra, existeixen dos límits laterals: límit quan x tendeix a x0 per l’esquerra (límit lateral per l’esquerra) límit quan x tendeix a x0 per la dreta (límit lateral per la dreta) El límit d’una funció f(x), és a dir, , existirà i el seu valor serà L, si i només si els límits laterals existeixen i són iguals, és a dir, els seus valors respectivament són L.
i Exemples: 1) f ( x) = x 2 quan x0 = 2 veiem que Domf (x) = R Imatge 15 2) f ( x) = 2 x+4 quan x0= –4 veiem que Domf (x) = R\{–4} Imatge 16 69 Llúcia Mauri Masdeu Nota: Molts cops quan els límits laterals són infinits però no són del mateix signe, es denota per ∞(infinit sense signe).
3) f ( x) = 1 x2 quan x0 = 0 veiem que Domf (x) = R\{0} Imatge 17 4) quan x0 = 2 veiem que Domf (x) = R Imatge 18 5) quan x0 = 2 70 veiem que Domf (x) = R Matemàtiques I Imatge 19 Operacions amb 0 i ∞ Límit d’una suma: + q 0 +∞ –∞ p p+q p +∞ –∞ 0 q 0 +∞ –∞ +∞ +∞ +∞ +∞ ind –∞ –∞ –∞ ind –∞ p p·q 0 0 0 0 ind ind +∞ –∞ Límit d’un producte: · q 0 +∞ –∞ ± ± ∞ ∞ ± ∞ ± ind +∞ –∞ ∞ ind –∞ +∞ Límit d’un quocient: (les columnes representen el numerador i les files el denominador) p 0 +∞ –∞ + q (q≠0) p/q 0 ± ∞ ± ∞ 1 0 límits laterals 0 –∞ +∞ 0 0 ind ind +∞ 0 0 ind ind –∞ 1 Molts cops se simbolitza amb ∞ (infinit sense signe).
Límit d’una potència: (les columnes representen l’exponent i les files la base) p<0 0 1 p>0 +∞ –∞ xy 0 ind 0 0 0 0 ± ∞ q<0 qp 1 q qp 0<q<1 qp 1 1 q 1 1 qp 1 1 q ind ind +∞ –∞ 1 q>1 +∞ –∞ qp 0 0 71 qp +∞ ± ∞ 0 +∞ ind ind +∞ 0 +∞ 0 0 ± ∞ Llúcia Mauri Masdeu Indeterminacions: Molts cops, a l’hora d’operar, ens trobem amb el que anomenem indeterminacions. En aquest punt de càlcul, observem que depèn de com enfoquem l’operació, aquesta pot tenir un resultat o un altre. En són un p exemple clar les caselles anteriors , és a dir : , , , , , , Propietats: Siguin f(x) i g(x) dues funcions, de manera que existeix llavors: • i per x0∈ R, • • • • si • Càlcul de límits Considerem una funció f(x), i volem calcular el valor del límit d’aquesta funció en el punt x= x0 . Per tant, avaluarem el valor de la funció en punts propers a x0 , tan propers que considerarem quasi bé el valor x0 .
Exemples: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Hem vist que calcular límits de moltes funcions no és gaire difícil, però, n’hi ha algunes en què el càlcul és més laboriós.
72 Matemàtiques I Càlcul de límits de funcions racionals Considerem P(x) i Q(x) dos polinomis, i volem calcular el límit següent: ; en què ai, bj ∈ R i = 0,..., n j = 0,..., m i m,n ∈ N.
Distingim dos casos: • si x0 ∈ R=(–∞, +∞) • si x0=±∞ si x0 ∈ R=(–∞, +∞) Es calcula el límit avaluant en punts propers a x0 : Exemples: 1) 2) 3) Si després de calcular el límit avaluant en punts propers a x0 , estem en aquesta situació, haurem de calcular els límits laterals.
73 Llúcia Mauri Masdeu Exemples: 1) Els límits laterals són diferents 2) Els límits laterals són iguals 0 0 (ind ) Si després de calcular el límit avaluant en punts propers a x0 , estem en aquesta situació, haurem de factoritzar els dos polinomis P(x) i Q(x).
Exemples: 1) 2) 3) si x0=±∞ (*) El signe ∞ depèn de la paritat de n i m i dels signes dels coeficients an i bm .
Exemples: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 74 Matemàtiques I Càlcul de límits amb algunes indeterminacions Sovint, en intentar calcular límits d’algunes funcions, ens trobem amb el que hem anomenat indeterminacions. Tot seguit, explicarem com resoldre’n algunes: Vegem-ho en un exemple: Exemples: 1) Vegem-ho en un exemple: Exemple: 1) ó En aquest cas utilitzem la propietat : ó En el cas de quocient de polinomis ja hem vist un mètode per resoldre-ho. En cas de tenir quocient de qualsevol tipus de funció, utilitzarem la regla de l’Hôpital (ho veurem en l’apartat 4.2.).
En aquest cas tenim: Ho resoldrem utilitzant l’exponencial, ja que aquest límit es pot transformar mitjançant operacions elementals a un límit que ens defineix el nombre e. Per tant: Exemples: 1) 75 Llúcia Mauri Masdeu 2) Continuïtat Definició Direm que una funció f(x): A⊂ R → R és contínua en un punt x0∈A, si els límits laterals quan x tendeix a x0 i el valor de la funció en el punt x0 coincideixen, és a dir: Per tant, una funció f(x) serà contínua si ho és en tots els punts x0∈ R.
Propietats: 1) Si f(x) i g(x) són dues funcions contínues en x0 ⇒ 2) Sigui f(x) i g(x) dues funcions, de manera que: x0 → f(x0) → g(f(x0))=(g ° f) (x0) Si f (x) és contínua en x0 i g (x) és contínua en f (x0) és contínua en x0 3) f (x)=sin(x) i g(x)=cos(x) són funcions contínues en ∀x ∈ R.
4) f (x)=tg (x) és contínua en ∀x ∈ R\{ }, k∈Z.
5) Si f(x) és una funció racional, és continua en ∀x ∈ R\{els valors de x que anullen el denominador}.
76 Matemàtiques I 6) Si f(x) és una funció polinòmica, és contínua ∀x ∈ R.
7) Si f(x)és una funció exponencial, és contínua ∀x ∈ R.
8) Si f(x) és una funció logarítmica, és contínua ∀x ∈ (0, +∞) .
Tipus de discontinuïtats Definició Sigui f(x) : A ⊂ R → R una funció, i x0∈A. Direm que la funció f(x) és discontínua en el punt x=x0, si la funció f(x) no és contínua en el punt x=x0.
Tipus de discontinuïtat Hi ha molts tipus de discontinuïtat. En destacarem tres: Discontinuïtat evitable: existeixen els límits laterals nombres reals, però el valor no és igual al de f (x0).
Discontinuïtat de salt: existeixen els límits laterals bres reals, però aquests no són iguals.
Discontinuïtat asimptòtica: existeixen els límits laterals seu valor pot ser +∞ o –∞ i no existeix el valor de f (x0).
i , són i , són nom- i f (x0) no existeix (estaria a l’infinit) 77 , el Llúcia Mauri Masdeu Exemples: 2x–1 si x ≤ 2 4 si x > 2 1) f (x)= Imatge 20 La funció f(x) està definida a trossos. Si x ≤ 2, tenim que f(x)=2x–1, que és contínua per tots els valors x ≤ 2, ja que és una funció polinòmica. Si x>2, tenim que f(x)=4, que és contínua per tots els valors x > 2, ja que és una funció constant. Vegem què passa al punt de salt: Així, tenim que f(x) és contínua en ∀x ∈ R\{2}, on presenta una discontinuïtat de salt en x=2 .
2x–1 si x ≠ 2 4 si x = 2 2) f (x)= Imatge 21 La funció f(x) està definida a trossos. Si x≠2, tenim que f(x)=2x–1, que és contínua per tots els valors x≠2, ja que és una funció polinòmica. Si x=2, tenim que f(x)=4, que és contínua en aquest punt, ja que és una funció constant. Vegem que passa al punt de salt: A Així, tenim que f(x) és contínua en ∀x ∈ R\{2}, on presenta una discontinuïtat evitable en x=2 .
78 Matemàtiques I 3) f ( x) = 2 x+4 Imatge 22 La funció f(x) és una funció racional i és contínua en tots els punts menys en els que anul·len el denominador. Per tant: x+4=0 ⇔ x=–4 Quan x=–4 el denominador s’anul·la Així, f(x) és contínua en ∀x ∈ R\{–4}, on presenta una discontinuïtat asimptòtica en x=–4.
Continuïtat de funcions respecte paràmetres En aquest apartat, l’objectiu és esbrinar el valor que han de tenir els paràmetres perquè la funció donada sigui contínua, és a dir, hem d’imposar que es compleixi la igualtat següent per a tots els punts.
(definició de continuïtat d’una funció en un punt) Exemples: 2x+ a si x < 2 què a ∈ R 1) f (x)= 2 x + 2x–1 si x ≥ 2 79 Llúcia Mauri Masdeu La funció f(x) està definida a trossos. Si x < 2, tenim que és contínua, ja que és una funció polinòmica. Si x ≥ 2, també tenim que és contínua perquè és una funció polinòmica. Busquem els valors del paràmetre a perquè la funció sigui contínua al punt de salt.
Així, tenim que f(x) és contínua en ∀x ∈ R si a=3 .
2x+ a 2) ax+ b 3x2+ 2 si x < –1 si –1≤ x < 0 en què a, b ∈ R si x ≥ 0 La funció f(x) està definida a trossos. En els tres intervals de definició de la funció tenim funcions polinòmiques que són funcions contínues. Busquem, llavors, els valors dels paràmetres a i b, perquè la funció sigui contínua als punts de salt.
Llavors, si substituïm el valor de b en la primera equació obtenim: –2+a=–a +2 → a=2 i per tant, la funció és contínua ∀x ∈ R si a=2 i b=2.
80 Matemàtiques I Teorema de Bolzano Sigui f : A⊂R→R, contínua en [a, b]∈A i f(a) ⋅ f(b)<0 llavors ∃α∈ (a, b) de manera que f (α)=0.
Imatge 23 Teorema del valor intermedi Sigui f : A⊂R→R, contínua en [a, b]∈A i f(a) ≠ f(b) llavors ∀β∈ [f(a), f(b)], ∃α∈ (a, b) pertanyent a R de manera que f (α)=β.
Imatge 24 Teorema de Weierstrass Sigui f : A⊂R→R, contínua en [a, b]∈A, llavors f(x) té un màxim i un mínim absolut en l’interval [a, b], o sigui, ∃α1, α2 ∈[a, b] de manera que f(x)≤ f(α1) i f(x)≥ f(α2) ∀x∈[a, b].
Imatge 25 Nota: En el proper apartat veurem què és un màxim i un mínim absolut.
81 Llúcia Mauri Masdeu 4.2 Derivada i elasticitat d’una funció Derivada Definició Sigui f : A⊂R→R una funció, i x0∈A. Direm que f és derivable en x0, i ho denotarem per f '(x0), si existeix el límit següent: Per tant, una funció f(x) serà derivable si ho és en tots els punts x0∈R.
Notació Normalment ,donada una funció f(x), utilitzarem la notació anterior per indicar la seva derivada però n’hi ha d’altres com: , , Interpretació geomètrica La derivada és un increment la magnitud del qual ens dóna una idea de la rapidesa amb què creix (o decreix) la funció. És a dir, el valor de la derivada en un punt (x0 , f ( x0 ) ) és el valor de la pendent m de la recta tangent en aquest punt.
Imatge 26 82 Matemàtiques I Les funcions que hem estudiat (polinomis, racionals, trigonomètriques, exponencials i logarítmiques) són funcions derivables en els seus corresponents dominis.
Taula de derivades Funció Derivada Exemple Funció constant f(x)=a f '(x)=0 f(x)=8 f '(x)=0 f(x)=ax f '(x)=a f(x)=2x f '(x)=2 f(x)=ax+b f ' ( x) = a f ( x) = 4 x + 3 f ' ( x) = 4 f(x)=xn f '(x)=n · xn–1 f(x)=x3 f '(x)=3x2 f(x)=axn f '(x)=n · a · xn–1 f(x)=5x3 f '(x)=15x2 Funcions lineals Funcions potencials f ( x) = n x f ( x) = 3 x Funcions exponencials f ( x) = e x f ' ( x) = e x f ( x) = a x Funcions logarítmiques f ( x) = 3e x f ' ( x) = 3e x f ' ( x) = 1 x f ' ( x) = 1 x g ' ( x) g ( x) f ( x) = log 2 x f ( x) = log a x Funcions trigonomètriques f ( x) = sin x f ' ( x) = e x f ( x) = 2 x f ' ( x) = f ( x) = ln( g ( x) f ( x) = e x f ' ( x) = cos x f ( x) = sin x f ( x) = cos x f ( x) = cos x f ( x) = tgx f ( x) = tgx 83 f ' ( x) = cos x Llúcia Mauri Masdeu Propietats Siguin f(x) i g(x) dues funcions derivables, llavors es compleixen les igualtats següents.
1) 2) en què k ∈ R.
3) 4) 5) Regla de la cadena: serveix per derivar funcions composades.
6) Si una funció f(x) és derivable en un punt x0 , llavors és contínua en aquest punt.
El recíproc d’aquesta propietat no és certa: exemple f(x)= x Imatge 27 Aquesta funció és contínua, ja que està definida per funcions polinòmiques, i en el punt de salt x=0 es compleixen les condicions de continuïtat: Però observem en derivar f(x), que la funció és derivable en tots els punts menys en x=0, ja que les derivades laterals no coincideixen: 84 Matemàtiques I Les funcions amb punts angulosos o pics no són derivables en tot el seu domini.
7) Si una funció no és contínua en un punt x0 , llavors no és derivable en aquest punt.
Derivades successives Sigui f : A⊂R→R una funció derivable. Definim la segona derivada com la derivada de la funció derivada, que també és una funció real de variable real i pot ser derivable.
Així podríem repetir el procés n vegades i definir la n-èssima derivada de la funció f(x) com: ( )' Exemple: ...
1) 2) ...
3) ...
Recta tangent a una funció en un punt Imatge 28 85 Llúcia Mauri Masdeu Definim la recta tangent en un punt x0∈ Domf(x) de la funció f(x) com a: Observem que el seu pendent és m=f'(x0) i que aquesta passa pel punt P=(x0, f(x0)) Exemple: 1)Volem trobar la recta tangent a la funció f(x)=x2–3x+1 en el punt x=2.
per tant, i Regla de l’Hôpital i Siguin f(x) i g(x) dues funcions derivables, en què i (indeterminacions del tipus: 0 o bé 0 , o bé, ). Llavors: (Nota: Aquesta regla es pot aplicar diverses vegades en un mateix límit.) Exemples: 1) 2) Elasticitat d’una funció L’elasticitat d’una funció mesura la relació existent entre dos variables sense tenir en compte la unitat de mesura, és a dir, és un indicador adimensional. La derivada mesura variacions absolutes i, en canvi, l’elasticitat mesura variacions relatives.
86 Matemàtiques I Definició Es defineix l’elasticitat d’una funció f(x) en un punt x0 , i ho denotarem per E x f ( x0 ) , el límit: Per tant: Tipus d’elasticitats • f (x) té elasticitat unitària en • f (x) té elasticitat rígida o inelàstica en • f (x) té elasticitat elàstica en Exemples: 1) Volem calcular E x f (1) Per tant, en el punt x=1 la funció té elasticitat rígida o inelàstica.
2) Volem calcular Per tant, en el punt x=–2 la funció té elasticitat elàstica.
3) f ( x) = 2 x Volem calcular E x f (2) Per tant, en el punt x=2 la funció té elasticitat unitària.
87 Llúcia Mauri Masdeu 4.3 Extrems absoluts i relatius. Creixement i decreixement Direm que una funció f(x) és creixent si ∀x0, x1∈ R, de manera que x0 < x1 , llavors .
Direm que una funció f(x) és decreixent si ∀x0, x1∈ R, de manera que x0 < x1 , llavors .
Exemple: 1) Considerem una funció amb la gràfica següent: Imatge 29 Observem que: Si x∈ (–∞, +1), la funció és decreixent.
Si x∈ (–1, 1), la funció és creixent.
Si x∈ (1, 2), la funció és decreixent.
Si x∈ (2, +∞), la funció és creixent.
Ens fixem que hi ha una sèrie de punts en què la funció passa de créixer a decréixer o viceversa. Per tant, serà important determinar els intervals de creixement i decreixement i aquests punts de canvi. Aquest procés s’anomena estudi de la monotonia d’una funció.
Així, doncs, fent ús de les eines apreses fins ara, podem concloure: • Si x0∈ R i f ' ( x0 ) > 0 , llavors direm que la funció és creixent en x0 .
• Si x0∈ R i f ' ( x0 ) < 0 , llavors direm que la funció és decreixent en x0 .
• Si x0∈ R i f ' ( x0 ) = 0 , llavors direm que x0 és un punt singular o estacionari.
88 Matemàtiques I Exemple: 1) la funció és decreixent en aquest punt.
f ' (3) = 2 > 0 f ' (2) = 0 la funció és creixent en aquest punt.
en aquest punt és un punt singular.
Imatge 30 En un punt singular la funció pot presentar un extrem relatiu o un punt d’inflexió.
Un extrem relatiu pot ser un màxim relatiu o un mínim relatiu. També existeixen el que anomenem extrems absoluts.
Extrems absoluts Direm que una funció f(x) té un màxim absolut en x0 si .
Direm que una funció f(x) té un mínim absolut en x0 si .
Extrems relatius o locals Direm que una funció f(x) té un màxim relatiu en x0 , si i només si , en què ε>0.
89 per tots els per tots els Llúcia Mauri Masdeu Direm que una funció f(x) té un mínim relatiu en x0 , si i només si , en què ε>0.
Un punt d’inflexió és un punt en què la derivada s’anul·la però la funció creix (o decreix) a ambdós costats d’aquest punt.
Punts crítics Els punts crítics d’una funció f(x) són els possibles candidats a ser màxim, mínim o punt d’inflexió. Aquests es troben: • En els punts en què la derivada s’anul·la (punts singulars).
• Els punts en què no existeix la derivada (exemple: f ( x) = x ).
• En els extrems dels intervals en què estudiem la funció (en el cas que no sigui ∀x∈R) Estudi de la monotonia Per estudiar la monotonia d’una funció f(x), necessitem trobar els punts crítics d’aquesta funció.
Com hem vist abans, n’hi ha de tres tipus. Els punts en què no existeix la derivada i els extrems dels intervals en què estudiem la funció són fàcils de trobar; però, com podem trobar els punts singulars? • Donada una funció f(x), buscarem la seva derivada, tot seguit la igualarem a 0 per trobar els punts singulars.
• Per determinar el tipus de punt singular: Mètode A: (si la funció no és gaire difícil de derivar) calcularem la segona derivada f ' ' ( x) i l’avaluarem als punts singulars: Si f ' ' ( x0 ) < 0 , llavors f(x) presenta un màxim relatiu en x0 .
Si f ' ' ( x0 ) > 0 , llavors f(x) presenta un mínim relatiu en x0 .
Si f ' ' ( x0 ) = 0 i , llavors f(x) presenta un punt d’inflexió en x0 .
Nota: Aquest concepte s’estén per ordre parell i senar de derivació.
Mètode B: (si la funció és complicada de derivar) avaluarem la derivada prenent un punt en cada interval, definits a partir dels punts singulars obtinguts. I depenent de si la funció creix o decreix, conclourem si són màxims mínims o punts d’inflexió.
90 Matemàtiques I Exemples: 1) (Vegeu gràfica 1) Aquesta funció és derivable ∀x∈R. I com que considerem tota la recta real, no tenim extrems d’intervals en què podem estudiar la funció. Així, doncs, la recerca dels punts crítics es redueix a buscar els punts singulars.
Per tant, solucions: , . (Punts singulars) , Per tant, la funció presenta un màxim relatiu en x=1.
Per tant, la funció presenta un mínim relatiu en x=–1.
Per tant, la funció presenta un mínim relatiu en x=2.
(–∞, –1) –1 (–1, 1) mínim 1 màxim decreixent creixent 2) (1, 2) 2 (2, +∞) mínim decreixent creixent (Vegeu gràfica 2) Aquesta funció és derivable ∀x∈R\{–3,3}, ja que no és contínua en aquests punts.
Per tant, hem de tenir en compte que aquests punts no pertanyen al domini. Així, doncs, la recerca dels punts crítics es redueix a buscar els punts singulars.
(x2 –9)2 (x2 –9)2 Per tant, solució: x=0 (Punt singular) (–∞, –3) (–3, 0) creixent creixent 0 màxim 91 (0, 3) (3, +∞) decreixent decreixent Llúcia Mauri Masdeu Com que el càlcul d’una derivada d’una funció racional és més complexa, utilitzarem l’altre mètode.
Per tant, la funció és creixent en el interval (–∞, –3).
Per tant, la funció és creixent en el interval (–3, 0).
Per tant, la funció és decreixent en el interval (0, 3).
Per tant, la funció és decreixent en el interval (3, +∞).
Per tant, en el punt x=0 hi ha un màxim relatiu.
Gràfica 1: Gràfica 2: Imatge 31 Imatge 32 92 Matemàtiques I 4.4 Curvatura: concavitat i convexitat En l’apartat anterior hem definit el concepte de monotonia: creixement i decreixement de funcions. En aquest apartat ens centrarem en la curvatura de les funcions, és a dir, si presenten concavitat o convexitat i en quins intervals.
Gràficament la concavitat i la convexitat es visualitzen de la manera següent: Imatge 33 Nota: En algunes obres existeixen divergències sobre la concavitat i convexitat.
Així, doncs, per evitar confusions, podem parlar de curvatura positiva o curvatura negativa.
Així, doncs, en una gràfica d’una funció, tindrem diferents intervals en els quals aquesta és còncava o convexa: Imatge 34 Anteriorment hem definit els punts d’inflexió amb relació a la monotonia d’una funció.
Vegem quin paper tenen amb la curvatura: 93 Llúcia Mauri Masdeu Donada una funció f(x) qualsevol, per determinar si aquesta presenta concavitat o convexitat en un cert interval, necessitem, a banda de les eines que ens determinen si és una o l’altra, els extrems dels intervals. Quins són aquest extrems? Definim, llavors, els punts d’inflexió com els punts de la funció en els quals es produeix un canvi de curvatura, és a dir, passem de còncava a convexa o de convexa a còncava.
Observem al dibuix que si agrupem els coneixements de monotonia i curvatura coneguts fins ara, veiem que hi ha una certa relació.
Imatge 35 Llavors: • Si hi ha un màxim relatiu en f(x) és còncava en x0 .
• Si hi ha un mínim relatiu en f(x) és convexa en x0 .
Com podem trobar els punts d’inflexió? I com podem saber quin tipus de curvatura tenim? Així, els extrems dels intervals en què se’ns presenten els diferents tipus de curvatura estan delimitats pels extrems de definició de la funció pròpiament dit i pels punts d’inflexió.
Per estudiar la curvatura, procedirem de la manera següent: • Donada una funció f(x), calcularem la segona derivada, és a dir, f ' ' ( x) . Posteriorment la igualarem a 0, les solucions de la qual seran els punts d’inflexió.
• Seguidament, definits ja els diferents intervals, avaluarem la segona derivada en qualsevol punt inclòs dins d’aquests intervals i conclourem: 94 Matemàtiques I – Si f ' ' ( x0 ) < 0 per a qualsevol x0 pertanyent a un interval I→ f(x) és còncava en I (curvatura negativa) – Si f ' ' ( x0 ) > 0 per a qualsevol x0 pertanyent a un interval I→ f(x) és convexa en I (curvatura positiva) Nota: Aquest concepte s’estén per ordre parell i senar de derivació.
Exemples: Prenem els exemples anteriors i estudiem la curvatura: 1) 6x=0 Per tant, solució: x=0. I (Punt d’inflexió) . Llavors la funció f(x) és còncava en (–∞, 0) (curvatura negativa) f ' ' (1) = 6 > 0 Llavors la funció f(x) és convexa en (0, +∞) (curvatura positiva) (–∞, 0) 0 (0, +∞) ∩ còncava Punt d’inflexió ∪ convexa Imatge 36 2) (Vegeu gràfica 2) (x2 –9)2 (x2 –9)3 (x2 –9)3 No hi ha solució; per tant, no hi ha punts d’inflexió.
95 Llúcia Mauri Masdeu Però, cal anar en compte amb el domini de la funció! Observem que tenim diferents intervals: . Llavors la funció f(x) és convexa en (–∞, 3) (curvatura positiva) . Llavors la funció f(x) és còncava en (–3, 3) (curvatura negativa) . Llavors la funció f(x) és convexa en (3, +∞) (curvatura positiva) (–∞, 3) (–3, 3) (3, +∞) ∪ convexa ∩ còncava ∪ convexa 4.5 Representació gràfica de funcions Per representar gràficament una funció f(x), necessitem algun tipus d’informació sobre aquesta funció. Així, prèviament, haurem d’especificar una sèrie de característiques que ens permetin posteriorment “dibuixar–ne” la gràfica sense donar aleatòriament valors a la variable x.
Haurem de donar: • Domini de la funció (vist prèviament).
• Punts de tall amb els eixos.
• Simetries.
• Asímptotes.
• Monotonia: Creixement i decreixement (vist prèviament).
• Curvatura: Concavitat i convexitat (vist prèviament).
Punts de tall amb els eixos Vegem-ho amb un exemple: Considerem la funció: eixos.
i busquem els punts de tall amb els dos 96 Matemàtiques I Imatge 37 Amb l’eix OX (o eix d’abscisses): → (y=0) f(x)=0 Seran els punts de tall de la forma (x0, 0) en què x0∈ R.
Per tant, punt (1, 0) Amb l’eix OY(o eix de coordenades): → x=0 Seran els punts de tall de la forma (0, f(x0)) en què f(x0)∈ R.
Per tant, punt (0, –1) Simetries Vegem-ho amb uns quants exemples: 2 Considerem la funció: f ( x) = x 2 + 1 i g ( x) = 3 ; busquem possibles simetries.
x Imatge 38 Imatge 39 97 Llúcia Mauri Masdeu Simetria axial (respecte l’eix 0Y): Si f(–x)= f(x) Hi ha simetria axial.
No hi ha simetria axial.
Simetria central (respecte l’origen): Si f(–x)= –f(x) No hi ha simetria axial.
Hi ha simetria axial.
Pot ser que una funció no tingui ni simetria axial ni simetria central.
Asímptotes Asímptotes verticals: Imatge 40 Imatge 41 Imatge 42 98 Imatge 43 Matemàtiques I Normalment es donen en punts que no pertanyen al domini i en els quals tenim discontinuïtat asimptòtica. En el cas de les funcions racionals és dóna normalment en els punts en què s’anul·la el denominador. En aquest punts x0 observem que: → Hi ha asímptotes verticals en x = x0 Nota: Recordeu que denota que els límits laterals tendeixen a l’infinit però pot ser que aquests siguin de diferent signe.
Asímptotes horitzontals: Imatge 44 Imatge 45 Si en calcular el límit següent, el resultat és un nombre finit. Aleshores hi ha una asímptota horitzontal en aquest punt x0 .
→ Hi ha asímptotes horitzontals en x = x0 Asímptotes obliqües: Si hi ha asímptotes horitzontals, llavors no hi haurà asímptotes obliqües, però en cas que no n’hi hagi, pot ser que tinguem asímptotes obliqües, ja que: → Hi ha asímptotes obliqües delimitades per la recta en què: i 99 Llúcia Mauri Masdeu Exemples: 1) Asímptotes verticals: Domf(x)= R–{1} HHi ha una asímptota vertical en x=1.
Asímptotes horitzontals: Hi ha una asímptota horitzontal en f ( x) = 2 (o en y=2).
Asímptotes obliqües: Com que hi ha asímptotes horitzontals, llavors no hi haurà asímptotes obliqües.
2) f ( x) = 2x 2 + 3 x Asímptotes verticals: Domf(x)= R–{0} Hi ha una asímptota vertical en x=0.
100 Matemàtiques I Asímptotes horitzontals: No hi ha cap asímptota horitzontal.
Asímptotes obliqües: Vegem si hi ha asímptotes obliqües delimitades per la recta y=mx+n. Busquem els paràmetres m i n: Hi ha asímptotes obliqües delimitades per la recta y = 2 x .
101 ...