Exercicis del tema 3 resolts: Optimització sense restriccions (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 11
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 11
Subido por

Vista previa del texto

Exercicis del tema 3: Optimització sense restriccions 20. Trobeu els òptims de: a) f ( x, y )  x 3 x 2 y y 2 2 y 1 Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: ,  3x 2  x 3  2x = 0   x 2  2 y =  2 si x = 0, llavors: si –x2+3x–2 = 0, llavors: Punts crítics: (0, –1), (2, –3) i 113 Llúcia Mauri Masdeu Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) és indefinida A (0, –1) punt de sella és indefinida A (2, –3) punt de sella és definida positiva b) Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , si x = 0 llavors y = 2 u 0 = 0 si 32x–4 = 0 Punts crítics: llavors , i 114 mínim local Matemàtiques II Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) és indefinida A (0, 0) punt de sella és definida positiva A mínim local £ 1 1 ¥ ,< ´ ¤ 8 2 ¦ és definida positivaA ²< mínim local c) Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , Per tant, 115 Llúcia Mauri Masdeu Punt crític: (1, 1), ja que el (–2, –2) no pertany al domini de la funció.
Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) és definida positiva A (1, 1) mínim local d) Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , si 3x = 0 A x = 0 A y = 02 = 0 si 1–x3 = 0 A x = 1 A y = 12 = 1 Punts crítics: (0, 0) i (1, 1) Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) Hf(0,0) és indefinida A (0, 0) punt de sella és definida negativa A (1, 1) màxim local 116 Matemàtiques II e) Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , Per tant, Punts crítics: (1, 2), (–1, –2), (2, 1) i (–2, –1).
Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) és indefinida A (1, 2) punt de sella és indefinida A(–1, –2) punt de sella és definida positiva A (2, 1) mínim local és definida negativa A (–2, –1) màxim local 117 Llúcia Mauri Masdeu f) f ( x, y )  xye x 2 y Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , Per tant, (1) La funció exponencial és sempre positiva i mai s’anul·la.
Punts crítics: (0, 0) i Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) és indefinida A(0, 0) punt de sella és definida negativa màxim local g) Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , 118 Matemàtiques II (1) Apliquem el mètode de resolució de sistemes d’equacions per reducció. Però, també es pot utilitzar qualsevol dels altres dos: igualació o substitució.
Punt crític: (–1, –1).
Busquem la matriu hessiana: (Condició necessària de segon ordre) és definida positiva A (–1, –1)mínim local 21. Una empresa produeix dos tipus de calculadores, on x i y són les unitats produïdes de cada tipus en un any (en milers). Les funcions de costos i ingressos per any són (en i , respectivament. Quanmilions), tes calculadores de cada tipus s’han de produir per any per obtenir un benefici màxim? Quin és aquest benefici? Busquem la funció de beneficis: Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , (1) Apliquem el mètode de resolució de sistemes d’equacions per reducció. Però, també es pot utilitzar qualsevol dels altres dos: igualació o substitució.
Comprovem que aquest punt es tracta d’un màxim: 119 Llúcia Mauri Masdeu Utilitzant el mètode dels menors principals (també es pot usar el mètode dels valors propis): Per tant, la matriu és definida negativa i, llavors, (2,4) es tracta d’un màxim.
Vegem quin és aquest benefici màxim: milions en un any 22. Una empresa produeix tres béns de preus de mercat 16, 12 i 20 unitats monetàries, on x, y, respectivament. La seva funció de costos és: z representen les quantitats produïdes de cadascun dels tres béns. Obtingueu els valors de x, y, z que maximitzen el benefici de l’empresa.
Dades: p1 = 16, p2 =12 i p3 = 20 Llavors, la funció d’ingressos és la següent: Busquem la funció de beneficis: Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , , Comprovem que aquest punt es tracta d’un màxim: Utilitzant el mètode dels menors principals (també es pot usar el mètode dels valors propis): 120 Matemàtiques II , , Per tant, la matriu és definida negativa i, llavors, (7,3,1) es tracta d’un màxim.
23. Una empresa produeix dos béns en competència perfecta, els preus dels quals són i . La funció de costos és , on q1 i q2 són les unitats produïdes d’aquests béns. Calculeu els nivells de producció que proporcionen el benefici màxim.
Dades: p1 = 42 i p2 = 51 Llavors, la funció d’ingressos és la següent: Busquem la funció de beneficis: Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , (1) Apliquem el mètode de resolució de sistemes d'equació per reduccions. Però, també es pot utilitzar qualsevol dels altres dos: igualació o substitució.
Comprovem que aquest punt es tracta d’un màxim: Utilitzant el mètode dels menors principals (també es pot usar el mètode dels valors propis): p p ( p , Per tant, la matriu és definida negativa i, llavors, (5,9) es tracta d’un màxim.
121 Llúcia Mauri Masdeu 24. La funció de beneficis mensuals de l’empresa BLA, dedicada a la fabricació i comercialització de telèfons mòbils, és: (en milers d’euros), on x, y, z són milers de telèfons produïts mensualment dels models BLAline, BLAstar i BLAstel, respectivament. Determineu el nombre de telèfons de cada model que s’han de produir mensualment per tal de maximitzar el benefici.
Busquem les derivades parcials i les igualem a zero: , , Nota: Aquest sistema no és lineal.
Per tant: si z = 0 (no podem tenir una quantitat negativa), x2 = 3 Per tant, per a aquest cas tenim el punt (3,9,0) si x = 1 (1) Apliquem el mètode de resolució de sistemes d’equacions per reducció. Però, també es pot utilitzar qualsevol dels altres dos: igualació o substitució.
Per tant, per a aquest cas tenim el punt (1,13,8).
Comprovem que aquests punts són màxims: 122 Matemàtiques II Utilitzant el mètode dels menors principals (també es pot usar el mètode dels valors propis): , Per tant, la matriu és indefinida i, llavors, (3,9,0) no és un màxim.
, Per tant, la matriu és definida negativa i, llavors, (1,13,8) és un màxim. En conclusió, s’han de produir 1 telèfon BLAline, 13 telèfons BLAstar, 8 telèfons BLAstel (en milers).
123 ...