Sem 1 Sol (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Matemáticas II
Año del apunte 2015
Páginas 4
Fecha de subida 16/01/2015
Descargas 3
Subido por

Descripción

Toda la teoría y práctica de la asignatura

Vista previa del texto

Matem` atiques II. Problemes del Seminari 1 Heu de raonar breument totes les respostes i justificar els passos que feu.
Mat`eria: Sessions de teoria 1, 2 i 3.
1. A R3 , trobeu l’equaci´o de la recta que passa pels punts (1, 2, 3) i (3, −2, −1). Trobeu un punt de la recta diferent dels donats.
´ SOLUCIO: x−1 y−2 z−3 2x + y − 4 = 0 (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, −4, −4) o = = o Un punt y−z+1 = 0 2 −4 −4 de la recta podria ser per t = 1/2 : (2, 0, 1).
2. Trobeu l’equaci´o del pla que passa pels punts (1, 2, 3), (4, 0, 5), (−1, 1, 0). Trobeu un punt del pla diferent dels donats.
´ SOLUCIO: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t·(3, −2, 2) + s·(−2, −1, −3) (eq. vectorial) o b´e 8x + 5y − 7z + 3 = 0 (eq.
general). Un punt diferent pot ser el que s’obt´e per x = 2, y = −1 que, substituint, d´ona z = 2: (2, −1, 2).
3. Trobeu l’equaci´o d’un pla paral·lel al pla 8x + 5y − 7z + 3 = 0 i que passi pel punt (−1, −1, −1).
Trobeu tamb´e l’equaci´o del pla paral·lel que passa per l’origen de coordenades.
´ SOLUCIO: 8x + 5y − 7z + 6 = 0. El que passa per l’origen de coordenades t´e D = 0 clarament: ´es 8x + 5y − 7z = 0.
4. (a) Proveu que (0, −1, 1) ´es un punt del pla −x + 2y + 3z = 1.
(b) Trobeu l’equaci´o de la recta que passa per (−2, 1, −1) i ´es perpendicular al pla de l’apartat anterior.
´ SOLUCIO: (a) Es comprova que satisf`a l’equaci´o del pla.
(b) (x, y, z) = (−2, 1, −1) + t·(−1, 2, 3).
5. Existeix algun valor de k que faci que la recta kx + y − z = 3 sigui perpendicular al pla 2x − y + 2z = 5 x = z? Si la resposta ´es afirmativa, quin? ´ SOLUCIO: Cal trobar un vector director de la recta. Trobant dos punts (solucionant el sistema indeterminat), per exemple (0, 11, 8) i (1, 9 − 2k, 6 − k) trobem el vector director de la recta (−1, 2 + 2k, 2 + k). Si aquest vector ha de ser perpendicular al pla, ha de ser proporcional al vector normal del pla: (1, 0, −1). O sigui k = −1. Vigileu amb la compatibilitat de les dues equacions 2 + 2k = 0 i 2 + k = 1.
6. Sigui f (x, y) = x2 − 2xy + 3y 3 . Calculeu: (a) f (2, −1).
(b) f (−1/x, 1/y).
(c) f (x, y + k) − f (x, y) .
k ´ SOLUCIO: (a) f (2, −1) = 5.
(b) f (−1/x, 1/y) = (c) 1 3 2 y 3 + 2xy 2 + 3x2 + + = .
x2 xy y 3 x2 y 3 f (x, y + k) − f (x, y) = −2x + 9y 2 + 9yk + 3k 2 .
k 7. Donada la funci´o z = x2 − y 2 + x2 + y 2 − 1 trobeu-ne el domini i representeu-lo gr`aficament.
´ SOLUCIO: {(x, y) : x2 ≥ y 2 , x2 + y 2 ≥ 1}. La zona ombrejada de la figura 8. Trobeu el domini, el gr`afic i algunes corbes de nivell de z = 4 − x2 − y 2 .
´ SOLUCIO: Domini: (x, y) : x2 + y 2 ≤ 22 . Gr`afic Corbes de nivell de cota z = 0, 1, 1.25, 1.5, 1.75: 9. En el gr`afic veieu algunes corbes de nivell d’una funci´o z = f (x, y). Podeu trobar una expressi´o per f (x, y) que s’hi ajusti? 5 4 z=0 3 z=4 z=6 2 1 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 ´ SOLUCIO: f (x, y) = 4 − x − y.
z=2 0 1 2 3 4 ...