Problemes 4 (2010)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 3º curso
Asignatura Estadística
Año del apunte 2010
Páginas 4
Fecha de subida 31/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Estad´ıstica. Llicenciatura en Ci`encies Ambientals Curs 2010–2011. Llista 4 1. Un expert en edafologia vol estimar el pH mitj`a d’un camp de gran extensi´o. Per a fer-ho selecciona a l’atzar 40 mostres de s`ol del camp i mesura el pH de cada mostra.
Suposant que el pH en aquest camp es distribueix segons una normal de desviaci´o 0.75 unitats de pH, es demana: (a) calculeu la probabilitat que la mitjana mostral es desvi¨ı com a molt 0.1 unitats de pH de la mitjana (te`orica) del valor de pH al camp.
(b) si l’expert vol que la mitjana mostral difereixi com a molt en 0.1 unitats de pH de la mitjana (te`orica) del valor de pH al camp, amb una probabilitat de 0.90, com a m´ınim, quantes mostres de s`ol haur`a de prendre, com a m´ınim, per tal d’aconseguir-ho ? 2. Un antrop`oleg vol estimar l’al¸cada mitjana dels homes de cert grup `etnic. Suposa que l’al¸cada es distribueix segons una normal i que la desviaci´o de l’al¸cada de la poblaci´o ´es de 5 cm. Si Selecciona a l’atzar 100 homes, es demana calcular la probabilitat que la difer`encia entre la mitjana (mostral) de les al¸cades dels homes de la mostra i la mitjana (te`orica) de l’al¸cada de la poblaci´o sigui inferior a 1.6 cm.
3. Despr´es de la fabricaci´o i envasat, la vida de l’activitat terap´eutica d’una dosi de cert f`armac ´es normal amb una mitjana de 1 200 dies i una desviaci´o de 40 dies. S’ha d’enviar a un client un lot format per cert nombre de dosis del f`armac de manera que la vida mitjana mostral de l’activitat terap´eutica d’aquestes dosis no sigui inferior a 1 180 dies amb una probabilitat no inferior a 0.95. Calculeu el nombre m´ınim de dosis que ha de tenir el lot.
4. Durant el mal temps hivernal s’utilitza sal per a treure el gla¸c de les carreteres.
Per tal d’estimar aproximadament la quantitat de sal que, per aquesta causa, s’est`a introduint al medi es van obtenir les observacions seg¨ uents del nombre total X de tones m`etriques de sal utilitzades per setmana, en districtes seleccionats aleat`oriament de la zona geogr`afica estudiada. Suposarem que les seg¨ uents mesures constitueixen una mostra aleat`oria de la variable X, i que aquesta segueix una distribuci´o Normal.
3818.56 3870.03 3875.34 3873.82 3789.64 3822.28 3866.80 3815.88 3857.06 Es demana: (a) Una estimaci´o puntual del nombre mitj`a de tones de sal per setmana i districte (´es a dir, de la mitjana de X) i l’error est`andard de l’estimador que feu servir.
(b) Un interval de confian¸ca, amb nivell de confian¸ca del 95%, pel nombre mitj`a de tones de sal per setmana i districte, suposant que sabem que la desviaci´o de X ´es σ = 35 tones. El mateix si ara suposem que no coneixem la desviaci´o de X. Compareu les longituds.
(c) Una estimaci´o puntual i un interval de confian¸ca, amb nivell de confian¸ca del 95%, per la vari`ancia i per la desviaci´o de X.
5. Es vol estimar la quantitat d’argent present en una mostra d’un gram de determinat mineral. La quantitat d’argent (en mg.) trobada en 5 mostres, d’un gram cadascuna, del mineral esmentat ha estat de: 5.2, 4.8, 5.7, 5.3, 5.0. Doneu una estimaci´o puntual de la quantitat mitjana d’argent a una mostra d’un gram del mineral. Calculeu els intervals de confian¸ca, amb nivell de confian¸ca del 95%, per a la mitjana i per a la vari`ancia de la quantitat d’argent en una mostra d’un gram del mineral, suposant que aquesta es distribueix amb normalitat, a partir de les dades.
6. Sigui p la proporci´o d’animals de certa esp`ecie amb una malaltia cong`enita a una determinada zona (la preval`encia de la malaltia), que no coneixem. Es tractaria d’estimar p. Per tal de fer-ho, es demana: (a) Determineu la mida de mostra m´ınima que hem d’agafar per tal d’assegurarnos que en estimar p a partir de la proporci´o mostral, ho fem amb un error no superior a l’1% i amb una confian¸ca del 90%.
(b) Suposeu ara que hem agafat una mostra de la mida obtinguda a l’apartat anterior i que per a aquesta mostra la proporci´o mostral ´es 0.08. Es demana calcular el corresponent interval de confian¸ca per a p amb nivell de confian¸ca 0.90 .
7. Una empresa aliment`aria indica en un paquet d’arr`os que el seu pes mitj`a ´es de 900 grams. En una inspecci´o s’agafen 10 paquets, que pesen (en grams) 894 890 900 892 895 895 896 894 903 899 .
Suposem que el pes dels paquets d’arr`os segueix una distribuci´o normal. Es demana: (a) Trobeu un interval de confian¸ca del 99 per cent per al pes mitj`a d ’un paquet d ’arr`os, suposant que la desviaci´o (te`orica) del pes per a un paquet d’arr`os ´ consistent aquest interval amb la informaci´o indicada per ´es de 4 grams. Es l’empresa ? (b) Si suposem desconeguda la desviaci´o (te`orica) del pes per a un paquet d’arr`os, quin interval obtindr´ıem per al pes mitj`a amb el mateix nivell de confian¸ca ? 8. En una zona semides`ertica del planeta, de 200 dies analitzats, 168 no van tenir precipitacions. Utilitzeu aquesta informaci´o per tal de trobar un interval de confian¸ca del 95% per a la proporci´o de dies sense precipitacions en aquesta zona.
9. Una defensa que alguns organismes tenen contra llurs depredadors ´es la d’adquirir un sabor o un olor desagradable, o b´e llen¸car un l´ıquid repel.lent. L’insecte pal t´e aquesta caracter´ıstica. De 200 depredadors als quals l’insecte va llen¸car el l´ıquid, 168 es van mantenir a dist`ancia de l’insecte durant almenys dues setmanes. Utilitzeu aquesta informaci´o per trobar un interval de confian¸ca del 95% de la proporci´o de depredadors que entren en contacte amb l’insecte pal durant les dues setmanes posteriors a l’exposici´o al l´ıquid.
10. Quina mida mostral es necessitaria per tal d’assegurar-nos que podem estimar la proporci´o de morts entre els animals que pateixen una determinada malaltia, amb una amplada de l’interval de 0.04 i una confian¸ca del 95% ? 11. L’administrador d’un hospital vol saber quina proporci´o de pacients donats d’alta estan disconformes amb les atencions rebudes durant l’hospitalitzaci´o. Quina mida de mostra li permetr`a assegurar-se que pot estimar aquesta proporci´o amb un error no superior a 0.025 i una confian¸ca del 95% ? 12. En una fleca es fan servir dues m`aquines per preparar peces de pa. El propietari va decidir fer un estudi per analitzar la variabilitat del pes de les peces de pa produ¨ıdes per les dues m`aquines. Durant 20 dies es varen prendre cada dia 4 peces de pa a l’atzar de cada m`aquina. Les peces de pa de la primera m`aquina varen donar una mitjana mostral de 204.88 g i una desviaci´o mostral de 4.632 g. Les peces de pa de la segona m`aquina varen donar una mitjana mostral de 210.50 g i una desviaci´o mostral de 3.558 g. Doneu un interval de confian¸ca del 90% per a la desviaci´o del pes d’una pe¸ca de pa produ¨ıda per cadascuna de les dues m`aquines, suposant normalitat. Si la desviaci´o m`axima permesa per la llei fos de 4 g, estarien aquestes m`aquines d’acord amb ella ? 13. Es va medir sis vegades el percentatge d’un additiu contaminant en la benzina distribu¨ıda per certes benzineres, donant els seg¨ uents valors: 0.13 0.12 0.16 0.17 0.20 0.11 Calculeu els intervals de confian¸ca per a la mitjana del percentatge i per a la desviaci´o, amb nivell de confian¸ca del 95 % i del 99 %, suposant normalitat. Compareu les longituds.
14. Es va determinar el contingut d’i´o de sodi d’una mostra d’orina mitjan¸cant un electrode selectiu d’ions, i es van obtenir els seg¨ uents valors: 102 97 99 98 101 106 Trobeu els intervals de confian¸ca amb nivell de confian¸ca del 95 % tant per a la mitjana del contingut d’i´o de sodi com per a la desviaci´o, suposant normalitat.
15. Es comprova l’escala d’absorbencia d’un espectr`ometre a una longitud d’ona concreta, mitjan¸cant una soluci´o est`andard amb una absorbencia de 0.470. Deu mesures d’absorbencia amb l’espectr`ometre van donar una mitjana de x = 0.461 i una desviaci´o de s = 0.003. Es demana l’interval de confian¸ca per a l’absorbencia mitjana amb nivell de confian¸ca del 95 % que s’obt´e a partir de les dades. Penseu que hi ha error sistem`atic ? (suposeu normalitat) 16. Es va medir la concentraci´o de plom en fluid sanguini per a una mostra aleat`oria de 60 nens d’un col.legi, que ´es una variable amb distribuci´o normal. La mitjana mostral va resultar ser de 10.12 ng/ml i la desviaci´o mostral de 0.64 ng/ml. Es demana l’interval de confian¸ca per a la concentraci´o mitjana de plom de tots els nens del col.legi que s’obt´e a partir de la mostra, amb un nivell de confian¸ca del 95 %, i tamb´e per a la desviaci´o.
17. En una investigaci´o sobre la precisi´o i la exactitud d’un nou m`etode per a la determinaci´o d’aprinocida en comestibles preparats, es van realitzar sis determinacions repetides d’una formulaci´o preparada que cont´e 10.2 % d’aprinocida. Els resultats van ser: 10.4 10.4 10.6 10.3 10.5 10.5 Es demana calcular l’interval de confian¸ca per al percentatge mitj`a d’aprinocida amb nivell de confian¸ca del 95 %, suposant que el percentatge d’aprinocida segueix una distribuci´o normal amb desviaci´o 0.1, que s’obt´e a partir de les sis determinacions.
Hi ha alguna evid`encia d’error sistem`atic ? Quantes vegades s’hauria de repetir la determinaci´o d’aprinocida per tal de garantir que la longitud de l’interval per al percentatge mitj`a d’aprinocida ´es de 0.10 % com a molt ? ...