SFE_1.5 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

1.5 Problema: Contacte entre dos s` olids. Considereu un sistema a¨ıllat de l’exterior format per dos s` olids iguals, separats per una paret a¨ıllant i que estan a temperatures T1 i T2 inicialment diferents. Treiem la paret a¨ıllant i el sistema evoluciona cap a un estat final amb temperatura uniforme. Trobeu la variaci´o d’entropia entre els estats inicial i final fent servir: (a) Termodin` amica cl` assica.
(b) Termodin` amica dels processos irreversibles.
Soluci´ o: (a) Desde el punt de vista de la termodin`amica cl`assica, tenim dos s`olids que es troben a temperatures diferents, i al cap d’un cert temps, arriben a l’equilibri: ambd´os s`olids es troben a la mateixa temperatura Tf . En principi, el problema ´es de no-equilibri, per`o donat que no miram el sistema en estats d’evoluci´o intermitjos, sin´o que sols ens preocupam pels estats inicials/finals (d’equilibri), podem utilitzar la termodin`amica cl`assica. Partim de l’expressi´ o diferencial per a l’entropia: dS = ”Qrev.
, T (0.48) essent ”Qrev. la calor intercanviada de manera reversible en el proc´es. Ara v´e un punt important, ´es el proc´es del problema reversible? Per respondre a aquesta pregunta hem de recordar el concepte de proc´es reversible: ´es aquell proc´es que es pot invertir, efectuant un canvi negligible a l’entorn o a un altre sistema. En el nostre cas, el proc´es ´es reversible1 i a volum constant, podem utilitzar: ”Qrev. = V cv dT =∆ Si = ⁄ Tf V cv dT Ti 2 T (0.49) .
D’on resulta que S= 2 ÿ Si = i=1 ⁄ Tf V cv dT T1 2 T + ⁄ Tf V cv dT T2 2 T 3 Tf Tf V = cv ln + ln 2 T1 T2 4 .
(0.50) Com que es tracta d’un sistema a¨ıllat, no hi ha p`erdues de calor amb l’exterior (proc´es adiab` atic), tota la calor que perd un s`olid ´es la que guanya l’altre: Q1 + Q2 = 0 =∆ V V T1 + T2 cv (Tf ≠ T1 ) + cv (Tf ≠ T2 ) = 0 =∆ Tf = . (0.51) 2 2 2 Utilitzant (0.51) en (0.50), trobam que la variaci´o total d’entropia ´es: 3 T1 + T2 S = Cv ln Ô 2 T1 T2 1 4 (0.52) Inicialment, tenim els cossos a temperatures a T1 i a T2 , finalment passen a estar ambd´ os a Tf . Aquest proc´es pot oc´ orrer en sentit contrari, per exemple, si tenim dues fonts t`ermiques a temperatures T1 i T2 , posant els cossos de temperatura Tf en contacte amb les fonts t`ermiques corresponents, haurem recuperat l’estat inicial sense haver modificat l’estat de cap altre sistema (per definici´ o de font t`ermica).
11 (b) Per fer el c` alcul a trav´es de la TPI, cal tenir en compte que l’estat d’equilibri s’assoleix havent passat un cert temps. Donat que el que tenim ´es un continu (es tracta d’una teoria de camps), el que hem de fer alhora d’integrar ´es utilitzar com a l´ımits d’integraci´ o aquells que coneixem. Partim de la seg¨ uent equaci´o: S(t) = ⁄ V dS(t) flS (x, t)d x =∆ = dt 3 ⁄ V ˆflS (x, t) 3 d x.
ˆt (0.53) Sabem que a t = 0, un sistema es troba a T1 i l’altre a T2 , mentre que a t = Œ ambd´os es troben a Tf . Per tant, ⁄ Sf Si dS = ⁄ Œ 0 dt ⁄ V ˆflS (x, t) 3 d x.
ˆt (0.54) On la integral sobre x l’haurem de fer en dues parts; Si L ´es la longitud total del sistema, caldr` a considerar una contribuci´o del primer s`olid: 0 æ L/2, i una contribuci´o del segon: L/2 æ L. Dit aix` o, la u ´nica feina que queda ´es trobar ˆt flS (x, t) en termes de la variable que ens interessa, i.e. el camp de temperatures. Abans de continuar anem a fer un aclariment.
Aclariment.
En la majoria de problemes en els que hem de calcular produccions o canvis d’entropia, sempre es procedeix de la mateixa manera. Si volem calcular l’increment d’entropia, tal i com acabam de veure sols cal trobar que val ˆt flS (x, t); Per aix`o anem a l’equaci´o de conservaci´o local (o de continu¨ıtat) per a l’entropia, aquesta ´es ˆflS (x, t) ˛ + Ò · ˛äS (x, t) = ‡S (x, t), ˆt (0.55) amb (d’acord amb tal i com ho varem definir a classe), ˆflS (x, t) ÿ ˆfli (x, t) = Yi (x, t) , ˆt ˆt i ‡S (x, t) = ˛äS (x, t) = ÿ i Yi (x, t)˛äi (x, t), ÿ ÿ –— ˆYi (x, t) ˆYj (x, t) Lij i,j –,— ˆx– ˆx— (0.56) .
Aix´ı doncs, per trobar ˆt flS (x, t), o b´e podem a¨ıllar de l’equaci´o (0.55), o b´e utilitzar que q ˆt flS (x, t) = i Yi (x, t)ˆt fli (x, t). De moment, la opci´o m´es general ´es aquesta u ´ltima, ja que (i aqu´ı l’aclariment), tal i com est` a definida la ‡S (x, t), no es t´e en compte l’exist`encia de fonts i/o embornals. Per tant, si tenim un problema en que hi ha, per exemple fonts d’energia, i tiram de (0.55) per trobar ˆt flS (x, t); Quant posem que val ‡S (x, t) utilitzant la f´ormula que es detalla en (0.56) ens estarem deixant les contribucions d’aquestes fonts i/o embornals. El que passa ´es que quan varem estudiar l’equaci´o de continu¨ıtat per a l’entropia, ho varem fer considerant que no teniem fonts i/o embornals de la resta de quantitats extensives. Per aquest motiu, anem a re-deduir com ´es l’expressi´o per a la producci´o d’entropia en el cas de 12 que es tinguin fonts i/o embornals. En general, l’equaci´o de continu¨ıtat per a l’entropia ens diu que ÿ ˆfli (x, t) ˛ ÿ Yi (x, t) +Ò· Yi (x, t)˛äi (x, t) = ‡S (x, t).
(0.57) ˆt i i ˛ äi (x, t)±‡i (x, t), ´es l’equaci´o de continu¨ıtat de la magnitud extensiva Tamb´e, ˆt fli (x, t) = ≠Ò·˛ i-`essima; Substituint-la en (0.57) i arreglant-ho una mica, trobam que en pres`encia de fonts i/o embornals la producci´ o local d’entropia v´e donada per l’expressi´o: ‡S (x, t) = ÿ1 i 2 ˛ i (x, t) .
±Yi (x, t)‡i (x, t) + ˛äi (x, t) · ÒY (0.58) Tal i com es pot apreciar, el resultat que acabam de trobar ´es pr`acticament igual que el que hi ha en (0.56), tret de que en aquesta u ´ltima expressi´o apareixen termes extres associats a la pres`encia de fonts i/o embornals. Fent ‡i (x, t) = 0 i considerant proporcionalitat entre corrent i gradient d’intensives en (0.58) recuperam la ‡S (x, t) present en (0.56). Tenint en compte aquest fet, qualsevol m`etode ´es igual de general.
Tornant al problema; Com sols ens interessa el transport d’energia, ens trobam en una dimensi´ o, i a m´es el s` olid ´es is` otrop, l’equaci´o de continu¨ıtat per a l’entropia ens diu 2 que ˆflS ˛ · ˛äS + ‡S = ≠Ò ˆt 3 4 3 4 3 4 1 ˆ 1 ˆ 1 ˛ = ≠Ò · ˛äE + LEE T ˆx T ˆx T 3 4 5 3 462 1 1 1 ˛ ˛ · ˛äE + LEE ˆ = ≠˛äE Ò ≠ Ò .
T T ˆx T (0.59) ˛ ), la relaci´o entre Ÿ i LEE (LEE = ŸT 2 ) Tenint en compte la llei de Fourier (˛äE = ≠ŸÒT i la derivada respecte x d’1/T (ˆx (1/T ) = ≠(1/T 2 )ˆx T ) en (0.59), se segueix 3 4 3 4 ˆflS ˆT 1 ˆT Ÿ ˆ2T 1 ˆT 2 2 =k ≠ 2 + + kT ≠ ˆt ˆx T ˆx T ˆx2 T 2 ˆx 3 42 3 4 Ÿ ˆT Ÿ ˆ2T Ÿ ˆT 2 Ÿ ˆ2T =≠ 2 + + = .
T ˆx T ˆx2 T 2 ˆx T ˆx2 (0.60) Utilitzem l’equaci´ o de la conducci´o t`ermica (unidimensional) en l’equaci´o anterior, ˆT ˆ2T ˆflS c ˆT ˆ ln T = Ÿ 2 =∆ = =c .
ˆt ˆx ˆt T ˆt ˆt Un cop aqu´ı, podem tornar a l’equaci´o (0.54). Es t´e, (0.61) c S= ⁄ Œ 0 = cA dt ⁄ A⁄ V L 3 c ˆ ln T dxdydz = cA ˆt dx ln T (x, Œ) ≠ ⁄ L/2 0 ⁄ L dx ⁄ Œ ˆ ln T ˆt 0 dx ln T (x, 0) ≠ 4 3 dt ⁄ L L/2 dx ln T (x, 0) 4 Tf 1 1 = cAL ln Tf ≠ ln T1 ≠ ln T2 = C ln Ô .
2 2 T1 T2 2 B (0.62) En aquest apartat ometo les depend`encies, per` o en tot moment se suposa que T = T (x, t), ˛äE = ˛äE (x, t), flS = flS (x, t), ˛äS = ˛äS (x, t), ‡S = ‡S (x, t).
13 Utilitzant (0.51) en el resultat anterior, recuperam l’expressi´o per a la variaci´o d’entropia que hem trobat a l’apartat (a), S = C ln 14 3 T1 + T2 Ô 2 T1 T2 4 (0.63) ...