Derivades (2009)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2009
Páginas 6
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 3
Subido por

Vista previa del texto

1 Derivades Una funci´o real f : R → R ´ es derivable en el punt x = a si existeix f (a + h) − f (a) .
h→0 h lim El valor d’aquest l´ımit (quan existeix) s’anomena derivada de f en a i es representa per f (a).
Per tant, la derivada ´es el l´ımit del quocient de l’increment de la funci´o f (a + h) − f (a) dividit per l’increment de la variable, h. Aquest quocient s’anomena quocient incremental de la funci´o.
L’exist`encia de la derivada de f en a equival a l’exist`encia d’una constant m tal que f (x) − f (a) − m(x − a) =0 x→a x−a lim o dit d’una altra manera f (x) = f (a) + m(x − a) + o(x − a), x → a.
´ a dir, una funci´o ´es derivable si existeix una funci´o de la forma y = f (a) + m(x − a) que Es aproxima a la primera en el sentit que la difer`encia de totes dues ´es una funci´o o(x − a) que tendeix a zero quan x → a. La constant m ´es igual a la derivada f (a).
Interpretaci´ o geom` etrica Si es vol determinar la recta tangent en un punt (a, f (a)) del gr`afic d’una funci´o f es determina la recta secant que passa per aquest punt i un altre punt a prop d’aquest: (a + h, f (a + h)) L’equaci´o d’aquesta recta secant ´es y = f (a) + f (a + f ) − f (a) (x − a) h llavors la derivada ´es el l´ımit dels pendents f (a+fh)−f (a) d’aquestes rectes secants h → 0. Aquest l´ımit ha de ser el pendent de la recta tangent, per tant, si una funci´o f ´es derivable en un punt x = a llavors l’equaci´o de la recta tangent al gr`afic de la funci´o en el punt (a, f (a)) ´es y = f (a) + f (x − a).
Exemple: Les funcions constants s´on derivables amb derivada igual a zero a tots els seus punts, doncs el quocient incremental sempre ´es zero.
La funci´o y = xn ´es derivable i la seva derivada ´es i = nxn−1 . En efecte, la derivada en un punt a ´es x n − an lim = lim xn−1 + xn−2 a + · · · + an−1 = nan−1 .
x→a x − a x→a Teorema 1.1. Si una funci´o, definida en un interval obert I, ´es derivable en el punt a ∈ I, tamb´e ´es cont´ınua en a.
Naturalment el rec´ıproc ´es fals. Per exemple, la funci´o i = |x| ´es cont´ınua en 0 per`o no ´es derivable, ja que |x| |x| lim+ = 1, lim− = −1.
x→0 x→0 x x 1 Propietats de les derivades Teorema 1.2. Siguin f i g funcions derivables definides en un interval obert I i derivables en a ∈ I. Les funcions f + g, f g, f /g (suposant en aquest u ´ltim cas que g no s’anul·la en cap punt) s´ on derivables en a i es compleix (f + g) (a) = f (a) + g (a), (f g) (a) = f (a)g(a) + g (a)f (a), f (a)g(a) − g (a)f (a) (f /g) (a) = .
g(a)2 Si λ ∈ R, λf ´es derivable en a i (λf ) (a) = λf (a).
Teorema 1.3. (Regla de la cadena) Sigui f una funci´o definida en un interval obert I i g una altra funci´ o definida en in interval obert J tal que f (I) ⊂ J. Suposem que f ´es derivable en a ∈ I i que g ho ´es en b = f (a) ∈ J.
Llavors la funci´ o composta g ◦ f ´es derivable en a i es compleix (g ◦ f ) (a) = g (f (a))f (a).
Teorema 1.4. (Derivaci´o de la funci´o inversa) Sigui f una funci´o definida en (a, b), injectiva, cont´ınua i derivable en un punt x0 ∈ (a, b) amb derivada f (x0 ) = 0. Llavors la funci´o inversa f −1 ´es derivable en y0 = f (x0 ) i es compleix f −1 (y0 ) = 1 .
f (x0 ) Finalment si I ´es un interval obert i f una funci´o derivable en I. Si la funci´o derivada f ´es tamb´e derivable en I direm que f ´es dues vegades derivable, i a la derivada de f la designarem per f . En general, direm que f ´es n vegades derivable si la funci´o derivada de ordre n − 1 ´es derivable i designarem per f n) a la derivada d’ordre n.
1.1 Creixement d’una funci´ o. Extrems Definici´ o 1.1. Direm que una funci´o y = f (x) ´es estrictament creixent (resp. estrictament decreixent) en un interval I si f (x1 ) < f (x2 ) (resp. f (x1 ) > f (x2 )) si x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 . Si solament es compleix f (x1 ) ≤ f (x2 ) (resp. f (x1 ) ≥ f (x2 )) direm que la funci´ o ´es creixent (resp. decreixent).
Direm que una funci´o y = f (x) ´es estrictament creixent en un punt a (resp. creixent en a) si existeix un entorn E(a, ε) = (a − ε, a + ε) tal que f (x) − f (a) >0 x−a (resp. ≥ 0) per als x ∈ E(a, ε) on f aquesta definida.
An`alogament direm que una funci´o y = f (x) ´ es estrictament decreixent en un punt a (resp. decreixent en a) si existeix un entorn E(a, ε) tal que f (x) − f (a) <0 x−a 2 (resp. ≤ 0) per als x ∈ E(a, ε) on f aquesta definida.
Direm que una funci´o y = f (x) t´e en el punt a un m` axim relatiu (resp. m´ınim relatiu) si existeix un entorn E(a, ε) tal que f (x) ≤ f (a) (resp. f (x) ≥ f (a)) per als x ∈ E(a, ε) on f aquesta definida. Un punt on la funci´o tingui m` axim o m´ınim relatiu es denomina extrem relatiu.
Teorema 1.5. Si una funci´o y = f (x) t´e derivada positiva (resp. negativa) en un punt a, llavors ´es estrictament creixent en a (resp. decreixent). Si la funci´ o t´e en a un extrem relatiu i ´es derivable en a, la derivada f (a) ´es nul·la.
1.1.1 Teoremes del valor mitj` a per a funcions derivables Els teoremes que segueixen fan refer`encia a funcions derivables sobretot un interval.
Teorema 1.6. (Teorema de Rolle) Sigui f una funci´o cont´ınua en [a, b] i derivable en (a, b) tal que f (a) = f (b). Llavors existeix un punt c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
Teorema 1.7. (Teorema dem valor mitj`a de Lagrange) Si f ´es una funci´o cont´ınua en [a, b] i derivable en (a, b). Existeix un punt c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f (c)(b − a).
Veurem a continuaci´o algunes aplicacions d’aquests teoremes Teorema 1.8. Sigui f una funci´o definida en (a, b), derivable. La funci´ o ´es creixent (resp.
decreixent) si, i nom´es si, f (x) ≥ 0 (resp. f (x) ≤ 0) en tot punt. Si f (x) > 0 (resp.
f (x) < 0) la funci´o ´es estrictament creixent (resp. estrictament decreixent).
Cal observar que una funci´o pot ser estrictament creixent i tenir derivada zero en algun punt, per exemple y = x3 .
Teorema 1.9. Tota funci´o f definida en (a, b) amb derivada id`enticament nul·la ´es constant.
Dues funcions derivables en (a, b) que tenen la mateixa derivada difereixen en una constant.
1.2 Estudi local d’una corba Ja hem vist com el signe de la primera derivada d’una funci´o ens d´ona informaci´o sobre el creixement o decreixement de la mateixa. L’estudi de les derivades successives d’una funci´o permet un estudi per`o detallat del comportament local de la funci´o.
Definici´ o 1.2. Direm que una funci´o y = f (x) derivable en un punt a ´es convexa (resp.
c` oncava) en a si existeix un entorn E(a, ε) tal que f (x) − (f (a) + f (a)(x − a)) > 0 (resp. < 0), x ∈ E(a, ε), x = a.
´es a dir, la funci´o ´es convexa (resp. c`oncava) si el gr` afic de la funci´ o est` a per damunt (resp.
sota) de la tangent en a en tot un entorn del punt.
Direm que un punt a ´es d’inflexi´ o de y = f (x) si existeix un entorn E(a, ε) tal que f (x) − ´ a dir, si a ´es (f (a) + f (a)(x − a)) ´es positiu quan x < a i negatiu quan x > a o al rev´es. Es un punt d’inflexi´o, la gr`afica de y = f (x) travessa la tangent en el punt (a, f (a)).
3 Teorema 1.10. Sigui f una funci´o derivable en un entorn d’un punt a i suposem que f ´es derivable en a. Llavors, si f (a) > 0 (resp. f (a) < 0), la funci´ o ´es convexa (resp. c´ oncava) en a. Si a ´es un punt d’inflexi´o, f (a) = 0.
Un teorema en el mateix sentit que l’anterior per`o que ens d´ona informaci´o m´es precisa ´es el seg¨ uent: Teorema 1.11. Sigui f una funci´o n − 1 vegades derivable en un entorn del punt a, amb f n−1) derivable en a, i suposem que f (a) = · · · = f n−1 (a) = 0, per` o f n) (a) = 0.
Si n ´es parell, a ´es un punt de convexitat si f n) (a) > 0 i de concavitat si f n) (a) < 0. Si n ´es imparell, a ´es un punt de inflexi´o. Si n ´es parell i a m´es f (a) = 0, la funci´ o t´e un m` axim o m´ınim relatiu segons que f n) (a) sigui negatiu o positiu.
1.2.1 Ap` endix: Representaci´ o de Corbes Sigui f una funci´o real; si existeixen punts A de la seva gr`afica tals que la seva dist`ancia a l’origen sigui m´es gran que qualsevol n´ umero K > 0 prefixat, es diu que la corba t´e una branca infinita.
Si en la hip`otesi anterior existeix una recta r, tal que la dist`ancia a ella dels punts A de la corba tendeixen a zero quan els punts A s’allunyen de l’origen, la recta r ´es una as´ımptota de la corba As´ımptotes paral.leles al eix OY .
Si limx→a f (x) = ∞ la recta x = a ´es una as´ımptota paral·lela a l’eix vertical OY (as´ımptota vertical).
La posici´o de la corba respecte de la as´ımptota dep`en del signe de f (x) quan x → a per a valors a l’esquerra o la dreta respectivament.
Exemple: La corba y = 1 x−2 t´e com as´ımptota vertical la recta x = 2.
As´ımptotes paral.leles al eix OX.
Si limx→∞ f (x) = b, la recta y = b ´es evidentment una as´ımptota paral·lela a l’eix OX (as´ımptota horitzontal). La posici´o de la corba respecte de l’as´ımptota vindr`a donada pel signe de la difer`encia f (x) − b per a x → ∞ i x → −∞.
Exemple: Per a y = e1/x es t´e lim e1/x = 1, x→∞ per tant y = 1 ´es as´ımptota horitzontal.
As´ımptotes generals.
Si existeix el l´ımit m = limx→a f (x) i ´es finit i no nul, es diu que la corba d’equaci´o y = f (x) t´e x una direcci´o asimpt`otica que ´es la recta y = mx.
Suposem que a m´es existeix i ´es finit el limit: n = lim [f (x) − mx] x→∞ 4 en aquest cas, la corba t´e com as´ımptota la recta y = mx + n, ja que la dist`ancia del punt (x, f (x)) a la recta ´es: |f (x) − mx − n| √ d(x) = 1 + m2 i, evidentment, es compleix lim d(x) = 0.
x→∞ La posici´o de la corba respecte de l’as´ımptota vindr`a donada pel signe de difer`encia f (x) − (mx − n) per a x → ∞ i x → −∞.
Exemple: Si y = (x+2)2 x es t´e lim (x+2)2 x x per tant y = 1 ´es una direcci´o asimpt`otica. A m´es x→∞ n = lim x→∞ = 1, 4x + 4 (x + 2)2 − x = lim =4 x→∞ x x i, per tant, la recta y = x + 4 es un as´ımptota de la corba.
Representaci´ o de Corbes Com a complement de l’estudi de les propietats d’una funci´o real f pot resoldre’s el problema de la seva representaci´o gr`afica, ´es dir, la construcci´o de la corba d’equaci´o y = f (x). No ´es possible donar una regla concreta per a aquesta representaci´o, per`o pot assenyalar-se el seg¨ uent pla general de treball: 1. Determinaci´o del seu domini.
2. Estudi del signe de f (x) i determinaci´o dels punts de tall amb els eixos de coordenades.
3. Estudi de simetria i de la periodicitat de la funci´o.
4. Determinaci´o de les as´ımptotes i posici´o de la corba respecte de les mateixes.
5. Creixement i decreixement.
6. M`axims i m´ınims.
7. Concavitat, convexitat i punts d’inflexi´o.
5 x2 (x−1)3 .
Exemple: Considerem y = El seu domini és D = (−∞, 1) ∪ (1, ∞).
És f (x) > 0 si x > 1, f (x) < 0 si x < 1 i f (0) = 0.
És derivable en D amb f 0 (x) = −x2 − 2x (x − 1)4 i per tant f 0 (0) = f 0 (−2) = 0.
Per la segona derivada f 00 (x) = x2 + 4x + 1 (x − 1)5 amb f 00 (−2 + √ √ 3) = f 00 (−2 − 3) = 0.
La variació de la funció bé donada per la taula: x f (x) f 0 (x) f 00 (x) −∞ 0 − − √ −2 − 3 −0.131 − 0 −2 −4/27 0 + √ −2 + 3 −0.032 + 0 0 0 0 − 1 −∞ | +∞ −|− +|+ ∞ 0 − + Finalment de limx→∞ f (x) = 0 tenim que l eix OX és asímptota de la corba, també ho és x = 1 ja que limx→1− f (x) = −∞ i limx→1+ f (x) = ∞.
4 2 -4 0 -2 -2 -4 1 2 x 4 ...