Tema 3: L’espai Rn (2013)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 1
Año del apunte 2013
Páginas 14
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 3
Subido por

Descripción

Operacions amb vectors. Propietats, combinació lineal. Dependència i independència lineal ,Producte escalar. Norma i distància

Vista previa del texto

Tema 3: L’espai Rn 3.1 Operacions amb vectors. Propietats RR Operacions amb vectors Què és un vector? Anomenarem vector (fila o columna) de n components, el conjunt ordenat de n nombres reals escrits de la següent manera, i el denotarem per vI .
I v = ( x1 , x 2 ,..., x n ) Els nombres xi i=l,...,n s’anomenen components o coordenades del vector .
El conjunt de vectors de n components o coordenades s’anomena espai vectorial Rn.
Exemples: 1) és un vector de tres components o coordenades 2, –3 i 1.
, i 2) és un conjunt de vectors de 3 components o coordenades. Aquests tres vectors formen part de l’espai vectorial R3.
Representació gràfica de vectors Normalment representarem els vectors en eixos de coordenades en Rn i des de l’origen de coordenades, és a dir, el punt (0,0,...,0). Vegem-ho amb uns quants exemples: 47 Llúcia Mauri Masdeu Exemples: 1) 2) 2 Imatge 1 3) Imatge 2 3 Imatge 3 Suma de vectors I I Siguin v = ( x1 , x 2 ,..., x n ) i u = ( y1 , y 2 ,..., y n ) dos vectors de Rn. Definim la seva suma com el vector: I I v + u = ( x1 , x 2 ,..., x n ) + ( y1 , y 2 ,..., y n ) = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,...., x n + y n ) Exemple: 1) i Representació gràfica de la suma de dos vectors Exemple: Imatge 4 48 Matemàtiques I Resta de vectors I I Siguin v = ( x1 , x 2 ,..., x n ) i u = ( y1 , y 2 ,..., y n ) dos vectors de Rn. Definim la seva resta com el vector: Exemple: 1) i Representació gràfica de la resta de dos vectors Exemple: Imatge 5 Producte d’un escalar per un vector I Siguin v = ( x1 , x 2 ,..., x n ) un vector de Rn i λ un nombre real. Definim el producte d’un escalar per un vector com el vector: Exemple: 1) i 49 Llúcia Mauri Masdeu Representació gràfica del producte d’un escalar per un vector Exemple: Imatge 6 Propietats • • • • • • I I I Considerem vI v1 , v2 i v3 quatre vectors qualssevol i λ, λ1 i λ2 tres escalars.
I I I I Commutativa: v1 + v 2 = v 2 + v1 I I I I I I Associativa: (v1 + v 2 ) + v3 = v1 + (v 2 + v3 ) I I Element neutre: 0 + vI1 = vI1 + 0 = vI1 Element oposat: Propietats del producte d’un escalar per un vector:      3.2 Combinació lineal. Dependència i independència lineal Combinació lineal I I I Direm que un vector vI de Rn és una combinació lineal dels vectors { v1 , v 2 ,..., v n } si existeixen n escalars , i=l,..., n de manera que: Els escalars s’anomenen coeficients de la combinació lineal.
50 Matemàtiques I Exemples: 1) Vegem si vI =(12,–7,9) està en combinació lineal amb els vectors {{ } i quins són els coeficients de la combinació lineal.
I I I El vector vI sí que es pot posar amb combinació lineal dels vectors { v1 , v 2 , v3 }, ja , i que el sistema té solució. I els coeficients són .
I I 2) Vegem si vI =(1,0) està en combinació lineal amb els vectors {v1 = (1,3), v 2 = (2,6)} i quins són els coeficients de la combinació lineal.
I I El vector vI no es pot posar amb combinació lineal dels vectors { v1 , v 2 }, ja que el sistema no té solució.
Dependència i independència lineal Sigui l'espai vectorial Rn, donat un conjunt de vectors I I I I I I Rn,es diu que: • Els vectors v1 , v2 ,..., vn són linealment dependents (l.d.), si almenys un d’aquests vectors es pot posar com a combinació lineal de la resta. És a dir, que existeixen escalars i=1,...,n, no tots nuls de manera que: • Els vectors v1 , v2 ,..., vn són linealment independents (l.i.), si cap d’aquests vectors es pot posar com a combinació lineal de la resta. És a dir, que la següent igualtat sols es compleix quan els escalars i=1,...,n són nuls.
i 51 Llúcia Mauri Masdeu Exemples: I I I 1) S = {v1 = (1,0), v 2 = (0,4), v3 = (2,4)} Veiem que si prenem, per exemple, λ=1, obtenim α1=–2, α2=–1 i α3=0. En aquest I I I cas no tots són nuls; per tant, el conjunt de vectors S = {v1 = (1,0), v 2 = (0,4), v3 = (2,4)} són vectors linealment dependents.
2) Com que és compleix la igualtat i tots els α són nuls, en concret α1=0 i α2=0, per tant, podem afirmar que el conjunt de vectors són vectors linealment independents.
Una altra manera de provar la independència o dependència lineal d’un conjunt de vectors és amb la utilització de rangs: I I I 1. Prenem el conjunt de vectors S = {v1 , v 2 ,..., v n } .
2. Els situem formant una matriu de manera que cada vector ocupi una columna (o fila) d’aquesta matriu.
3. Busquem el rang de la matriu resultant.
4. El rang indica el nombre de vectors linealment independents del conjunt.
Exemples: I I I 1) S = {v1 = (1,0), v 2 = (0,4), v3 = (2,4))} Comprovem que rang(A)=2. Per tant, el nombre de vectors linealment independents en aquest conjunt és 2. Així, doncs, hi haurà un vector que es podrà expressar com a comI I I binació lineal de la resta. Per tant, el conjunt de vectors S = {v1 = (1,0), v 2 = (0,4), v3 = (2,4)} són vectors linealment dependents.
52 Matemàtiques I 2) Comprovem que rang(A)=2. Per tant, el nombre de vectors linealment independents en aquest conjunt és 2. Per tant, el conjunt de vectors són vectors són linealment independents.
Bases Donat un espai vectorial Rn , anomenarem dimensió d’aquest espai, i ho denotarem per dim, el nombre n.
Exemples: 1) dim R2 = 2 2) dim R3 = 3 3) dim Rn = n I I I Direm que un conjunt de vectors S = {v1 , v 2 ,..., v k } és la base de Rn si: a) k = n (el nombre de vectors del conjunt és igual a la dimensió de l’espai) I I I b) {v1 , v 2 ,..., v k } són linealment independents.
Per tant, una base de Rn és un conjunt de n vectors linealment independents que generen tots els vectors de l’espai vectorial Rn.
És a dir, podem expressar qualsevol vector de l’espai vectorial com una combinació lineal única dels vectors que formen la base.
és base tal que Exemples: 1) aquest conjunt de vectors no pot formar una base a R2 , ja que el nombre de vectors és 3 i la dimensió de l’espai és 2.
2) aquest conjunt de vectors no pot ser base a R2, ja que si bé compleix que el nombre de vectors del conjunt és igual a la dimensió de l’espai però, aquests vectors no són linealment independents.
53 Llúcia Mauri Masdeu 3) aquest conjunt de vectors compleix les dues condi2 cions per ser base de R , ja que el nombre de vectors és dos a igual com la dimensió de l’espai i els vectors són linealment independents (ho hem comprovat en un exemple anterior).
Base canònica Definim la base canònica d’un espai vectorial Rn com el conjunt de vectors I I I B = {e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,0,...,0),..., en = (0,0,...,1)} en què els vectors que la formen tenen totes les seves components 0 excepte la coordenada i-èssima, que és 1.
Exemples: 1) és la base canònica a R2 2) és la base canònica a R3 Existeixen infinites bases en qualsevol espai vectorial però totes tenen el mateix nombre de vectors. Per exemple, en els últims exemples ens han sorgit i dues bases diferents de R2 però tenen el mateix nombre de vectors.
Canvi de base I I I I I I Sigui l'espai vectorial Rn de dimensió n i B1 = {v1 , v 2 ,..., v n } i B2 = {u1 , u 2 ,..., u n } dues bases d’aquest espai. Què passa amb els vectors d’aquest espai quan canviem la base? Doncs que canvien de coordenades.
Vegem com podem trobar les coordenades d’un vector qualsevol quan el canviem d’una base a una altra.
• Si una de les dues bases és la base canònica, ens simplifica els càlculs: Siguin: I I I I B1 = {e1 , e2 ,..., en } dues bases de Rn i v B = ( x1 , x 2 ,..., x n ) un vector qualsevol.
I I I B2 = {u1 , u 2 ,..., u n } 1 I v B2 = ( y1 , y 2 ,..., y n ) El vector vI té unes coordenades o unes altres en funció de la base on ens trobem. I compleix la següent relació: en què AB2 és la matriu que té per columnes els vectors de la base B2 .
54 Matemàtiques I Exemples: i 1) dues bases de R2 i vIB = (3,6) un vector expressat en la base B1 . Volem trobar les coordenades del vector però en la base B2 , és a dir, vIB = ( x, y ) .
1 2 Per tant, vIB = (1,4) 2 i 2) dues bases de R2 i vIB = (1,4) un vector expressat en la base B2 . Volem trobar les coordenades del vector però en la base B1 , és a dir, vIB = ( x, y ) .
2 1 Per tant, vIB = (3,6) 1 • Si tenim dues bases qualssevol: Siguin: I I I B1 = {v1 , v 2 ,..., v n } dues bases de Rn i I v B1 = ( x1 , x 2 ,..., x n ) un vector qualsevol.
I v B2 = ( y1 , y 2 ,..., y n ) I I I B2 = {u1 , u 2 ,..., u n } Per trobar les coordenades d’un vector d’una de les dues bases a l’altra, procedim de la manera següent: Prenem el vector que ens donen vIB i la base en la qual es troba expressat I I I I I I B1 = {v1 , v 2 ,..., v n } . Prenem també la base canònica B3 = {e1 , e2 ,..., en } .
Així, tenim: I I I I B1 = {v1 , v 2 ,..., v n } dues bases de Rn i v B = ( x1 , x 2 ,..., x n ) un vector qualsevol.
1 I I I B3 = {e1 , e2 ,..., en } 1 I v B3 = ( z1 , z 2 ,..., z n ) vector vIB1 en la base B3 , Busquem les coordenades del vector vIB . Ara considerem: I I I B3 = {e1 , e2 ,..., en } dues bases de Rn i 3 I I I B2 = {u1 , u 2 ,..., u n } Busquem les coordenades del vector vIB .
és a dir, obtenim el I v B3 = ( z1 , z 2 ,..., z n ) un vector qualsevol.
I v B2 = ( y1 , y 2 ,..., y n ) vector vIB3 en la base B2 , és a dir, obtenim el 2 55 Llúcia Mauri Masdeu Exemple: i 1) dues bases de R2 i un vector expressat en la base B1 . Volem trobar les coordenades del vector però en la base B2 , és a dir, vIB = ( x, y ) .
i busquem les coordeConsiderem la base canònica a R2, és a dir, I nades del vector en la base B3 és a dir, v B = ( z, t ) .
2 3 Per tant, vIB = (4,4) . Ara busquem les coordenades del vector vIB I B2 és a dir, v B = ( x, y ) .
3 3 = (4,4) en la base 2 Per tant 3.3 Producte escalar. Norma i distància Producte escalar I I Definim el producte escalar de dos vectors v = ( x1 , x 2 ,...., x n ) i u = ( y1 , y 2 ,...., y n ) ∈ Rn com el nombre real resultant de l’operació següent; el denotarem per < uI, vI > .
Exemple: 1) Sigui R33 R i Norma i distància Norma o mòdul d’un vector I Definim norma o mòdul d’un vector v = ( x1 , x 2 ,...., x n ) ∈ Rn com el nombre real no negaI tiu resultant de l’operació següent; el denotarem per v .
I v = x12 + x 22 + ... + x n2 56 Matemàtiques I Exemples: 1) R R33 2) R33 R Vector unitari I I Direm que un vector v = ( x1 , x 2 ,...., x n ) ∈ Rn és un vector unitari si v = 1 .
Exemple: 1) R33 R Distància entre dos vectors I I Definim la distància entre dos vectors v = ( x1 , x 2 ,...., x n ) i u = ( y1 , y 2 ,...., y n ) ∈ Rn com el nombre real resultant de l’operació següent; el denotarem per d (uI, vI ) .
Exemple: 1) R33 R i Ortogonalitat de vectors I I Direm que dos vectors v = ( x1 , x 2 ,...., x n ) i u = ( y1 , y 2 ,...., y n ) ∈ Rn \{0} són ortogonals o perpendiculars (⊥) si i només si < uI, vI >=0.
Exemples: i 1) Sigui Per tant, els vectors uI i i 2) Sigui Per tant, els vectors uI i I v I v R33 R no són ortogonals.
R33 R són ortogonals.
57 Llúcia Mauri Masdeu I I I Donat un conjunt de vectors S = {v1 , v 2 ,..., v n }∈ Rn , direm que és una base ortogonal de Rn si i només si són base i són ortogonals dos a dos.
Exemple: 3 1) R R3 Comprovem que aquest conjunt de vectors és una base: Per tant, vectors l.i.
Com que el nombre de vectors és igual a la dimensió de l’espai al qual pertanyen i són també l.i., podem dir que són una base de R3.
Comprovem que són ortogonals dos a dos: és una base ortogonal.
Per tant, I I I Propietat: Si un conjunt de vectors S = {v1 , v 2 ,..., v n } ∈ Rn són ortogonals, llavors són l.i.
Nota: El recíproc d’aquesta propietat no és certa, és a dir, si tenim un conjunt de I I I vectors S = {v1 , v 2 ,..., v n } ∈ Rn linealment independents, no podem assegurar que siguin ortogonals.
Exemples: 1) rg(A)=2 Per tant, aquests vectors són l.i. i no són ortogonals.
2) rg(A)=1 58 Matemàtiques I Per tant, aquests vectors no són l.i. i no són ortogonals.
3) rg(A)=2 Per tant, aquests vectors són l.i. i ortogonals.
Per tant, en l’exemple de la pàgina anterior ens hauríem pogut estalviar el fet de comprovar si els vectors de S són linealment independents. Així, doncs, tenim: I I I Donat un conjunt de vectors S = {v1 , v 2 ,..., v k } ∈ Rn , direm que és una base ortogonal de Rn si i només si compleix: • k = n (el nombre de vectors del conjunt és igual a la dimensió de l’espai).
I I I • Els vectors {v1 , v 2 ,..., v k } són ortogonals dos a dos.
Exemple: 1) R33 R El nombre de vectors és igual a la dimensió de l’espai al qual pertanyen.
Comprovem que són ortogonals dos a dos: q g Per tant, és una base ortogonal.
I I I Donat un conjunt de vectors {v1 , v 2 ,..., v n }∈ Rn , direm que és una base ortonormal I I I de Rn si i només si és una base ortogonal i els vectors {v1 , v 2 ,..., v n } són unitaris.
Exemples: 1) En l’exemple anterior hem comprovat que és una base ortogonal. Vegem si aquesta base és ortonormal: Com que un ja no és unitari, no és pas una base ortonormal però si una base ortogonal.
59 Llúcia Mauri Masdeu 2) El nombre de vectors és igual a la dimensió de l’espai al qual pertanyen.
Comprovem que són ortogonals dos a dos i calculem el seu mòdul.
, , , , , és una base ortonormal.
Per tant, 60 ...