Ex03 Resuelto 2011 (2011)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Algebra
Año del apunte 2011
Páginas 8
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 0

Descripción

Examen resuelto

Vista previa del texto

` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 03.05.2011 EX03 Q¨ uesti´ o 1: Sigui (En , < | >) un espai euclidi` a real amb T un operador tal que t T · T = T · t T amb totes les arrels del seu polinomi caracter´ıstic λ1 , ..., λn reals i diferents entre si. Demostreu que aleshores el nombre de bases ortonormals en les que T diagonalitza ´es 2n · n!.
Abans que res vegem que un subespai vectorial F =< e >R amb dimR F = 1 (e = 0) cont´e nom´es 2 vectors unitaris: ∀x ∈ F , x = αe. Si ´es unitari, 1 = x = αe = |α| · e =⇒ |α| = 1 e =⇒ α=± 1 e =⇒ x=± 1 e e Algweb Considerem ara una base qualsevol en la que T diagonalitza (per ser un operador normal real amb totes les arrels reals) {e1 , ..., en } amb VT (λi ) =< ei >C ∀i = 1, ..., n. Aquesta base ´es ortogonal ja que els vectors propis que estan associats a valors propis diferents s´ on ortogonals entre si (per ser T operador normal).
Aix´ı doncs, normalitzant els vectors ja obtenim una base ortonormal D = {w1 , ..., wn } en la que diagonalitza. Com que dimR VT (λi ) = 1 ∀i = 1, ..., n, la base queda D= ± 1 1 1 e1 , ± e2 , ..., ± en e1 e2 en I de bases com aquesta en tenim 2n , tenint en compte totes les combinacions possibles segons si agafem el signe positiu o el negatiu de cada vector.
A m´es, si anem canviant l’ordre dels vectors obtenim n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1 = n! combinacions possibles per a cada situaci´o anterior.
D’aquesta manera, en total tenim exactament 2n · n! possibilitats per a D.
` ALGEBRA I GEOMETRIA E.T.S.E.C.C.P.B.
03.05.2011 Àlgebra i Geometria Grau en Enginyeria Civil EX03 Q¨ uesti´ o 2: A l’espai euclidi` a complex (C4 , < | >) definim el producte escalar en la  2 i 0 −i 2 i [< | >]V =   0 −i 2 0 0 −i base V per  0 0  i 2 i el subespai vectorial W =< (1, 0, i, 0)V , (1, 1, i, 1 − i)V >C .
Trobeu la projecci´ o ortogonal de xV = (i, 1 + i, −1, 2) sobre W ⊥ .
Alternativa 1 : Observem que (i, 1 + i, −1, 2) = −(1, 0, i, 0) + (1 + i)(1, 1, i, 1 − i), per tant x ∈ W i llavors P rW ⊥ (x) = 0.
Algweb Alternativa 2 : Busquem una base ortogonal {w1 , w2 } de W per Gram-Schmidt i calculem la projecci´ o sobre W via coeficients de Fourier. Despr´es, restant aquesta projecci´ o de x obtenim la projecci´ o que ens demanen.
Totes les components amb les que treballarem s´on expressades en base V :  w1 = (1, 0, i, 0) w2 = (1, 1, i, 1 − i) − < (1, 1, i, 1 − i) | (1, 0, i, 0) > 4 (1, 0, i, 0) = (1, 1, i, 1 − i) − (1, 0, i, 0) = (0, 1, 0, 1 − i) < (1, 0, i, 0) | (1, 0, i, 0) > 4 I ara calculem la projecci´ o sobre W directament: P rW (x) = + < x | w1 > < x | w2 > < (i, 1 + i, −1, 2) | (1, 0, i, 0) > w1 + w2 =< (1, 0, i, 0)+ < w1 | w 1 > < w2 | w 2 > < (1, 0, i, 0) | (1, 0, i, 0) > 4i 6 + 6i < (i, 1 + i, −1, 2) | (0, 1, 0, 1 − i) > (0, 1, 0, 1 − i) = (1, 0, i, 0) + (0, 1, 0, 1 − i) = (i, 1 + i, −1, 2) < (0, 1, 0, 1 − i) | (0, 1, 0, 1 − i) > 4 6 I llavors, P rW ⊥ (x) = x − P rW (x) = (i, 1 + i, −1, 2) − (i, 1 + i, −1, 2) = (0, 0, 0, 0) Annex de c` alculs:     1 0 0 1     i 0   1  = 2 i − 1 −2i 1  1  = 4 < (1, 1, i, 1 − i) | (1, 0, i, 0) >= 1 0 −i  i  2 i  i  1−i −i 2 1 − i     1 2 i 0 0 1  0  0 −i 2 i 0    = 2 i − 1 −2i 1   = 4 < (1, 0, i, 0) | (1, 0, i, 0) >= 1 0 −i 0  i  0 −i 2 i i 0 0 0 −i 2 0      i i 2 i 0 0     −i 2 i 0  1 + i = 2 i − 1 −2i 1 1 + i = 4i < (i, 1 + i, −1, 2) | (1, 0, i, 0) >= 1 0 −i 0   −1   0 −i 2 i   −1  2 2 0 0 −i 2      i 2 i 0 0 i     −i 2 i 0  1 + i = −i 2 1 2 + 2i 1 + i = 6 + 6i < (i, 1 + i, −1, 2) | (0, 1, 0, 1 − i) >= 0 1 0 1 + i      0 −i  −1  −1 2 i 0 0 −i 2 2 2      0 2 i 0 0 0    −i  2 i 0   1  = −i 2 1 2 + 2i  1  = 6 < (0, 1, 0, 1 − i) | (0, 1, 0, 1 − i) >= 0 1 0 1 + i   0 −i  0  2 i  0  0 0 −i 2 1−i 1−i  2 −i 0   0 0  i 2 −i 0 ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 03.05.2011 EX03 Q¨ uesti´ o 3: Sigui (En , < | >) espai euclidi` a complex, Q ∈ LC (En ), tal que ∗ Q = −2Q + 12Q−1 . Verifiqueu que Q ´es operador normal.
Obteniu els seus valors propis i justifiqueu que ∗ Q = 4Q−1 .
Comprovem que ∗ Q commuta amb Q: Q· ∗ Q = Q · (−2Q + 12Q−1 ) = −2Q2 + 12Id = −2Q · Q + 12Q−1 · Q = (−2Q + 12Q−1 ) · Q = ∗ Q·Q de manera que Q ´es un operador normal.
Sigui λ un valor propi de Q i sigui x = 0 un vector propi de Q associat a λ. Llavors, Q(x) = λx. Aplicant Q−1 a banda i banda, Q−1 (Q(x)) = Id(x) = λQ−1 (x) =⇒ Q−1 (x) = 1 x λ Algweb Aix´ı, si x ´es vector propi de Q associat a λ, x ´es vector propi de Q−1 associat a 1/λ. I aix` o no presenta cap problema, ja que estem considerant que Q ´es inversible, i per tant Ker Q = {0}, ´es a dir que λ = 0 no ´es valor propi de Q.
A m´es, com que Q ´es normal tenim que ∗ Q(x) = λx. Aleshores, ∗ Q(x) = λx = (−2Q + 12Q−1 )(x) = −2Q(x) + 12Q−1 (x) = −2λx + =⇒ λx = −2λx + 12 x λ =⇒ (λ + 2λ − 12 x λ 12 )x = 0 λ i com que x = 0, es verifica λ + 2λ − 12 es el mateix, λλ + 2λ2 − 12 = 0.
λ = 0, o el que ´ Considerant λ = a + ib (amb a, b ∈ R), tenim que a2 + b2 + 2(a + ib)2 − 12 = a2 + b2 + 2a2 + 4iab − 2b2 − 12 = 0 3a2 − b2 − 12 = 0 4ab = 0 =⇒ De la segona condici´ o dedu¨ım que a = 0 ∨ b = 0.
Suposem que a = 0: llavors, per la primera condici´ o, −b2 − 12 = 0 per` o aix` o ens porta a que b ∈ / R, cosa que entra en contradicci´ o amb l’expressi´ o que hem donat a λ.
Per tant, a = 0 i aleshores b = 0. Si b = 0, per la primera condici´ o a = ±2 = λ.
Com que Q ´es un operador normal amb tots els seus valors propis reals, Q ´es hermiti` a (∗ Q = Q). Llavors, ∗ Q = −2Q + 12Q−1 = −2∗ Q + 12Q−1 =⇒ 3∗ Q = 12Q−1 =⇒ ∗ Q = 4Q−1 ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 03.05.2011 EX03 Problema I: Sigui En un R-e.v., V una certa base d’En i f, g ∈ LR (En ) tals que [f ]V = A i [g]V = B. Sobre l’espai vectorial real E2n , amb la base W definim l’endomorfisme Φ tal que [Φ]W = A+B A−B A−B A+B a) Si v ´es vector propi de f i u ´es vector propi de g, constru¨ıu a partir d’ells vectors propis de Φ.
b) Comproveu que si f i g diagonalitzen, aleshores Φ tamb´e.
c) Trobeu una base d’E2n de vectors propis per al cas   6 3 −2 −1  3 6 −1 −2  [Φ]W =  −2 −1 6 3 −1 −2 3 6 Algweb d) Si ara considerem l’espai euclidi` a real (E2n , < | >) tal que W n’´es base ortonormal, demostreu que Φ (de l’apartat anterior) ´es normal i trobeu una base ortonormal D en la que Φ diagonalitza o pren la forma can` onica, segons correspongui.
a) Segons les hip` otesis del problema existiran valors reals λ, µ tals que: vV = (v 1 , v 2 , . . . , v n ), uV = (u1 , u2 , . . . , un ), f (v) = λv, g(u) = µu Que expressem de forma matricial: [v]T = v 1 v2 ...
vn , [u]T = u1 u2 ...
un ...
yn A[v] = λ[v], B[u] = µ[u] Sigui un vector x ∈ E2n vector propi de Φ amb valor propi k: xW = (y 1 , y 2 , . . . , y n , z 1 , z 2 , . . . , z n ), [x]T = y 1 y2 z1 z2 ··· zn , [Φ]W [x] = k[x] Usant la notaci´ o: [x]T = [y]T [z]T Podrem escriure: A+B A−B (A + B)[y] + (A − B)[z] [y] [y] = =k (A − B)[y] + (A + B)[z] [z] [z] A−B A+B A[y] + B[y] + A[z] − B[z] = k[y] (1) A[y] − B[y] + A[z] + B[z] = k[z] (2) Ara construirem dos tipus de vectors propis de Φ a partir dels vectors propis de f i de g: 1a) Si prenem [y] = [z] = [v] , wW = (v 1 , v 2 , . . . , v n , v 1 , v 2 , . . . , v n ) les expressions (1) i (2) s´ on iguals a 2A[v] = 2λ[v], de manera que Φ(w) = 2λw.
2a) Prenent [y] = [u] = −[z] , wW = (u1 , u2 , . . . , un , −u1 , −u2 , . . . , −un ) les expressions (1) i −(2) s´ on iguals a 2B[u] = 2µ[u], de manera que Φ(w) = 2µw.
b) Siguin N1 = {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ En , N2 = {u1 , u2 , . . . , un } ⊂ En bases de vectors propis de f i g respectivament.
∀i = 1, n f (vi ) = λi vi , g(ui ) = µi ui A partir d’aquests 2n vectors d’En definim 2n vectors d’E2n , N = {w1 , w2 , . . . , w2n }: ∀i = 1, n wi W = (vi V , vi V ) , Φ(wi ) = 2λi wi , wn+i W = (ui V , −ui V ) Si demostrem que N ´es sistema lliure ja tindrem una base en la que Φ diagonalitza.
Φ(wn+i ) = 2µi wn+i n n αi w i + i=1 βj wn+j = 0 j=1 Separem les n primeres components i les n darreres, i utilitzem que N1 i N2 s´ on sistemes lliures: n n α i vi + i=1 n β j uj = 0 (3) ; n αi vi − j=1 i=1 β j uj = 0 (4) j=1 n (3) + (4) : 2 αi vi = 0 =⇒ ∀i = 1, n αi = 0 βj uj = 0 =⇒ ∀j = 1, n βj = 0 i=1 n (3) − (4) : 2 j=1 c) Ser` a un cas particular dels apartats anteriors si aconseguim dues matrius A, B ∈ MR (2 × 2) tals que A+B =C = 6 3 3 6 A−B =D = −2 −1 −1 −2 Sumant i restant aquestes expressions matricials obtenim: Algweb A = [f ]V = 1 2 1 , (C + D) = 1 2 2 B = [g]V = 1 4 2 = 2A = 2[f ]V = [2f ]V (C − D) = 2 4 2 Calculem una base de vectors propis per a f i g = 2f : Pf (x) = PA (x) = (2 − x) 1 Vf (1) = yV = (y 1 , y 2 ) | (f − Id)(y) = 0 ; Vf (3) = yV = (y 1 , y 2 ) | (f − 3Id)(y) = 0 ; N1 = {v1 , v2 } [f ]N1 = 1 1 1 = (1 − x)(3 − x) (2 − x) 1 1 0 y1 = ; 0 y2 −1 1 1 −1 1 0 0 3 0 y1 = ; y2 0 Vf (1) =< v1 V = (1, −1) >R Vf (3) =< v2 V = (1, 1) >R [g]N1 = [2f ]N1 = 2 0 0 6 Observem que en el nostre cas N1 = N2 . A partir de la base N1 d’E2 podem obtenir la base N d’E4 en la que Φ diagonalitza: N = {w1 W = (1, −1, 1, −1), w2 W = (1, 1, 1, 1), w3 W = (1, −1, −1, 1), w4 W = (1, 1, −1, −1)}  2 0 [Φ]N =  0 0 0 6 0 0 0 0 4 0  0 0  0 12 d) En ser W base ortonormal i sim`etrica la matriu associada a Φ, podem afirmar que Φ ´es operador sim`etric. Ja que t´e quatre valors propis diferents i sabem que vectors propis associats a valors propis diferents s´ on ortogonals podem afirmar que N ´es base ortogonal. Nom´es caldr` a normalitzar els vectors per obtenir una base ortonormal D en la que Φ diagonalitza:   1 1 1 1 1 −1 1 −1 1  [IdE4 ]DW =  2  1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 M` etode Alternatiu: Els apartats c) i d) es poden resoldre de forma directa calculant els zeros del polinomi caracter´ıstic i una base de cadascun dels subespais de vectors propis.
(6 − x) 3 Pc Φ[x] = −2 −1 3 (6 − x) −1 −2 −2 −1 (6 − x) 3 −1 +[2] + [3] + [4] (6 − x) −2 3 = 3 −2 (6 − x) −1 (6 − x) (6 − x) −1 −2 (6 − x) −1 (6 − x) 3 (6 − x) −2 = 3 (6 − x) 1 3 = (6 − x) −2 −1 = (6−x) (3 − x) 1 −1 −4 (8 − x) 4 1 (6 − x) −1 −2 1 −1 (6 − x) 3 1 −2 −3[1] = (6 − x) 3 +2[1] (6 − x) +[1] −5 +[2] (4 − x) 5 1 = (6−x) (7 − x) −1 1 1 = (6 − x)(4 − x) 0 (7 − x) 0 5 (4 − x) (8 − x) 4 1 1 0 (3 − x) 0 1 0 −1 1 −4 (8 − x) 4 1 −5 = 5 (7 − x) 1 0 5 = (6−x)(4−x) 1 −1 (7 − x) 1 (8 − x) 4 0 5 = (2 − x)(6 − x)((7 − x)2 − 25) = (2 − x)(6 − x)(4 − x)(12 − x) (7 − x) VΦ (2) = xW = (x1 , x2 , x3 , x4 ) | (Φ − 2Id)(x) = 0      0 4 3 −2 −1 x1   x 2   0  3 4 −1 −2   =    −2 −1 4 3 x3  0 0 −1 −2 3 4 x4 ∼  1 0 0 1  0 0 0 0 0 0 1 0     0 1 x1 x2  0 −1   =   1 x3  0 0 0 x4 VΦ (2) = xW = (x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 = −x4 , x2 = x4 , x3 = −x4 =< w1 W = (1, −1, 1, −1) >R Algweb 0 −[1] = 5 (7 − x) +[1] VΦ (6) = xW = (x1 , x2 , x3 , x4 ) | (Φ − 6Id)(x) = 0      0 0 3 −2 −1 x1   x 2   0  3 0 −1 −2   =    −2 −1 0 3 x3  0 0 −1 −2 3 0 x4 ∼  1 0 0 1  0 0 0 0 0 0 1 0   1   0 x −1 x2  0 −1   =   −1 x3  0 0 0 x4 VΦ (6) = xW = (x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 = x2 = x3 = x4 =< w2 W = (1, 1, 1, 1) >R VΦ (4) = xW = (x1 , x2 , x3 , x4 ) | (Φ − 4Id)(x) = 0      0 2 3 −2 −1 x1  x2  0  3 2 −1 −2   =    −2 −1 2 3 x3  0 0 −1 −2 3 2 x4 ∼  1 0 0 1  0 0 0 0 0 0 1 0     0 −1 x1  x 2   0 1   =   1 x3  0 0 0 x4 VΦ (4) = xW = (x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 = x4 , x2 = x3 = −x4 =< w3 W = (1, −1, −1, 1) >R VΦ (12) = xW = (x1 , x2 , x3 , x4 ) | (Φ − 12Id)(x) = 0      0 −6 3 −2 −1 x1  3 −6 −1 −2 x2  0   =    −2 −1 −6 3 x3  0 0 −1 −2 3 −6 x4 ∼  1 0 0 1  0 0 0 0 0 0 1 0     0 1 x1  x 2   0 1   =   −1 x3  0 0 0 x4 VΦ (12) = xW = (x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 = x2 = −x4 , x3 = −x4 =< w4 W = (1, 1, −1, −1) >R [IdE4 ]N W  1 1 −1 1  = 1 1 −1 1  1 1 −1 1  −1 −1 1 −1 Per obtenir una base ortonormal D tan sols necessitem normalitzar els vectors:   1 1 1 1 1 −1 1 −1 1  [IdE4 ]DW =  2  1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 03.05.2011 EX03 Problema II: A MR (2 × 2) considerem els seg¨ uents subespais vectorials: F = {A ∈ MR (2 × 2) / A ´es diagonal} G = {A ∈ MR (2 × 2) / tr(A) = 0} H = {A ∈ MR (2 × 2) / AT = −A} a) Siguin M1 = I2 i M2 = 0 1 . Calculeu dues matrius M3 i M4 tals que F =< M1 , M3 >R , G =< M2 , M3 , M4 >R i 1 0 H =< M4 >R .
b) Comproveu que {M1 , M2 , M3 , M4 } ´es base de MR (2 × 2).
c) Calculeu la matriu associada a f en la base trivial V = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 , , , 0 1 1 0 0 0 0 , on f ´es un endomorfisme definit sobre MR (2 × 2) que verifica les seg¨ uents condicions: Algweb i) Els subespais F, G i H s´ on invariants per f .
ii) Pc f [x] = (1 − x)4 iii) M2 + M3 ´es un vector propi de f .
iv) det2 (f (M1 )) = −3.
a) Anomenant A = (aij ) podem reescriure els tres subespais vectorials com F = {A ∈ MR (2 × 2) / a12 = a21 = 0} G = {A ∈ MR (2 × 2) / a11 + a22 = 0} H = {A ∈ MR (2 × 2) / a12 = −a21 , a11 = a22 = 0} del que dedu¨ım que dimR F = 2, dimR G = 3 i dimR H = 1.
M4 ha de ser una matriu antisim`etrica de MR (2 × 2), per exemple, M4 = 0 −1 . Queda vist que tr(M4 ) = 0, i per 1 0 tant M4 ∈ G.
M3 ha de ser una matriu diagonal amb tr(M3 ) = 0 i linealment independent amb M1 i amb M2 , M4 . Assagem M3 = 1 0 i comprovem la independ`encia lineal amb M1 : 0 −1 α1 M1 + α3 M3 = [0]2 = α1 1 1 0 + α3 0 0 1 α + α3 0 = 1 0 −1 0 α1 − α3 =⇒ α1 = α3 = 0 Comprovem la independ`encia lineal amb M2 , M4 : α2 M2 +α3 M3 +α4 M4 + = [0]2 = α2 0 1 1 1 0 0 +α3 +α4 0 0 −1 1 −1 α3 = 0 α2 + α4 α2 − α4 −α3 =⇒ α2 = α3 = α4 = 0 b) Fem una combinaci´ o lineal de les 4 matrius i la igualem a [0]2 : α1 M1 + α2 M2 + α3 M3 + α4 M4 + = [0]2 = α1 0 1 0 0 1 1 0 + α4 + α3 + α2 1 0 −1 1 0 0 1 =⇒ α + α3 −1 = 1 0 α2 + α4 α2 − α4 α1 − α3 α1 = α2 = α3 = α4 = 0 i aleshores {M1 , M2 , M3 , M4 } s´ on 4 matrius linealment independents d’un espai vectorial de dimensi´ o 4, cosa que implica que en formen base.
c) Recordant que la intersecci´ o de subespais invariants tamb´e ´es invariant, F ∩ G =< M3 >R ´es invariant. Com que dimR F ∩ G = dimR H = 1 i s´ on subespais invariants, M3 i M4 s´ on vectors propis de f (associats al valor propi 1, que ´es l’´ unic possible segons el seu polinomi caracter´ıstic, donat per l’enunciat).
Com que M2 + M3 ´es un vector propi de f i M3 tamb´e, f (M2 + M3 ) = M2 + M3 = f (M2 ) + f (M3 ) = f (M2 ) + M3 , i per tant f (M2 ) = M2 .
Aix´ı doncs, la matriu associada a f en la base N = {M1 , M2 , M3 , M4 } ´es   a 0 0 0  0 1 0 0  [f ]N =   b 0 1 0 0 0 0 1 Com que tr(f ) = 4 = a + 3 resulta a = 1.
1+b 0 , aleshores det2 (f (M1 )) = 1 − b2 = −3 i per tant b = ±2.
Com que f (M1 ) = aM1 + bM3 = 0 1−b Finalment, fent el canvi de base, [f ]V = [Id]V N · [f ]V · [Id]V N Algweb −1  1±2  0 =  0 1∓2 0 1 1 0  1 0 0 1  = 0 1 1 0    1 0 0 0 1 0   0 −1  ·  0 1 0 0 · [Id]−1 = NV   ±2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 −1 0      1 0 1 0 0 1 2 ± 2 0 0 ±2    0 −1 2 0 0   · 1 0 1 1 0  = 1  0 = 0 1  2 1 0 0 −1 2  0 0 2 0  −1 0 0 −1 1 0 ∓2 0 0 2 ∓ 2  1±1  0 =  0 ∓1  0 0 ±1 1 0 0   0 1 0  0 0 1∓1 ...

Tags: