Exercicis resolts del Tema 4: Funció real de variable real (2013)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 1
Año del apunte 2013
Páginas 31
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 7
Subido por

Vista previa del texto

Exercicis del Tema 4: Funció real de variable real 39. Calculeu els límits laterals següents: a) b) c) d) 40. Calculeu els límits següents: a) b) c) d) e) 167 Llúcia Mauri Masdeu f) g) h) 41. Estudieu la continuïtat de les funcions següents i, en cas de ser discontínues, digueu de quin tipus de discontinuïtat es tracta: a) Aquesta funció és una funció racional que és contínua en tots els punts menys els valors de x que anul·len el denominador.
Llavors f(x) és continua ∀x∈R\{2}. Vegem quin tipus de discontinuïtat: Discontinuïtat asimptòtica en x=2 b) f ( x) = x x Aquesta funció és una funció racional que és contínua en tots els punts menys els valors de x que anul·len el denominador.
Llavors f(x) és continua ∀x∈R\{0}. Vegem quin tipus de discontinuïtat: Discontinuïtat de salt en x=0 168 Matemàtiques I c) f ( x) = 1 + x3 1+ x Aquesta funció és una funció racional que és contínua en tots els punts menys els valors de x que anul·len el denominador.
Llavors f(x) és continua ∀x∈R\{=–1}. Vegem quin tipus de discontinuïtat: Discontinuïtat evitable en x=–1 no està definit d) Aquesta funció és una funció racional que és contínua en tots els punts menys els valors de x que anul·len el denominador. A més, en el numerador tenim una arrel quadrada que no està definida per valors negatius del radicand.
Llavors f(x) és continua .
Vegem quin tipus de discontinuïtat: Per x<–7 tenim que no pertanyen al domini de la funció Per x= –2 Discontinuïtat asimptòtica en x= –2 169 Llúcia Mauri Masdeu Per x= 2: no està definit Discontinuïtat evitable en x=2 e) Aquesta funció és una funció racional que és contínua en tots els punts menys els valors de x que anul·len el denominador. Però el denominador no s’anul·la per cap valor de x∈R, ja que la funció exponencial sempre és positiva.
Per tant, la funció és contínua ∀x∈R.
1 f) f ( x) = e x +1 Aquesta funció és exponencial que és contínua en tota la recta real. L’exponent o índex de l’exponencial és una funció racional, la qual presentarà problemes en els valors que anul·len el denominador.
Discontinuïtat de salt infinit en x=–1 Per tant, la funció és contínua ∀x∈R\{–1}.
g) Aquesta funció és exponencial i és contínua en tota la recta real. L’exponent o índex de l’exponencial és una funció racional, la qual presentarà problemes en els valors que anul·len el denominador.
170 Matemàtiques I Discontinuïtat evitable en x=0 Per tant, la funció és contínua ∀x∈R\{0}.
h) Aquesta funció és una funció racional que és contínua en tots els punts menys els valors de x que anul·len el denominador.
Però la funció exponencial és una funció positiva,és a dir, no hi ha cap valor de x que faci que en avaluar la funció resulti un nombre negatiu.
Per tant, amb el denominador de la funció racional no tenim problemes de continuïtat.
Observem, però, que l’exponencial que es troba dins la funció racional té un exponent que és una altra funció racional. Aquesta serà contínua en tots els punts menys els valors de x que anul·len el denominador.
Vegem què passa en aquest punt: Discontinuïtat de salt a x=1 Per tant, la funció és contínua ∀x∈R\{1}.
171 Llúcia Mauri Masdeu 1 2 42. Trobeu la recta tangent a la funció en el punt x0 = .
Hem de trobar la recta: Així, haurem de buscar i Llavors: 43. Sigui f ( x) = e 4 x 2 x 1 2 . Calculeu l’elasticitat E x f (x) en el punt x0 = .
172 Matemàtiques I Llavors: 44.
3 1 a) Donades les funcions f ( x) = , g ( x) = x 2 i h( x) = f ( x) ×g ( x) , calculeu E x f ( x0 ) , x E x g ( x 0 ) , E x h( x 0 ) .
• • • b) Feu el mateix amb les funcions f ( x) = x 2 i g ( x) = e x .
173 Llúcia Mauri Masdeu • • • c) Estan relacionades E x f ( x0 ) , E x g ( x0 ) , E x h( x0 ) ? En cas afirmatiu, podríeu demostrar aquesta relació? Sí, estan relacionats E x h( x 0 ) = E x f ( x 0 ) + E x g ( x 0 ) Demostració: d) Atesos els resultats anteriors, quant val l’elasticitat de f ( x) = x ? I l’elasticitat de ? Calculem l’elasticitat de la funció f(x): Utilitzem la relació que hem trobat a l’exercici anterior, canvio el nom de la funció per evitar confusions amb la notació. Així, doncs, tenim: 174 Matemàtiques I Per tant: 45.
f ( x) a) Donades les funcions f ( x) = e 2 x , g ( x) = x 2 i h( x) = , calculeu E x f ( x0 ) , E x g ( x0 ) , g ( x) E x h( x 0 ) .
• • • b) Demostreu que, per a dues funcions derivables f (x) i g (x) , es compleix la igualtat següent: f ( x) Definim: h( x) = g ( x) Demostració: 175 Llúcia Mauri Masdeu 46.46.
46.
a) Considereu les funcions i . Calculeu l’elasticitat de f al punt 46.
46.
1 x i g(x)=ln(x).
Calculeu el’elasticitat lasticitat de alal punt a) a) Considereu les funcions f(x)=e Calculeul’l’elasticitat deffffal punt x0 = 2 Considereules lesfuncions funcions a) Considereu Considereu les funcions Calculeu l’elasticitat de al punt punt a) iii ...Calculeu de 1 i l’elasticitat de g al punt2 .
.
i l’elasticitat de g al punt x0 = e l’elasticitatde degggal alpunt punt l’elasticitat de al punt iiil’elasticitat ...
• ••• • ••• b) Considereu les funcions i b) Considereu lesfuncions funcions .
b) Considereu les funcions Considereu les funcions iii b)b) Considereu les ...
• • •• MATEMÀTIQUES I . Calculeu les elasticitats de f i g en Calculeules les elasticitats dede Calculeu les elasticitats de en ...Calculeu de fffiiifgggi en Calculeu leselasticitats elasticitats genen x0 .
MATEMÀTIQUES I MATEMÀTIQUES MATEMÀTIQUES II MATEMÀTIQUES I • • 158 158 158 158 •• • c) Tenint en compte que en els apartats anteriors g es la funció inversa de f. Trobeu c) alguna Tenint en compte queseves enenels funció inversa f. Trobeu c) Tenint enentre compte que elsapartats apartats anteriors anteriors ggeseslalafunció inversa de f.de Trobeu relació les elasticitats? c) Tenint en compte que en els apartats anteriors g es la funció inversa de f.
Trobeu c) Tenint en compte que en els apartats anteriors g es la funció inversa de f.
Trobeu alguna relació entre les elasticitats? alguna relació entre les apartats seves elasticitats? c) Tenint en compte que enseves els anteriors g es la funció inversa de f. Trobeu alguna alguna relació relació entre entre les les seves seves elasticitats? elasticitats? alguna relació entre les seves elasticitats? Sí, estan relacionats Sí, estan relacionats Sí, estan relacionats: Sí, estan relacionats Sí, estan relacionats Demostració: Considerem Sí, estan relacionats Demostració: Considerem Demostració: Considerem Demostració: Considerem Demostració: Considerem Demostració: Considerem i demostrarem que i demostrarem que demostrarem que demostrarem que iidemostrarem que i demostrarem que Nota: Aquí representa qualsevol punt, és a dir, és una variable.
Aquí representa qualsevol a dir, és una variable.
Nota: Nota: Aquí representa qualsevol punt, és apunt, dir, ésésés una variable.
Nota: Nota: Aquí Aquí representa representa qualsevol qualsevol punt, punt, dir, és és una una variable.
variable.
176 és aa dir, 47. Resoleu els límits següents: 47. Resoleu elssegüents: límits següents: 47. Resoleu els límits 47. Resoleu Resoleu els els límits límits següents: següents: a) 47.
Matemàtiques I Nota: Aquí x0 representa qualsevol punt, és a dir, és una variable.
47. Resoleu els límits següents: a) b) c) d) e) –x ex (1–e ) x (1–e–x–1)e f) 48. Representeu gràficament les funcions següents: a) Domini: Simetries: Hi ha simetria central Domf (x) = R\{1,–1} Punts de tall: eix x (0,0) eix y (0,0) Asímptotes: Vertical: a x=–1 i x=1 Horitzontal: No n’hi ha Obliqua: delimitada per la recta y=x 177 Llúcia Mauri Masdeu Monotonia: 0 màxim Creixent mínim p.i Decreixent Decreixent Decreixent Decreixent Creixent Curvatura: Còncava 0 Punt d’inflexió Convexa Còncava Convexa Representació gràfica: Imatge 52 b) Domini: Domf (x) = R\{1} Simetries: No hi ha simetries Punts de tall: eix x (–2, 0) i (2, 0) eix y (0, 4) Asímptotes: Vertical: a x=1 Horitzontal: No n’hi ha Obliqua: delimitada per la recta y=x +1 Monotonia: Curvatura: Creixent Creixent Convexa 178 Còncava Matemàtiques I Representació gràfica: Imatge 53 c) f(x)=(x–1)e–x Domini: Simetries: No hi ha simetries Domf (x) = R Punts de tall: eix x (1, 0) eix y (0,–1) Asímptotes: Vertical: No n’hi ha.
Horitzontal: No n’hi ha.
Obliqua: No n’hi ha.
Monotonia: Curvatura: 2 màxim Creixent Còncava Decreixent Representació gràfica: Imatge 54 179 3 Punt d’inflexió Convexa Llúcia Mauri Masdeu d) Domini: Simetries: No hi ha simetries.
Domf (x) = R\{2} Punts de tall: eix x (–1, 0) i (1, 0) eix y Asímptotes: Vertical: a x=2 Horitzontal: a f(x)=1 Obliqua: No n’hi ha Monotonia: mínim Decreixent Creixent Decreixent Curvatura: Còncava Punt d’inflexió Convexa Convexa Representació gràfica: Imatge 55 e) Domini: Simetries: Hi ha simetria axial.
Domf (x) = R\{0} 180 e) e) Simetries: Simetries: Hi ha simetria axial.
R\{0} Hi ha simetria axial.
R\{0} Punts de tall: Asímptotes: Asímptotes: Punts de tall: Asímptotes: Nodehitall: ha talls amb els eixos Vertical: No n’hi ha Punts Vertical: No n’hia ha f(x)=0 No Horitzontal: hi ha talls amb els eixos Vertical: No n’hi ha Horitzontal: a f(x)=0 No Obliqua: hi ha talls amb els eixos Nof(x)=0 n’hi ha Horitzontal: Obliqua: No an’hi ha Obliqua: No n’hi ha Domini: Domini: Matemàtiques I Monotonia: Monotonia: Monotonia: Curvatura: Curvatura: Curvatura: Punt Punt d’inflexió Còncava d’inflexió Còncava Representació gràfica: Representació gràfica: Decreixent Decreixent Creixent Creixent Convexa Convexa Convexa Convexa Punt Punt d’inflexió d’inflexió Còncava Còncava Representació gràfica: Imatge 56 Imatge 56 f) f) Imatge 56 eix y eix x eix x eix y Simetries: Simetries: No hi ha simetries.
No hi ha simetries.
Domini: Punts de tall: Simetries: Asímptotes: Punts de tall: Asímptotes: hi ha simetries.
Domf (x) = R No Domini: Domini: f) f ( x) = x 2 e x R R Punts de tall: Asímptotes: eix x (0,0) eix y (0,0) Vertical: No n’hi ha Horitzontal: No n’hi ha.
Obliqua: No n’hi ha.
181 163 163 Horitzontal: No n’hi ha.
Horitzontal: No n’hi ha.
Obliqua: No n’hi ha.
Obliqua: No n’hi ha.
Vertical: No n’hi ha Vertical: No n’hi ha Monotonia: Llúcia Mauri Masdeu Monotonia: Monotonia: Monotonia: Màxim Creixent Màxim Màxim Creixent Curvatura: Creixent mínim Decreixent mínim mínim Decreixent Decreixent Creixent Creixent Creixent Curvatura: Curvatura: Curvatura: Punt d’inflexió Convexa Punt Punt Representació gràfica: d’inflexió Convexa Representació gràfica: d’inflexió Convexa Còncava Còncava Còncava Punt d’inflexió Convexa Punt Punt d’inflexió d’inflexió Convexa Convexa Representació gràfica: Representació gràfica: Imatge 57 Imatge 57 g) Imatge 57 Imatge 57 g) g) Domini: Asímptotes: Domini: R\{-1} Domini: Vertical: a x=-1 Asímptotes: Asímptotes: Domini: Simetries: Horitzontal: No n’hi ha Punts de tall: R\{-1} R \{-1} Obliqua: Delimitada per la recta R\{–1} No hi ha simetries.
Domf (x ) = Vertical: a x=-1 eix x eix y Vertical: a x=-1 Horitzontal: No n’hi ha Punts de tall: Simetries: Horitzontal: No n’hi ha Punts de tall: Obliqua: Delimitada per la recta No hi eixPunts x ha simetries.
eix y de tall: Asímptotes: Obliqua: Delimitada per la recta eix x eix y Simetries: eix x (0,0) eix y (0,0) Vertical: a x=–1 Simetries: No hi ha simetries.
MATEMÀTIQUES I No hi ha simetries.
Horitzontal: No n’hi ha Obliqua: Delimitada per la recta y=x–2164 Monotonia: Monotonia: 164 164 0 màxim Creixent Curvatura: p.i Decreixent Creixent 182 Creixent Matemàtiques I Curvatura: Còncava Punt d’inflexió Còncava Convexa Representació gràfica: Imatge 58 h) Domini: Simetries: No hi ha simetries.
Domf (x) = R\{–1} Punts de tall: eix x No n’hi ha eix y Asímptotes: Vertical: No n’hi ha Horitzontal: en f(x)=e Obliqua: No n’hi ha.
Monotonia: Curvatura: Creixent Creixent Convexa 183 Punt Convexa d’inflexió Còncava Llúcia Mauri Masdeu Representació gràfica: Imatge 59 i) Domini: Simetries: Hi ha simetria axial.
Domf (x) = R\{–1,1} Punts de tall: eix x (–1, 0) i (1, 0) eix y (0, –1) Asímptotes: Vertical: a x=–1 i x=1 Horitzontal: a f(x)=1 Obliqua: No n’hi ha.
Monotonia: 0 màxim Creixent Creixent Decreixent Curvatura: Convexa Còncava 184 Convexa Decreixent Matemàtiques I Representació gràfica: Imatge 60 j) Domini: Simetries: Hi ha simetria axial.
Asímptotes: Vertical: No n’hi ha.
Horitzontal: a f(x)=0.
Obliqua: No n’hi ha.
Domf (x) = R Punts de tall: eix x (–1, 0) i (1, 0) eix y (0, 2) Monotonia: 0 màxim mínim Decreixent mínim Creixent Decreixent Creixent Curvatura: a (a,b) p.i Còncava On: a= b (b,c) p.i (c,d) p.i Convexa , b= c Còncava , c= i d= 185 d p.i Convexa Còncava Llúcia Mauri Masdeu Representació gràfica: Imatge 61 49. La relació que existeix entre el benefici obtingut (b) per la venda de cert article i el nivell de producció (q) d’aquest article és la següent: En aquest cas, b està expressat en unitats monetàries i q en unitats produïdes.
Sabent que el nivell de producció ha de ser una quantitat positiva i no més gran que 10, trobeu el nivell de producció que fa que hi hagi un benefici màxim i quin és aquest benefici màxim. Gràcies a una millora tècnica, el nivell de producció q augmenta fins a 11 unitats; quin és el nivell de producció òptim i el benefici en aquest cas? Observem les gràfiques següents: Gràfica 1 Gràfica 2 Gràfica 3 Imatge 62 Imatge 63 Imatge 64 186 Matemàtiques I Gràfica 1: Representa la funció b(q) Gràfica 2: Representa la funció b(q) al interval [0,10] Gràfica 3: Representa la funció b(q) al interval [0,11] Sabem que (Gràfica 2): Volem trobar q de manera que b sigui el més gran possible, és a dir, busquem el màxim absolut de la funció b(q).
Aquest, segons el teorema de Weierstrass, sabrem que es troba a l’interval [0,10].
Busquem els punts crítics de la funció: sabem que es troben en els punts on la funció no és derivable (no és el cas), en els extrems de l’interval (és a dir, en x=0 i x=10) i en els punts on s’anul·la la derivada, busquem-los: i Per tant, tenim quatre candidats a màxim absolut: , , , Per tant, el nivell de producció que maximitza el benefici és q=3 i el benefici és 62’5 unitats monetàries.
Què passa si 0<q<11 (gràfica 3)? El procés de cerca del màxim absolut és anàleg a l’anterior però ara l’extrem q=10 és q=11.
Per tant, tenim quatre candidats a màxim absolut: , , , Per tant, el nivell de producció que maximitza el benefici és q=11i el benefici és .
50. A l’empresa COSTOSA, la producció i la venda de x articles tenen associades la funció de costos C ( x) = 200 + 5 x + 0'1x 2 i la funció d’ingressos R( x) = 8 x .
187 Llúcia Mauri Masdeu a) Trobeu el valor de x que minimitza el cost unitari Cu ( x) = C ( x) .
x 2 Cu ( x) = C ( x) 200 + 5 x + 0'1x 200 = = + 5 + 0'1x → x x x Cu ( x) = 200 + 5 + 0'1x x Imatge 65 Si observem la funció, veurem que x no pot ser negativa; llavors sols considerem la branca de la dreta i veiem que x=0 no pertany al domini de la funció. A més, la funció és derivable en tots els punts del seu domini. Per tant, la recerca dels punts crítics es redueix a buscar els punts on s’anul·la la derivada.
Busquem el mínim d’aquesta funció: Vegem si és un màxim, un mínim o un punt d’inflexió: )3 ( (– )3 Per tant, b) Comproveu que el cost unitari mínim es troba quan el cost unitari és igual al cost marginal.
Hem de comprovar que imposant la següent igualtat, llavors obtenim la x de l’apartat anterior: 200 200 Cu ( x) = CMg ( x) → + 5 + 0'1x = 5 + 0'2 x → + 0'1x = 0'2 x → x x 188 Matemàtiques I 200 2 x = ± 2000 200 = 0'1x → = 0'1x → → x Però, com que una quantitat d’articles mai no pot ser negativa, llavors, c) Calculeu el valor de x que maximitza la utilitat .
Imatge 66 Aquesta funció és derivable en tot el seu domini, i considerem la gràfica a partir de x=0.
En què P(0)=–200.
Busquem la x que maximitza P(x): màxim d) Comproveu que la utilitat màxima es troba quan el cost marginal és igual a l’ingrés marginal.
Hem de comprovar que imposant la següent igualtat, llavors obtenim la x de l’apartat anterior: 51. Un ramader compra una partida de bous per engreixar. Cada bou pesa 24 kg i costa 8,16 euros. Engreixar un bou li costa 0,24 euros al dia i engreixa 3 kg al dia. El preu del bou al mercat està disminuint de manera que al cap de t dies de la compra, aquest preu 189 Llúcia Mauri Masdeu és de euros per kg. Quin és el guany si ven els bous al cap de 10 dies? I al cap de 15 dies? Quants dies li convé engreixar els bous abans de vendre’ls si vol obtenir el màxim guany per bou? Dades: • pes del bou abans d’engreixar=24 kg • pes del bou després d’engreixar-lo t dies=24+3t kg • cost del bou abans d’engreixar= 8,16 euros • cost del bou després d’engreixar-lo t dies=8,16+0,24t euros • preu del bou al mercat: euros per kg.
Nota: t representa el nombre de dies.
• Guany en la venta per cada bou al cap de 10 dies: euros • Guany en la venta per cada bou al cap de 15 dies: euros Hem de buscar el màxim de B(t): euros 190 Matemàtiques I Si el ramader vol obtenir el màxim guany, haurà d’engreixar els bous durant 188 dies.
Nota: Per trobar la t que maximitza el benefici, podem imposar que els ingressos marginals siguin igual als costos marginals: IMg (t ) = CMg (t ) I s’obté el mateix resultat.
52. Un centre cultural realitza un concert al mes. Actualment, la mitjana d’assistència és de 3.000 aficionats, i el preu de venda és de 20 euros per entrada. Si els preus augmentessin o es rebaixessin en 1 euro, l’assistència mitjana es reduiria o augmentaria, respectivament, en 100 aficionats. Quins són els ingressos si el preu de venda és de 17 euros? I si fos de 22 euros? Dades: • Nombre d’aficionats actualment: 3000 • Nombre d’aficionats en variar el preu: 3000–100t • Preu de venda per entrada actualment sense variar: 20 • Preu de venda al variar-ho: 20+t Nota: La t representa una variació positiva o negativa.
• Ingressos si el preu de venda és de 17 euros: euros • Ingressos si el preu de venda és de 22 euros: euros a) Trobeu el preu de l’entrada que maximitzarà l’ingrés.
Hem de buscar el màxim de I(t): 191 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, maximitzarà l’ingrés un augment de 5 euros, així el preu serà de 25 euros.
b) Cada espectador fa una despesa mitjana de 4 euros en productes que es venen durant el concert. Determineu el preu òptim de l’entrada amb aquesta informació.
Hem de buscar el màxim de I(t): Per tant, maximitzarà l’ingrés un augment de 3euros, així el preu serà de 23 euros.
53. La gerent d’un restaurant ha observat que quan les amanides tenen un preu de 2,5 euros, se serveixen 200 amanides als clients. No obstant això, per cada euro d’augment al preu, es perden 100 clients. Anàlogament, per cada euro rebaixat al preu es guanyen 100 clients. Es suposa que qualsevol fracció d’euro d’augment (o de disminució) al preu provoca una pèrdua (guany) proporcional corresponent en el nombre de clients. D’altra banda, el servei d’amanides te uns costos fixos de 100 euros diaris més 0,30 euros per client. Determineu el preu de l’amanida que maximitza el guany diari.
Dades: • Preu d’una amanida abans: 2,5 euros • Preu d’una amanida al variar-ho: 2,5+t euros • Amanides servides abans: 200 • Amanides servides al variar el preu: 200–100t Nota: La t representa una variació positiva o negativa.
Hem de buscar el màxim de B(t): El preu que maximitzarà el benefici serà: 2,5–0,1=2,4 euros.
192 Matemàtiques I Nota: Per trobar la t que maximitza el benefici, podem imposar que els ingressos marginals siguin igual als costos marginals: IMg (t ) = CMg (t ) I s’obté el mateix resultat.
54. Un pagès vol tancar 60.000 metres quadrats de terreny rectangulars. Un dels costats d’aquest rectangle és a la vora d’un camí, la qual cosa fa que el cost del metre de tanca sigui d’1 euro per metre en aquest costat. Per a la resta de costats, el cost és de 0,5 euros per metre. Quants metres de cada tipus de tanca ha de comprar el pagès per fer mínimes les seves despeses? Perímetre=2a+2b Àrea= base  altura Imatge 67 Sabem que l’àrea és 60.000 m 2 . Per tant: 60000= b  a Volem minimitzar la funció de costos, és a dir, el nombre de metres de tanca (el perímetre) pel preu respectiu: Aquesta funció depèn de dues variables que estan relacionades, llavors: Minimitzem C(b): Com que els metres d’una tanca sempre és una magnitud positiva, prenem b=300.
Comprovem que és un mínim de la funció C(b): 193 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, és un mínim de C(b). I a més a = 60000 = 200 b Així, doncs, el pagès haurà de comprar 300+200+300=800 metres de tanca de 0,5 euros per metre i 200 metres de tanca d’1 euro per metre.
55. El campament dels germans Dalton es troba a dos quilòmetres del marge d’un riu recte. Lucky Luke es troba al mateix costat del riu, però a 10 quilòmetres riu avall d’aquest campament, i a 4 quilòmetres del marge. Si Lucky Luke vol abeurar el seu cavall, Jolly Jumper, abans d’anar al campament a detenir els Dalton, quin camí o camins haurà de seguir per recórrer una distància mínima? Imatge 68 El camí més curt és l’assenyalat amb roig (o vermell).
Per tant, la distància mínima serà: D = y + z Vegem què són y i z: Busquem el mínim d’aquesta funció: 194 Matemàtiques I i Una distància no pot ser negativa; per tant, comprovem que mínim: és el , >0 Com que la gràfica decreix per l’esquerra del punt i creix per la dreta del punt, tenim que és un mínim.
Així, la distància mínima serà: km.
56. Un ramader vol construir una tanca rectangular a la vora d’un riu recte. Només té 1.000 metres de filferro i no cal tanca pel costat del riu. Quina és l’àrea màxima que es pot envoltar amb la tanca de filferro? Perímetre=a+2b Àrea= base  altura Imatge 69 Sabem que disposem d’un perímetre de 1.000 metres. Per tant: 1000 = a + 2b 195 Llúcia Mauri Masdeu Volem maximitzar la funció àrea A=b  a però veiem que depèn de dues variables a i b. Però aquestes estan relacionades amb la condició anterior. Per tant, aïllem una variable i la substituïm a la funció àrea: Per tant, ara ja tenim la funció àrea expressada respecte una variable, la b: : Maximitzem la funció Comprovem que és un mínim de la funció A(b): Per tant, les dimensions del rectangle que maximitzaran l’àrea d’aquest camp seran: 500 x 250 metres. I el valor de l’àrea màxim serà de A = 250·500 = 125000 m 2 .
57. Segons un estudi sobre l’evolució de la població d’una espècie protegida determinada, podem establir el nombre d’individus d’aquesta espècie durant els propers anys mitjançant la funció en què t és el nombre d’anys transcorreguts.
a) Calculeu la població actual i la prevista per a d’aquí a nou anys.
La població actual representa l’instant de temps t=0, ja que encara no han començat a passar els anys, així d’aquí a 9 anys t=9.
individus, individus b) Determineu els períodes en què la població augmentarà i els períodes en què disminuirà.
És a dir, ens demanen els intervals de creixement i decreixement de la funció. Tinguem en compte que t=–1 no pertany al domini però això no ens afectarà pas, ja que no existeixen nombre d’anys negatius. Així, podríem afirmar que el domini d’aquesta funció respecte al context que ens trobem és [0, +∞).
196 Matemàtiques I Per tant, no tenim punts singulars.
Llavors: decreixent c) Esbrineu si, segons aquesta previsió, la població tendirà a estabilitzar-se en algun valor i, si escau, determineu-lo.
És a dir, volem saber la tendència en el més infinit. Per tant, el límit d’aquesta funció quan x tendeix a més infinit.
Per tant, la població tendirà a estabilitzar-se en 50 individus.
197 ...

Tags: