ExamenFinal-resolucion(1) (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas Audiovisuales - 1º curso
Asignatura ALED
Año del apunte 2013
Páginas 4
Fecha de subida 18/05/2014
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Escola d’Enginyeria de Telecomunicaci´ o i Aeroespacial de Castelldefels Algebra Lineal i aplicacions Examen MQ Resolt dimecres 30 gener 2013 17h–18h30 1. Trobeu les funcions y = y(x) tal que d4 y d2 y + 2 + y = ex .
dx4 dx2 Resolvem primer d4 y d2 y + 2 + y = 0.
dx4 dx2 Sustitu¨ım y = erx d´ona r4 + 2r2 + 1 = (r2 + 1)2 .
Els arrels s´on r = ±j, amb multiplicitat 2. Per tant la soluci´o de la part homogenea ´es yh = A cos x + B sin x + Cx cos x + Dx sin x.
Ara busquem una soluci´o particular yp . Com que ex no es troba en el subespai de les solucions de la part homogenea, sustitu¨ım y = Eex en la EDO original. Ens d´ona Eex + 2Eex + Eex = ex , o sigui E = 1/4.
La soluci´o ´es y = yh + yp = A cos x + B sin x + Cx cos x + Dx sin x + ex /4.
2. Trobeu la funci´o y = y(x) tal que y − x(ln x) dy = x − x ln x, dx on y(3) = 2.
Indicaci´o: dx x(ln x) = ln(ln x).
Resolvem primer y − x(ln x) dy = 0.
dx o sigui dx dy = .
y x ln x Ens d´ona ln y = ln(ln x) + A per tant y = eln(ln x)+A = eA ln x = B ln x, per a alguna constante B.
Ara, busquem una soluci´o de la EDO original, posant una funci´o f (x) en lloc de la dy df = dx ln x + f (x)/x. Susitu¨ım en constante B, o sigui y = f (x) ln x. Derivant, ens d´ona dx la EDO original f (x) ln x − x ln x( df ln x + f (x)/x) = x − x ln x, dx o sigui df = x − x ln x, dx df = ((ln x)−1 − (ln x)−2 )dx x(ln x)2 Integrant, f = x(ln x)−1 + C.
Per tant, y = (x(ln x)−1 + C) ln x = x + C ln x.
Per a calcular C. Sabem y(e) = 0, per tant 0 = e + C.
Doncs, y = x − e ln x.
2 3. Sigui f un endomorfisme de R3 definit per f ((x, y, z)) = (−x − y, −y + 2z, 2x + 2z).
a) Verfiqueu que el polinomi carateristic de f ´es −(λ − 1)2 (λ + 2).
b) Discutiu si el endomorfisme f ´es diagonalitzable.
Sigui C la base can´onica.
  −1 −1 0 A = M (f, C, C) =  0 −1 2  .
2 0 2 El polinomi carateristic es pf (λ) = det(A − λI3 ) = −1 − λ −1 0 0 −1 − λ 2 .
2 0 2−λ = (λ + 1)2 (2 − λ) − 4 = −(λ3 − 3λ + 2) = −(λ − 1)(λ2 + λ − 2) Hem d’esbrinar si hi ha 2 vectors propis linealment independents amb valor propi λ = 1.
  −2 −1 0 A − I3 =  0 −2 2  2 0 1 t´e rang 2 i per tant el nucli t´e dimensi´o 1. No hi ha 2 vectors propis linealment independents amb valor propi λ = 1, per tant, f no ´es diagonalitzable.
3 4. Sigui · el producte escalar habitual. Sigui W =< u1 , u2 >, on u1 = (1, 1, 0) i u2 = (2, 2, 3).
a) Construiu una base ortonormal {v1 , v2 } per a W .
b) Amplieu la base {v1 , v2 } a una base ortonormal de R3 .
Per Gram-Schmidt. Sigui x1 = u1 .
x2 = u2 − ((u2 · x1 )/(x1 · x1 ))x1 = (2, 2, 3) − (4/2)(1, 1, 0) = (0, 0, 3).
{x1 , x2 } es una base ortogonal per a W .
x1 · x1 = 2, x2 · x2 = 9.
√ {x1 / 2, x2 /3} es una base ortonormal per a W . O sigui √ √ {(1/ 2, 1/ 2, 0), (0, 0, 1)} es una base ortonormal per a W .
√ √ Es pot ampliar amb (1/ 2, −1/ 2, 0) per trobar una base ortonormal per a R3 .
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