Formulario útil para examen (2010)

Resumen Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 1º curso
Asignatura Fundamentos Laboratorio
Año del apunte 2010
Páginas 2
Fecha de subida 30/06/2014
Descargas 16
Subido por

Descripción

Formulario con propagación de errores y estadística, muy útil para elaborar informes y hacer exámenes

Vista previa del texto

Fonaments de Laboratori Introducció a l’anàlisi d’incerteses experimentals Formulari Daniel Arteaga Març 2008 1 Error i mesura Potència: εxα = |α|εx .
Millor estimació, error, nivell confiança: x = xm ± δx (nivell de confiança p), on δx s’expressa amb una sola xifra significativa (si la primera és 1, se’n pot afegir una altra), xm s’expressa amb el mateix nombre de xifres decimals que δx i p = 68% (1σ) si no s’indica una altra cosa.
Error relatiu: εx = δx |xm | Cas particular: ε1/x = εx .
Fórmula general (una font d’error): δf (x) = Fórmula general (dues o més fonts d’error).
Errors independents: Discrepància entre dues mesures. Absoluta: d = |x1m − x2m | Relativa: δ= δf (x,y) = ∂f ∂x 2 2 ∂f ∂y (δx)2 + (δy)2 .
Errors correlacionats: d |x1m | .
Comparació entre dues mesures.
d < 2δx d ≥ 2δx d ≥ 3δx df δx.
dx Compatible? Discrepància Sí Probab. no No No/poc significativa Significativa Molt significativa 2 ∂f ∂f δf (x,y) ≈ δx + ∂x ∂y δy.
Estimació ràpida d’errors. Si f = f (x1 , . . . ,xn ), generalment εf ∼ εxi , on xi és la font d’error principal. Dit d’una altra manera, f s’acostuma a escriure amb tantes xifres significatives com xi .
Si només una mesura té error significatiu, δx = δx1 ; si totes dues tenen error, δx = δx21 + δx22 .
3 Anàlisi estadística dels errors 2 Propagació d’errors Suma i diferència. Errors independents: δ(x + y) = δ(x − y) = Donat un conjunt de N mesures x1 , . . . ,xN , repetides en idèntiques condicions, volem determinar xm i δxaleat .
(δx)2 + (δy)2 La mitjana.
Correlacionats: δ(x + y) = δ(x − y) ≈ δx + δy.
xm = x ¯= x = Producte per una constant sense error: δ(λx) = |λ| δx, ελx = εx .
Producte i divisió. Errors independents: εxy = εx/y = ε2x + ε2y .
N xi .
i=1 La desviació estàndard. Error aleatori associat a cada mesura: σx = Errors correlacionats: εxy = εx/y ≈ εx + εy .
1 N La variància és σx2 .
1 N −1 N (xi − x ¯)2 .
i=1 La desviació estàndard de la mitjana. Error aleatori associat a la mitjana: σx σx¯ = √ = N 1 N (N − 1) Error aleatori de la mesura. Ajust y = ax + b: N 1 N −2 δyreg = (xi − x ¯)2 .
(yi − axi − b)2 i i=1 o bé Covariància i correlació. Covariància entre dos errors aleatoris: 1 σxy = (xi − x ¯)(yi − y¯) N −1 i ∂f ∂x 2 2 ∂f ∂y σx2 + σy2 + 2 ∂f ∂f σxy , ∂x ∂y Coeficient de correlació (−1 ≤ r ≤ 1) σxy = r= σx σy ¯)(yi − y¯) i (xi − x j (xj −x ¯)2 k (yk δx ≈ + 1 N −1 δyreg = (yi − kxi )2 i o bé 1 N −1 δyreg = 2 i yi − 2k i xi yi + k2 2 i xi .
− y¯)2 Errors aleatoris dels coeficients. Ajust y = ax+b: Barreja d’errors sistemàtics i aleatoris.
δx2sist 1 − r2 .
Ajust y = kx: on σxy satisfà la desigualtat −σx σy ≤ σxy ≤ σx σy .
Propagació d’errors generalitzada (errors aleatoris): σz2 = N −1 N −2 δyreg = σy δx2aleat .
N , ∆ δa = δyreg δb = δyreg 2 i xi ∆ , Ajust y = kx: 4 Ajust a models lineals Repetim un experiment N vegades, tot variant el paràmetre de control x1 , . . . ,xN , mesurem yi , . . . ,yn . Volem ajustar-hi una funció lineal y = ax + b o bé y = kx. Per hipòtesi x no té error.
Mètode dels mínims quadrats. Minimitzem la funció N [yi − f (x)]2 χ2 = .
δy 2 i=1 on f (x) = ax + b o f (x) = kx segons el cas.
Millors valors per als coeficients. Ajust y = ax + b: N i xi yi − i xi j yj a= , ∆ 2 i yi − i xi j xj yj i xi , b= ∆ on ∆ = N i x2i − ( i xi )2 .
Ajust y = kx: k= i xi yi 2 .
j xj δk = δyreg .
2 i xi Barreja d’errors sistemàtics i aleatoris. Ajust y = ax + b: δatotal = δa, 2 .
δb2 + δysist δbtotal = El test χ2 . Per saber si l’ajust és acceptable, comparem l’error de regressió δyreg amb l’error δy calculat d’una altra manera independent.
χ2 = ν δyreg δy 2 , on el nombre de graus de llibertat ν és N − 2 (y = ax + b) o N − 1 (y = kx) Errors δyreg δyreg δyreg δy δy δy χ2 χ2 χ2 χ2 Ajust acceptable? ν ν ν Sí (δy sobreestimat) Sí No ...