Trabajo 5 (2014)

Trabajo Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería en Tecnologías Industriales - 3º curso
Asignatura Mecánica de Fluidos
Año del apunte 2014
Páginas 40
Fecha de subida 30/06/2014
Descargas 5

Descripción

Quinto trabajo de la asignatura de Mecánica de Fluidos correspondiente al temario de Capa Límite (capítulo 10). nota = 7,75

Vista previa del texto

1.- El esquema de la figura presenta dos depósitos unidos por un grupo de bombeo.
La diferencia de cotas entre el nivel del liquido de los dos depósitos es de 65 metros, la longitud del conducto que une los depósitos es de 2500m el conducto es de PVC y tiene un diámetro de 0,12 m.
Sabiendo que las características de la bomba se detallan en el diagrama siguiente, (véase que la gráfica esta dada en H (m) y Q (l/min), curva de 40-250-220. determinar: a.- El caudal circulante. (Punto de funcionamiento de la bomba).
b.- El diámetro del conducto para que la velocidad del fluido en el interior del mismo sea de 1 m/s. Cual es el punto de funcionamiento en este caso?.
c.- Que diferencia de cotas entre niveles del depósito seria necesaria para que manteniendo el diámetro de conducto inicial se tenga una velocidad del fluido en el interior del conducto de 1 m/s.
a) Abans de començar el problema cal fer un parell de hipòtesis que ens simplificarà el procediment.
1- Al tindre els dos dipòsits oberts, considerem pressions relatives (que els i donarem el valor de 0).
2- També considerarem que els tubs tenen la mateixa secció, fet que supondrà que les velocitats siguin iguals en tots els trams.
3- Un altre suposició que farem és que el líquid de treball és l'aigua.
Un cop plantejades les hipòtesis passem a resoldre l'equació de Bernoulli per al dispòsit i la bomba, aquesta equació ens permetrà trobar la relació de H amb Q.
Amb les dades de l'enunciat sabem que: I també sabem que ΔY12 agafa el següent valor: Si adjuntem les dues equacions: Si prenem curar de l'equació obtinguda ens adonarem que té 3 incgonites: H (m), Q (m3/s) i f (factor de fricció). Per resoldre aquest enigma utilitzarem el mètode de l'iteració, basat en suposar valors de la f i verificar-les a través de la gràfica de Moody (gràfica donada en l'enunciat que indica que la bomba segueix una corba 40-250-220). A partir d'aquí buscarem punts singulars i la seva equació polinòmica.
Ara mateix tenim dues equacions i tres incògnites: On L = 2500m, g = 9,81 m/s2 i D = 0,12m.
Ara es quan passem a donar valors (iterar) al coeficient de fricció, comencem per un valor de f = 0,02 (en teoria ens van comentar que es un valor bastant freqüent en el tema de tovaries).
Ara si tenim un sistema 2 equacions, 2 incògnites, i procedim a igualar les H's.
Resolem l'equació de segon grau, i ens donen els valors: Menyspreem el caudal negatiu, ja que no és possible, i ens quedem amb el de valor de 0,0121.
Amb aquest valor de Q obtenim una H = 89,373m.
Utilitzem l'equació de Reynols per comprovar si el valor obtingut és correcte.
On ν es la viscositat cinemàtica de l'aigua 1,02·10 -6 m2/s.
Aquest valor de Reynolds ens permetrà trobar el nous valors del coeficient de fricció (f'), per això necessitem la rugositat de la tovaria. Es tracta d'una tovaria de Pvs, amb valors segons la taula adjunta: Però hem de tindre cura de què la taula ens dóna la rugositat absoluta del PVC i volem la relativa, llavors: Ara que ja tenim el número de Reynolds i la rugositat relativa, acudim a la gràfica de Moody i trobem la f'.
Trobem un factor aproximat de f' = 0,0175.
L'error entre la f suposada (0,02) i aquesta nova (0,0175) és bastant petita, f – f' = 0,02 – 0,0175 = 0,0025, no és un error molt considerable, però ja que tenim la f' tornem a recalcular el caudal.
Agafem l'equació de Bernoulli i apliquem el nou valor: L'equació de la bomba no ha variat, i la utilitzem: Mateixa forma de resolució d'abans, igualant les H's: El resultat de l'equació de segon grau és: De nou, despreciem el caudal negatiu, i ens quedem amb el positiu.
Tornem a fer la comprovació amb l'equació de Reynolds: Amb el nou caudal ens dóna un valor de Reynolds: La rugositat relativa és la mateixa, ja que depèn del material i no del coeficient de fricció.
Tornem a buscar el valor de fricció en el diagrama de Moody.
Podem veure un altre cop de forma aproximada que la nova f'' = 0,0175 (l'error a simple vista pot existir, però la diferencia seria bastant petita), veiem com f' = f''.
Ja podem sentenciar que: Ja que estem calculem la H: Donant com a resultat: En conclusió hem d'advertir que el resultat potser no és exacte, posat que amb els càlculs es van acumulant errors d'arredoniments, així com una mala selecció del factor de fricció al mirar el diagrama de Moody, però podem estar bastant tranquils, ja que entre el primer valor de Q = 0,01211 m3/s i l'ultim trobat 0,01266 m3/s (diferència petita de valors) en calcular la H hi ha un error màxim d'1 metre, es a dir, podem assegurar que l'error en calcular H no supera l'1,13%.
Per últim hem adjuntat la gràfica on podem observar el punt de funcionament de la bomba: Veiem que està molt a prop del valor que hem agafat de Q = 0,01266, a simple vista la gràfica ens tornar a confirmar que hem efectuat exitosament els càlculs.
b) El mecanisme d'aquest apartat serà idèntic al anterior, utilitzarem la iteració per trobar el diàmetre demanat.
Es a dir comencem a l'equació de Bernoulli.
La simplifiquem, quedant: Sabem que i que Substituïm tot l'obtingut, i simplifiquem fins a arribar: Fiquem les nostres dades: La segona equació torna a ser la del funcionament de la bomba: I ara en comptes de deixar-la en funció del caudal, la fiquem en funció del diàmetre: Substituïm la velocidad que volem obtenir (donada per l'enunciat).
Tanmateix que abans, suposem un valor de f = 0,02 (ja hem justificat abans que és un valor molt habitual quan parlem de tovaries).
Tenim un sistema de dues equacions amb dos incògnites amb una mica de dificultat, per això acudim a un programa informàtic de càlcul numèric com és el Maple, que ens dóna el resultat: De totes aquestes solucions, només tenim dues possibles solucions: D1 = 0,0749 i D2 = 0,138 Ara ja tenim els dos possibles diàmetres i fem com en l'apartat anterior, busquem el número de Reynols.
Recordem que i que quedant el número de Reynols: Obtenim valors per als dos casos possibles: Calculem la rugositat relativa pels dos diàmetres: Com abans, anem al diagrama de Moody i trobem els factors de fricció: f1 = 0,019 i f2 = 0,017 Agafem el segon diàmetre, simplement perquè el primer és massa petit, i no sembla massa comú en la fabricació de tovaries: El primer que veiem és que amb el valor suposats f = 0,02 i l'obtingut f 2 = 0,017 hi ha una petita diferencia, per això tornem a iterar amb la nova f: Per resoldre aquest sistema tornem a utilitzar el Maple: Seleccionem els següents diàmetres: D1 = 0,062 i D2 = 0,145 Tornem a buscar els valors de Reynolds: I com abans calculem la rugositat relativa: Tornem anar al diagrama de Moody i trobem el factor de correcció pertinent: I casualment obtenim que f1 = 0,02 i f2 = 0,017, els dos factors són possibles a més són repetits i coneguts en aquest apartat, però agafem el segon posat que el diàmetre de la tovaria és més possible en un cas real.
Es a dir, el diàmetre de la tovaria perquè el fluid circuli a 1 m/s és: Aquest és el procediment “ràpid” de trobar el diàmetre, si volguesim trobar el resultat molt més “exacte” haguéssim considerat un valor intermedi de les dues primeres f (0,019 i 0,017) sense eliminar cap, i aniríem iterant fins a convergir en un únic valor, però així podríem arribar a fer bastants més iteracions (4 o 5 iteracions), nosaltres l'hem fet en dues iteracions i hem utilitzat la lògica per descartar algun valor de diàmetre, amb el risc d'acumular errors.
Amb aquest valor podem addicionalment trobar el valors del funcionament de la bomba: Representem ja que estem el nostre punt de funcionament: c) Ara els demanen de nou aconseguir una velocitat de 1m/s però sense variar el diàmetre inicial (0,12m), si no variant la distància entre els dos dipòsits.
Dit d'una manera més practica, ens donen la v i la D, i ens demanen Δh.
Amb l'equació de la H: Utilitzant la relació i sabent que la secció és Tornem agafar l'equació de la bomba, que no canvia.
Utilitzem aquest sistema de dos equacions, i el resolem per la igualació de la H.
Tenim les dades donades per l'enunciat del diàmetre D = 0,12m, així com la velocitat de 1m/s, la gravetat 9,81 m/s2 i la longitud del conducte L = 2500m, però tenim la incògnita de la diferencia entre dipòsits i el factor de correcció, aquest últim resoldrem com sempre.
Número de Reynolds: Amb les nostres dades el resultat és: I trobem el valor de la rugositat relativa: I tornem anar a trobar el factor de correcció al diagrama de Moody: I veiem que aproximadament el nostre f = 0,0175, la donem per bona i fem els càlculs corresponents.
Aïllant, obtenim que l'alçada entre els dos dipòsits ha de ser de: De nou podem estar acumulant errors a l'hora de calcular el factor de correcció, anant a buscar-lo al diagrama de Moody, o l'acumulació d'errors per arrodoniment, però és un error que no arriba l'1%.
2-. Sea el conjunto depósitos y conductos que se expone en los dos esquemas siguientes.
Si se conoce: Que la curva característica de la bomba esta dada por la ecuación Ybomba = Y0 - a*Q2, donde Y0 y a, son constantes conocidas, conociendo además las longitudes, diámetros y rugosidades absolutas de todos los tramos, se pide determinar el caudal que circula por las dos instalaciones y por cada uno de los tramos. Realizar el cálculo mediante la determinación de las constantes equivalentes de los conductos. Supóngase que los tramos situados a la entrada y salida de la bomba son muy cortos y se puede despreciar su efecto.
CAS 1 En el primer cas tenim l’esquema següent: El que fem és aplicar l’equació de l’energia entre les superfícies 1 i 2 dels dipòsits: Tindrem en compte les següents restriccions de les condicions del problema: treballem en pressions relatives i considerem la superfície dels dipòsits mes gran que la dels conductes, per tant: On considerem el treball de la bomba (Wpump) conegut, ja que és la corba característica que ens presenta l’enunciat: Y-aQ2, per simplificar els càlculs a nivell de nomenclatura, treballarem amb Wpump d’ara endavant.
Per tant: En aquesta equació farem servir que: Hem de tenir en compte també les següents relacions: Per trobar el valor de les constants fem l’equació de Darcy: Com l’enunciat diu que tots els paràmetres son coneguts, considerem que la fricció i la rugositat relativa també ho son.
De l’equació de continuïtat trèiem la següent relació: Definint Kt com la constant equivalent de les pèrdues en el sistema paral·lel, tenim aquesta altra relació: De on coneixem Kt: De la equació de la energia teníem: Ara, podem escriure la resta de cabals en funció del cabal 4: CAS 2 Ara se’ns demana el mateix però sobre aquest esquema: Com hem fet en el cas anterior, partim de l’equació de l’energia: Ara, les pèrdues vindran donades per la següent relació: En el segon cas, el paral·lel serà: Ara fem l’equació de continuïtat entre els punts 1 i 2: Per tant, la constant valdrà: També sabem: També havíem trobat: Ara que ja coneixem les constants, podem tornar a l’equació de l’energia: Ara podem aïllar el cabal total: Les pèrdues entre 1 i 3 seran: El cabal entre 1 i 3: Entre 2 i 3: Ara entre 1 i 2 a les tuberes B i C: D’on deduïm que: Ara hem de trobar quan val aquest equivalent: Per tant: Ara ja podem donar els valors del cabal 1-2 per les tubàries B i C respectivament: 3.- Una máquina de entrenamiento para tenistas tiene una boca de salida situada a Y metros del suelo. La máquina lanza paralelamente al suelo una pelota con una velocidad Vinicial y una rotación en sentido de las agujas del reloj de ω radianes/segundo.
Determine la posición de la pelota cuando llegue al tenista, el cual está situado a una distancia X de la máquina. Consideren conocido el diámetro de la pelota D y la masa de la pelota m.
Los valores de los coeficientes de arrastre y sustentación para una esfera que gira sobre sí misma se detallan en la figura siguiente.
Partim de la hipòtesi inicial que la pilota girarà amb velocitat angular constant.
La velocitat tangencial de la pilota és la següent: La velocitat lineal inicial només té component horitzontal i té el següent valor: Segons el diagrama, el coeficient drag (CD) i el lift (CL) depenen del quocient de velocitats El diagrama del sòlid lliure genèric és: Podem observar que la direcció del drag és la mateixa que la de la velocitat V però en direcció contrària i que el lift, o força de sustentació, és perpendicular als anteriors. Com podem observar, el pes segueix la direcció negativa de l’eix Y.
Aplicant la segona llei de Newton descompondrem les forces en l’eix X i Y: ∑ ∑ ⃗ ⃗ Sabem que el drag és el següent: I el lift: Amb En l’instant en que la pilota surt de la màquina (t=0), es compleix: Vy=0; Ly>>Dy; Dx>>Lx I les equacions de la segona llei de Newton queden de la següent manera: A continuació resolem, integrant, la primera equació: ∫ ∫ ∫ ∫ [ [ ] ] Si de l’equació anterior aïllem la Vx, tenim el següent: Per tant, ja tenim la velocitat en la direcció X en funció del temps. Si substituïm la definició al resultat anterior i integrant t: ( ∫ ∫ [ ( [ [ ) ] ] ) ] Aquesta equació ens dóna el temps transcorregut entre la sortida de la pilota de la màquina i quan arriba al tenista, que recordem que es troba a una distància X Seguidament aplicarem el mateix procediment per la direcció Y: ∫ ( ∫ ) ( ) [ ∫ ∫ ∫ ] ∫ [ ] [ ] [ ] Això ens dóna la velocitat en la direcció Y en funció del temps. Si hi substituïm ∫ integrem: ∫ [ ] [ ] [ [ ] ] Ja tenim l’altura a la que arriba la pilota al tenista. Si substituïm el temps que triga en arribar-hi que hem trobat a l’equació 1, ens queda el següent: [ ] [ ] 4- El esquema definido en la figura muestra una instalación de bombeo de agua.
Las cotas de los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son respectivamente. Z1 = 0m; Z2 = 20m; Z3 = 50m; Z4 = 20m; Z5 = 40m; Z6 = 80m.
Se conoce que las pérdidas de carga en cada uno de los tramos están dadas por: ∆h1-2 = 5000·Q1-22 ; ∆h2-3 = 8000·Q2-32 ; ∆h4-5 = 10000·Q4-52 ; ∆h2-4 = 3000·Q2-42 ; ∆h4-6 = 6000·Q4-62 ; Recuérdese que la pérdida de carga genérica esta definida por: Se conoce además que la curva característica de cada una de las bombas esta definida por: HB1 = 100 - 3000·Q1-22 ; HB2 = 40 - 6000·Q4-62 ; Determinar: 1. El caudal circulante en cada tramo, así como las presiones en cada uno de los nudos.
En el esquema siguiente se indica el sentido de circulación del fluido.
2. Si se conoce que la longitud de cada uno de los 5 tramos de conducto es de 500 m. y se estima que f=0,02. Hallar el diámetro de cada uno de los conductos.
3. Comentar como se podría mejorar la instalación partiendo de los datos obtenidos en el caso. Determinar los nuevos caudales con la mejora establecida. (Realizar las hipótesis que se crean oportunas).
1) Tenim definides per l'esquema les direccions del flux, plantegem el nostre sistema.
Les alçades en cada diposit estan indicades en l'enunciat: Z1 = 0m; Z2 = 20m; Z3 = 50m; Z4 = 20m; Z5 = 40m; Z6 = 80m També tenim les pèrdues en cada tram: ∆h1-2 = 5000·Q1-22 ; ∆h2-3 = 8000·Q2-32 ; ∆h4-5 = 10000·Q4-52 ; ∆h2-4 = 3000·Q2-42 ; ∆h4-6 = 6000·Q4-62 I l'equació de les corba característica de cada bomba també es donada: HB1 = 100 - 3000·Q1-22 i HB2 = 40 - 6000·Q4-62 Abans de començar a plantejar-les definitivament, tenim que assumir unes hipòtesis.
– – – – – – Com tots els depòsits estan oberts, treballarem amb pressions relatives (que donarem el valor de 0 per simplificar).
Considerem que tenim un flux incompressible.
Treballarem amb número de Reynolds alt.
Considerem la secció del diposit molt més gran que la de les tovaries, així podem despreciar la velocitat dels deposits.
Les velocitats del tram 2 i el 4, gràcies a Bernoulli, podem sentenciar que són idèntiques.
Considerem que el nostre flux és aigua.
Un cop plantejades les hipòtesis anem a resoldre, tram a tram, el problema.
Tram 1-2 Tram 2-3 Tram 2-4 Tram 4-5 Tram 4-6 Però no només ens hem de centrar-nos en els trams, sinó també en les dues interseccions, que resoldrem amb les equacions de continuïtat.
Punt 2 Punt 4 Així tenim un sistema de 7 incògnites amb 7 equacions, un sistema considerable, que recorrerem a un programa de càlcul massiu com el Maple.
Definició de variables Hem de donar nom a les variables al Maple i donar-li un valor fix: Recordem que hem assumit que treballem amb aigua (per això aquesta densitat).
Equacions Tornem a escriure les equacions, però aquest cop en llenguatge Maple.
Resolució I li indiquem al programa que resolgui aquest sistema de 7 equacions i 7 incògnites, dient que resolgui les equacions definides anteriorment, e indicant-li quines són les incòngites (els caudals i les pressions).
Solució I el Maple ens resol el sistema de 7 formes diferents.
Considerant sistema positiu cap a dalt i cap a la dreta, l'esquema donat en l'enunciat te tots els sentits positius, llavors hem de buscar de les 7 possibles solucions el que tingui tots els caudals positius.
L'únic que el complia era: Ficant-lo ordenadament, les nostres solucions són: P2 = 3,41·105 Pa P4 = 2,65·105 Pa Q12 = 0,0752 m3/s Q23 = 0,0244 m3/s Q24 = 0,0508 m3/s Q45 = 0,0265 m3/s Q46 = 0,0242 m3/s Com a conclusió podem dir, que si haguéssim agafat un altre fluid que no fos l'aigua el caudal prendria uns altres valors, i la pressió també.
2) Per trobar el diàmetre, igualarem la fórmula de pèrdues genèrica donada per l'enunciat amb les pèrdues d'energia de cada tram.
Tenim les dades necessàries per trobar aquest valor genèric, tenim la f = 0,02, tenim la longitud de tots els trams L = 500m, sabem el valor de la gravetat 9,81m/s2, i tenim de incògnites el caudal (Q) i el diàmetre (D), però si ens fixem el caudal no és necessari sapigeur-lo, ja que al igualar les pèrdues el cabal al quadrat està als dos costats i s'elimina.
Calculem el valor genèric: Tram 1-2 Tram 2-3 Tram 2-4 Tram 4-5 Tram 4-6 Com a conclusió, a diferència del càlcul de caudal, per calcular el diàmetre no depèn del fluid que tinguem, només depèn de la longitud dels tubs i de coeficient de fracció.
Un altre clau és l'error acumulat, vam fer el mateix càlcul per afinant amb el valor de la gravetat i en comptes de ficar 9,81 agafant 9,80665, i els resultats dels diàmetres eren els mateixos, excepte el del tram 2-3 que ens va donar 0,1753m, es a dir un error inferior al 0,06%, insignificant, demostrant uns resultats realment exactes.
3) En aquest últim apartat volem variar els paràmetres però intentar millorar la instalació. Per fer aquesta millora fixarem una velocitat d'1 a 1,5 m/s. Amb aquestes velocitats calcularem els diàmetres per veure si són factibles, i veurem si les pressions i caudals es mantenen com en l'apartat anterior.
Utilitzarem la següents equacions: Mantenim els mateixos sentits que abans, i comencem considerant una velocitat d'1 m/s.
Considerem els caudals anteriorment (condició expressa de l'enunciat): Q12 = 0,0752 m3/s; Q23 = 0,0244 m3/s; Q24 = 0,0508 m3/s; Q45 = 0,0265 m3/s; Q46 = 0,0242 m3/s I llavors trobem els nous diàmetres: Ara amb aquest nous diàmetres, calcularem de nou les pressions i els caudals, per veure si hagut variació, per introduir la variable diàmetre en el sistema del primer apartat, considerem que les pèrdues vénen donades per: El sistema es com el d'abans en dimensions, 7 equacions, 7 incògnites, per tant tornem a utilitzar el Maple per resoldre'l.
Definició de variables Tornem a ficar les variables típiques (recordem que treballem amb aigua).
Però a més, fixem com a variables els diàmetres.
Equacions Plantegem el sistema d'equacions, amb el canvi indicat.
Resolució De nou amb el Maple, li indiquem les incòngintes que ha de resoldre (caudals i pressions).
Solució Com va passar en l'anterior resolució el programa ens dóna diferents solucions: Seguint les direcció de l'esquema, busquem la solució amb els signes corresponents: P2 = 3,49·105 Pa P4 = 2,98·105 Pa Q12 = 0,1161 m3/s Q23 = 0,0340 m3/s Q24 = 0,0821 m3/s Q45 = 0,0513 m3/s Q46 = 0,0308 m3/s Les pressions són bastant semblants a les del primer apartat, però els caudals són molt diferents, llavors hem de variar la velocitat i tornar a recalcular.
Ara considerem que la velocitat és 0,95 m/s.
V12 = V23 = V24 = V45 = V46 = 0,95 m/s Els caudals per calcular uns nous diàmetres són els de l'apartat 1: Q12 = 0,0752 m3/s; Q23 = 0,0244 m3/s; Q24 = 0,0508 m3/s; Q45 = 0,0265 m3/s; Q46 = 0,0242 m3/s Passem a calcular uns nous diàmetres: Veiem que aquesta variació de velocitat, fa variar molt poc els diàmetres.
Ara passem a recalcular les caudals i les pressions, per veure si amb aquests nous diàmetres es compleixen les condicions especificades: Definició de variables Com abans, però canviant els diàmetres.
Equacions Plantegem el sistema d'equacions, idèntic l'anterior: Resolució Li indiquem exactament igual que abans quines són les incògnites: Solució I de nou ens dona diferents solucions al nostre sistema, i agafem la que compleixi els signes indicats a l'esquema, i la solució que compleix les especificacions és: Es a dir: P2 = 3,41·105 Pa P4 = 2,93·105 Pa Q12 = 0,1178 m3/s Q23 = 0,0334 m3/s Q24 = 0,0844 m3/s Q45 = 0,0534 m3/s Q46 = 0,0309 m3/s Veiem que les pressions són molt semblants, i que la meitat de caudals també s'aproximen.
Si donem per vàlids aquests càlculs podem dir que tindríem que canviar els diàmetres de les instalacions per: D12 = 0,317m D23 = 0,181 m D24 = 0,261 m D45 = 0,188 m D46 = 0,180 m Diàmetres un pèl més amples que els de l'apartat 2, això suposa un increment del preu, però a canvi es compleixen les condicions especificades.
5.- La figura siguiente, representa la parte convergente de un conducto por donde circula fluido en régimen transitorio.
El fluido, que puede tratarse como incompresible, (agua), fluye en el sentido que indica la flecha, desde la sección de mayor diámetro hacia la sección de diámetro menor.
Se conoce que la velocidad del fluido a la entrada del conducto, se define por la relación: ; donde “V0” y “k” son dos parámetros conocidos, y “t” es el tiempo en segundos. La presión del fluido, también a la entrada del conducto, queda definida como: ; “P0”, “k1” y “φ0” son parámetros conocidos.
Se pide determinar, la ecuación que caracteriza la presión temporal que existirá en la sección de salida del conducto cónico.
Considérense todas las dimensiones como conocidas.
Re Rs Partirem de la equació de continuïtat per tal de trobat la relació entre entrada i sortida: ∫ ∫ ∮ ∫ ⃗ ⃗ Un cop coneguda aquesta relació, apliquem l’equació de l’energia: ̇ ̇ ∫ ( ) ∫( ∮ ( ) ) ̇ ( ) Si per continuïtat sabem que: I també sabem que el diferencial de volum en funció del desplaçament en “x” és tal que: Si tornem a l’equació de l’energia obtenim: ∫( ( ) ) ̇ ( ∫ (( ̇ ( ∫ (( ) ̇ ( ) )) )) (( ) On sabem que: ∫ ∫ ∫ [ ( ] ) ( ) )) Si substituïm aquest valor un altre cop a l’equació de l’energia: ( ) ( ) ( ( ( ( (( ) ) ) (( ) (( ) (( ) )) )) ) ) Finalment, aïllem Ps (pressió a la sortida), que expressada en funció dels paràmetres coneguts queda com: ( ) (( ) ) ...