Tema 5. Sucesiones y series numéricas (2014)

Resumen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Aeronavegación - 1º curso
Asignatura Ampliació de Matemàtiques
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 25/06/2014
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Descripción

Resumen del tema de sucesiones y series numéricas con toda la teoría necesaria

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Tema 5. Sucesiones y series num´ericas S.S.M 25/06/2014 El objetivo de este tema es estudiar la convergencia o divergencia de una determinada serie num´erica 1.
Repaso de l´ımites Vamos a repasar las indeterminaciones m´as comunes en l´ımites, y c´omo resolverlas.
1.1.
∞ ∞ o bien 0 0 En este caso aplicamos la Regla de L’Hˆopital : f (x) f (x) f (x) = l´ım = l´ım x→∞ g(x) x→∞ g (x) x→∞ g (x) l´ım (1) Y as´ı sucesivamente hasta eliminar la indeterminaci´on.
1.2.
∞−∞ Para resolver este tipo de indeterminaci´on en la que tiene lugar una diferencia de funciones, las cuales tienden cada una a infinito, debemos multiplicar y dividir por la suma de ellas: f (x) + g(x) x→∞ f (x) + g(x) 2 2 f (x) − g (x) = l´ım x→∞ f (x) + g(x) l´ım (f (x) − g(x)) = l´ım (f (x) − g(x)) x→∞ Y normalmente habremos deshecho la indeterminaci´on.
1 (2) 1 REPASO DE L´IMITES 1.3.
2 ∞·0 Pasamos una de las funciones dividiendo al denominador: l´ım f (x) · g(x) = l´ım x→∞ f (x) = 1 x→∞ g(x) ∞ ∞ (3) O bien nos dar´a 00 , depende del caso. Para resolver esta u ´ltima indeterminaci´on, usaremos el m´etodo explicado en 1.1.
1.4.
1∞ En este caso nos aprovechamos de las propiedades logar´ıtmicas x = eln x y ln xy = y ln x: g(x) l´ım f (x)g(x) = l´ım eln f (x) x→∞ x→∞ = l´ım eg(x)·ln f (x) x→∞ = l´ım e∞·0 x→∞ Donde resolver´ıamos la indeterminaci´on del exponente siguiendo 1.3.
(4) 2 SERIES CONOCIDAS 2.
3 Series conocidas Aqu´ı introduciremos los modelos de serie que normalmente usaremos m´as adelante.
2.1.
Convergencia y divergencia Antes que nada, aclaremos estos dos t´erminos. Una serie es convergente si la suma infinita de sus t´erminos ordenados da como resultado un valor num´erico, no infinito. Por el contrario, una serie ser´a divergente cuando la suma de como resultado infinito.
2.2.
Serie geom´ etrica rn (5) n≥0 Esta serie ser´a: Convergente si |r| < 1 Divergente si |r| ≥ 1 2.2.1.
C´ alculo de la suma Las series geom´etricas, en caso de ser convergentes, son las u ´nicas de las cuales podremos calcular el valor de su sumatorio: rn = n≥0 1 1−r (6) Pero ¡OJO!, esta ecuaci´on s´olo se puede aplicar directamente en caso que empecemos en n = 0. Si, por ejemplo, el sumatorio que nos interesa empezara por n = 2, entonces aplicar´ıamos la f´ormula anterior y le restar´ıamos los dos primeros t´erminos: rn = n≥2 1 − r1 − r2 1−r (7) 2 SERIES CONOCIDAS 2.3.
4 p-serie n≥1 1 np (8) Convergente si p > 1 Divergente si p ≤ 1 2.4.
Serie arm´ onica Es el caso particular de p-serie donde p = 1 y, por lo tanto, es una serie divergente.
n≥1 1 n (9) 3 CRITERIOS 3.
5 Criterios Empezamos ahora la parte m´as importante del tema. Se trata de memorizar varios procedimientos que nos permitir´an asegurar si una serie es convergente o divergente. Es importante saber que no siempre nos bastar´a con aplicar un solo criterio, debido a que las implicaciones de cada uno de ellos no abarcan todas las posibilidades, deberemos ir probando uno a uno (o tener buena vista).
3.1.
Criterio 0 Teniendo la serie num´erica n≥1 an , podemos afirmar: l´ım an = 0 =⇒ n→∞ 3.2.
an divergente n≥1 Criterio 1 de comparaci´ on Teniendo dos series, bn n≥1 an y convergente n≥1 bn , tales que 0 ≤ an ≤ bn : =⇒ n≥1 an convergente n≥1 Bastante f´acil de recordar, ya que si el grande (bn ) no llega a infinito, el peque˜ no (an ), con m´as raz´on, tampoco llegar´a.
an n≥1 divergente =⇒ bn divergente n≥1 Si el peque˜ no llega a infinito, el grande, con m´as raz´on, tambi´en llegar´a.
Me parece importante matizar que, en cada implicaci´on, su inverso no tiene por qu´e ser cierto. Por ejemplo, el hecho de que el peque˜ no no llegue a infinito no implica que el grande no pueda llegar.
3.3.
Criterio 2 de comparaci´ on Si sabemos que una serie on de su n≥1 an es divergente, y la divisi´ t´ermino general con otro bn da como resultado una constante cuando n → ∞, entonces bn tambi´en ser´a divergente. En este caso no importa cu´al es mayor de los dos, y pasa lo mismo en el caso convergente.
an = k = 0, ∞ =⇒ Las dos series tienen el mismo car´acter n→∞ bn l´ım 3 CRITERIOS 3.4.
6 Criterio 3 del cociente En este criterio tenemos que dividir an+1 (igual a an pero cambiando todas las n por (n + 1) ) entre an . En funci´on de si da menor o mayor que 1, sabremos su car´acter.
an+1 =r n→∞ an l´ım < 1 =⇒ Convergente > 1 =⇒ Divergente IMPORTANTE : Siempre usaremos este criterio cuando veamos una serie con par´ametros, por ejemplo, cuando nuestra serie contenga un par´ametro a y queramos saber el car´acter de la serie en funci´on de este par´ametro. En el caso r = 1 no podemos utilizar este m´etodo, sustituiremos a por el valor que haga r = 1 y aplicaremos otro criterio. Tambi´en usaremos este criterio siempre que trabajemos con factoriales.
3.5.
Criterio de Leibnitz Este criterio cae en todos los ex´amenes, y es el que usaremos para series alternadas, es decir, de la forma: (−1)n · αn Nos fijaremos s´olo en αn . Para que la serie alternada completa sea convergente, αn debe cumplir: 1. Que sea decreciente, es decir, αn > αn+1 2. limn→∞ αn = 0 Si no se cumplen las dos condiciones, la serie ser´a divergente. Si es convergente, adem´as, en el caso de series alternadas, puede ser absolutamente convergente o condicionalmente convergente: αn n≥1 convergente (−1)n · αn =⇒ absolutamente convergente n≥1 En el caso en que no se cumpla esta u ´ltima condici´on, la serie ser´a condicionalmente convergente.
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