Mecánica Cuántica - Problema 51 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 10
Subido por

Vista previa del texto

.
51 Una massa m penja d’un fil inextensible i sense massa de longitud l i pot oscil·lar en un pla vertical sota la influ`encia de la gravetat terrestre.
(a) Calculeu, en l’aproximaci´ o de petites oscil·lacions, els nivells d’energia del sistema.
(b) Determineu, a l’ordre m´es baix, la correcci´o que s’ha de fer a l’energia de l’estat fonamental trobat a l’apartat anterior, per causa de l’error que es comet en fer servir l’aproximaci´ o de petites oscil·lacions.
Soluci´ o: (a) Sobre un p`endol, actua la for¸ca de la gravetat al llarg de la direcci´o y, dV F˛ = ≠mg˛ä = ≠ ˛ä =∆ V (y) = mgy + cte.
dy (0.29) Per construcci´ o, ´es f` acil veure que y = ≠l cos ◊. Si a m´es prenem l’origen de potencial a ◊ = 0, resulta que V (◊) = mgl(1 ≠ cos ◊). En l’aproximaci´o de petites oscil·lacions, 2 4 podem desenvolupar la funci´ o cos ◊ en s`erie de Taylor: cos ◊ ¥ 1 ≠ ◊2! + ◊4! ≠ . . . Llavors el potencial queda: C A ◊2 ◊4 V (◊) ¥ mgl 1 ≠ 1 ≠ + ≠ ...
2! 4! BD = mgl A ◊2 ◊4 ≠ + ...
2! 4! B .
(0.30) Tamb´e per construcci´ o, sin ◊ = x/l, de manera que en el l´ımit de petites oscil·lacions ◊ ¥ x/l. Per tant, 3 4 1 m Ê 2 4 V (x) = mÊ 2 x2 ≠ x , (0.31) 2 24 l on he definit Ê 2 = g/l. Considerar petites oscil·lacions, ´es quedar-nos a ordre quadr`atic.
En aquesta aproximaci´ o, l’hamiltoni`a esdev´e H0 = P2 1 + mÊ 2 X 2 , 2m 2 (0.32) que no ´es m´es que l’hamiltoni` a d’un oscil·lador harm`onic. Sabem que els nivells d’energia d’aquest, s´ on: 3 1 ‘n = ~Ê n + 2 4 =~ Ú 3 g 1 n+ l 2 4 (0.33) (b) La correcci´ o en l’ordre m´es baix la trobam considerant el primer terme anharm`onic, que en aquest cas ´es una pot`encia quarta d’X. Aix´ı doncs, es tracta de trobar la correcci´ o a primer ordre en teoria de pertorbacions (cas no degenerat), de l’energia de l’estat fonamental de l’hamiltoni`a pertorbat: H = H0 + W , on H0 ´es l’hamiltoni`a m d’un oscil·lador harm` onic de freq¨ u`encia Ê 2 = g/l i W = ≠ 24 (Ê/l)2 X 4 . La correcci´o a primer ordre ve donada per: (1) EN = Èn|W |nÍ.
(0.34) 6 .
En particular, per l’estat fonamental tenim que (1) E0 = È0|W |0Í = ≠ m 24 3 42 Ê l È0|X 4 |0Í.
(0.35) El “sandwich” anterior, l’hem calculat a teoria, i d´ona 34 x40 . Finalment, (1) E0 m =≠ 24 3 42 3 4 Ê m Ê 2 4 3 4 x0 = ≠ x0 =∆ l 4 32 l (1) E0 = ≠ 1 ~2 32 ml2 (0.36) Ajuntant-ho tot, es t´e que l’energia de l’estat fonamental del p`endol, considerant un primer terme anharm` onic, ´es ~ E0 = 2 Ú 7 g 1 ~2 ≠ .
l 32 ml2 (0.37) ...