Examen juliol 2003 (2003)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2003
Páginas 1
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Matem` atiques Ci`encies Ambientals 3 juliol 2003 Cada exercici val 2.5 punts (2.5 × 4 = 10). Entregueu–los en fulls separats i escriviu el vostre nom complet i el grup al que pertanyeu.
1. (a) Trobeu l’equaci´o cartesiana de la recta tangent a la corba parametritzada 1 x(t) = , t y(t) = t2 + 1 en t = 2.
(b) Trobeu els extrems absoluts de la funci´o f (x) = ln(1 + x2 ) 1 + x2 en l’interval [0, 2].
2. (a) Calculeu x2 ex dx.
(b) Calculeu l’`area de la regi´o limitada per la gr`afica de la funci´o f (x) = x(x−1)ex i la recta y = 0. (Indicaci´o: Noteu que f (x) = x2 ex − xex .) 3. El corrent sanguini porta un medicament cap a l’interior d’un `organ a ra´o de 3 cm3 /seg i surt a la mateixa velocitat. L’`organ t´e un volum l´ıquid de 125cm3 .
Sigui x(t) la quantitat (en grams) de medicament a l’`organ a l’instant t. L’evoluci´o de x(t) es pot modelitzar mitjan¸cant l’equaci´o diferencial x′ = 3a − 3x 125 on a ´es la concentraci´o (gr/cm3 ) de medicament a la sang que entra a l’`organ.
Suposem que inicialment no hi ha medicament a la sang.
Si a = 0.05 gr/cm3 , trobeu la concentraci´o de medicament a l’`organ a l’instant t.
Digueu en quin instant de temps la concentraci´o de medicament a l’`organ ser`a de 0.01 gr/cm3 .
x(t) (Indicaci´o: La concentraci´o ´es c(t) = gr/cm3 .) 125 4. (a) Sigui f (x, y) = y 4 e−x 2 −y 2 cos(x2 ).
(a1) Calculeu la derivada direccional de f en el punt (0, 1) segons la direcci´o − → u = (4, 3).
(a2) Doneu l’equaci´o del pla tangent a la gr`afica de f en el punt (0, 1).
(b) Trobeu els extrems relatius de f (x, y) = x3 − 3xy + y 3 .
...