Examen Final Enero 2013 (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura ALED
Año del apunte 2013
Páginas 9
Fecha de subida 16/09/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

` Algebra lineal i equacions diferencials 11 de gener 2013.
Publicaci´o notes provisionals: 21 de gener.
Periode d’al.legacions: Fins el 22 de gener.
Departament de Matem` atica Aplicada IV Notes definitives: 24 de gener.
Professors: M. Escudero, M. Hern´ andez, J. Mart´ı, P. Mart´ın, P. Morillo, X. Mu˜ noz, N. Rom´an, J. Sanz Instruccions addicionals: • Temps: 3 hores.
• Justifiqueu les respostes i detalleu-ne els c`alculs.
• Tots els problemes tenen la mateixa puntuaci´o.
1. Considereu l’espai vectorial R4 , (a) Sigui el subespai vectorial F = {(x, y, z, t) 2 R4 | 2x + y t = 0}. Calculeu la seva dimensi´o. Comproveu que S = {(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 1)} ´es un subconjunt de F de vectors linealment independients i completeu S fins a obtenir una base de F .
(b) Sigui G = hv1 , v2 , v3 i amb v1 = (1, 0, 0, a), v2 = (1, b, 0, 2) i v3 = (0, 1, 1, 1), on a, b 2 R s´on par`ametres.
Trobeu la dimensi´ o de G. Trobeu els valors de a i b per als que G ´es un subespai vectorial de F .
(c) Considerem ara a = 1 i b = 0. Comproveu que els vectors v1 , v2 i v3 formen una base de G, que anomenarem B. Comproveu que el vector u = (3, 1, 1, 5) tamb´e pertany a G i trobeu la relaci´ o de depend`encia lineal entre u i els vectors de la base B.
2. En l’espai euclidi` a usual R4 es considera el subespai F = {(x, y, z, t) 2 R4 : x ortogonals v1 = (1, 1, 1, 1) i v2 = (1, 0, 1, 0).
y z + t = 0} i els vectors (a) Doneu dos vectors v3 , v4 de manera que {v1 , v2 , v3 } sigui una base ortogonal de F i que {v1 , v2 , v3 , v4 } sigui una base ortogonal de R4 .
(b) Considerem els vectors w1 = (3, 0, 0, 1) i w2 = (3, 1, 0, 0). Determineu quin d’aquests dos vectors est` a m´es a prop del subespai F i, per a aquest vector, calculeu l’element de F que m´es se li aproxima.
3. Donada l’ equaci´ o diferencial y iv 4y 000 + 7y 00 6y 0 + 2y = t + sin t (a) Determineu la soluci´ o general de l’equaci´o homog`enia associada.
(b) Trobeu una soluci´ o particular de l’equaci´o completa (NO USAR LAPLACE).
(c) La funci´ o y(t) = et la resposta.
tet + et cos t + 12 t + 32 1 5 1 sin t + 10 cos t ´es soluci´o de l’equaci´o completa? Justifiqueu 4. Sigui l’endomorfisme f : R3 ! R3 que t´e associat, respecte 0 2 1 1 A=@ 0 0 1 (a) Raoneu que f ´es diagonalitzable.
la base can`onica, la matriu 1 3 3 A 1 (b) Obteniu la matriu diagonal i expresseu-la en funci´o de A i d’una matriu de canvi de base.
(c) Anomenant v1 , v2 i v3 els vectors de la base obtinguda en l’apartat anterior, justifiqueu quantes antiimatges per f pot tenir el vector w = 3v1 v3 i trobeu-les.
m.
¿/ o I o I * X Z a y -2 ra <- (/ O r -TJ i £) II I» O n CT- 1 4tr- -n O c/o C a c.
ro 4- r, II G -O i «s 10 ^_ II E* SL V—' «^ S ^» SL r "e w P fr 0 J _ SL 0- _ o _ - o L» r ^ cr>, Cr- oo r- - u» r ^ .
0 Ui o^ V 6 f &- O -i£> J; (0 <JS> - « — o No — O - Q $>, c.
o g r c€ lito — o e, c,- t-, C rt> Io ra A e o £ o 0 ^ i c; 0 ar» (D r- .
t' «• -t/ ID * II o O- u o Problema 2 En l’espai euclidi` a usual R4 es considera el subespai F = {(x, y, z, t) 2 R4 : x i els vectors ortogonals v1 = (1, 1, 1, 1) i v2 = (1, 0, 1, 0).
y z + t = 0} (a) Doneu dos vectors v3 , v4 de manera que {v1 , v2 , v3 } sigui una base ortogonal de F i {v1 , v2 , v3 , v4 } sigui una base ortogonal de R4 .
- Soluci´ o.
Primer observem que v1 , v2 2 F ja que verifiquen l’equaci´o que ens defineix el subespai.
´ a Anem a determinar v3 de manera que {v1 , v2 , v3 } sigui una base ortogonal de F . Es dir volem v3 = (x, y, z, t) de manera que v3 2 F , que v3 sigui ortogonal a v1 i que v3 sigui ortogonal a v2 . Per tant volem 8 < x y z+t=0 x+y z t=0 : x+z =0 d’on, es t´e que x = z = 0 i y = t. Aix´ı podem agafar v3 = (0, 1, 0, 1).
Per determinar v4 de manera que {v1 , v2 , v3 , v4 } sigui una base ortogonal de R4 n’hi ha prou en observar que com F = {(x, y, z, t) 2 R4 : x y z + t = 0}, per tant F = {(x, y, z, t) 2 R4 : h(x, y, z, t), (1, 1, 1, 1)i = 0}, d’on F ? = h(1, 1, 1, 1)i.
Aix´ı podem agafar v4 = (1, 1, 1, 1).
(b) Considerem els vectors w1 = (3, 0, 0, 1) i w2 = (3, 1, 0, 0). Determineu quin d’aquests dos vectors est` a m´es a prop del subespai F i, per a aquest vector, calculeu l’element de F que m´es se li aproxima.
- Soluci´ o.
La dist` ancia d’un element arbitrari w = (x, y, z, t) de R4 al subespi F ´es la norma de la component ortogonal de w respecte el subespai. Com que F ? = hv4 i, per tant la component ortogonal de w es pot calcular com hw, v4 i x v4 = hv4 , v4 i y z+t 4 (1, 1, 1, 1) d’on la dist` ancia de w a F val d(w, F ) = |x y z + t|/2. En particular d(w1 , F ) = 2 i d(w2 , F ) = 1, i per tant est` a m´es a prop w2 .
L’element de F que m´es s’aproxima a w2 ´es la projecci´o ortogonal. Com que la component ´es hw2 , v4 i 1 v4 = (1, 1, 1, 1) hv4 , v4 i 2 per tant la projecci´ o ´es w2 1 1 (1, 1, 1, 1) = (5, 3, 1, 1).
2 2 1. Sigui l’endomorfisme f : R3 ! R3 que can`onica, la matriu 0 2 1 @ 0 1 A= 0 1 (a) Raoneu que f ´es diagonalitzable.
t´e associat, respecte la base 1 3 3 A 1 (b) Obteniu la matriu diagonal i expresseu-la en funci´o de A i d’una matriu de canvi de base.
(c) Anomenant v1 , v2 i v3 els vectors de la base obtinguda en l’apartat anterior, justifiqueu quantes antiimatges per f pot tenir el vector w = 3v1 v3 i trobeu-les.
Sol·luci´o: (a) Primer c`alculem els valors propis (VAPs): x Qf (x) = det(xI A) = 2 0 0 1 3 x 1 3 1 x+1 = (x + 2) · (x 2)2 Els VAPs son per tant 1 = 2, 2 = 2 amb multiplicitats respectives r1 = 1, r2 = 2. La condici´o necess`aria i suficient per que f diagonalitzi en un cos K ve donada pel Teorema de la Diagonalitzaci´o: 1. El polinomi caracter´ıstic, Qf (x), ha de factoritzar totalment en arrels de K: aix`o es compleix en el nostre cas amb R3 espai vectorial sobre R amb Qf (x) = (x + 2) · (x 2)2 .
2. La dimensi´o de cada subespai de vectors propis ha de coincidir amb la multiplicitat dels VAPs corresponents com a arrels de Qf (x): (a) Pel VAP 1 = 2, com arrel simple (multiplicitat m1 = 1), sempre es compleix aquesta condici´o, tal com vam demostrar a teoria (en qualsevol cas es immediat demostrar que es compleix, tal com hem de fer en el seg¨ uent apartat per 2 ).
1 (b) Pel VAP 2 = 2, arrel m´ ultiple (multiplicitat m2 = 2), ´es on podria no donar-se la segona condici´o: que la dimensi´o del subespai de vectors propis associats, ker(f 2 I) sigui 2.
Veiem que si es dona i per tant f diagonalitza. Per comprovarla apliquem tamb´e el Teorema de la Dimensi´o en espais relacionats amb una aplicaci´o lineal: dim ker(f 2I) = dim R3 0 0 @ = 3 rang 0 0 dim Im(f 2I) = 3 rang(A 2I) = 1 1 3 1 3 A = 3 1 = 2 = m2 1 3 (b) Calculem una base de vectors propis (VEPs) v1 , v2 , v3 : • • 1 = 2: 0 4 @ 0 A+2I = 0 2 1 3 1 1 3 3 A ) y = z, x = 1 1 1 1 1 3 3 A)y= 3 y= z ) v1 = (1, 1, 1) = 2: 0 0 A 2I = @ 0 0 3z ) v2 = (1, 0, 0), v3 = (0, 3, 1) Per l’expressi´o de la matriu diagonal en funci´o de la inicial, i de la base de VEPs, farem servir la relaci´o entre la matriu associada a l’endomorfisme f en {v1 , v2 , v3 } i la de la base de VEPs, tal com heu vist a teoria: 0 1 0 1 10 10 2 0 0 1 1 0 2 1 3 3 A ·@ 0 1 3 A·@ D = @ 0 2 0 A = C 1 ·A·C = @ 1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 1 (c) Considerant l’ordre que hem agafat per la nostra base de VEPs, es demanen les antiimatges d’un vector. Per una banda, com que el zero no es VAP, la matriu A es invertible i f es bijectiva. Per tant tindrem una i nomes una antiimatge u per qualsevol w 2 R3 , i en particular 2 1 1 1 0 1 0 1 0 3 A 1 per w = 3v1 v2 , que es podr`a calcular trivialment, aprofitant que f ´es aplicaci´o lineal, i que v1 i v3 son VEPs de VAPs respectius 2 i 2, com: ✓ ◆ 1 1 3 1 f (u) = w = 3v1 v3 = 3 f (v1 ) f (v3 ) = f ( v1 v3 ) =) 2 2 2 2 =) u = 3 3 v1 2 1 v3 2 ...