Matemáticas EAE (0)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas
Año del apunte 0
Páginas 12
Fecha de subida 27/05/2014
Descargas 16
Subido por

Descripción

Apuntes esquemáticos y detallados de Mates

Vista previa del texto

0- Introducció 1. Conjunts numèrics • • • • • Nombres Naturals “N”: son els valors sencers positius.
Nombres Sencers “Z”: els nombres Naturals més els sencers negatius.
Nombres Racionals “Q”: els Sencers més els fraccionaris.
Nombres Reals “R”: els Racionals més els Irracionals (no poden representar-se mitjançant la fracció de dos nombres sencers).
Nombres Complexes “C”: inclouen una part Real i una Imaginaria.
N ⊂Z ⊂Q⊂R⊂C 2. Proporcions: equivalència de fraccions a c = → a⋅d = b⋅c b d 2.1. Proporcions directes: Les quantitats es mouen en el mateix sentit Exemple 1. Busca el 20% de 40: 20 x 20 ⋅ 40 = →x= → x =8 100 40 100 Exemple 2. Si per un producte que val 2.200€ ens han cobrat 200€ d’IVA, quin serà el preu d’un producte amb un IVA de 1.000€: 200 1.000 1.000 ⋅ 2.200 = →x= → x = 11.000€ 2.200 x 200 2.2. Proporcions inverses: Les quantitats es mouen en el sentit contrari Exemple 3. Si ens paguen una comissió de 20€ per productivitat per realitzar la feina en cinc hores; quina comissió hauríem de rebre per fer-la en 10 hores 1 20 = 5 → x = 5 → x = 20 ⋅ 5 → x = 10€ 1 10 20 10 10 x Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-1 2.3. Increments i decrements proporcionals Increment → p f = pi ⋅ (1 + i ) Decrement → p f = pi ⋅ (1 − i ) Exemple 4. Si per un producte que val 2.200€ ens han cobrat un recàrrec del 18%; calcula quan haurem de pagar.
p f = 2.200 ⋅ (1 + 0'18) = 2.596€ Exemple 5. Si per un producte que val 2.200€ ens fan un descompte del 18%; calcula quan haurem de pagar.
p f = 2.200 ⋅ (1 − 0'18) = 1.804€ Exemple 6. Si per un producte que val 2.200€, porta un IVA inclòs del 19%. Quin era el preu inicial? p f = pi ⋅ (1 + i ) → 2.200 = pi ⋅ (1 + 0'19) → pi = 2.200 = 1.848'74€ (1 + 0'19) 3.4. Repartiments proporcionals a b c d z a + b + c + d + ... + z = = = = ... = = A B C D Z A + B + C + D + ... + Z Exemple 7. Una empresa ha de repartir 35.000€ amb dividends, aquesta té tres accionistes, les quantitats que han aportat cadascú surten representades a continuació; es demana repartir la quantitat proporcionalment a la aportació: A → 5.000€  A B C A+ B+C 35.000  B → 10.000€  → = = = = =2→ 5 .
000 10 .
000 2 .
500 5 .
000 + 10 .
000 + 2 .
500 17 .
500 C → 2.500€   A → 5.000€ ⋅ 2 = 10.000€    →  B → 10.000€ ⋅ 2 = 20.000€  C → 2.500€ ⋅ 2 = 5.000€    Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-2 3. Estudi i anàlisi de la recta y = a +b⋅ x 3.1. Recta paral·lela i perpendicular Comparada amb la recta anterior, per a que una recta sigui paral·lela o perpendicular s’ha de complir el següent: y = a ′ + b′ ⋅ x Paral ·lela → b′ = b Perpendicular → b′ = − 1 b Exemple 8. Busca la recta perpendicular a la recta que passa pels punts ( x = 1, y = 2) i (3,6) , que creua pel punt (2,4) .
Busquem la recta: 2 = a + b ⋅ 1  → y = 2⋅ x 6 = a + b ⋅ 3 Busquem la perpendicular: 1  = −0'5 b ′ = −0'5 2 →  → y = 5 − 0'5 ⋅ x a′ = 5    4 = a ′ + b′ ⋅ 2  b′ = − 4. Binomi de Newton n n (a + b) n = ∑   ⋅ a n−i ⋅ b i i =0  i  Si desenvolupéssim el sumatori, quedaria de la següent manera: n n n n (a + b) n =   ⋅ a n ⋅ b 0 +   ⋅ a n −1 ⋅ b1 +   ⋅ a n −2 ⋅ b 2 + ... +   ⋅ a 0 ⋅ b n 0 1  2 n On el parèntesi representa: a a!   =  b  b!⋅(a − b)! Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-3 Exemple 9. Desenvolupa el següent polinomi (2 + 3) 5 : 5  5 5  5 (2 + 3) 5 =   ⋅ 2 5 ⋅ 30 +   ⋅ 2 4 ⋅ 31 +   ⋅ 2 3 ⋅ 32 +   ⋅ 2 2 ⋅ 33 + 0 1   2  3 5  5 5! 5! +   ⋅ 21 ⋅ 34 +   ⋅ 2 0 ⋅ 35 = ⋅ 2 5 ⋅ 30 + ⋅ 2 4 ⋅ 31 + 0!⋅(5 − 0)! 1!⋅(5 − 1)!  4  5 + 5! 5! 5! 5! ⋅ 2 3 ⋅ 32 + ⋅ 2 2 ⋅ 33 + ⋅ 21 ⋅ 34 + ⋅ 2 0 ⋅ 35 = 2!⋅(5 − 2)! 3!⋅(5 − 3)! 4!⋅(5 − 4)! 5!⋅(5 − 5)! = 1 ⋅ 2 5 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 4 ⋅ 3 + 10 ⋅ 2 3 ⋅ 32 + 10 ⋅ 2 2 ⋅ 33 + 5 ⋅ 2 ⋅ 34 + 1 ⋅ 1 ⋅ 35 = 3.125 (2 + 3) 5 = 3.125 4.1. Triangle de Tartaglia ( a + b) n 1 1 1 1 1 1 1 3 4 5 6 1 2 1 3 6 10 15 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 Exemple 10. Desenvolupa el següent polinomi (2 + 3) 5 : 1 5 10 10 5 1 n=5 (2 + 3) 5 = 1 ⋅ 25 ⋅ 30 + 5 ⋅ 2 4 ⋅ 3 + 10 ⋅ 23 ⋅ 32 + 10 ⋅ 2 2 ⋅ 33 + 5 ⋅ 2 ⋅ 34 + 1 ⋅ 20 ⋅ 35 = 3.125 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-4 5. Potencies ab = b 1 a −b c b 1 a =a = c a − c b a b ⋅ a c = a b+ c ab = a b −c c a (a ) b c = a b⋅c Exemple 11. Desenvolupa el següent polinomi: 2 a2 ⋅ b 3 ⋅ 3 c4 2 − 3 a −2 ⋅ b ⋅ 3 c −5 a ⋅b c [ = a ⋅a ⋅a 2 2 −1  2 23 3 4  a ⋅ b ⋅ c  ⋅ [c ] 2 4 2 5  2 2 3 3 3 3 =  = a ⋅ b ⋅ c ⋅ c ⋅ a ⋅ b ⋅ c ⋅ a −1 ⋅ b −1 = 2 −  −2  −5 3 3 a ⋅ b ⋅ c  ⋅ [a ⋅ b]   ] 5 1  23 23 −1   43  3 3 ⋅ b ⋅ b ⋅ b  ⋅ c ⋅ c ⋅ c  = a ⋅ b 3 ⋅ c 4 = = a 3 ⋅ 3 b ⋅ c 4     6. Logaritmes log a b = c → a c = b Llavors, si: a = 10 → lg b = log b = c a = e → ln b = c ∞ xn On e = ∑ → e = 2'718281 n =0 n! x Exemple 12. Resol els següents logaritmes: log 4 x = 3 → 4 3 = x → x = 64 log x = 2 → 10 2 = x → x = 100 ln x = 0 → e 0 = x → x = 1 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-5 ln x = −4 → e −4 = x → x= 1 e4 log a b = 1 → a = b log 2 1 1 = x → 2 x = → 2 x = 2 −3 → x = −3 8 8 log x 25 = 2 → x 2 = 25 → x = 25 → x = ±5 → x = +5 No existeixen logaritmes de nombres negatius, doncs la base hauria de ser negativa.
1 log x 0'01 = 10 → x10 = 0'01 → x = 10 0'01 → x = 10 10 −2 → x = 5 10 −1 → x = 5 10 log 304 65 = 65 ⋅ log 304 = 161'39 → 304 65 = 10161+0 '39 = 10161 ⋅ 10 0'39 = 2'437 ⋅ 10161 log 304 −65 = −65 ⋅ log 304 = −161'39 → 304 −65 = 10 −161−0'39 = 10 −161 ⋅ 10 −0'39 = 0'4104 ⋅ 10 −161 = 4'104 ⋅ 10 −162 6.1. Propietats b log a   = log a b − log a c c log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c ( ) log a b c = c ⋅ log a b ( ) log a a b = b c b ac 1 log a b = log b a log b a = a log a b = b Matemàtiques I – G. Lladó Fortit log a ( b ) = 1c ⋅ log c log ab a = a b 1 b ( ) d ⋅ log a c b log c b log a b = log c a log ab c d = log a b = log ac b c log a (a ) = 1 ( ) log ab a c = c b log a (1) = 0 b c log a   = − log a   c b log a b = log c a c b 0-6 6.1. Demostracions log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c log a (b ⋅ c ) = Y → a Y = b ⋅ c   Y Z V Y Z +V → Y = Z +V → log a b = Z → a Z = b  → a = a ⋅a → a = a  V log a c = V → a = c  → log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c b log a   = log a b − log a c c b c  aZ  Y Y Z −V → Y = Z −V → →a = V →a =a a  V log a c = V → a = c   b log a   = Y → a Y = c log a b = Z → a Z = b b → log a   = log a b − log a c c log a b = 1 log b a log a b = Z → a Z = b Z → a Y log b a = Y → b = a  ( ) Y = a → a Z ⋅Y = a → Z ⋅ Y = 1 → Z = → log a b = log a b = 1 → Y 1 log b a log c b log c a   Y Z⋅X Y →c =c → Z ⋅X =Y → X = → Z  = a X  log a b = X → a X = b X Y →a =c Y  log c b = Y → c = b  ( ) log c a = Z → c Z = a → c Z X → log a b = Matemàtiques I – G. Lladó Fortit log c b log c a 0-7 b c log a   = − log a   c b  b b log a   = Y → a Y = → b = a Y ⋅ c  c c c  Z → a Z = a −Y → Z = −Y → →a = Y a ⋅ c c c    log a   = Z → a Z =  b b   b c → log a   = − log a   c b log a b = log ac b c ( ) log a b = X → a X = b → a X ( ) log ac b = Y → a c c Y =b c c = b c  X → a  ( ) = (a ) c c Y → a X ⋅c = a c⋅Y → X ⋅ c = c ⋅ Y → X = Y → → log a b = log ac b c Exemple 13. Resol els següents logaritmes:  10 2   → log( x ⋅ 3) = 2 → log x + log 3 = 2 → log x = 2 − log 3 → log x = log  3  x= 100 3 ( )  x log  = 4 → log x − log 2 = 4 → log x = log 2 ⋅ 10 4 → x = 2.000 2 2 x = 5 → ln 2 x = ln 5 → x ⋅ ln 2 = ln 5 → x = ln 5 = log 2 5 ln 2   100  log 10 = log = 1  10  log 100 − log 10 = 2 − 1 = Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-8 7. Càlcul matricial 7.1. Suma i resta Per ha poder-se sumar o restar les dues matrius han de tenir igual dimensió, que serà la mateixa que tindrà la matriu resultant. La operació consistirà en sumar, o restar, els elements situats en la situació que ocuparan al resultat: X f ×c ± Y f ×c = Z f ×c b   A B  a ± A b ± B       d  ± C D =  c ± C d ± D  f   E F   e ± E f ± F  a  → c e  Exemple 14. Realitza la següent suma matricial: 2   0 − 1  1 1  1       A + B = −1 3  + 2 2  = 1 5   3 − 1  3 − 1  6 − 2        7.2. Producte Per ha poder-se multiplicar, la segona matriu ha de tenir el mateix nombre de files que columnes tenia la primera matriu. La matriu resultant tindrà el mateix nombre de files que la primera matriu, i de columnes que la segona.
El procediment de multiplicació serà identificar la situació de la matriu resultant, fent el sumatori de la multiplicació dels elements de la mateixa fila de la primera matriu, per els elements de la seva columna de la segona matriu.
X a×b ⋅ Yb×c = Z a×c a  → c e  b a⋅ A+ b⋅C a ⋅ B + b⋅ D  A B    =  c ⋅ A + d ⋅ C c ⋅ B + d ⋅ D  d  ⋅  C D   f   e ⋅ A + f ⋅ C e ⋅ B + f ⋅ D Exemple 15. Realitza la següent multiplicació matricial: 1 2 1   1 1 2   ⋅  2 1 2  = A ⋅ B =   2 0 3  3 0 − 2   Matemàtiques I – G. Lladó Fortit  9 3 −1   11 4 − 4  0-9 7.3. Quocient: multiplicar per la inversa No existeix la divisió matricial. El que farem es multiplicar per la inversa: 2 = 2 ⋅ 3−1 3 Procediment per calcular la matriu inversa: 1. Matriu transposada: intercanviar fileres per columnes: a c  a b  → A′ =   A =  b d  c d  2. Matriu dels adjunts: eliminarem la fila i columna del element, i farem el determinant del que queda. A continuació multiplicarem tots els elements per (−1) f +c : a b   d − b  → A* =   A′ =  c d  − c a  3. Matriu inversa: dividirem la matriu dels adjunts pel determinant:  d − b 1  → A −1 = A* =  A − c a   d − b  ⋅  − c a  On: A = a ⋅d − c⋅b Exemple 15. Realitza la següent divisió matricial: 1  2 A  3 = B 2  1 3  2 1 0 2 3 −1 1   2  − 2  = 1   2  − 2  Com no existeix la divisió matricial haurem de buscar l’inversa de la matriu B per, seguidament multiplicar-la per la matriu A: 1  3 1  2 2 2 1 3   −4       B = 1 3 2  → B' =  2 3 − 1  → B* =  8 − 7 − 3 →  3 −1 − 2 1 2 − 2  − 10 8 4       →B −1 3 1   −4  2 − 1'5 − 0'5     1  −1 1'5  = ⋅ 8 − 7 − 3  → B =  − 4 3'5 −2   5 4  − 4 − 2   − 10 8  Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-10 Ara ja podem passar a fer la multiplicació:  2 − 2 1   2 − 1'5 − 0'5      −1 A ⋅ B =  1 − 3 2  ⋅  − 4 3'5 1'5  =  2 2 3  5 − 4 − 2      17 − 14 − 6     24 − 20 − 9   11 − 8 − 4    8. Trigonometria La mesura d’un angle pot venir donat de dues maneres: • • Graus (180º): equival a 1/90 de l’angle recte.
Radiants ( π rad): un radiant equival a l’angle que apareix al igualar la longitud de l’arc a la del radi.
π rad = 180º Tipus d’angles: • • Complementaris: quan entre els dos angles sumen 90º.
Suplementaris: quan entre els dos angles sumen 180º.
8.1. Aplicació de les mesures trigonomètriques a un triangle rectangle: h β α • b Sinus: quocient entre el catet oposat a l’angle i la hipotenusa del triangle: sin (α ) = • a a h sin (β ) = b h − 1 ≤ sin (α ) ≤ 1 Cosinus: quocient entre el catet adjacent a l’angle i la hipotenusa del triangle: cos(α ) = b h Matemàtiques I – G. Lladó Fortit cos(β ) = a h − 1 ≤ cos(α ) ≤ 1 0-11 • Tangent: quocient entre el sinus i el cosinus, equivalent al quocient entre el catet oposat i l’adjacent: tan (α ) = • sin (α ) a = cos(α ) b tan (β ) = sin (β ) b = cos(β ) a Funcions trigonomètriques inverses: Encara que siguin representats com a la inversa de les raons trigonomètriques sin −1 (α ) , no té cap relació amb la inversa de la raó original.
o Arcsinus: Fa la funció oposada del sinus: a partir del valor real, (comprés entre 1 i -1), ens dona com a resultat l’angle: arcsin( x ) = α ← sin (α ) = x o Arccosinus: Fa la funció oposada del cosinus: a partir del valor real, (comprés entre 1 i -1), ens dona com a resultat l’angle: arccos( x ) = α ← cos(α ) = x o Arctangent: Fa la funció oposada de la tangent: a partir del valor real, ens dona com a resultat l’angle: arctan( x ) = α ← tan (α ) = x 8.2. Signe associat al quadrant on està situat l’angle: sin (α) > 0 cos (α) < 0 sin (α) > 0 cos (α) > 0 sin (α) < 0 cos (α) < 0 sin (α) < 0 cos (α) > 0 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-12 ...