3.Equacions_Maxwell (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Electrodinàmica
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 7
Subido por

Vista previa del texto

.
Bloc 3. Equacions de l’electrodin` amica cl` assica Recordem les 4 equacions de Maxwell (en el sistema C.G.S. gaussi`a), ˛ ·E ˛ = 4fifl, Ò ˛ ˛ ◊B ˛ = 4fi ˛ä + 1 ˆ E , Ò c c ˆt ˛ ·B ˛ = 0, Ò ˛ ˛ ◊E ˛ = ≠ 1 ˆB .
Ò c ˆt (0.21) Les dues primeres s´ on les equacions de Maxwell inhomog`enies, doncs contenen les fonts, mentre que les 2 u ´ltimes s´ on les homog`enies. La 3a equaci´o de Maxwell ens diu que existeix un camp ˛ ˛ A.
˛ Aleshores, la 4a equaci´o ens diu que E ˛ = ≠Ò„≠(1/c)ˆ ˛ ˛ vectorial tal que B = Ò◊ t A (potencial vector i potencial el`ectric). En termes dels potencials, les dues equacions homog`enies s´on pures ˛ i B, ˛ aquests no queden determinats per ind`entitats matem` atiques! Notem per` o, que donats E ˛ de fet, existeixen infinits potencials que ens donen els mateixos camp el`ectric un sol parell „, A, i magn`etic ja que sempre podem fer la transformaci´o (de gauge): 1 „ ≠æ „Õ = „ + ˆt , c ˛ ≠æ A ˛Õ = A ˛≠Ò ˛ , A (0.22) ˛ i B.
˛ Quan treballem amb els potencials, cal afegir una condici´o m´es i obtenir els mateixos E ˛ veiem la forma de ).
deguda a aquesta llibertat de gauge (imposant restriccions sobre „ i A, A fi d’escriure les equacions de Maxwell en forma manifestament covariant, introdu¨ım el ˛ s´on les 4-potencial vector Aµ , el 4-vector gradient ˆµ i el 4-corrent J µ . Postulem que „ i A ˛ components d’un 4-vector, el 4-vector potencial: Aµ = („, A).
Per altra banda, definim el 4-vector gradient 3 4 1 2 ˆ 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˛ .
ˆµ = = , , , = c≠1 ˆt , Ò (0.23) µ ˆx c ˆt ˆx ˆy ˆz Aix`o ens permet construir l’operador de d’Alemberti`a (invariant sota transformacions de Lorentz), 1 ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 1 ˆ2 2 = ˆµ ˆ µ = ÷µ‹ ˆ µ ˆ ‹ = 2 2 ≠ 2 ≠ 2 ≠ 2 = 2 2 ≠ Ò2 .
(0.24) c ˆt ˆx ˆy ˆz c ˆt Dit aix`o, sota una transformaci´ o de gauge es t´e el seg¨ uent: Aµ ≠æ Aµ = Aµ + ˆ µ . En canvi, el 4-corrent t´e per components: Õ ˛ = (flc, ˛ä ) = fl(c, ˛v ).
J µ = (J 0 , J) (0.25) Essent fl la densitat de c` arrega. Notem que J µ = (fl/“)U µ , i donat que fl/“ = fl0 ´es un escalar Õ Õ Lorentz (´es la densitat pr` opia), J µ ´es un vector de Lorentz =∆ J µ = µµ J µ . Aix`o ens permet ˛ · ˛ä = 0 de manera covariant: ˆµ J µ = 0 (´es la escriure l’equaci´ o de la continu¨ıtat ˆt fl + Ò conservaci´o de la c` arrega). La densitat d’una part´ıcula puntual ´es proporcional a la delta de dirac, de manera que si fl = q”(x)”(y)”(z) (c`arrega puntual a l’origen), llavors Q=q ⁄ ”(x)”(y)”(z)d3 x = q (la c`arrega ´es un escalar Lorentz!) (0.26) Notem que les unitats de la delta de dirac s´on les unitats de l’invers de l’argument, aix´ı fl = q”(x)”(y)”(z) t´e unitats de c` arrega per unitat de volum. De la mateixa, si tenim una densitat 7 .
superficial ‡ en el pla x ≠ y, la corresponent densitat de c`arrega ´es: fl = ‡”(z), a fi que Q=‡ ⁄ ”(z)d3 x = ‡ ⁄ dxdy”(z)dz = ‡S.
(0.27) D’acord amb tot el que he dit, si definim el tensor de Faraday F µ‹ = ˆ µ A‹ ≠ ˆ ‹ Aµ , les 4 equacions de Maxwell (0.21) s’escriuen de la seg¨ uent manera: ˆµ F µ‹ = 4fi ‹ J , c ‘µ‹⁄fl ˆ‹ F⁄fl = 0.
(0.28) Notem que la primera equaci´ o (que en realitat s´on 4 ja que hi ha un ´ındex contret), ja inclou la conservaci´ o de la c` arrega: ˆµ ˆ‹ F µ‹ = (4fi/c)ˆµ J µ = 0, ja que ˆµ ˆ‹ F µ‹ = ˆ(µ ˆ‹) F [µ‹] i la contracci´o d’un tensor sim`etric amb un tensor antisim`etric ´es zero. En el cas de treballar amb el 4-potencial vector, les equacions de Maxwell inhomog`enies s´on (no ens preocupem per les homog`enies, recordem que aquestes s´ on identitats matem`atiques): ˆµ ˆ µ A‹ ≠ ˆ ‹ (ˆµ Aµ ) = 4fi ‹ J c =∆ 2A‹ = 4fi ‹ J , c (0.29) on hem fixat el gauge: ˆµ Aµ = 0 (gauge de Lorenz, s´ı, sense t). Algunes propietats del tensor ´ invariant gauge, de Faraday s´ on: 1. Com ja he comentat, ´es antisim`etric, F µ‹ = ≠F ‹µ . 2. Es µ‹ µ‹ µ‹ [µ ‹] µ‹ 0i F ≠æ F¯ = F + ˆ ˆ = F . 3. T´e per components: F = ≠Ei i F ij = ≠‘ijk Bk .
Pensant-lo com una matriu, F µ‹ Q R 0 ≠Ex ≠Ey ≠Ez c d cE 0 ≠Bz By d c x d =c d.
c Ey Bz 0 ≠Bx d a b Ez ≠By Bx 0 (0.30) 4. Com a bon tensor de Lorentz que ´es, sota un boost es t´e: F µ ‹ = µfl ‹‡ F fl‡ . Aix`o ens proporciona les lleis de transformaci´ o dels camps el`ectric i magn`etic. Com que hi ha involucrades dues matrius de Lorentz, es t´e que les components paral·leles al boost no transformen, mentre que les transverses si ho fan. En configuraci´o est`andard, ExÕ = Ex , BxÕ = Bx , EyÕ = “(Ey ≠ —Bz ), ByÕ = “(By + —Ez ), Õ Õ EzÕ = “(Ez + —By ) BzÕ = “(Bz ≠ —Ey ).
Õ Õ (0.31) ˛ =E ˛Î + E ˛ ‹, B ˛ =B ˛Î + B ˛ ‹ (component O b´e, descomposant el camp el`ectric i magn`etic com: E paral·lela i perpendicular a la direcci´ o del boost), llavors ˛Õ = E ˛ Î, E Î ˛Õ = B ˛ Î, B Î Õ ˛ ◊ B) ˛‹ ˛‹ + — ˛ E = “(E Õ ˛ ◊ E).
˛‹ ˛‹ ≠ — ˛ B = “(B (0.32) 5. Ens permet construir dos invariants, els quals no depenen del sistema de refer`encia. En ˛2 ≠ E ˛ 2 = F µ Õ ‹ Õ Fµ Õ ‹ Õ = B ˛ Õ2 ≠ E ˛ Õ2 ; i el determinant: |F| = E ˛ ·B ˛ = |FÕ | = particular, F µ‹ Fµ‹ = B 8 .
˛Õ · B ˛ Õ . En base a aquests invariants, si en un sistema tenim un camp el`ectric i un |FÕ | = E camp magn`etic de m` oduls diferents, sempre podem eliminar un dels dos camps (segons si es t´e ´ for¸ca convenient fer el boost perpendicular als dos camps.
˛ ˛ |E| ? |B|) a trav´es d’un boost. Es Per`o alerta! Les condicions inicials canvien en canviar de sistema de refer`encia. Per exemple, imaginem que volem estudiar el comportament d’una part´ıcula en rep`os a S quan ´es sotmesa a un camp electromagn`etic (aix` o ho farem a trav´es de l’equaci´o de la for¸ca de Lorentz, veure a sota). A ser possible, ens interessa canviar de sistema de refer`encia per tal de simplificar el sistema d’equacions a resoldre. Per aix` o, feim un boost i resolem el problema en un nou sistema S Õ on un dels dos camps no hi ´es. Ara b´e, en aquest nou sistema, que es mour`a a velocitat ˛v (la que sigui) respecte d’S, la part´ıcula ja no est`a en rep`os, sin´o que es mou a ≠˛v respecte d’S Õ .
Normalment, en els problemes no ens fixen quines s´on les direccions dels camps. El que s’ha de fer ´es plantejar un sistema i/o situaci´ o el m´es simple possible, que vingui d’acord amb el propi enunciat.
˛ i B, ˛ ens diu Per acabar aquest tercer bloc, anem a veure quina ´es l’equaci´o que, donats E com reacciona una part´ıcula carregada. El que es coneix com l’equaci´o de la for¸ca de Lorentz.
Sense entrar en detalls, aquesta ´es: dP µ q = F µ‹ U‹ d· c =∆ dÁ ˛ · ˛v , = qE dt 3 dpi 1 ˛ i = q E i + (˛v ◊ B) dt c 4 (0.33) Les 4 equacions anteriors ens permetren trobar la traject`oria d’un part´ıcula carregada en el si d’un camp electromagn`etic. La primera d’elles ´es el Ta de for¸ces vives, i ens diu que un camp magn`etic (negligint efectes de radiaci´o) no canvia l’energia total de la part´ıcula. El camp magn`etic no fa treball, no canvia el m` odul de la velocitat, en canvi, s´ı en canvia la direcci´o.
9 ...