Tema 2 Matematicas II Ingenieria informatica (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Europea Miguel de Cervantes
Grado Ingeniería Informática - 1º curso
Asignatura Matematicas II
Año del apunte 2014
Páginas 21
Fecha de subida 26/11/2014
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Tema 2 Matematicas II Ingenieria informatica

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Tema 2 Espacios vectoriales 2.1.
Definici´ on de espacio vectorial. Ejemplos Sea V un conjunto dado, a cuyos elementos llamaremos vectores. Sea K un cuerpo conmutativo1 , a cuyos elementos llamaremos escalares. Se dice que V es un espacio vectorial sobre K si las operaciones suma y producto por un escalar V £ V °! V (~u, ~v ) 7°! ~u + ~v K £ V °! V (∏, ~u) 7°! ∏~u satisfacen las siguientes propiedades: (s1) (~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ para todos ~u, ~v , w ~ 2 V.
(s2) ~u + ~v = ~v + ~u para todos ~u, ~v 2 V.
(s3) Existe un elemento de V , designado por ~0 y llamado vector cero, tal que ~u + ~0 = ~u para todo ~u 2 V.
(s4) Para cada ~u 2 V existe un elemento de V , designado por °~u y llamado vector opuesto de ~u, tal que ~u + (°~u) = ~0.
(p1) ∏(~u + ~v ) = ∏~u + ∏~v para todos ~u, ~v 2 V y todo ∏ 2 K.
(p2) (∏ + µ)~u = ∏~u + µ~u para todo ~u 2 V y todos ∏, µ 2 K.
(p3) ∏(µ~u) = (∏µ)~u para todo ~u 2 V y todos ∏, µ 2 K.
(p4) 1~u = ~u (1 es el elemento unidad de K) para todo ~u 2 V.
1 Recuerda que un conjunto K provisto de una suma y de una multiplicaci´ on es un cuerpo conmutativo (o un campo, traducci´ on de la palabra inglesa field) para esas dos operaciones, si se satisfacen las siguientes propiedades: (k1) (∏ + µ) + ∫ = ∏ + (µ + ∫) para todos ∏, µ, ∫ 2 K.
(k2) ∏ + µ = µ + ∏ para todos ∏, µ 2 K.
(k3) Existe un elemento de K, designado por 0 y llamado elemento cero, tal que ∏ + 0 = ∏ para todo ∏ 2 K.
(k4) Para cada ∏ 2 K existe un elemento de K, designado por °∏ y llamado opuesto de ∏, tal que ∏ + (°∏) = 0.
(k5) (∏µ)∫ = ∏(µ∫) para todos ∏, µ, ∫ 2 K.
(k6) ∏µ = µ∏ para todos ∏, µ 2 K.
(k7) Existe un elemento de K distinto de 0, designado por 1 y llamado elemento unidad, tal que 1∏ = ∏ para todo ∏ 2 K.
(k8) Para cada ∏ 2 K, ∏ 6= 0, existe un elemento de K, designado por ∏°1 y llamado inverso de ∏, tal que ∏∏°1 = 1.
(k9) ∏(µ + ∫) = ∏µ + ∏∫ para todos ∏, µ, ∫ 2 K.
1 2.2. Subespacios vectoriales 2 Escribiremos ~u ° ~v en lugar de ~u + (°~v ).
Si K = R se dice que V es un espacio vectorial real. Si K = C se dice que V es un espacio vectorial complejo.
En adelante, K designar´a siempre un cuerpo conmutativo.
Ejemplos (1) El conjunto K n = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xj 2 K, j = 1, 2, . . . , n} con las operaciones (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) a(x1 , x2 , . . . , xn ) = (ax1 , ax2 , . . . , axn ) es un espacio vectorial sobre K. En particular Rn es un espacio vectorial real y Cn es un espacio vectorial complejo.
(2) El conjunto Mm£n (R), con la suma de matrices y el producto de un n´ umero real por una matriz, es un espacio vectorial real.
(3) El conjunto K[x] de los polinomios en la indeterminada x con coeficientes en K, con la suma ordinaria de polinomios y el producto de un escalar por un polinomio, es un espacio vectorial sobre K. En particular R[x] es un espacio vectorial real.
(4) Sea X un conjunto. Sea F(X, K) el conjunto de las funciones definidas en X y con valores en K. Si f, g 2 F(X, K) y ∏ 2 K, se definen las funciones f + g y ∏f por (f + g)(x) = f (x) + g(x) (∏f )(x) = ∏f (x) para cada x 2 X. Con las operaciones as´ı definidas, F(X, K) es un espacio vectorial sobre K. En particular, F(X, R) es un espacio vectorial real.
Sea V un espacio vectorial sobre K, ~u, ~v 2 V y ∏, µ 2 K. De la definici´on de espacio vectorial se deducen inmediatamente las siguientes propiedades elementales: 2.2.
1) ∏~0 = ~0.
4) (∏~u = µ~u y ~u 6= ~0) =) ∏ = µ.
2) 0~u = ~0.
5) (∏~u = ∏~v y ∏ 6= 0) =) ~u = ~v .
3) ∏~u = ~0 =) (∏ = 0 o ~u = ~0).
6) (°∏)~u = ∏(°~u) = °∏~u.
Subespacios vectoriales Sea V un espacio vectorial sobre K y sea U un subconjunto no vac´ıo de V . Se dice que U es un subespacio vectorial de V si, con las operaciones de V , U es un espacio vectorial sobre K.
El siguiente teorema proporciona un criterio sencillo para identificar subespacios vectoriales.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.3. Dependencia e independencia lineal 3 Teorema 2.2.1 Un subconjunto no vac´ıo U de un espacio vectorial V sobre K es un subespacio vectorial de V si, y s´olo si, se verifican (1) ~u, ~v 2 U =) ~u + ~v 2 U.
(2) ∏ 2 K, ~u 2 U =) ∏~u 2 U.
Las condiciones (1) y (2) se pueden sustituir por la condici´ on (~u, ~v 2 U y ∏, µ 2 K) =) ∏~u + µ~v 2 U.
Dado un espacio vectorial V , obs´ervese que el vector cero pertenece a cualquier subespacio de V y que {~0} y V son subespacios de V . Los subespacios de V distintos de {~0} y V se llaman propios.
Ejemplos 1) Las rectas y planos que pasan por el origen son subespacios vectoriales de R3 , por ejemplo U1 = {(x, y, z) 2 R3 : x = y, z = 0} (recta), U2 = {(x, y, z) 2 R3 : x ° 2y + 3z = 0} (plano).
2) El conjunto Rn [x] de los polinomios en x con coeficientes reales de grado menor o igual que n (incluido el polinomio cero) es un subespacio de R[x].
3) El conjunto formado por las matrices sim´etricas n £ n es un subespacio de Mn£n .
Observaci´ on Es inmediato que la intersecci´on2 de una familia cualquiera de subespacios de un espacio vectorial V , es un subespacio de V .
La uni´on3 de subespacios de un espacio vectorial V en general no es un subespacio de V . As´ı, por ejemplo, en el espacio vectorial R2 , consideremos los subespacios siguientes: U1 = {(x, 0) : x 2 R} y U2 = {(0, y) : y 2 R}.
El conjunto U1 [ U2 no es subespacio ya que, por ejemplo, ~u1 = (1, 0) y ~u2 = (0, 1) son vectores de U1 [ U2 y, sin embargo, su suma ~u1 + ~u2 = (1, 1) 62 U1 [ U2 .
2.3.
Dependencia e independencia lineal Sea V un espacio vectorial sobre K y sea S = {~u1 , ~u2 , . . . , ~up } un conjunto de vectores de V . Se llama combinaci´ on lineal de los vectores de S a cualquier vector de la forma ∏1~u1 + ∏2~u2 + · · · + ∏p~up donde ∏1 , ∏2 , . . . , ∏p 2 K.
2 Si A1 y A2 son subconjuntos de un conjunto A, se llama intersecci´ on de A1 y A2 a A1 \A2 = {x 2 A : x 2 A1 y x 2 A2 }. En general, \ si (Ai )i2I es una familia de subconjuntos de A, la intersecci´ on de la familia (Ai )i2I es Ai = {x 2 A : x 2 Ai para todo i 2 I}.
i2I 3 Si A1 y A2 son subconjuntos de un conjunto A, se llama uni´ on de A1 y A2 a A1 [ A2 = {x 2 A : x 2 A1 o x 2 A2 }. En general, si [ (Ai )i2I es una familia de subconjuntos de A, la uni´ on de la familia (Ai )i2I es Ai = {x 2 A : x 2 Ai para alg´ un i 2 I}.
i2I Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.3. Dependencia e independencia lineal 4 Teorema 2.3.1 El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S es un subespacio vectorial, que se llama subespacio engendrado por S, y se designa por L(S) (o tambi´en por hSi): ( p ) X L(S) = L(~u1 , ~u2 , . . . , ~up ) = ∏i~ui : ∏i 2 K para i = 1, 2, . . . , p .
i=1 Tambi´en se dice que S es un sistema de generadores de L(S). El subespacio L(S) es el menor de todos los subespacios que contienen a S.
Ejemplo En el espacio vectorial R3 , los vectores ~u = (1, 2, 0) y ~v = (0, 3, °1) engendran el subespacio U = L(~u, ~v ) = {(∏, 2∏ + 3µ, °µ) : ∏, µ 2 R} = {(x, y, z) 2 R3 : 2x ° y ° 3z = 0}.
Suele decirse que 8 > <x = ∏ y = 2∏ + 3µ > : z = °µ ∏, µ 2 R son unas ecuaciones param´etricas de U y que 2x ° y ° 3z = 0 es una ecuaci´ on impl´ıcita de U .
Sea S = {~u1 , ~u2 , . . . , ~up } un conjunto de vectores de un espacio vectorial V sobre K.
Se dice que S es un conjunto linealmente dependiente (o que es un sistema ligado) si existen ∏1 , ∏2 , . . . , ∏p 2 K, no todos nulos, tales que ∏1~u1 + ∏2~u2 + · · · + ∏p~up = ~0.
Se dice que S es un conjunto linealmente independiente (o que es un sistema libre) si ) ∏1~u1 + ∏2~u2 + · · · + ∏p~up = ~0 =) ∏1 = ∏2 = · · · = ∏p = 0.
∏1 , ∏ 2 , . . . , ∏ p 2 K Decimos que un vector depende linealmente de otros si es igual a una combinaci´on lineal de ellos.
Ejemplos (1) En R3 , los vectores ~u = (1, 0, 0), ~v = (1, 1, 0) y w ~ = (1, 1, 1) son linealmente independientes.
En efecto: ∏~u + µ~v + ∫ w ~ = ~0 =) (∏, 0, 0) + (µ, µ, 0) + (∫, ∫, ∫) = (0, 0, 0) 8 > <∏ + µ + ∫ = 0 µ + ∫ = 0 =) ∏ = µ = ∫ = 0.
=) > : ∫=0 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.4. Bases de un espacio vectorial 5 (2) En el espacio vectorial R[x], el conjunto {1+x2 , x+2x2 , 3°x+x2 } es linealmente dependiente puesto que 3 ° x + x2 = 3(1 + x2 ) ° (x + 2x2 ).
Observaciones a) Si uno de los vectores de un conjunto es el vector cero, entonces el conjunto es linealmente dependiente.
b) Si ~u 6= ~0, entonces S = {~u} es linealmente independiente. Un conjunto formado por dos vectores es linealmente dependiente si, y s´olo si, uno de ellos es proporcional al otro.
c) Si un conjunto S de vectores es linealmente dependiente, entonces tambi´en lo es cualquier conjunto que resulte de a˜ nadir alg´ un vector a S.
d) Si un conjunto S de vectores es linealmente independiente, entonces tambi´en lo es cualquier conjunto que resulte de prescindir de alguno de los vectores de S.
Propiedades 1) Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si, y s´olo si, alguno de sus vectores depende linealmente de los dem´as.
2) Si ~u depende linealmente de unos vectores y cada uno de estos depende linealmente de otros, entonces ~u depende linealmente de los u ´ltimos.
3) Dos conjuntos de vectores S y T se dicen equivalentes si engendran el mismo subespacio, i.e., si L(S) = L(T ). Los conjuntos S y T son equivalentes si, y s´olo si, todo vector de cualquiera de los conjuntos depende linealmente de los vectores del otro.
4) Si S es un conjunto linealmente independiente y ~v es un vector que no depende linealmente de los vectores de S, entonces el conjunto S [ {~v } tambi´en es linealmente independiente.
El resultado siguiente afirma que el n´ umero de vectores de un sistema libre nunca puede ser mayor que el de un sistema de generadores.
Teorema 2.3.2 Sea V un espacio vectorial que est´a engendrado por un cierto conjunto G = {~u1 , ~u2 , . . . , ~up }. Si I = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vh } es un conjunto linealmente independiente, entonces h ∑ p.
2.4.
Bases de un espacio vectorial Un espacio vectorial V sobre K se dice que es de tipo finito si est´a generado por un n´ umero finito de vectores, es decir, si en V existe alg´ un conjunto de vectores S = {~u1 , ~u2 , . . . , ~up } tal que V = L(S).
Sea V un espacio vectorial de tipo finito. Se dice que un conjunto de vectores B = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } es una base de V si se verifica una cualquiera de las condiciones equivalentes: (1) B es un sistema de generadores de V que, adem´as, es sistema libre.
(2) Todo vector de V se puede expresar de una u ´nica manera como combinaci´on lineal de los vectores de B.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.4. Bases de un espacio vectorial 6 Ejemplos (1) En el espacio vectorial K n , los n vectores ~e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), ~e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , ~en = (0, 0, 0, . . . , 1) (~ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) donde el 1 ocupa el lugar i-´esimo, i = 1, 2, . . . , n) forman una base, que se llama base can´ onica de K n .
Sistema de generadores: si x1 , x2 , . . . , xn 2 K n es (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 (1, 0, . . . , 0) + x2 (0, 1, . . . , 0) + · · · + xn (0, 0, . . . , 1).
Sistema libre: ∏1~e1 + ∏2~e2 + · · · + ∏n~en = ~0 () (∏1 , ∏2 , . . . , ∏n ) = (0, 0, . . . , 0) () ∏1 = ∏2 = · · · = ∏n = 0.
(2) En el espacio vectorial Mm£n , sea Eij la matriz que tiene nulos todos sus elementos excepto el elemento ij que es 1. Entonces B = {Eij : i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n} es una base de Mm£n , denominada base usual .
(3) En el espacio vectorial Rn [x], el conjunto B = {1, x, x2 , . . . , xn } es una base, denominada base usual .
En todo espacio vectorial de tipo finito distinto de {~0} hay al menos una base.
Teorema 2.4.1 (Existencia de bases) Sea V = 6 {~0} un espacio vectorial de tipo finito. Cualquier sistema de generadores de V contiene a una base de V . En consecuencia, V tiene una base.
Teorema 2.4.2 Sea V 6= {~0} un espacio vectorial de tipo finito. Todas las bases de V tienen el mismo n´ umero de vectores. A este n´ umero se le llama dimensi´ on del espacio vectorial V , y se le designa por dim V .
Por convenio, el espacio V = {~0} tiene dimensi´on 0.
En adelante, a los espacios de tipo finito los llamaremos espacios de dimensi´on finita.
Ejemplos (1) La dimensi´on de K n es n.
(2) La dimensi´on de Mm£n es m · n.
(3) La dimensi´on de Rn [x] es n + 1.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.4. Bases de un espacio vectorial 7 Propiedades Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y sea S = {~u1 , ~u2 , . . . , ~up } un conjunto de vectores de V .
(1) Si S es un sistema de generadores de V , entonces p ∏ dim V .
(2) Si S es un sistema libre, entonces p ∑ dim V .
(3) Si S es un sistema de generadores de V y dim V = p , entonces S es una base de V .
(4) Si S es un sistema libre y dim V = p , entonces S es una base de V .
Observaciones a) dim V es el n´ umero m´aximo de vectores de V linealmente independientes.
b) dim V es el n´ umero m´ınimo de vectores de un sistema de generadores de V .
Cualquier conjunto linealmente independiente puede “completarse” a˜ nadiendo vectores hasta constituir una base.
Teorema 2.4.3 Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita n. Si S = {~u1 , ~u2 , . . . , ~up } es un sistema libre de p vectores de V , donde p < n, entonces existe un conjunto S 0 de n ° p vectores de V tal que S [ S 0 es una base de V .
El siguiente teorema establece la relaci´on entre las dimensiones de un espacio vectorial de dimensi´on finita y de uno cualquiera de sus subespacios.
Teorema 2.4.4 Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y U un subespacio de V .
(1) U es tambi´en de dimensi´on finita y dim U ∑ dim V.
(2) Si dim U = dim V , entonces U = V.
Ejemplo Sea U un subespacio del espacio vectorial R3 . Tenemos que dim R3 = 3; por consiguiente, seg´ un el teorema anterior, la dimensi´on de U s´olo puede ser 0,1,2 o 3.
a) dim U = 0; U = {~0}.
b) dim U = 1; U es una recta que pasa por el origen.
c) dim U = 2; U es un plano que pasa por el origen.
d) dim U = 3; U = R3 .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.4. Bases de un espacio vectorial 8 Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre K. Dada una base B = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } de V , sabemos que para cada vector ~x 2 V existen unos u ´nicos x1 , x2 , . . . , xn 2 K tales que ~x = x1~v1 + x2~v2 + · · · + xn~vn .
Se dice que la n-upla (x1 , x2 , . . . , xn ) es el sistema de coordenadas del vector ~x en la base B, y se escribe ~x = (x1 , x2 , . . . , xn )B .
Teorema 2.4.5 (Cambio de base) Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre K. Sean B = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } y B 0 = {~v 01 , ~v 02 , . . . , ~v 0n } dos bases de V . Sea ~x 2 V y supongamos que ~x = (x1 , x2 , . . . , xn )B , Sea 0 j ~v = n X ~x = (x01 , x02 , . . . , x0n )B 0 .
aij ~vi , j = 1, 2, . . . , n i=1 es decir 8 0 > > ~v 1 = a11~v1 + a21~v2 + · · · + an1~vn > > < ~v 02 = a12~v1 + a22~v2 + · · · + an2~vn ..
> > .
> > : 0 ~v n = a1n~v1 + a2n~v2 + · · · + ann~vn .
Entonces xi = n X aij x0j , i = 1, 2, . . . , n j=1 es decir 8 x1 = a11 x01 + a12 x02 + · · · + a1n x0n > > > > < x2 = a21 x01 + a22 x02 + · · · + a2n x0n ..
> > .
> > : xn = an1 x01 + an2 x02 + · · · + ann x0n .
Estas u ´ltimas ecuaciones pueden expresarse matricialmente escribiendo X = AX 0 donde 0 B B X=B @ x1 x2 ..
.
xn 1 C C C, A 0 B B X =B @ 0 x01 x02 ..
.
x0n 1 C C C A y 0 1 a11 a12 . . . a1n B a21 a22 . . . a2n C C A=B @ ................. A.
an1 an2 . . . ann La matriz A se llama matriz del cambio de base de B a B 0 . Es una matriz invertible y su inversa es la matriz del cambio de base de B 0 a B.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.5. Suma de subespacios 9 Ejemplo Consideremos las siguientes bases de R3 : B = {~e1 , ~e2 , ~e3 } (base can´onica) y B 0 = {~v 01 , ~v 02 , ~v 03 }, donde ~v 01 = (1, 0, 0), ~v 02 = (1, 1, 0), ~v 03 = (1, 1, 1). Se tiene que ~v 01 = ~e1 ~v 02 = ~e1 + ~e2 ~v 03 = ~e1 + ~e2 + ~e3 .
Entonces la matriz del cambio de base de B a B 0 0 1 @ 0 A= 0 es 1 1 1 1 1 A 0 1 luego las ecuaciones del cambio de base de B a B 0 son 0 1 0 10 0 1 x1 1 1 1 x1 @ x2 A = @ 0 1 1 A @ x02 A .
x3 0 0 1 x03 Como A°1 0 1 1 °1 0 1 °1 A , =@ 0 0 0 1 las ecuaciones del cambio de base de B 0 a B son 0 0 1 0 10 1 x1 1 °1 0 x1 @ x02 A = @ 0 1 °1 A @ x2 A .
0 x3 0 0 1 x3 Por ejemplo, si ~u = (°1, 3, °2) 2 R3 , ser´a ~u = (°4, 5, °2)B 0 .
2.5.
Suma de subespacios Sean U1 y U2 dos subespacios de un espacio vectorial V . El subconjunto U1 \ U2 de V es un subespacio y es el mayor subespacio de cuantos est´an incluidos en U1 y en U2 . El conjunto U1 [ U2 es el menor de todos los subconjuntos de V que contienen a U1 y a U2 pero, en general, no es un subespacio, luego no ser´a el menor de los subespacios que incluyen a U1 y a U2 . Se llama suma de U1 y U2 al conjunto U1 + U2 = {~u1 + ~u2 : ~u1 2 U1 , ~u2 2 U2 }.
Teorema 2.5.1 El conjunto U1 + U2 es un subespacio de V y, adem´as, es el menor de todos los subespacios de V que contienen a U1 y a U2 .
Teorema 2.5.2 (F´ ormula de las dimensiones) Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y sean U1 y U2 dos subespacios de V . Entonces dim U1 + dim U2 = dim(U1 + U2 ) + dim(U1 \ U2 ).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.6. Espacios eucl´ıdeos: ortogonalidad, bases ortonormales 10 Sean U1 y U2 dos subespacios de un espacio vectorial V . Se dice que U1 +U2 es una suma directa, y se designa por U1 © U2 , si para todo ~u 2 U1 + U2 existe una descomposici´on u ´nica de la forma ~u = ~u1 + ~u2 con ~u1 2 U1 y ~u2 2 U2 .
Ejemplos a) Si en R2 consideramos los subespacios U1 = {(x, y) 2 R2 : x = y} y U2 = {(x, y) 2 R2 : y = 0}, se tiene que R2 = U1 + U2 . Cada vector (x, y) 2 R2 es la suma (x, y) = (y, y) + (x ° y, 0) con (y, y) 2 U1 y (x ° y, 0) 2 U2 , y ´esta es la u ´nica forma de hacer tal descomposici´on. En 2 consecuencia, R = U1 © U2 .
b) Si en R3 consideramos los subespacios U1 = {(x, y, z) 2 R3 : x = 0} y U2 = {(x, y, z) 2 R3 : z = 0}, se tiene que R3 = U1 + U2 . Ahora bien, la suma no es directa pues, por ejemplo, (0, 0, 0) = (0, 0, 0) + (0, 0, 0) pero tambi´en (0, 0, 0) = (0, 1, 0) + (0, °1, 0) u otras formas, todas ellas suma de un vector de U1 y otro de U2 .
El siguiente resultado proporciona una caracterizaci´on particularmente simple de la suma directa de dos subespacios.
Teorema 2.5.3 Si U1 y U2 son dos subespacios de un espacio vectorial V , la suma U1 + U2 es directa si, y s´olo si, U1 \ U2 = {~0}.
En un espacio vectorial V , dos subespacios U1 y U2 se dicen suplementarios si V = U1 © U2 .
2.6.
Espacios eucl´ıdeos: ortogonalidad, bases ortonormales Una gran variedad de hechos geom´etricos se basan principalmente en la posibilidad de medir las longitudes de segmentos y los ´angulos entre ellos. Esto no es posible realizarlo en un espacio vectorial. Ser´a necesario introducir nuevos axiomas de manera que en los nuevos espacios se puedan estudiar propiedades geom´etricas. Nuestra estrategia ser´a definir esos espacios, que llamaremos espacios eucl´ıdeos, mediante una definici´on axiom´atica de “producto escalar”.
Sea V un espacio vectorial real y consideremos una aplicaci´on que a cada par (~x, ~y ) de vectores de V le asigna un n´ umero real llamado producto escalar de los vectores ~x e ~y , designado por ~x · ~y (o por h~x, ~y i, o por (~x | ~y )), verificando las siguientes propiedades: (a) ~x · ~y = ~y · ~x para todos ~x, ~y 2 V.
(b) (~x + ~x 0 ) · ~y = ~x · ~y + ~x 0 · ~y para todos ~x, ~x 0 , ~y 2 V.
(c) (∏~x) · ~y = ∏ ~x · ~y para todos ~x, ~y 2 V y todo ∏ 2 R.
(d) ~x · ~x > 0 para todo ~x 6= ~0.
Se llama espacio eucl´ıdeo a todo espacio vectorial real dotado de un producto escalar.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.6. Espacios eucl´ıdeos: ortogonalidad, bases ortonormales 11 De los axiomas (b) y (a) se deduce (b0 ) ~x · (~y + ~y 0 ) = ~x · ~y + ~x · ~y 0 para todos ~x, ~y , ~y 0 2 V ; de (c) y (a) se deduce (c0 ) ~x · (∏~y ) = ∏ ~x · ~y para todos ~x, ~y 2 V y todo ∏ 2 R.
De (b) se deduce (~0 + ~y ) · ~x = ~y · ~x = ~0 · ~x + ~y · ~x lo que implica ~0 · ~x = 0 y por (a), ~x · ~0 = 0. En particular, ~x · ~x = 0 si ~x = ~0.
Ejemplos 1) El espacio vectorial Rn con ~x · ~y = x1 y1 + · · · + xn yn donde ~x = (x1 , . . . , xn ), ~y = (y1 , . . . , yn ), es un espacio eucl´ıdeo, llamado espacio eucl´ıdeo usual Rn .
2) Si ~x = (x1 , x2 ), ~y = (y1 , y2 ) 2 R2 y definimos ~x · ~y = x1 y1 , esto no es un producto escalar en R2 puesto que no se cumple el axioma (d); en efecto, si x2 6= 0 entonces ~x = (0, x2 ) 6= ~0 y se tiene ~x · ~x = 0.
3) En el espacio C([a, b], R) de las funciones reales continuas definidas en el intervalo [a, b] se puede definir el producto escalar de dos funciones f y g mediante Z b (f | g) = f (t)g(t) dt, a obteni´endose un espacio eucl´ıdeo.
Sea V un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on finita n 6= 0 y sea B = {~u1 , ~u2 , . . . , ~un } una base de V .
En esta base, si ~x, ~y 2 V , podemos escribir ~x = n X xi~ui , ~y = i=1 n X yj ~uj .
j=1 Utilizando los axiomas (b) y (c) del producto escalar se tiene que √ n ! √ n ! n X X X ~x · ~y = xi~ui · yj ~uj = xi yj (~ui · ~uj ).
i=1 j=1 i,j=1 La matriz 0 1 ~u1 · ~u1 ~u1 · ~u2 . . . ~u1 · ~un B ~u2 · ~u1 ~u2 · ~u2 . . . ~u2 · ~un C C PB = B @ ......................... A ~un · ~u1 ~un · ~u2 . . . ~un · ~un Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara (1) 2.6. Espacios eucl´ıdeos: ortogonalidad, bases ortonormales 12 recibe el nombre de matriz del producto escalar con respecto a la base B. Con esta notaci´on la expresi´on (1) puede escribirse en la forma 0 1 y1 B C ~x · ~y = (x1 . . . xn ) PB @ ... A .
yn La matriz PB de un producto escalar es siempre sim´etrica debido al axioma (a) y los elementos de su diagonal principal son todos positivos debido al axioma (d).
Sea ahora V un espacio eucl´ıdeo cualquiera y ~x 2 V . Se define la norma (o longitud) del vector ~x de la manera siguiente: p k~xk = ~x · ~x .
Ejemplos En el espacio eucl´ıdeo usual Rn , la norma de un vector ~x = (x1 , . . . , xn ) es q k~xk = x21 + · · · + x2n .
En el espacio de las funciones reales continuas definidas en el intervalo [a, b] con el producto escalar Rb (f | g) = a f (t)g(t) dt, la norma de una funci´on f vale ∑Z b ∏1/2 2 kf k = [f (t)] dt .
a Se verifica que k∏~xk = p p p (∏~x) · (∏~x) = ∏2 (~x · ~x) = |∏| ~x · ~x = |∏| k~xk.
De un vector ~x 2 V , tal que k~xk = 1, diremos que es unitario. Observemos que, si ~x 2 V y ~x 6= ~0, entonces ~x puede multiplicarse por el inverso de su norma para obtener el vector unitario 1 ~x, k~xk proceso que se conoce como normalizaci´on de ~x.
Teorema 2.6.1 (Desigualdad de Schwarz) En un espacio eucl´ıdeo V , se verifica |~x · ~y | ∑ k~xk k~y k para todos ~x, ~y 2 V .
Ejemplos En el espacio eucl´ıdeo usual Rn , la desigualdad de Schwarz es Ø Ø √ !1/2 √ n !1/2 n n ØX Ø X X Ø Ø xj yj Ø ∑ x2j yj2 , Ø Ø Ø j=1 j=1 j=1 es decir, la conocida desigualdad de Cauchy.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.6. Espacios eucl´ıdeos: ortogonalidad, bases ortonormales 13 En el caso del espacio C([a, b], R), la desigualdad adopta la forma ØZ b Ø ∑Z b ∏1/2 ∑Z b ∏1/2 Ø Ø 2 2 Ø f (t)g(t) dtØØ ∑ [f (t)] dt [g(t)] dt .
Ø a a a Para todo par de vectores no nulos ~x e ~y de un espacio eucl´ıdeo V , el ´angulo entre ~x e ~y se define como el ´angulo µ tal que 0 ∑ µ ∑ º y cos µ = ~x · ~y .
k~xk k~y k Introducimos ahora el concepto de ortogonalidad entre dos vectores de un espacio eucl´ıdeo. Dos vectores ~x, ~y 2 V se dicen ortogonales si ~x · ~y = 0.
El vector ~0 es ortogonal a todos los vectores de V y es el u ´nico vector que posee tal propiedad.
Ejemplos 1) En el espacio eucl´ıdeo R2 , los vectores ~e1 = (1, 0) y ~e2 = (0, 1) son ortogonales. La noci´on de ortogonalidad responde en este caso a la noci´on intuitiva de perpendicularidad: los vectores forman un ´angulo recto.
Los vectores ~e1 = (1, 0, . . . , 0), ~e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , ~en = (0, 0, . . . , 1) son ortogonales dos a dos en el espacio eucl´ıdeo usual Rn .
2) En C([°º, º], R), los vectores del sistema trigonom´etrico 1, cos t, sen t, cos 2t, sen 2t, . . . , cos nt, sen nt, . . .
son ortogonales dos a dos. Por ejemplo, si n 6= m: Z º Z Z 1 º 1 º cos nt sen mt dt = sen(n + m)t dt ° sen(n ° m)t dt = 0 2 °º 2 °º °º puesto que n 6= m. El resto se comprueba de manera similar.
Sea V un espacio eucl´ıdeo (no necesariamente de dimensi´on finita). Sea S = {~x1 , ~x2 , . . . , ~xp } un conjunto de vectores de V . Se dice que S es un sistema ortogonal si es ~xi · ~xj = 0 para i 6= j; si adem´as k~xi k = 1 para todo i, decimos que S es un sistema ortonormal. Estas dos definiciones se aplican tambi´en a subconjuntos infinitos S de V . As´ı, el conjunto presentado en el ejemplo 2) anterior es un sistema ortogonal que juega un papel fundamental en la teor´ıa de las series de Fourier.
Teorema 2.6.2 Si S = {~x1 , ~x2 , . . . , ~xp } es un sistema ortogonal formado por vectores no nulos de un espacio eucl´ıdeo, entonces S es un sistema libre. En particular, todo sistema ortonormal es libre.
Podemos ahora trasladar teoremas de la geometr´ıa elemental a este nuevo marco de la “geometr´ıa”de los espacios eucl´ıdeos, por ejemplo, el teorema de Pit´agoras. Por analog´ıa con los vectores en el plano podemos considerar ~x + ~y como la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo determinado por los vectores ortogonales ~x e ~y . Por la definici´on de producto escalar y la ortogonalidad de ~x e ~y se tiene: Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.6. Espacios eucl´ıdeos: ortogonalidad, bases ortonormales 14 k~x + ~y k2 = (~x + ~y ) · (~x + ~y ) = k~xk2 + 2(~x · ~y ) + k~y k2 = k~xk2 + k~y k2 .
Esta igualdad representa el teorema de Pit´agoras en los espacios eucl´ıdeos.
Otra propiedad geom´etrica que puede demostrarse en los espacios eucl´ıdeos es la desigualdad triangular, es decir, en todo tri´angulo la longitud k~x + ~y k de uno de sus lados es menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos. Para ver esto, se utiliza la desigualdad de Schwarz, obteni´endose k~x + ~y k2 = (~x + ~y ) · (~x + ~y ) = k~xk2 + 2(~x · ~y ) + k~y k2 ∑ k~xk2 + 2 k~xk k~y k + k~y k2 = (k~xk + k~y k)2 , por tanto, k~x + ~y k ∑ k~xk + k~y k, que es el resultado que hab´ıamos enunciado.
Sea V un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on finita n 6= 0. Una base de V que sea sistema ortogonal (resp. sistema ortonormal) recibe el nombre de base ortogonal (resp. base ortonormal) de V . La matriz del producto escalar respecto de una base ortogonal es diagonal y sus elementos diagonales son n´ umeros reales positivos. La matriz del producto escalar respecto de una base ortonormal es la matriz unidad. Veamos ahora un procedimiento que permite obtener una base ortonormal a partir de cualquier base de V . El m´etodo puede utilizarse tambi´en para la construcci´on de sistemas ortonormales en espacios que no son de dimensi´on finita.
Proceso de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt Sea V un espacio eucl´ıdeo y {~x1 , ~x2 , . . . , ~xp } un sistema libre de vectores de V . Vamos a construir un sistema ortonormal de V , {~y1 , ~y2 , . . . , ~yp }, tal que L(~y1 , ~y2 , . . . , ~yk ) = L(~x1 , ~x2 , . . . , ~xk ), para k = 1, 2, . . . , p. De esta forma, obtendremos bases ortonormales para cada uno de los subespacios L(~x1 , ~x2 , . . . , ~xk ), k = 1, 2, . . . , p.
Ponemos en primer lugar ~x1 ~y1 = ; k~x1 k est´a claro que el sistema {~y1 } es ortonormal y que L(~y1 ) = L(~x1 ). Supongamos entonces definidos vectores ~y1 , ~y2 , . . . , ~yk (k ∑ p ° 1), tales que {~y1 , ~y2 , . . . , ~yk } sea un sistema ortonormal y que L(~y1 ) = L(~x1 ) L(~y1 , ~y2 ) = L(~x1 , ~x2 ) ········· L(~y1 , ~y2 , . . . , ~yk ) = L(~x1 , ~x2 , . . . , ~xk ).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.6. Espacios eucl´ıdeos: ortogonalidad, bases ortonormales 15 Para construir el siguiente vector, ~yk+1 , comenzamos poniendo ~z = ~xk+1 ° k X i=1 (~xk+1 · ~yi ) ~yi ; el vector ~z es ortogonal a ~y1 , ~y2 , . . . , ~yk ya que, si j = 1, 2, . . . , k, ~z · ~yj = (~xk+1 · ~yj ) ° k X i=1 (~xk+1 · ~yi ) (~yi · ~yj ) = (~xk+1 · ~yj ) ° (~xk+1 · ~yj ) = 0.
Adem´as, como ~xk+1 62 L(~x1 , ~x2 , . . . , ~xk ) = L(~y1 , ~y2 , . . . , ~yk ), resulta que ~z 6= ~0. Ponemos entonces ~yk+1 = ~z .
k~z k El sistema {~y1 , . . . , ~yk , ~yk+1 } es ortonormal y ~yk+1 2 L(~y1 , . . . , ~yk , ~xk+1 ) Ω L(~x1 , . . . , ~xk , ~xk+1 ), luego L(~y1 , . . . , ~yk , ~yk+1 ) Ω L(~x1 , . . . , ~xk , ~xk+1 ) ; como adem´as ambos subespacios son de dimensi´on k + 1, resulta que L(~y1 , . . . , ~yk , ~yk+1 ) = L(~x1 , . . . , ~xk , ~xk+1 ).
El principio de inducci´on nos asegura entonces que por este procedimiento se obtiene el sistema {~y1 , ~y2 , . . . , ~yp } deseado.
Los vectores ~y1 , ~y2 , . . . , ~yp se obtienen, pues, haciendo ~y1 = ~x1 /k~x1 k , ~z2 = ~x2 ° (~x2 · ~y1 )~y1 , ~y2 = ~z2 /k~z2 k , ~z3 = ~x3 ° (~x3 · ~y1 )~y1 ° (~x3 · ~y2 )~y2 , ~y3 = ~z3 /k~z3 k , y as´ı sucesivamente.
La ventaja de este m´etodo progresivo de c´alculo de un sistema ortonormal estriba en el hecho siguiente: si ampliamos el sistema libre {~x1 , . . . , ~xp } a otro sistema libre {~x1 , . . . , ~xp , ~xp+1 , . . . , ~xq } con mayor n´ umero de vectores, el nuevo sistema ortonormal que se obtiene, {~y1 , . . . , ~yp , ~yp+1 , . . . , ~yq }, engloba los vectores ~y1 , ~y2 , . . . , ~yp , ya calculados, no siendo necesario poner en marcha de nuevo el m´etodo desde el principio.
Si V es de dimensi´on finita y {~u1 , ~u2 , . . . , ~un } es una base de V , el m´etodo anterior nos conduce a la existencia de un sistema ortonormal {~y1 , ~y2 , . . . , ~yn } tal que L(~y1 , ~y2 , . . . , ~yn ) = L(~u1 , ~u2 , . . . , ~un ) = V, con lo que {~y1 , ~y2 , . . . , ~yn } es una base ortonormal de V .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.6. Espacios eucl´ıdeos: ortogonalidad, bases ortonormales 16 Ejemplo En el espacio eucl´ıdeo usual R3 se considera la base {~u1 , ~u2 , ~u3 }, formada por ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (1, 1, 0) y ~u3 = (0, 1, 1).
Aplicando el m´etodo de Gram-Schmidt a este sistema, obtenemos los vectores (1, 1, 1) 1 ~y1 = = p (1, 1, 1) = k(1, 1, 1)k 3 µ ~z2 = (1, 1, 0) ° (1, 1, 0) · 2 = (1, 1, 0) ° p 3 = µ 1 1 2 , ,° 3 3 3 ~z2 ~y2 = = k~z2 k µ µ µ µ 1 1 1 p ,p ,p 3 3 3 1 1 1 p ,p ,p 3 3 3 1 1 1 p ,p ,p 3 3 3 ∂ ∂∂ µ 1 1 1 p ,p ,p 3 3 3 ∂ ∂∂ µ 1 1 1 p ,p ,p 3 3 3 ∂ ∂ ∂ 1 1 2 p , p , °p 6 6 6 µ ~z3 = (0, 1, 1) ° (0, 1, 1) · µ ∂ 1 1 1 p ,p ,p 3 3 3 µ µ ∂∂ µ ∂ 1 1 2 1 1 2 p , p , °p ° (0, 1, 1) · p , p , ° p 6 6 6 6 6 6 2 = (0, 1, 1) ° p 3 = µ µ 1 1 1 p ,p ,p 3 3 3 ∂ 1 +p 6 µ 1 1 2 p , p , °p 6 6 6 ∂ 1 1 ° , ,0 2 2 ~z3 ~y3 = = k~z3 k µ ∂ 1 1 °p , p , 0 .
2 2 El sistema {~y1 , ~y2 , ~y3 } es una base ortonormal de R3 .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara ∂ 2.7. Ejercicios 2.7.
17 Ejercicios Los ejercicios se˜ nalados en rojo proporcionan resultados importantes que complementan la teor´ıa.
1. Determina si los siguientes subconjuntos son o no subespacios vectoriales de los espacios vectoriales que se indican en cada apartado: (a) U1 = {(x, y) 2 R2 : x ∏ 0 e y ∏ 0} de R2 .
(b) U2 = {(x, y, z) 2 R3 : x = y, 2x + z = 0} de R3 .
(c) U3 = {(x, y, z) 2 R3 : x2 + y 2 ° z = 0} de R3 .
(d) U4 = {(x, y, z) 2 R3 : x + y + z = 1} de R3 .
(e) U5 = {(x, y) 2 R2 : ex + y = 0} de R2 .
2. Estudia si los siguientes subconjuntos de M2£2 (R) son subespacios vectoriales: (a) U1 = {A 2 M2£2 (R) : det(A) = 0}.
(b) U2 = {A 2 M2£2 (R) : A2 = A}.
3. Estudia si los siguientes subconjuntos de Rn [x] son subespacios vectoriales: (a) U1 = {p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn 2 Rn [x] : ai 2 Z, i = 0, 1, 2, . . . , n}.
(b) U2 = {p(x) 2 Rn [x] : (x ° 1) divide a p(x)}.
4. En R3 , se consideran los conjuntos A = {(1, 1, 1), (0, 1, 0)} y B = {(2, 3, 2), (1, 0, 1)}. Comprueba que L(A) = L(B).
5. Determina si los siguientes vectores de R3 son o no linealmente dependientes: (a) ~u1 = (1, °2, °1), ~u2 = (3, °2, 1), ~u3 = (1, °3, °2).
(b) ~u1 = (0, 1, °3), ~u2 = (1, °1, 1), ~u3 = (1, 2, 1).
(c) ~u1 = (0, 2, °4), ~u2 = (1, °2, 1), ~u3 = (1, °4, 3).
6. Estudia si las siguientes matrices A, B, C 2 M2£2 (R) son o no linealmente dependientes: µ ∂ µ ∂ µ ∂ 1 0 2 0 0 °1 A= , B= , C= .
0 1 0 0 1 0 7. Considera el R-espacio vectorial F(R, R) y los vectores f1 (x) = sen x, f2 (x) = cos x y f3 (x) = sen 2x.
(a) Demuestra que constituyen un sistema libre.
(b) ¿Es {x, sen x, cos x, sen 2x} un sistema ligado? Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.7. Ejercicios 18 8. Considera el espacio vectorial R3 [x]. Estudia la dependencia lineal de los polinomios: p1 (x) = x3 + 4x2 ° 2x + 3, p2 (x) = x3 + 6x2 ° x + 4, p3 (x) = 3x3 + 8x2 ° 8x + 7.
9. Encuentra un sistema de generadores de los subespacios vectoriales siguientes: (a) U1 = {(x, y, z) 2 R3 : 2x ° 3y ° z = 0}.
(b) U2 = {(x, y, z, t) 2 R4 : y = 2x, t = x + z}.
10. Halla el subespacio vectorial W = L(~u, ~v ) de R4 , siendo ~u = (1, 2, 0, 3) y ~v = (0, °1, 2, 1).
¿Para qu´e valor de a se verifica que w ~ = (2, a, °2, 5) 2 W ? 11. Considera los vectores ~u1 = (1, 2, 0, 0), ~u2 = (1, 2, 3, 4), ~u3 = (3, 6, 0, 0).
(a) Halla el subespacio vectorial L(~u1 , ~u2 , ~u3 ).
(b) Proporciona una base de dicho subespacio y su dimensi´on.
12. Considera los subespacios vectoriales de R3 U1 = L((1, 0, 1), (2, 1, 0)), U2 = {(a, a + b, °a) 2 R3 : a, b 2 R}, U3 = {(x, y, z) 2 R3 : x = z, y = 0}.
(a) Estudia si el vector ~v = (2, 0, 2) pertenece a alguno de estos subespacios.
(b) Proporciona una base de cada uno de ellos.
(c) Determina las coordenadas de ~v respecto a cada una de las bases de los subespacios a los que pertenece halladas en el apartado anterior.
13. Para cada uno de los subespacios vectoriales siguientes, calcula la dimensi´on y proporciona una base: (a) U = {(x, y, z) 2 R3 : 2x + y = 0, 2z ° y = 0}.
(b) U = {A 2 M2£2 (R) : tr(A) = 0}.
(c) U = {p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 2 R2 [x] : a0 ° a1 + 2a2 = 0}.
14. Dada B1 = {~u1 , ~u2 , ~u3 } una base de R3 y ~v 2 R3 el vector de coordenadas (1, 1, °1) en esta base, se considera el conjunto B2 = {w ~ 1, w ~ 2, w ~ 3 } con w ~ 1 = ~u1 ° ~u2 , w ~ 2 = ~u2 ° ~u3 , w ~ 3 = 2~u1 + ~u2 ° ~u3 .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.7. Ejercicios 19 (a) Comprueba que B2 es tambi´en una base de R3 .
(b) Calcula las coordenadas del vector ~v en la base B2 .
15. Considera el espacio vectorial V = M2£2 (R) y sea B = {M1 , M2 , M3 , M4 } el conjunto formado por las matrices µ ∂ µ ∂ µ ∂ µ ∂ 0 0 0 1 1 1 1 0 M1 = , M2 = , M3 = , M4 = .
0 1 0 1 0 0 1 0 (a) Comprueba que B es una base de V .
(b) Halla las coordenadas en la base B de una matriz gen´erica M de V : M= µ a b c d ∂ .
16. En el espacio vectorial real R3 se consideran los subespacios F = L((2, 0, 1), (1, °1, 2), (1, 1, °1)) y G = L((1, 0, 1), (0, 1, 1)). Halla: (a) La dimensi´on de cada uno de los subespacios F, G, F \ G y F + G.
(b) Ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas de cada uno de los subespacios del apartado anterior.
17. En el espacio vectorial R5 , se consideran los subespacios vectoriales F y G, F generado por los vectores ~u1 = (1, 0, 1, 0, 1), ~u2 = (1, 1, 0, 1, 0), ~u3 = (2, 1, 1, 1, 1), y G definido por las ecuaciones impl´ıcitas x1 = x2 = x4 , x3 + x5 = 0.
(a) Calcula la dimensi´on del subespacio F y proporciona una base del mismo.
(b) Sea ~z = (0, °1, 1, °1, 1) 2 F . Calcula sus coordenadas en la base de F obtenida en el apartado anterior.
(c) Calcula la dimensi´on del subespacio F + G y halla unas ecuaciones impl´ıcitas de dicho subespacio.
(d) Calcula la dimensi´on del subespacio F \ G y halla unas ecuaciones param´etricas del mismo.
18. Sean U y W los subespacios de R3 definidos por U = {(a, b, c) : a = b = c} W = {(0, b, c) : b, c 2 R} Demuestra que R3 = U © W .
19. En R3 se consideran los subespacios U = L((1, 0, 1)), V = L((1, 0, 0), (0, 1, 1)) y W = L((1, 0, 0), (0, 0, 1)).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.7. Ejercicios 20 (a) Estudia si U y V son subespacios suplementarios. An´alogamente para U y W y para V y W .
(b) Expresa, si es posible, (2, 1, 2) como suma de un vector de U y de otro de V . ¿Es u ´nica la descomposici´on? (c) Expresa, si es posible, (3, 0, 3) como suma de un vector de U y de otro de W . ¿Es u ´nica la descomposici´on? 20. Determina cu´ales de las siguientes aplicaciones h , i : R2 £ R2 °! R definen un producto escalar: (a) h~x, ~y i = x1 y1 ° x2 y2 .
(b) h~x, ~y i = x1 y1 + 2x2 y2 + 2x2 y1 ° 3x1 y2 .
(c) h~x, ~y i = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x1 y2 + 3x2 y1 .
(d) h~x, ~y i = 2x1 y1 + 3x2 y2 + 2x1 y2 + 2x2 y1 .
Justifica la respuesta. En los casos en que se tenga un producto escalar, encuentra su matriz en la base can´onica.
21. En el espacio vectorial M3£3 (R), demuestra que hA, Bi = tr(AB t ) es un producto escalar.
22. Halla cos µ, siendo µ el ´angulo entre: (a) ~u = (1, °3, 2) y ~v = (2, 1, 5) en el espacio eucl´ıdeo usual R3 .
R1 (b) f (t) = 2t ° 1 y g(t) = t2 , donde (f | g) = 0 f (t)g(t) dt.
23. Sea V un espacio eucl´ıdeo. Demuestra: (a) 2(k~uk2 + k~v k2 ) = k~u + ~v k2 + k~u ° ~v k2 , para todos ~u, ~v 2 V (ley del paralelogramo).
(b) 4h~u, ~v i = k~u + ~v k2 ° k~u ° ~v k2 , para todos ~u, ~v 2 V (identidad de polarizaci´on).
24. Demuestra la desigualdad de Schwarz (teorema 2.6.1).
25. Demuestra la siguiente generalizaci´on del teorema de Pit´agoras: si los vectores ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn 2 V son ortogonales dos a dos, entonces k~x1 + ~x2 + · · · + ~xn k2 = k~x1 k2 + k~x2 k2 + · · · + k~xn k2 .
26. Demuestra que ~u + ~v y ~u ° ~v son ortogonales si, y s´olo si, k~uk = k~v k.
27. Considera el espacio vectorial V de los polinomios f (t) de grado menor o igual que 2 con el R1 producto escalar (f | g) = °1 f (t)g(t) dt.
(a) Calcula (f | g) para f (t) = t + 2 y g(t) = t2 ° 3t + 4.
(b) Halla la matriz PB del producto escalar respecto a la base B = {1, t, t2 } de V .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 2.7. Ejercicios 21 R1 28. Sea V el espacio vectorial de los polinomios f (t) con producto escalar (f | g) = °1 f (t)g(t) dt.
Aplica el m´etodo de Gram-Schmidt al conjunto {1, t, t2 , t3 } para obtener una base ortonormal {f0 , f1 , f2 , f3 } del subespacio U de los polinomios de grado menor o igual que 3.
29. Encuentra una base ortonormal para cada uno de los subespacios siguientes: (a) U = {(x, y, z) 2 R3 : x + y ° z = 0} (en R3 se considera el producto escalar usual).
n o (b) U = p(x) 2 R3 [°1, 1] : x d p(x) = p(x) (en el espacio R3 [°1, 1] de los polinomios de gradx do R 1 menor o igual que 3 en el intervalo [°1, 1] se considera el producto escalar dado por p(x)q(x) dx).
°1 (c) U = {A 2 M3£3 (R) : tr(A) = 0} (en M3£3 (R) se considera el producto escalar dado en el ejercicio 21).
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