Tema 3b (2016)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Genética - 3º curso
Asignatura Biologia de sistemes
Año del apunte 2016
Páginas 9
Fecha de subida 22/03/2016
Descargas 8

Vista previa del texto

29-2-2016 BALANÇ DE MATÈRIA D ’UN COMPONENT A UNA CÈL·LULA ASSUMINT CREIXEMENT ZERO Ens hem d’imaginar que mirem un component intracel·lular que segurament podrà difondre per la membrana o per transport actiu. També pot ser que es sintetitzi, per tant hi ha velocitat de síntesi també. A més a més, també pot ser consumit (sistemes de degradació).
Hi ha 4 processos principals: - Síntesi/degradació Entrada/sortida La G engloba ambdós conceptes: síntesi i degradació. Pot ser generació positiva o negativa (respectivament).
𝐴=𝐸−𝑆+𝐺 Quantitat total de component que estem mirant, és la concentració de la cèl·lula multiplicat pel volum. Per tant, tenim una velocitat de síntesi multiplicat pel volum, la velocitat de degradació pel volum i el mateix per la velocitat d’entrada i sortida.
𝑑(𝑉𝐶𝑆 ) = 𝑟𝐸 𝑉 − 𝑟𝑠 𝑉 + 𝑟𝐵𝑆 𝑉 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 𝑉; 𝑑𝑡 ( 𝑚𝑚𝑜𝑙𝑠 ) ℎ Si estem estudiant una cèl·lula que no canvia de volum: 𝑑𝐶𝑠 𝑚𝑚𝑜𝑙𝑠 = 𝑟𝐸 − 𝑟𝑆 + 𝑟𝐵𝑆 − 𝑅𝑑𝑒𝑔 ; ( ) 𝑑𝑡 ℎ·𝑙 Exemple de cas senzill: el component només es sintetitza i es degrada, no difon per la membrana per tant ni entra ni surt. 𝐸 = 0 𝑖 𝑆 = 0. La síntesi és constant. La cinètica de degradació és de primer ordre respecte S.
En un determinat moment és normal que desaparegui proporcional a la quantitat que hi ha. Si hi ha més desapareixerà més ràpid que si n’hi ha menys. Ha de ser alguna cosa que multipliqui a la concentració que hi ha. K és una constant que multiplica a la concentració d’un component.
Arribem a una equació anàloga a les que havíem construït.
𝑑𝐶𝑠 = 0 − 0 + 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝑠 = 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑠 𝑑𝑡 12 𝐶𝑠 𝑡 1 𝑑𝐶𝑠 = ∫ 𝑑𝑡 𝐶𝑠 0=0 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑠 𝑡=0 ∫ Ara aplicant els coneixements de matemàtiques explicats anteriorment1 ho podem resoldre: 1 𝐶 [ln(𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑠 )]𝐶𝑠𝑠0=0 = 𝑡 − 𝑡0 = 𝑡 −𝑘 ln ( 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑠 ) = −𝑘𝑡 𝑟𝐵𝑆 1− 𝑘 · 𝐶 = 𝑒 −𝑘𝑡 𝑟𝐵𝑆 𝑠 𝐶𝑠 = 𝑟𝐵𝑆 (1 − 𝑒 −𝑘𝑡 ) 𝑘 Tot són constants menys el temps i la concentració de metabòlit.
Es van donant valors de temps en l’equació i es mira com varia la concentració de metabòlit.
Per calcular l’estat estacionari com ja vam dir podem calcular per temps infinit o sabem que la derivada ha de donar 0.
𝑑𝐶𝑠 =0 𝑑𝑡 𝑟𝐵𝑆 𝐶𝑠 = = 𝐶𝑠𝑠 𝑘 El sistema està funcionant contínuament però veiem que les concentracions no canvien (en l’estat estacionari). Com l’estat estacionari és estable, si pertorbem el sistema tornarà al lloc després d’oscil·lar.
Si per exemple: 𝑚𝑜𝑙 𝑟𝐵𝑆 = 0,5 ( ) 𝑙·ℎ 1 𝑘 = 0,25 ( ) ℎ 𝑡𝑎𝑢 = 1 𝑑𝑥 1 = 4 (ℎ) 𝑘 1 RECORDAR: ∫ 𝑎𝑥+𝑏 = 𝑎 ln(𝑎𝑥 + 𝑏) 13 Aquest sistema anem simulant i veiem que s’estabilitza a 2.
El temps característic és el temps que haurà passat desprès que hi hagi hagut un 63,21% de canvi total. Traiem el temps característic del que està multiplicant la t: 𝐶𝑠 = 𝑟𝐵𝑆 (1 − 𝑒 −𝑘𝑡 ) 𝑘 En aquest cas serà k que és 0,25. Es pot fer una analogia amb el que ja havíem mirat 1 𝐶𝑠 = 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡(1 − 𝑒 −𝜏 𝑡 ) 𝐶𝑠 = 𝑟𝐵𝑆 (1 − 𝑒 −𝑘 𝑡 ) 𝑘 𝑘 = 1/𝜏 Si volem comparar sistemes ens interessa més fixar-nos amb la tau.
𝜏= 1 1 = =4 𝑘 0,25 Anem a mirar aquestes 4 hores quina concentració és. Hem d’anar a l’equació i substituir totes les constants i posar temps 4.
𝐶𝑆 = 0,5 (1 − 𝑒 −0,25·4 ) = 1,264 0,25 El càlcul dóna 1,264. Que és el mateix que agafar el 2 (concentració de l’estat estacionari) i multiplicar-ho per 0,6321 (63% que parlem sempre). Aquest valor segueix sent el 63% del canvi.
Per tant temps característic serveix per poder comparar els sistemes.
1,264 = 2 · 0,6321 Si fem el paral·lelisme amb el reactor, això variava en funció del cabal. Quan va més ràpid, el temps característic és més petit. La corba puja més ràpid i per tant el temps quan hi ha 63% de canvi està més a l’esquerra.
BALANÇ DE MATÈRIA D’UN COMPONENTS A UNA CÈL·LULA AMB CREIXEMENT Per poder fer analogia complerta, en el cas anterior hem parlat de concentració i de volum de cèl·lules. Al laboratori és més habitual mesurar la quantitat de cèl·lula en unitats de pes sec (no volum). Dades normalment són quants milimols tenim per grams de pes sec.
14 Si fem un balanç d’aquesta manera, on hi havia el volum ara tenim X que representa la biomassa (cèl·lules per unitats de pes sec).
La forma de l’equació segueix sent igual 𝑑(𝑋𝐶𝑠 ) 𝑚𝑚𝑜𝑙𝑠 = 𝑟𝑒 𝑋 − 𝑟𝑠 𝑋 + 𝑟𝐵𝑆 𝑋 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 𝑋; ( ) 𝑑𝑡 ℎ Les dues igualtats tenen les mateixes unitats com podem comprovar.
Si la cèl·lula estigués creixent (en el cas anterior hagués estat tenir volum variable): 𝑑𝑋 = 𝜇𝑋 𝑑𝑡 Ja vam veure en el discontinu que creixen proporcionals a la quantitat que hi ha, que és la mu.
En les equacions de balanç tenim el terme de la x que ara ja no és constant. Per tant, hem de fer la derivada del producte: 𝑑𝐶𝑠 𝑑𝑋 𝑚𝑚𝑜𝑙𝑠 𝑋+ 𝐶𝑆 = 𝑟𝐸 𝑋 − 𝑟𝑠 𝑋 + 𝑟𝐵𝑆 𝑋 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 𝑋 ; ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ℎ Ara podem dividir tots entre X. La part de la derivada del creixement la passem a l’altre banda : 𝑑𝐶𝑠 𝑟𝐸 𝑋 𝑟𝑠 𝑋 𝑟𝐵𝑆 𝑋 𝑟𝑑𝑒𝑔 𝑋 1 𝑑𝑋 = − + − − 𝐶 𝑑𝑡 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋 𝑑𝑡 𝑆 Substituïm ja que : 1 𝑑𝑋 =𝜇 𝑋 𝑑𝑡 Assumim creixement constant.
Ens queda: 𝑑𝐶𝑠 𝑚𝑚𝑜𝑙𝑠 = 𝑟𝐸 − 𝑟𝑆 + 𝑟𝐵𝑆 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 − 𝜇 · 𝐶𝑆 ; ( ) 𝑑𝑡 ℎ · 𝑔𝐷𝑊 Negligible en la majoria de casos Quan una cèl·lula està creixent, el normal és que hi hagi un terme en l’equació de balanç que té a veure amb aquest creixement. Aquest terme s’anomena dilució per creixement (𝜇 · 𝐶𝑆 ) 15 A vegades és molt important i altres negligible, depèn del sistema. Per exemple seria important si: En la cèl·lula no hi hagués biosíntesi ni degradació i tenim una proteïna dins. La cèl·lula està creixent, per tant, per unitat de cèl·lula la concentració de proteïna es va fent petita (tenim la concentració que es manté constant però la cèl·lula cada vegada és més gran).
Si estem estudiant el metabolisme i aquest té un cabal molt gran, els termes d’abans tenen nombres molt grossos i per tant es fa despreciable. Ara bé, hem de tenir en compte que sempre hi és (per molt que moltes vegades es simplifiqui i no es posi).
2/3/2016 BALANÇ DE MATÈRIA D’UN COMPONENT A UNA CÈL·LULA AMB CREIXEMENT II Aplicant-ho a un cas concret en el que suposem que estem fet el seguiment d’una molècula que està en una cèl·lula i que només hi ha biosíntesi: 𝑑𝐶𝑆 = 𝑟𝐸 − 𝑟𝑆 + 𝑟𝐵𝑆 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 − 𝜇 · 𝐶𝑆 𝑑𝑡 0 0 0 Les entrades i sortides són 0 i per tant només queda la via de síntesi i el terme de dilució per creixement. Només es posa si els altres termes no són massa grans. Si no hi ha res que fabriqui i consumeixi el total de partícula és el mateix però com el volum és més gran la concentració baixa (dilució per creixement).
Per tant: 𝑑𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 − 𝜇 · 𝐶𝑠 𝑑𝑡 Separem variables 𝐶𝑆 𝑡 1 𝑑𝐶𝑆 = ∫ 𝑑𝑡 𝐶𝑆 0=0 𝑟𝐵𝑆 − 𝜇 · 𝐶𝑆 𝑡=0 ∫ Integrem 𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 (1 − 𝑒 −𝜇𝑡 ) 𝜇 16 A quina concentració arribem en l’estat estacionari? Per calcular-ho hem de fer la derivada = 0 o temps infinit.
Això dóna la trajectòria que va a parar un valor que es on s’estabilitza el sistema: Aquet valor depèn de la velocitat de síntesi i degradació (en aquest cas no n’hi ha) Si sabem la mu i podem agafar una mostra de la cèl·lula i mesurar la concentració d’aquest component, podem saber la velocitat de síntesi.
Aquesta velocitat de síntesi serà la velocitat mínima, és a dir, sabrem que la cèl·lula com a mínim ha de sintetitzar aquesta partícula a aquesta velocitat si la concentració es manté constant. Si després detectem que hi altres processos que la consumeixin haurem d’augmentar aquesta síntesi proporcionalment.
𝑑𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 − 𝜇 · 𝐶𝑆 = 0 𝑑𝑡 𝑟𝐵𝑆 = 𝜇 · 𝐶𝑆 𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 𝜇 Ara ens surt el terme de temps de resposta / característic.
17 Si tenim un procés que fem un canvi i va canviat al llarg del temps . Mirem canvi que hi ha hagut i la pendent mitjana. Això dóna un temps característic.
𝜏= ∆𝑥 |𝑑𝑥⁄𝑑𝑡| 𝑝𝑟𝑜𝑚 Sempre que la trajectòria sigui similar estarem parlant del mateix tipus de procés.
En els exemples que hem anat veient, hi havia un velocitat de síntesi que era constant i una de desaparició que era variable. Això fa que la corba tingui unes característiques determinades.
Sempre que el resultat final doni el mateix tipus de corba, voldrà dir que estem parlant del mateix tipus de procés.
Si tots tenen la mateixa forma, serà proporcional la quantitat de biomassa, traiem factor comú ala X i llavors seguiríem tenint el mateix tipus de procés.
Aquesta trajectòria caracteritzada per aquest temps característic ens donarà igual encara que no posem els mateixos termes sempre que la forma de la corba sigui igual.
Com que hi ha molts procés que donen corbes similars, s’han acostumat a caracteritzar els termes amb aquest valor anomenat temps característic.
Fent referència a les unitats de temps característic: Concentració per concentració per unitat de temps ens donarà unitat de temps.
𝜏= ∆𝑥 |𝑑𝑥⁄𝑑𝑡| = 𝑝𝑟𝑜𝑚 [] =𝑡 [] 𝑡 No és la única manera de caracteritzar un sistema d’aquests, també hi ha el temps de duplicació, és a dir, quan temps triguem atenir el doble del que teníem Si fem que una concentració sigui el doble de l’altre 𝐶𝑆 = 𝐶𝑆𝑆 (1 − 𝑒 −𝑘𝑡 ) Al final s’arriba que : 𝑡𝑑 = ln(2) 𝑘 Serà el mateix que multiplicar-ho per la tau ja que: 𝜏= 1 𝑘 18 𝑡𝑑 = ln(2) = ln(2) · 𝜏 𝑘 Permet comparar. Per exemple veure quina proteïna es recanvia mes ràpid en una cèl·lula.
Hi ha qui al temps característic l’anomena temps de relaxació fas un canvi i el sistema queda en tensió, a mesura que canvia i s’estabilitza canvia i es relaxa.
És un nombre que ens permet saber la velocitat de canvi i per tant comparar dos sistemes.
TEMPS CARACTERÍSTIC El temps que hem d’estar observant un fenomen dependrà d’aquest temps. Com que ens diu si una cosa és molt ràpida de canviar o molt lenta, sabem que una cosa lenta necessitarem observar-la durant més temps per veure el canvi. L’ordre de magnitud d’aquesta finestra d’observació ha de ser de l’ordre d’aquest temps.
En el dibuix, com que parlem d’ordres de magnitud l’escala està posada en logaritmes (en base 10) del temps.
L’escala de temps que farem servir per marcar la nostra finestra d’observació estarà relacionada amb el temps característic.
En una finestra d’observació, les coses que són lentes tenen un temps de relaxació gran, queden fora de la nostre finestra. Podem simplificar el model.
Si per contra el sistema és mol ràpid, podem prendre unes mesures diferents per també simplificar el sistema. Les coses molt ràpides quan comencem a mesurar considerarem que ja han passat (ja han arribat a l’equilibri) i les que són molt lentes que són estables.
És a dir, les coses que van ràpides ja considero que han arribat a l’equilibri, estan relacionades per una constant entre elles (constant d’equilibri). Si hi ha processos que triguen molt més del 19 temps que jo estic observant, també podré considerar que són constants (canviaran però molt més tard) .Potser varia en un mes però nosaltres no ho apreciarem.
Tenir una idea del temps característic que has d’observar és útil per saber la finestra temporal.
La discriminació entre equilibri i estat estacionari s’ha de tenir clara. Estat estacionari (estabilitzen) no tenen perquè haver d’estar equilibrades (equilibri químic). A l’estat estacionari les concentracions s’estabilitzen, no tenen perquè equilibrar-se (equilibri químic)! El canvi total d’un procés es dóna a l’infinit però a la pràctica es considera que un canvi ha arriat al seu nivell final quan ha passat un temps equivalent a 5 vegades el seu temps característic (>99,3%) és a dir 5 taus.
Fent servir l’exemple anterior: - 𝑅𝐵𝑆 ∶ 0,5 (𝑚𝑚𝑜𝑙/(𝑙 · ℎ) - 𝑡𝑎𝑢 = = 4 (ℎ) 1 𝑘 = 0,25 ( ) ℎ 1 𝑘 Per tant, 𝑐𝑎𝑛𝑣𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5 · 4 = 20ℎ Si el canvi fos de 4 hores una finestra de 20 ja seria suficient .
Per aquest sistema (escala en hores): - Log (1000) : 3 (processos de >1000 hores es poden considerar estacionaris) Log(100) : 2 Log (30): 1,5 Finestra temporal Log (4: 0,6 d’observació : ~30h Log (1):0 Log(0,1): -1 Log (0,01): -2 (processos amb temps menors de 0,01 hores (<1min) els podem considerar instantanis) 20 ...