Apuntes Completos (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Microeconomía
Año del apunte 2013
Páginas 47
Fecha de subida 16/01/2015
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Apuntes Tema 1: Las Preferencias Introducción: Definición y notación Llamamos preferencias a lo que desean o quieren comprar los consumidores. Esta definición es muy similar a la que usamos en la vida cotidiana ya que, por ejemplo, decimos que “preferimos el pescado a la carne” si, de poder escoger, compramos pescado en lugar de carne. Este ejemplo concuerda con la definición anterior: decimos que preferimos un bien -X- a otro -Y- si adquirimos X en lugar de Y.
Los gustos anteriores vienen dados por múltiples factores tales como nuestra genética, nuestra cultura...Para nuestro análisis no nos importa demasiado de dónde provienen las preferencias, de modo que estos elementos no son importantes.
Definidas las preferencias, distinguimos tres tipos de situaciones dependiendo de qué magnitud o fuerza tengan nuestros gustos. Para cada una de ellas, usamos una notación concreta que será fundamental a lo largo del curso. Así pues, tenemos que: • Preferido/a estrictamente: Si un consumidor prefiere estrictamente X a Y, significa que X le gusta más que Y. Por consiguiente, SIEMPRE escogerá X a Y.
Matemáticamente lo expresamos del siguiente modo: A>B En otras palabras, usamos el símbolo > para mostrar que A es estrictamente preferido a B, lo que implica, como hemos dicho, que el consumidor siempre elegirá A a B.
• Preferido/a débilmente: Si un consumidor prefiere débilmente X a Y, significa que X le gusta algo más que Y pero que le da un poco igual cuál escoger.
Matemáticamente lo expresamos del siguiente modo: A≥B En otras palabras, usamos el símbolo ≥ para mostrar que A es débilmente preferido a B. Esto implica que al consumidor le gusta más A que B o le da igual cuál escoger, como no sabemos qué hará, lo expresamos de esta forma.
• Indiferente: Si un consumidor es indiferente entre X y Y, significa que le da lo mismo comprar X que Y puesto que los dos productos le gustan igual.
Matemáticamente lo expresamos del siguiente modo: A~B En otras palabras, usamos el símbolo ~ para mostrar que A es indiferente a B.
Esto implica que al consumidor le da igual cuál elegir.
Supuestos A la hora de trabajar con las preferencias, conviene formular tres reglas o tres supuestos esenciales para evitar incoherencias: • Completas: El consumidor puede ordenar o comparar todas las cestas de consumo o combinaciones de bienes según sus preferencias o gustos. Esto es, no puede decir “a veces prefiero X y otras veces prefiero Y” o “no lo sé”.
• Transitivas: Si prefieres A a B, y B a C; has de preferir A a C. Quizá lo entenderemos mejor matemáticamente: Si A > B y B > C entonces A > C.
Esto no siempre se cumple, pero lo formulamos para hacer que el consumidor sea capaz de escoger una de estas tres cestas.
• Reflexivas: Una cesta es tan buena como ella misma. Por ejemplo, si tienes dos bienes idénticos -dos paquetes de folios- te da igual cuál escoger. Esto es obvio y se cumple siempre salvo en el caso de los niños.
Curvas de Indiferencia Las preferencias o gustos pueden representarse gráficamente mediante curvas de indiferencia. Las curvas de indiferencia muestran el conjunto de combinaciones de bienes que otorgan al consumidor el mismo nivel de bienestar o satisfacción. Es decir, las cestas que al consumidor le sería indiferente intercambiar porque conseguiría el mismo nivel de bienestar.
Por tanto, para dibujar estas curvas partimos de una combinación de bienes cualquiera y dibujamos todas las demás que le sería indiferente escoger. Además, las curvas de indiferencia cumplen una serie de propiedades con el objetivo de reflejar correctamente los gustos de los consumidores: • Las curvas de indiferencia normalmente tienen pendiente negativa: Porque el consumidor, para recibir menos del bien Y, ha de obtener más del bien X -ya que de lo contrario NO le sería indiferente-.
• Normalmente las curvas de indiferencia más altas son mejores: Porque el consumidor normalmente prefiere más cantidad a menos, ya que más cantidad significa mayor bienestar.
Hay que observar el uso de la palabra normalmente, ya que hay casos en los que más no siempre es mejor.
• Las curvas de indiferencia NO se cortan: Puesto que contradirían la segunda propiedad. Es decir, si se cortasen el consumidor no preferiría más a menos.
• Las curvas de indiferencia son combadas hacia dentro: Esto es así ya que los consumidores tienen mayor disposición a renunciar a un bien cuánto más cantidad poseen.
Tipos de Bienes Existen varias clases de bienes que conviene conocer, ya que sus curvas de indiferencia son bastante peculiares.
Tipo Sustitutivos perfectos El consumidor está dispuesto a renunciar a un bien por otro a una tasa constante.
Por ejemplo, le es indiferente tener dos billetes de 10 que uno de 20. En este caso, la tasa de renuncia es de 2.
Las curvas de indiferencia de este tipo de bienes son rectas.
Complementarios perfectos Son bienes que siempre se consumen juntos en proporciones fijas. Por ejemplo, necesito un zapato derecho por cada zapato izquierdo que tengo. En este caso, la proporción es de 1.
En otras palabras es inútil tener 90 zapatos derecho y uno izquierdo, por lo que esa combinación es tan buena como tener un zapato de cada tipo.
Las curvas de indiferencia de este tipo de bienes tienen forma de L como podemos observar.
Gráfico Males Son los bienes que no gustan al consumidor. Por ejemplo, si tengo jamón y queso, pero odio el queso, el queso será un mal.
Si tengo la opción, intercambiaré queso por jamón ya que el queso no me gusta.
Por tanto, cuando hay un mal, el consumidor sólo querrá el otro bien.
Las curvas de indiferencia de este tipo de bienes tienen pendiente positiva y se desplazan hacia la derecha.
Neutrales Son los bienes a los que el consumidor es indiferente. Es decir, le da igual tenerlos o no.
Las curvas de indiferencia de estos bienes son verticales ya que al consumidor sólo le importa la cantidad del otro bien.
Saciedad Una situación de saciedad es en la que hay una cesta óptima o mejor para el consumidor, y cuánto más cerca estemos de la cesta mejor.
Esa cesta es la que proporciona la máxima satisfacción o felicidad.
Las curvas de indiferencia son circunferencias o círculos ya que tienen pendiente positiva o negativa dependiendo de cuántos bienes tengamos.
Bienes discretos Son los bienes que sólo se pueden expresar como números enteros. Por ejemplo, no tiene sentido decir que tenemos media silla.
En consecuencia, las curvas de indiferencia son puntos unidos por segmentos.
Cóncavas Son esas preferencias en las que NO se prefieren las medias a los extremos. Es decir, en las que te gustan los dos bienes pero NO te gustan juntos. Un ejemplo podría ser el pan y el helado.
En consecuencia, las curvas de indiferencia son la parte superior de una circunferencia. Vemos que las curvas de indiferencia siguen siendo mejores.
Las Preferencias Regulares Para nuestro análisis, supondremos que hay las preferencias son regulares, que poseen las características siguientes -algunas de ellas ya las dijimos-: • Preferencias Monótonas: En matemáticas, algo monótono es lo que no cambia de dirección. Es decir, o ambos crecen siempre -x e y- o x decrece e y crece...En cualquier caso, la función va siempre en la misma dirección. Esto nos permitirá evitar sucesos extraños como múltiples cambios en las preferencias.
• Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa: Porque el consumidor, para recibir menos del bien Y, ha de obtener más del bien X -ya que de lo contrario NO le sería indiferente-. Esto viene dado por la característica anterior.
• Las curvas de indiferencia NO se cortan: Puesto que contradirían la primera propiedad. Es decir, si se cortasen el consumidor no preferiría más a menos.
• Curvas de Indiferencia son Convexas: Ya que se prefieren las medias a los extremos. Es decir, preferimos tener X cantidad de A y Y de B que tener sólo una cantidad de A o B.
Matemáticamente, un conjunto convexo es en el que, si unimos dos puntos cualquiera, están sobre el conjunto. Esto es, algo así: La Relación Marginal de Sustitución (RMS) Llamamos RMS a la pendiente de la curva de indiferencia en un punto. La RMS mide la relación a la que el consumidor está dispuesto a sustituir un bien por otro. Es decir, la RMS nos indica cuántos bienes Y daría el consumidor a cambio de recibir uno más de X .
Hay que decir que la RMS mide variaciones pequeñas -marginales, como su propio nombre indica- y no variaciones grandes de los bienes. Matemáticamente, la RMS es la derivada en un punto.
Dado que la curva de indiferencia tiene pendiente negativa, la RMS será también negativa. Otra forma de interpretar la relación marginal de sustitución es como la disposición marginal a pagar por una unidad más de X -puesto que los bienes cuestan dinero y, cuando renunciamos a él, es como si estuviéramos pagando algo-.
Por último, conviene mencionar que en el caso de preferencias regulares -con curvas de indiferencia convexas-, podemos hablar de relaciones marginales de sustitución decrecientes debido a que la cantidad del bien X al que estamos dispuestos a renunciar para obtener una de Y aumenta a medida que tenemos una mayor cantidad de X.
En otras palabras, cuánta más cantidad de X tengamos, a mayor cantidad de X dispuestos estaremos a renunciar para obtener una unidad más de Y -nuestra disposición marginal a pagar será mayor-.
Apuntes Tema 2: La Utilidad Introducción: Definición La utilidad ha tenido varios significados a lo largo de la historia. Al principio se consideraba que era una medida numérica de la felicidad. Por tanto, las actividades o los bienes que nos hacían más felices tenían una utilidad mayor. No obstante, dado que es muy difícil medir la felicidad, actualmente hemos prescindido de este significado.
En su lugar, actualmente consideramos la utilidad como un instrumento para ordenar preferencias, que asigna números mayores a las preferencias más deseadas o que proporcionan mayor felicidad. Para ello, usamos funciones de utilidad, que atribuyen números más grandes a las preferencias más altas. Por ejemplo, algunas formas de ordenar tres bienes cualquiera, A, B, y C, de tal forma que A > B > C serían las siguientes: Bien U1 U2 U3 U4 U5 U6 A 3 0,5 600 90 40 2 B 2 0,2 300 34 30 4 C 1 -40 150 32 4 5 Cualquiera de las anteriores funciones de utilidad serían válidas debido a que las preferencias más altas poseen números mayores, salvo U6 ya que en ese caso el orden sería C > B > A. Es necesario observar que lo relevante es el orden, y no el número que se asigne a cada bien. En otras palabras, el número sólo nos indica si un bien se prefiere más a otro o no.
Conviene subrayar el hecho de que las preferencias determinan la utilidad, y no al contrario. Es decir, los números que asigna la función de utilidad son arbitrarios. Dado que este tipo de utilidad ordena las preferencias, recibe el nombre de utilidad ordinal.
Transformaciones Monótonas Como vemos, hay infinitas formas de expresar unas preferencias cualquiera. Esto es así ya que podemos aplicar múltiples transformaciones a una función de utilidad, de tal forma que el orden no varíe. Este tipo de transformaciones se llaman transformaciones monótonas, y algunas de ellas son las siguientes: • Multiplicar por un número positivo -si fuera negativo el orden se invertiría-.
• Sumar o restar un número.
• Elevar a una potencia impar -si fuera par los números negativos se convertirían en positivosDado que hay infinitas transformaciones monótonas -pues podemos sumar o multiplicar por 3, 2...-, existen también infinitas funciones de utilidad que representan las mismas preferencias. Es decir, una transformación monótona de una función de utilidad describe las mismas preferencias que la función inicial u original.
Funciones de Utilidad: Sustitutivos Perfectos Explicadas las funciones de utilidad, vamos a hallar una función de utilidad para cada una de las preferencias más habituales, gran parte de las cuales vimos en el tema anterior. Empezaremos por los sustitutivos perfectos.
Sabemos que, en este tipo de bienes, el consumidor es indiferente entre consumir una proporción de A o una proporción de B. Por ejemplo, le da igual tener 2 billetes de 20€ que 4 de 10€. Por tanto, las curvas de indiferencia son líneas rectas que van subiendo gradualmente, como podemos observar en el gráfico posterior.
Observando la imagen, apreciamos que las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa. Por tanto, su ecuación es la siguiente: x2 = -a*x1 + k Donde -a es la pendiente -que nos indica cuánto disminuye x2 por cada punto de aumento de x1-. En este caso suponemos que es -1. En consecuencia: x2 = -x1 + k En cuanto a k, es una constante que aumenta según nos vamos desplazando hacia arriba. Es decir, la ecuación puede ser: x2 = 2-x1; x2 = 4-x1; x2=40-x1...Si pasamos x1 al otro lado, hallamos la función genérica de dos variables: U(x1, x2) = x1 + x2 K se “transforma” en U(x1,x2) ya que estábamos trazando las curvas de nivel de esta función. En otras palabras, fijábamos el valor de U y así podíamos dibujar las curvas de indiferencia. Este es el procedimiento estándar para dibujar las curvas de indiferencia.
No obstante, el anterior es sólo el caso más simple ya que la pendiente puede ser un número diferente como -2, -¼ (en ese caso a x2 lo estaría multiplicando un número)...La función genérica para los sustitutivos perfectos es la siguiente: U(x1,x2) = a*x1 + b*x2 Donde a y b son números positivos representan la tasa de intercambio o sustitución de un bien por otro. Puede ser dos si es el doble, tres si es el triple...
Funciones de Utilidad: Complementarios Perfectos En esta clase de preferencias, al consumidor sólo le importa cuántos tiene de ambos.
Por ejemplo, sólo le importa el número de pares de zapato que posee. La función de utilidad que describe los complementarios perfectos con relación 1:1 -has de tener uno de cada para poder usarlos- es: U(x1,x2) = mín {x1,x2} Es decir, cogemos el valor mínimo entre x1 y x2. Si alguno de ellos es mayor, no nos valdrá para nada como vemos en el gráfico puesto que resultará completamente inútil.
Esta función se obtiene a partir de la recta que pasa por todas las esquinas, x2=x1, que nos indica la proporción con la que se consumen los dos bienes.
De nuevo, este es el caso más simple, ya que las proporciones no siempre serán 1:1.
Puede ser 1:3. Es decir, para consumir una unidad de x1, necesitas 3 de x2. Esto es, la recta que conecta todas las esquinas es: x2 = 3*x1. Su función de utilidad sería: U(x1, x2)= mín {3x1,x2} o también U(x1, x2)= mín {x1,(1/3)*x2} La función de utilidad genérica es: U(x1, x2)= mín {ax1,bx2} Donde a y b son números positivos representan la proporción con que se complementan. Puede ser 1:2 si es el doble, 1:3 si es el triple...
Funciones de Utilidad: Preferencias Cobb-Douglas Estas funciones tienen la forma siguiente: donde a y b son números positivos. La peculiaridad de estas funciones es que los exponentes suman uno con una simple transformación, ya que si los elevamos a 1/(a+b): U(x1,x2) =x1^(a/[a+b])*x2^(b/[a+b]) Y decimos que α= a/(a+b), entonces: U(x1,x2)= x1^α * x2^(1-α) Siendo la anterior la función Cobb-Douglas que usaremos. Las curvas de indiferencia de este tipo de funciones son regulares: Funciones de Utilidad: Preferencias Cuasilineales Las curvas de indiferencia de este tipo de preferencias son prácticamente lineales, de ahí su nombre. Su característica principal es que uno de los términos tiene una peculiaridad que la hace no lineal como una raíz cuadrada o un logaritmo.
Su ecuación genérica de utilidad es la siguiente: U(x1,x2) = v(x1) + x2 Siendo v(x1) un término no lineal. A la hora de trazar las curvas de indiferencia, aislamos el término no lineal (x2).
Funciones de Utilidad: Males, Neutrales y Cóncavas Un mal es un bien que no gusta al consumidor y, en consecuencia, no lo quiere consumir. La ecuación es, por tanto: U(x1,x2) = a*x1 -b*x2 Siendo a y b dos números positivos y x2 el mal -de ahí que esté multiplicado por -b, ya que no gusta al consumidor-.
Los bienes neutrales son aquellos ante los cuales el consumidor es indiferente, esto es, le da igual tenerlos que no tenerlos. Por consiguiente, sólo le importará el bien no neutral (x1): U(x1,x2) = x1 ya que el bien x2 no le interesa.
Por último, las preferencias cóncavas se dan cuando al consumidor le gustan los dos bienes por separado pero no juntos. Su función de utilidad es: U(x1,x2) = x1²+x2².
Funciones de Utilidad: Resumen La tabla siguiente resume todas las funciones de utilidad vistas en este capítulo: Bien Función de Utilidad Sustitutivos perfectos U(x1,x2)= a*x1+b*x2 donde a,b >0 Complementarios perfec.
U(x1,x2)= mín{ax1,bx2} donde a,b >0 Cobb - Douglas U(x1,x2)=x1^α*x2^(1-α) donde α= a/(a+b) Cuasilineales U(x1,x2) = v(x1) + x2 donde v(x1) es la peculiaridad.
Males U(x1,x2) = a*x1 -b*x2 donde a,b >0 y x2 es el mal.
Neutrales U(x1,x2) = x1 donde x1 es el bien no neutral.
Cóncavas U(x1,x2) = x1²+x2² La Utilidad Marginal Llamamos utilidad marginal a la utilidad de una unidad más del bien. Lo importante de esta clase de utilidad es que es decreciente, es decir, a mayor cantidad del bien, menos utilidad marginal nos proporcionará. Por ejemplo, si tengo sed, un vaso de agua tendrá una utilidad notable; pero el sexto vaso tendrá una utilidad adicional muy baja.
Expresamos la utilidad marginal de la siguiente forma: Utilidad Marginal = Variación Utilidad / Variación Bien Utilidad Marginal = ∆U/∆X Siendo ∆ la variación.
Hay una utilidad marginal para cada bien: Utilidad Marginal Bien x1 = Variación Utilidad Bien x1 / Variación Bien x1 = ∆U1/∆X1 Utilidad Marginal x1 = [U(x1+∆x1, x2) -U(x1,x2)]/∆x1 Y lo mismo para el bien x2: Utilidad Marginal Bien x2 = Variación Utilidad Bien x2 / Variación Bien x2 = ∆U2/∆X2 Utilidad Marginal x2 = [U(x1, x2+∆x2) -U(x1,x2)]/∆x2 Pese a las formulas anteriores, lo más sencillo es calcular la utilidad marginal mediante derivadas. De este modo, tenemos que: Utilidad Marginal x1 = U'x1 = ∂U/∂x1 o la derivada de la función respecto a x1.
Utilidad Marginal x2 = U'x2 = ∂U/∂x2 o la derivada de la función respecto a x2.
La Utilidad Marginal y la RMS Recordemos brevemente la definición de la relación marginal de sustitución -en adelante, RMS-. La RMS es la pendiente de la curva de indiferencia en un punto, esto es, la derivada en ese punto. Expliquemos también que la RMS nos indicaba cuántos bienes Y daría el consumidor a cambio de recibir uno más de X, y que la RMS medía variaciones marginales del bien.
En el gráfico anterior, apreciamos que si el consumidor pasa de un punto gris (A) a otro (B), se mantiene indiferente. Es decir, su utilidad NO varía y, por tanto, la variación de la misma es cero: Cambio Utilidad = Cambio Utilidad Bien x1 + Cambio Utilidad Bien x2 = 0 ∆U = ∆U1 + ∆U2 = 0 Recordemos que, según la definición de utilidad marginal (UM): Utilidad Marginal Bien x1 = ∆U1/∆X1 Aislamos ∆U1 y ∆U2 y tenemos que: ∆U1 = ∆X1 * UM Bien x1 ∆U2 = ∆X2 * UM Bien x2 Si ampliamos la anterior definición: ∆U = ∆U1 + ∆U2 = ∆X1 * UM Bien x1 + ∆X2 * UM Bien x2= 0 Si operamos: ∆X1 * UM Bien x1 + ∆X2 * UM Bien x2 = 0 ∆X1 * UM Bien x1 = -∆X2 * UM Bien x2 ∆X2/∆X1 = -UM Bien x2/ UM Bien x1 = RMS (Relación Marginal de Sustitución) Explicado el proceso matemático, vamos a intentar comprehender la lógica detrás del mismo. Sabemos que la curva de indiferencia recoge todas las cestas o combinaciones de bienes ante las cuales el consumidor es indiferente.
Dado que la RMS es la pendiente de la curva de indiferencia, nos indica cuántos bienes Y ha de recibir el consumidor para seguir indiferente tras quitarle una unidad de x .
Dicho de otra forma, nos muestra cuánta utilidad adicional del bien 1 ha de obtener el consumidor (∆U1) para seguir indiferente tras la pérdida de una utilidad determinada del bien 2 (∆U2).
De lo anterior obtenemos que la variación de la utilidad total ha de ser cero, pues ha de recibir la misma utilidad que antes para seguir indiferente. Tras varias operaciones, tenemos que: RMS = -UM Bien x2/ UM Bien x1 Que es exactamente lo que dijimos anteriormente: cuántos bienes Y ha de recibir el consumidor para seguir indiferente tras quitarle una unidad de x o cuánta utilidad adicional -marginal- ha de obtener para mantenerse indiferente tras perder algo de utilidad del otro bien.
Apuntes Tema 3: La Restricción Presupuestaria Introducción La restricción presupuestaria nos indica el poder de compra del consumidor, es decir, qué cestas de bienes puede comprar. Como la renta de los individuos no es ilimitada, lo que podrán comprar estará condicionado a lo que cobren. Es decir, a más renta, más cestas de bienes puedes comprar. Y a la inversa: a menor sueldo, menos cestas podremos adquirir. De este modo, si tenemos un bien “bebida”, x1, y otro bien “comida, x2, que cuestan p1 y p2 respectivamente, el gasto en cada bien será: Gasto Bebida = Precio Bebida * Cantidad Bebida = p1*x1 Gasto Comida = Precio Comida * Cantidad Comida = p2*x2 No obstante, como hemos dicho, el gasto total de los individuos NO puede ser superior a su renta. En consecuencia: Gasto Bebida (p1*x1) + Gasto Comida (p2*x2) ≤ Renta (m) La formula anterior determina el conjunto presupuestario del individuo, esto es, el conjunto o combinaciones de cestas de bienes que puede comprar.
La Recta Presupuestaria A la hora de dibujar gráficamente la restricción presupuestaria, es útil asumir que el individuo gasta toda su renta. Por consiguiente: Gasto Bebida (p1*x1) + Gasto Comida (p2*x2) = Renta (m) Si aislamos x2, vemos claramente que tenemos una recta: p2*x2 = m - p1*x1 x2 = m/p2 -(p1*x1)/p2 La recta anterior tiene ordenada en el origen m/p2, en otras palabras, si gastas toda tu renta en comida obtienes el equivalente en bienes a la renta dividida por el precio de la comida. Por ejemplo, si m es 30 y p2 es 2; obtienes 15 unidades de comida.
A su vez, la abscisa en el origen es m/p1, en otras palabras, si gastas toda tu renta en bebida obtienes el equivalente en bienes a la renta dividida por el precio de la comida. Por ejemplo, si m es 30 y p1 es 2; obtienes 15 unidades de bebida.
Por último, la pendiente es -p1/p2, y nos indica el precio relativo de los bienes en el mercado. Dicho de otro modo, muestra cuántas unidades de bebida obtendrás a cambio de no comprar una de comida.
Ilustración 1: Recta presupuestaria. La zona gris -junto con la recta- muestra el conjunto presupuestario.
Variaciones de la Recta Presupuestaria Si la renta (m) aumenta, la recta se desplaza hacia la derecha, pues ahora la abscisa y la ordenada en el origen son más grandes debido al aumento de m. De forma similar, si el ingreso disminuye, la recta se desplaza hacia la izquierda. En este caso, la ordenada y abscisa en el origen son menores. Esto se observa en el siguiente gráfico: Ilustración 2: Los aumentos de la renta desplazan la recta hacia la derecha -recta rojay las reducciones del ingreso hacia la izquierda -recta azul-.
Si el precio de la bebida, p1, aumenta, la pendiente es mayor y, por tanto, puedes comprar menos cestas. En cambio, si disminuye, también lo hace la pendiente y puedes comprar más cestas. El mismo razonamiento sería que cuando el precio se incrementa la abscisa en el origen se reduce (m/p1), mientras que la abscisa en el origen aumenta cuando el precio se reduce.
A su vez, si el precio de la comida, p2, aumenta, la pendiente es menor y, por tanto, puedes comprar menos cestas. En cambio, si disminuye, la pendiente se incrementa y puedes comprar más cestas. El mismo razonamiento sería que cuando el precio se incrementa la ordenada en el origen se reduce (m/p1), mientras que la abscisa en el origen aumenta cuando el precio se incrementa.
Ilustración 3: Los aumentos de p1 aumentan la pendiente, por lo que el conjunto presupuestario se reduce -recta roja-. Asimismo, una reducción de p1 disminuye la pendiente, por lo que el conjunto presupuestario se incrementa -recta azulLos aumentos de p12 reducen la pendiente, por lo que el conjunto presupuestario se reduce -recta roja del segundo gráfico-. Asimismo, una reducción de p2 aumenta la pendiente, por lo que el conjunto presupuestario se incrementa -recta azul del segundo gráfico- Si multiplicamos ambos precios por t, el efecto es el mismo que el de dividir la renta por t puesto que: t*p1*x1 + t*p2*x2 = m p1*x1 +p2*x2 = m/t Esto significa que multiplicar los precios tiene el mismo efecto que una reducción de la renta, de modo que la recta presupuestaria se desplaza hacia la izquierda.
A su vez, dividir los precios es lo mismo que multiplicar la renta y, en consecuencia, la recta presupuestaria se desplaza hacia la derecha: (p1*x1)/t + (p2*x2)/t = m p1*x1 +p2*x2 = m*t Por último, si multiplicamos -o dividimos- todo por t no afecta ya que: (p1*x1)/t + (p2*x2)/t = m/t Multiplicando todo por t: p1*x1 +p2*x2 = m Impuestos y Subvenciones Cuando se instaura un impuesto, el efecto es el mismo que si el precio del bien aumentara. Sin embargo, distinguimos entre dos tipos de impuestos: • Impuesto sobre Cantidad: Por cada unidad comprada del bien pagas t, de modo que: Nuevo Precio = Precio Anterior + Impuesto.
• Impuesto sobre el Valor (Ad Valorem): Por cada unidad comprada del bien pagas un tanto por ciento concreto, de modo que: Nuevo Precio = Precio Anterior * (1+%) De forma similar, cuando se subvenciona, el efecto es el mismo que si el precio del bien disminuyera. Distinguimos entre dos tipos de subsidios: • Subvención sobre Cantidad: Por cada unidad comprada del bien el estado te subsidia s, de modo que: Nuevo Precio = Precio Anterior - Subsidio • Subvención sobre el Valor (Ad Valorem): Por cada unidad comprada del bien te subvencionan un %, de modo que: Nuevo Precio = Precio Anterior * (1- %) Racionamiento Un bien está racionado cuando hay un límite a la cantidad máxima que puedes comprar de él. Por ejemplo, si hay un límite de 20 a lo que puedes comprar de comida (x2), el gráfico es el siguiente: Ilustración 4: Siendo la línea vertical el límite de 20.
El racionamiento puede combinarse con impuestos, como estableciendo impuestos a partir de cierta cantidad. En este caso, también distinguimos dos tipos de impuestos dependiendo de cuándo se pague: • • Si superas cierta cantidad, pagas el impuesto por TODAS las unidades: Si x1 ≤ xL (Límite), p1*x1 +p2*x2 = m Si xL (Límite) ≤ x1, (p1+t)*x1 +p2*x2 = m Si superas cierta cantidad, pagas el impuesto por la cantidad adicional: Si x1 ≤ xL (Límite), p1*x1 +p2*x2 = m Si xL (Límite) ≤ x1, p1*xl+(p1+t)*(x1-xL) +p2*x2 = m Numerario El numerario es expresar el precio de un bienes en función del precio de otro. Lo entenderemos mejor con un ejemplo: p1*x1 +p2*x2 = m (p1/p2)*x1 + x2 = m/p2 De este modo, tenemos que el bien x2 -comida- tiene precio uno y hay un precio menos del que preocuparse. Es necesario observar que el precio del bien uno está expresado también en función del precio del bien 2.
Apuntes Tema 4: La Elección Introducción: lo visto hasta ahora En este capítulo combinaremos todo lo visto hasta ahora con el fin de determinar de qué forma escoge el consumidor. Antes de eso, resumiremos muy brevemente los tres temas anteriores. Sabemos que el consumidor tiene unas preferencias o gustos determinados, que pueden ser ordenados mediante funciones de utilidad. Estas funciones asignan números más altos a las mejores preferencias.
No obstante, los gustos NO son lo único a tener en cuenta a la hora de adquirir un producto u otro, puesto que la renta juega un papel clave. La recta que determina las cestas que podemos comprar o nos podemos permitir se llama restricción presupuestaria.
Dicho esto, podemos formular un razonamiento lógico sobre la elección: el consumidor escogerá la mejor cesta que pueden comprar. En términos más técnicos, el consumidor escogerá la mejor combinación de bienes dentro de su conjunto presupuestario.
La Cesta Óptima El proceso de elección del punto o cesta óptima se entenderá mejor con la siguiente imagen: Ilustración 5: Gráfico con curvas de indiferencia -negras- y restricción -grisEn primer lugar, dado que las preferencias son monótonas -lo que implica que se prefieren las curvas de indiferencia más altas-, podemos olvidarnos de la región o zona situada debajo de la recta presupuestaria para sólo centrarnos en la recta. En consecuencia, el individuo se gasta toda su renta.
Como vemos, la recta presupuestaria intersecciona en dos puntos, A y B. Por tanto, la cesta óptima será uno de esos puntos ya que el consumidor elige la mejor cesta que puede permitirse. La mejor cesta en este caso es la A ya que está situada en una curva de indiferencia más alta. Además, al ver el gráfico, observamos un curioso fenómeno: la recta presupuestaria es tangente con la curva de indiferencia. Esto es, la restricción toca a la curva sin cortarla.
La condición anterior nos permite hallar matemáticamente el punto óptimo, puesto que sólo tendremos que buscar el punto de tangencia o el punto en el que la restricción presupuestaria y la curva de indiferencia tengan la misma pendiente. Es decir: Pendiente Curva de Indiferencia (RMS) = Pendiente Restr. Presupuestaria (-p1/p2) -U'x1 (∂U/∂x1) / U'x2 (∂U/∂x2) = -p1/p2 La interpretación económica del punto de tangencia es la siguiente: el consumidor escogerá el punto donde la relación de intercambio del mercado o el precio relativo de los bienes -cuántas unidades de un bien obtendrás al no comprar una de otro- sea igual a su precio relativo -cómo sustituye el consumidor los bienes. Es decir, cuántas unidades de un bien ha de recibir para mantenerse indiferente al no obtener una de otro-.
Excepciones a la Condición de Tangencia Pese a que en bastantes casos se cumple la condición de tangencia, hay casos en los que no. Las excepciones suelen tener un elemento en común: no son convexas, es decir, si unes dos puntos cualquiera NO quedan por encima, por ejemplo: A continuación enumeraremos los casos más típicos: • Males y Neutrales: Puesto que el óptimo se encuentra en una esquina.
• Preferencias Cóncavas: El óptimo es también un extremo.
• Complementarios Perfectos: Ya que no podemos obtener la RMS al no poder derivar la función.
• Funciones NO Convexas: Como estas: La Demanda La función de demanda determina la cesta óptima para todo nivel de precios y de renta. En otras palabras, muestra qué combinación de bienes consumirás para unos precios y una renta concretas. Para obtener esta función, tenemos dos opciones: 1. Usar Lagrange: Maximizaremos la función de utilidad tomando como restricción la restricción presupuestaria y teniendo en cuenta que el consumo NO puede ser negativo. Así pues: Max. U(x1,x2) con p1*x1+p2*x2=m, x1≥0, x2≥0 Normalmente no consideraremos que x1 y x2 no pueden ser negativos, de tal modo que sólo restringiremos sólo con la restricción presupuestaria. Sin embargo, al final tendremos que comprobar que el consumo no sea negativo.
2. Sistema de Ecuaciones: Es la opción más rápida y sencilla -normalmente-, simplemente deberemos resolver este sistema: Pendiente Curva de Indiferencia (RMS) = Pendiente Restr. Pres. (-p1/p2) p1*x1+p2*x2=m Conviene mencionar que no siempre podremos hallar una función de demanda con los métodos anteriores, ya sea porque la función de utilidad NO se puede derivar o porque el óptimo se encuentra en un extremo -puntos que no son encontrados por Lagrange-.
Funciones de Demanda: Cobb-Douglas Explicadas las funciones de demanda, hallaremos una para cada tipo de preferencias.
La primera función de demanda que encontraremos será la Cobb-Douglas. Sabemos que: p1*x1+p2*x2=m Primero calcularemos las derivadas para calcular la RMS: Por tanto, las funciones de demanda para las Cobb-Douglas son: Funciones de Demanda: Cuasilineales Dado que hay varios tipos de cuasilineales -puede haber una raíz, un logaritmo...-, no es posible dar una función de demanda genérica. En su lugar, hemos de realizar el procedimiento anterior, es decir, resolver el sistema formado por: Pendiente Curva de Indiferencia (RMS) = Pendiente Restr. Pres. (-p1/p2) p1*x1+p2*x2=m Sin embargo, el resultado del sistema puede dar un consumo negativo. Por consiguiente, deberemos comprobar si las soluciones son positivas. En caso afirmativo, no existe ningún problema. Por contra, si un bien tiene consumo negativo, el consumo de ese bien será cero, y en el bien con consumo positivo gastaremos TODA nuestra renta (Renta/Precio Bien).
Funciones de Demanda: Complementarios Perfectos Como dijimos al hablar de la tangencia, la función de utilidad genérica de este tipo de preferencias: U(x1, x2)= mín {ax1,bx2} NO se puede derivar. En su lugar, usaremos la función que une todas las esquinas, que es la que usaremos para obtener la de utilidad y la restricción presupuestaria: a*x1=b*x2 p1*x1+p2*x2=m Por tanto, sus funciones de demanda son: Funciones de Demanda: Neutrales, Males y Bienes Discretos Tanto si el bien es neutral como un mal, NO consumiremos nada de él. Es decir, su consumo será igual a cero. En cambio, para el otro bien, gastaremos toda la renta, en otras palabras, nuestro consumo será igual a Renta/Precio Bien.
Respecto a los bienes discretos, o los que sólo pueden consumirse en unidades enteras, tendremos que realizar el gráfico y ver qué cesta es la mejor ya que no hay ningún procedimiento matemático para averiguarlo. Hay un aspecto que debemos tener en cuenta: la cesta óptima puede estar debajo de la recta presupuestaria, ya que es posible que no nos podamos permitir ninguna mejor.
Ilustración 6: En el gráfico de la izquierda, el punto óptimo es el A, pero en el de la derecha es cualquiera de la segunda curva de indiferencia ya que NO nos podemos permitir los de la tercera.
Funciones de Demanda: Sustitutivos Perfectos Primero realizaremos el caso más sencillo y después haremos el caso genérico. Si una unidad del bien se puede sustituir por una del otro -relación 1:1-, emplearemos un razonamiento lógico ya que no pueden usarse las matemáticas: si p1<p2 → m/p1 -toda la renta en x1x1= si p1=p2 → cualquier número entre 0 y m/p1 si p1>p2 → 0 -toda la renta en x2si p1<p2 → 0 -toda la renta en x1x2= si p1=p2 → (m-p1*x1)/p2 -La renta restante dividida por el precio del biensi p1>p2 → m/p2 -toda la renta en x2En un caso más general, debemos igualar la RMS y la pendiente de la restricción: -a/b = -p1/p2 → a = b*p1/p2 → a*p2 = b*p1 Entonces: si b*p1<a*p2 → m/p1 -toda la renta en x1x1= si b*p1=a*p2 → cualquier número entre 0 y m/p1 si b*p1>a*p2 → 0 -toda la renta en x2si b*p1<a*p2 → 0 -toda la renta en x1x2= si b*p1=a*p2 → (m-p1*x1)/p2 -La renta restante dividida por el precio del biensi b*p1>a*p2 → m/p2 -toda la renta en x2Otra opción es dibujar las curvas de indiferencia, averiguar la relación de sustitución, y razonar a partir de ahí. Ambos métodos son válidos.
Funciones de Demanda: Preferencias Cóncavas Sabemos que en este tipo de preferencias el consumidor consume UNO de los dos bienes. En consecuencia, elegirá el que tenga mejor relación utilidad-precio, como sucede con los sustitutivos.
Por ejemplo, si tenemos la función siguiente: U(x1,x2) = x1²+x2² se escogerá el producto más barato ya que ambos proporcionan la misma utilidad. No obstante, si disponemos de esta función: U(x1,x2) = x1²+2*x2² sólo escogeremos el bien x1 si cuesta menos del doble que x2. De forma genérica, tenemos que: U(x1,x2) = a*x1²+b*x2² Entonces: si b*p1<a*p2 → m/p1 -toda la renta en x1x1= si b*p1=a*p2 → Hay dos óptimos, m/p1 y m/p2.
si b*p1>a*p2 → 0 -toda la renta en x2- si b*p1<a*p2 → 0 -toda la renta en x1x2= si b*p1=a*p2 → Hay dos óptimos, m/p1 y m/p2.
si b*p1>a*p2 → m/p2 -toda la renta en x2El procedimiento anterior proviene de buscar la mejor relación utilidad-precio, por lo que también podemos encontrar funciones de demanda usando ese razonamiento.
La Elección de Impuestos Si queremos recaudar una determinada cantidad de dinero, tenemos dos opciones Nuestra restricción inicial es: p1*x1+p2*x2=m. Con un impuesto sobre la cantidad: (p1+t)*x1+p2*x2=m → p1*x1+t*x1+p2*x2=m → p1*x1+p2*x2=m-t*x1 Por tanto, la recaudación es R= t*x1 -impuesto*cantidad-. Con un impuesto a la renta: p1*x1+p2*x2=m – R Si dibujamos ambas restricciones: Apuntes Tema 5: La Demanda Introducción En el tema anterior, vimos cómo construir una función de demanda, que nos mostraba la cantidad o elección óptima de cada bien en función de la renta y los precios. En este capítulo, estudiaremos cómo varía la demanda de los bienes cuando cambia un elemento, como pueden ser los precios o la renta.
Esto se denomina estática comparativa, y consiste en comparar dos situaciones: una que represente el “antes” de la variación de un elemento y otra que represente el “después” de la variación de un elemento. Por ejemplo, podemos comparar una situación con renta X y otra con renta 3X.
La Variación de la Renta Dado que sólo hay tres elementos en nuestro modelo -la renta, el precio de un bien y el precio del otro bien- sólo tendremos que investigar lo que ocurre en estos tres casos.
Empezaremos preguntándonos qué sucede cuando la renta varía y los elementos restantes -los precios- son constantes. Así pues, si la renta aumenta, pueden pasar dos cosas, dependiendo de qué tipo de bien sea: • Bien Normal: Si la renta se incrementa, la demanda de este bien también aumenta. Son la mayor parte de los bienes, tales como jamón o refrescos.
• Bien Inferior: Si la renta se incrementa, la demanda de este bien disminuye. Un ejemplo serían las gachas o las chabolas -si tienes un mayor ingreso, puedes vivir en una casa mejor-.
También es posible que la demanda del bien no varíe cuando aumente la renta, pero para simplificar el análisis no tendremos en cuenta esta situación -que se da, entre otros, en males, neutrales y cuasilineales-.
Es útil representar gráficamente cómo afecta un cambio en la renta, en la elección óptima. Para ello, tenemos dos instrumentos: m x2 x1 x1 El primero -izquierda- es la curva de oferta-renta, que representa la elección óptima para distintos niveles de renta y unos precios constantes. También se le llama senda de expansión de la renta. El segundo -derecha- es la curva de Engel, que muestra la elección óptima de un bien en función de la renta.
La Variación de la Renta: Sustitutivos Perfectos Tras explicar los instrumentos básicos, vamos a hallar la curva de Engel para cada tipo de preferencias. La curva de oferta-renta no la encontraremos puesto que basta con dibujar varias restricciones y curvas de indiferencia y unir los puntos óptimos. Además, la curva de Engel es más útil. Dicho esto, para entender este tema es necesario saber cómo se obtienen las funciones de demanda, de modo que revíselo si tiene dudas.
Sabemos que las funciones de demanda para este tipo de preferencias son: si b*p1<a*p2 → m/p1 -toda la renta en x1x1= si b*p1=a*p2 → cualquier número entre 0 y m/p1 si b*p1>a*p2 → 0 -toda la renta en x2- si b*p1<a*p2 → 0 -toda la renta en x1x2= si b*p1=a*p2 → (m-p1*x1)/p2 -La renta restante dividida por el precio del biensi b*p1>a*p2 → m/p2 -toda la renta en x2Teniendo las funciones de demanda basta con aislar m -la renta- para cada caso: si b*p1<a*p2 → m/p1 -toda la renta en x1- → Curva Engel: m=p1*x1 x1= si b*p1>a*p2 → 0 → Curva Engel: m=0 -no se compra nada independientemente de la renta-.
x2= si b*p1<a*p2 → 0 → Curva Engel: m=0 -no se compra nada independientemente de la renta-.
si b*p1>a*p2 → m/p2 → Curva Engel: m=p2*x2 Es necesario observar que ya tenemos cuatro casos de los séis posibles, puesto que cuando la relación utilidad-precio es igual es más problemático. Por tanto, es mejor hacerlos por separado.
Cuando b*p1=a*p2, se consume cualquier cantidad entre 0 y m/p1. Esto significa que NO sabemos qué cantidad comprará el consumidor. Lo que sí sabemos es que, independientemente de la renta, consumirá cualquier cantidad entre 0 y m/p1. En consecuencia, para cualquier renta su consumo estará entre (0, m/p1): m x1 Es decir, la curva de Engel es horizontal y acaba en m/p1.
En el caso del bien x2, basta con aislar m: m− p1∗x1 x2= p2 x2∗ p2=m− p1∗x1 m= x2∗p2 p1∗x1 Este apartado se encuentra resumido en la siguiente tabla: Caso Curva de Engel x1 Curva de Engel x2 b*p1<a*p2 m = p1*x1 m=0 b*p1=a*p2 Horizontal, acaba en m/p1 m = p2*x2 + p1*x1 b*p1>a*p2 m=0 m = p2*x2 La Variación de la Renta: Complementarios Perfectos y Cobb-Douglas Las funciones de demanda de los complementarios son: b∗m x1= p1∗b p2∗a a∗m x2= p1∗b p2∗a Por tanto, sólo debemos aislar m en cada caso para obtener las curvas de Engel: b∗m a∗m x1= x2= p1∗b p2∗a p1∗b p2∗a x1∗ p1∗b p2∗a=b∗m x2∗ p1∗b p2∗a =a∗m x1∗ p1∗b p2∗a  x2∗ p1∗b p2∗a m= m= b a En el caso de las Cobb-Douglas, tenemos que: c∗m x1= p1∗c p1∗d d ∗m∗c x2= p2∗c 2 p2∗d Si aislamos m en cada caso para obtener las curvas de Engel: d∗m∗c c∗m x2= x1= p2∗c 2 p2∗d p1∗c p1∗d x1∗ p1∗c p1∗d =c∗m x2∗ p2∗c 2 p2∗d =d∗m∗c x1∗ p1∗c p1∗d  x2∗ p2∗c 2 p2∗d  m= m= c d ∗c La Variación de la Renta: Males y Neutrales Este caso es el más sencillo puesto que sus funciones de demanda son: Bien Neutral o Mal = 0 Otro Bien = Renta/Precio Por consiguiente, la curva de Engel será: Curva Engel Bien Neutral o Mal → Línea Vertical en el eje de ordenadas o de las y -para toda renta NO se consume nadaCurva Engel Bien no Neutral o Mal → m= bien*precio La Variación de la Renta: Cuasilineales Para este tipo de preferencias sólo podemos dar un procedimiento general ya que las funciones de utilidad pueden variar. Se trata simplemente de aislar la renta o m, pero hay que tener en cuenta que la demanda del bien cuasilineal -con una raíz o un logaritmopermanece constante a partir de una renta concreta. Por tanto, su curva de Engel será vertical a partir de cierto punto.
La Variación de la Renta: Preferencias Homotéticas Por último, existen varias preferencias con una característica interesante: si se duplica la renta, también lo hacen las cantidades óptimas. Este es el caso de las preferencias cóncavas, por ejemplo.
La Variación del Precio Ahora nos preguntaremos qué efectos origina un cambio en el precio -cuando los demás elementos se mantienen constantes- en las cantidades óptimas. Así pues, si el precio aumenta, pueden pasar dos cosas, dependiendo de qué tipo de bien sea: • Bien Ordinario: Si el precio se incrementa, la demanda de este bien se reduce.
Son la mayor parte de los bienes, tales como jamón o refrescos.
• Bien Giffen: Si el precio se incrementa, la demanda de este bien aumenta. Un ejemplo serían las gachas o las chabolas -ya que no puedes permitirte nada mejor-.
De forma similar a la variación de la renta, también podemos reflejar los cambios gráficamente: Precio x2 x1 Cantidad El primero -izquierda- es la curva de oferta-precio, que representa la elección óptima para distintos niveles de precios y los otros elementos constantes. El segundo -derechaes la curva de demanda, que muestra la elección óptima de un bien en función de su precio.
La Variación del Precio: Sustitutivos Perfectos Tras explicar los instrumentos básicos, vamos a hallar la curva de demanda para cada tipo de preferencias. Empezaremos con los sustitutivos. Si miramos sus funciones de demanda, observamos que la demanda dependerá del precio del bien x1 en relación al precio del bien x2.
Por tanto, si el precio del bien x2 es inferior, NO se demandará nada de x1; si son iguales se adquirirá cualquier cantidad entre 0 y m/p1; y si el precio de x1 es inferior se demandará m/p1. Así pues, para trazar la curva de demanda debemos representar estas tres situaciones: p1 a*p2<b*p1 a*p2 = b*p1 b*p1 < a*p2 x1 La Variación del Precio: Complementarios Perfectos y Cobb-Douglas Las funciones de demanda de los complementarios son: b∗m x1= p1∗b p2∗a a∗m x2= p1∗b p2∗a Por tanto, sólo debemos aislar el precio en cada caso para obtener las curvas de Demanda: a∗m x2= b∗m x1= p1∗b p2∗a p1∗b p2∗a x2∗ p1∗b p2∗a =a∗m x1∗ p1∗b p2∗a=b∗m x2∗ p1∗bx2∗ p2∗a=a∗m x1∗p1∗b=b∗m− x1∗ p2∗a x2∗ p1∗b=a∗m− x2∗ p2∗a b∗m− x1∗ p2∗a a∗m− x2∗ p2∗a p1= p2= x1∗b b∗x2 Con las preferencias Cobb-Douglas hacemos lo mismo: c∗m d ∗m∗c x1= x2= p1∗c p1∗d p2∗c 2 p2∗d x1∗ p1∗c p1∗d =c∗m x2∗ p2∗c 2x2∗ p2∗d =d∗m∗c x1∗p1∗c x1∗ p1∗d =c∗m p2 c 2∗x2 x2∗d =d ∗m∗c p1 x1∗c x1∗d =c∗m d ∗m∗c c∗m p2= 2 p1= c ∗x2x2∗d x1∗c x1∗d La Variación del Precio: Males y Neutrales Este caso es el más sencillo puesto que sus funciones de demanda son: Bien Neutral o Mal = 0 Otro Bien = Renta/Precio Por consiguiente, la curva de Demanda será: Curva Demanda Bien Neutral o Mal → Línea Vertical en el eje de ordenadas o de las y -para toda precio NO se consume nadaCurva Demanda Bien no Neutral o Mal → Precio = Renta/Cantidad Bien La Variación del Precio: Cuasilineales Para este tipo de preferencias sólo podemos dar un procedimiento general ya que las funciones de utilidad pueden variar. Se trata simplemente de aislar el precio o p1, pero hay que tener en cuenta que la demanda del bien cuasilineal -con una raíz o un logaritmo- permanece constante a partir de un precio concreto. Por tanto, su curva de Demanda será vertical a partir de cierto punto.
Bienes Sustitutivos y Complementarios Para finalizar, debemos definir qué es un bien sustitutivo -no perfecto- y uno complementario -no perfecto-. Dos bienes son sustitutivos cuando, si uno aumenta de precio, la demanda del otro sube. Dos bienes son complementarios cuando, si uno aumenta de precio, la demanda del otro baja.
Apuntes Tema 6: Preferencias Reveladas Introducción Hasta ahora, hemos visto cómo obtener la demanda a partir de las preferencias de los consumidores. En este tema, intentaremos encontrar las preferencias a partir de la demanda. Es decir, realizaremos el proceso contrario o inverso.
Axioma Débil de Preferencias Reveladas Este axioma o regla fundamental establece que si un individuo escoge A a B y podía comprar ambas; luego NO puede escoger B a A. Esto se hace para poder trabajar mejor con las preferencias. Un ejemplo gráfico sería el siguiente: Analíticamente, si el consumidor escoge lo siguiente durante tres días: p1 p2 x1 x2 Cesta Día I 1 2 1 2 X Día II 2 1 2 1 Y Día III 1 1 2 2 Z Podemos deducir la renta -mínima- que tenía cada día mediante lo que se gastó: Renta Día I = p1*x1+p2*x2 = 1*1 +2*2 = 5 Renta Día II = p1*x1+p2*x2 = 2*2+1*1 = 5 Renta Día II = p1*x1+p2*x2 = 2*1+2*1 = 4 El día 1 escogió la cesta X cuando también podía comprar la Y -ya que 2*1+1*2 =4, y tenía 5 para gastar-, de modo que deducimos que prefiere X a Y. La Z NO la podía comprar porque cuesta 6.
El día 2 escogió la cesta Y cuando también podía comprar la X -ya que 2*1+1*2 =4, y tenía 5 para gastar-, de modo que deducimos que prefiere Y a X. Esto invalida el axioma. La Z NO la podía comprar porque cuesta 6.
El día 3 escogió la cesta Z cuando también podía comprar la X e Y -ya que 2*1+1*1 =3, y tenía 6 para gastar-, de modo que deducimos que prefiere Z a X e Y. Esto NO invalida el axioma.
Axioma Fuerte de Preferencias Reveladas Establece que si un individuo revela, directa o indirectamente, que prefiere A a B NO puede revelar, directa o indirectamente, que prefiere B a A. Por ejemplo, Si A> C → C>B ya que sino se incumple este axioma.
Si este axioma se cumple, podemos obtener las preferencias a través de la demanda.
Apuntes Tema 7: La Ecuación de Slutsky Introducción Cuando el precio de un bien aumenta o disminuye, el consumo de este producto cambia. No obstante, es útil dividir o separar esta variación de consumo en dos partes para observar mejor qué efectos genera un cambio en el precio: • Efecto Sustititución: Muestra cómo afecta al consumidor un cambio en los precios con el MISMO poder adquisitivo. Es decir, si el consumidor pudiera comprar lo mismo que antes, cómo variaría el consumo.
Dicho de forma algo más técnica, el efecto sustitución indica el cambio en el consumo tras una variación de los precios relativos. Por ejemplo, si antes p1 era 3 y p2 era 1; si sacrificabas una unidad de x1 podías comprar 3 unidades de x2. En cambio, si después p2 es 3, sólo puedes comprar una unidad del bien 2 si dejas de comprar una del bien 1.
• Efecto Renta: Muestra de qué forma se ve afectado el consumo por una alteración del poder adquisitivo. Dado que si el precio de un bien baja puedes comprar una mayor combinación de bienes o cestas de consumo; tu poder adquisitivo aumenta. De forma similar, si el precio de un bien sube, tu poder adquisitivo disminuye al poder comprar una menor combinación de bienes.
Así pues, tras un cambio en los precios, puedes optar por elegir una cesta diferente. Ese cambio es medido por el efecto renta.
Pondremos un ejemplo gráfico para comprender esto mejor: Efecto Renta Efecto Sustitución La recta original es la negra, cuyo punto óptimo (A) es el de más a la izquierda. No obstante, el precio del bien uno sube drásticamente; de modo que estudiamos lo que ocurre en dos pasos: 1. Efecto Sustitución: Cambiamos la renta del consumidor, pero dejamos los nuevos precios, para que pueda permitirse adquirir el óptimo original (A). Sin embargo, el consumidor, dentro de su nueva restricción presupuestaria -la rojaelige el óptimo del medio (B), ya que le proporciona mayor utilidad.
2. Efecto Renta: Con los nuevos precios y la renta inicial, observamos cómo cambia su elección con su nueva restricción presupuestaria -azul-. En este caso, escoge el óptimo de la izquierda (C), puesto que los demás no puede adquirirlos.
Efecto Sustitución de Slutsky Explicados los efectos gráficamente, vamos a calcularlos numéricamente. Supongamos que tenemos las función de utilidad siguiente: U  x1 , x2= x1 x2 Calculamos sus funciones de demanda: Bien 1: y Bien 2: −1 −U ' x1 2∗ x1 −1 − p1 RMS = = = = U ' x2 1 p2 2∗ x1 p1∗x1 p2∗x2−m 1 p1 = p2 2 p1∗  p2∗x2−m 2∗ x1 p2 2 4∗ p1 p2 2 = p1 p2 2∗ x1   p2∗x2−m 4∗ p1 p2= p1∗2∗ x1 p2 2 p2∗x2∗4∗p1−m∗4∗ p1 p2 2 p2 2 2 x1= = m∗4∗p1− p2 2∗p1 4∗ p12 x2= 4∗ p1∗ p2 Siempre que m*4*p1-p2^2 >0.
Si p1=2 y p2=3, y m=60 los óptimos son: 2 p2 9 9 = = 2 4∗4 16 4∗ p1 m∗4∗p1− p2 2 60∗4∗2−9 471 x2= = = =19,625 4∗ p1∗ p2 8∗3 24 No obstante, imaginemos que p2 es ahora 4. Calculemos primero el efecto sustitución. Para ello, debemos saber cuánto ha de variar la renta para que el consumidor pueda comprar la misma cesta que antes: Variación Renta = Variación Precio * Cantidad Óptima Por tanto, ∆M = (4-3) * 19,625 = 19,625 Nueva Renta = Renta Inicial + Variación = 79, 625 Ahora calculamos de nuevo los óptimos con estos datos: p2 2 16 x1= = =1 2 4∗p1 4∗4 m∗4∗p1− p2 2 79,625∗4∗2−16 621 x2= = = =19,40625 4∗ p1∗ p2 8∗4 32 Y, por último, calculamos el efecto sustitución: Efecto Sustitución Bien = Nuevo Óptimo – Óptimo Anterior Por consiguiente, Efecto Sustitución Bien 1 = 1 – (9/16) = (7/16) Efecto Sustitución Bien 2 = 19,40625 – 19,625 = -(7/32) Así pues, los pasos para calcular el efecto sustitución son los siguientes: 1. Hallamos las funciones de demanda.
2. Encontramos el óptimo inicial.
3. Calculamos la variación de la renta con la que pueda adquirir el óptimo inicial.
4. Hallamos los óptimos con los nuevos precios y renta.
5. Calculamos la variación.
x1= Efecto Renta de Slutsky Para calcular el efecto renta, debemos hallar los óptimos con los NUEVOS precios y la renta INICIAL. Es decir, p1=2, p2=4 y m=60; entonces: 2 p2 9 9 x1= = = 2 4∗4 16 4∗ p1 m∗4∗p1− p2 2 60∗4∗2−16 464 x2= = = =14,5 4∗ p1∗ p2 8∗4 32 Y hallamos la variación respecto al efecto sustitución: Efecto Sustitución Bien = Nuevo Óptimo – Óptimo Efecto Sustitución Por consiguiente, Efecto Sustitución Bien 1 = (9/16) -1 = -(7/16) Efecto Sustitución Bien 2 = 14,5 - 19,40625 = -(157/32) Con todo esto, podemos calcular la variación total de la demanda: Variación Total Demanda Bien = Efecto Renta + Efecto Sustitución Entonces: Variación Total Bien 1 = -(7/16)+ (7/16) = 0 Variación Total Bien 2 = -(157/32) -(7/32) = -(164/32) Efectos de Hicks Al contrario que Slutsky, el efecto sustitución de Hicks mide cuánto ha de variar la renta para que el consumidor obtenga la misma utilidad que antes. El resto del proceso es exactamente el mismo y, en cuanto a sus cálculos, serán explicados en el próximo tema.
Clasificación de Bienes Separar el efecto de los bienes es útil ya que nos permite clasificarlos, es decir, establecer de qué tipo son según de qué signo sean los efectos. El siguiente esquema resume esta clasificación -los efectos se refieren a cuando sube el precio: Negativo (-) Negativo (-) Efecto Sustitución Bien Normal Efecto Renta Positivo (+) Bien Inferior Variación Total Positiva (+): Efecto Renta > -Efecto Sustitución Bien de Giffen La Ley de la Demanda De la ecuación de Slutsky podemos formular la ley de la demanda: si la demanda de un bien sube cuando aumenta la renta, debe bajar cuando aumenta su precio.
Apuntes Tema 8: El Excedente del Consumidor El Excedente del Consumidor El excedente del consumidor es una medida numérica de la utilidad, esto es, cuánto más grande es el excedente más utilidad posee el consumidor. Se define como la diferencia entre tu disposición a pagar o lo que ibas a pagar por el bien, y lo pagas en realidad.
A la hora de calcularlo, debemos calcular el área superior de la figura: P' P Sabemos que el área de un triángulo es (Base*Altura)/2. Entonces, para un precio y una cantidad cualquiera: Excedente del Consumidor = [Cantidad * (P'-P)]/2 Donde P es el precio pagado y P' es lo máximo que estás dispuesto a pagar.
Si queremos calcular la variación del excedente entre un precio y otro, basta con calcularlos por separado y restarlos. Es decir: Variación Excedente = Excedente 2 – Excedente 1 Variación Compensatoria Esta variación está íntimamente relacionada con el efecto sustitución de Hicks, y se pregunta, tras un cambio en los precios, cuánto ha de ser la renta para volver al nivel de utilidad inicial. Continuaremos con el ejemplo del tema anterior, tenemos que: U  x1 , x2= x1 x2 Con funciones de demanda y óptimos para p1=2, p2=3 y m=60: p22 9 9 x1= = = 2 4∗4 16 4∗ p1 m∗4∗p1− p2 2 60∗4∗2−9 471 x2= = = =19,625 4∗ p1∗ p2 8∗3 24 Tras esto, sustituimos la función de utilidad por las cantidades óptimas para saber qué utilidad nos otorga esta combinación de cestas: U  x1 , x2= x1x2= 9/1619,625=20,375 Ahora sustituimos esta misma función por las funciones de demanda e igualamos a la utilidad anterior: p2 2 m∗4∗p1− p2 2 16 m∗8−16 m∗8−16  =  =1 =20,375  x1x2= 2 4∗ p1∗ p2 16 32 32 4∗p1 m∗8−16 =20,375−1=19,375 32 m∗8−16=19,375∗32=620 m∗8=636 636 m= =79,5 8   Así pues, tenemos que la nueva renta ha de ser 79,5. Ahora haríamos lo mismo que Slutsky pero con esta renta; y así calcularíamos el efecto sustitución y renta de Hicks.
Variación Equivalente Esta variación mide cuál ha de ser la nueva renta para tener el mismo nivel de utilidad tras la variación de precios sin tener que cambiar los precios. Tomando como referencia el ejemplo anterior, si con la renta inicial y los nuevos precios los óptimos eran: p2 2 16 x1= = =1 2 4∗p1 4∗4 m∗4∗p1− p2 2 79,625∗4∗2−16 621 x2= = = =19,40625 4∗ p1∗ p2 8∗4 32 Calculamos su utilidad: U  x1 , x2= x1x2= 119,40625=20,40625 Y ahora realizamos el mismo proceso que con la variación compensatoria pero igualando a la utilidad anterior y NO cambiando los precios.
p2 2 m∗4∗p1− p2 2 9 m∗8−9 m∗8−9  =  =0,75 =20,40625  x1x2= 2 4∗ p1∗ p2 16 24 24 4∗p1 m∗8−9 =20,40625−0,75=19,65625 24 m∗8−9=19,65625∗24=471,75 m∗8=480,75 480,75 m= =60,09375 8   Apuntes Tema 9: La Demanda del Mercado La Demanda Agregada La función de demanda de un individuo es la que nos muestra, para unos precios y una renta cualquiera, la elección óptima del consumidor. Es decir, nos indica el consumo de un individuo para todo nivel de precios y renta.
Por ejemplo, si la demanda del bien x1 es: m x1= Y m= 100 y p1 es 2 , el individuo consumirá: 3p1 m 100 50 x1= = = 3p1 6 3 Por tanto, la función de demanda del mercado o demanda agregada nos permitirá saber el consumo de TODOS los consumidores para unos precios y una renta cualquiera .
Para calcularla, tenemos que sumar todas las funciones de demanda, pero prestando atención a los precios. Es importante fijarse en los precios ya que un individuo puede no consumir nada a partir de X precio, mientras que otro sí. Lo entenderemos mejor con un ejemplo.
Si tenemos las siguientes funciones de demanda: D1=30−3P D 2 =20−P D 3=50−2P En primer lugar, buscamos para qué precio NO consumirán nada. En otras palabras, a partir de qué precio consumirán cero. Para ello, igualamos la cantidad -D- a cero y aislamos el precio -P-. Así pues: D1=30−3P D 3=50−2P D 2 =20−P 0=30−3P 0=50−2P 0=20−P 3P=30 2P=50 P=20 P=10 P=25 En consecuencia, el consumidor 1 NO consumirá nada si el precio es mayor o igual a 10, el 2 hará lo mismo pero para un precio de 20, y el 3 para uno de 25. Dicho de otra forma: Precio Consumidor 1 Consumidor 2 Consumidor 3 Demanda Total P<10 √ √ √ Suma de Todas 10<P<20 X √ √ D2 + D3 20< P<25 X X √ D3 25< P X X X Ninguna Mediante la tabla anterior, podemos apreciar la función de demanda del mercado para cada nivel de precios, es decir, lo que demandarán todos los consumidores para cada precio. Expresándolo de forma matemática, tenemos que: Si P<10 → D1+D2+D3 = 100 -6P Si 10<P<20 → D2+D3 = 70 -3P Demanda Total = Si 20<P<25 → D3 = 50-2P Si 25<P → 0 La Elasticidad Precio Este tipo de elasticidad mide el grado de variación de la cantidad demandada con respecto a la fluctuación del precio. Es decir, esta elasticidad nos dice en qué proporción o porcentaje disminuye la cantidad demandada de X si aumentamos un punto porcentual (1%) el precio. La calculamos de la siguiente forma: ∂Q P ∂ D P P ∗ = ∗ =D ' P∗  ∂P Q ∂ P Q Q Es decir, la derivada respecto al precio de la función de demanda inversa (D) por (P/Q).
Destacar que la elasticidad siempre es negativa.
Según el resultado que nos dé la elasticidad, la demanda puede ser elástica si es inferior a -1 (es decir, -4 seria un valor de una demanda elástica), lo cual significa que la cantidad demandada disminuye más proporcionalmente que el porcentaje al que aumenta el precio. En consecuencia, si aumentáramos un 5% el precio, perderíamos MÁS del 5% de las ventas y nuestro ingreso total sería menor.
Por contra, la demanda es inelástica si la elasticidad se encuentra comprendida entre cero y -1, y nos encontramos ante el caso contrario: la cantidad demandada disminuye menos proporcionamente que el porcentaje al que aumenta el precio. En consecuencia, si aumentáramos un 5% el precio, perderíamos MENOS del 5% de las ventas y nuestro ingreso total sería mayor.
Elasticidad Precio = La Elasticidad Renta Este tipo de elasticidad mide el grado de variación de la cantidad demandada con respecto a la fluctuación de la renta. Es decir, esta elasticidad nos dice en qué proporción o porcentaje aumenta la cantidad demandada de X si incrementamos un punto porcentual (1%) el precio. La calculamos de la siguiente forma: ∂ X1 M M ∗ = x1' m∗  Elasticidad Renta = ∂M x1 x1 Es decir, la derivada respecto a la renta de la función de demanda por (M/x1).
Distinguimos tres opciones: • Bien Normal: Si la elasticidad renta es mayor que cero, lo que significa que con un euro más de renta consumes MÁS de ese bien.
• Bien Inferior: Si la elasticidad renta es menor que cero, lo que significa que con un euro más de renta consumes MENOS de ese bien.
• Bien de Lujo: Si la elasticidad renta es mayor que uno, lo que significa que con un euro más de renta te gastas más de un euro en ese bien.
Apuntes Tema 10: La Tecnología Los Factores de Producción Llamamos factores de producción a todos los elementos necesarios para producir, tales como la tierra, el trabajo, las materias primas o el capital. Es importante aclarar que el capital no es sólo el dinero o capital financiero, sino que es un término mucho más amplio que incluye las máquinas o los edificios.
A la hora de producir, una empresa tiene unas restricciones tecnológicas concretas.
Es decir, no podrá producir X unidades de un determinado bien con tan sólo una máquina y un trabajador, puesto que la máquina no lo permite.
Para saber todas las combinaciones posibles de factores y de producción, son muy útiles los conjuntos de producción. Estos conjuntos nos indican todos los niveles de producción -10 unidades, 20...- que se pueden conseguir con unos factores concretos.
Funciones de Producción No obstante, a la empresa no le interesan todos los niveles de producción; sino solo la cantidad máxima. Por tanto, utilizamos funciones de producción en lugar de conjuntos de producción. Este tipo de funciones nos indican la cantidad máxima de unidades que podemos fabricar con unos factores concretos -un trabajador, un empleado y dos máquinas...-. Un ejemplo de función de producción podría ser: y = x1+x2 donde x1 y x2 son unos factores cualquiera.
Si trazamos las curvas de nivel de la función o fijamos el valor de y, obtenemos las isocuantas. Las isocuantas nos indican todas las posibles combinaciones de factores para producir Y unidades. Lo entenderemos mejor mediante la siguiente tabla de valores: Y Comb. 1 Comb. 2 Comb. 3 Comb. 4 Comb. 5 Comb. 6 5 X1=2 x2=3 X1=3 x2=2 X1=1 x2=4 X1=4 x2=1 X1=0 x2=5 X1=5 x2=0 3 X1=3 x2=0 X1=1 x2=2 X1=2 x2=1 X1=0 x2=3 y=5 y=3 Existen tres tipos de funciones de producción: Tipo Formula Sustitutivos y=ax1+bx2 Puedes intercambiar un factor por otro a una tasa constante, ya que te da igual qué factor usar.
Complementarios y=min{ax1,bx2} Para producir, necesitas tener una proporción de ambos factores -el doble de x1 que de x2...Cobb-Douglas y=(x1^a)*(x2^b) Dibujo Por ultimo, conviene mencionar que las funciones de producción son convexas -producirás al menos lo mismo con una combinación de ambos factores que usando sólo uno- y monótonas -a más cantidad de factores, más producción-. También hay que insistir en el hecho de que NO podemos realizar transformaciones monótonas en estas funciones -multiplicar por 2, elevar a un número impar...-.
El Producto Marginal El producto marginal mide cuánto aumenta la producción si disponemos de una unidad más de un factor. Matemáticamente, se define como la derivada parcial de la función de producción respecto a ese factor. Es decir: Producto Marginal x1 = ∆Y/∆x1 = ∂Y/∂x1 = Y'x1 Producto Marginal x2 = ∆Y/∆x2 = ∂Y/∂x2 = Y'x2 La propiedad o característica más importante del producto marginal es que es decreciente. En otras palabras, si dispongo de dos máquinas y un trabajador, y pongo un trabajador más la producción aumentará notablemente. Pero si pongo un millón de trabajadores más la producción no aumentará ya que hay muy pocas máquinas para tantos trabajadores.
La Relación Técnica de Sustitución (RTS) Si aislamos la variación de Y (∆Y) de los dos productos marginales, tenemos que: ∆Y1= Producto Marginal x1 * ∆x1 ∆Y2= Producto Marginal x2 * ∆x2 Si alteramos ambos factores para producir lo mismo: ∆Y = ∆Y1+∆Y2 = Producto Marginal x1 * ∆x1 + Producto Marginal x2 * ∆x2 = 0 Producto Marginal x1 * ∆x1 = -Producto Marginal x2 * ∆x2 ∆x2/∆x1 = -Producto Marginal x1/Producto Marginal x2 = RTS La relación técnica de sustitución nos indica cuántas unidades de x2 ha de obtenerla empresa para seguir produciendo lo mismo tras renunciar a una de x1. También es la pendiente de la isocuanta. Como vemos, es muy similar a la relación marginal de sustitución ya vista anteriormente.
Rendimientos de Escala Si doblamos la cantidad de ambos factores, pueden ocurrir tres situaciones distintas: • Rendimientos Constantes de Escala: La producción se dobla o queda multiplicada por 2. Matemáticamente: F(2x1,2x2) = 2*F(x1,x2) De forma genérica, para cualquier número t: F(tx1,tx2) = t*F(x1,x2) Un ejemplo seria: F = x1∗ x2 F(2x1,2x2) =  2x1∗ 2x2=2∗ x1∗ x2 2* F (x1,x2) = 2∗ x1∗ x2 Por tanto, F(2x1,2x2) = 2*F(x1,x2) • Rendimientos Crecientes de Escala: La producción es MÁS del doble.
Matemáticamente: F(2x1,2x2) > 2*F(x1,x2) De forma genérica, para cualquier número t: F(tx1,tx2) > t*F(x1,x2) Un ejemplo seria: F =x1∗x2 F(2x1,2x2) = 2∗x1∗2∗x2=4∗x1∗x2 2* F (x1,x2) = 2∗x1∗x2 Por tanto, F(2x1,2x2) > 2*F(x1,x2) • • • • Rendimientos Decrecientes de Escala: La producción es MENOS del doble.
Matemáticamente: F(2x1,2x2) < 2*F(x1,x2) De forma genérica, para cualquier número t: F(tx1,tx2) < t*F(x1,x2) Un ejemplo seria: F =3 x1∗3 x2 F(2x1,2x2) = 3 2∗x1∗3 2∗x2=3 4∗3 x1∗3 x2 2* F (x1,x2) = 2∗3 x1∗3 x2 Por tanto, F(2x1,2x2) < 2*F(x1,x2) Para las funciones Cobb-Douglas, podemos establecer la siguiente regla: Si a+b =1: Rendimientos constantes de escala.
Si a+b <1: Rendimientos decrecientes de escala.
Si a+b >1: Rendimientos crecientes de escala.
Apuntes Tema 11: La Maximización del Beneficio Los Beneficios y los Mercados Competitivos Antes de comenzar, conviene explicar qué es un mercado competitivo. Para que un mercado sea competitivo tiene que cumplir dos características básicas: primero, que los bienes que se ofrecen a la venta sean todos iguales -homogéneos- y segundo, que haya tantos demandantes y oferentes de forma que ninguno pueda influir en el precio.
Dicho esto, el principal objetivo de una empresa es maximizar beneficios, que se definen como los ingresos menos los costes. Supondremos, además, que el mercado de factores y el de su producto son competitivos.
Por último, es necesario diferenciar el corto y el largo plazo: • Corto Plazo: Uno de los factores es fijo, es decir, NO puede modificarse la cantidad que usarás.
• Largo Plazo: Todos los factores son variables, esto es, pueden modificarse las cantidades que usarás de ellos.
La Maximización del Beneficio a Corto Plazo Los ingresos de una empresa están dados por la siguiente ecuación: Ingresos = Precio (P) * Producción (Y) = P*Y Mientras que los costes son: Costes = Precio Factor 1 (w1)*Factor 1 (x1) + Precio Factor 2 (w2)*Factor 2 (x2) + […] El beneficio es, por tanto: Beneficio = Ingresos – Costes Si suponemos que sólo hay dos factores y uno (x1) es fijo, tenemos que: Beneficio (B) = p*y – w1*x1 -w2*x2 Dado que la producción (y) es una función de x1 y x2: B = p*F(x1,x2) -w1*x1-w2*x2 Si maximizamos respecto a x2: B'x2 = p*(F'x2) -w2 = 0 p*(F'x2) = w2 Como F'x2 es el producto marginal: p* Producto Marginal x2 = w2 Es decir, la condición de maximización del beneficio a corto plazo es que el producto marginal por el precio del producto sea igual al precio del factor. En otras palabras, la empresa, a corto plazo, produce hasta llegar a un punto donde le es indiferente adquirir una unidad más de x2 ya que NO ganará nada -no tendrá beneficio-.
Poniendo un ejemplo numérico de lo anterior, si tenemos la función de producción siguiente: Y=x1*x2² La función de beneficios es: B = p*x1*x2² -w1*x1-w2*x2 = 0 Si el factor x1 está fijo: 2p*x1*x2=w2 Hallamos el x2 óptimo: w2 x2= 2∗p∗x1 Lo anterior es la cantidad óptima, la que nos permitirá maximizar los beneficios, según el precio del factor 2 (w2), el precio del producto (p) y el factor fijo (x1). Es decir, si w2 fuera 4, p fuera 1 y x1 fuera 1: w2 4 x2= = =2 2∗p∗x1 2∗1∗1 Hay que usar dos unidades de x2 para maximizar el beneficio.
Si tomamos la función de beneficios: B = p*y – w1*x1 -w2*x2 Y hallamos y, tenemos que: Bw1∗x1w2∗x2 y= p La anterior ecuación proporciona las rectas isobeneficio, esto es, todas las combinaciones de factores y producción que generan un mismo nivel de beneficio. Hay que aclarar que uno de los factores es fijo, pues aún nos encontramos en el corto plazo.
Gráficamente, también podemos interpretar la maximización de beneficios a corto plazo como la búsqueda del punto donde la función de producción y la recta isobeneficio son tangentes.
La Estática Comparativa Con la ecuación de las rectas isobeneficio, podemos preguntarnos qué ocurre si el precio del factor variable se incrementa. Si el precio es más alto, costará más dinero comprar el factor y, por tanto, el punto de indiferencia en el que nos da lo mismo comprar una unidad más de ese elemento será inferior.
En consecuencia, cuando el precio de un factor sube, su demanda baja ya que, como los costes son mayores, produciremos menos y usaremos menos unidades del factor variable.
Además, como el precio del factor variable es mayor, debemos cobrar un precio más alto por nuestro producto. Es decir, p se incrementa cuando el precio del factor variable sube.
La Maximización del Beneficio a Largo Plazo Sabemos que los beneficios de una empresa son: B = p*F(x1,x2) -w1*x1-w2*x2 Como a largo plazo todos los factores son variables, maximizamos respecto a x1 y x2: B'x1 = p*(F'x1) -w1 = 0 B'x2 = p*(F'x2) -w2 = 0 p*(F'x1) = w1 p*(F'x2) = w2 O también: p*Producto Marginal x1 = w1 p* Producto Marginal x2 = w2 Poniendo un ejemplo numérico de lo anterior, si tenemos la función de producción siguiente: Y=x1²*x2² La función de beneficios es: B = p*x1²*x2² -w1*x1-w2*x2 = 0 Derivamos respecto a x1 y x2: 2*p*x2²*x1 = w1 2*p*x1²*x2 = w2 Hallamos x2: w2 x2= 2 2∗p∗x1 Lo sustituimos en la otra ecuación y encontramos x1: 2 w2 2∗p∗  ∗x1=w1 2 2∗ p∗x1 w2 2 w2 2 ∗x1= =w1 2∗ p∗x1 4 2∗p∗x13 w22=2∗p∗x13∗w1 w22 x1 = 2∗p∗w1 3 w2 2 x1= 3   2∗ p∗w1 Sustituimos lo anterior en x2: w2 w2 x2= = 2 2 3 2∗p∗x1 w22  2∗ p∗ 3   2∗ p∗w1 w2 x2= 3 2∗ p∗ w24 3 3 4∗p 2∗w12 3 2∗p∗ w2 x2= 3  4∗p 2∗w12 3 x2=  2∗p∗w2 3 w12 Y tenemos que la elección óptima de factores es la siguiente: 3 w2 2 x1= 3  2∗ p∗w1 x2= 3 2∗ p∗w2 3 w12 Si los ponemos en la función de producción obtenemos la producción óptima: 3 w22 2 3  ∗  2∗p∗w2   2∗p∗w1 3 w12 3 w24 ∗ 3 4∗ p 2∗w2 2  Y = 3  4∗3 p2∗w12 3 3 w14 w2 4 w2 2 w22 Y = 3 2 ∗ 3 4 = 2  w1  w1 w1 2 2 Y =x1 ∗x2 = 3 2 Para saber cuál es el nivel de beneficios que proporciona, basta con sustituir la producción y los factores en la función de beneficios. Por ejemplo, si w1=w2=1 y p=27: w22 Y = 2 =1 w1 3 3 2 w22 1 2   x1= 3 =3 =  2∗p∗w1  2∗27 6 3 2∗p∗w2 3 2 =3∗3 2 =3∗ 1 3 w12 Por tanto, el beneficio es: x2=  3 2 2  3 B= p∗y−w1∗x1−w2∗x2=27− −3∗ 2=23 6 Apuntes Tema 12: La Minimización del Coste Introducción Maximizar beneficios o minimizar costes acaba conduciéndonos hacia el mismo lugar.
No obstante, mientras que en el primer caso buscamos la producción óptima, para el segundo buscamos la mejor manera de producir una producción concreta -20 unidades, 30...-. Es decir, el problema de minimización de costes escoge primero la forma más barata de producir y, después, debemos hallar la producción más rentable o que genera mayores beneficios.
Ya vimos en el tema anterior que los costes vienen dados por: Costes = Precio Factor 1 (w1)*Factor 1 (x1) + Precio Factor 2 (w2)*Factor 2 (x2) + […] Por lo que, para minimizarlos, simplemente debemos minimizar la función anterior sujeto a una producción concreta.
Minimización de Costes a Corto Plazo En el corto plazo, un factor es fijo, es decir, NO podemos alterar la cantidad que usamos de él. En este caso, supondremos que x1 es el factor fijo. Por tanto, nuestro problema es: Minimizar x2 C = w1*x1+w2*x2 sujeto a Y = F(x1,x2) -función de producción genérica-.
La primera opción que tenemos es plantear el sistema de Lagrange: L=w1∗x1w2∗x2−W ∗ F  x1 , x2− y  Derivamos y ya tenemos un sistema de dos variables: L ' x2=w2=W ∗ F ' x2 Y =F  x1 , x2 Resolveríamos lo anterior para obtener la cantidad de x2 que minimiza el coste para una producción y.
Otra opción es aislar x1 de la restricción, sustituirlo en la función de costes y optimizar: y x1= F  x2 y C=w1∗ w2∗x2 F  x2 c ' x2=0 La última opción de todas es plantear un sistema mediante la función de producción y RTS = (-w1/w2). Más adelante, en la explicación gráfica de la minimización de costes, explicaremos de dónde proviene la segunda igualdad. Es decir: Y =F  x1 , x2 F ' x1 w1 = F ' x2 w2 Las tres opciones han de dar el mismo resultado. Poniendo un ejemplo numérico, que resolveremos de las tres maneras posibles, si tenemos la siguiente función de costes y de producción: Min x2 C = w1*x1 + w2*x2 s.a. Y = x1*x2 Hallaremos x1 de la función de producción y lo sustituiremos en la función de costes. Esto es: C=w1∗x1w2∗x2 Y Y =x1∗x2  x1= x2 Y w1∗Y C=w1∗ w2∗x2= w2∗x2 x2 x2 −w1∗Y C ' x2= w2=0 x22 w1∗Y x2 2 C ' x2=w2∗x2 2=w1∗Y w1∗Y x22= w2  w1∗Y x2=  w2 Y lo anterior es la elección óptima de x2 que minimiza los costes para cualquier producción y.
C ' x2=w2= Minimización de Costes a Largo Plazo El problema es muy similar al anterior, pero, al encontrarnos en el largo plazo, ambos factores son variables. Por tanto, minimizaremos respecto a ambos factores usando las mismas técnicas que antes.
Un ejemplo numérico seria el siguiente: C=w1∗x1w2∗x2 Y Y =x1∗x2  x1= x2 Y w1∗Y C=w1∗ w2∗x2= w2∗x2 x2 x2 −w1∗Y C ' x2= w2=0 x22 w1∗Y C ' x2=w2= x2 2 2 C ' x2=w2∗x2 =w1∗Y w1∗Y x22 = w2 w1∗Y x2=   w2 Hallamos x1:  w1∗Y = Y∗ w2 = Y ∗w2 x1=Y ÷  w2  w1∗Y  w1 Así pues, tenemos que los óptimos son: Y ∗w2 w1∗Y x1=  x2=   w1  w2 Las funciones anteriores se llaman demandas condicionadas de los factores, y están expresadas en función de la producción (Y). Con ellas, podemos hallar la producción que maximiza los beneficios: B= p∗y−costes= p∗x1∗x2−w1∗x1−w2∗x2  Y ∗w2 ∗  w1∗Y −w1∗ Y ∗w2 −w2∗  w1∗Y  B= p∗  w1  w2  w1  w2 B= p∗ Y ∗ Y −  w1∗Y ∗w2− w2∗w1∗Y = p∗Y −2∗ w1∗Y ∗w2 w1∗w2 B ' y = p−  =0  p∗ Y = w1∗w2 Y w1∗w2 Y= p2 Y ya tenemos la producción óptima, la que maximiza los beneficios.
Minimización de Costes Gráficamente Si tenemos una función de coste cualquiera: C = w1*x1 + w2*x2 y aislamos x2: C−w1∗x2 x2= w2 Obtenemos la ecuación de las rectas isocoste, esto es, todas las combinaciones de factores que tienen el mismo coste -muy similar a la recta isobeneficio-. Dado que queremos minimizar costes, queremos hallar la recta isocoste más baja dada una producción concreta -10, 20...-.
Dicho de forma técnica, queremos encontrar donde la isocuanta -curva de nivel de la función de producción- y la ecuación de la recta isocoste son tangentes. En otras palabras, el punto donde las pendientes de ambas rectas son iguales. En consecuencia, tenemos que: Pendiente Isocoste (-w1/w2) = Pendiente Isocuanta (RTS) RTS = -w1/w2 Minimización de Costes: Sustitutivos Como ocurría con los bienes sustitutivos, cuando tenemos una función de producción del tipo: Y = ax1+bx2. Debemos buscar el factor con la mejor relación cantidad/precio.
Dicho de otra forma, el óptimo de cada factor dependerá de su precio: si bw1<aw2 → Y=ax1 -sólo usaremos el factor x1x1 = si bw1=aw2 → Y=ax1+bx2 -usaremos cualquier combinación de ambos factoressi bw1>aw2 → Y=bx2 -sólo usaremos el factor x2si bw1<aw2 → Y=ax1 -sólo usaremos el factor x1x2 = si bw1=aw2 → Y=ax1+bx2 -usaremos cualquier combinación de ambos factoressi bw1>aw2 → Y=bx2 -sólo usaremos el factor x2Por tanto, dependiendo del precio, usaremos un factor u otro. Por ejemplo, si: Y = x1+x2 y w1=1 y w2=300 Dado que w1<w2, sólo usaremos el factor x1. Es decir: Y=x1 Lo sustituimos en la función de costes: C = w1*x1 = w1*y = y Por consiguiente, el mínimo coste para producir una producción Y es y. En otras palabras, si producimos 10 tenemos un coste de 10; si fabricamos 20, de 20...
Minimización de Costes: Complementarios De forma similar a la teoría del consumidor, si tenemos una función del tipo: Y = mín {ax1,bx2} Debemos buscar la manera más barata de producir Y unidades. Dado que los factores son complementarios, para producir deberemos usar a unidades de x1 y b unidades de x2. Por tanto: Y= ax1 = bx2 Si hallamos x1 y x2: x1 = (Y/a) x2 = (Y/b) Lo ponemos en la función de costes: w1∗Y w2∗Y C=w1∗x1w2∗x2=  a b Y obtenemos el coste mínimo para producir Y unidades.
Apuntes Tema 13: Curvas de Costes Tipos de Costes Las curvas de costes son representaciones gráficas de las funciones de costes. Pese a que tengamos una función de coste total, existen varios tipos de costes: • Coste Fijo: Los que se pagan siempre, independientemente de si produces o no, como el alquiler.
• Coste Variable: Los que dependen de la cantidad producida.
• Coste Marginal: El coste de producir una unidad más. Es la derivada respecto a y.
Si tenemos la función de costes siguiente: Coste=Y 210 Podemos calcular los tipos de coste mencionados: • Coste Fijo: 10.
• Coste Variable: Y² • Coste Marginal: C'Y = 2*Y Existen otros costes interesante, los costes medios, que nos indican cuánto dinero vale producir una unidad. De este modo: Costes Medios = Coste Total / Producción A su vez, hay dos tipos de coste medio: • Coste Fijo Medio = Coste Fijo / Producción • Coste Variable Medio = Coste Variable / Producción En la función anterior: Y 210 10 Por consiguiente: Coste Medio= =Y  Y Y Coste Fijo Medio = 10/y Coste Variable Medio = Y Curvas de Coste Explicados los costes, podemos representarlos gráficamente: Siendo: • Gris: Coste Marginal, pasa por el mínimo del coste total medio y el coste variable medio. Además, empieza en el mismo punto que el coste variable medio.
• Verde: Coste Fijo Medio.
• Rojo: Coste Total Medio.
• Azul: Coste Variable Medio.
Por último, la curva de costes medios a largo plazo -donde todos los factores son variables- envuelve las curvas de costes medios a corto plazo. Esto es así puesto que, como a largo plazo podemos ajustar los factores y a corto no, en el largo plazo nuestro coste será como máximo el coste a corto plazo. En consecuencia: Siendo la roja los costes a corto plazo y la azul a largo. Podemos apreciar que la curva de largo plazo pasa por todos los mínimos de las curvas a corto plazo.
Apuntes Tema 14: La Oferta de la Empresa y de la Industria La Oferta de la Empresa a Corto Plazo Dado que estamos en el corto plazo, un factor de producción es fijo, por lo que tendremos que pagar unos costes produzcamos o no produzcamos. Es decir, deberemos pagar unos costes fijos.
Además, recordemos que nos encontramos en un mercado perfectamente competitivo. Como en este tipo de mercado la empresa NO puede influir en el precio, debe vender al precio del mercado. En otras palabras: Precio = Coste Marginal Si el precio del mercado fuera superior al coste marginal, una empresa entraría en el mercado y haría que bajara. Por contra, si fuera inferior, las empresas tendrían pérdidas e irían cerrando.
Otra forma de verlo es que la empresa podría obtener más beneficios produciendo más si el precio es superior al coste marginal o, si fuera inferior, podría incrementarlos fabricando menos. En consecuencia, la empresa fabrica hasta el punto donde le es indiferente producir una unidad más, puesto que no ganará nada.
No obstante, hay otro aspecto a considerar para la empresa: tal vez no resulte rentable producir. En otras palabras, quizá estaría mejor no produciendo nada. Por tanto, debemos ver si los beneficios son inferiores o superiores a los costes fijos. Sabemos que: Beneficios = p*y – Costes Fijos – Costes Variables Si Beneficios < -Costes Fijos, la empresa NO producirá nada.
Si Beneficios > -Costes Fijos, la empresa fabricará.
Si ordenamos la desigualdad: p*y – Costes Fijos – Costes Variables > – Costes Fijos p*y – Costes Variables > 0 p*y > Costes Variables p > Costes Variables/Y = Costes Variables Medios Por consiguiente: Si Precio < Costes Variables Medios → 0 Oferta = Si Precio > Costes Variables Medios → Y Lo entenderemos mejor con un ejemplo. Si tenemos la función de costes siguiente: C = Y³ + 200Y Calculamos los costes variables medios -dividiendo por Y-: Costes Variables Medios = Y² + 200 Por tanto: Si Precio < Y² + 200 → 0 Oferta = Si Precio > Y² + 200 → Y La Oferta de la Empresa a Largo Plazo Como en el caso anterior: Precio = Coste Marginal A largo plazo, una empresa sólo producirá si no tiene pérdidas. Es decir, sólo fabricará si sus ingresos son superiores a sus costes. Además, como el mercado es perfectamente competitivo, los beneficios son nulos.
P*Y = Costes P = Costes Medios A su vez, la empresa querrá producir con los mínimos costes. Como la curva de coste marginal pasa por el mínimo del coste medio, para hallarlos debemos resolver la siguiente igualdad: Costes Medios = Coste Marginal Por tanto, la oferta será: Si Precio < Costes Medios Mínimos → 0 Oferta = Si Precio > Costes Medios Mínimos → Y Lo entenderemos mejor con un ejemplo. Si tenemos la función de costes siguiente: C = Y³ Calculamos los costes variables medios -dividiendo por Y- y los marginales: Costes Medios = Y² Costes Marginales = 3 Y² Igualamos el coste marginal y el coste medio para hallar el mínimo: Y² = 3Y² → 2Y² = 0 Tenemos un caso algo peculiar, ya que el mínimo coste lo tenemos cuando NO fabricamos nada. Sin embargo, queremos hallar el mínimo coste cuando fabricamos, de modo que debemos hallar el coste mínimo para fabricar una unidad: Coste Marginal una Unidad = 3 Así pues: Si Precio < Costes Medios Mínimos = 3 → 0 Oferta = Si Precio > Costes Medios Mínimos = 3→ Y En consecuencia, es rentable fabricar si el precio es igual o superior a 3.
El Excedente del Productor Si tenemos la siguiente función de oferta y el precio es P': P' CM El excedente es el área destacada en azul, esto es: Excedente del Productor = [(Precio – Coste Marginal) * Cantidad]/2 La Oferta de la Industria De forma similar a la demanda agregada, para construir la oferta agregada o total de la empresa debemos fijarnos en los precios. Es decir, debemos mirar a partir de qué precio les resulta rentable vender. Por ejemplo, si tenemos las siguientes ecuaciones de oferta: O1=P−5 O 2=5P−5 O 3=P−2 Igualamos la oferta a cero y hallamos a partir de qué precio les resulta rentable producir: 0=P−5 0=5P−5 0=P−2 P=5 P=1 P=2 Y, con ello, construimos la oferta agregada tal como hacíamos con la demanda: Si P<1 →0 Si 1<P<2 → O2 = 5P-5 Oferta Total = Si 2<P<5→ O2+O3 = 6P -7 Si 5<P → O1+O2+O3 = 7P – 12 Apuntes Tema 15: El Equilibrio Parcial El Equilibrio Llamamos equilibrio al punto donde la oferta y la demanda se igualan. El precio de equilibrio es el precio en ese punto, mientras que la cantidad de equilibrio es la cantidad en ese punto. Por ejemplo, si tenemos las siguientes funciones de oferta y demanda: D=20− P O=P Si igualamos: 20 20−P=P  P= =10 2 Por tanto, el precio de equilibrio es 10. Hallamos la cantidad de equilibrio: Q=20−10=10 Q=10 Como vemos, tanto si lo encontramos a través de la función de oferta como de la demanda, la cantidad de equilibrio es la misma. Y calculamos los excedentes.
Excedente del Consumidor = (10*10)/2 = 50 Excedente del Productor = (10*10)/2 = 50 Impuestos Si ponemos un impuesto de cuatro euros por unidad vendida -a los productores-, su coste aumentará en 4. Es decir: D=20−P O ' =P−4 Si igualamos: 24 20−P=P−4  P ' = =12 2 Q ' =8 Como vemos, la cantidad de equilibrio disminuye cuando aplicamos el impuesto mientras que el precio de equilibrio aumenta. Además, es indiferente si se le ponemos al consumidor o al productor ya que obtenemos el mismo efecto. Si calculamos los excedentes: Excedente del Consumidor = (8*8)/2 = 32 Excedente del Productor = (8*8)/2 = 32 Recaudación Impuesto = Impuesto * Cantidad = 4*8=32 Comprobamos que el impuesto hace disminuir los excedentes del consumidor y del producto. Además, genera una pérdida irrecuperable de eficiencia ya que la recaudación no compensa esa pérdida. Es decir: Pérdida Ir. Ef. = 50 + 50 -32*3 = 4 En cuanto a la distribución del impuesto entre el consumidor y el productor, quien sea más sensible al precio MENOS soportará el impuesto. En otras palabras, a mayor elasticidad menos soportas el impuesto.
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