Prácticas + Exámenes resueltos 1998-2006 (2014)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Àlgebra i geometria
Año del apunte 2014
Páginas 1077
Fecha de subida 13/08/2014
Descargas 4

Vista previa del texto

Àlgebra i Geometria Eng. Camins, Canals i Ports Resolucions de totes les pràctiques i exàmens penjats a l’algweb.
Teoria Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports ` 1. NOCIONS BASIQUES 1.1. Fonaments de l` ogica Aqu´ı tractarem la l` ogica formal que ´es la ci`encia que estudia el raonament deductiu. Treballarem amb proposicions (o enunciats) que s´ on frases amb sentit i valorables, ´es a dir, que sense ambig¨ uitat podem dir que s´on certes o falses,les representarem amb les lletres p, q, r, . . ..
Exemple 1.1.1: (proposicions) p : Tot nombre natural ´es parell o ´es primer.
(´es una proposici´ o falsa ja que podem trobar nombres naturals, per exemple 9 o 15 que no s´on cap de les dues coses) q : Si x ≥ 1, llavors 0 < 1/x ≤ 1 (podem demostrar que ´es certa) Algweb Definici´ o 1.1.1: A partir de proposicions en podem formar d’altres m´es complicades utilitzant nexes gramaticals que en direm connectors l` ogics (o connectives). Estudiarem cinc connectives: Negaci´ o: no p ¬p Conjunci´ o: piq p∧q Disyunci´ o: poq p∨q Condicional: Si p llavors q Bicondicional: p si i nom´es si q p⇒q p ⇐⇒ q Notacions: La proposici´ o q ⇒ p direm que ´es la rec´ıproca , i (¬q) ⇒ (¬p) la contrarec´ıproca de p ⇒ q (que tamb´e l’escriurem com q ⇐ p).
Per definir aquestes connectives hem de dir com act´ uen sobre la veritat o falsedat de les proposicions que uneixen. Admetem dos principis b` asics: Principi de no contradicci´ o: una proposici´o i la seva contraria (la seva negaci´o) no poden ser ambdues certes.
Principi de ter¸ c excl` os: una de les dues proposicions p o ¬p ´es certa.
Segons aquests principis tindrem que si la proposici´o p ´es certa, llavors ¬p ´es falsa, i si p ´es falsa, ¬p ´es certa. Aquest significat de la connectiva negaci´o es representa en la seg¨ uent taula de veritat: p ¬p V F F V Per la cojunci´ o nom´es admetrem que p ∧ q ´es certa si les dues proposicions s´ on certes.Per la disyunci´o considerarem que p ∨ q ´es falsa nom´es quan les dues proposicions s´on falses. En el cas del condicional p ⇒ q nom´es ser`a falsa quan la primera sigui certa i la segona falsa. Finalment en el bicondicional suposarem que ´es cert si les dues proposicions s´ on certes alhora o falses alhora. Tot aix´ o queda definit en les seg¨ uents taules de veritat: p q p∧q p∨q p⇒q p ⇐⇒ q V V F F V F V F V F F F V V V F V F V V V F F V Usant proposicions i connectives s’obtenen proposicions m´es complicades (expressions proposicionals) de les quals podem establir la seva taula de veritat en funci´ o de la veritat o falsedat de les proposicions elementals que la integren.
Exemple 1.1.2: Siguin les proposicions p, q, r. A partir d’elles en formem un altra de m´es complicada: (p ∨ q) ∧ (¬p ⇒ r) ⇒ q Algweb per saber quan ser` a certa o falsa obtenim la seva taula de veritat: p q r V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F (p ∨ q) ∧ (¬p ⇒ r) ⇒ q V V V V V V F F V V V V V F F F V V V V V F V F V V F F V V V V Definici´ o 1.1.2: Direm que una expressi´o proposicional ´es una tautologia si sempre ´es certa independentment de la veritat o falsedat de les proposicions elementals que la integren.
Definici´ o 1.1.3: Direm que una expressi´ o proposicional ´es una contradicci´ o si sempre ´es falsa independentment de la veritat o falsedat de les proposicions elementals que la integren.
Exemple 1.1.3: 1) p ∨ (¬p) ´es una tautologia.
2) p ∧ (¬p) ´es una contradicci´o.
3) p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q ´es una tautologia.
Definici´ o 1.1.4: Siguin A i B expressions proposicionals, direm que A implica l` ogicament B, o que B´ es conseq¨ u` encia l` ogica de A si la proposici´o A ⇒ B ´es una tautologia.
Notaci´ o: Si A implica l`ogicament B direm que A ´es condici´ o suficient de B, i que B ´es condici´ o necess` aria de A.
Definici´ o 1.1.5: Direm que de les proposicions p1 , p2 , . . . , pn es dedueix la proposici´ o p, si p ´es conseq¨ u`encia l`ogica de (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ), ´es a dir, que la seg¨ uent expressi´ o ´es una tautologia: (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ) ⇒ p Definici´ o 1.1.6: Siguin A i B expressions proposicionals, direm que s´ on l` ogicament equivalents si la proposici´ o (A ⇐⇒ B) ´es una tautologia.
Notaci´ o: Direm que A ´es una condici´ o necess` aria i suficient de B.
Exemple 1.1.4: (Tautologies) 1) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇐⇒ (p ⇐⇒ q) 2) (p ⇒ q) ⇐⇒ (¬q) ⇒ (¬p) 3) (p ⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ (¬q)) ⇒ (¬p) 4) (p ⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ (¬q)) ⇒ q La forma general de les proposicions que haurem de demostrar ser`a de dos tipus: a) p ⇒ q b) p ⇐⇒ q Algweb Per` o gr` acies a la tautologia 1, les expressions del tipus b) es reduiran a dues del tipus a): p ⇒ q, i q ⇒ p (que en direm la rec´ıproca de l’anterior).
M`etodes per demostrar que la proposici´o p ⇒ q ´es certa: 1.- Forma directa: Utilitzarem la seva taula de veritat. Si p ´es falsa ja sabem que p ⇒ q ´es certa.
Llavors considerarem el cas de que p sigui certa i justificarem que q tamb´e ho ´es.
2.- Pel contrarec´ıproc: A partir de la tautologia 2) sabem que demostrar que p ⇒ q ´es certa ´es el mateix que demostrar que ´es certa la seva contrarec´ıproca: (¬q) ⇒ (¬p) 3.- Per reducci´ o a l’Absurd: Ara utilitzarem les tautologies 3) i 4) i demostrarem que ´es certa una de les dues proposicions seg¨ uents: 3.1) (p ∧ (¬q)) ⇒ (¬p) 3.2) (p ∧ (¬q)) ⇒ q Proposici´ o 1.1.1: Totes les proposicions seg¨ uents s´on tautologies: 1) Doble negaci´ o: ¬(¬p) ⇐⇒ p 2) Idempot`encia: (p ∧ p) ⇐⇒ p ; (p ∨ p) ⇐⇒ p 3) Associativa: (p ∧ q) ∧ r (p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r) p ∨ (q ∨ r) 4) Commutativa: (p ∧ q) ⇐⇒ (q ∧ p) ; (p ∨ q) ⇐⇒ (q ∨ p) 5) Absorci´ o: p ∧ (p ∨ q) ⇐⇒ p ; p ∨ (p ∧ q) ⇐⇒ p 6) Distributiva: p ∧ (q ∨ r) p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 7) De Morgan: ¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p) ∨ (¬q) (¬p) ∧ (¬q) 8) Reflexiva: p ⇐⇒ p ; p⇒p 9) Transitiva: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) (p ⇐⇒ q) ∧ (q ⇐⇒ r) ⇒ (p ⇐⇒ r) 10) Sim`etrica: (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (q ⇐⇒ p) 11) Antisim`etrica: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇐⇒ (p ⇐⇒ q) Algweb Definici´ o 1.1.7: A matem` atiques tractem amb dos tipus d’objectes: els concrets que anomenarem constants i els objectes gen`erics que en direm variables.
Definici´ o 1.1.8: A aquelles sent`encies en les que apareixen una o m´es variables en direm predicats.Un predicat ser`a cert o fals depenent del valor que prenguin les seves variables.
Exemple 1.1.5: a) x ´es pare de y : P (x, y) b) x, y, z estan alineats: L(x, y, z) c) x ´es imparell : I(x) d) x ´es primer: P (x) e) Si x ´es primer llavors x ´es imparell: P (x) ⇒ I(x) Aquest darrer predicat ser`a fals si la x pren el valor 2 i ser` a cert en qualsevol altre cas.
Definici´ o 1.1.9: Sigui P (x) un predicat.La proposici´ o p: ”per a qualsevol objecte x, es verifica P (x)” la representarem mitjan¸cant el quantificador universal, ∀ p: ∀x P (x) Definici´ o 1.1.10: Sigui P (x) un predicat.La proposici´ o p: ”existeix almenys un objecte x, que verifica P (x)” la representarem mitjan¸cant el quantificador existencial, ∃ En el cas de que existeixi i sigui u ´nic usarem: ∃! p: ∃x P (x) ´ important destacar la relaci´o entre el quantificador universal i el quantificador existencial: la negaci´ Es o de la proposici´ o ”Tot objecte x verifica la propietat P ” ´es ”existeix almeys un objecte x que no verifica la propietat P ”.D’aquesta manera les dues proposicions seg¨ uents s´on tautologies: ¬ ∀x P (x) ⇐⇒ ∃x ¬P (x) ¬ ∃x P (x) ⇐⇒ ∀x ¬P (x) S’ha de tenir cura en l’´ us de m´es d’un quantificador en una mateixa proposici´ o,com podem veure en el seg¨ uent exemple.
Exemple 1.1.6: Per representar la proposici´o ”Tots tenen mare” podem escriure: ∀y ∃x M (x, y), on M (x, y) ´es el predicat ”x ´es mare de y”.
Significa el mateix ∃x ∀y M (x, y)? Evidentment no, ja que la segona proposici´ o es llegeix ”Tots tenen una mateixa mare”. Aix´ı doncs, cal tenir en compte que el significat de les proposicions depen de la posici´o relativa dels quantificadors.
Exemple 1.1.7: Demostrarem que la seg¨ uent proposici´ o ´es certa: ∃x (P (x) ∨ Q(x)) ⇐⇒ (∃x P (x)) ∨ (∃x Q(x)) [∗] Recordem que p ⇐⇒ q equival l`ogicament a (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), i que una conjunci´o ´es certa u ´nicament quan ho s´on les seves components. Per tant la proposici´ o [∗] ´es vertadera si i nom´es si s´on simultaniament vertaderes: 1) ∃x (P (x) ∨ Q(x)) ⇒ (∃x P (x)) ∨ (∃x Q(x)) 2) ∃x (P (x) ∨ Q(x)) ⇐ (∃x P (x)) ∨ (∃x Q(x)) 1) ”⇒” Algweb Suposem certa la proposici´ o ∃x (P (x) ∨ Q(x)) Sigui a tal que P (a) ∨ Q(a) ´es vertadera. Existeixen dues possibilitats: i) Si P (a) ´es veritat, llavors ∃x P (x) ´es veritat i per tant (∃x P (x)) ∨ (∃x Q(x)) ´es certa.
ii) Si Q(a) ´es veritat podem raonar de la mateixa manera.
2) ”⇐” Suposem certa la proposici´ o (∃x P (x)) ∨ (∃x Q(x)).Hi ha dues possibilitats: i) Si ∃x P (x) ´es veritat, sigui a tal que P (a) ´es veritat. En aquest cas P (a) ∨ Q(a) ´es veritat, i llavors ∃x (P (x) ∨ Q(x)) ´es certa.
ii) Si ∃x Q(x) ´es veritat es raona an` alogament.
Exemple 1.1.8: Demostrarem que la proposici´ o seg¨ uent no ´es vertadera: ∃x P (x) ∧ Q(x) ⇐ ∃x P (x) ∧ ∃x Q(x) Per demostrar que una proposici´ o no ´es certa ´es suficient trobar un cas particular en el que la proposici´ o sigui falsa (contraexemple).
En el nostre cas podem usar el contraexemple seg¨ uent: Si P (x) significa ”x ´es un nombre parell” i Q(x) significa ”x ´es un nombre imparell”, la proposici´ o ∃x P (x) ∧ ∃x Q(x) significa que existeix un nombre parell i existeix un nombre imparell, proposici´ o certa. Tanmateix la proposici´ o ∃x P (x) ∧ Q(x) significa que existeix un nombre que ´es parell i imparell alhora, proposici´ o falsa. Per tant la implicaci´o ´es falsa.
1.2. Fonaments de teoria de conjunts Definici´ o 1.2.1: Un conjunt A ´es una agrupaci´o d’objectes (elements), de tal manera que donat un objecte arbitrari x podem dir sense ambig¨ uitat si pertany o no a l’agrupaci´ o, x ∈ A, o x ∈ A.
Notaci´ o: Escriurem {a, b, c} per representar el conjunt format pels objectes a, b i c.
El concepte de conjunt permet associar a qualsevol propietat un conjunt, precisament el de tots aquells objectes que verifiquen la propietat: {x | P (x)} ´es el conjunt de tots els objectes pels quals P(x) ´es certa.
Definici´ o 1.2.2: Direm que les propietats P i Q s´ on equivalents si els seus conjunts associats s´on iguals.
La teoria de conjunts i la l` ogica estan ´ıntimament relacionades. Ja Arist`otil deia que existeixen dues formes de descriure els “universos“: la descripci´o per extensi´ o, que consisteix en enumerar els seus elements, i la descripci´o per comprensi´ o, consistent en enunciar les propietats que caracteritzen els seus elements.
Arist`otil va abandonar la l´ınia de la descripci´o per extensi´o concentrant tota la seva atenci´ o en la l`ogica, ´es a dir, en la descripci´ o per comprensi´ o. Molt probablement fou aix´ı perqu`e va entendre que la capacitat descriptiva de l’extensi´ o era molt limitada, ja que per exemple ´es impossible enumerar els nombres naturals.
Tanmateix, com s’ha pogut comprovar 25 segles m´es tard, ´es m´es f`acil pensar per extensi´ o que per comprensi´ o.
De fet el desenvolupament de la l`ogica va quedar aturat fins que es varen incorporar els m`etodes extensius.
Les operacions sobre conjunts que definirem tot seguit s´on un reflex fidel de les operacions l`ogiques.
Algweb Definici´ o 1.2.3: Si A i B s´ on conjunts, anomenarem intersecci´ o de A i B al conjunt format pels elements que pertanyen simult` aniament a A i a B, la representarem per A ∩ B, A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} Aix´ı, un objecte t´e les propietats P i Q si i nom´es si aquest objecte pertany a la intersecci´o del conjunt associat a la propietat P i del conjunt associat a la propietat Q.
Definici´ o 1.2.4: Si A i B s´ on conjunts, anomenarem uni´ o de A i B al conjunt format pels elements que pertanyen a A , a B o a tots dos conjunts simult` aniament, la representarem per A ∪ B, A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} Aix´ı, un objecte t´e la propietat P o la propietat Q si i nom´es si aquest objecte pertany a la uni´ o del conjunt associat a la propietat P i del conjunt associat a la propietat Q.
Definici´ o 1.2.5: S’anomena complementari de A, al conjunt format pels elements que no pertanyen a A: A = {x | x ∈ A} Definici´ o 1.2.6: Siguin A i B conjunts, anomenarem difer` encia de A i B al conjunt dels elements de A que no pertanyen a B: A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} Definici´ o 1.2.7: Siguin A i B conjunts. Direm que A est`a incl` os en B, o que A ´es subconjunt de B, si qualsevol objecte que pertany a A tamb´e pertany a B.
A ⊂ B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) Notaci´ o: Tamb´e es pot usar el s´ımbol ⊆) Si A no ´es subconjunt de B escriurem ⊂ o ⊆ Definici´ o 1.2.8: Ara definim el que entenem per conjunts iguals: A = B ⇐⇒ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) Definici´ o 1.2.9: Definim el conjunt buit: ∅ = {x | x = x} Al no haver cap objecte que verifiqui la propietat de ser diferent a ell mateix, aquest conjunt no t´e cap element.
Proposici´ o 1.2.1: Per a qualsevol conjut A, llavors ∅ ⊂ A.
Algweb Demostraci´ o: Segons la definici´ o: ∅ ⊂ A ⇐⇒ ∀x (x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A) Observem que la proposici´ o de la dreta ´es vertadera ja que la primera part del condicional ´es sempre falsa.
Proposici´ o 1.2.2: El conjunt buit ´es u ´ nic.
Demostraci´ o: Suposarem que en hi ha dos ∅1 i ∅2 i demostrarem que coincideixen.
Si ara utilitzem la proposici´o 1.2.1 per A = ∅2 , tenim que: ∅1 ⊂ ∅2 .
Si ara utilitzem la proposici´o 1.2.1 per A = ∅1 , tenim que: ∅2 ⊂ ∅1 .
Proposici´ o 1.2.3: Siguin A, B i C conjunts qualsevol: 1) (A ) = A 2) A ∩ A = A ; A∪A=A 3) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ; 4) A ∩ B = B ∩ A ; (Idempot`encia) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A∪B =B∪A 5) A ∩ (A ∪ B) = A ; (Commutativa) A ∪ (A ∩ B) = A 6) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ; (Associativa) (Absorci´ o) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Distributiva) 7) C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B) ; C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B) (A ∩ B) = A ∪ B ; (A ∪ B) = A ∩ B (Lleis de De Morgan) 8) A ∩ ∅ = ∅ ; A∪∅=A Definici´ o 1.2.10: Sigui A un conjunt, anomenarem conjunt de les parts de A, al conjunt format per tots els subconjunts de A: P(A) = {x | x ⊂ A} Exemple 1.2.1: Si considerem el conjunt A = {1, 2, 3} tindrem: P(A) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P P(A) = ∅, {∅}, {1} , {2} , . . . , {1, 2, 3} , ∅, {1} , . . . , {2}, {1, 3} , . . . , {1}, {2, 3}, {1, 2, 3} , . . . , ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} Definici´ o 1.2.11: Siguin A i B conjunts, anomenarem producte cartesi` a de A i B al conjunt: A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} on el parell ordenat (a, b) ´es el conjunt: (a, b) = {a}, {a, b} ∈ P P(A ∪ B) ´ immediat de la definici´ Es o que si a = b llavors (a, b) = (b, a).
Algweb Podem generalitzar aquesta definici´o introduint la terna ordenada: def (a, b, c) = (a, (b, c)) la quaterna ordenada: def (a, b, c, d) = (a, (b, c, d)) i en general la n–upla ordenada: def (a1 , a2 , . . . , an ) = (a1 , (a2 , (. . . , an ) . . .)) Proposici´ o 1.2.4: Siguin A, B ,C i D conjunts qualsevol,llavors es verifica : 1) 2) 3) 4) ∅×A=∅ A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) Notaci´ o: A2 = A × A ; A3 = A × A × A ; ...
An = A × A × . . . × A n Definici´ o 1.2.12: Direm que G ´es una correspond` encia ( o graf) entre els conjunts A i B si ´es un subconjunt del seu producte cartesi` a, G ⊂ A × B.
Definici´ o 1.2.13: Direm que f ´es una aplicaci´ o (o funci´ o) entre els conjunts A i B, si verifica: 1) f ⊂ A × B 2) ∀x ∈ A ∃!y ∈ B (x, y) ∈ f ( (x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f ) ⇒ y = z Notaci´ o: Si (x, y) ∈ f direm que y ´es la imatge de x segons f , i escriurem: f : A −→ B x → y = f (x) Definici´ o 1.2.14: Siguin f i g dues aplicacions definides entre A i B, direm que s´on iguals, f = g si verifiquen: ∀x ∈ A f (x) = g(x) Definici´ o 1.2.15: Donat un conjunt A, anomenarem aplicaci´ o identitat en A a l’aplicaci´o: IdA : A −→ A x → IdA (x) = x Definici´ o 1.2.16: Sigui l’aplicaci´ o f : A −→ B, 1) Direm que f ´es injectiva si: ∀x, y ∈ A f (x) = f (y) ⇒ x = y 2) Direm que f ´es exhaustiva si: ∀y ∈ B ∃x ∈ A f (x) = y ∀y ∈ B ∃!x ∈ A f (x) = y 3) Direm que f ´es bijectiva si: ´ immediat verificar que l’aplicaci´ Es o f ´es bijectiva si i nom´es si ´es injectiva i exhaustiva alhora.
Definici´ o 1.2.17: Siguin A, B i C conjunts, i les aplicacions: f : A −→ B g : B −→ C Algweb anomenem producte (o composici´ o) d’aquestes aplicacions a h = g · f tal que: f g g · f : A−→B −→C x → f (x) → g(f (x)) h = g · f ´es una aplicaci´ o definida entre A i C.
Proposici´ o 1.2.5: El producte d’aplicacions no ´es commutatiu.
ˆ = f ·g Demostraci´ o: Utilitzant les notacions de la definici´ o anterior,per poder parlar de la composici´o h els conjunts C i A han de coincidir. Per` o encara que sigui aix´ı f`acilment trobem un contraexemple de dues aplicacions que el seu producte no ´es commutatiu.
Considerem A = B = C = N el conjunt dels nombres naturals, i les aplicacions: f : N −→ N g : N −→ N x → x2 x→x+1 ∀x ∈ N, (g · f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = x2 + 1 (f · g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = (x + 1)2 Proposici´ o 1.2.6: Siguin les aplicacions: f : A −→ B g : B −→ C 1) Si f i g s´ on injectives, llavors g · f ´es injectiva.
2) Si f i g s´ on exhaustives, llavors g · f ´es exhaustiva.
3) Si f i g s´ on bijectives, llavors g · f ´es bijectiva.
4) Si la composici´ o g · f ´es injectiva, llavors f ´es injectiva.
5) Si la composici´ o g · f ´es exhaustiva, llavors g ´es exhaustiva.
Definici´ o 1.2.18: Donat un conjunt A, direm que R ´es una relaci´ o bin` aria sobre A, si R ⊂ A × A.
Notaci´ o: Si (x, y) ∈ R escriurem xRy.
Definici´ o 1.2.19: Sigui R una relaci´o bin` aria sobre A, 1) R verifica la propietat reflexiva si ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R 2) R verifica la propietat sim` etrica si ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R 3) R verifica la propietat antisim` etrica si ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y 4) R verifica la propietat transitiva si ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R Algweb Definici´ o 1.2.20: 1) Direm que R ⊂ A × A ´es una relaci´o d’equival` encia sobre A si verifica les propietats reflexiva, sim`etrica i transitiva.
2) Direm que R ⊂ A × A ´es una relaci´ o d’ordre sobre A si verifica les propietats reflexiva, antisim`etrica i transitiva.
Exemple 1.2.2: Considerem el conjunt A = {1, 2, 3} i) R = {(1, 1)} : t´e les propietats sim`etrica, antisim`etrica i transitiva.
ii) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}: reflexiva,sim`etrica, antisim`etrica i transitiva.
iii) R = {(1, 2), (2, 1)} : sim`etrica.
iv) R = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)} : sim`etrica i transitiva.
1.3. Inducci´ o completa Suposarem conegut el conjunt dels nombres naturals: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} N∗ = N − {0} = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} La seva propietat fonamental ´es la seg¨ uent: Tot subconjunt no buit de N t´e m´ınim Aquest fet t´e com a conseq¨ u`encia el seg¨ uent teorema fonamental: Teorema 1.3.1: (Principi d’Inducci´o completa) Si A ⊂ N∗ satisf` a les propietats: 1) 1 ∈ A 2) ∀n ∈ N∗ , {x ∈ N∗ | x ≤ n} ⊂ A ⇒ (n + 1) ∈ A llavors A = N∗ .
Demostraci´ o: Raonem per reducci´ o a l’absurd. Suposem que A = N∗ , llavors (N∗ − A) = ∅. Per tant, ∗ ∗ ∃m ∈ N tal que m = min(N − A). Per hip`otesi sabem que 1 ∈ A,el que ens permet afirmar que m = 1, de manera que mo = m − 1 ∈ N∗ .
Tot seguit verifiquem que {x ∈ N∗ | x ≤ mo } ⊂ A Sigui y ∈ {x ∈ N∗ | x ≤ mo } ⇒ y ∈ N∗ ∧ y ≤ mo < m.Ja que m = min(N∗ − A), necessariament y ∈ (N∗ − A),i per tant y ∈ A.
Considerant la propietat 2), obtenim que mo + 1 = m ∈ A, el que contradiu que m = min(N∗ − A).
Algweb Corol·lari 1.3.1: (Raonament per inducci´o completa) Sigui P (x) una propietat tal que: 1) P (1) ´es certa.
2) ∀n ∈ N∗ es verifica: ∀x ∈ N∗ , Llavors: x ≤ n ⇒ P (x) ´es certa ∀n ∈ N∗ , ⇒ P (n + 1) ´es certa P (n) ´es certa Demostraci´ o: Si definim el conjunt: A = {x ∈ N∗ | P (x) ´es certa } ∗ Nom´es caldr` a demostrar que A = N . Ho farem utilitzant el teorema anterior.
1) 1 ∈ A.
2) Verifiquem que: ∀n ∈ N∗ , {x ∈ N∗ | x ≤ n} ⊂ A ⇒ (n + 1) ∈ A ∗ Sigui n ∈ N i suposem que {x ∈ N∗ | x ≤ n} ⊂ A. Llavors segons la definici´o de A tindrem que ∀x ∈ N∗ , x ≤ n ⇒ P (x) ´es veritat. Per tant segons la hip`otesi 2), P (n + 1) ´es veritat, i n + 1 ∈ A. Ja estem en condicions d’aplicar el principi d’inducci´ o completa i obtenim A = N∗ .
Corol·lari 1.3.2: (Raonament per inducci´ o) Sigui P (x) una propietat tal que: 1) P (1) ´es certa.
2) ∀n ∈ N∗ es verifica: P (n) ´es certa ⇒ P (n + 1) ´es certa Llavors: ∀n ∈ N∗ , P (n) ´es certa Demostraci´ o: Anem a justificar que l’apartat 2) d’aquest corol·lari implica l’apartat 2) del corol·lari anterior, i d’aquesta manera quedar` a demostrat.
Hem de demostrar que ∀n ∈ N∗ ´es certa la proposici´ o: ∀x ∈ N∗ , x ≤ n ⇒ P (x) ´es certa ⇒ P (n + 1) ´es certa Suposem que la primera part de la proposici´ o ´es certa, llavors en particular P (n) ´es certa, apliquem la hip` otesi del nostre corol·lari i tenim que P (n + 1) ´es certa.
Notaci´ o: En un raonament per inducci´o utilitzarem el llenguatge seg¨ uent: “P (1) ´es veritat” ´es la base de la inducci´ o.
“∀n ∈ N∗ , P (n) ´es veritat ⇒ P (n + 1) ´es veritat ” ´es el pas d’inducci´ o. Normalment es fa una demostraci´o directa del pas d’inducci´ o, ´es a dir, s’estudia el cas en que P (n) ´es certa per un cert valor n arbitrari (hip` otesi d’inducci´ o).
Exemple 1.3.1: Demostreu que: n ∀n ∈ N∗ , (2i − 1)2 = i=1 n(2n − 1)(2n + 1) 3 Farem un raonament per inducci´o: 12 = P (1) : 1·1·3 3 com que P (1) ´es certa, ja tenim la base de la inducci´o.
Hip`otesi d’inducci´ o: Suposem que P (n) ´es certa: n (2i − 1)2 = i=1 n(2n − 1)(2n + 1) 3 Algweb Ara hem de demostrar que P (n + 1) ´es certa: n+1 ? (2i − 1)2 = i=1 (n + 1)(2n + 1)(2n + 3) 3 Tenim que: n+1 n (2i − 1)2 = i=1 (2i − 1)2 + (2n + 1)2 = i=1 n(2n − 1)(2n + 1) + (2n + 1)2 3 i operant: n+1 (2i − 1)2 = i=1 (n + 1)(2n + 1)(2n + 3) 3 1.4. Estructures algebraiques Definici´ o 1.4.1: Sigui A un conjunt diferent del buit, A = ∅, direm que ∗ ´es una operaci´ o o llei de composici´ o interna sobre A, si ´es una aplicaci´ o del tipus ∗ : A × A −→ A ∗(a1 , a2 ) = a3 Notaci´ o: L’element a1 operat amb a2 ens dona a3 , i escriurem a1 ∗ a2 = a3 Definici´ o 1.4.2: 1) L’operaci´ o ∗ ´es associativa si: ∀a, b, c ∈ A, 2) L’operaci´ o ∗ ´es commutatativa si: Not a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c = a ∗ b ∗ c ∀a, b ∈ A, a∗b=b∗a 3) Direm que e ∈ A ´es element neutre de l’operaci´o ∗ si: ∀a ∈ A, a∗e=e∗a=a 4) Si existeix e element neutre de ∗, i a ∈ A, direm que a ˜ ∈ A ´es l’element sim` etric (oposat o invers) de a si verifica: a∗a ˜=a ˜∗a=e Notaci´ o: Per designar operacions normalment es fan servir s´ımbols no alfabetics: +, ·, ∗, , ⊥ etc.
Proposici´ o 1.4.1: Sigui ∗ una operaci´ o interna definida en A, llavors si existeix element neutre ´ es u ´ nic.
Demostraci´ o: Siguin e1 i e2 elements neutres, utilitzem dues vegades l’apartat 3) de la definici´ o anterior: e2 ∗ e1 = e1 ∗ e2 = e2 ii) e = e2 i a = e1 , e1 ∗ e2 = e2 ∗ e1 = e1 Algweb i) e = e1 i a = e2 , Proposici´ o 1.4.2: Sigui ∗ una operaci´ o interna, associativa i amb element neutre, definida en A, i sigui un element a ∈ A que t´e sim`etric a ˜ ∈ A, llavors aquest sim` etric ´es u ´ nic.
Demostraci´ o: Suposarem que t´e dos sim`etrics i demostrarem que necessariament coincideixen: a ˜1 i a ˜2 a ˜1 = a ˜1 ∗ e = a ˜1 ∗ (a ∗ a ˜2 ) = (˜ a1 ∗ a) ∗ a ˜2 = e ∗ a ˜2 = a ˜2 Definici´ o 1.4.3: Sigui ∗ una operaci´o interna definida en A, direm que (A, ∗) ´es grup si verifica la propietat associativa, existeix element neutre i tot element t´e sim`etric.
Definici´ o 1.4.4: Direm que (A, ∗) ´es grup commutatiu o abeli` a si (A, ∗) ´es grup i a m´es l’operaci´o ´es commutativa.
Exemple 1.4.1: Si considerem la suma ”+” i el producte ”·” habituals en els conjunts de nombres, les seg¨ uents estructures s´on grups commutatius: (Z, +), (Q, +), (R, +), (Q − {0}, ·), (R − {0}, ·) Proposici´ o 1.4.3: Sigui (A, ∗) un grup, llavors l’´ unic element idempotent ´es el neutre,´es a dir: ∀b ∈ A, b∗b=b⇒b=e Demostraci´ o: Utilitzarem la unicitat de l’element neutre, d’aquesta manera si aconseguim demostrar que ∀a ∈ A, a∗b=b∗a=a tindrem el resultat desitjat, b = e.
∀a ∈ A, a ∗ b = a ∗ (b ∗ b) composant pel seu sim`etric ˜b i usant la propietat associativa: a ∗ b ∗ ˜b = a ∗ b ∗ b ∗ ˜b a∗e=a∗b a=a∗b de manera an` aloga: b∗a=b∗b∗a ˜b ∗ b ∗ a = ˜b ∗ b ∗ b ∗ a e∗a=e∗b∗a a=b∗a Notaci´ o: A partir d’ara i per facilitar l’escriptura usarem com a s´ımbols d’operacions internes “+” i “·”.
Definici´ o 1.4.5: Sigui un conjunt A amb dues operacions internes “+, ·”, direm que (A, +, ·) ´es anell si: Algweb 1) (A, +) ´es grup commutatiu 2) L’operaci´ o · ´es associativa: ∀a, b, c ∈ A, a · (b · c) = (a · b) · c 3) L’operaci´ o · ´es distributiva respecte de l’operaci´o + : ∀a, b, c ∈ A, a · (b + c) = a · b + a · c; (a + b) · c = a · c + b · c Definici´ o 1.4.6: Direm que (A, +, ·) ´es anell commutatiu si ´es anell i l’operaci´o “·” ´es commutativa: ∀a, b ∈ A, a·b=b·a Definici´ o 1.4.7: Direm que (A, +, ·) ´es anell unitari si ´es anell i l’operaci´o “·” t´e element neutre,al qual anomenarem element unitat i el representarem amb el s´ımbol 1.
∀a ∈ A, a·1=1·a=a Notaci´ o: A l’element neutre respecte a l’operaci´ o ”+” en direm element zero i el representarem per 0.
Definici´ o 1.4.8: Sigui (A, +, ·) un anell unitari, direm que a ∈ A ´es inversible (o invertible) si existeix a ˆ ∈ A,tal que a·a ˆ=a ˆ·a=1 N ot : a ˆ = a−1 Notaci´ o: En el cas anterior direm que a−1 ´es l’element invers de a.
Per altra banda, a l’element a ˜ ∈ A, tal que: a+a ˜=a ˜+a=0 en direm l’element oposat de a, i el representarem per −a, i per simplificar l’escriptura a + (−a) = a − a = 0 Definici´ o 1.4.9: Sigui (A, +, ·) un anell, i a, b ∈ A, direm que a i b s´ on divisors de zero si: a = 0, b = 0, a·b=0 Definici´ o 1.4.10: Si un anell no t´e divisors de zero direm que ´es un anell ´ıntegre o anell d’integritat.
En aquest cas es verificar`a: ∀a, b ∈ A, a · b = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0) Exemple 1.4.2: (Z, +, ·), (Q, +, ·) i (R, +, ·) s´on anells ´ıntegres, commutatius i unitaris.
Proposici´ o 1.4.4: Sigui (A, +, ·) anell, llavors es verifica: 1) ∀a ∈ A, a·0=0·a=0 2) ∀a, b ∈ A, a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) 3) ∀a, b ∈ A, a · b = b · a ⇒ a · (−b) = (−b) · a Demostraci´ o: 1) a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 i utilitzant la proposici´ o 1.4.3, a · 0 = 0. De manera an`aloga es demostra que 0 · a = 0 2) Nom´es cal utilitzar la definici´ o d’element sim`etric i la seva unicitat: Algweb b + (−b) = 0 a · b + (−b) = 0 a · b + a · (−b) = 0 Per tant, a · (−b) ´es l’element oposat de a · b, ´es a dir −(a · b) = a · (−b).
3) De l’apartat anterior obtenim: a · (−b) = −(a · b) Si ara a · b = b · a, ens queda a · (−b) = (−b) · a.
(−b) · a = −(b · a) Cas particular: Si l’anell ´es unitari podem agafar b = 1, ∀a ∈ A, a · (−1) = (−1) · a = −(1 · a) = −a Proposici´ o 1.4.5: Sigui (A, +, ·) anell unitari 1) ∀a, b ∈ A, si a i b s´ on inversibles, llavors l’element a · b tamb´e ho ´es, i (a · b)−1 = b−1 · a−1 2) ∀a ∈ A, si ´es inversible llavors el seu oposat tamb´e ho ´es, (−a)−1 = −(a−1 ) 3) L’element zero no ´es inversible.
4) Si a ∈ A ´es divisor de zero, llavors no ´es inversible.
Demostraci´o: 1) Tan sols cal comprovar que verifica la definici´o d’element invers (a · b) · b−1 · a−1 = a · (b · b−1 ) · a−1 = a · 1 · a−1 = 1 b−1 · a−1 · (a · b) = b−1 · (a · a−1 ) · b = b−1 · 1 · b = 1 2) a + (−a) = 0; a · a−1 + (−a) · a−1 = 0; 1 + (−a) · a−1 = 0; i segons la definici´o d’element sim`etric, −(−a) · a−1 = 1; utilitzant el tercer apartat de la proposici´o anterior, (−a) · (−a−1 ) = 1. De manera an`aloga si multipliquem per a−1 per l’esquerra obtindrem (−a−1 ) · (−a) = 1 i per tant (−a)−1 = −(a−1 ).
3) Ho demostrarem per reducci´ o a l’absurd. Suposem que 0 ´es inversible, llavors existeix ao ∈ A, tal que: ao · 0 = 0 · ao = 1 Per` o, segons el primer apartat de la proposici´ o 1.4.4, ao · 0 = 0 · ao = 0 ja hem arribat a una contradicci´o.
4) Tamb´e farem la demostraci´o per reducci´o a l’absurd i suposarem que existeix a−1 . Sabem que: ∃b ∈ A, b = 0, a = 0, a · b = 0 Ara composem per a−1 , a−1 · a · b = a−1 · 0 = 0 i obtenim b = 0 (contradicci´ o).
Definici´ o 1.4.10: Direm que (K, +, ·) ´es cos si: Algweb 1) (K, +) ´es grup commutatiu 2) (K − {0}, ·) ´es grup 3) L’operaci´ o · ´es distributiva respecte de l’operaci´o + ∀a, b, c ∈ K, a · (b + c) = a · b + a · c; (a + b) · c = a · c + b · c Definici´ o 1.4.11: Direm que (K, +, ·) ´es cos commutatiu si ´es cos i verifica: ∀a, b ∈ K a · b = b · a Exemple 1.4.3: Si considerem la suma i el producte habituals s´on cosos commutatius: (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) Proposici´ o 1.4.6: Si (K, +, ·) ´es cos , llavors ´es anell d’integritat.
Demostraci´ o: Ho justificarem per reducci´o a l’absurd. Suposarem que existeixen divisors de zero i arribarem a una contradicci´ o: ∃a, b ∈ K, a = 0, b = 0, a · b = 0 Al ser diferents de zero tenen element invers a−1 , b−1 ∈ K, a−1 · a · b = a−1 · 0 = 0 ´es a dir, b = 0, i ja tenim la contradicci´o.
Darrera versi´ o: 1 de setembre de 2003 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports 2. ESPAIS VECTORIALS 2.1 Generalitats En tot aquest tema, (K, +, ·) representar`a un cos commutatiu. En particular, pensarem sempre en (K, +, ·) com un dels cossos commutatius (Q, +, ·), (R, +, ·) o (C, +, ·), on la suma i el producte s´on els habituals en Q, R o C.
Definici´o 2.1.1: Sigui E un conjunt. S’anomena llei de composici´ o externa definida en E a tota aplicaci´o de K × E sobre E: ˆ· : K × E −→ E (λ, x) → λˆ·x Definici´o 2.1.2: Sigui E un conjunt, i sigui (K, +, ·) un cos commutatiu tal que el seu element neutre ˆ una operaci´o definida en E i ˆ· una llei de composici´o respecte del producte se simbolitza per “1”. Siguin + externa definida en E : Algweb ˆ : E × E −→ E + ˆ (x, y) → x+y ˆ· : K × E −→ E (λ, x) → λˆ·x ˆ ·) ´es un espai vectorial sobre (K, +, ·) si es verifica: Es diu que (E, +,ˆ 1) ˆ e´s un grup commutatitu, e´s a dir : (E, +) 1.a) (∀x, y, z ∈ E) ˆ +z ˆ = x+(y ˆ +z) ˆ (x+y) ˆ 0 = 0+x ˆ =x 1.b) ∃0 ∈ E tal que (∀x ∈ E) x+ 1.c) ˜ ∈ E tal que x+ ˜=x ˜ +x ˆx ˆ =0 (∀x ∈ E) ∃x 1.d) ˆ = y +x ˆ (∀x, y ∈ E) x+y 2) ˆ = λˆ·x + ˆ λˆ·y (∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E) λˆ·(x+y) 3) (∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E) ˆ µˆ·x (λ + µ)ˆ·x = λˆ·x + 4) (∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E) (λ · µ)ˆ·x = λˆ·(µˆ·x) 5) (∀x ∈ E) 1ˆ·x = x ˆ ·) ´es un espai vectorial sobre (K, +, ·), s’anomena vectors als elements de E i escalars als Si (E, +,ˆ de K. Adem´es, se sol anomenar producte per escalars o producte extern a la llei de composici´o externa definida en l’espai vectorial. Parlarem d’espai vectorial racional, real o complex quan K = Q, K = R o K = C, respectivament. Admetrem l’expressi´o “E ´es un espai vectorial sobre K” (sense especificar ˆ ·, +, ·) quan no existeixi cap ambig¨ +,ˆ uitat respecte de qui s´on la suma i el producte per escalars en E i les operacions suma i producte en K.
Exemple 2.1.1: Siguin E = C, (K, +, ·) = (R, +, ·) i les lleis de composici´o definides per: ˆ : C × C −→ C + ˆ (a, b) → a+b ˆ· : R × C −→ C (λ, a) → λˆ·a = λa (la suma ´es la suma habitual en C ; el producte extern ´es la conjugaci´o del producte habitual d’un nombre real per un de complex.) ˆ ·) no ´es espai vectorial sobre (R, +, ·). Per exemple, no es verifica el punt F`acilment es veu que (C, +,ˆ 5 de la definici´ o 2.1.2. En efecte, si a = 3 − i, llavors: 1ˆ·a = a = 3 + i = a .
Exemple 2.1.2: Sigui (K, +, ·) un cos commutatiu, i n ∈ N∗ . Recordem que Kn es defineix com: Kn = { (x1 , x2 , . . . , xn ) / xj ∈ K, ∀j = 1, n } Si x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K , es diu que “xj ∈ K ´es la coordenada j-`essima del vector x ” (∀j = 1, n).
n Definim ara la suma i el producte extern “naturals” . Per a qualssevol x, y ∈ Kn tals que x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) i qualsevol λ ∈ K : ˆ : Kn × Kn −→ Kn + ˆ = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) (x, y) → x+y ˆ· : K × Kn −→ Kn (λ, x) → λˆ·x = (λ · x1 , λ · x2 , . . . , λ · xn ) (observem que en xj + yj s’utilitza la suma en (K, +, ·), i que en λ · xj s’utilitza el producte en (K, +, ·) , ∀j = 1, n). Verifiquem els cinc punts de la definici´o d’espai vectorial : ´ directe que, per a tot parell d’elements de Kn existeix i ´es u Es ´nica la seva suma (en existir i ser u ´nica ˆ ´es aplicaci´o (operaci´o).
la suma per a cada coordenada), per la qual cosa + Algweb [ 1 - a ] ∀x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ), z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Kn es verifica: (1) (1) ˆ +z ˆ = (x1 , . . . , xn )+(y ˆ 1 , . . . , yn ) +(z ˆ 1 , . . . , zn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )+(z ˆ 1 , . . . , zn ) = (x+y) (1) (2) (1) = (x1 + y1 ) + z1 , . . . , (xn + yn ) + zn = x1 + (y1 + z1 ), . . . , xn + (yn + zn ) = (1) (1) ˆ 1 + z1 , . . . , yn + zn ) = (x1 , . . . , xn )+ ˆ (y1 , . . . , yn )+(z ˆ 1 , . . . , zn ) = = (x1 , . . . , xn )+(y ˆ ˆ = x+(y +z) ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de suma en Kn (2) : Associativitat de la suma en (K, +, ·), per a cada coordenada ) [ 1 - b ] Sigui 0 = (0, . . . , 0) ∈ Kn . Llavors, ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn es verifica: (1) (2) ˆ 0 = (x1 , . . . , xn )+(0, ˆ . . . , 0) = (x1 + 0, . . . , xn + 0) = (x1 , . . . , xn ) = x x+ (1) (2) ˆ = (0, . . . , 0)+(x ˆ 1 , . . . , xn ) = (0 + x1 , . . . , 0 + xn ) = (x1 , . . . , xn ) = x 0+x ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de suma en Kn (2) : “ 0 ” ´es l’element neutre de la suma en (K, +, ·), per a cada coordenada ) ˜ ”, definit com: [ 1 - c ] ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , existeix un element en Kn que anomenem “ x ˜ x = (−x1 , . . . , −xn ) (on (−xj ) + xj = xj + (−xj ) = 0, ∀j = 1, n). Llavors : (1) ˜ = (x1 , . . . , xn )+(−x ˆx ˆ x+ 1 , . . . , −xn ) = (x1 + (−x1 ), . . . , xn + (−xn )) = (0, . . . , 0) = 0 (1) ˜ ˆ ˆ x+x = (−x1 , . . . , −xn )+(x1 , . . . , xn ) = ((−x1 ) + x1 , . . . , (−xn ) + xn ) = (0, . . . , 0) = 0 ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de suma en Kn ) [ 1 - d ] ∀x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Kn es verifica: (1) (2) ˆ = (x1 , . . . , xn )+(y ˆ 1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) = x+y (2) (1) ˆ 1 , . . . , xn ) = y +x ˆ = (y1 + x1 , . . . , yn + xn ) = (y1 , . . . , yn )+(x ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de suma en Kn (2) : Commutativitat de la suma en (K, +, ·), per a cada coordenada ) ´ directe que, per a cada parell format per un elemente de K i un element de Kn existeix i ´es u Es ´nic el seu producte (en existir i ser u ´nic el producte per a cada coordenada), per la qual cosa la llei ˆ· ´es aplicaci´o (llei de composici´ o externa).
[2] ∀x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Kn , ∀λ ∈ K es verifica: (1) (2) ˆ = λˆ· (x1 , . . . , xn )+(y ˆ 1 , . . . , yn ) = λˆ·(x1 + y1 , . . . , xn + yn ) = λˆ·(x+y) (2) (3) (1) Algweb = (λ · (x1 + y1 ), . . . , λ · (xn + yn )) = (λ · x1 + λ · y1 , . . . , λ · xn + λ · yn ) = (1) (2) ˆ · y1 , . . . , λ · yn ) = λˆ·(x1 , . . . , xn )+λˆ ˆ ·(y1 , . . . , yn ) = λˆ·x + ˆ λˆ·y = (λ · x1 , . . . , λ · xn )+(λ ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de suma en Kn (2) : Definici´ o de producte extern (3) : Distributivitat de la suma respecte del producte en (K, +, ·), per a cada coordenada ) [3] ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , ∀λ, µ ∈ K es verifica: (1) (2) (λ + µ)ˆ·x = (λ + µ)ˆ·(x1 , . . . , xn ) = ((λ + µ) · x1 , . . . , (λ + µ) · xn ) = (2) (3) (1) ˆ · x1 , . . . , µ · xn ) = = (λ · x1 + µ · x1 , . . . , λ · xn + µ · xn ) = (λ · x1 , . . . , λ · xn )+(µ (1) ˆ ·(x1 , . . . , xn ) = λˆ·x + ˆ µˆ·x = λˆ·(x1 , . . . , xn )+µˆ ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de producte extern (2) : Distributivitat de la suma respecte del producte en (K, +, ·), per a cada coordenada (3) : Definici´ o de suma en Kn ) [4] ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , ∀λ, µ ∈ K es verifica: (1) (2) (1) (λ · µ)ˆ·x = (λ · µ)ˆ·(x1 , . . . , xn ) = ((λ · µ) · x1 , . . . , (λ · µ) · xn ) = (λ · (µ · x1 ), . . . , λ · (µ · xn )) = (1) (1) = λˆ·(µ · x1 , . . . , µ · xn ) = λˆ· µˆ·(x1 , . . . , xn ) = λˆ·(µˆ·x) ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de producte extern (2) : Associativitat del producte en (K, +, ·), per a cada coordenada ) [5] ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , es verifica: (1) (2) 1ˆ·x = 1ˆ·(x1 , . . . , xn ) = (1 · x1 , . . . , 1 · xn ) = (x1 , . . . , xn ) = x ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de producte extern (2) : “1” ´es l’element neutre del producte en (K, +, ·). ) ˆ ·) ´es un espai vectorial sobre (K, +, ·).
Aix´ı doncs, s’ha comprovat que (Kn , +,ˆ Exemple 2.1.3: Com a conseq¨ u`encia de l’exemple 2.1.2, els seg¨ uents conjunts s´on espais vectorials amb les lleis de composici´ o “naturals”: Qn (sobre (Q, +, ·)), Rn (sobre (R, +, ·)), Cn (sobre (C, +, ·)) , per a tot n ∈ N∗ Exemple 2.1.4: Sigui (K, +, ·) un cos commutatiu, i sigui K[x] el conjunt de tots els polinomis en la indeterminada “ x ” amb coeficients en K, ´es a dir : Algweb K[x] = { a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , n ∈ N, aj ∈ K (∀j = 0, n) } ∞ Observem que tot element de K[x] es pot escriure en la forma aj xj , admetent l’exist`encia d’algun j=0 n ∈ N per al qual aj = 0 (∀j ≥ n + 1) .
(Criteri d’igualtat : direm que dos elements de K[x] s´on iguals quan tinguin respectivament iguals els coeficients de xj , ∀j ∈ N).
Definim ara la suma i el producte extern “naturals” . Per a qualssevol p(x), q(x) de K[x] tals que ∞ p(x) = j=0 aj xj , q(x) = ∞ bj xj , i per a qualsevol λ ∈ K : j=0 ˆ : K[x] × K[x] −→ K[x] + ˆ (p(x), q(x)) → p(x)+q(x) = ∞ j=0 ˆ· : K × K[x] −→ K[x] (aj + bj )xj ∞ (λ, p(x)) → λˆ·p(x) = (λ · aj )xj j=0 (observem que en aj + bj s’utilitza la suma en (K, +, ·), i que en λ · aj s’utilitza el producte en (K, +, ·) , ∀j ∈ N) ˆ ·) ´es espai vectorial sobre (K, +, ·) (´es a dir, que (Q[x], +,ˆ ˆ ·) ´es Es demostra f` acilment que (K[x], +,ˆ ˆ ·) ´es espai vectorial sobre (R, +, ·), (C[x], +,ˆ ˆ ·) ´es espai vectorial espai vectorial sobre (Q, +, ·), (R[x], +,ˆ sobre (C, +, ·) ).
Exemple 2.1.5: Sigui (K, +, ·) un cos commutatiu, i sigui n ∈ N . Definim Kn [x] com el conjunt de tots els polinomis de grau menor o igual a n en la indeterminada “ x ” amb coeficients en K : Kn [x] = { a0 + a1 x + a2 x2 + . . . an xn , aj ∈ K, ∀j = 0, n } Definint la suma i el producte extern, i el criteri d’igualtat en Kn [x] de manera an`aloga a com s’ha fet ˆ ·) ´es espai vectorial sobre (K, +, ·). Com casos particulars, en l’exemple 2.1.4, es demostra que (Kn [x], +,ˆ els seg¨ uents espais vectorials: ˆ ·) sobre (Q, +, ·) (Qn [x], +,ˆ ˆ ·) sobre (R, +, ·) (Rn [x], +,ˆ ˆ ·) sobre (C, +, ·) (Cn [x], +,ˆ Exemple 2.1.6: Sigui (K, +, ·) un cos commutatiu. Definim FK com el conjunt de totes les aplicacions de K en K, ´es a dir: FK = { f : K −→ K , f ´es aplicaci´o } (Criteri d’igualtat : direm que dos elements f , g ∈ FK s´on iguals quan f (x) = g(x) , ∀x ∈ K).
Definim ara la suma i el producte extern “naturals” : Algweb ˆ : FK × FK −→ + FK ˆ , (f, g) −→ f +g ˆ· : K × FK −→ FK (λ, f ) −→ λˆ·f , ˆ amb: (f +g)(x) = f (x) + g(x) , ∀x ∈ K amb: (λˆ·f )(x) = λ · f (x) , ∀x ∈ K (observem que en f (x) + g(x) s’utilitza la suma en (K, +, ·), i que en λ · f (x) s’utilitza el producte en (K, +, ·)).
ˆ ·) ´es espai vectorial sobre (K, +, ·).
Es demostra que (FK , +,ˆ Exemple 2.1.7: Siguin a, b ∈ R (a < b). Definim CR [a, b] com el conjunt de totes les funcions reals, de variable real pertanyent a l’interval [a, b] ⊂ R , cont´ınues en ell: CR [a, b] = {f : [a, b] ⊂ R −→ R , f cont´ınua en [a, b] ⊂ R } (Criteri d’igualtat : dos elements f , g ∈ CR [a, b] s´on iguals quan f (x) = g(x) , ∀x ∈ [a, b] ⊂ R).
Definim ara la suma i el producte extern “naturals” : ˆ : CR [a, b] × CR [a, b] −→ CR [a, b] + ˆ , amb: (f +g)(x) ˆ (f, g) −→ f +g = f (x) + g(x) , ∀x ∈ [a, b] ⊂ R ˆ· : R × CR [a, b] −→ CR [a, b] (λ, f ) −→ λˆ·f , amb: (λˆ·f )(x) = λ · f (x) , ∀x ∈ [a, b] ⊂ R (observem que en f (x) + g(x) s’utilitza la suma en (R, +, ·), i que en λ · f (x) s’utilitza el producte en (R, +, ·)).
ˆ ·) ´es espai vectorial sobre (R, +, ·).
Es demostra que (CR [a, b], +,ˆ • En la seg¨ uent proposici´ o es dedueixen les primeres propietats d’espai vectorial.
ˆ ·) un espai vectorial sobre (K, +, ·). Per a tot z ∈ E representem per Proposici´ o 2.1.1: Sigui (E, +,ˆ ˜ ˜ ˜ z el vector tal que z + z = z + z = 0. Es verifica: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 0ˆ·x = 0 (∀x ∈ E) λˆ·0 = 0 (∀λ ∈ K) ˜ (∀λ ∈ K , ∀x ∈ E) (λˆ·x) = (−λ)ˆ·x = λˆ·x ˜ ˆ y) = (λˆ·x)+ ˆ (λˆ·y) (∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E) λˆ·(x+ ˆ (µˆ·x) (∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E) (λ − µ)ˆ·x = (λˆ·x)+ λˆ·x = 0 =⇒ {λ = 0 ∨ x = 0} Demostraci´ o 2.1.1 ˆ ·x), d’on es dedueix que 0ˆ·x = 0 .
[ 1 ] Per a qualsevol x ∈ E podem escriure 0ˆ·x = (0 + 0)ˆ·x = (0ˆ·x)+(0ˆ Algweb ˆ 0) = (λˆ·0)+(λˆ ˆ ·0), d’on es dedueix que λˆ·0 = 0 .
[ 2 ] Per a qualsevol λ ∈ K podem escriure λˆ·0 = λˆ·(0+ [3] Per a qualssevol λ ∈ K , x ∈ E es verifica: ˆ a) (λ − λ)ˆ·x = 0ˆ·x = 0 (pel primer apartat). Per`o tamb´e (λ − λ)ˆ·x = λˆ·x+(−λ)ˆ ·x . Igualant totes dues expressions resulta que: ˆ λˆ·x+(−λ)ˆ ·x = 0 , d’on s’obt´e que (−λ)ˆ·x = (λˆ·x) .
˜ = λˆ·0 = 0 (pel segon apartat). Per`o tamb´e λˆ·(x+ ˜ = λˆ·x+λˆ ˜ . Igualant aquestes ˆ x) ˆ x) ˆ ·x b) λˆ·(x+ expressions: ˜=0, ˆ ·x λˆ·x+λˆ ˜ = (λˆ·x) .
d’on veiem que λˆ·x [4] Per a qualssevol λ ∈ K , x, y ∈ E es verifica: ˜ = (λˆ·x)+(λˆ ˜ = (λˆ·x)+ ˆ y) ˆ ·y) ˆ (λˆ·y) (per l’apartat anterior) λˆ·(x+ [5] Per a qualsevol λ, µ ∈ K , x ∈ E es verifica: ˆ ˆ (µˆ·x) (λ − µ)ˆ·x = (λˆ·x)+(−µˆ ·x) = (λˆ·x)+ (pel tercer apartat) [ 6 ] Donada l’equaci´ o λˆ·x = 0 (amb λ ∈ K i x ∈ E), la discussi´o sobre el conjunt de solucions ha de tenir en compte dos casos: a) λ = 0 . En aquest cas, la proposici´ o es verifica trivialment.
b) λ = 0 . En aquest cas, existeix λ−1 ∈ K tal que λ−1 · λ = 1 . Llavors, si en la igualtat λˆ·x = 0 multipliquem per λ−1 (emprant el producte extern): λ−1ˆ·(λˆ·x) = λ−1ˆ·0 .
Tenint en compte els punts 4 i 5 de la definici´o d’espai vectorial i els resultats ja demostrats d’aquesta proposici´o, es dedueix que x = 0 . D’aquesta forma s’acaba la demostraci´o.
ˆ ·) ´es un espai vectorial sobre (K, +, ·), se sol escriure el mateix s´ımbol (+) per representar ◦ Si (E, +,ˆ tant la suma en E com la suma en K. Tamb´e se sol emprar el mateix s´ımbol (·) per al producte en K i per a la llei de composici´ o externa definida en E; encara m´es, aquest s´ımbol (·) habitualment ni s’escriu, tenint aix´ı expressions del tipus λµ, λx (on λ, µ ∈ K, x ∈ E) per denotar λ · µ, λˆ·x. La confusi´o aparent que aix`o crea es resol f` acilment si s’observa a quins conjunts pertanyen dos objectes entre els que hi ha un “+” o un “·”.
Algweb ˜ i x − y per fer refer`encia a la suma x + y.
˜ Addicionalment, s’escriu −x per representar el vector x, Llavors, el punt 3 de la proposici´ o 2.1.1 ens permet escriure, sense ambig¨ uitat: −λx per designar als elements −(λx), (−λ)x, λ(−x) (∀λ ∈ K, ∀x ∈ E). Aquestes notacions s’adoptem des d’aquest moment.
Establim tamb´e que, si no es diu el contrari, suposarem sumes i productes per escalars naturals quan treballem amb els conjunts per als que acabem de veure que tenen estructura d’espai vectorial (Kn , K[x], Kn [x], FK , CR [a, b]).
2.2 Combinaci´ o lineal Definici´o 2.2.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i V ⊂ E un sistema de vectors de E (pot contenir vectors repetits). Es diu que x ∈ E ´ es combinaci´ o lineal de V quan existeixi un nombre finit d’escalars λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K i de vectors v1 , . . . , vn ∈ V (n ∈ N ∗ ) tals que: x = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn Exemple 2.2.1: En l’espai vectorial real R3 , prenem V = {(1, 0, 0), (1, 2, −1)}. Llavors x = (3, 4, −2) ´es combinaci´ o lineal de V , ja que: x = 1(1, 0, 0) + 2(1, 2, −1) .
Tamb´e x = (1, 2, −1) ´es combinaci´ o lineal de V , ja que x = 0(1, 0, 0) + 1(1, 2, −1) .
En canvi, x = (3, 4, −1) no ´es combinaci´o lineal de V , perque no ´es possible trobar λ, µ ∈ R que verifiquin que x = λ(1, 0, 0)+µ(1, 2, −1). En efecte, si existissin, tindr´ıem: x = (3, 4, −1) = (λ+µ, 2µ, −µ).
Igualant coordenada a coordenada: 3=λ+µ 4 = 2µ , d’on deduim que µ = 2 i µ = 1 , la qual cosa ´es impossible !! −1 = −µ Donat un sistema de vectors V ⊂ E, cal fer `emfasi en el car`acter finit del nombre d’ells que intervenen en una combinaci´ o lineal, encara que el nombre de vectors de V pugui ser finit o infinit.
Definici´o 2.2.2: Sigui E un espai vectorial sobre K, i V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E (n ∈ N∗ ). Es diu que V ´es un sistema lliure (o, equivalentment, que els seus vectors s´on linealment independents) quan: λ1 v1 + . . . + λn vn = 0 =⇒ { λ1 = 0 , . . . , λn = 0 } Es diu que V ´es un sistema lligat (o, equivalentment, que els seus vectors s´on linealment dependents) quan V no sigui un sistema lliure (´es a dir, quan es verifiqui la igualtat vectorial λ1 v1 + . . . + λn vn = 0 amb algun escalar λj = 0) Exemple 2.2.2: En l’espai vectorial real R3 , ´es lligat el seg¨ uent sistema de vectors V = {(1, 1, 1), (2, 0, −1), (3, 1, 0), (1, −1, −2)}, ja que, per exemple: 1(1, 1, 1) + 1(2, 0, −1) − 1(3, 1, 0) + 0(1, −1 − 2) = (0, 0, 0) , Algweb on en la combinaci´ o lineal existeix algun escalar no nul (en concret, tres d’ells).
En canvi, els vectors del sistema W = {(1, 1, 1), (3, 1, 0)} ⊂ R3 formen un sistema lliure: λ(1, 1, 1) + µ(3, 1, 0) = (0, 0, 0) =⇒ λ + 3µ = 0 ´nica soluci´o λ = µ = 0 λ + µ = 0 , amb u λ=0 Exemple 2.2.3: En l’espai vectorial real CR [−1, 1], el sistema de vectors V = {sin x, cos x} ´es un sistema lliure, ja que si escrivim λ sin x + µ cos x = θ(x) (amb θ(x) = 0, ∀x ∈ [−1, 1], vector zero de CR [−1, 1]) llavors: si x = 0 : λ · 0 + µ · 1 = 0 =⇒ µ = 0 si x = π 4 : λ· √ 2 2 √ +µ· 2 2 = 0 =⇒ λ + µ = 0 =⇒ λ = 0 (ja que µ = 0) En canvi, el sistema W = {ex , e−x , cosh x} ⊂ CR [−1, 1] ´es lligat, perque es verifica la igualtat 1 e + 1 e−x − 2 cosh x = 0, ∀x ∈ [−1, 1] .
x Proposici´ o 2.2.1: Sigui E un espai vectorial sobre K, i sigui V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E Llavors, si V ´es un sistema lliure, es verifica: 1) 2) 3) 4) (n ∈ N∗ ).
vj = 0, ∀j = 1, n vi = vj , ∀i = j, i, j = 1, n Qualsevol subconjunt no buit de V ´es lliure (∀α1 , . . . , αn ∈ K, αj = 0, ∀j = 1, n) el sistema {(α1 v1 ), . . . , (αn vn )} ⊂ E ´es lliure Demostraci´ o 2.2.1 Realitzarem la demostraci´ o dels tres primers punts raonant pel contrarrec´ıproc: [1] Suposem que ∃j tal que vj = 0. En aquest cas, podem escriure: 0v1 + . . . + 0vj−1 + 1vj + 0vj+1 + . . . + 0vn = 0 , la qual cosa indica que V ´es lligat.
[ 2 ] Suposem que ∃i, j, i = j tals que vi = vj , ´es a dir, 1vi − 1vj = 0. Si suposem que i < j (la qual cosa no fa perdre generalitat a la demostraci´o), podrem escriure: 0v1 + . . . + 0vi−1 + 1vi + 0vi+1 + . . . + 0vj−1 − 1vj + 0vj+1 + . . . + 0vn = 0 , i, per tant, el sistema V ´es lligat.
Algweb [ 3 ] Suposem que existeix un subconjunt no buit de V , que sigui lligat. Sense p`erdua de generalitat, sigui W = {v1 , . . . , vp } ⊂ V (p ∈ N∗ , 1 ≤ p ≤ n) aquest subconjunt (en cas contrari, podriem reordenar convinentment els vectors de V i realitzar un canvi de notaci´o). Per ser lligat podem garantir que ∃λ1 , . . . , λp ∈ K, amb algun λj = 0, que verifiquen: λ1 v1 + . . . + λp vp = 0 Llavors, sumant el vector 0 = 0vp+1 + . . . 0vn als dos cantons de la igualtat, tindrem que se mant´e la igualtat i, per tant: λ1 v1 + . . . + λp vp + 0vp+1 + . . . 0vn = 0 , la qual cosa indica que V ´es lligat.
[4] L’equaci´ o vectorial λ1 (α1 v1 ) + . . . + λn (αn vn ) = 0 pot tornar-se a escriure, fent u ´s del quart punt de la definici´o d’espai vectorial com: (λ1 α1 )v1 + . . . + (λn αn )vn = 0 Al ser {v1 , . . . , vn } lliure per hip` otesi, es t´e que λj αj = 0 (∀j = 1, n) . I sent αj = 0 (∀j = 1, n), han de ser nuls els escalars λ1 , . . . , λn , finalitzant la demostraci´o.
Corol·lari 2.2.2: verifica: Sigui E un espai vectorial sobre K, i sigui V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E 1) Si 0 ∈ V , llavors V ´es lligat 2) Si hi ha dos o m´es vectors iguals en V , llavors V ´es lligat 3) Si algun subconjunt (no buit) de V ´es lligat, llavors V ´es lligat.
Demostraci´ o 2.2.2 (n ∈ N∗ ). Es Aquests tres punts s´ on els teoremes contrarrec´ıprocs respectius dels tres primers punts de la proposici´o 2.2.1.
Proposici´ o 2.2.3: sistema lliure.
Sigui E un espai vectorial sobre K, i sigui v ∈ E, v = 0. Llavors, {v} ´es un Demostraci´ o 2.2.3 De l’equaci´ o λv = 0 (amb λ ∈ K) deduim directament que λ = 0, gr`acies al punt 6 de la proposici´o 2.1.1 (ja que v = 0).
Proposici´ o 2.2.4: Sigui E un espai vectorial sobre K, i sigui V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E (n ∈ N∗ , n ≥ 2).
Llavors : Algweb V lligat ⇔ { ∃j / vj ´es combinaci´o lineal de la resta de vectors de V } Demostraci´ o 2.2.4 =⇒ ] Si V ´es lligat: λ1 v1 + . . . + λn vn = 0, amb algun escalar λj = 0.
Llavors: λj vj = −λ1 v1 − . . . − λj−1 vj−1 − λj+1 vj+1 − . . . λn vn . Com que λj = 0 , existeix l’escalar (λj )−1 ∈ K / (λj )−1 λj = 1 i, per tant, multiplicant per (λj )−1 : vj = −[(λj )−1 λ1 ]v1 − . . . − [(λj )−1 λj−1 ]vj−1 − [(λj )−1 λj+1 ]vj+1 − . . . − [(λj )−1 λn ]vn , indicant que vj ´es combinaci´ o lineal de la resta de vectors de V .
⇐= ] Sigui vj = β1 v1 + . . . + βj−1 vj−1 + βj+1 vj+1 + . . . + βn vn . Sumant als dos cantons de la igualtat el vector −vj : 0 = β1 v1 + . . . + βj−1 vj−1 − 1vj + βj+1 vj+1 + . . . + βn vn , i el sistema V ´es lligat.
Notem que la proposici´ o 2.2.4 garanteix que en un sistema lligat sempre existeix un vector que pot posar-se com a combinaci´ o lineal de la resta, per`o no diu que tots ells puguin expressar-se d’aquesta forma. Si de l’equaci´ o λ1 v1 + . . . + λn vn = 0 deduim que per for¸ca ´es λj = 0, llavors vj no podr`a ser combinaci´o lineal de la resta d’elements de V .
Exemple 2.2.4: En el espai vectorial real R2 , ´es lligat el seg¨ uent sistema de vectors : V = {(1, 0), (0, 1), (2, 2), (3, 1)} (ja que, per exemple: 2(1, 0) + 2(0, 1) − 1(2, 2) + 0(3, 1) = (0, 0) ).
Llavors: (1, 0) = 12 (2, 2) − 1(0, 1) + 0(3, 1) , (0, 1) = 12 (2, 2) − 1(1, 0) + 0(3, 1), i tamb´e: (2, 2) = 2(1, 0) + 2(0, 1) + 0(3, 1).
Tamb´e el vector (3, 1) pot ser expressat com a combinaci´o lineal de (1, 0), (0, 1) i (2, 2). En efecte, per exemple: −3(1, 0) − 1(0, 1) + 0(2, 2) + 1(3, 1) = (0, 0) , la qual cosa permet d’escriure: (3, 1) = 3(1, 0) + 1(0, 1) + 0(2, 2) .
Exemple 2.2.5: En R2 , ´es lligat el sistema de vectors : V = {(1, 1), (2, 2), (3, 1)} (per exemple: 2(1, 1) − 1(2, 2) + 0(3, 1) = (0, 0) ).
Aix´ı doncs: (1, 1) = 12 (2, 2) + 0(3, 1), i tamb´e: (2, 2) = 2(1, 1) + 0(3, 1).
En canvi, el vector (3, 1) no pot ser expressat com a combinaci´o lineal de (1, 1) i (2, 2). En efecte, si plantegem l’equaci´ o (3, 1) = λ(1, 1) + µ(2, 2) s’obt´e: 3 = λ + 2µ , d’on deduim que 3 = 1 , impossible !! 1 = λ + 2µ Algweb Quin ´es el motiu d’aquesta impossibilitat? De l’equaci´o α(1, 1) + β(2, 2) + γ(3, 1) = (0, 0) es dedueix: 0 = α + 2β + 3γ , 0 = α + 2β + γ sistema on l’´ unica soluci´ o ´es α = −2β (∀β ∈ R) , γ = 0 . Al ser γ = 0, el vector (3, 1) no podr`a expressar-se mai com a combinaci´ o lineal de (1, 1) i (2, 2) .
2.3 Subespai vectorial Definici´o 2.3.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i F ⊂ E. Es diu que F ´es un subespai vectorial de E si verifica: 1) F =∅ 2) (∀x, y ∈ F ) x + y ∈ F 3) (∀λ ∈ K, ∀x ∈ F ) λx ∈ F Proposici´ o 2.3.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i F ⊂ E. Es verifica: F ´es subespai vectorial de E ⇐⇒ 1) 0 ∈ F 2) (∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ F ) λx + y ∈ F Demostraci´ o 2.3.1 =⇒ ] Com que F = ∅, existeix un cert x ∈ F . Llavors, 0 · x ∈ F , ´es a dir, 0 ∈ F , demostrant el punt 1.
Per a veure el punt 2, notem que λx ∈ F per hip`otesi, per a qualssevol λ ∈ K, x ∈ F . Si definim z = λx, i prenem qualsevol y ∈ F , tenim que z + y ∈ F , ja que F ´es subespai vectorial. Per tant, λx + y ∈ F .
⇐= ] Clarament, F = ∅ ja que 0 ∈ F per hip`otesi. Per a qualsevol x, y ∈ F , tenim que x + y ∈ F si prenem λ = 1 en el punt 2 de la hip` otesi. Finalment, per a tot λ ∈ K i tot x ∈ F , podem escriure λ x = λ x + 0 ∈ F , havent emprat els dos punts de la hip`otesi. Aix´ı, F ´es subespai vectorial.
Per a veure que un cert conjunt ´es subespai vectorial, podem emprar tant els tres punts en la definici´o 2.3.1 com els dos de la proposici´ o 2.3.1. Per comoditat, en els exemples que venen a continuaci´o, farem servir la segona estrat`egia. Tamb´e cal assenyalar que no ´es dif´ıcil de demostrar que la condici´o “(∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ F ) λx + y ∈ F ” (punt 2, proposici´o 2.3.1) pot ser substituida per les dues condicions dels punts 2 i 3 de la definici´ o 2.3.1.
Algweb Exemple 2.3.1: Sigui R2 [x] l’espai vectorial real introdu¨ıt en l’exemple 2.1.5. Siguin F1 , F2 dos subconjunts de R2 [x] definits com: F1 = {α(x2 − x + 1), α ∈ R} , F2 = {x, x2 − x + 1} Vegem si tenen estructura de subespai vectorial de R2 [x] (el vector zero de R2 [x] el simbolitzarem per θ(x), que ´es el polinomi 0 + 0x + 0x2 ).
[ F1 ] ( 1 ) θ(x) ∈ F1 , ja que podem escriure θ(x) = 0 · (x2 − x + 1), i el nombre zero ´es real.
( 2 ) Sigui λ un escalar real qualsevol, i siguin p(x), q(x) dos elements arbitraris de F1 : p(x) = α(x2 − x + 1) (α ∈ R), q(x) = γ(x2 − x + 1) (γ ∈ R).
Llavors: λp(x) + q(x) = λ(α(x2 − x + 1)) + γ(x2 − x + 1) = (λα + γ)(x2 − x + 1). Ja que que λα + γ ∈ R, tenim que λp(x) + q(x) ∈ F1 .
D’aquesta forma, F1 ´es un subespai vectorial de R2 [x].
[ F2 ] ( 1 ) θ(x) ∈ F2 , ja que F2 consta nom´es de dos elements, i cap d’ells ´es θ(x).
Per tant, F2 no ´es un subespai vectorial de R2 [x].
Exemple 2.3.2: Sigui F ⊂ C2 el conjunt definit com segueix: F = { (a, 3a), a ∈ C } Vegem si es verifiquen les dues condicions de subespai vectorial.
( 1 ) 0 = (0, 0) ∈ F , ja que 3 · 0 = 0 (la segona coordenada ´es tres cops la primera).
( 2 ) Sigui λ un nombre complex qualsevol (´es complex perque estem en un espai vectorial complex) i siguin x, y dos elements arbitraris de F : x = (a, 3a), y = (b, 3b) (amb a, b ∈ C).
Llavors: λx + y = (λa + b, λ3a + 3b) = (λa + b, 3[λa + b]). I com que que la segona coordenada ´es igual a la primera multiplicada per tres, tenim que λx + y ∈ F . Al ser λ, x, y arbitraris, es dedueix que F ´es subespai vectorial de C2 .
Exemple 2.3.3: Sigui FR l’espai vectorial real definit en l’exemple 2.1.6. Sigui F ⊂ FR el conjunt definit com : F = { f ∈ FR / ∃α ∈ R tal que f (x) = αx (∀x ∈ R) } Algweb Vegem si es verifiquen les dues condicions de subespai vectorial.
( 1 ) 0 = θ(x) (definida per θ(x) = 0 , ∀x ∈ R) ´es certament un element de F (nom´es cal prendre α = 0).
( 2 ) Sigui λ un nombre real qualsevol i siguin fα , fβ dos elements arbitraris de F : fα (x) = αx , fβ (x) = βx , (α, β ∈ R, ∀x ∈ R) Per a qualsevol x ∈ R : (λfα + fβ )(x) = λfα (x) + fβ (x) = λαx + βx = (λα + β)x I com que el resultat ´es un nombre real mutiplicat per x (per a tots els x ∈ R), resulta que λfα + fβ ∈ F .
Al ser λ, fα , fβ arbitraris, obtenim que F ´es subespai vectorial de FR .
Lema 2.3.2: Si E ´es espai vectorial sobre K, llavors {0} i E s´on subespais vectorials de E .
Els subespais vectorials {0} i E s’anomenen subespais vectorials impropis de E. S’anomena subespai trivial al subespai vectorial {0} . Es parla de subespai propi de E per fer refer`encia a qualsevol subespai vectorial de E diferent de {0} i de E .
Proposici´ o 2.3.3: verifica: Sigui E un espai vectorial sobre K, i F ⊂ E un subespai vectorial de E. Es 1) (∀x ∈ F ) − x ∈ F 2) (∀n ∈ N∗ , ∀λ1 , . . . , λn ∈ K, ∀x1 , . . . , xn ∈ F ) λ1 x1 + . . . + λn xn ∈ F Demostraci´ o 2.3.3 [ 1 ] Nom´es cal prendre λ = −1 en el punt 3 de la definici´o de subespai vectorial.
[ 2 ] Per ser x1 , . . . , xn elements del subespai F es t´e que λj xj ∈ F (∀j = 1, n), aplicant el tercer punt de la definici´ o 2.3.1. Tenint ara en compte el segon punt d’aquesta definici´o, deduim que λ1 x1 +λ2 x2 pertany a F . I, per tant, (λ1 x1 + λ2 x2 ) + λ3 x3 tamb´e ´es un element de F . Si es recorda que la suma ´es associativa (podem treure par`entesi) en un espai vectorial, i es procedeix recurrentment de la mateixa forma (un nombre finit de vegades), acabarem obtenint que λ1 x1 + . . . + λn xn ∈ F .
• Observeu que si E ´es un espai vectorial sobre K respecte d’una suma (+) i un producte per escalars (·), i F ⊂ E ´es un subespai vectorial de E, queda garantit que les aplicacions + : F × F −→ F (x, y) → x+y = x + y · : K × F −→ F (λ, x) → λ·x = λ · x = λx Algweb estan ben definides en pert` anyer els vectors (x + y), (λx) al subespai vectorial F (per a qualssevol x, y ∈ F, λ ∈ K), ´es a dir, que “+” ´es una operaci´o definida en F i “ · ” ´es una llei de composici´o externa definida en F . A + i · se les anomena, respectivament, suma restringida a F i producte per escalars restringit a F .
Proposici´ o 2.3.4: Si E ´es un espai vectorial sobre K respecte d’una suma i un producte per escalars, i F ⊂ E ´es un subespai vectorial de E, llavors F ´es un espai vectorial sobre K respecte de la suma i el producte per escalars restringits a F .
Demostraci´ o 2.3.4 Com que la suma i el producte per escalars restringits a F (+, ·) es redueixen a la suma i producte extern en E (+, ·) involucrant tan sols elements de F : ´ f`acil veure que (F, +) ´es grup commutatiu. En efecte, l’associativitat i commutativitat de “+” [ 1 ] Es queden garantides en ser “+” associativa i commutativa. Adem´es, el vector zero de F respecte + no pot ser altre que el vector 0(∈ E), que pertany a F ja que ´es subespai vectorial. Finalment, per a qualsevol x ∈ F tenim que −x tamb´e ´es un element de F (proposici´o 2.3.3, punt 1).
[ 2 ] Els punts 2, 3, 4 i 5 de la definici´ o 2.1.2 es verifiquen autom`aticament per a tots els vectors de F ⊂ E, ja que ho fan per a tots els elements de E .
• Estudiem ara si la intersecci´ o i la uni´o de subespais d’un mateix espai vectorial ´es tamb´e subespai vectorial.
Proposici´ o 2.3.5: Siguin E un espai vectorial sobre K, n ∈ N∗ , i F1 , F2 , . . . , Fn subespais vectorials de E. Llavors, F1 ∩ F2 ∩ . . . ∩ Fn ´es subespai de E.
Demostraci´ o 2.3.5 En primer lloc, el vector 0 pertany a qualsevol subespai de E. Per tant, pertanyer`a a F1 ∩F2 ∩. . .∩Fn .
En segon lloc, per a qualssevol vectors x, y de la intersecci´o tenim que x, y ∈ Fj (∀j = 1, n). Aix´ı, per a tota λ ∈ K es verifica que λx + y ∈ Fj (∀j = 1, n), justament per ser Fj subespai vectorial de E.
Com a conseq¨ u`encia, λx + y ∈ F1 ∩ F2 ∩ . . . ∩ Fn , i la intersecci´o de subespais ´es subespai de E.
Exemple 2.3.4: Siguin F, G dos subespais de l’espai vectorial real R3 [x] definits com: F = { a + bx + dx3 , a, b, d ∈ R } , G = { α(1 − 2x + x2 + 3x3 ) + β(x − x3 ) , α, β ∈ R } Calculem F ∩ G . Sigui x un vector arbitrari de F ∩ G. Pel fet de pert`anyer a F , es pot escriure: x = a + bx + dx3 (∃ a, b, d ∈ R) I com que ´es un element de G : Algweb x = α(1 − 2x + x2 + 3x3 ) + β(x − x3 ) (∃ α, β ∈ R) Igualant les dues expressions anteriors, s’obt´e: a + bx + dx3 = α + (−2α + β)x + αx2 + (3α − β)x3 , d’on es dedueix (recordeu el criteri d’igualtat en R3 [x]) que: a = α   b = −2α + β  0 = α d = 3α − β Com que la soluci´ o d’aquest sistema d’equacions ´es α = a = 0, β = b = −d (´es a dir, β pot prendre qualsevol valor real), resulta que el vector gen`eric x ∈ F ∩ G es pot escriure (substituint α i β en l’expressi´o de x com element de G) de la forma x = β(x − x3 ), amb β ∈ R arbitrari. Per tant: F ∩ G = { β(x − x3 ) , β ∈ R } ´ f`acil comprovar que el conjunt F ∩ G aix´ı obtingut ´es subespai vectorial de R3 [x] .
Es L’exemple 2.3.5 demostrar` a que, en general, la uni´ o de dos subespais vectorials no ´es subespai vectorial. Obviament, aix` o no voldr` a dir que mai la uni´o de dos subespais pugui ser subespai vectorial.
En efecte, si F ⊂ E ´es un subespai de l’espai vectorial E, F ∪ F s´ı ´es subespai vectorial de E (ja que F ∪ F = F ).
Exemple 2.3.5: En l’espai vectorial real R2 prenem els dos subespais F i G seg¨ uents: F = { (x, 0) , x ∈ R } , G = { (0, y) , y ∈ R } ´ clar que: Es F ∪ G = { (x, y) ∈ R2 / (x = 0) ∨ (y = 0) } Siguin x = (1, 0) ∈ F ⊂ F ∪ G , y = (0, 1) ∈ G ⊂ F ∪ G dos elements de F ∪ G. Si F ∪ G fos subespai vectorial de R2 , la suma x + y hauria de pert`anyer a F ∪ G. Per`o x + y = (1, 1) ∈ F ∪ G en no tenir cap coordenada nul·la, d’on es dedueix que F ∪ G no ´es subespai vectorial de R2 .
2.4 Sistemes de generadors. Subespai suma Definici´o 2.4.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i V ⊂ E (V = ∅). S’anomena subespai vectorial generat per V (o b´e: varietat lineal generada per V ) al seg¨ uent conjunt simbolitzat per < V >K : < V >K = { x ∈ E / x ´es combinaci´o lineal de V } ⊂ E Es diu que V ´ es un sistema de generadors de < V >K , o b´e que V genera < V >K , o tamb´e que < V >K est` a generat per V .
Algweb Tamb´e s’admet simbolitzar < V >K per < V >, quan no hi hagi cap ambig¨ uitat respecte del cos d’escalars utilitzat.
Proposici´ o 2.4.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i V ⊂ E (V = ∅). Es verifica: 1) V ⊂ < V >K 2) < V >K ´es subespai vectorial de E Demostraci´ o 2.4.1 [ 1 ] Per a qualsevol x ∈ V tenim que x ´es combinaci´o lineal de V en poder escriure x = 1 · x , i, per tant, x ∈ < V >K . D’aqu´ı es dedueix que V ⊂ < V >K .
[2] Verifiquem per a < V >K les dues propietats de subespai vectorial de la proposici´o 2.3.1.
En primer lloc, com que V = ∅, existeix al menys un vector x ∈ V . Ara, ´es clar que 0 ∈ < V >K ja que 0 ´es combinaci´ o lineal de V en poder escriure 0 = 0 · x .
En segon lloc, siguin els elements arbitraris x, y ∈ < V >K , λ ∈ K . Llavors: ∃n ∈ N∗ , ∃x1 , . . . , xn ∈ V, ∃α1 , . . . , αn ∈ K / x = α1 x1 + . . . + αn xn ∃p ∈ N∗ , ∃y1 , . . . , yp ∈ V, ∃β1 , . . . , βp ∈ K / y = β1 y1 + . . . + βp yp Per tant: λx + y = (λα1 )x1 + . . . + (λαn )xn + β1 y1 + . . . + βp yp En ser (λα1 ), . . . , (λαn ), β1 , . . . , βp elements de K i ser (n + p) un nombre finit, resulta que λx + y ´es combinaci´o lineal d’elements de V , ´es a dir, pertany a < V >K . Aix´ı, queda demostrat que < V >K ´es subespai vectorial d’E.
Vegem ara que < V >K ´es el m´ınim subespai vectorial que cont´e V .
Proposici´ o 2.4.2: Siguin E un espai vectorial sobre K, i V ⊂ E (V = ∅). Llavors, per a qualsevol subespai vectorial F ⊂ E es verifica: V ⊂F =⇒ < V >K ⊂ F Demostraci´ o 2.4.2 Per a tot vector x ∈ < V >K sabem que: ∃n ∈ N∗ , ∃v1 , . . . , vn ∈ V, ∃α1 , . . . , αn ∈ K / x = α1 v1 + . . . + αn vn Algweb Per`o el vector vj (∀j = 1, n), al pert` anyer a V ´es tamb´e un element de F , per hip`otesi. Per tant, segons la proposici´o 2.3.3, tamb´e x ∈ F . Aix´ı queda demostrat que < V >K ⊂ F .
Corol·lari 2.4.3: Siguin E un espai vectorial sobre K, i F ⊂ E un subespai vectorial de E. Llavors: F = < F >K Demostraci´ o 2.4.3 ´ evident que F ⊂ < F >K , pel punt 1 de la proposici´o 2.4.1. D’altra banda, com que F ⊂ F , Es podem aplicar la proposici´ o 2.4.2 i obtenir que < F >K ⊂ F . Aix´ı, de la doble inclusi´o es dedueix la igualtat F =< F >K .
Corol·lari 2.4.4: Siguin E un espai vectorial sobre K, V ⊂ E (V = ∅), i F ⊂ E un subespai vectorial de E. Llavors: V ⊂F ⇐⇒ < V >K ⊂ F Demostraci´ o 2.4.4 =⇒ ] Veure Proposici´ o 2.4.2.
⇐= ] Com que V ⊂ < V >K (punt 1 de la proposici´o 2.4.1) i < V >K ⊂ F (per hip`otesi), deduim que V ⊂ F .
Corol·lari 2.4.5: Siguin E un espai vectorial sobre K, V, W ⊂ E (V, W = ∅). Llavors: < V >K = < W >K Tot vector de V ´es combinaci´o lineal de W i tot vector de W ´es combinaci´o lineal de V Demostraci´ o 2.4.5 ⇓ ] Com que V ⊂ < V >K = < W >K , resulta que tot vector de V pertany a < W >K , ´es a dir, ´es combinaci´o lineal de W . An` alogament es veu que tot vector de W ´es combinaci´o lineal de V .
⇑ ] Si tot vector de V ´es combinaci´ o lineal de W , vol dir que V ⊂ < W >K . Per tant, per la proposici´o 2.4.2, deduim que < V >K ⊂ < W >K . An`alogament obtenim que < W >K ⊂ < V >K , finalitzant la demostraci´ o en haver comprovat la doble inclusi´o.
Algweb • Si F1 , F2 , . . . , Fn s´ on subespais vectorials d’un espai vectorial E, ja hem vist que la seva uni´o no ´es, en general, subespai. I acabem de veure que el subespai de E “m´es petit” que amplia F1 ∪ F2 ∪ . . . ∪ Fn ´es, precisament, < F1 ∪ F2 ∪ . . . ∪ Fn >K . Tot seguit veurem una forma de caracteritzar aquest subespai de manera m´es operativa.
Definici´o 2.4.2: Siguin E un espai vectorial sobre K , n ∈ N∗ i F1 , . . . , Fn ⊂ E un conjunt de subespais vectorials de E. S’anomena subespai vectorial suma de F1 , . . . , Fn (i es simbolitza per F1 + . . . + Fn ) al seg¨ uent conjunt: F1 + . . . + Fn = { x ∈ E / x = x1 + . . . + xn , amb x1 ∈ F1 , . . . , xn ∈ Fn } ⊂ E Proposici´ o 2.4.6: Siguin E un espai vectorial sobre K , n ∈ N∗ i F1 , . . . , Fn ⊂ E un conjunt de subespais vectorials de E. Es verifica: 1) F1 + . . . + Fn = < F1 ∪ . . . ∪ Fn >K 2) F1 + . . . + Fn ´es, efectivament, subespai vectorial de E.
Demostraci´ o 2.4.6 [ 1 ] Verificarem la doble inclusi´ o. En primer lloc, observem que ∀j = 1, n i per tot xj ∈ Fj podem escriure: xj = 0 + . . . + xj + 0 + . . . 0, on considerem al 0 com a element dels subespais ´ a dir, Fj ⊂ F1 +. . .+Fn . Per tant, ´es clar que F1 ∪. . .∪Fn ⊂ F1 +. . .+Fn .
F1 , . . . , Fj−1 , Fj+1 , . . . , Fn . Es Llavors, la proposici´ o 2.4.2 permet afirmar que < F1 ∪ . . . ∪ Fn >K ⊂ F1 + . . . + Fn .
En segon lloc, sigui x ∈ E un vector tal que x = x1 + . . . + xn (amb x1 ∈ F1 , . . . , xn ∈ Fn ). Com que ∀j = 1, n tenim que xj ∈ Fj ⊂ (F1 ∪ . . . ∪ Fn ), resulta que el vector x ´es combinaci´o lineal d’elements de F1 ∪ . . . ∪ Fn , ´es a dir, x ∈ < F1 ∪ . . . ∪ Fn >K .
[2] ´ conseq¨ Es u`encia del punt anterior, ja que < F1 ∪ . . . ∪ Fn >K ´es subespai vectorial.
Exemple 2.4.1: En l’espai vectorial real R2 , prenem els dos subespais F i G de l’exemple 2.3.5 : F = { (x, 0) , x ∈ R } , G = { (0, y) , y ∈ R } Tal com es va trobar en l’exemple 2.3.5 : F ∪ G = { (x, y) ∈ R2 / (x = 0) ∨ (y = 0) } Trobem ara el subespai F + G = < F ∪ G >R . Per a fer-ho, hem d’avaluar totes les sumes x1 + x2 , amb x1 ∈ F , x2 ∈ G . Llavors, si x1 = (z, 0) ´es un element arbitrari de F (∀z ∈ R) i x2 = (0, t) ´es un element arbitrari de G (∀t ∈ R) , el vector x1 + x2 = (z, t) pertany a F + G. En ser z, t arbitraris, es dedueix trivialment que F + G = R2 .
Proposici´ o 2.4.7: Sigui E un espai vectorial sobre K. Per a qualssevol F, G, H, L ⊂ E subespais vectorials de E es verifica: F ⊂ (F + G) , G ⊂ (F + G) (F ∩ G) ⊂ (F + G) , (F ∪ G) ⊂ (F + G) F +G=G+F F +{ 0 }=F ={ 0 }+F F +F =F { F ⊂ H , G ⊂ L } =⇒ (F + G) ⊂ (H + L) F + G = F ⇐⇒ G ⊂ F Algweb 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Demostraci´ o 2.4.7 [1] Veure la demostraci´ o del punt 1 de la proposici´o 2.4.6.
[2] Es dedueix directament del punt anterior.
[3] F + G = < F ∪ G >K = < G ∪ F >K = G + F .
[ 4 ] F + {0} = < F ∪ {0} >K = < F >K = F . Per altra banda, pel punt 3: F + {0} = {0} + F .
[5] F + F = < F ∪ F >K = < F >K = F [ 6 ] Si F ⊂ H ´es clar que F ⊂ (H + L); an`alogament, si G ⊂ L llavors G ⊂ (H + L). Per tant, (F ∪ G) ⊂ (H + L). Si ara apliquem la proposici´o 2.4.2, obtenim: (F + G) ⊂ (H + L).
[ 7, =⇒ ] Pel punt 1 tenim que G ⊂ (F + G), i per hip`otesi sabem que F + G = F . Per tant, G ⊂ F .
[ 7, ⇐= ] Si G ⊂ F , llavors F ∪ G = F . Per tant, F + G = < F ∪ G >K = < F >K = F .
Definici´o 2.4.3: Siguin E un espai vectorial sobre K, (n ∈ N∗ , n ≥ 2) i F1 , . . . , Fn ⊂ E un conjunt de subespais vectorials de E. Es diu que la suma de F1 , . . . , Fn ´ es directa (i es simbolitza la suma per F1 ⊕ . . . ⊕ Fn ) si es verifica: (∀j = 1, n) Fj ∩ (F1 + . . . + Fj−1 + Fj+1 + . . . Fn ) = {0} Noteu que la suma de dos subespais F1 i F2 ´es directa si i nom´es si F1 ∩ F2 = {0}. Observeu tamb´e que si tenim tres o m´es subespais F1 , . . . , Fn , que la suma de tots ells sigui directa implica que Fi ∩ Fj = {0}, ∀i, j = 1, n, i = j (nom´es cal recordar el punt 1 de la proposici´o 2.4.7). Per contra, que la intersecci´o Fi ∩ Fj sigui igual al subespai {0} per cada parell d’indexs diferents i, j = 1, n no implica que la suma de F1 , . . . , Fn sigui directa. Es veur`a amb l’exemple 2.4.2.
Exemple 2.4.2: En l’espai vectorial real R3 prenem els subespais F, G, H seg¨ uents: F = { (x, y, 0) , x, y ∈ R } , G = { (0, 0, z) , z ∈ R } H = { (0, t, t) , t ∈ R } ´ f`acil comprovar que: F ∩ G = {0} , F ∩ H = {0} , G ∩ H = {0}. Com a exemple, vegem que Es F ∩ G = {0} . Si (x, y, z) ∈ F ∩ G s’ha de complir simult`aniament: Algweb z = 0 (ja que (x, y, z) ∈ F ) , x = y = 0 (ja que (x, y, z) ∈ G) Aix`o obliga a que (x, y, z) = (0, 0, 0) .
Provem ara que (F + G) ∩ H = {0} (amb la qual cosa la suma de F, G i H no ser`a directa).
Sigui a = (α, β, γ) ∈ (F + G) ∩ H . Pel fet de pert`anyer al subespai F + G han d’existir els vectors aF = (x, y, 0) ∈ F (existeixen x, y ∈ R) i aG = (0, 0, z) ∈ G (existeix z ∈ R) tals que a = aF + aG , ´es a dir: (α, β, γ) = (x, y, 0) + (0, 0, z) = (x, y, z) Noteu que la relaci´ o anterior no imposa cap condici´o restrictiva sobre α, β, γ .
Per`o pel fet de pert` anyer a al subespai vectorial H ha d’existir t ∈ R tal que: (α, β, γ) = (0, t, t) , d’on es dedueix que α = 0 , β = γ (= t) . Per aix`o, qualsevol vector a = (0, β, β) (per a tot β ∈ R) ´es un element de (F + G) ∩ H . Prenent β = 0 trobem que (F + G) ∩ H = {0} .
Proposici´ o 2.4.8: Siguin E un espai vectorial sobre K, n ∈ N∗ (n ≥ 2), i F1 , . . . , Fn ⊂ E un conjunt de subespais vectorials de E. Es verifica: La suma de F1 , . . . , Fn ´es directa ∀x ∈ (F1 + . . . + Fn ) existeixen i s´on unics els vectors x1 ∈ F1 , . . . , xn ∈ Fn tals que x = x1 + . . . + xn Demostraci´ o 2.4.8 ⇑ ] Sigui x ∈ Fj ∩ (F1 + . . . + Fj−1 + Fj+1 + . . . Fn ) . Pel fet de ser x un vector de F1 + . . . + Fj−1 + Fj+1 + . . . Fn tenim: ∃ x1 ∈ F1 , . . . , ∃ xj−1 ∈ Fj−1 , ∃ xj+1 ∈ Fj+1 , . . . , ∃xn ∈ Fn tals que x = x1 + . . . + xj−1 + xj+1 + . . . + xn Aquesta expressi´ o es pot escriure com: 0 = x1 + . . . + xj−1 − x + xj+1 + . . . + xn Per`o tamb´e ´es v` alida la seg¨ uent expressi´o pel vector 0 : 0 = 0 + ... + 0 , on els vectors 0 es prenen com elements de F1 , . . . , Fn .
Ja que l’escriptura pel vector x com element de F1 + . . . + Fn ´es u ´nica per hip`otesi, tenim que x1 = . . . = xj−1 = −x = xj+1 = . . . = xn = 0 . Al ser x = 0 i ser j arbitrari es dedueix que la suma de F1 , . . . , Fn ´es directa.
Suposem que un vector z ∈ F1 + . . . + Fn es pugui escriure com: Algweb ⇓] z = x1 + . . . + xn = y1 + . . . + yn , on xj , yj ∈ Fj (∀j = 1, n). Restant les dues expressions per a z : 0 = u 1 + . . . + un , on uj = xj − yj , uj ∈ Fj (∀j = 1, n). Ara, per cada i = 1, n, podem escriure: ui = −u1 − . . . − ui−1 − ui+1 − . . . − un Clarament, el vector a la dreta del signe igual pertany al subespai F1 + . . . Fi−1 + Fi+1 + . . . Fn . En altres paraules, obtenim: ui ∈ Fi ∩ (F1 + . . . Fi−1 + Fi+1 + . . . Fn ) , i com que la suma ´es directa, cal que ui = 0. Per tant, deduim que xi = yi , i aix`o per cada i = 1, n, finalitzant la demostraci´ o.
• S’introdueix ara el concepte de subespai suplementari d’un cert subespai vectorial.
Definici´o 2.4.4: Siguin E un espai vectorial sobre K, F ⊂ E un subespai vectorial de E . Es diu que el subespai G ⊂ E ´es subespai vectorial suplementari de F si verifica: F ⊕ G = E.
Obviament, si G ⊂ E ´es subespai suplementari de F ⊂ E llavors F ´es suplementari de G (al ser F ⊕ G = G ⊕ F ), i es diu que tots dos subespais vectorials s´on suplementaris.
Lema 2.4.9: Si E ´es un espai vectorial sobre K, els subespais vectorials E i { 0 } s´on suplementaris, ´es a dir: E⊕{ 0 }=E Exemple 2.4.3: Siguin Fp , Fi els dos subespais vectorials de FR seg¨ uents : Fp = { f ∈ FR / f (x) = f (−x) , ∀x ∈ R } (funcions parells) Fi = { f ∈ FR / f (x) = −f (−x) , ∀x ∈ R } (funcions imparells) ´ f`acil veure que Fp ∩Fi = {θ} (amb θ(x) = 0, ∀x ∈ R), la qual cosa implica que Fp +Fi = Fp ⊕Fi .
Es En efecte, si f ∈ FR ´es un element arbitrari de Fp ∩ Fi s’ha de complir ∀x ∈ R : f (x) = f (−x) , f (x) = −f (−x) , d’on es dedueix que f (x) = 0 (∀x ∈ R) i ´es f = θ .
Adem´es, es verifica que FR = Fp + Fi ja que tota funci´o de FR es pot expressar com la suma d’un element de Fp i un de Fi ; per veure-ho, donada una funci´o f ∈ FR arbitr`aria definim les funcions fp , fi ∈ FR com: Algweb (∀x∈R) fp (x) = 12 [f (x) + f (−x)] , fi (x) = 12 [f (x) − f (−x)] Sense massa problemes es veu que fp ∈ Fp , fi ∈ Fi , f = fp + fi , la qual cosa prova que FR ⊂ Fp + Fi .
Com que Fp + Fi ⊂ FR , obtenim FR = Fp ⊕ Fi , ´es a dir, Fp i Fi s´on subespais suplementaris.
En l’exemple 2.4.4 comprovarem que el subespai suplementari no ´es, en general, u ´nic.
Exemple 2.4.4: Siguin F, G ⊂ R3 dos dels subespais ja utilitzats en l’exemple 2.4.2 : F = { (x, y, 0) , x, y ∈ R } , G = { (0, 0, z) , z ∈ R } Com es va comprovar en l’exemple 2.4.2, tenim que F ∩ G = {0} , la qual cosa implica que F + G = F ⊕ G . Adem´es, es verifica que R3 = F + G ja que tot vector de R3 es pot expressar com la suma d’un element de F i unaltre de G : ( ∀ (x, y, z) ∈ R3 ) (x, y, z) = (x, y, 0) + (0, 0, z) , provant que R3 ⊂ F + G i, per tant, R3 = F ⊕ G.
Tamb´e el subespai vectorial L = { (x, x, x) , x ∈ R } ´es suplementari de F . En efecte, per una banda ´es F ∩L = {0} , la qual cosa implica que F +L = F ⊕L .
Per veure-ho, si (x, y, z) ∈ F ∩ L ha de complir-se simult`aniament: z = 0 (ja que (x, y, z) ∈ F ) , x = y = z (perque (x, y, z) ∈ L) , d’on ´es obligat que (x, y, z) = (0, 0, 0) .
A m´es, es compleix que R3 = F + L ja que: ( ∀ (x, y, z) ∈ R3 ) (x, y, z) = (x − z, y − z, 0) + (z, z, z) , (x − z, y − z, 0) ∈ F, (z, z, z) ∈ L la qual cosa prova que R3 ⊂ F + L , ´es a dir, R3 = F ⊕ L.
Aix´ı, hem trobat que tant G com L (G = L) s´on subespais suplementaris de F .
2.5 Espais vectorials de dimensi´ o finita Definici´o 2.5.1: Sigui E un espai vectorial sobre K. Es diu que E ´es de dimensi´ o finita si admet un sistema finit de generadors, ´es a dir: ∃ V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E (n ∈ N∗ ) / < V >K = E Algweb Com ja sabem, tot subespai vectorial es tamb´e espai vectorial. Aix`o vol dir que la definici´o anterior i els resultats que s’obtinguin a partir d’ara per espais vectorials de dimensi´o finita seran v`alids per subespais vectorials que admetin un sistema generador finit, independentment de que l’espai al que pertanyin sigui de dimensi´ o finita o no.
Exemple 2.5.1: Kn (n ∈ N∗ ) ´es espai vectorial sobre K de dimensi´o finita ja que el sistema finit de n vectors V = { (1, 0, . . . , 0, 0) , (0, 1, . . . , 0, 0) , . . . , (0, 0, . . . , 0, 1) } ⊂ Kn ´es generador de Kn . En efecte, per a qualsevol vector (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn es pot escriure: (x1 , x2 , . . . , , xn ) = x1 (1, 0, . . . , 0, 0) + x2 (0, 1, . . . , 0, 0) + . . . + xn (0, 0, . . . , 0, 1) , indicant que el vector (x1 , x2 , . . . , xn ) ´es combinaci´o lineal de V i, per tant, que Kn = < V >K .
Exemple 2.5.2: Sigui n ∈ N . Kn [x] ´es espai vectorial sobre K de dimensi´o finita ja que el sistema finit de n + 1 vectors V = { 1, x, x2 , . . . , xn } ⊂ Kn [x] ´es generador de Kn [x] . En efecte, qualsevol polinomi a0 + a1 x + a2 x2 + . . . an xn ∈ Kn [x] s’escriu com a combinaci´o lineal de V i, per tant, Kn [x] = < V >K .
Exemple 2.5.3: Els seg¨ uents espais vectorials no s´on de dimensi´o finita: R[x] , FR , CR [a, b] (sobre R) C[x] , FC Proposici´ o 2.5.1: { 0 } ´es un espai vectorial de dimensi´o finita.
(sobre C) Demostraci´ o 2.5.1 En efecte, ja que { 0 } ´es l’´ unic sistema generador de { 0 } .
Definici´o 2.5.2: Siguin E un espai vectorial sobre K, de dimensi´o finita, i V ⊂ E (V = ∅) un sistema de vectors. Es diu que V ´es una base de E si compleix: 1) < V >K = E (V e´s sistema generador de E) 2) V e´s un sistema lliure Algweb Dues bases d’un mateix espai vectorial de dimensi´o finita formades pels mateixos vectors (sent diferents nom´es per l’ordenaci´ o dels vectors) han de ser considerades diferents. Observeu tamb´e que per l’espai vectorial {0} no es pot trobar cap base, ja que l’´ unic sistema generador ´es {0}, que ´es lligat.
Exemple 2.5.4: Els sistemes de generadors V mostrats en els exemples 2.5.1 i 2.5.2 s´on bases dels respectius espais vectorials ja que s´ on lliures. Per cert, que aquestes bases es coneixen amb el nom de bases can` oniques dels espais vectorials respectius.
Proposici´ o 2.5.2: Sigui E = {0} un espai vectorial sobre K, de dimensi´o finita. Si V = {v1 , . . . , vn } (n ∈ N∗ , n ≥ 2) ´es un sistema de generadors de E , llavors: V ´es lligat =⇒ { ∃j = 1, n / V − {vj } ´es sistema de generadors de E } Demostraci´ o 2.5.2 Al ser V lligat, la proposici´ o 2.2.4 garanteix l’exist`encia d’un cert j = 1, n tal que vj ´es combinaci´o lineal de la resta de vectors de V (´es a dir, de V −{vj }). Per tant, existeixen β1 , . . . , βj−1 , βj+1 , . . . , βn ∈ K tals que: n vj = βi vi i=1 i=j Ara, per a qualsevol vector x ∈ E sabem que: n ∃α1 , . . . , αn ∈ K / x = n αi vi = i=1 αi vi + αj vj i=1 i=j Substituint en la f´ ormula anterior vj per la seva expressi´o com a combinaci´o lineal de V − {vj } s’obt´e: n x= n αi vi + αj ( i=1 i=j n βi vi ) = i=1 i=j (αi + αj βi )vi i=1 i=j Al ser αi + αj βi (∀i = 1, n , i = j) elements de K i ser n − 1 un nombre finit (nombre de vectors que apareixen en l’expressi´ o final de x), tenim que x ´es combinaci´o lineal dels elements de V − {vj }, i per tant pertany a < V − {vj } >K . Sent x ∈ E arbitrari, queda demostrat que V − {vj } ´es sistema generador de E.
Teorema 2.5.3 (Teorema de la base): Si E = {0} ´es un espai vectorial sobre K, de dimensi´o finita, llavors existeix una base de E .
Demostraci´ o 2.5.3 Algweb Sigui V ⊂ E un sistema generador de E. Si V ´es lliure, llavors V ´es una base de E i hem acabat.
En cas contrari (V lligat), podem aplicar reiteradament (un nombre finit de vegades) la proposici´o 2.5.2 sobre el sistema V i els successius sistemes generadors obtinguts “eliminant” aquells vectors que puguin expressar-se com a combinaci´ o lineal dels restants, acabant el proc´es quan el sistema generador obtingut sigui lliure (per tant, base de E). El cas extrem ´es aquell en el que, com final del proc´es, queda un u ´nic vector de V (vector no nul front la impossibilitat de que el vector 0 pugui generar un espai vectorial diferent del {0}). Ja que un sistema format per un u ´nic vector no nul ´es lliure (veure proposici´o 2.2.3), el teorema queda demostrat.
Proposici´ o 2.5.4: Siguin E un espai vectorial sobre K, de dimensi´o finita, V = {v1 , . . . vn } ⊂ E (n ∈ N∗ ) . Es verifica: V ´es base de E ⇔ { (∀x ∈ E) ∃! x1 ∈ K , . . . , ∃! xn ∈ K / x = x1 v1 + . . . + xn vn } Demostraci´ o 2.5.4 =⇒ ] Com que V genera E, tenim que ∀x ∈ E existeixen x1 ∈ K, . . . , xn ∈ K tals que x = x1 v1 + . . . + xn xn . Suposem ara que un cert x ∈ E es pugui escriure de dues formes diferents: x = x1 v1 + . . . + xn vn = y1 v1 + . . . + yn vn (xj , yj ∈ K, ∀j = 1, n) Restant totes dues escriptures, obtenim: 0 = (x1 − y1 )v1 + . . . + (xn − yn )vn Per`o V ´es lliure per hip` otesi i, per tant, xj − yj = 0 (´es a dir, xj = yj ), per a cada j = 1, n.
⇐= ] Per hip` otesi, tot vector de E ´es combinaci´o lineal de V , ´es a dir, < V >K ara que V ´es lliure, plantejant l’equaci´ o: = E. Comprovem 0 = λ1 v1 + . . . + λn vn I tamb´e podem escriure: 0 = 0 · v1 + . . . + 0 · vn Per`o per hip` otesi, tot vector de E s’escriu de forma u ´nica com a combinaci´o lineal de V ; en particular, aix`o passa pel vector 0, la qual cosa vol dir que els escalars de les dues expressions anteriors han de ser respectivament iguals: λ1 = 0, . . . , λn = 0 , i el sistema V ´es lliure.
Teorema 2.5.5 (Teorema de Steinitz): Siguin E un espai vectorial sobre K, de dimensi´o finita, V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E (n ∈ N∗ ) un sistema generador de E, i W = {w1 , . . . , wp } ⊂ E (p ∈ N∗ , p ≤ n) un sistema lliure. Llavors: Existeixen vˆp+1 , . . . , vˆn ∈ V tals que {w1 , . . . , wp , vˆp+1 , . . . , vˆn } ´es un sistema de generadors de E (´es a dir, es poden “substituir’ ’ p vectors de V pels p vectors de W , obtenint un nou sistema generador de E).
Demostraci´ o 2.5.5 Algweb Com que V ´es sistema generador de E, existeixen λ1 , . . . , λn ∈ K tals que: w1 = λ1 v1 + . . . + λn vn Com que w1 = 0 (en formar part d’un sistema lliure), ha d’existir algun λj = 0. Suposem, sense perdre generalitat, que λ1 = 0. Ara, podem escriure: λ1 v1 = w1 − λ2 v2 − . . . − λn vn −1 Multiplicant l’expressi´ o anterior per (λ1 ) =γ : v1 = γ w1 − (γλ2 )v2 − . . . − (γλn )vn Com que tot vector de E ´es combinaci´o lineal de V , i acabem de veure que el vector v1 ´es combinaci´o ´ a dir, V ´es lineal de V = {w1 , v2 , . . . .vn }, resulta que tot vector de E ´es combinaci´o lineal de V . Es sistema de generadors de E (ja hem “substituit” el vector v1 per w1 ).
Ara, com que V ´es sistema generador de E, existeixen µ1 , . . . , µn ∈ K tals que: w2 = µ1 w1 + µ2 v2 + . . . + µn vn Sabem que existeix j = 1, n tal que µj = 0 (ja que w2 = 0, en formar part d’un sistema lliure).
Observem que no pot ser µj = 0 per a tots els j ≥ 2; en efecte, si aix`o fos aix´ı, de l’expressi´o anterior per a w2 deduiriem que w2 = µ1 w1 , la qual cosa ´es impossible ja que w1 i w2 pertanyen a un sistema lliure.
Per tant, sabem que existeix µj = 0 amb j ≥ 2. Suposem, sense perdre generalitat, que ´es µ2 = 0. Ara, podem escriure: µ2 v2 = −µ1 w1 + w2 − µ3 v3 − . . . − µn vn −1 Multiplicant l’expressi´ o anterior per (µ2 ) =α: v2 = −(αµ1 )w1 + αw2 − (αµ3 )v3 − . . . − (αµn )vn Com que tot vector de E ´es combinaci´ o lineal de V , i acabem de veure que el vector v2 ´es combinaci´o ´ a dir, V lineal de V = {w1 , w2 , v3 , . . . .vn }, resulta que tot vector de E ´es combinaci´o lineal de V . Es ´es sistema de generadors de E (ja hem “substituit” el vector v2 per w2 ).
Repetint aquests raonaments, ´es f` acil veure que es poden substituir p vectors de V pels p vectors de W , obtenint que {w1 , . . . , wp , vˆp+1 , . . . , vˆn } ´es un sistema generador de E (els vectors vˆp+1 , . . . , vˆn s´on aquells elements de V que no han estat substituits. No han de ser necess`ariament iguals a vp+1 , . . . , vn : dependr`a de les substitucions que h` agim fet.) Per fer m´es c` omoda la demostraci´ o anterior, hem suposat λ1 = 0, µ2 = 0, la qual cosa no ha de complir-se necess` ariament en un cas concret (per exemple, podria haver estat λ1 = µ2 = 0, λ3 = 0, µ6 = 0, i llavors els vectors v3 i v6 s’haurien pogut substituir per w1 i w2 ). Per aix`o, tant en l’enunciat del teorema com en la part final de la demostraci´ o hem escrit vˆp+1 , . . . , vˆn en comptes de vp+1 , . . . , vn .
Exemple 2.5.5: En l’espai vectorial real R3 [x] definim els sistemes de vectors: V = {1, x − x2 , 1 + x3 , x2 + x3 , 3x3 } , W = {x2 , 2x − 1} F`acilment es veu que V ´es un sistema generador (i lligat) de R3 [x] i que W ´es un sistema lliure.
Substituim el vector x2 ∈ W per un vector de V d’acord amb el criteri explicat a la demostraci´o del teorema 2.5.5: plantegem la seg¨ uent equaci´o en α, β, γ, λ, µ ∈ R : Algweb x2 = α(1) + β(x − x2 ) + γ(1 + x3 ) + λ(x2 + x3 ) + µ(3x3 ) Despr´es d’alguns c` alculs i de recordar el criteri d’igualtat en R3 [x]) es dedueix:  0=α+γ   0=β ,   1 = −β + λ 0 = γ + λ + 3µ sent la seva soluci´ o: α = − γ , β = 0 , λ = 1 , µ = − 13 (1 + γ) (∀γ ∈ R) , indicant que el polinomi x2 ∈ W pot substituir-se per qualsevol dels polinomis de V , excepte (x−x2 ) ∈ V , l’´ unic que t´e una contribuci´ o nul·la (β = 0) en l’expressi´o de x2 com combinaci´o lineal de V . Aix´ı, si 2 substituim x pel primer polinomi en V (per exemple), el teorema de Steinitz garanteix que el sistema de vectors V = {x2 , x − x2 , 1 + x3 , x2 + x3 , 3x3 } ⊂ R3 [x] ´es sistema generador de R3 [x] .
Ara procedirem an` alogament a la substituci´o del segon vector de W per algun dels polinomis de V .
Plantejant l’equaci´ o 2x − 1 = α(x2 ) + β(x − x2 ) + γ(1 + x3 ) + λ(x2 + x3 ) + µ(3x3 ) es dedueix:  −1 = γ   2=β ,   0=α−β+λ 0 = γ + λ + 3µ sent la soluci´ o: α = 2 − λ , β = 2 , γ = −1 , µ = 13 (1 − λ) (∀λ ∈ R) Pel teorema de Steinitz, aix` o indica que el polinomi 2x − 1 ∈ W pot substituir-se per qualsevol dels polinomis de V − {x2 } (recordem que volem substituir els dos vectors de W ). Aix´ı, si triem substituir 2x − 1 pel segon polinomi en V , queda garantit que el sistema de vectors V = {x2 , 2x − 1, 1 + x3 , x2 + x3 , 3x3 } ⊂ R3 [x] ´es sistema generador de R3 [x] .
Corol·lari 2.5.6: Siguin E un espai vectorial sobre K, de dimensi´o finita, V = {v1 , . . . vn } ⊂ E (n ∈ N∗ ) un sistema generador de E, i W = {w1 , . . . , wp } ⊂ E (p ∈ N∗ ) . Es verifica: W ´es lliure =⇒ p ≤ n Demostraci´ o 2.5.6 Per reducci´ o a l’absurd : Algweb Suposem que p > n . Definim els subconjunts W1 , W2 ⊂ E com segueix: W1 = {w1 , . . . , wn } , W2 = {wn+1 , . . . , wp } Evidentment, W1 i W2 s´ on sistemes lliures (per ser-ho W ) i es compleix W = W1 ∪ W2 . Pel teorema de Steinitz, podem substituir els n vectors de V pels de W1 , obtenint un sistema generador de E (´es a dir, W1 ´es base de E). Per` o llavors qualsevol vector de W2 s’ha de poder escriure com a combinaci´o lineal de W1 , i W = W1 ∪ W2 ´es lligat com a conseq¨ u`encia de la proposici´o 2.2.4. L’absurd (ja que W ´es lliure per hip` otesi) es resol acceptant que p ≤ n .
Teorema 2.5.7: Si E ´es un espai vectorial sobre K, de dimensi´o finita, llavors totes les bases de E tenen el mateix nombre de vectors.
Demostraci´ o 2.5.7 Sigui V i W dues bases qualssevol de E: V = {v1 , . . . , vn } , W = {w1 , . . . , wp } Tenint en compte el corol·lari 2.5.6: p≤n n≤p (en ser V sistema generador de E i ser W sistema lliure) (en ser W sistema generador de E i ser V sistema lliure) De les dues desigualtats es dedueix que p = n .
Definici´o 2.5.3: Sigui E un espai vectorial sobre K, de dimensi´on finita. S’anomena dimensi´ o de E (i es simbolitza per dimK E) al seg¨ uent nombre natural: Si E = {0} : Si E = {0} : dimK E = 0 dimK E = nombre de vectors d’una base qualsevol de E.
Quan la dimensi´ o d’un espai vectorial E sigui igual a n ∈ N∗ se sol escriure En per simbolitzar aquest espai vectorial.
Lema 2.5.8: (∀n ∈ N∗ ) dimK Kn = n , (∀n ∈ N) dimK Kn [x] = n + 1 Demostraci´ o 2.5.8 Es dedueix del fet que els sistemes de vectors V = { (1, 0, . . . , 0, 0) , (0, 1, . . . , 0, 0) , . . . , (0, 0, . . . , 0, 1) } ⊂ Kn V = { 1, x, x2 , . . . , xn } ⊂ Kn [x] Algweb s´on bases dels espais vectorials respectius (amb nombre de vectors n i (n + 1) , respectivament) d’acord amb el que s’ha vist en els exemples 2.5.1, 2.5.2 i 2.5.4.
Exemple 2.5.6: En l’espai vectorial complex C4 (de dimensi´o 4 pel lema 2.5.8) es pren el seg¨ uent subespai vectorial: F = { (x, y, 0, 2x − y) , x, y ∈ C } F`acilment es comprova que F ´es subespai vectorial de dimensi´o finita, ja que el sistema V = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, −1)} ⊂ F ´es un sistema generador de F . En efecte, per a qualsevol (x, y, 0, 2x − y) ∈ F tenim que: (x, y, 0, 2x − y) = x(1, 0, 0, 2) + y(0, 1, 0, −1) Adem´es, V ´es un sistema lliure (en cas contrari, s’aplicaria el m`etode descrit en la demostraci´o del teorema de la base per a trobar justament una base de F ): (0, 0, 0, 0) = x(1, 0, 0, 2) + y(0, 1, 0, −1) ⇒ (0, 0, 0, 0) = (x, y, 0, 2x − y) (amb u ´nica soluci´o: x = y = 0) Aix´ı s’ha comprobat que V ´es base de F i, per tant, que dimC F = 2 .
En Proposici´ o 2.5.9: Siguin En un espai vectorial sobre K, de dimensi´o n ∈ N∗ , i W = {w1 , . . . , wp } ⊂ ∗ (p ∈ N ) . Es verifica: 1) 2) 3) 4) W ´es lliure =⇒ p ≤ n p > n =⇒ W ´es lligat W ´es sistema generador de En =⇒ p ≥ n { p = n i W ´es sistema lliure } =⇒ W ´es base de En 5) { p = n i W ´es sistema generador de En } =⇒ W ´es base de En Demostraci´ o 2.5.9 [1] ´ conseq¨ Es u`encia directa del corol·lari 2.5.6.
[2] ´ el contrarrec´ıproc del punt anterior.
Es [ 3 ] (Per reducci´ o a l’absurd). Suposem que p < n i que W ´es sistema generador de En . Llavors, sabem que el propi W (si ´es lliure) o un subconjunt seu (si W ´es lligat) ser`a una base En . En qualsevol cas, aquesta base tindr` a com a molt p vectors, i llavors dimK En ≤ p < n, la qual cosa ´es absurda. L’absurd es resol acceptant que p ≥ n.
[ 4 ] Sigui V = {v1 , . . . , vn } ⊂ En una base de En . Pel teorema de Steinitz, podem substituir aquests n vectors pels n vectors de W (ja que ´es lliure), obtenint que el resultat de la substituci´o (que ´es exactament W ) ´es un sistema de generadors de En . Per tant, W ´es una base de En .
Algweb [ 5 ] (Per reducci´ o a l’absurd). Suposem que W , sistema generador de En , no ´es base de En . Aix`o vol dir que W ´es lligat. Llavors, sabem que un subconjunt de W ser`a una base En . En qualsevol cas, aquesta base tindr` a menys de p vectors, i llavors dimK En < p = n, la qual cosa ´es absurda. L’absurd es resol acceptant que W ´es base de En .
De la proposici´ o 2.5.9 es pot veure quela dimensi´o d’un espai vectorial E = {0} de dimensi´o finita coincideix amb el nombre m` axim de vectors linealment independents que es puguin trobar en E , i amb el nombre m´ınim de vectors que puguin formar un sistema generador de E .
Teorema 2.5.10 (Teorema de la base incompleta): Siguin En un espai vectorial sobre K, de dimensi´o n ∈ N∗ , i W = {w1 , . . . , wp } ⊂ En (p ∈ N∗ ) un sistema lliure. Llavors: p < n =⇒ { ∃wp+1 , . . . , wn ∈ En / {w1 , . . . , wp , wp+1 , . . . , wn } ´es base de En } Demostraci´ o 2.5.10 Sigui V = {v1 , . . . , vn } ⊂ En una base de En . Al ser W un sistema lliure, pel teorema de Steinitz podem substituir p vectors de V pels p vectors de W , obtenint el seg¨ uent sistema generador de En format per n vectors: V = {w1 , . . . , wp , vˆp+1 , . . . , vˆn } Llavors, pel punt 5 de la proposici´ o 2.5.9, obtenim que V es una base de En .
Exemple 2.5.7: En l’espai vectorial complex C4 es pren el sistema lliure : V = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, −1)} El teorema de la base incompleta permet ampliar-lo amb altres dos vectors de C4 de forma que els quatre (dimensi´ o de l’espai) conjuntament formin una base de C4 . Per exemple, f`acilment es veu que B = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, −1) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)} ⊂ C4 ´es un sistema lliure i, per tant, una base de C4 .
Definici´o 2.5.4: Siguin En un espai vectorial sobre K, de dimensi´o n ∈ N∗ , i sigui V = {v1 , . . . , vn } ⊂ En una base de En . Donat un vector x ∈ En , s’anomenen components de x en la base V als escalars (´ unics) x1 , . . . , xn ∈ K tals que x = x1 v1 + . . . + xn vn essima de x en la base V .
Per a qualsevol j = 1, n , xj ∈ K s’anomena component j-` Si V = {v1 , . . . , vn } ⊂ En ´es una base de En i x ∈ En ´es un vector tal que x = x1 v1 + . . . + xn vn , Algweb s’utilizen indistintament les seg¨ uents notacions: x = (x1 , . . . , xn )V , xV = (x1 , . . . , xn ) Si λ, µ ∈ K s´on dos escalars qualssevol i y ∈ En ´es un altre vector tal que y = y1 v1 + . . . + yn vn (´es a dir: y = (y1 , . . . , yn )V o b´e yV = (y1 , . . . , yn ) ) , no ´es gens dif´ıcil trobar les components en base V del vector λx + µy, obtenint: λx + µy = (λx1 + µy1 , . . . , λxn + µyn )V o b´e (λx + µy)V = (λx1 + µy1 , . . . , λxn + µyn ) Exemple 2.5.8: En l’espai vectorial complex C4 , prenem: a) V = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, −1)}, base del subespai vectorial F = { (x, y, 0, 2x − y) , x, y ∈ C } ⊂ C4 b) B = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, −1) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)}, base de C4 .
c) W = {(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)}, base can`onica de C4 .
Sigui el vector a = (3, 2, 0, 4) ∈ F ⊂ C4 i trobem les seves components en les bases V (ja que ´es un vector de F ), B i W : a = 3(1, 0, 0, 2) + 2(0, 1, 0, −1) , a = (3, 2)V per la qual cosa: aV = (3, 2) o b´e a = 3(1, 0, 0, 2) + 2(0, 1, 0, −1) + 0(0, 0, 1, 0) + 0(0, 0, 0, 1) , i aix´ı: aB = (3, 2, 0, 0) o b´e a = (3, 2, 0, 0)B a = 3(1, 0, 0, 0) + 2(0, 1, 0, 0) + 0(0, 0, 1, 0) + 4(0, 0, 0, 1) , i per tant: aW = (3, 2, 0, 4) o b´e a = (3, 2, 0, 4)W Observeu que l’expressi´ o del vector a en base can` onica coincideix amb la seva expressi´ o com a vector ´ f`acil comprendre que aix`o passar`a an`alogament per a de C4 (sense fer cap refer`encia a bases). Es qualsevol vector de C4 . I encara m´es, ´es un fet general per a qualsevol espai vectorial Kn (n ∈ N∗ ), quan es pren la base can` onica.
• El problema del canvi de base consisteix en trobar les components d’un vector en una base, a partir del coneixement de les components d’aquest vector en una altra base.
Exemple 2.5.9: En l’espai vectorial real R2 [x] es prenen les bases: Algweb V = {p1 (x) = 1, p2 (x) = x, p3 (x) = x2 } W = {q1 (x) = 1 − x, q2 (x) = 2x, q3 (x) = 2 + x + x2 } Si s(x) = (1, 2, −1)W , i volem trobar les seves components en base V : s(x) = 1 · q1 (x) + 2 · q2 (x) − 1 · q3 (x) = 1 · (1 − x) + 2 · (2x) − 1 · (2 + x + x2 ) = −1 + 2x − x2 Per tant: s(x) = (−1, 2, −1)V Si r(x) = (1, 2, −3)V , i volem trobar les seves components en base W : r(x) = α · q1 (x) + β · q2 (x) + γ · q3 (x) = (α + 2γ) + (−α + 2β + γ)x + γx2 Com que r(x) = (1, 2, −3)V = 1 + 2x − 3x2 , igualant coeficient a coeficient amb l’expressi´o anterior, obtenim el sistema d’equacions: α + 2γ = 1 −α + 2β + γ = 2 , γ = −3 que t´e per soluci´ o α = 7, β = 6, γ = −3, ´es a dir, r(x) = (7, 6, −3)W .
• En el que segueix ens ocuparem de l’estudi de subespais vectorials de dimensi´o finita (encara que no sempre caldr` a que ho siguin d’espais de dimensi´o finita).
Proposici´ o 2.5.11: Sigui E un espai vectorial sobre K. Per a qualssevol F, G subespais vectorials de E es verifica: 1) 2) 3) 4) F i G s´ on de dimensi´ o finita =⇒ (F + G) ´es de dimensi´o finita E ´es de dimensi´ o finita =⇒ { F ´es de dimensi´o finita i dimK F ≤ dimK E } { F i G s´ on de dimensi´ o finita, F ⊂ G, i dimK F = dimK G } =⇒ F = G { E ´es de dimensi´ o finita i dimK F = dimK E } =⇒ F = E Demostraci´ o 2.5.11 [ 1 ] Si F i G s´ on subespais de dimensi´ o finita, existeixen els sistemes finits de vectors VF ⊂ F i VG ⊂ G tals que < VF >K = F , < VG >K = G . Llavors VF ∪ VG ´es sistema de generadors de F + G , sent finit en ser-ho VF i VG .
[ 2 ] Si F = {0} la proposici´ o ´es trivial en ser dimK F = 0 . Sigui, doncs, F = {0} (per tant E = {0}), i sigui dimK E = n (n ∈ N∗ ) : D’acord amb la proposici´ o 2.5.9, el nombre de vectors de qualsevol sistema lliure de F ha de ser menor o igual que n . Si de tots aquests sistemes lliures seleccionem el que tingui m`axim nombre de vectors (diguem-li p ∈ N∗ a aquest nombre) s’haur`a de complir que p ≤ n .
Sigui llavors V = {v1 , . . . , vp } ⊂ F un sistema lliure m`axim. Es dedueix que per qualsevol vector x ∈ F , el sistema {v1 , . . . , vp , x} ⊂ F ´es necess`ariament lligat (altrament, p no seria el nombre m`axim).
Per tant, x ´es combinaci´ o lineal de V , i per tant, V ´es sistema generador de F . D’aquesta forma tenim que F ´es de dimensi´ o finita (al ser V finit) i que dimK F = p ≤ n .
Algweb [ 3 ] Si F = {0} la proposici´ o ´es trivial al ser dimK F = 0 = dimK G . Sigui, doncs, F = {0} (per tant G = {0}), i sigui dimK G = dimK F = p (p ∈ N∗ ). Si V = {v1 , . . . , vp } ⊂ F ⊂ G ´es una base de F tamb´e ho ser` a de G, al ser un sistema de vectors linealment independents i haver-ne tants com dimK G.
D’aquesta forma, V ´es un sistema generador de G (i de F ) i, per tant: G = < V >K = F .
´ un cas particular del punt anterior.
Es [4] Proposici´ o 2.5.12: Sigui E un espai vectorial sobre K, i siguin F i G dos subespais de E, F i G de dimensi´o finita. Siguin VF ⊂ F i VG ⊂ G bases d’aquests subespais. Es verifica: VF ∪ VG ´es lliure ⇐⇒ F i G estan en suma directa Demostraci´ o 2.5.12 Siguin VF = {v1 , . . . , vp }, VG = {vp+1 , . . . , vn }.
=⇒ ] Sigui x ∈ F ∩ G. Llavors, x es podr`a posar com a combinaci´o lineal tant de VF com de VG : x = λ1 v1 + . . . + λp vp = λp+1 vp+1 + . . . + λn vn Restant les dues expressions per x : 0 = λ1 v1 + . . . + λp vp − λp+1 vp+1 − . . . − λn vn Per`o VF ∪ VG ´es lliure per hip` otesi, la qual cosa obliga a que λj = 0, ∀j = 1, n. Substituint en una de les dues expressions pel vector x obtenim que x = 0. Per tant, F ∩ G = {0}, i la suma de F i G ´es directa.
⇐= ] Plantegem l’equaci´ o: µ1 v1 + . . . + µp vp + µp+1 vp+1 + . . . + µn vn = 0 La podem reescriure com 0 = x1 + x2 , on: x1 = µ1 v1 + . . . + µp vp ∈ F , x2 = µp+1 vp+1 + . . . + µn vn ∈ G Per`o tamb´e ´es cert que 0 = 0 + 0, on el primer sumand el considerem element de F i el segon de G.
Aix´ı, hem obtingut una doble escriptura de 0 com element de F + G. Segons la proposici´o 2.4.8, cal que x1 = 0 i x2 = 0. I com que VF i VG s´ on lliures, es dedueix que: µ1 = . . . = µp = 0 , µp+1 = . . . = µn = 0 , demostrant que VF ∪ VG ´es lliure.
Proposici´ o 2.5.13 (F´ ormula de Grassman): Sigui E un espai vectorial sobre K. Per qualssevol F, G ⊂ E subespais vectorials de dimensi´ o finita es compleix: dimK (F + G) = dimK F + dimK G − dimK (F ∩ G) Algweb Demostraci´ o 2.5.13 Distingim dos casos: a) (F ∩ G) = {0} ; b) (F ∩ G) = {0} .
[ a ] Si F = {0} la f´ ormula es compleix trivialment al ser {0} + G = G ; an`alogament succeeix si G = {0} . Suposem, doncs, que F i G no s´on subespais trivials.
Siguin dimK F = p , dimK G = q (p, q ∈ N∗ ) , i VF ⊂ F , VG ⊂ G bases dels respectius subespais.
Sabem que VF ∪ VG ´es sistema generador de F + G . Per`o en estar F i G en suma directa, la proposici´o 2.5.12 ens permet afirmar que VF ∪ VG ´es lliure i, per tant, base de F + G . Aix´ı, la dimensi´o de F + G ´es p + q i hem acabat, ja que dimK (F ∩ G) = 0.
[ b ] Siguin dimK F = p , dimK G = q , dimK (F ∩ G) = r (p, q, r ∈ N∗ ) . Ja que tenim (F ∩ G) ⊂ F , (F ∩ G) ⊂ G, ha de ser r ≤ p , r ≤ q.
Sigui V(F ∩G) = {u1 , . . . , ur } ⊂ (F ∩ G) una base de F ∩ G . Pel teorema 2.5.10 existeixen en F els vectors vr+1 , . . . , vp tals que: A = {u1 , . . . , ur , vr+1 , . . . , vp } ⊂ F ´es una base de F . An` alogament, existeixen en G els vectors wr+1 , . . . , wq tals que: B = {u1 , . . . , ur , wr+1 , . . . , wq } ⊂ G ´es una base de G . Sabem que A ∪ B ´es sistema generador de F + G : A ∪ B = {u1 , . . . , ur , vr+1 , . . . , vp , wr+1 , . . . , wq } , amb un nombre de vectors igual a p + (q − r) = dimK F + dimK G − dimK (F ∩ G) . Aix´ı, demostrant que el sistema A ∪ B ´es lliure es tindr` a finalment que A ∪ B ´es una base de F + G, i haurem acabat.
Vegem que A ∪ B ´es lliure (equivalentment, gr`acies a la proposici´o 2.5.12, hi ha prou amb demostrar que els subespais F = < u1 , . . . , ur , vr+1 , . . . , vp >K i < wr+1 , . . . , wq >K est`an en suma directa; aix`o ´es el que fem tot seguit).
Sigui x ∈ F ∩ < wr+1 , . . . , wq >K . Com que < wr+1 , . . . , wq >K ⊂ G tenim que x ∈ (F ∩ G) . Per`o la suma de (F ∩ G) i < wr+1 , . . . , wq >K ´es directa ja que V(F ∩G) ∪ {wr+1 , . . . , wq } ´es VG , base de G .
Aix´ı ´es x = 0 i la demostraci´ o ha acabat.
Corol·lari 2.5.14: Siguin En un espai vectorial sobre K, de dimensi´o n ∈ N∗ , i F, G ⊂ E subespais vectorials de En . Llavors: F ⊕ G = En =⇒ dimK F + dimK G = n. El rec´ıproc no ´es cert.
Demostraci´ o 2.5.14 Algweb La implicaci´ o ´es conseq¨ u`encia de la f´ ormula de Grassman, ja que dimK (F ∩ G) = 0. La falsedat del rec´ıproc la veurem amb l’exemple 2.5.10.
Exemple 2.5.10: Siguin F i G els dos subespais de R5 seg¨ uents: F = < (1, 0, 1, 0, 0), (1, 2, −1, 1, 0) >R , G = < (1, 0, 1, 0, 0), (1, 2, −1, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1) >R Sense gaire problemes es veu que dimR F = 2, dimR G = 3, i aix´ı dimR F + dimR G = 5 = dimR R5 .
Per`o F i G no est` an en suma directa (per tant, no poden ser suplementaris) ja que dimR (F ∩ G) = 2 = 0.
Proposici´ o 2.5.15 (F´ ormula de Grassman generalitzada): Sigui E un espai vectorial sobre K. Per qualssevol F1 , . . . , Fn ⊂ E (n ∈ N∗ , n ≥ 2) subespais vectorials de dimensi´o finita, es compleix: dimK (F1 + . . . + Fn ) = n n−1 j=1 dimK Fj − j=1 dimK [(F1 + . . . + Fj ) ∩ Fj+1 ] Demostraci´ o 2.5.15 Per inducci´ o sobre n: ´ la f´ [ n = 2 ] Es ormula de Grassman.
[n=m] Suposem certa l’expressi´ o: dimK (F1 + . . . + Fm ) = m j=1 m−1 dimK Fj − j=1 dimK [(F1 + . . . + Fj ) ∩ Fj+1 ] [ n=m+1 ] Per calcular la dimensi´ o del subespai F1 + . . . + Fm + Fm+1 definim: H = F1 + . . . + Fm Per la f´ormula de Grassman aplicada a H + Fm+1 : dimK (H + Fm+1 ) = dimK H + dimK Fm+1 − dimK (H ∩ Fm+1 ) Substituint H per F1 + . . . + Fm s’obt´e: dimK (F1 + . . . + Fm + Fm+1 ) = = dimK (F1 + . . . + Fm ) + dimK Fm+1 − dimK [(F1 + . . . + Fm ) ∩ Fm+1 ] I aplicant la hip` otesi d’inducci´ o: dimK (F1 + . . . + Fm + Fm+1 ) = m = j=1 m−1 dimK Fj − j=1 dimK [(F1 + . . . + Fj ) ∩ Fj+1 ] + + dimK Fm+1 − dimK [(F1 + . . . + Fm ) ∩ Fm+1 ] = m+1 = j=1 Algweb j=1 m dimK Fj − dimK [(F1 + . . . + Fj ) ∩ Fj+1 ] La seg¨ uent proposici´ o permet garantir l’exist`encia de subespai suplementari quan estem en espais vectorials de dimensi´ o finita. El m`etode per trobar suplementaris est`a impl´ıcit en la pr`opia demostraci´o.
Proposici´ o 2.5.16: Sigui En un espai vectorial sobre K, de dimensi´o n ∈ N∗ . Llavors, tot subespai vectorial de En admet un subespai suplementari.
Demostraci´ o 2.5.16 Sigui F un subespai de En . Si F = {0} o F = En , el lema 2.4.9 garanteix l’exist`encia de suplementari per F , al ser En ⊕ {0} = En .
Suposem F = {0} . Si V ⊂ F ´es una base de F , el teorema 2.5.10 permet afirmar que existeix un sistema de vectors W ⊂ En de forma que V ∪ W ´es base de En . Definint G = < W >K ⊂ En , es verifica que F + G = F ⊕ G , com a conseq¨ u`encia de la proposici´o 2.5.12. Adem´es, la f´ormula de Grassman ens diu que dimK (F ⊕ G) = dimK F + dimK G = n = dimK En . A partir d’aquesta igualtat de dimensions, el punt 3 de la proposici´ o 2.5.11 permet deduir que F ⊕ G = En .
Exemple 2.5.11: V = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, −1)} ⊂ C4 ´es base del subespai vectorial : F = { (x, y, 0, 2x − y) , x, y ∈ C } ⊂ C4 Ampliem V fins aconseguir una base de C4 : B = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, −1) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)} Per tant, F ⊕ < (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) >C = C4 , ´es a dir, que F i el subespai vectorial G = < (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) >C s´ on suplementaris.
Exemple 2.5.12: En l’espai vectorial complex C2 [x] tenim el subespai vectorial: F = {α + β(x2 + i) , α, β ∈ C} Com es comprova sense dificultat, el seg¨ uent sistema de vectors ´es base de F : V = {1, x2 + i} ⊂ F Ampliant aquest sistema fins aconseguir una base de C2 [x] : B = {1, x2 + i, x} i aix´ı, tenim que G = < x >C ´es subespai suplementari de F .
Algweb Acabem aquest tema introduint el concepte de rang d’un sistema de vectors.
Definici´o 2.5.5: Siguin E un espai vectorial sobre K i V ⊂ E (V = ∅) . Si el subespai vectorial < V >K ´es de dimensi´ o finita, s’anomena rang de V (i es simbolitza per r(V )) a la dimensi´o de < V >K .
Proposici´ o 2.5.17: Llavors: Sigui E un espai vectorial sobre K i sigui V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E (n ∈ N∗ ) .
1) < v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn >K = < V >K (∀i < j , i, j = 1, n) 2) < v1 , . . . , (λvi ), . . . , vn >K = < V >K (∀λ ∈ K, λ = 0, ∀i = 1, n) 3) < v1 , . . . , (vi + λvj ), . . . , vn >K = < V >K (∀λ ∈ K , ∀i = j , i, j = 1, n) Demostraci´ o 2.5.17 Establim la seg¨ uent notaci´ o: F1 =< v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn >K , amb i < j , i, j = 1, n F2 =< v1 , . . . , (λvi ), . . . , vn >K , amb λ ∈ K , λ = 0, i = 1, n F3 =< v1 , . . . , (vi + λvj ), . . . , vn >K , amb λ ∈ K , i = j, i, j = 1, n i comprovem les tres igualtats per doble inclusi´o, simult`aniament.
En primer lloc, es veu directament que tots i cadascun dels vectors de F1 , F2 i F3 pertanyen al subespai vectorial < V >K = < v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn >K (amb i < j) al ser combinacions lineals de V , per la qual cosa: F1 ⊂ < V >K , F2 ⊂ < V >K , F3 ⊂ < V >K Vegem ara les inclusions contr` aries respectives comprovant que tots els vectors de V pertanyen a F1 , F2 i F3 : ´ evident que < V >K ⊂ F1 ja que els vectors de V i els del sistema generador de F1 difereixen [ F1 ] Es tan sols en la seva ordenaci´ o.
[ F2 ] Tots els vectors vs ∈ V (amb s = i, s = 1, n) pertayen trivialment a F2 ; tamb´e pertany a F2 el vector vi ja que: vi = (λ)−1 (λvi ) , ´es a dir, que vi ´es combinaci´o lineal del vector (λvi ) i, per tant, del sistema generador de F2 . Cal adonar-se que l’exist`encia del escalar λ−1 queda garantida al ser λ = 0 .
[ F3 ] Tots els vectors vs ∈ V (amb s = i, s = 1, n) pertanyen trivialment a F3 ; tamb´e pertany a F3 el vector vi ja que: vi = (vi + λvj ) − λvj , ´es a dir, que vi ´es combinaci´o lineal dels vectors (vi + λvj ) i (λvj ) i, per tant, del sistema generador de F3 . Observeu que λ pot ser un escalar qualsevol.
Algweb Corol·lari 2.5.18: Siguin E un espai vectorial sobre K i V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E (n ∈ N∗ ) . Llavors: 1) r({v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn }) = r(V ) (∀i < j , i, j = 1, n) 2) r({v1 , . . . , (λvi ), . . . , vn }) = r(V ) (∀λ ∈ K, λ = 0, ∀i = 1, n) 3) r({v1 , . . . , (vi + λvj ), . . . , vn }) = r(V ) (∀λ ∈ K , ∀i = j , i, j = 1, n) Exemple 2.5.13: Sigui V el sistema de vectors de R4 : V = {(1, 1, −2, 2), (2, 0, 3, −1), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0)} Es veu sense gaire problemes que r(V ) = 3. Tamb´e tenen rang tres els seg¨ uents sistemes (obtinguts a partir de V , com en el corol·lari 2.5.18): VI = {(1, 1, 1, 1), (2, 0, 3, −1), (1, 1, −2, 2), (1, 0, 0, 0)} (intercanvi de primer i tercer vectors de V ) VII = {(1, 1, −2, 2), (6, 0, 9, −3), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0)} (segon vector de V multiplicat per 3) VIII = {(−3, −3, −6, −2), (2, 0, 3, −1), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0)} (sumar el tercer vector de V multiplicat per −4 al primer vector de V ) Obviament, tamb´e tindr` a el mateix rang que V, VI , VII , VIII el sistema de vectors: {(1, 1, −2, 2), (6, 0, 9, −3), (1, 1, 1, 1), (2, 1, −2, 2)} (sumar al quart vector de VII el seu primer vector).
Darrera versi´ o: 1 d’octubre de 2001 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports 3. MATRIUS 3.1. Generalitats Definici´ o 3.1.1: Sigui K un cos commutatiu i dos nombres naturals qualssevol n, m ≥ 1.
Constru¨ım una taula de m · n elements d’aquest cos: a11  a21 A=  ...
a12 a22 ..
.
...
...
..
.
 a1n a2n  N ot = (aij ) ..  .  am1 am2 ...
amn  on el primer ´ındex i = 1, m representa la fila, el segon ´ındex j = 1, n la columna, i ∀i = 1, m ∀j = 1, n aij ∈ K Direm que A ´es una matriu amb coeficients en el cos commutatiu K, de m files i n columnes.
Algweb Al conjunt de les matrius amb coeficients en el cos commutatiu K, de m files i n columnes el representarem per MK (m × n).
Definicions 3.1.2: Sigui A ∈ MK (m × n), a) Si m = n, direm que A ´es una matriu quadrada d’ordre n.
b) Si m = 1, direm que A ´es una matriu fila.
c) Si n = 1, direm que A ´es una matriu columna.
d) Si tots els seus coeficients s´ on zero, direm que ´es la matriu zero i l’escriurem com [0]m×n e) Si m = n i ∀i, j = 1, n, i = j, aij = 0, direm que ´es una matriu diagonal.
f ) Si m = n i ∀i = 1, n aii = 1 i tots els altres coeficients s´on zero, en direm matriu identitat d’ordre n i la representarem per In .
g) Si m = n i ∀i, j = 1, n, i > j, aij = 0, direm que ´es una matriu triangular superior.
h) Si m = n i ∀i, j = 1, n, i < j, aij = 0, direm que ´es una matriu triangular inferior.
i) Definim la matriu transposada de A, ∀k = 1, n B = AT = (bks ) ∈ MK (n × m), tal que: ∀s = 1, m bks = ask j) Si m = n, i AT = A direm que ´es una matriu sim` etrica.
k) Si m = n, i AT = −A direm que ´es una matriu antisim` etrica.
Exemples 3.1.1:   1 0 0 I3 =  0 1 0  0 0 1  [0]3×2 0 = 0 0  0 0 0  A= 1 4 2 5 3 6 1 =⇒ AT =  2 3  4 5 6  3 AT = A =  1 2  2 4 3 1 5 4  0 A = −AT =  −2 3  −3 4  0 2 0 −4 Definici´ o 3.1.3: Tot seguit definim la suma de matrius i el producte d’un escalar per una matriu: ∀A = (aij ), B = (bij ) ∈ MK (m × n), A+B = C = (cij ) ∈ MK (m×n), ∀λ ∈ K ∀i = 1, m ∀j = 1, n λ·A = D = (dij ) ∈ MK (m×n), cij = aij +bij dij = λ·aij Proposici´ o 3.1.1: Amb les dues operacions anteriors (MK (m × n), +, ·) ´es un K espai vectorial de dimensi´o m · n.
Demostraci´ o: Es dedueix directament de la definici´o i de tenir en compte que els coeficients pertanyen a un cos commutatiu. Observem que l’element neutre ´es la matriu zero. Per verificar que la seva dimensi´o ´es m · n obtindrem una base.
∀k = 1, m ∀r = 1, n definim la matriu Mkr ∈ MK (m × n), tal que tots els seus coeficients s´on zero excepte el que ocupa la fila k columna r que ´es igual a 1. Demostrarem que el conjunt de totes aquestes m · n matrius ´es una base de MK (m × n), i en direm la base trivial.
Algweb Tm×n = Mkr | 1 ≤ k ≤ m ∧ 1≤r≤n En primer lloc justifiquem que ´es sistema de generadors: a11  a21 A=  ...
a12 a22 ..
.
...
...
..
.
 a1n a2n  = ..  .  am1 am2 ...
amn  ∀A ∈ MK (m × n),     1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0     a11   ... ... . . . ...  + a12  ... ... . . . ...  + . . . + amn  ...
0 0 ... 0 0 0 ... 0 0   0 ... 0 0 ... 0 .. . .
.= . ..  .
0 ... 1 n m aij Mij i=1 j=1 Finalment demostrem la seva independ`encia lineal: m n αij Mij = (αij ) =⇒ ∀i = 1, m [0]m×n = ∀j = 1, n αij = 0 i=1 j=1 Exemple 3.1.2: Estudiem el cas particular de les matrius de dues files i tres columnes MR (2 × 3): 1 0 T2×3 = M11 = M21 = ∀A ∈ MR (2 × 3), A= 0 1 a11 a21 0 0 a12 a22 0 0 0 0 0 0 , M22 = a13 a23 0 0 , M12 = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 , M23 = 0 0 0 0 0 0 1 0 , 0 1 = a11 M11 + a12 M12 + a13 M13 + a21 M21 + a22 M22 + a23 M23 i per tant Definicions 3.1.4: 0 0 , M13 = dimR MR (2 × 3) = 2 · 3 = 6 Considerem el subespai generat per les files de la matriu A, i el subespai generat per les columnes: FA =< (a11 , a12 , . . . , a1n ), (a21 , a22 , . . . , a2n ), . . . , (am1 , am2 , . . . , amn ) >K ⊂ Kn CA =< (a11 , a21 , . . . , am1 ), (a12 , a22 , . . . , am2 ), . . . , (a1n , a2n , . . . , amn ) >K ⊂ Km ∀i = 1, m representarem la fila i de la matriu A com: Ai = (ai1 , ai2 , . . . , ain ) i A = (A1 , A2 , . . . , Am ) Definim rang per files de la matriu A com la dimensi´o del subespai generat per les seves files: rangf A = dimK FA Definim rang per columnes de la matriu A com la dimensi´o del subespai generat per les columnes: rangc A = dimK CA Corol·lari 3.1.2: A partir d’aquestes definicions observem que es verifica: Algweb ∀A ∈ MK (m × n), rangc A = rangf AT 3.2. Operacions elementals de fila i de columna Definici´ o 3.2.1: Treballarem amb tres tipus d’operacions elementals de fila.
Donada una matriu qualsevol A ∈ MK (m×n), la representarem com A = (A1 , A2 , . . . , Am ) on ∀i = 1, m, Ai correspon a la seva fila i.
Primer tipus: Permutaci´ o de dues files.
ˆ Considerem dues files Ai , Aj , amb i < j . Les permutem i obtenim una nova matriu A: ef1 (A) = ef1 (A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , Am ) = Aˆ = (Aˆ1 , Aˆ2 , . . . , Aˆm ) Aˆi = Aj ; Aˆj = Ai ∀k = 1, m k = i, Aˆk = Ak k=j Segon tipus: Producte per un escalar.
Multipliquem els elements d’una fila Ai per un escalar no nul λ ∈ K, λ = 0: ef2 (A) = Aˆ = (Aˆ1 , Aˆ2 , . . . , Aˆm ) Aˆi = λ · Ai = (λai1 , λai2 , . . . , λain ) ∀k = 1, m k=i Aˆk = Ak Tercer tipus: Combinaci´ o lineal.
A la fila Ai li sumem la fila Aj , i = j, multiplicada per un escalar λ ∈ K, ef3 (A) = Aˆ = (Aˆ1 , Aˆ2 , . . . , Aˆm ) Aˆi = Ai + λ · Aj = (ai1 + λaj1 , ai2 + λaj2 , . . . , ain + λajn ) ∀k = 1, m k=i Aˆk = Ak Definici´ o 3.2.2: De manera semblant podem definir les operacions elementals de columna a partir de les corresponents operacions elementals de fila realitzades a la matriu transposada: ec1 (A) = ef1 (AT ) ∀A ∈ MK (m × n), T ec2 (A) = ef2 (AT ) ; T ec3 (A) = ef3 (AT ) ; T ˆ es verifica: Proposici´ o 3.2.1: ∀A ∈ MK (m × n), ∀ef operaci´o elemental de fila, si ef (A) = A, rangf A = rangf Aˆ Demostraci´ o: Utilitzarem el corol·lari 2.5.18 del tema 2. Segons aquest resultat, el subespai generat per un sistema de vectors no es modifica si permutem els vectors, o multipliquem un d’ells per un escalar no nul o a un d’ells li sumem un altre multiplicat per un escalar. Aix`o ens permet afirmar que el subespai generat per les files de la matriu A coincideix amb el generat per les files de Aˆ i per tant tenen la mateixa dimensi´o.
Notaci´ o: Direm que les matrius A i Aˆ s´on matrius equivalents per files.
Definici´ o 3.2.3 Sigui B ∈ MK (m × n), B = (bij ) = (B1 , B2 , . . . , Bm ).
Direm que B ´es una matriu esglaonada per files (m.e.f.) si verifica: Algweb 1) Si Bi ´es una fila nul·la, llavors la fila seg¨ uent Bi+1 tamb´e ´es nul·la.
2) ∀Bi , Bj , i < j, files no nul·les, amb primers elements no nuls bir i bjs , llavors r < s.
Definici´ o 3.2.4 Sigui B ∈ MK (m × n), B = (bij ) = (B1 , B2 , . . . , Bm ).
Direm que B ´es una matriu esglaonada redu¨ıda per files (m.e.r.f.) si verifica: 1) B ´es una m.e.f 2) El primer element no nul de tota fila no nul·la ´es 1 i tots els altres de la seva columna s´on 0.
Exemples 3.2.1: Les matrius A, [0]3×2 i B s´on m.e.r.f i les C, D i S s´on m.e.f: 0 0 A= 0 0   3 C = 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0  1 0 0  5 4  2 0  0 = 0 0 [0]3×2  4 D = 0 0 2 1 0  1 5 7  0 0 0  1 B = 0 0  1 S = 0 0 3 1 0 0 1 0 5 7 0  0 0 1  0 0 1 Proposici´ o 3.2.2: ∀B ∈ MK (m × n) matriu esglaonada per files el seu rang per files coincideix amb la quantitat de files no nul·les.
Demostraci´ o: Suposem que B1 , B2 , . . . , Br s´on les files no nul·les de B. Tot seguit utilitzant un m`etode per recurr`encia demostrarem que s´ on linealment independents: r c = (c1 , c2 , . . . , cn ) = (0, 0, . . . , 0) = λj B j j=1 a) Considerem el primer element no nul de la primera fila b1k = 0 i la component k del vector c: r ck = 0 = λj bjk j=1 degut a la forma esglaonada b2k = b3k = . . . = brk = 0, llavors: ck = 0 = λ1 b1k =⇒ λ1 = 0.
b) Suposem que λ1 = λ2 = . . . = λs−1 = 0 anem a demostrar que λs = 0.
r c = (c1 , c2 , . . . , cn ) = (0, 0, . . . , 0) = λj B j j=s Agafem el primer element no nul de la fila Bs , bst = 0 i la component t de c: r ct = 0 = λj bjt j=s tamb´e degut a la forma esglaonada b(s+1)t = . . . = brt = 0 i per tant: ct = 0 = λs bst =⇒ λs = 0.
Proposici´ o 3.2.3: Algweb ∀A ∈ MK (m × n), aplicant operacions elementals de fila la podem transformar en una m.e.r.f. RA . Aquesta m.e.r.f ´ es u ´ nica.
Demostraci´ o: Seguirem un proc´es recurrent transformant la primera fila i seguint ordenadament amb les altres fins arribar a la darrera.
a) Obtenci´ o de la primera fila: Considerem la primera columna (comen¸cant per l’esquerra) amb algun element no nul, sigui air = 0. Si aix` o no ´es possible vol dir que A = [0]m×n que ja ´es una merf. Permutem ˆ ∀k = 2, m a la fila Aˆk la fila 1 amb la fila i. Multipliquem la primera fila per 1/air i obtenim la matriu A.
ˆ li restem la fila A1 multiplicada per a ˆkr .Arribem a la matriu: A∼ R1×r [0](m−1)×r D1×(n−r) C(m−1)×(n−r) on R1×r ´es una matriu fila amb tots els elements zero excepte l’´ ultim que ´es 1.
b) Suposem que les primeres s files constitueixen una merf. Demostrarem que podem modificar la matriu aplicant operacions elementals de fila fins aconseguir que les primeres s + 1 files siguin una merf. Partim de: Rs×t [0](m−s)×t Ds×(n−t) C(m−s)×(n−t) A la matriu C(m−s)×(n−t) li apliquem el procediment de l’apartat a) fins obtenir una matriu Cˆ(m−s)×(n−t) .
Aˆ = Rs×t [0](m−s)×t Ds×(n−t) ˆ C(m−s)×(n−t) Si la matriu Cˆ(m−s)×(n−t) ´es la zero ja hem acabat, En cas contrari sigui cˆ(m−s)j = 1 el primer element no nul de la seva primera fila. Tot seguit ∀k = 1, m k = s + 1 a la fila Aˆk li restem la fila Aˆs+1 multiplicada per a ˆkj i obtenim: R(s+1)×j D(s+1)×(n−j) [0](m−s−1)×j C(m−s−1)×(n−j) on R(s+1)×j ´es una merf, i tamb´e ho ´es R(s+1)×j D(s+1)×(n−j) .
Exemple 3.2.3: Transformarem la matriu A    2 −1 3 0 1 2 [1]f ↔[2]f A =  1 2 1 1  ∼  2 −1 3 1 4 1 3 1 en una merf RA , aplicant operacions elementals de fila:    1 1 1 2 1 1 [2]f −2[1]f f  0 −5 1 −2  [3]f −3[1] 3 0 ∼ ∼ 4 1 3 1 4 1    1 1 1 2 1 1 − 1 [2]f [3]f −[2]f 1 −2  ∼  0 −5 1 −2  5∼ 1 −2 0 0 0 0     1 2 1 1 1 0 7/5 1/5 [1]f −2[2]f  0 1 −1/5 2/5   0 1 −1/5 2/5  = RA ∼ 0 0 0 0 0 0 0 0  1 2  0 −5 0 −5 Proposici´ o 3.2.4: ∀A ∈ MK (m × n), rangf A = rangf RA ´es a dir, les files no nul·les de la corresponent matriu esglaonada redu¨ıda per files constitueixen una base del subespai generat per les files de A.
Algweb Demostraci´ o: Es dedueix de fer servir de forma reiterada la proposici´o 3.2.1.
Aplicaci´ o 3.2.1: Utilitzant la proposici´o anterior podem calcular el rang d’un sistema de vectors i una base del subespai que generen.
Suposem que ens plantegem calcular el rang del sistema de vectors seg¨ uent i obtenir una base del subespai que generen: F =< (2, −1, 3, 0), (1, 2, 1, 1), (3, 1, 4, 1) >R Per fer-ho coloquem aquests vectors com les files d’una matriu. En aquest cas tenim la matriu A de l’exemple 3.2.3, i el subespai F coincideix amb el subespai generat per les files de A, i tamb´e ´es el subespai generat per les files de qualsevol de les matrius que apareixen en aquest exemple. Observem que la cinquena matriu ja ´es una mef amb dues files no nul·les, per tant: rang {(2, −1, 3, 0), (1, 2, 1, 1), (3, 1, 4, 1)} = dimR F = 2, i {(1, 2, 1, 1), (0, −5, 1, −2)} ´es base de F Tamb´e s´ on base de F les dues files no nul·les de les dues u ´ltimes matrius, i ´es especialment senzilla la que obtenim considerant la RA .
Observaci´ o 3.2.1: Cal tenir en compte que al aplicar una operaci´o elemental de fila a una matriu llavors el subespai generat per les seves columnes no necessariament ´es el mateix, tal com podem constatar en l’exemple seg¨ uent:     3 1 −1 0 3 1 −1 0 [3]f −[1]f +[2]f A = 2 2 3 4  ∼ B = 2 2 3 4 1 −1 −4 −4 0 0 0 0 El subespai generat per les files coincideix: FA =< (3, 1, −1, 0), (2, 2, 3, 4), (1, −1, −4, −4) >R = FB =< (3, 1, −1, 0), (2, 2, 3, 4) >R per`o el subespai generat per les columnes ´es diferent: CA =< (3, 2, 1), (1, 2, −1), (−1, 3, 4), (0, 4, −4) >R = CB =< (3, 2, 0), (1, 2, 0), (−1, 3, 0), (0, 4, 0) >R 3.3. Producte de matrius Definici´ o 3.3.1: ∀m, n, p ∈ N∗ , ∀A = (aαβ ) ∈ MK (m × n), ∀B = (bkr ) ∈ MK (n × p), definim la seva matriu producte com: n C = (cij ) = A · B ∈ MK (m × p) ∀i = 1, m ∀j = 1, p cij = aik bkj k=1 Exemple 3.3.1:  2 1 3 −1 0 1  2 5 2 1 = 4 0 1 −1 2 · 0 1 2 2 0 4 −3 6 11 8 14 Proposici´ o 3.3.1: 1) El producte de matrius t´e la propietat associativa, ´es a dir: ∀A ∈ MK (m × n), ∀B ∈ MK (n × p), ∀C ∈ MK (p × r) A · (B · C) = (A · B) · C = A · B · C Algweb 2) El producte de matrius no ´ es commutatiu.
3) El producte t´e la propietat distributiva respecte a la suma: ∀A, D ∈ MK (m × n) A · (B + C) = A · B + A · C ∀B, C ∈ MK (n × p) (A + D) · B = A · B + D · B ; Proposici´ o 3.3.2: ∀B ∈ MK (m × p), ∀C ∈ MK (p × n), A = B · C =⇒ 1) Les files de A s´on combinaci´o lineal de les files de C.
2) Les columnes de A s´on combinaci´o lineal de les columnes de B.
Demostraci´ o: 1) Considerem una fila qualsevol de la matriu A, ∀i = 1, m: ( ai1 ai2 ...
ain ) = ( = bi1 ( c11 c12 p p k=1 bik ck1 p k=1 bik ck2 ...
p k=1 bik ckn )= bik ( ck1 ck2 . . . ckn ) = k=1 ...
c1n ) + bi2 ( c21 c22 . . . c2n ) + . . . + bip ( cp1 cp2 ...
cpn ) D’aquesta manera hem demostrat que la fila i de la matriu A = B · C ´es pot expressar com combinaci´o lineal de les files de C i que els escalars de la combinaci´o lineal s´on precisament els coeficients de la fila i de la matriu B.
Utilitzant la definici´ o de producte de matrius podem comprovar que es verifica: ( ai1 ai2 ...
ain ) = ( bi1 bi2 . . . bip ) · C ´es a dir, la fila i de la matriu A = B · C ´es igual al producte de la fila i de la matriu B per la matriu C.
2) Considerem una columna qualsevol de la matriu A, ∀j = 1, n: a 1j  a2j  .
 .
.
 p k=1 b1k ckj p k=1 b2k ckj   p   = ..
 .
k=1 p b c k=1 mk kj   =    amj   b1k  b2k     ckj   ...  = c1j   bmk   b11 b21   + c2j  ..    .
  b12 b22   + . . . + cpj  ..    .
b1p b2p ..
.
bm1 bm2 bmp     Aix´ı queda demostrat que la columna j de la matriu A = B · C es pot expressar com combinaci´o lineal de les columnes de B i que els escalars de la combinaci´o lineal s´on precisament els coeficients de la columna j de la matriu C.
Utilitzant la definici´ o de producte de matrius podem comprovar que es verifica: a 1j  a2j  .
 .
.
 c  1j   c2j  =B· .    .  .
amj cpj Algweb ´es a dir, la columna j de la matriu A = B · C ´es igual al producte de la la matriu B per la columna j de la matriu C.
Corol·lari 3.3.1: A partir de la proposici´o anterior dedu¨ım que el subespai generat per les files de la matriu A = B · C est` a contingut en el subespai generat per les files de C, i el subespai generat per les columnes de A est` a contingut en el generat per les columnes de B: FA ⊂ FC =⇒ rangf A ≤ rangf C CA ⊂ CB =⇒ rangc A ≤ rangc B Exemple 3.3.3:  2 3 1 0 2 2   1 −1 1 4 3  = 1 3 4 0  0 1 · 1 2 1 0 2 1 −1 3 4 Les files de la matriu producte verifiquen: (2 0 1 −1 ) = 1 · ( 2 0 1 −1 ) + 0 · ( 1 2 3 4) = (1 0) · 2 1 0 2 1 −1 3 4 (3 2 4 3) = 1 · (2 0 1 −1 ) + 1 · ( 1 2 3 4) = (1 1) · 2 1 0 2 1 −1 3 4 (1 2 3 4) = 0 · (2 0 1 −1 ) + 1 · ( 1 2 3 4) = (0 1) · 2 1 0 2 1 −1 3 4 FA =< (2, 0, 1, −1), (3, 2, 4, 3), (1, 2, 3, 4) >K ⊂ FC =< (2, 0, 1, −1), (1, 2, 3, 4) >K per columnes:        2 1 0 1 3 = 2 · 1 + 1 · 1 = 1 1 0 1 0        0 1 0 1 2 = 0 · 1 + 2 · 1 = 1 2 0 1 0  0 1 · 1  0 1 · 1 2 1 0 2         1 1 0 1 0 4 = 1 · 1 + 3 · 1 = 1 1 · 1 3 3 0 1 0 1         −1 1 0 1 0  3  = −1 ·  1  + 4 ·  1  =  1 1  · −1 4 4 0 1 0 1 CA =< (2, 3, 1), (0, 2, 2), (1, 4, 3), (−1, 3, 4) >K ⊂ CB =< (1, 1, 0), (0, 1, 1) >K Proposici´ o 3.3.3: Considerem el producte de tres matrius: ∀B ∈ MK (m × p), ∀C ∈ MK (p × r), ∀D ∈ MK (r × n), llavors es verifica: A = B · C · D ∈ MK (m × n) d  1j ∀i = 1, m ∀j = 1, n aij = ( bi1 bi2  d2j   bip ) · C ·   ..  .
drj ...
Algweb Demostraci´ o: Introdu¨ım la notaci´ o: C · D = E ∈ MK (p × n) A=B·E Utilitzant la proposici´ o anterior sabem que la fila i de la matriu A ´es igual al producte de la fila i de la matriu B per la matriu E: ( ai1 ai2 . . . ain ) = ( bi1 bi2 bip ) · E ...
Ara tornem a aplicar la proposici´ o anterior a aquest darrer producte de matrius, sabem que la seva columna j la podem expressar com: e  1j aij = ( bi1 bi2 ...
 e2j   bip ) ·   ..  .
epj per`o ja que E = C · D, la seva columna j ´es igual al producte de la matriu C per la columna j de D, i queda demostrada la propietat.
Proposici´ o 3.3.4: Per a qualsevol matriu A ∈ MK (m × n), el seu rang per files coincideix amb el rang per columnes i en direm rang de la matriu.
N ot rangf A = rangc A = rang A Demostraci´ o: Sigui rangf A = s ≤ min {m, n} . Aix`o vol dir que existeixen s files de la matriu A, de manera que totes les files de A s´ on combinaci´ o lineal d’elles. Escrivim aquestes s files com una matriu T ∈ MK (s × n).
Utilitzant la proposici´ o 3.3.2 podem afirmar que existeix una matriu Q tal que: Q ∈ MK (m × s) A=Q·T Considerant la mateixa proposici´ o tenim que les columnes de A s´on combinaci´o lineal de les s columnes de Q i aplicant el corol·lari 3.3.1: rangc A ≤ rangf A = s [a] Sigui rangc A = r ≤ min {m, n} . Llavors hi ha r columnes de la matriu A, que s´on base del subespai generat per les columnes de A. Escribim aquestes r columnes com una matriu P ∈ MK (m × r). Utilitzant la proposici´o 3.3.2 podem afirmar que existeix una matriu L tal que: L ∈ MK (r × n) A=P ·L Aix`o ens permet afirmar que les files de A s´on combinaci´o lineal de les r files de L i tornant a aplicar el corol·lari 3.3.1: rangf A ≤ rangc A = r [b] A partir de [a] i [b] arribem a demostrar la igualtat.
Proposici´ o 3.3.5: ∀n ≥ 2, (MK (n × n), +, ·) ´es anell unitari no commutatiu i amb divisors de zero.
Algweb Demostraci´ o: De la proposici´ o 3.3.1 dedu¨ım que ´es anell no commutatiu. La matriu identitat In ´es l’element neutre del producte. D’altra banda observem que existeixen divisors de zero, que s´on matrius diferents de la nul·la per` o que al multiplicar-les ens dona la matriu zero. Un exemple senzill el constitueixen el primer i l’´ ultim element de la base trivial definida en la proposici´o 3.1.1: M11 = [0]n×n , Mnn = [0]n×n , M11 · Mnn = [0]n×n Definici´ o 3.3.2: Sigui A ∈ MK (n × n), direm que ´es una matriu inversible o matriu regular, si ∃B ∈ MK (n × n), tal que: A · B = B · A = In Segons els resultats desenvolupats en el tema 1 ja sabem que aquesta matriu, si existeix, ´es u ´nica. En direm la inversa de la matriu A, i la representarem per B = A−1 .
Observaci´ o 3.3.1: No totes les matrius no nul·les s´on inversibles. Per exemple aquelles que tenen una fila de zeros o una columna de zeros no tenen inversa. Tampoc ´es inversible una matriu quadrada d’ordre n > 1 amb tots els seus elements igual a 1.
Proposici´ o 3.3.6: ∀A, B ∈ MK (n × n) matrius inversibles, llavors el seu producte tamb´e ´es una matriu inverible i (A · B)−1 = B −1 · A−1 Demostraci´ o: (A · B) · B −1 · A−1 = A · (B · B −1 ) · A−1 = A · A−1 = In B −1 · A−1 · (A · B) = B −1 · (A−1 · A) · B = B −1 · B = In Proposici´ o 3.3.7: Considerem el conjunt de les matrius d’ordre n inversibles: GL(n; K) = {A ∈ MK (n × n), A ´es iversible} llavors amb l’operaci´ o producte (GL(n; K), ·) ´es grup no commutatiu, i en direm el grup lineal.
El problema que ara es planteja ´es el de determinar quan una matriu quadrada ´es inversible, i si ho ´es, obtenir la seva inversa.
Definici´ o 3.3.3: Sigui e una operaci´ o elemental de fila, si l’apliquem a la matriu identitat In , llavors direm que E = e(In ) ´es una matriu elemental de fila.
Proposici´ o 3.3.8: ∀A ∈ MK (m × n), ∀e operaci´o elemental de fila: e(A) = e(Im ) · A Demostraci´ o: Usant la notaci´ o: A = (aij ), e(A) = Aˆ = (ˆ aij ) ∈ MK (m × n), e(Im ) = E = (ers ) ∈ MK (m × m) Separem els tres tipus d’operacions elementals i comprovem que es verifica: Aˆ = E · A Proposici´ o 3.3.9: Tota matriu elemental de fila ´es inversible.
Demostraci´ o: Separarem les matrius elementals segons el tipus. Aplicarem la proposici´o anterior per calcular la seva inversa i comprovarem que tamb´e ´es una matriu elemental.
Per a cada tipus d’operaci´ o elemental de fila ef definirem el que en direm l’operaci´ o inversa eˆf que al aplicar-les de forma consecutiva recuperem la matriu identitat, i es verificar`a: Algweb ˆf · Ef = In In = eˆf (ef (In )) = eˆf (In ) · ef (In ) = E ˆf = In In = ef (ˆ ef (In )) = ef (In ) · eˆf (In ) = Ef · E ˆf =⇒ Ef−1 = E a) Primer Tipus: Sigui ef = e1 la permutaci´o de dues files i E1 = e1 (In ). Si apliquem dues vegades aquesta mateixa operaci´ o recuperem la matriu identitat, llavors eˆf = e1 .
b) Segon Tipus: Sigui ef = e2 l’operaci´o corresponent a multiplicar la fila k per un escalar no nul λ i E2 = e2 (In ). Considerem ara una altra operaci´o elemental eˆf = eˆ2 que correspongui a multiplicar la fila k per 1/λ, c) Tercer Tipus: Considerem ara l’operaci´o elemental ef = e3 en la que a la fila Ai li sumem la fila Aj multiplicada per λ, i la eˆf = eˆ3 on el que fem ´es restar-li a la fila Ai la fila Aj multiplicada per λ.
Proposici´ o 3.3.10: Sigui A ∈ MK (n × n), i RA la seva matriu esglaonada redu¨ıda per files: A ´es inversible ⇐⇒ RA = In ⇐⇒ rangf A = n Demostraci´ o: a) RA = In =⇒ rangf A = n Ja sabem que rangf A = rangf RA i si RA = In llavors rangf A = rangf In = n.
b) rangf A = n =⇒ RA = In En aquest cas rangf RA = rangf A = n i per tant la matriu RA ∈ MK (n × n) no t´e cap fila nul·la.
Llavors en totes les seves columnes hi ha un element igual a 1 i els altres s´on zero, i ja que ´es una matriu esglaonada RA = In .
Ara demostrarem la doble implicaci´ o: A ´es inversible ⇐⇒ RA = In Suposem que per transformar la matriu A en la RA hem aplicat p operacions elementals de fila: ep (ep−1 (. . . e2 (e1 (A)) . . .)) = RA Usant p vegades la proposici´ o 3.3.8: ep (In ) · ep−1 (In ) · · · e2 (In ) · e1 (In ) · A = RA [∗] on les p matrius de l’esquerra s´ on matrius elementals: Ep · Ep−1 · · · E2 · E1 · A = RA [∗∗] c) A ´es inversible =⇒ RA = In Ho demostrarem per reducci´ o a l’absurd. Suposem que RA = In , llavors rangf A = rangf RA < n i la matriu RA t´e la darrera fila nul·la. En l’expressi´o [∗∗] multipliquem per la matriu inversa de A: Ep · Ep−1 · · · E2 · E1 · A · A−1 = RA · A−1 = D ´es a dir: S = Ep · Ep−1 · · · E2 · E1 = D En aquesta igualtat observem que la matriu S ´es inversible per ser producte de matrius inversibles. D’altra banda, S = D i la matriu D t´e la darrera fila nul·la i per tant no ´es inversible, ja tenim la contradicci´o.
Algweb d) RA = In =⇒ A ´es inversible Usant l’expressi´ o [∗]: ep (In ) · ep−1 (In ) · · · e2 (In ) · e1 (In ) · A = In D’aquesta manera podem obtenir una matriu que multiplicada per A ens dona la identitat: B = ep (In ) · ep−1 (In ) · · · e2 (In ) · e1 (In ) · In = ep (ep−1 (. . . e2 (e1 (In )) . . .)) = A−1 Exemple 3.3.4:    1 −1 2 1 −1 [2]f −3[1]f 0 A = 3 2 4 ∼ 5 0 1 2 0 1  1 0 0   1 0 4 1 [3]f − 12 1 2  ∼ 0 0 0 −12 0 1 0   2 1 −1 [2]f ↔[3]f −2  ∼  0 1 2 0 5   4 1 [1]f −4[3]f 0 2 ∼ 1 0 0 1 0   2 1 [1]f +[2]f 2  ∼ 0 −2 0   0 1 [2]f −2[3]f 0 2 ∼ 1 0 0 1 0  0 4 [3]f −5[2]f ∼ 1 2  5 −2  0 0  = RA = I3 1 Aquest resultat ens permet afirmar que la matriu A ´es inversible. Aplicant les mateixes operacions elementals de fila a la matriu identitat obtindrem A−1 :  1 0 0 0 1 0   0 1 [2]f −3[1]f  −3 0 ∼ 1 0    0 0 1 [2]f ←→[3]f  0 1 0 ∼ 0 1 −3   0 0 1 [1]f +[2]f 0 1 ∼  0 1 0 −3  0 1 [3]f −5[2]f 0 1 ∼ 1 0    1 0 1 0 1 1 − [3]f [1]f −4[3]f 0 1  12∼  0 0 1  ∼ 1 −5 3/12 −1/12 5/12     0 1/3 −2/3 0 1/3 −2/3 [2]f −2[3]f  0  −1/2 0 1  ∼ 1/6 1/6  = A−1 3/12 −1/12 5/12 1/4 −1/12 5/12 1  0 −3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports 4. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS 4.1. Generalitats Definici´ o 4.1.1: Sigui K un cos commutatiu i dos nombres naturals n, m ≥ 1.
Considerem una col·lecci´ o d’escalars: ∀i = 1, m ∀j = 1, n aij , bi ∈ K S’anomena sistema de m equacions lineals amb n inc` ognites: x1 , x2 , . . . , xn a l’expressi´o:  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1      a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  [∗] ..
..
  .
.
    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Algweb Definici´ o 4.1.2: Direm que x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn ´es soluci´ o del sistema [∗] si el verifica.
El problema que ara ens plantegem ´es determinar si el sistema [∗] t´e alguna soluci´o, i en el cas de que en tingui, obtenir-les totes.
Definici´ o 4.1.3: Donat el sistema [∗], es defineixen les matrius seg¨ uents: a11  a21 A=  ...
a12 a22 ...
...
..
.
 a1n a2n   ∈ MK (m × n)  am1 am2 ...
amn   x1  x2   X=  ...   b1  b2   b=  ...    xn b  a 11  a21 (A|b) =   ..
.
a12 a22 ...
...
..
.
a1n a2n | | am1 am2 ...
amn | | bm matriu associada al sistema bm 1 b2  ..   ∈ MK (m × (n + 1)) .
matriu ampliada associada al sistema Amb aquestes notacions el sistema [∗] es podr`a escriure matricialment A · X = b, i tamb´e com:   b1  b2   1  b=  ...  = x   bm   a11 a21   + x2  ..    .
  a12 a22   + · · · + xn  ..    .
 a1n a2n  ..  .  am1 am2 amn [∗∗] Definici´ o 4.1.4: Donat el sistema A · X = b a) Si b = 0, direm que ´es un sistema homogeni.
b) Si b = 0, direm que ´es un sistema complet, amb el sistema homogeni associat A · X = 0.
c) Considerem el conjunt de solucions del sistema: A = {x ∈ Kn | A · X = b} si A = ∅ direm que el sistema ´ es compatible; si no hi ha cap soluci´o, ´es a dir A = ∅, direm que ´ es incompatible.
d) Direm que ´es compatible determinat si t´e una u ´nica soluci´o.
e) Direm que ´es compatible indeterminat si t´e m´es d’una soluci´o.
4.2. Solucions d’un sistema d’equacions lineals Proposici´ o 4.2.1: Tot sistema homogeni ´es compatible i el conjunt de solucions ´es subespai vectorial de Kn .
Demostraci´ o: Sigui: Algweb A0 = {x ∈ Kn | A · X = 0} Observem que com a m´ınim hi ha la soluci´o trivial 0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ A0 = ∅ ara tan sols ens queda verificar la segona condici´o de subespai: ∀x, y ∈ A0 , ∀λ ∈ K, z = x + λy A · Z = A · (X + λY ) = A · X + λA · Y = 0 + λ0 = 0 =⇒ z ∈ A0 Per tant, un sistema homogeni ´es sempre compatible i per trobar totes les solucions nom´es caldr`a determinar una base de A0 .
Observaci´ o 4.2.1: La proposici´ o anterior no ´es certa per a un sistema complet qualsevol, com podem veure en el cas seg¨ uent: 2x1 + 3x2 = 4 2x1 + 3x2 = 7 aquest sistema ´es incompatible.
D’altra banda si el sistema complet ´es compatible el seu conjunt de solucions A no ´ es subespai de Kn ja que no cont´e l’element zero.
Teorema 4.2.2 :(Teorema de Rouch´e-Frob¨enius) A · X = b ´es compatible ⇐⇒ rang (A) = rang (A|b) Demostraci´ o: Si el sistema ´es homogeni, b = 0, la proposici´o es demostra de forma immediata ja que A · X = 0 sabem que ´es compatible, i que si a la matriu del sistema li afegim una columna de zeros el rang no es modifica.
Si b = 0, considerem el subespai generat per les columnes de la matriu A ∈ MK (m × n) i el subespai generat per les columnes de la matriu ampliada (A|b) ∈ MK (m × (n + 1)) H0 =< (a11 , . . . , am1 ), (a12 , . . . , am2 ), . . . , (a1n , . . . , amn ) >K ⊂ Km H1 =< (a11 , . . . , am1 ), (a12 , . . . , am2 ), . . . , (a1n , . . . , amn ), (b1 , . . . , bm ) >K ⊂ Km Per construcci´ o tenim que H0 ⊂ H1 , i rang (A) = dimK H0 , rang (A|b) = dimK H1 .
El sistema ´es compatible ⇔ ∃(x1 , . . . , xn ) ∈ Kn que verifica [∗∗] ⇔ b = (b1 , . . . , bm ) ∈ H0 ⇔ H0 = H 1 ⇔ dimK H0 = dimK H1 ⇔ rang (A) = rang (A|b) Proposici´ o 4.2.3: Sigui xp una soluci´o particular del sistema complet A · X = b, a) ∀x0 soluci´ o del sistema homogeni associat, A · X = 0, llavors x1 = xp + x0 ´es soluci´o de A · X = b.
b) ∀x1 soluci´ o de A · X = b, llavors ∃x0 soluci´o de A · X = 0, tal que x1 = xp + x0 .
Demostraci´ o: a) A · X1 = A · (Xp + X0 ) = A · Xp + A · X0 = b + 0 = b.
b) A · X1 − A · Xp = A · (X1 − Xp ) = b − b = 0, llavors X0 = X1 − Xp verifica A · X0 = 0, i X1 = Xp + X0 .
Observaci´ o 4.2.2: En el cas d’un sistema complet sabrem que ´es compatible verificant que el rang de la matriu associada coincideixi amb el rang de l’ampliada. Per obtenir totes les solucions nom´es ens caldr`a trobar-ne una de particular xp i una base del subespai de solucions del sistema homogeni associat, {v1 , v2 , . . . , vr }, Algweb x ´es soluci´ o de A · X = b ⇐⇒ ∃α1 , α2 , . . . , αr ∈ K x = xp + α1 v1 + α2 v2 + . . . + αr vr 4.3. Sistemes equivalents Proposici´ o 4.3.1: Siguin dos sistemes amb la mateixa quantitat d’inc`ognites, per`o no necess`ariament amb la mateixa quantitat d’equacions.
Considerem un primer sistema de m equacions i n inc`ognites: x1 , . . . , xn : [1] : A · X = b, A ∈ MK (m × n), b ∈ MK (m × 1) i un segon sistema de p equacions i n inc` ognites: x1 , . . . , xn : [2] : C · X = d, C ∈ MK (p × n), d ∈ MK (p × 1) Si aquests sistemes s´ on tals que totes les equacions del sistema [2] es poden expressar com a combinaci´o lineal de les equacions del sistema [1], llavors tota soluci´o del sistema [1] tamb´e ´es soluci´o del [2].
Demostraci´ o Per la teoria de matrius, sabem que existeix una matriu P ∈ MK (m × m) tal que: (C|d) = P · (A|b) i per tant C = P · A i d=P ·b Sigui z ∈ Kn una soluci´ o qualsevol del sistema [1], verifiquem que tamb´e ´es soluci´o del [2]: C ·Z =P ·A·Z =P ·b=d Observaci´ o 4.3.1: El rec´ıproc no ´es cert, com podem veure en el contraexemple seg¨ uent: [1] : x1 + x2 = 5 2x1 + 3x2 = 13 [2] : 3x1 + 4x2 = 18 En aquest exemple l’equaci´ o del sistema [2] ´es combinaci´o lineal de les del sistema [1] (´es la suma), per`o les equacions del sistema [1] no s´ on combinaci´o lineal de les del [2].
Observem que el sistema [1] t´e soluci´ ou ´nica x1 = 2, x2 = 3 que tamb´e ´es soluci´o de [2]. Per altra banda, el segon sistema t´e infinites solucions que podem expressar com x1 = 6 − 4/3x2 , de tal manera que donant valors arbirtraris a x2 trobem una x1 que verifiquen [2]. En particular x2 = 0, x1 = 6 ens dona una soluci´o de [2], que no ´es soluci´ o de [1].
Definici´ o 4.3.1: Direm que [1] i [2] s´on sistemes equivalents si cada equaci´o de cada sistema ´es combinaci´o lineal de les equacions de l’altre sistema.
Proposici´ o 4.3.2: Els sistemes equivalents tenen les mateixes solucions.
Demostraci´ o: Aplicant la proposici´ o 4.3.1 Proposici´ o 4.3.3: Considerem el sistema [1] : A · X = b, i una operaci´o elemental de fila qualsevol e.
ˆ ˆb) i definim el sistema Apliquem aquesta operaci´ o elemental de fila a la matriu ampliada (A|b) i obtenim (A| ˆ ˆ [2] : A · X = b. Llavors els dos sistemes s´on equivalents, i per tant tenen les mateixes solucions.
Demostraci´ o: Es dedueix del corol·lari 2.5.18 del tema 2, que ens permet afirmar que el subespai generat ˆ ˆb).
per les files de (A|b) coincideix amb el generat per les files de (A| Algweb Proposici´ o 4.3.4: Sigui el sistema [1] : A · X = b. A la matriu ampliada associada (A|b) li apliquem operacions elementals de fila fins arribar a la m.e.r.f. (RA |c), amb la que definim un segon sistema [2] : Ra · X = c. Llavors els dos sistemes tenen les mateixes solucions.
Demostraci´ o: Per la proposici´ o 4.3.3 sabem que s´on equivalents.
4.4. Resoluci´ o de sistemes Donat un sistema d’equacions lineals [1] : A · X = b , volem saber si t´e soluci´o i si ´es aix´ı, trobar-les totes, el que en direm resoldre el sistema. A l’apartat anterior hem vist que aquest sistema t´e les mateixes solucions que un altre d’expressi´ o molt m´es senzilla [2] : RA · X = c, on (RA |c) ´es la m.e.r.f de (A|b).
Sabem que: A·X =b [2] : RA · X = c (A|b) ∼ (RA |c) rang (A) = rang (RA ) = r rang (A|b) = rang (RA |c) [1] : Comprovem que aquest segon sistema ´es de resoluci´o immediata: 1er) Compatibilitat del sistema: Poden passar dues coses: 1.1.- rang (RA |c) = r + 1 , en aquest cas el sistema ´es incompatible.
1.2.- rang (RA |c) = rang (RA ) = r i el sistema ´es compatible.
Si el sistema ´es homogeni, b = c = 0 i ´es sempre compatible.
2on) Conjunt de solucions: Aqu´ı suposem que el sistema ´es compatible, per tant ∀j = r + 1, m cj = 0 La matriu RA t´e r files no nul·les amb el primer element no nul igual a 1, aquests elements estan col·locats en les columnes: 1 ≤ i1 < i2 < i3 < . . . < ir ≤ n Anomenarem inc` ognites principals a: xi1 , xi2 , . . . xir i en direm inc` ognites secund` aries a les n − r restants: xj , j ∈ J = {1, 2, 3, . . . , n} − {i1 , i2 , . . . , ir } La forma esglaonada redu¨ıda per files de la matriu RA = (dij ) ens permetr`a expressar les inc`ognites principals en funci´ o de les secund` aries: xi1 = c1 − d1j xj j∈J i2 x d2j xj = c2 − j∈J ..
.
..
.
xir = cr − drj xj j∈J Proposici´ o 4.4.1: El sistema A · X = b t´e soluci´o u ´nica ⇔ totes les inc`ognites s´on principals ⇔ rang (A) = rang (RA ) = n.
Algweb Proposici´ o 4.4.2: La dimensi´ o del subespai de solucions del sistema homogeni A · X = 0 coincideix amb la quantitat d’inc` ognites secund` aries, o sigui n − r = n − rang (A).
Esquema final: A·X =b A ∈ MK (m × n) rang (A) = r 1) Si rang (A|b) = r + 1 , el sistema ´es incompatible 2) Si rang (A|b) = r , el sistema ´es compatible.
2.1) m < n (tenim menys equacions que inc`ognites). En aquest cas: rang (A) = rang (A|b) = r < n Tindrem un sistema indeterminat, i dimK {x ∈ Kn | A · X = 0} = n − r > 0 2.2) m ≥ n: rang (A) = rang (A|b) = r ≤ n 2.2.1) r = n A · X = b ´es determinat A · X = 0 =⇒ X = 0 2.2.2) r < n A · X = b ´es indeterminat dimK {x ∈ Kn | A · X = 0} = n − r > 0 Exemple 4.4.1: 2x1 + 6x2 + x3 + 2x4 + x5  + 2x7 + 22x8 − 5x9 = −3     x1 + 3x2 + x3 + x4 + 7x5 + x6 + x7 + 15x8 − 2x9 = 0      1 2 3 4 5 6 7 8 9 x + 3x + x + 2x + 12x − 6x + x + 19x − 2x = −5  −2x1 − 6x2 − x3 − 2x4 − x5 − 1x7 − 20x8 =7      1 2 3 4 5 6 7 8 9 3x + 9x + 2x + 4x + 13x − 6x + 2x + 39x − 2x = −12      1 2 3 4 5 6 7 8 9 2x + 6x + x + 3x + 19x − 50x + 2x + 34x − 4x = −5 Apliquem operacions elementals de fila a la matriu ampliada associada al sistema fins arribar a la matriu esglaonada redu¨ıda per files i plantegem el sistema equivalent:  x1   x2   −2  3 x   4   3 x     5   −5 x  =   6   4 x   0  7 x  0  8 x x9  1 0  0  0  0 0 Algweb  3 0 0 −2 0 1 0 4 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 −7 0 0 0 0 1 2 0 8 1 0 4 0 1 2 −5 0 0 0 0 0 0        La matriu associada al sistema RA ∈ MR (6 × 9) ´es de rang quatre, aix`o vol dir que hi haur`a quatre inc`ognites principals i cinc inc` ognites secund`aries. S’ha marcat en negreta els primers elements no nuls de les files no nul·les, les columnes que ocupen ens diuen quines s´on les inc`ognites principals. En aquest cas x1 , x3 , x4 , x7 , s´ on les principals, i x2 , x5 , x6 , x8 , x9 , les inc`ognites secund`aries, que actuen com a par`ametres.
 1 · x1 + 3x2 − 2x5 + 6x6 + x8 + x9 = −2     1 · x3 + 4x5 + 2x6 + 8x8 + x9 = 3  1 · x4 + 5x5 − 7x6 + 4x8 = −5      7 8 9 1 · x + 2x − 5x = 4 La forma esglaonada redu¨ıda per files de la matriu ens permet expressar les inc`ognites principals en funci´o de les secund` aries: x1 = −2 − 3x2 + 2x5 − 6x6 − x8 − x9 x3 = 3 − 4x5 − 2x6 − 8x8 − x9 x4 = −5 − 5x5 + 7x6 − 4x8 x7 = 4 − 2x8 + 5x9 x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 ) = (−2, 0, 3, −5, 0, 0, 4, 0, 0)+ +x2 (−3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) + x5 (−2, 0, −4, −5, 1, 0, 0, 0, 0)+ 6 +x (−6, 0, −2, 7, 0, 1, 0, 0, 0) + x8 (−1, 0, −8, −4, 0, 0, −2, 1, 0) + x9 (−1, 0, −1, 0, 0, 0, 5, 0, 1) Amb les notacions: v1 = (−3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0); v2 = (−2, 0, −4, −5, 1, 0, 0, 0, 0); v3 = (−6, 0, −2, 7, 0, 1, 0, 0, 0) v4 = (−1, 0, −8, −4, 0, 0, −2, 1, 0); v5 = (−1, 0, −1, 0, 0, 0, 5, 0, 1); xp = (−2, 0, 3, −5, 0, 0, 4, 0, 0) El vector x ∈ R9 ´es soluci´ o del sistema si i nom´es si: ∃α1 , α2 , α3 , α4 , α5 ∈ R, x = xp + α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 + α4 v4 + α5 v5 Observem que xp ´es una soluci´ o particular del sistema, a la que arribem agafant: α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = 0 D’altra banda, {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } ´es base del sistema homogeni associat.
4.5 Aplicacions ´ 4.5.1: Estudiar la depend` APLICACIO encia o independ` encia lineal d’un sistema de vectors Exemple 4.5.1.1: Determinar si el sistema de vectors seg¨ uent ´es lliure o lligat: {v1 = (4, −5, 2, 6), v2 = (2, −2, 1, 3), v3 = (6, −3, 3, 9), v4 = (4, −1, 5, 6)} ⊂ R4 Agafem una combinaci´ o lineal d’ells i la igualem a zero: Algweb a, b, c, d ∈ R,  4a + 2b + 6c + 4d = 0    −5a − 2b − 3c − d = 0  2a + b + 3c + 5d = 0     6a + 3b + 9c + 6d = 0 av1 + bv2 + cv3 + dv4 = 0 4  −5  2 6  =⇒ 2 −2 1 3 6 −3 3 9 [∗]     4 a 0 −1   b   0    =   5 c 0 6 d 0 Aplicant operacions elementals de fila a la matriu associada arribem al sistema equivalent: 1 0  0 0  1 3 0 0 6 27 0 0     0 a 0 0b  0   =   0 c 1 0 d 0 Observem que el rang de la matriu ´es tres i per tant la dimensi´o del subespai de solucions ser`a 1, el que ens permet trobar valors a, b, c, d ∈ R no tots nuls que verifiquin [∗], el que implica que el sistema ´ es lligat.
Exemple 4.5.1.2: Considerem en l’espai vectorial real de les funcions continues definides de R en R, FR , el sistema de vectors: {f1 (t) = sin t, f2 (t) = cos t, f3 (t) = sin 2t, f4 (t) = cos 2t} Pretenem determinar si ´es un sistema lliure o lligat.
a, b, c, d ∈ R, af1 (t) + bf2 (t) + cf3 (t) + df4 (t) = ˆ0(t) Ja que la funci´ o zero s’anul·la per a qualsevol valor de t, podrem escriure:  b + d = 0 t=0    a − d = 0 t = π/2 −a − d = 0  t = −π/2   √ √   t = π/4 2a + 2b + 2c = 0 A la matriu associada al sistema li apliquem operacions elementals de fila fins a convertir-la en una m.e.f: 0  1  −1 √ 2   1 0 1 0 0 −1   0 0 −1 √ 2 2 0  1 0 0 −1 1   0 1 √0   0 0 2 −1 0 0 0 −2  ∼ Aquesta matriu ´es de rang m` axim, per tant el sistema homogeni admet com a soluci´o u ´nica (a, b, c, d) = (0, 0, 0, 0) i el sistema de vectors ´ es lliure.
´ 4.5.2:Equacions impl´ıcites.
APLICACIO Sigui B una base del K-espai vectorial de dimensi´o finita En , ∀x ∈ En , xB = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn Sigui {v1 , v2 . . . , vr } base d’un subespai F . Pretenem obtenir un sistema homogeni de rang m`axim de n − r equacions i n inc` ognites de tal manera que F sigui el seu subespai de solucions. A aquest sistema en direm equacions impl´ıcites de F .
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F ⇐⇒ ∃α1 , α2 , . . . , αr ∈ K, Per components i de forma matricial:  1 v1  v12  .
 .
 .
 .
 ..
v1n v21 v22 ...
...
v2n ...
(x1 , x2 , . . . , xn ) = α1 v1 + α2 v2 + αr vr   1 vr1   x  x2  vr2  α1  .  ..    α2  ..  =  .
.   ..    .  ..  ..    .
αr xn vrn Algweb El sistema ser` a compatible si i nom´es si el rang de la matriu ampliada coincideix amb el rang de l’associada que sabem que ´es r (les columnes s´ on base de F ). Apliquem operacions elementals de fila fins obtenir una m.e.f. que sabem que tindr` a les n − r u ´ltimes files nul·les,i per tant tamb´e seran zero els n − r darrers elements del terme complet, el que ens donar`a precisament el sistema desitjat.
Exemple 4.5.2.1: Considerem els subespais de dimensi´o 2 de l’espai vectorial real R3 . Es poden expressar de dues maneres que analitzarem utilitzant dos exemples concrets: 1) F = {(x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3 , 3x − 4y + 2z = 0} [a] D’aquesta manera el subespai F coincideix amb el subespai de solucions del sistema homogeni d’una equaci´o i tres inc` ognites 3x − 4y + 2z = 0, a la que en direm equaci´ o impl´ıcita de F : (x, y, z) ∈ F ⇐⇒ (x, y, z) = ( 34 y − 32 z, y, z) = y( 43 , 1, 0) + z(− 32 , 0, 1) Per tant {( 43 , 1, 0), (− 32 , 0, 1)} ´es base de F .
2) Suposem que ens donen una base de F i volem trobar l’equaci´o impl´ıcita: (x, y, z) ∈ F ⇐⇒ ∃α, β ∈ R F =< v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 3, −1) >R  α + 2β = x   (x, y, z) = α(1, 1, 1) + β(2, 3, −1) ⇐⇒ α + 3β = y   α−β =z Aplicant operacions elementals de fila a la matriu ampliada associada al sistema:     1 2 | x 1 2 | x 1  3 | y  ∼ 0 1 | y−x 1 −1 | z 0 0 | 4x − 3y − z (x, y, z) ∈ F ⇐⇒ 4x − 3y − z = 0 ´es compatible Exemple 4.5.2.2: Es volen determinar les condicions que hauran de verificar les coordenades d’un cert vector x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 per pertanyer al subespai F =< (−1, 2, 3, 4), (−1, 1, −3, 1) >R .
x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ F ⇐⇒ ∃α, β ∈ R, que ens porta al sistema :  −α − β = x1     2α + β = x2  (x1 , x2 , x3 , x4 ) = α(−1, 2, 3, 4) + β(−1, 1, −3, 1) −1  2 =⇒  3 4  3 3α − 3β = x     4 4α + β = x −1  2 sistema compatible ⇐⇒ rang  3 4  −1 1 −3 1  −1 1   −3 1 | | | |  x1 2 x  = 3 x x4  α β   x1 −1 2 x   2  = rang  x3 3 4 x 4  −1 1  =2 −3 1 Aplicant operacions elementals de fila:  1 0 | x1 + x2 1 2 −2x − x 0 1 |    0 0 | 9x1 + 6x2 − x3 1 2 3 4 0 0 | 7x + 3x − x + x Algweb  (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ F ⇐⇒ 9x1 + 6x2 − x3 = 0, i 7x1 + 3x2 − x3 + x4 = 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports 5. APLICACIONS LINEALS 5.1. Generalitats Definici´ o 5.1.1: Siguin E i F espais vectorials sobre el cos commutatiu K. Direm que f ´es una aplicaci´ o lineal (o transformaci´ o lineal) entre E i F si verifica: 1) f : E −→ F , f ´es aplicaci´ o.
2) ∀x, y ∈ E, f (x + y) = f (x) + f (y) 3) ∀x, ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λx) = λ · f (x) Exemple 5.1.1: f : R2 −→ R3 (x1 , x2 ) → f (x1 , x2 ) = (3x1 , x1 − x2 , x1 + 2x2 ) Algweb Exemple 5.1.2: f : R3 −→ R3 (x1 , x2 , x3 ) → f (x1 , x2 , x3 ) = (0, x2 , 0) Proposici´ o 5.1.1: ∀f aplicaci´ o lineal entre E i F es verifica: f (0E ) = 0F Demostraci´ o: Nom´es cal utilitzar l’apartat 3) de la definici´o: f (0E ) = f (0 · 0E ) = 0 · f (0E ) = 0F .
Definici´ o 5.1.2: Ker f = {x | x ∈ E, f (x) = 0} Definici´ o 5.1.3: Im f = {y | y ∈ F, ∃x ∈ E, f (x) = y} Proposici´ o 5.1.2: Ker f ´es subespai vectorial de E, i Im f ´es subespai vectorial de F .
Demostraci´ o: a) A partir de la proposici´ o 5.1.1 verifiquem que 0E ∈ Ker f i 0F ∈ Im f , per tant els dos subconjunts s´on diferents del conjunt buit.
b1) ∀x1 , x2 ∈ Ker f, ∀λ ∈ K, f (x1 + λx2 ) = f (x1 ) + λf (x2 ) = 0F + λ · 0F = 0F =⇒ x1 + λx2 ∈ Ker f b2) ∀y1 , y2 ∈ Im f, ∀λ ∈ K, ∃x1 , x2 ∈ E, y1 + λy2 = f (x1 ) + λf (x2 ) = f (x1 + λx2 ) =⇒ y1 + λy2 ∈ Im f Notacions: Sigui f : E −→ F , aplicaci´o lineal, f ´es monomorfisme ⇐⇒ f ´es epimorfisme ⇐⇒ f ´es isomorfisme ⇐⇒ f ´es endomorfisme ⇐⇒ f ´es automorfisme ⇐⇒ f ´es injectiva f ´es exhaustiva f ´es bijectiva E=F E = F, f ´es bijectiva Proposici´ o 5.1.3: f ´es exhaustiva si i nom´es si Im f = F .
Demostraci´ o: ´es inmediata de la definici´o d’exhaustivitat.
Proposici´ o 5.1.4: f ´es injectiva ⇐⇒ Ker f = {0}.
Algweb Demostraci´ o: =⇒) Sigui x0 ∈ Ker f , llavors f (x0 ) = f (0) = 0, i al ser f injectiva, x0 = 0.
⇐=) ∀x1 , x2 ∈ E, tals que f (x1 ) = f (x2 ),podem escriure 0 = f (x1 ) − f (x2 ) = f (x1 − x2 ) Aix´ı doncs el vector x = x1 − x2 ∈ Ker f = {0}, i per tant x1 = x2 .
Notaci´ o: LK (E; F ) = {f | f : E −→ F, aplicaci´o lineal} Proposici´ o 5.1.5: Si considerem la suma d’aplicacions i el producte d’un escalar per una aplicaci´o, es verifica que (LK (E; F ), +, ·) t´e estructura de K espai vectorial.
Demostraci´ o: Nom´es cal demostrar que les operacions estan ben definides i ens queda un cas particular del que ja s’ha demostrat en el tema d’espais vectorials. (poder clicar refer`encia) Proposici´ o 5.1.6: Suposem que dimK En = n < +∞, sigui f ∈ LK (E; F ) i B = {e1 , e2 , . . . , en } una base de En , llavors f queda caracteritzada per les imatges dels vectors de la base, {f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )}.
Demostraci´ o: Efectivament, ∀x ∈ En podrem calcular f (x), ∀x ∈ En , ∃!x1 , x2 , . . . xn ∈ K, n xi ei , x= f (x) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + . . . + xn f (en ) i=1 Proposici´ o 5.1.7: En les condicions anteriors tenim que {f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )} ´es sistema de generadors de Im f .
Demostraci´ o: Efectivament, ∀y ∈ Im f , ∃x ∈ En , y = f (x) x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en , y = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + . . . + xn f (en ) Corol·lari 5.1.1: Ker f ⊂ En =⇒ dimK Ker f = η(f ) ≤ n < +∞ dimK Im f = rang f = r(f ) ≤ n < +∞ ∀f ∈ LK (E; F ), Teorema 5.1.1: dimK E = n < +∞, f : E −→ F , dimK Im f + dimK Ker f = dimK E Notaci´o: r(f ) + η(f ) = n Demostraci´ o: Sigui B = {e1 , e2 , . . . , en } una base de E. Considerarem per separat dues situacions: Algweb a) Ker f = {0} En aquest cas dimK Ker f = η(f ) = 0, i per demostrar el teorema nom´es cal justificar que r(f ) = n. Sabem que: Im f =< f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en ) >K Si demostrem que els vectors que generen Im f s´on linealment independents ja quedar`a justificat.
∀i = 1, n ∀αi ∈ K, tals que α1 f (e1 ) + α2 f (e2 ) + . . . + αn f (en ) = 0 f (α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en ) = 0 α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en ∈ Ker f = {0} α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en = 0 i al ser B un sistema lliure, ∀i = 1, n αi = 0 b) Ker f = {0} Llavors dimK Ker f = η(f ) = p, 1 ≤ p ≤ n . Agafem una base de Ker f , {v1 , v2 , . . . , vp }, i la completem ˆ = {v1 , v2 , . . . , vp , wp+1 , . . . , wn } fins obtenir una base de tot l’espai En , B Im f =< f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vp ), f (wp+1 ), . . . , f (wn ) >K per`o les imatges dels p primers vectors s´ on zero, Im f =< f (wp+1 ), . . . , f (wn ) >K Per tant, el subespai Im f est` a generat per n − p vectors. Si demostrem que constitueixen un sistema de vectors linealment independents, tindrem que r(f ) = n − p i el teorema quedar`a justificat.
∀i = p + 1, n ∀αi ∈ K, tals que αp+1 f (wp+1 ) + αp+2 f (wp+2 ) + . . . + αn f (wn ) = 0 f (αp+1 wp+1 + αp+2 wp+2 + . . . + αn wn ) = 0 aix´o implica que αp+1 wp+1 + αp+2 wp+2 + . . . + αn wn ∈ Ker f i per tant ser` a combinaci´ o lineal dels vectors de la base de Ker f , ∀i = 1, p ∃βi ∈ K, αp+1 wp+1 + αp+2 wp+2 + . . . + αn wn = β1 v1 + β2 v2 + . . . + βp vp β1 v1 + β2 v2 + . . . + βp vp − αp+1 wp+1 − αp+2 wp+2 − . . . − αn wn = 0 per`o com aquests vectors s´ on base de En , β1 = β2 = . . . = βp = αp+1 = αp+2 = . . . = αn = 0 Corol·lari 5.1.2: Sigui f ∈ LK (En ; F ), a) f ´es monomorfisme ⇐⇒ Ker f = {0} ⇐⇒ η(f ) = 0 ⇐⇒ r(f ) = n f ´es epimorfisme ⇐⇒ Im f = F ⇐⇒ r(f ) = dimK F ≤ n b) Algweb c) f ´es isomorfisme ⇐⇒ r(f ) = dimK F = dimK En = n Proposici´ o 5.1.8: Sigui f ∈ LK (E; Fm ), dimK Fm = m < +∞ i f ´es isomorfisme,llavors: dimK E = dimK Fm = m Demostraci´ o: Per ser exhaustiva, Im f = Fm . Considerem una base de Fm , {y1 , y2 , . . . , ym }, com que aquests vectors pertanyen a Im f , ∀j = 1, m ∃vj ∈ E, f (vj ) = yj Si ara demostrem que {v1 , v2 , . . . , vm } ´es base de E, la proposici´o quedar`a justificada.
a) constitueixen un sistema lliure, ∀j = 1, m ∀αj ∈ K, tals que α1 v1 + α2 v2 + . . . + αm vm = 0 f (α1 v1 + α2 v2 + . . . + αm vm ) = f (0) = 0 α1 y1 + α2 y2 + . . . + αm ym = 0 per`o aquests vectors s´ on linealment independents α1 = α2 = . . . = αm = 0 b) s´on sistema de generadors, ∀x ∈ E, f (x) = y, ∀j = 1, m ∃αj ∈ K, f (x) = y = α1 y1 + α2 y2 + . . . + αm ym f (x) = α1 f (v1 ) + α2 f (v2 ) + . . . + αm f (vm ) f (x) = f (α1 v1 + α2 v2 + . . . + αm vm ) i al ser f injectiva, x = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αm vm 5.2 Representaci´ o d’aplicacions per matrius Anem a un cas particular important: f : En −→ Fm dimK En = n < +∞ dimK Fm = m < +∞ i considerem bases dels espais vectorials, BE = {e1 , e2 , . . . , en }, BF = {v1 , v2 , . . . , vm } llavors, n ∀i = 1, n ∃xi ∈ K, ∀x ∈ En , xi ei x= i=1 n m n xi f (ei ) = y = f (x) = i=1 xi i=1 m (f (x))j vj , aji vj = j=1 aji ∈ K [1] j=1 Definim notacions,  x1  x2   =  ...  Algweb  [x]BE   (f (x))1  y1 2  y   (f (x))2     = ..
 ..  =   .
.
m m y (f (x))  [y]BF = [f (x)]BF xn i aix´ı ho podrem expressar com [f (x)]BF  (f (x))1  (f (x))2 = ..
 .
(f (x))m     =    n i=1 n i=1   a1i xi a11 a2i xi  a    21  =  ..
..
 .
.
n i a a x m1 i=1 mi a12 a22 ..
.
...
...
..
.
am2 ...
 1  a1n x a2n   x2   .  ..  .   ..  xn amn Definici´ o 5.2.1: Definim la matriu associada a f en les bases BE i BF , f : En −→ Fm , a11  a21 =  ...
a12 a22 ..
.
...
...
..
.
 a1n a2n  = A ∈ MK (m × n) ..  .  am1 am2 ...
amn  [f ]BE BF i podrem escriure, [f (x)]BF = [f ]BE BF · [x]BE Aix´ı doncs, fixades les bases BE i BF l’aplicaci´o lineal f queda totalment caracteritzada donant els m · n coeficients de la matriu associada.
Si ara considerem l’expressi´ o [1] tenim que: m ∀i = 1, n f (ei ) = aji vj j=1 que podrem escriure matricialment  a1i  a2i   =  ...   [f (ei )]BF ami La columna i de la matriu associada a f en les bases BE i BF correspon a les components del vector f (ei ) en la base BF .
Ja sabem que (LK (En ; Fm ), +, ·) ´es un K espai vectorial. Ara calcularem la seva dimensi´o.No ho farem trobant una base, sino definint un isomorfisme entre ell i un altre espai vectorial del qual en coneixem la dimensi´o, i utilitzant la proposici´ o 4.1.8.
Proposici´ o 5.2.1: Definim l’aplicaci´ o: ΦBE BF : LK (En ; Fm ) −→ MK (m × n) f → ΦBE BF (f ) = [f ]BE BF Algweb llavors ΦBE BF ´es isomorfisme, i per tant dimK LK (En ; Fm ) = dimK MK (m × n) = m · n ´es a dir: dimK LK (En ; Fm ) = (dimK En ) · (dimK Fm ) Demostraci´ o: a) Comencem verificant que ´es aplicaci´o lineal, ∀f, g ∈ LK (En ; Fm ), ∀λ ∈ K ΦBE BF (f + λg) = [f + λg]BE BF = [f ]BE BF + λ[g]BE BF = ΦBE BF (f ) + λΦBE BF (g) b) Ara demostrarem que ´es injectiva, justificant que Ker ΦBE BF = {˜0},on ˜0 : En −→ Fm x → ˜0(x) = 0 Sigui fo ∈ Ker ΦBE BF , llavors ΦBE BF (fo ) = [0]m×n ∈ MK (m × n) de manera que: del que deduim que ∀x ∈ En , [fo (x)]BE BF = [0]m×n · [x]BE = [0]m×1 fo = ˜ 0.
c) Per justificar que ´es exhaustiva hem de demostrar que per a qualsevol matriu A ∈ MK (m × n) existeix una aplicaci´o lineal f ∈ LK (En ; Fm ) tal que: ΦBE BF (f ) = A per demostrar aquesta exist`encia nom´es cal donar la imatge d’un vector arbitrari i comprovar que l’aplicaci´o ´es lineal, ∀x ∈ En , [f (x)]BE BF = A · [x]BE 5.3 Composici´ o d’aplicacions lineals Siguin E, F, G, espais vectorials sobre el cos commutatiu K, i f ∈ LK (E; F ), g ∈ LK (F ; G).
Usant la teoria del cap´ıtol 1 sabem que la composici´o d’aquestes dues aplicacions ens dona una altre aplicaci´o definida entre E i G, h = g · f que facilment justifiquem que ´es lineal. Llavors h = g · f ∈ LK (E; G).
Proposici´ o 5.3.1: Siguin E, F, G, H, espais vectorials sobre el cos commutatiu K, ∀f, fˆ ∈ LK (E; F ), ∀g, gˆ ∈ LK (F ; G), ∀h ∈ LK (G; H), ∀λ ∈ K Algweb a) h · (g · f ) = (h · g) · f (Associativa) b) λ(g · f ) = g · (λf ) = (λg) · f .
c) (g + gˆ) · f = g · f + gˆ · f (Distributiva per la dreta).
d) g · (f + fˆ) = g · f + g · fˆ (Distributiva per l’esquerra).
Demostraci´ o: ´es un cas particular de la demostrada en el cap´ıtol 1.
Si ara agafem E = F = G ens queda que la composici´o o producte d’endomorfismes definits en E ´es una operaci´o interna.
Proposici´ o 5.3.2: (LK (E; E), +, ·) t´e estructura d’anell no commutatiu unitari i amb divisors de zero.
Ja sabem que (LK (E; E), +) ´es grup commutatiu i que es verifica la propietat distributiva (cas particular de la proposici´ o anterior).
Anem a veure que existeix element unitari. Si definim: Id : E −→ E x → Id(x) = x, Id ∈ LK (E; E) ∀f ∈ LK (E; E), f · Id = Id · f = f Nom´es ens queda demostrar que existeixen divisors de zero. Hem de poder obtenir f, g ∈ LK (E; E), f = ˆ0, g = ˆ0, g · f = ˆ0 en aquest cas s’haur` a de verificar ∀x ∈ E, g(f (x)) = 0 i aix´o passa si i nom´es si Im f ⊂ Ker g, i ja tenim una manera de construir-los.
Definici´ o 5.3.1: Sigui f ∈ LK (E; F ), direm que f ´es inversible si existeix fˆ aplicaci´o definida entre F i E, tal que: fˆ · f = IdE f · fˆ = IdF Per la teoria desenvolupada en el cap´ıtol 1 sabem que si fˆ existeix, llavors ´es u ´nica i li direm l’aplicaci´ o inversa de f , fˆ = f −1 .
Lema 5.3.1: Sigui f ∈ LK (E; F ), si la seva inversa existeix llavors tamb´e ´es lineal, ´es a dir, f −1 ∈ LK (F ; E).
Demostraci´ o: ∀y1 , y2 ∈ F, ∀λ ∈ K, ∃!x1 , x2 ∈ E f (x1 ) = y1 , f (x2 ) = y2 , f −1 (y1 ) = x1 , f −1 (y2 ) = x2 f −1 (y1 + λy2 ) = f −1 (f (x1 ) + λf (x2 )) per`o f ´es aplicaci´ o lineal f −1 (y1 + λy2 ) = (f −1 · f )(x1 + λx2 ) = IdE (x1 + λx2 ) = x1 + λx2 = f −1 (y1 ) + λf −1 (y2 ) El problema que ara ens queda pendent ´es el de determinar qu`e ha de verificar una aplicaci´o lineal per ser inversible. Enunciarem i demostrarem aquesta q¨ uesti´o per a una aplicaci´o qualsevol no necessariament lineal.
Proposici´ o 5.3.3: Siguin dos conjunts A i B, i una certa aplicaci´o φ : A −→ B φ ´es inversible ⇐⇒ φ ´es bijectiva Demostraci´ o: Algweb ⇐=) Si φ ´es bijectiva llavors ∀b ∈ B, ∃!a ∈ A tal que φ(a) = b. Aix´o ens permet definir l’aplicaci´o: φˆ : B −→ A ˆ =a b → φ(b) i ara verifiquem que φˆ = φ−1 ja que: φˆ · φ = IdA , φ · φˆ = IdB =⇒) Si φ ´es inversible llavors existeix φ−1 ,tals que φ : A −→ B a: φ−1 · φ = IdA φ−1 : B −→ A b: φ · φ−1 = IdB Aqu´ı caldr`a tenir en compte que l’aplicaci´o identitat ´es bijectiva i recordar tal com es va demostrar en el cap´ıtol 1 que si la composici´ o de dues aplicacions ´es bijectiva llavors la primera aplicaci´o que act´ ua ´es injectiva i la segona exhaustiva. Aix´ı doncs de a) deduim que φ ´es injectiva, i de b) que φ ´es exhaustiva.
Corol·lari 5.3.1: Sigui f ∈ LK (E; F ), llavors: f ´es inversible ⇐⇒ f ´es isomorfisme Definici´ o 5.3.2: Sigui E un K e.v., GL(E; K) = {f | f ∈ LK (E; E), f inversible} Proposici´ o 5.3.4: Si ara considerem l’operaci´o composici´o o producte d’aplicacions, (GL(E; K), ·) t´e estructura de grup no commutatiu. En direm el grup lineal de les aplicacions lineals definides en E.
Proposici´ o 5.3.5: Siguin E, F, G,K e.v. de dimensi´o finita,i BE , BF , BG bases respectives.
∀f ∈ LK (E; F ), ∀g ∈ LK (F ; G), h = g · f ∈ LK (E; G) [h]BE BG = [g · f ]BE BG = [g]BF BG · [f ]BE BF Demostraci´ o: Suposem dimK E = n, ∀x ∈ E, dimK F = m, dimK G = p [(g · f )(x)]BG = [g · f ]BE BG · [x]BE = [g(f (x))]BG = [g]BF BG · [f (x)]BF = [g]BF BG · [f ]BE BF · [x]BE Restant i aplicant la propietat distributiva del producte de matrius respecte a la suma, Algweb {[g · f ]BE BG − [g]BF BG · [f ]BE BF } · [x]BE = [0]p×1 De manera que si en diem A a la matriu entre claus, ens queda ∀x ∈ E, A ∈ MK (p × n) A · [x]BE = [0]p×1 , Si aconseguim justificar que la matriu A ´es la zero quedar`a demostrada la proposici´o.
Lema 4.3.2: Sigui A = [aij ] ∈ MK (p × n), tal que  x1 2 x   A·  ...  = [0]p×1 =⇒ A = [0]p×n  ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ K, xn Demostraci´ o: Al ser cert per a qualsevol vector x, en particular ho ser`a si agafem: ∀i, j = 1, n xj = 1, i = j, xi = 0 fent el producte ens quedar` a ∀j = 1, n Proposici´ o 5.3.6: Siguin E, F ∀f ∈ LK (E; F ) isomorfisme, llavors a1j = a2j = . . . = apj = 0 −→ A = [0]p×n K e.v. de dimensi´o finita i BE , BF bases respectives.
[f −1 ]BF BE = [f ]−1 BE BF Demostraci´ o: Pel corol·lari 5.1.2 c) sabem que si f ´es isomorfisme els dos espais vectorials tenen la mateixa dimensi´o i per tant la matriu associada a f ´es quadrada. Aplicant la definici´o d’aplicaci´o inversa i la proposici´o anterior [f −1 · f ]BE BE = [IdE ]BE BE = In = [f −1 ]BF BE · [f ]BE BF [f · f −1 ]BF BF = [IdF ]BF BF = In = [f ]BE BF · [f −1 ]BF BE Utilitzant les notacions: C = [f ]BE BF , D = [f −1 ]BF BE obtenim D · C = In C · D = In i per tant D = [f −1 ]BF BE = C −1 = [f ]−1 BE B F Conclusi´ o: Quan treballem amb espais de dimensi´o finita la matriu associada a un isomorfisme ´es una matriu inversible, i la seva inversa correspon a la matriu associada a l’aplicaci´o lineal inversa.
5.4 Canvi de base 5.4.1 Canvi de base en un espai vectorial Algweb Sigui En un K espai vectorial de dimensi´o finita, dimK En = n < +∞.Siguin dues bases d’aquest espai vectorial: V = {e1 , e2 , . . . , en }, N = {u1 , u2 , . . . , un } xV = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∀x ∈ En xN = (ˆ x1 , x ˆ2 , . . . , x ˆn ) Per a un vector qualsevol volem trobar la relaci´o entre les coordenades anteriors. Considerem l’aplicaci´o lineal identitat definida en En agafant de sortida la base V i d’arribada la N , Id : En −→ En xV = (x1 , x2 , . . . , xn ) → xN = (ˆ x1 , x ˆ2 , . . . , x ˆn ) que podrem expressar matricialment com [Id]V N · [x]V = [x]N A = [aij ] = [Id]V N on segons la teoria desenvolupada a l’apartat anterior, la columna j de la matriu correspon a les coordenades del vector Id(ej ) = ej en la base N , ´es a dir a 1j ∀j = 1, n   a2j   [Id(ej )]N = [ej ]N =   ..  .
anj que tamb´e podem expressar com combinaci´o lineal n ej = a1j u1 + a2j u2 + . . . + anj un = aij ui i=1 Notaci´ o: En direm matriu de canvi de base entre V i N a A = [Id]V N . Aquesta matriu ens permetr`a obtenir a partir de les coordenades d’un vector en la base V les seves coordenades en la base N , [Id]V N · [x]V = [x]N , A · [x]V = [x]N a11  a21  .
 ..
a12 a22 ..
.
...
...
..
.
  1 a1n x1 x ˆ a2n   x2   x ˆ2  · . = .  ..  .   ..   ..  an1 an2 ...
ann    xn x ˆn n i ∀i = 1, n 1 2 n aij xj x ˆ = ai1 x + ai2 x + . . . + ain x = j=1 Al ser l’aplicaci´ o identitat inversible podem aplicar la proposici´o 5.3.6 el que ens permet afirmar que la seva matriu associada ´es inversible: [Id−1 ]N V = [Id]N V = [Id]−1 VN Si ara considerem la matriu B = [bij ] = A−1 = [Id]N V les seves columnes ens donen els vectors de la base N com combinaci´o lineal dels de la base V , b 1j   b2j   [Id(uj )]V = [uj ]V =   ..  .
bnj ∀j = 1, n n Algweb uj = b1j e1 + b2j e2 + . . . + bnj en = bij ei i=1 Notaci´ o: En direm matriu de canvi de base entre N i V a B = [Id]N V . Aquesta matriu ens permetr`a obtenir a partir de les coordenades d’un vector en la base N les seves coordenades en la base V , [Id]N V · [x]N = [x]V , B · [x]N = [x]V b11  b21  .
 ..
b12 b22 ..
.
...
...
..
.
  1  1 b1n x ˆ x b2n   x ˆ2   x2  · . = .  ..  .   ..   ..  bn1 bn2 ...
bnn  x ˆn xn n ∀i = 1, n xi = bi1 x ˆ1 + bi2 x ˆ2 + . . . + bin x ˆn = bij x ˆj j=1 5.4.2 Canvi de base en una aplicaci´ o lineal Siguin E, F K e.v. de dimensi´ o finita, dimK E = n < +∞, dimK F = m < +∞, VE , NE bases de E i VF , NF bases de F . Considerem una aplicaci´o lineal definida entre aquests espais f ∈ LK (E; F ). Podrem treballar amb quatre matrius associades a f , totes elles de m files i n columnes [f ]VE VF , [f ]VE NF , [f ]NE VF , [f ]NE NF , Totes elles ens permeten donat un vector qualsevol de E trobar la seva imatge en F per`o en les bases adequades [f ]VE VF · [x]VE = [f (x)]VF , [f ]VE NF · [x]VE = [f (x)]NF [f ]NE VF · [x]NE = [f (x)]VF , [f ]NE NF · [x]NE = [f (x)]NF Ara volem trobar la relaci´ o entre aquestes quatre matrius. Suposarem que coneixem [f ]VE VF i obtindrem les altres.
1) Canvi de base en l’espai de sortida Tenim: f : En −→ Fm xVE −→ f (x)VF [f ]VE VF · [x]VE = [f (x)]VF Si ara fem la composici´ o d’aplicacions f · IdE = f , on en l’aplicaci´o identitat agafem com a base de sortida NE i d’arribada VE , l’aplicaci´ o composici´ o f tindr`a com a base de sortida NE i d’arribada VF , f Id E f : En −→E n −→Fm xNE → xVE → f (x)VF matricialment: [f ]NE VF = [f · IdE ]NE VF = [f ]VE VF · [IdE ]NE VE 2) Canvi de base en l’espai d’arribada Algweb Tenim: f : En −→ Fm xVE −→ f (x)VF [f ]VE VF · [x]VE = [f (x)]VF Si ara fem la composici´ o d’aplicacions IdF · f = f , on en l’aplicaci´o identitat agafem com a base de sortida NF i d’arribada VF , l’aplicaci´ o composici´ o f tindr`a com a base de sortida VE i d’arribada NF , f Id F f : En −→Fm −→F m xVE → f (x)VF → f (x)NF matricialment: [f ]VE NF = [IdF · f ]VE NF = [IdF ]VF NF · [f ]VE VF 3) Canvi de base en els dos espais Tenim: f : En −→ Fm xVE −→ f (x)VF [f ]VE VF · [x]VE = [f (x)]VF Si ara fem la composici´ o d’aplicacions IdF · f · IdE = f , on en l’aplicaci´o identitat en E agafem com a base de sortida NE i d’arribada VE , i en l’aplicaci´o identitat en F , base de sortida VF i arribada NF , l’aplicaci´o composici´o f tindr` a com a base de sortida NE i d’arribada NF , Id f Id E F f : En −→E n −→Fm −→Fm xNE → xVE → f (x)VF → f (x)NF matricialment: [f ]NE NF = [IdF · f · IdE ]NE NF = [IdF ]VF NF · [f ]VE VF · [IdE ]NE VE Cas particular: En = Fm . Siguin V i N dues bases de En . Tenim: f : En −→ En xV −→ f (x)V [f ]V V · [x]V = [f (x)]V Not [f ]V V = [f ]V = A f : En −→ En xN −→ f (x)N Algweb [f ]N N · [x]N = [f (x)]N Not [f ]N N = [f ]N = B Si ara volem trobar la relaci´ o entre les matrius A i B ens quedar`a: [f ]N N = [Id · f · Id]N N = [Id]V N · [f ]V V · [Id]N V Tenint en compte les notacions anteriors i el Lema 5.3.6: [f ]N = [Id · f · Id]N N = [Id]−1 N V · [f ]V · [Id]N V Exemple 5.4.1: Siguin E i F R e.v., dimR E = 3, dimR F = 2, i f ∈ LR (E; F ).
Considerem dues bases de E: VE = {e1 , e2 , e3 }, NE = {u1 , u2 , u3 } xVE = (x1 , x2 , x3 ) ∀x ∈ E, xNE = (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 ) i dues bases de F : VF = {v1 , v2 }, ∀y ∈ F, NF = {w1 , w2 } yVF = (y 1 , y 2 ) Ens donen les relacions seg¨ uents:    u1 = 2e1 − 2e2 u2 = e1 + e2 − e3   u3 = −3e1 + e2 − e3 (1) yNF = (˜ y 1 , y˜2 ) y˜1 = 3y 1 + 2y 2 y˜2 = y 1 − y 2 (2) f : E −→ F 1 f (x , x , x ) = (x1 + 2x2 + x3 )w1 + (4x1 − 5x2 − x3 )w2 ∀x ∈ E, 2 3 Es demana totes les matrius de canvi de base i les quatre matrius associades a f .
1) Escribint en columnes les coordenades dels vectors de la base NE donades en (1) matriu de canvi de base de NE a VE :    0 −2 2 1 −3 1  1 1 1 1  [IdE ]VE NE = [IdE ]−1 = [IdE ]NE VE =  −2 NE VE 4 −1 −1 0 −1 −1 aconseguim la  −2 −2  −2 La segona matriu ens permet expressar els vectors de la base VE com combinaci´o lineal dels de NE : 1 1 u 2 − u3 4 4 1 1 e2 = − u1 + u2 − 2 4 1 1 e3 = − u1 − u2 − 2 2 e1 = Algweb i tamb´e coneixem les relacions entre coordenades:  2  −2 0 [IdE ]NE VE · [x]NE = [x]VE 1 u3 4 1 u3 2   1  1 −3 x ˆ x 1  · x ˆ2  =  x2  −1 x ˆ3 x3 1 1 −1 x1 + x ˆ2 − 3ˆ x3 x1 = 2ˆ x2 = −2ˆ x1 + x ˆ2 + x ˆ3 [IdE ]VE NE · [x]VE x3 = −ˆ x2 − x ˆ3  0 −2 1 1 1 = [x]NE 4 −1 −1   1  1 −2 x x ˆ −2  ·  x2  =  x ˆ2  −2 x3 x ˆ3 1 1 x ˆ1 = − x1 − x2 2 2 1 1 1 2 1 3 2 x ˆ = x + x − x 4 4 2 1 1 1 2 1 3 3 x ˆ =− x − x − x 4 4 2 Si ara escribim matricialment les expressions (2): 3 2 1 −3 · y1 y2 = y˜1 y˜2 3 2 1 −3 · [y]VF = [y]NF Llavors ja podem identificar la matriu de canvi de base: [IdF ]VF NF = 3 2 1 −3 [IdF ]NF VF = [IdF ]−1 VF NF = 1 5 1 2 1 −3 La segona matriu ens permet expressar les coordenades en la base VF en funci´o de les coordenades en NF : 1 5 1 2 1 −3 · y˜1 y˜2 = y1 y2 1 1 y˜ + 5 1 y 2 = y˜1 − 5 y1 = 2 2 y˜ 5 3 2 y˜ 5 Tamb´e podem expressar els vectors d’una base com combinaci´o lineal dels de l’altra: [IdF ]VF NF = 3 2 1 −3 1 = 5 1 2 1 −3 [IdF ]NF VF v1 = 3w1 + w2 v2 = 2w1 − w2 1 v1 + 5 2 w2 = v1 − 5 w1 = 1 v2 5 3 v2 5 2) Ara ens queda calcular les matrius associades a f en les diferents bases. Recordem la definici´o: f : E −→ F 1 f (x , x , x ) = (x1 + 2x2 + x3 )w1 + (4x1 − 5x2 − x3 )w2 ∀x ∈ E, 2 3 Aix´ı doncs el vector imatge ve donat en la base NF , 1 [f (x)]NF = 2  x1 ·  x2  = [f ]VE NF · [x]VE x3  3 x + 2x + x 4x1 − 5x2 − x3 1 2 4 −5 = 1 −1 Algweb per tant, [f ]VE NF = [f ]VE VF = [IdF ]NF VF · [f ]VE NF = 1 5 [f ]NE VF = [f ]VE VF · [IdE ]NE VE 1 2 4 −5 1 2 1 −3 · 1 −1 1 2 4 −5 1 −1 = 1 5  1 = 5 1 5 9 −11 34 −56 −8 17 −1 4 2 ·  −2 0 9 −11 1 1 −1 −8 17  −3 1 = −1 2 −34 2 46 [f ]NE NF = [f ]VE NF · [IdE ]NE VE = [IdF ]VF NF · [f ]NE VF = −2 18 −1 4 2 −2 0 −16 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports 6. FORMES BILINEALS 6.1 Generalitats En tot aquest tema, E representar` a un espai vectorial sobre R.
Definici´o 6.1.1: Sigui g una aplicaci´o g : E × E −→ R (x, y) → g(x, y) Algweb Es diu que g ´es una forma bilineal en E si verifica: ∀λ ∈ R, ∀x, y, z ∈ E 1) g(λx + z, y) = λg(x, y) + g(z, y) 2) g(x, λy + z) = λg(x, y) + g(x, z) Proposici´ o 6.1.1: Sigui g : E × E −→ R una forma bilineal en E.
Per a qualssevol λ, µ, α, β ∈ R, x, y, z, u ∈ E es verifica: 1) g(x, 0) = 0 , g(0, x) = 0 2) g(λx + µz, αy + βu) = λαg(x, y) + λβg(x, u) + µαg(z, y) + µβg(z, u) Demostraci´ o 6.1.1 [ 1 ] g(x, 0) = g(x, 0 · 0) = 0 · g(x, 0) = 0. An` alogament es veu que g(0, x) = 0.
[ 2] g(λx+µz, αy+βu) = g(λx, αy+βu)+g(µz, αy+βu) = g(λx, αy)+g(λx, βu)+g(µz, αy)+g(µz, βu) = λαg(x, y) + λβg(x, u) + µαg(z, y) + µβg(z, u) Exemple 6.1.1: Sigui g : R2 × R2 −→ R l’aplicaci´o definida com: ( ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 ) g( (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ) = 3x1 y2 − x2 y2 Comprovem que g ´es una forma bilineal en R2 , verificant els dos punts de la definici´o 6.1.1: ∀λ ∈ R, ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (z1 , z2 ) ∈ R2 : (1) (2) (3) (1) g( λ(x1 , x2 )+(z1 , z2 ), (y1 , y2 ) ) = g( (λx1 +z1 , λx2 +z2 ), (y1 , y2 ) ) = 3(λx1 +z1 )y2 −(λx2 +z2 )y2 = (3) (2) = λ(3x1 y2 − x2 y2 ) + (3z1 y2 − z2 y2 ) = λg( (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ) + g( (z1 , z2 ), (y1 , y2 ) ) (1) (2) (3) (2) g( (x1 , x2 ), λ(y1 , y2 )+(z1 , z2 ) ) = g( (x1 , x2 ), (λy1 +z1 , λy2 +z2 ) ) = 3x1 (λy2 +z2 )−x2 (λy2 +z2 ) = (3) (2) = λ(3x1 y2 − x2 y2 ) + (3x1 z2 − x2 z2 ) = λg( (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ) + g( (x1 , x2 ), (z1 , z2 ) ) ( Justificaci´ o : (1) : Suma en R2 , (2) : Definici´o de g. (3) : Propietats dels nombres reals ) Definici´o 6.1.2: Simbolitzarem per L2 (E, R) el conjunt de totes les formes bilineals en E : L2 (E, R) = { g / g : E × E −→ R ´es forma bilineal } Definici´o 6.1.3: En L2 (E, R) considerem la suma i el producte per escalars de funcions: ∀g, h ∈ L2 (E, R), ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ E (g + h)(x, y) = g(x, y) + h(x, y), (λg)(x, y) = λ · g(x, y) Proposici´ o 6.1.2: L2 (E, R), amb les dues operacions anteriors ´es un espai vectorial sobre R.
Definici´o 6.1.4: Sigui g ∈ L2 (E, R).
1) Es diu que g ´es sim` etrica si verifica: ∀x, y ∈ E, g(x, y) = g(y, x).
2) Es diu que g ´es antisim` etrica si verifica: ∀x, y ∈ E, g(x, y) = −g(y, x).
Definici´o 6.1.5: Simbolitzarem per S2 (E, R) el conjunt de totes les formes bilineals en E que siguin sim`etriques, i per H2 (E, R) el conjunt de totes les formes bilineals en E que siguin antisim`etriques.
Definici´o 6.1.6: Sigui g ∈ S2 (E, R). Es diu que g ´es: 1) Definida positiva, si ∀x ∈ E es verifica: g(x, x) ≥ 0 2) Definida negativa, si ∀x ∈ E es verifica: g(x, x) ≤ 0 3) Degenerada, si ∃x ∈ E, x = 0 tal que g(x, x) = 0 Algweb Exemple 6.1.2: Sigui g : R2 × R2 −→ R la forma bilineal sim`etrica : ( ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 ) g( (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ) = x1 y1 + x2 y2 ´ f`acil veure que g ´es forma bilineal sim`etrica. Comprovem que ´es definida positiva. Per a qualsevol Es (x1 , x2 ) ∈ R2 : 2 2 g( (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ) = (x1 ) + (x2 ) ≥ 0 , 2 2 en ser (x1 ) ≥ 0 i (x2 ) ≥ 0.
2 2 Adem´es, si g( (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ) = 0, cal que (x1 ) = 0 i (x2 ) = 0, ´es a dir, x1 = x2 = 0. Per tant, g no ´es degenerada.
Exemple 6.1.3: Sigui g : R3 × R3 −→ R la forma bilineal sim`etrica: ( ∀(x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 ) g( (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ) = 2x1 y1 − x2 y3 − x3 y2 ´ Es f`acil veure que g ´es forma bilineal sim`etrica. Per veure que g ´es degenerada, per a qualsevol (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : 2 g( (x1 , x2 , x3 ), (x1 , x2 , x3 ) ) = 2(x1 ) − 2x2 x3 Si, per exemple, prenem (x1 , x2 , x3 ) = (1, 1, 1) : g( (1, 1, 1), (1, 1, 1) ) = 0 Tamb´e ´es f`acil veure que g no ´es ni definida positiva ni definida negativa, ja que podem trobar dos vectors x, y ∈ R3 pels quals g(x, x) > 0 i g(y, y) < 0. Per exemple: g( (1, 0, 0), (1, 0, 0) ) = 2 > 0 , g( (0, 1, 1), (0, 1, 1) ) = −2 < 0 Definici´o 6.1.7: Sigui g ∈ S2 (E, R). Anomenem forma quadr` atica associada a g (i la simbolitzem per qg ) a l’aplicaci´o: qg : E −→ R x → qg (x) = g(x, x) Proposici´ o 6.1.3 (F´ ormules de Polaritzaci´o): : Sigui g ∈ S2 (E, R). Llavors, ∀x, y ∈ E es verifica: 1) g(x, y) = 12 [ qg (x + y) − qg (x) − qg (y) ] 2) g(x, y) = 14 [ qg (x + y) − qg (x − y) ] Demostraci´ o 6.1.3 Per a qualssevol x, y ∈ E, tenim que g(x, y) = g(y, x) i, per tant: a) qg (x + y) = g(x + y, x + y) = g(x, x) + g(x, y) + g(y, x) + g(y, y) = qg (x) + qg (y) + 2g(x, y) b) qg (x − y) = g(x − y, x − y) = g(x, x) − g(x, y) − g(y, x) + g(y, y) = qg (x) + qg (y) − 2g(x, y) De l’expressi´o (a) es dedueix directament el punt 1. Restant l’expressi´ o (b) a l’expressi´ o (a), obtenim el punt 2.
Ara estem en condicions d’afirmar que si qg = 0, la forma quadr`atica qg no ´es forma lineal. En efecte, si qg = 0 , existeix un vector z ∈ E per al qual qg (z) = 0 . Llavors: qg (2z) = g(2z, 2z) = 4g(z, z) = 4qg (z) = 2qg (z) 6.2 Formes bilineals en espais vectorials de dimensi´ o finita En el que resta de tema, treballarem en l’entorn d’un espai vectorial real de dimensi´o finita En (dimR En = n ∈ N∗ ).
Definici´o 6.2.1: Sigui g ∈ L2 (En , R), i sigui V = {e1 , . . . , en } una base de En . Anomenem matriu associada a g en base V a la matriu: g(e1 , e1 ) g(e2 , e1 ) ..
.
  [g]V =   g(e1 , e2 ) g(e2 , e2 ) ..
.
...
...
..
.
g(e1 , en ) g(e2 , en ) ..
.
   ∈ MR (n × n)  g(en , e1 ) g(en , e2 ) . . . g(en , en ) Si s’adopta la notaci´ o [g]V = (gij ), llavors: (∀i, j = 1, n) gij = g(ei , ej ) Sigui g ∈ L2 (En , R), i sigui V = {e1 , . . . , en } una base de En . Es verifica: Proposici´ o 6.2.1: t Algweb (∀x, y ∈ En ) g(x, y) = [x]V [g]V [y]V = XVt [g]V YV Demostraci´ o 6.2.1 ∀x, y ∈ En ,  y1  y2   xn ) [g]V   ..  .
yn  n g(x, y) = g( n xi ei , i=1 n n yj ej ) = j=1 xi yj g(ei , ej ) = ( x1 x2 i=1 j=1 ...
Exemple 6.2.1: Sigui E2 un espai vectorial real, V una base de E2 , i g ∈ L2 (E2 , R) definida com: ( ∀x = (x1 , x2 )V , y = (y1 , y2 )V ) g(x, y) = −3x1 y1 + x2 y1 + 2x2 y2 Aix´ı, tenim que: a11 = −3 (coeficient de x1 y1 ), a12 = 0 (coeficient de x1 y2 ) a21 = 1 (coeficient de x2 y1 ), a22 = 2 (coeficient de x2 y2 ) Per tant: −3 0 [g]V = ∈ MR (2 × 2) 1 2 Teorema 6.2.2: Sigui En un espai vectorial real, i sigui V una base de En . L’aplicaci´ o ψV : L2 (En , R) −→ MR (n × n) g → ψV (g) = [g]V ´es un isomorfisme.
Demostraci´ o 6.2.2 Siguin λ ∈ R , g, h ∈ L2 (En , R), i x, y, z ∈ En , tots ells arbitraris.
ψV e´s aplicaci´ o lineal ∀x, y ∈ En , XVt [λg + h]V YV = λXVt [g]V YV + XVt [h]V YV = XVt (λ[g]V + [h]V )YV Llavors, [λg + h]V = λ[g]V + [h]V , ´es a dir: ψV (λg + h) = λψV (g) + ψV (h) ψV e´s injectiva Suposem ψV (g) = [g]V = [0]n×n . Llavors: ∀x, y ∈ En ψV e´s exhaustiva g(x, y) = XVt [g]V YV = 0 i, per tant, g = 0.
Sigui A ∈ MR (n × n). Definim l’aplicaci´o: (∀x, y ∈ En ) g(x, y) = XVt A YV I es verifica que g ∈ L2 (En , R) Corol·lari 6.2.3: Sigui En un espai vectorial real. Llavors: dimR L2 (En , R) = dimR MR (n × n) = n2 Teorema 6.2.4 (Problema del Canvi de Base): : Sigui g ∈ L2 (En , R), i siguin V i W dues bases de En . Es verifica: t [g]W = [Id]W V [g]V [Id]W V Demostraci´ o 6.2.4 Sigui W = {w1 , . . . , wn }. Anomenem C1 , . . . , Cn a les columnes de [Id]W V (matrius columna) i t F1 , . . . , Fn a les files de [Id]W V (matrius fila). Obviament, tenim que Fit = Ci , ∀i = 1, n. Adem´es, per a tot j = 1, n, resulta que Cj = [wj ]V . Llavors, per a qualssevol i, j = 1, n : t t ([Id]W V [g]V [Id]W V )ij = Fi [g]V Cj = Cit [g]V Cj = [wi ]V [g]V [wj ]V = g(wi , wj ) , on en l’´ ultim pas s’ha utilitzat el punt 1 de la proposici´ o 6.2.1. Per tant, com que g(wi , wj ) = ([g]W )ij , hem obtingut: t ([Id]W V [g]V [Id]W V )ij = ([g]W )ij (∀i, j = 1, n) , t Algweb ´es a dir, [Id]W V [g]V [Id]W V = [g]W .
Corol·lari 6.2.5: Sigui g ∈ L2 (En , R), i sigui V una base de En . Sigui A = [g]V . Sigui P ∈ MR (n×n) una matriu inversible tal que P t A P = Q. Si W ´es la base de En definida per mitj` a de la igualtat [Id]W V = P , llavors es verifica que [g]W = Q.
Demostraci´ o 6.2.5 t [g]W = [Id]W V [g]V [Id]W V = P t A P = Q Proposici´ o 6.2.6: Sigui g ∈ L2 (En , R), i sigui V una base de En . Es verifica: t g ∈ S2 (En , R) (sim`etrica) ⇐⇒ [g]V = [g]V (matriu sim`etrica) Demostraci´ o 6.2.6 Sigui V = {e1 , . . . , en }, [g]V = (gij ), gij = g(ei , ej ) (∀i, j = 1, n).
=⇒ ] Com que g ´es sim`etrica, resulta que g(ei , ej ) = g(ej , ei ), ´es a dir, gij = gji , per a qualssevol i, j = 1, n. Per tant, la matriu [g]V ´es sim`etrica.
⇐= ] Per a qualssevol x, y ∈ En tenim que: (1) (2) t (1) (3) t g(x, y) = XVt [g]V YV = (XVt [g]V YV ) = YVt [g]V XV = YVt [g]V XV = g(y, x), i resulta que g ´es sim`etrica.
( Justificaci´ o: (1) : Punt 1 de la proposici´ o 6.2.1 (2) : Una matriu 1 × 1 (nombre real) i la seva transposada coincideixen (3) : La matriu [g]V ´es sim`etrica ) Siguin En un espai vectorial real, V una base de En , i g ∈ S2 (En , R) una forma bilineal sim`etrica en En . Suposem que g ens la donen definida com segueix: n ( ∀x = (x1 , . . . , xn )V ) qg (x) = g(x, x) = i=1 Llavors, podem escriure directament:    [g]V =   b11 1 2 b12 ..
.
1 b 2 1n 1 2 b12 b22 ..
.
1 b 2 2n n 2 n bii (xi ) + ...
...
..
.
...
bij xi xj i=1 j=1 (j>i) 1 2 1 2 b1n b2n ..
.
bnn    ,  2 ´es a dir, el terme bii (∀i = 1, n) (coeficient de (xi ) ) ´es l’element diagonal i-`essim de [g]V , mentre que el terme bij , ∀i, j = 1, n, j > i (coeficient de xi xj ) s’ha de dividir per dos i colocar-lo en les posicions de matriu ij, ji de la matriu [g]V . En efecte, si feu aquesta identificaci´o i apliqueu el punt 1 de la proposici´o 6.2.1, obtindreu l’expressi´ o donada per g(x, x) en funci´o dels coeficients bij .
Exemple 6.2.2: Sigui E2 un espai vectorial real, V una base de E2 , i g ∈ S2 (E2 , R) definida com: 2 2 ( ∀x = (x1 , x2 )V ) g(x, x) = (x1 ) + 4x1 x2 − 2(x2 ) Aix´ı, tenim que: 2 b11 = 1 (coeficient de (x1 ) ) b12 = 4 (coeficient de x1 x2 ) −→ 12 b12 = 2 2 b22 = −2 (coeficient de (x2 ) ) Per tant: 1 2 [g]V = ∈ MR (2 × 2) 2 −2 ◦ Donem ara alguns resultats u ´tils sobre matrius sim`etriques.
Algweb Proposici´ o 6.2.7: Sigui A ∈ MR (n × n) una matriu sim`etrica. Siguin e1 , . . . , es operacions elementals de fila, i siguin c1 , . . . , cs les operacions elementals de columna transposades de e1 , . . . , es , respectivament.
e1 c1 es cs Llavors, si A −→ −→ . . . −→ −→ Q, resulta que: t t 1) P A P = Q, on P ´es la matriu inversible P t = es (In ) · . . . · e1 (In ) 2) Q ´es sim`etrica.
Demostraci´ o 6.2.7 cs es c1 e1 −→ Q equival a: −→ . . . −→ [ 1 ] Sabem que escriure A −→ es (In ) · . . . · e1 (In ) · A · c1 (In ) · . . . · cs (In ) = Q Si P t = es (In ) · . . . · e1 (In ) (que ´es clarament inversible i, per tant, ho ´es P ), tenim que: t P = (P t ) = (es (In ) · . . . · e1 (In ))t = (e1 (In ))t · . . . · (es (In ))t ) = c1 (In ) · . . . · cs (In ) , i, d’aquesta forma, obtenim que P t A P = Q [ 2 ] Qt = (P t A P )t = P t At (P t )t = P t A P = Q , on hem utilitzat el fet que At = A i tamb´e (P t )t = P .
Sigui ara A ∈ MR (n × n) la seg¨ uent matriu sim`etrica:   a11   ..
  .
    a (r−1)(r−1)     a .
.
.
a .
.
.
a rr rp rn   [1] A=  ..
.
.
.
.
.
.
  .
.
.
.
   arp . . . app . . . apn      ..
..
..
..
  .
.
.
.
arn . . . apn . . . ann Si arp = 0, anem a veure com, aplicant sobre A una determinada operaci´ o elemental de fila i la seva corresponent operaci´ o elemental de columna (transposada de la de fila), aconseguim que el terme arp “s’anul·li”, sense modificar l’estructura diagonal de les r − 1 primeres files i columnes. Aix`o ho veurem en el seg¨ uent lema, que nom´es involucra c`alculs senzills.
Lema 6.2.8: Sigui A ∈ MR (n × n) la matriu sim`etrica de l’expressi´ o [ 1 ]. Llavors, es verifica: 1) Si arr = 0 i app = 0 :  fr ↔fp A −→  a11 ..
      cr ↔cp  −→        .
        ,       a(r−1)(r−1) app ..
.
arp ..
.
apn ...
..
.
...
arp ..
.
0 ..
.
. . . arn ...
apn ..
.
. . . arn ..
..
.
.
. . . ann i el terme corresponent a fila i columna r ´es ara no nul.
Algweb 2) Si arp = 0, arr= 0 i app = 0 : a11  ..
 .
  a(r−1)(r−1)   fr +fp cr +cp  A −→ −→         2arp ..
.
arp ..
.
arn + apn i el terme corresponent a fila i columna r ´es ara no nul.
3) Si arr = 0 i arp = 0 :  a11      fp −βfr cp −βcr  A −→ −→        ...
..
.
...
arp ..
.
0 ..
.
. . . apn . . . arn + apn ..
.
...
..
.
...
apn ..
.
        ,       ann  ..
.
a(r−1)(r−1) arr ..
.
...
..
.
...
0 ..
.
arn ..
.
. . . apn − βarn ..
..
.
.
arn . . . apn − βarn . . .
ann (β = apr /arr ) i el terme corresponent a fila r i columna p (i tamb´e el de fila p i columna r) ´es nul.
0 ..
.
app − βarp ..
.
...
       ,       Teorema 6.2.9: Sigui A ∈ MR (n × n) una matriu sim`etrica. Es verifica: 1) Existeixen operacions elementals de fila e1 , . . . , es tals que:   α11 e1 c1 es cs ..
 , A −→ −→ . . . −→ −→  .
αnn matriu diagonal, on c1 , . . . , cn s´ on les operacions elementals de columna transposades de e1 , . . . , en , respectivament. Adem´es, les operacions de fila poden triar-se de forma que per a tot i = 1, n sigui αii ∈ {−1, 0, 1}.
2) Existeix una matriu inversible P ∈ MR (n × n) tal que:   α11 ..
 Pt A P =  .
αnn Demostraci´ o 6.2.9 [ 1 ] Sigui A = (aij ). Si a11 = 0, apliquem els punts 1 o 2 del lema 6.2.8 fins aconseguir una matriu A = (aij ) que tingui a11 = 0. En cas contrari, definim A = A. Ara, aplicant successivament el punt 3 del lema 6.2.8, podem “convertir” tots els elements de primera fila i columna de A (excepte a11 ) en elements nuls, obtenint una nova matriu A : 0 a22 ..
.
a11 0 ..
.
  A =  ...
...
..
.
0 a2n ..
.
    0 a2n . . . ann Ara procedim an` alogament, triant el tipus d’operaci´o de fila en funci´ o de si a22 = 0 o a22 = 0. Com ja s’ha vist en el lema 6.2.8, podem “convertir” tots els elements de segona fila i columna de A (excepte a22 ) en elements nuls, sense modificar la primera fila i columna. Despr´es continuarem amb la tercera fila i columna, i aix´ı successivament, fins aconseguir una matriu diagonal del tipus   α11 ..
  .
αnn Si volem que tots els elements diagonals pertanyin al conjunt {−1, 0, 1}, procedim com segueix. Sigui αjj el primer element diagonal no nul. Apliquem sobre la matriu diagonal les seg¨ uents operacions de fila i columna: √1 √1 fj , cj + Algweb No ´es  dif´ıcil de veure que: 0 ..
 .
  0   αjj    |αj | + |αj |  ..
         √1 + |αj | −→ fj √1 + |αj | cj −→         0  ..
.
0 βjj ..
     ,    .
αnn αnn on βjj = 1 si αjj > 0, o b´e βjj = −1 si αjj < 0. Per a la resta de αii no nuls es procedeix an`alogament.
´ conseq¨ [ 2 ] Es u`encia directa del punt 1 de la proposici´o 6.2.7.
.
Noteu que, un cop trobades les operacions de fila e1 , . . . , es que converteixen (conjuntament amb les de columna) la matiu A en una matriu diagonal, la matriu inversible P t es troba com P t = es (In )·. . . e1 (In ), ´es a dir: e e 1 s In −→ . . . −→ Pt Tamb´e cal tenir present que les operacions de fila que cal fer quan pretenem arribar a una matriu diagonal, en general van orientades a aconseguir una matriu triangular.
◦ Tornem ara a l’entorn de les formes bilineals sim`etriques en espais de dimensi´o finita.
Definici´o 6.2.2: Sigui g ∈ S2 (En , R), i sigui N una base de En .
1) Es diu que g pren forma can` onica en base N si la matriu [g]N ´es diagonal.
2) Es diu que g pren forma normal en base N si la matriu [g]N ´es diagonal i tots els seus elements diagonals pertanyen al conjunt {−1, 0, 1}.
Proposici´ o 6.2.10: Per a qualsevol g ∈ S2 (En , R), existeixen bases de En en les que g pren forma can`onica i forma normal.
Demostraci´ o 6.2.10 Sigui V una base de En , i definim A = [g]V . Com que g ´es sim`etrica, la matriu A ´es sim`etrica.
Llavors, aplicant el teorema 6.2.9, sabem que existeix una matriu inversible P tal que P t A P = D, matriu diagonal. Definint la base N per mitj` a de la igualtat [Id]N V = P , el corol·lari 6.2.5 permet garantir que [g]N = D. En ser D matriu diagonal, tenim que g pren forma can`onica en base N .
Si adem´es hem trobat la matriu P per tal que els elements diagonals de D pertanyin al conjunt {−1, 0, 1}, tindrem que g pren forma normal en base N .
Exemple 6.2.3: Sigui g : R3 × R3 −→ R una forma bilineal sim`etrica definida com: ( ∀(x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 ) g( (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 2x2 y2 − 3x3 y3 Pretenem trobar una base N1 on g prengui forma can`onica (no normal), i una altra base N2 on g prengui forma normal. Per a fer-ho, sigui V la base  can` onica de R3 .  Es veu f`acilment que la matriu [g]V ´es: 1 1 0 =A [g]V =  1 2 0 0 0 −3 Llavors:       1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 √ √ f c 3 f2 −f1 3 3 3 2 −c1  0 1 0  = D1 +−→  c−→  0 1  +−→ A −→  0 1 0 0 √ 0 0 −3 0 0 − 3  0 0 −3  1 0 0  = D2 −→  0 1 0 0 0 −1 Algweb t P1 = D1: Trobem ara la matriu P 1 tal que P1 A   1 0 0 1 0 0 f2 −f1 I3 =  0 1 0  −→  −1 1 0  = P1t 0 0 1 0 0 1  1 −1 0 onica, no normal).
Per tant, [Id]N1 V = P1 =  0 1 0 , i [g]N1 = D1 (forma can` 0 0 1 t Trobem ara  la matriu P2tal queP2 A P2 = D2 :   1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 √ f f2 −f1 + 3 3 0 I3 =  0 1 0  −→  −1 1 0  −→  −1 1 1 0 0 +√ 0 0 1 0 0 1 3 1 −1 0 , i [g] = D2 (forma normal).
0 Per tant, [Id]N2 V = P2 =  0 1 N2 1 √ 0 0 + 3   = P2t −1 Una u ´ltima q¨ uesti´ o: c` om trobar [Id]N2 N1 ? Sabem que [Id]N2 N1 = ([Id]N1 V ) · [Id]N2 V , per`o ´es un c` alcul entretingut ja que cal trobar una inversa i despr´es fer el producte matricial. Hi ha, per`o, una t forma m´es r`apida de fer-ho, si tenim en compte que [g]N2 = [Id]N2 N1 [g]N1 [Id]N2 N1 . En efecte, la matriu [Id]N2 N1 es podr` a trobar si ens fixem en les operacions de fila que s’han fet per passar de [g]N1 a [g]N2 :     1 0 0 1 0 0 1 √ f 3 + 3  = [Id]t 0 I3 =  0 1 0  −→  0 1 N2 N1 1 √ 0 0 + 3 0 0 1 Per tant:   1 0 0  0 [Id]N2 N1 =  0 1 1 0 0 +√ 3 Proposici´ o 6.2.11: Sigui g ∈ S2 (En , R), i sigui V una base qualsevol de En . Es verifica: 1) Si g ´es definida positiva, llavors els elements diagonals de [g]V s´ on tots ≥ 0 2) Si g ´es definida positiva i no degenerada, llavors els elements diagonals de [g]V s´ on tots > 0 3) Si g ´es definida negativa, llavors els elements diagonals de [g]V s´ on tots ≤ 0 4) Si g ´es definida negativa i no degenerada, llavors els elements diagonals de [g]V s´ on tots < 0 5) Els rec´ıprocs dels punts 1,2,3 i 4 no s´ on certs.
Demostraci´ o 6.2.11 Sigui V = {e1 , . . . , en }, [g]V = (gij ).
[ 1 ] Per tot i = 1, n, tenim que gii = g(ei , ei ) ≥ 0, ja que g ´es definida positiva.
[ 2 ] Per a tot i = 1, n, acabem de veure que gii = g(ei , ei ) ≥ 0, en ser g definida positiva. Per`o ei = 0, en formar part d’una base, per la qual cosa g(ei , ei ) = 0 ja que g ´es no degenerada. Per tant, gii > 0.
[ 3,4 ] An`alogament als punts 1 i 2.
[ 5 ] Veure exemple 6.2.7.
Exemple 6.2.4: Sigui g ∈ S2 (En , R) tal que la seva matriu en base can`onica (V ) ´es: 1 2 [g]V = 2 1 Noteu que els termes diagonals s´on ≥ 0 (de fet, s´on > 0). Malgrat aix`o, resulta que g no ´es definida positiva (i ´es degenerada). En efecte, prenent x = (1, 1)V : 1 2 1 t g(x, x) = [x]V [g]V [x]V = ( 1 −1 ) = −2 < 0 , 2 1 −1 √ demostrant que no ´es definida positiva. Per veure que ´es degenerada, prenem √ x = ( 3 − 2, 1)V : √ 1 2 3−2 t g(x, x) = [x]V [g]V [x]V = ( 3−2 1 ) =0, 2 1 1 i g ´es degenerada.
An` alogament, podriem trobar contraexemples per als punts 3 i 4 de la proposici´o anterior.
Algweb Proposici´o 6.2.12: Sigui g ∈ S2 (En , R), i sigui N una base de En on g pren forma can` onica (normal o no). Es verifica: 1) g ´es definida positiva ⇐⇒ els elements diagonals de [g]N s´ on tots ≥ 0 2) g ´es definida positiva i no degenerada ⇐⇒ els elements diagonals de [g]N s´ on tots > 0 3) g ´es definida negativa ⇐⇒ els elements diagonals de [g]N s´ on tots ≤ 0 4) g ´es definida negativa i no degenerada ⇐⇒ els elements diagonals de [g]N s´ on tots < 0 Demostraci´ o 6.2.12 Sigui N = {w1 , . . . , wn },  [g]N =  α11  ..
.
.
αnn ´ conseq¨ [ 1,2 =⇒ ] Es u`encia directa de la proposici´ o 6.2.11.
[ 1,2 ⇐= ] Per a qualsevol x = (x1 , . . . , xn )N ∈ En , tenim que:  α11 t ..
g(x, x) = [x]N [g]N [x]N = ( x1 . . . xn )  .
    αnn x1 ..
.
xn  n = 2 αii (xi ) i=1 Llavors, si αii ≥ 0 per a tot i = 1, n, tenim que g(x, x) ≥ 0 per a qualsevol x ∈ En , indicant que g ´es definida positiva.
Si adem´es resulta que αii > 0 per a tot i = 1, n, tenim que l’equaci´ o g(x, x) = 0 obliga a que x = 0 (ja que ´es necessari que xi = 0, ∀i = 1, n). Per tant, g ´es no degenerada (i definida positiva).
[ 3,4 ] An`alogament als punts 1 i 2.
Noteu que la proposici´ o anterior permet afirmar que si els elements diagonals de [g]N s´ on tots ≥ 0 i hi ha algun que ´es nul, llavors g ser`a definida positiva i degenerada (si no ho fos, pel punt 2 tindriem que tots els element diagonals s´ on > 0). An` alogament pel cas definit negatiu.
Àlgebra i Geometria curs 2000 - 2001 ` 7. ESPAI EUCLIDIA 7.1 Formes sesquilineals Definici´ o 7.1.1: Sigui E un espai vectorial sobre C i φ una aplicaci´o: φ : E × E −→ C Direm que φ ´es una forma sesquilineal definida en E si verifica: ´ lineal en el primer argument: 1) Es ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ C φ(x + y, z) = φ(x, z) + φ(y, z) φ(λx, z) = λφ(x, z) Algweb ´ lineal excepte escalars en el segon argument: 2) Es ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ C φ(x, y + z) = φ(x, y) + φ(x, z) ¯ φ(x, λy) = λφ(x, y) Definici´ o 7.1.2: L3/2 (E, C) = {φ | φ forma sesquilineal definida en E} Exercici: Demostreu que si considerem la suma d’aplicacions i el producte d’un escalar per una aplicaci´o llavors: (L3/2 (E, C), +, ·) ´es C espai vectorial Definici´ o 7.1.3: Direm que φ ´es una forma hermitiana si φ ´es una forma sesquilineal que verifica: ∀x, y ∈ E, φ(x, y) = φ(y, x) Considerem ara el cas particular de que l’espai sigui de dimensi´o finita: dimC En = n < ∞ Sigui V = {e1 , e2 , . . . , en } base de En i φ una forma sesquilineal definida en En , ∀x, y ∈ En ,  n n xi ei , φ(x, y) = φ  i=1  n n y j ej  = j=1 Utilitzant la notaci´ o: φ(ei , ej ) = φji xi y¯j φ(ei , ej ) i=1 j=1 podrem escriure: φ11  φ21 . . . y¯n )   ..
.
φ12 φ22 ..
.
...
...
 1  φ1n x φ2n   x2  T¯   ..    ...  = Y · [φ]V · XV .
φn1 φn2 ...
φnn  φ(x, y) = ( y¯1 y¯2 xn Definici´ o 7.1.4: [φ]V = matriu associada a φ en la base V Definici´ o 7.1.5: Sigui A ∈ MC (m × n) definim la seva matriu adjunta B = A∗ ∈ MC (n × m) tal que: ∀i = 1, n ∀j = 1, m bij = aji Segons aquesta definici´ o podrem escriure: Algweb φ(x, y) = Y ∗ · [φ]V · XV Proposici´ o 7.1.1: ∀A ∈ MC (m × n), ∀B ∈ MC (n × p): (A · B)∗ = B ∗ · A∗ Demostraci´ o: Exercici Canvi de base Siguin dues bases de En : N = {u1 , u2 , . . . , un } V = {e1 , e2 , . . . , en } Volem trobar la relaci´ o entre les matrius associades a una forma sesquilineal φ: [φ]V = [φij ] ; [φ]N = [φˆαβ ] φij = φ(ej , ei ); YV∗ · [φ]V · XV = [Id]N V · YN φˆαβ = φ(uβ , uα ) φ(x, y) = YN∗ · [φ]N · XN = ∀x, y ∈ En , ∗ ; · [φ]V · [Id]N V · XN = YN∗ · [Id]∗N V · [φ]V · [Id]N V · XN Restant: ∀x, y ∈ En , YN∗ · {[φ]N − [Id]∗N V · [φ]V · [Id]N V } · XN = 0 Lema 7.1.2: Sigui una matriu A ∈ MC (n × n):  x1 2 x   . . . y¯n ) · A ·   ...  = 0  ∀(x1 , x2 , . . . , xn ), (y 1 , y 2 , . . . , y n ) ∈ Cn ( y¯1 y¯2 xn Demostraci´ o: Exercici Aplicant el lema anterior obtenim el canvi de base: [φ]N = [Id]∗N V · [φ]V · [Id]N V −→ A = [0] 7.2 Producte escalar Definici´ o 7.2.1: Sigui E un espai vectorial real. Direm que < | > ´es un producte escalar real definit en E si verifica: 1)< | > ´es una forma bilineal sim`etrica definida en E, < | >: E × E −→ R 2) ´es definida positiva i no degenerada: ∀x ∈ E, < x | x >> 0 x=0 Llavors direm que (E, < | >) ´es espai euclidi`a real.
Algweb Exemple 7.2.1: Considerem E = R3 , < | >: R3 × R3 −→ R ((x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )) → x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 Exemple 7.2.2: Sigui E = C[0, 1], l’espai vectorial real de les funcions reals continues definides en [0, 1], < | >: C[0, 1] × C[0, 1] −→ R 1 (f (t), g(t)) → f (t)g(t) dt 0 Si l’espai ´es de dimensi´ o finita, dimR En = n < +∞, podem parlar de matriu associada a aquest producte escalar, que no ´es m´es que un cas particular de matriu associada a una forma bilineal sim`etrica: V = {e1 , e2 , . . . , en }, Siguin les bases: ∀x, y ∈ En , N = {u1 , u2 , . . . , un } [< | >]V = [gij ] ∀i, j = 1, n < x | y >= ( x1  y1 2 y  T  · · · xn ) [< | >]V   ..  =< y | x >= YV · [< | >]V · XV .
yn gij =< ei | ej >=< ej | ei >  x2 i el canvi de base: [< | >]N = [Id]TN V · [< | >]V · [Id]N V Proposici´ o 7.2.1: Sigui En un espai vectorial real de dimensi´o finita i f una forma bilineal sim`etrica definida en En : f ´es producte escalar en En ⇐⇒ la seva forma normal ´es la identitat Demostraci´ o: Sabem que per a qualsevol forma bilineal sim`etrica existeix una base N = {u1 , u2 , . . . , un } tal que la matriu associada en aquesta base ´es diagonal,i els elements de la diagonal pertanyen al conjunt {−1, 0, 1}   d11 d22    [f ]N = D =  ..
  .
dnn a) =⇒ Ho demostrarem per reducci´ o a l’absurd.
∃i ∈ {1, 2, . . . , n}, dii ∈ {−1, 0} Si agafem x = ui = 0, obtenim f (x, x) = dii ≤ 0 i f no ´es definida positiva.
b) ⇐= Ara tenim D = In , ∀i = 1, n dii = 1 x=0 Algweb ∀x ∈ En , xN = (ˆ x1 , x ˆ2 , . . . , x ˆn ), T f (x, x) = XN · D · XN = n xi )2 i=1 (ˆ >0 Definici´ o 7.2.2: Sigui E un espai vectorial complex. Direm que < | > ´es un producte escalar complex definit en E si verifica: 1)< | > ´es una forma hermitiana definida en E, < | >: E × E −→ C 2) ´es definida positiva i no degenerada: ∀x ∈ E, < x | x >> 0 x=0 Llavors direm que (E, < | >) ´es espai euclidi`a complex.
Exemple 7.2.3: Considerem E = C3 , < | >: C3 × C3 −→ C ((x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )) → x1 y¯1 + x2 y¯2 + x3 y¯3 Exemple 7.2.4: Sigui E = CC [0, 1], l’espai vectorial complex de les funcions complexes continues definides en [0, 1], < | >: CC [0, 1] × CC [0, 1] −→ C 1 (f (t), g(t)) → f (t)¯ g (t) dt 0 Si l’espai ´es de dimensi´ o finita, dimC En = n < +∞, podem parlar de matriu associada a aquest producte escalar, que no ´es m´es que un cas particular de matriu associada a una forma hermitiana: Siguin les bases: V = {e1 , e2 , . . . , en }, N = {u1 , u2 , . . . , un } [< | >]V = [gij ] ∀x, y ∈ En , ∀i, j = 1, n < x | y >= ( y¯1 y¯2 gij =< ej | ei >= g¯ji  1 x  x2  ∗  · · · y¯n ) [< | >]V   ...  = YV · [< | >]V · XV xn i el canvi de base: [< | >]N = [Id]∗N V · [< | >]V · [Id]N V A partir d’ara unificarem la notaci´ o usant la que correspon al producte escalar complex.(Observem que si les matrius s´ on de coeficients reals la seva adjunta coincideix amb la transposta).
7.3 Propietats Algweb Definici´ o 7.3.1: Sigui (E, < | >) espai euclidi`a (real o complex) i dos vectors d’aquest espai x, y. Direm que {x, y} s´on vectors ortogonals si el seu producte escalar ´es zero, < x | y >= 0.
Definici´ o 7.3.2: Sigui (E, < | >) espai euclidi`a , i F un subespai vectorial de E, definim el conjunt: Proposici´ o 7.3.1: F ⊥ = {y | y ∈ E, ∀x ∈ F, < y | x >= 0} F ⊥ ´es subespai vectorial de E.
Demostraci´ o: a) Per comen¸car verifiquem que 0 ∈ F ⊥ , i per tant F ⊥ = ∅, ja que: ∀x ∈ F, < 0 | x >= 0 b) ∀y1 , y2 ∈ F ⊥ , ∀λ ∈ K, comprovem que y = y1 + λy2 ∈ F ⊥ , ∀x ∈ F, < y | x >=< y1 + λy2 | x >=< y1 | x > +λ < y2 | x >= 0 + λ · 0 = 0 Corol·lari 7.3.2: E ⊥ = {0}, {0}⊥ = E Proposici´ o 7.3.3: Per a qualsevol F subespai vectorial de E es verifica F ∩ F ⊥ = {0}.
Demostraci´ o: Hem de justificar que l’´ unic element de la intersecci´o ´es el 0, Sigui z ∈ F ∩ F ⊥ , com que z ∈ F ⊥ , llavors ∀x ∈ F, < z | x >= 0. Al pertanyer a la intersecci´o aix´o tamb´e ser`a cert per x = z, i ens queda < z | z >= 0 i per les propietats del producte escalar sabem que z = 0.
Definici´ o 7.3.3: Direm que {u1 , u2 , . . . , ur } ´es un sistema de vectors ortogonals,si i nom´es si, ∀i, j = 1, r i = j < ui | uj >= 0 Proposici´ o 7.3.4: Tot sistema de vectors ortogonals i no nuls ´es un sistema lliure.
Demostraci´ o: ∀i = 1, r ∀αi ∈ K, definim: r u = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αr ur = αi ui = 0 i=1 Fem ara el producte escalar d’aquest vector u per un vector qualsevol uj , ∀j = 1, r, r αi < ui | uj >= αj < uj | uj >= 0 < u | uj >=< 0 | uj >= 0 = i=1 o ens porta a: i ja que uj = 0, aix´ ∀j = 1, r αj = 0 Definici´ o 7.3.5: Sigui (E, <|>) espai euclidi`a, ∀x ∈ E, definim la norma d’aquest vector: x =+ <x|x> Algweb Proposici´ o 7.3.5: (Propietats de la norma) 1) ∀x ∈ E, x ≥ 0.
2) x = 0 ⇐⇒ x = 0.
3) ∀x ∈ E, ∀c ∈ C, cx =| c | x Definici´ o 7.3.6: Si x = 1 direm que x ´es un vector unitari.
∀v ∈ E, v = 0, el vector x = v v ´es vector unitari.
Exercici: Sigui (E, <|>) espai euclidi`a, ∀x, y, z ∈ E, demostreu: 1) 2) 3) 2 < x | y >= x + y 2 − x 2 − y 2 1 < x | y >= ( x + y 2 − x − y 2 ) 4 x+y+z 2 = x+y 2+ x+z 2+ y+z 2 − x 2 − y 2 − z 2 Proposici´ o 7.3.5:(Teorema de Pit` agores) Sigui (E, <|>) espai euclidi`a. ∀x, y ∈ E, vectors ortogonals, x+y 2 = x 2+ y 2 Demostraci´ o: x+y 2 =< x + y | x + y >=< x | x > + < x | y > + < y | x > + < y | y >= x 2 + y Proposici´ o 7.3.6:(Llei del paral·lelogram) Sigui (E, <|>) espai euclidi`a. ∀x, y ∈ E, x+y 2 + x−y 2 =2 x 2 +2 y 2 Demostraci´ o: < x + y | x + y > + < x − y | x − y >= 2 <x|x>+<x|y>+<y|x>+<y|y>+ < x | x > − < x | y > − < y | x > + < y | y >= 2 x 2 +2 y 2 Proposici´ o 7.3.7: Sigui (E, <|>) espai euclidi`a, i x ∈ E, x = 0.
∀y ∈ E, ∃!c ∈ K tal que y − cx i x s´ on ortogonals.
Demostraci´ o: Imposem aquesta propietat i cerquem el candidat. S’ha de verificar: < y − cx | x >=< y | x > −c < x | x >= 0 llavors, c= <y|x> <x|x> Notacions: Algweb c = coeficient de Fourier de y respecte a x cx = <y|x> <x|x> x = P rx (y): projecci´o ortogonal de y en x Proposici´ o 7.3.8:(Desigualtat de Schwarz) Sigui (E, <|>) espai euclidi`a. ∀x, y ∈ E, |< x | y >|≤ x · y Demostraci´ o: Considerarem dos casos: x = 0 i x = 0.
1) Si x = 0 es verifica la desigualtat ja que |< 0 | y >|= 0 i 0 · y = 0.
2) Sigui x = 0 i c el coeficient de Fourier de y respecte x, y 2 = y − cx + cx 2 = y − cx 2 + cx 2 on hem utilitzat el Teorema de Pit` agores al ser ortogonals els vectors y − cx i cx.
| c |2 x 2 ≤ y 2 al ser les normes valors no negatius podrem escriure: |c| x ≤ y |< y | x >| x ≤ y x 2 el que ens dona finalment |< x | y >|≤ x · y Proposici´ o 7.3.9: Sigui (E, <|>) espai euclidi`a. ∀x, y ∈ E, |< x | y >|= x · y ⇐⇒ {x, y} s´on linealment dependents Demostraci´ o: Exercici Definici´ o 7.3.7: Sigui (E, <|>) espai euclidi`a real, ∀x, y ∈ E, x = 0, y = 0. Definim l’angle format per aquests dos vectors, θ ∈ [0, π), tal que: cos θ = <x|y> x · y A partir de la desigualtat de Schwarz verifiquem que: −1 ≤ cos θ ≤ 1 Proposici´ o 7.3.10:(Desigualtat triangular) Sigui (E, <|>) espai euclidi`a. ∀x, y ∈ E, x+y ≤ x + y Demostraci´ o: 2 x+y =< x + y | x + y >= x 2 + y 2+ < x | y > + < y | x > [a] Algweb Ara considerarem dos casos i en tots dos utilitzarem la desigualtat de Schwarz: 1) K = R, < x | y > + < y | x >= 2 < x | y >≤ 2 |< x | y >|≤ 2 x · y 2) K = C, < x | y > + < y | x >=< x | y > +< x ¯| y > = 2Re < x | y >≤ 2 |< x | y >|≤ 2 x · y Aix´ı doncs arribem a la mateixa desigualtat, que al substituir-la en [a] ens queda: 2 x+y ≤ ( x + y )2 que al ser les normes valors no negatius ens permet eliminar els quadrats.
Proposici´ o 7.3.11: Sigui (E, <|>) espai euclidi`a. Sigui {w1 , w2 , . . . , wm } ⊂ E, sistema de vectors ortogonals i no nuls. ∀x ∈ E, sigui ci el coeficient de Fourier de x respecte wi ,es verifica: 2) m 1) x− ci wi ∈< w1 , w2 , . . . , wm >⊥ K i=1 m ∀i = 1, m, ∀ai ∈ K m ci wi ≤ x − x− i=1 ai wi i=1 Notaci´ o: m ci wi = P rW (x) = projecci´ o ortogonal de x sobre el subespai W =< w1 , w2 , . . . , wm >K i=1 Demostraci´ o: 1) ∀j = 1, m, m <x− m ci wi | wj >=< x | wj > − ci < wi | wj >=< x | wj > −cj < wj | wj >= i=1 i=1 < x | wj > − < x | wj > < wj | wj >= 0 < wj | wj > 2) 2 m x− m m = x− ai wi i=1 i=1 Essent: 2 m ci wi − ci wi + ai wi i=1 = y+z 2 i=1 m m ci wi ∈ W y =x− ⊥ (ci − ai )wi ∈ W z= i=1 i=1 Per tant, els dos vectors s´ on ortogonals i podem aplicar el Teorema de Pit`agores, 2 m Algweb x− 2 m = x− ai wi ci wi (ci − ai )wi + i=1 i=1 2 m i=1 I obtenim: 2 m x− ci wi 2 m ≤ x− i=1 ai wi i=1 eliminem els quadrats i arribem al resultat desitjat.
Proposici´ o 7.3.12:(Desigualtat de Bessel) Sigui (E, <|>) espai euclidi`a. Sigui {w1 , w2 , . . . , wm } ⊂ E,un sistema de vectors ortonormals.
m |ci |2 ≤ x ∀x ∈ E, 2 i=1 on ci ´es el coeficient de Fourier de x respecte wi .
Demostraci´ o: = x 2 m 0≤ x− m =< x − ci wi i=1 − i=1 m m 2 m ci c¯j < wi |wj > c¯j < x|wj > + j=1 0≤ x cj wj >= j=1 m ci < wi |x > − Ara tenim en compte que es verifica: < wi |wj >= 0 per i = j, < wi |wi >= wi Obtenim: Simplificant: ci wi |x − i=1 m 2 m i=1 j=1 2 = 1, m |ci |2 − − i=1 ci =< x|wi >, m |cj |2 + j=1 |ci |2 i=1 c¯j =< wj |x > m |cj |2 ≤ x 2 j=1 Definici´ o 7.3.8: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a de dimensi´o finita igual a n.
{e1 , e2 , . . . , en } ⊂ En .
Direm que B ´es base ortogonal de En si ´es un sistema de vectors ortogonals i no nuls.
Sigui B = Comentari: Ja hem demostrat anteriorment que un sistema de vectors ortogonals i no nuls ´es un sistema lliure.
Definici´ o 7.3.9: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a de dimensi´o finita igual a n. Sigui B = {e1 , e2 , . . . , en } ⊂ En .
´ a dir: Direm que B ´es base ortonormal de En si ´es un sistema de vectors ortonormals.Es < ei |ej >= δij , on δij = 0 si i = j, i δii = 1 Proposici´ o 7.3.13: Sigui (E, < | >) espai euclidi`a. Per a qualsevol subespai vectorial W = {0} de dimensi´o finita, existeix una base ortonormal de W .
Algweb Demostraci´ o: La farem per construcci´o usant el m` etode d’ortogonalitzaci´ o de Gram–Schmidt.
Sigui V = {w1 , w2 , . . . , wm } una base de W . A partir d’ella en volem obtenir una d’ortogonal D = {v1 , v2 , . . . , vm } i prenent: 1 ∀j = 1, m ej = vj vj B = {e1 , e2 , . . . , em } ser` a base ortonormal de W .
Comencem definint j vectors, (j ≤ m): v1 = w1 < w2 |v1 > v1 < v1 |v1 > < w3 |v1 > < w3 |v2 > v3 = w3 − v1 − v2 < v1 |v1 > < v2 |v2 > ............
v2 = w2 − j−1 vj = wj − k=1 < wj |vk > vk < vk |vk > Demostrarem per recurr`encia que ∀j = 2, m els vectors {v1 , v2 , . . . , vj } s´on ortogonals i no nuls.
1) j = 2: < v2 v1 >=< w2 − < w2 |v1 > < w2 |v1 > v1 |v1 >=< w2 |v1 > − < v1 |v1 >= 0 < v1 |v1 > < v1 |v1 > Sabem que v1 = w1 = 0 ja que forma part d’una base de W . Ara demostrarem que v2 = 0 per reducci´o a l’absurd.
Suposem que v2 = 0, llavors: 0 = w2 − < w2 |v1 > v1 = w2 + λw1 < v1 |v1 > i arribem a que {w1 , w2 } s´ on linealment dependents, cosa que no ´es certa ja que formen part d’una base.
Observem que tal com s’ha fet la construcci´o els vectors {w1 , w2 }, i {v1 , v2 } generen el mateix subespai.
2) Com a hip` otesi d’inducci´ o admetem que {v1 , v2 , . . . , vj−1 } ´es un sistema de vectors ortogonals i no nuls,i < w1 , w2 , . . . , wj−1 >K =< v1 , v2 , . . . , vj−1 >K ´ a dir: Ara ens cal demostrar que {v1 , v2 , . . . , vj−1 , vj } ´es un sistema de vectors ortogonals i no nuls.Es a) Demostrar que vj ´es ortogonal a vi , ∀i = 1, j − 1.
j−1 < vj |vi >=< wj − ∀i = 1, j − 1 k=1 j−1 =< wj |vi > − k=1 < wj |vk > vk |vi >= < vk |vk > < wj |vk > < wj |vi > < vk |vi >=< wj |vi > − < vi |vi >= 0 < vk |vk > < vi |vi > b) Demostrar que vj = 0.
Algweb Fem-ho per reducci´ o a l’absurd. Suposem que vj = 0, llavors: j−1 0 = vj = wj − k=1 < wj |vk > vk = wj + < vk |vk > j−1 λk vk = k=1 j−1 = wj + αk wk = 0 k=1 per tant {w1 , w2 , . . . , wj } ´es un sistema lligat. Per`o aix`o no ´es possible ja que formen part d’una base de W .
Exemple 7.3.1: Considerem un espai vectorial real E, V definida en E, de la que coneixem la seva matriu associada:  5 2 A = [f ]V =  2 2 0 1 = {e1 , e2 , e3 } una base i f una forma bilineal  0 1 1 Es demana demostrar que f ´es producte escalar i obtenir una base ortonormal.
Al ser la matriu associada sim`etrica podem afirmar que f ´es sim`etrica i tan sols ens falta demostrar que ´es definida positiva, ´es a dir, hem de justificar que: ∀x ∈ E, x = 0, f (x, x) > 0 Ho farem de dues maneres.
Primer m` etode: Aplicarem estrictament la definici´o.
∀x ∈ E, xV = (x1 , x2 , x3 ), f (x, x) = ( x1  x2 5 x3 )  2 0 2 2 1  1  x 0 1   x2  = 5(x1 )2 + 2(x2 )2 + (x3 )2 + 4x1 x2 + 2x2 x3 = 1 x3 (x2 + x3 )2 + (2x1 + x2 )2 + (x1 )2 ≥ 0 Verifiquem que l’´ unic vector que anul·la aquesta expressi´o ´es el zero. Si f (x, x) = 0, x2 + x3 = 0, 2x1 + x2 = 0, aquest sistema homogeni ´es de rang m` axim i t´e una base N1 :  1  x ˆ 1 x ∀x ∈ E, xN1 = (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 ), ˆ2  =  2 x ˆ3 0 x1 = 0 u ´nica soluci´o x = 0. Aix`o ens permet definir una nova 0 1 1  1  x 0 0   x2  x3 1 XN1 = B · XV , B = [Id]V N1 Observem que en aquesta nova base es verifica:  ∀x ∈ E, x2 )2 + (ˆ x3 )2 , f (x, x) = (ˆ x1 )2 + (ˆ 1 = 0 0 [f ]N1 0 1 0  0 0 1 Algweb Per tant podem afirmar que f ´es producte escalar i que N1 ´es una base ortonormal. Per acabar l’exercici tan sols hem de calcular la inversa de B:   1 0 0  −2 [Id]N1 V = [Id]−1 1 0 V N1 = 2 −1 1 Aquest m`etode ´es molt r` apid per` o no sempre ´es c`omode d’aplicar ja que en general la manera d’agrupar els termes creuats no ´es u ´nica.
Segon m` etode: Obtindrem la forma columna (m`etode de Gauss–Lagrange)    5 2 0 1 (1)  2 2 1  −→  1 0 1 1 0 normal de f fent operacions elementals de fila i les mateixes de   0 1 (2) 2  −→  0 0 5 1 2 2 0 1 2   0 1 (3) 2  −→  0 5 0 0 1 0  0 0 1 (1): Permutem la primera i tercera files, i la primera i tercera columnes.
(2): [2]f − [1]f i [2]c − [1]c (3): [3]f − 2[2]f i [3]c − 2[2]c La forma normal de f ´es la identitat i per tant f ´es producte escalar, i ja tenim un a base ortonormal N2 .
Si ara apliquem les mateixes operacions elementals de fila a la matriu identitat i la transposem obtindrem la matriu canvi de base:     0 0 1 1 0 0 [Id]N2 V =  0 1 −2  , [f ]N2 =  0 1 0  1 −1 2 0 0 1 Si ja sabem que f ´es producte escalar, podrem obtenir una base ortonormal N3 aplicant a la base V = {e1 , e2 , e3 } el m`etode d’ortogonalitzaci´o de Gram–Scmidt:  5 [f ]V = [< | >]V = A =  2 0 ∀x, y ∈ E, 2 2 1  0 1, 1 xV = (x1 , x2 , x3 ) ∀x ∈ E,  f (x, y) =< x | y >= ( x1 x2 5 x3 )  2 0 2 2 1  1  y 0 1   y2  1 y3 Primer obtindrem una base ortogonal: v1 = e1 = (1, 0, 0) < e2 | v1 > 2 v2 = e2 − v1 = (0, 1, 0) − (1, 0, 0) = (−2/5, 1, 0) < v1 | v1 5 < e3 | v1 > < e3 | v2 > 0 1 v1 − v2 = (0, 0, 1) − (1, 0, 0) − v3 = e3 − (−2/5, 1, 0) = (1/3, −5/6, 1) < v1 | v1 < v2 | v2 5 6/5 Llavors {(1, 0, 0), (−2/5, 1, 0), (1/3, −5/6, 1)} ´es base ortogonal. Si multipliquem els vectors per un escalar no nul obtindrem una nova base ortogonal: M = {w1 = (1, 0, 0), w2 = (−2, 5, 0), w3 = (2, −5, 6)} Ara calculem les seves normes: (1, 0, 0) = √ 5 (−2, 5, 0) = √ 30 (2, −5, 6) = √ 6 Dividint els vectors de la base M per les seves normes obtenim una base ortonormal: Algweb √ √ √ √ √ √ N3 = {u1 = (1/ 5, 0, 0), u2 = (−2/ 30, 5/ 30, 0), u3 = (2/ 6, −5/ 6, 6/ 6)} Proposici´ o 7.3.14: Sigui (En , < | >) espai euclidi`a de dimensi´o finita. Per a qualsevol subespai W ∈ En es verifica: W ⊕ W ⊥ = En Demostraci´ o: Ja sabem que W ∪ W ⊥ = {0}, el que ens permet escriure W ⊕ W ⊥ ⊂ En Sigui dimK W = r, llavors haurem de demostrar que dimK W ⊥ = n − r Considerem una base de W , {w1 , w2 , . . . , wr } i la completem fins obtenir una base de En : B = {v1 , v2 , . . . , vr , ur+1 , . . . , un } Ara apliquem a aquesta base el m`etode d’ortogonalitzaci´o de Gram-Schmidt i obtenim una base ortogonal, de tal manera que els primers r vectors s´on base ortogonal de W : N = {w1 , w2 , . . . , wr , er+1 , . . . , en } Per construcci´ o: < er+1 , . . . , en >K ⊂ W ⊥ el que implica: dimK W ⊥ ≥ n − r Per tant tindrem dues possibles situacions: 1) dimK W ⊥ = n − r 2) dimK W ⊥ > n − r Si justifiquem que la segona ´es falsa quedar`a demostrada la proposici´o.
Ho fem per reducci´ o a l’absurd i suposem que es verifica 2), llavors: dimK (W ⊕ W ⊥ ) = dimK W + dimK W ⊥ > r + n − r = n ´es a dir: i aix´o no ´es possible.
W ⊕ W ⊥ ⊂ En dimK (W ⊕ W ⊥ ) > n Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports 8. DETERMINANTS 8.1 Introducci´ o Considerem K=R o C i l’espai vectorial de les matrius quadrades de n files i n columnes amb coeficients pertanyents al cos commutatiu K, MK (n × n) Funci´ o determinant quan n=2 Definim: det2 : MK (2 × 2) −→K tal que: ∀A ∈ MK (2 × 2) a11 a21 det2 a12 a22 = def a11 · a22 − a12 · a21 Notaci´o: det2 A = a11 a21 a12 a22 i podem comprovar, senzillament per substituci´o, que verifica les seg¨ uents propietats: Algweb a) ∀t ∈ K t · a11 a21 a t · a12 = t · 11 a22 a21 a11 a12 = a22 t · a21 a12 t · a22 Homogene¨ıtat en cada fila b) a11 + a11 a21 a a12 + a12 = 11 a22 a21 a a12 + 11 a22 a21 a12 a22 a11 a21 + a21 a a12 = 11 a22 + a22 a21 a a12 + 11 a22 a21 a12 a22 Additivitat en cada fila c) a11 a11 a12 =0 a12 d) 1 0 0 =1 1 Funci´ o determinant quan n=3 Definim: det3 : MK (3 × 3) −→K tal que:  ∀A ∈ MK (3 × 3), a11 det3  a21 a31 a12 a22 a32  a13 a23  a33 = def = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a21 · a32 · a13 − a13 · a22 · a31 − a23 · a32 · a11 − a12 · a21 · a33 Notaci´o: a11 det3 A = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 De la mateixa forma que en el cas anterior, podem comprovar que es verifiquen les propietats: a) ∀t ∈ K t · a11 a21 a31 t · a12 a22 a32 a11 t · a13 a23 = t · a21 a33 a31 a11 a13 t · a23 = a21 a33 t · a31 a12 t · a22 a32 a11 = t · a21 a31 a12 a22 a32 a12 a22 t · a32 a13 a23 = t · a33 a13 a23 a33 Homogene¨ıtat en cada fila b) a12 + a12 a22 a32 a11 a13 + a13 = a21 a23 a33 a31 a12 a22 a32 a11 a13 a23 + a21 a33 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 + a21 a31 a12 a22 + a22 a32 a11 a13 a23 + a23 = a21 a33 a31 a12 a22 a32 a11 a13 a23 + a21 a33 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 + a31 a12 a22 a32 + a32 a11 a13 = a21 a23 a33 + a33 a31 a12 a22 a32 a11 a13 a23 + a21 a33 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 Algweb a11 + a11 a21 a31 Additivitat en cada fila c) a11 a11 a31 a12 a12 a32 a11 a13 a13 = a21 a33 a11 a12 a22 a12 a11 a13 a23 = a21 a13 a21 a12 a22 a22 a13 a23 = 0 a23 d) 1 0 0 0 1 0 0 0 =1 1 Existeixen moltes altres propietats de les dues funcions determinant que acabem de definir, per`o s´on conseq¨ u`encia de les quatre propietats fonamentals enunciades aqu´ı.El que pretenem ´es generalitzar la funci´o determinant definida per a matrius quadrades d’un ordre qualsevol.
8.2 Definicions i propietats elementals Definici´ o 8.2.1: Direm que Φ ´es una forma multilineal alternada d’ordre n , si : Φ : MK (n × n) −→ K aplicaci´o, tal que ∀A ∈ MK (n × n), A N=ot (A1 , A2 , . . . , Ai , . . . , An ) essent Ai la i–`essima fila d’A, Ai = (ai1 ai2 . . . ain ), verifica els seg¨ uents axiomes: Axioma 1: ∀t ∈K, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} Φ(A1 , . . . , t · Ai , . . . , An ) = t · Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , An ) Homogene¨ıtat en cada fila Axioma 2: ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} Φ(A1 , . . . , Ai + Ai , . . . , An ) = Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , An ) + Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , An ) Additivitat en cada fila Axioma 3: Si Ai = Aj , essent i = j, llavors Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , An ) = 0 Al conjunt de formes multilineals alternades el designem per: A(n) = {Φ : MK (n × n) → K, f.m.a.} En A(n) definim dues operacions que el doten d’estructura d’espai vectorial sobre K, una suma i un producte per escalars: ∀A ∈ MK (n × n) ; (Φ1 + Φ2 )(A) = Φ1 (A) + Φ2 (A) ∀A ∈ MK (n × n) ; (∀λ ∈ K) ; (λ · Φ)(A) = λ · (Φ(A)) Exercici: Comproveu que A(n) ´es un espai vectorial sobre K.
Algweb Definici´ o 8.2.2: Direm que Φ ´es funci´o DETERMINANT d’ordre n si Φ ´es una forma multilineal alternada d’ordre n, ´es a dir, si Φ ∈ A(n) i Φ(Id) = 1. El representarem com Φ = detn .
Proposici´ o 8.2.1: Sigui Φ una forma multilineal alternada d’ordre n, llavors verifica: P1.- Si la matriu A posseeix alguna fila nul·la, Φ(A) = 0 P2.- Si intercanviem dues files qualssevol, la imatge de la matriu segons l’aplicaci´o Φ canvia de signe.
´ a dir, essent i = j, Es Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , An ) = −Φ(A1 , . . . , Aj , . . . , Ai , . . . , An ) P3.- Si una de les files de la matriu A ´es combinaci´o lineal de la resta, llavors Φ(A) = 0.
Demostraci´ o: P1.- Ai = (0 0 0 . . . 0) = [0] = 0 · (0 0 0 . . . 0) = 0 · [0] = 0 · Φ(A , . . . , [0], . . . , A ) = 0 Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , An ) = Φ(A1 , . . . , 0 · [0], . . . , An ) Ax.1 1 n P2.- Suposem que intercanviem les files i, j amb i < j = 0 Φ(A1 , . . . , Ai + Aj , . . . , Aj + Ai , . . . , An ) Ax.3 (i) (j) i utilitzant l’Axioma 2 0 = Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , An ) + Φ(A1 , . . . , Aj , . . . , Aj , . . . , An )+ (i) (j) (i) (j) +Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , Ai , . . . , An ) + Φ(A1 , . . . , Aj , . . . , Ai , . . . , An ) (i) (j) (i) (j) segons l’axioma 3, el segon i tercer sumands s’anul·len, per tant Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , An ) = −Φ(A1 , . . . , Aj , . . . , Ai , . . . , An ) (i) (j) (i) (j) P3.- Si les files de la matriu A s´ on linealment dependents, aix`o implica que existiran n escalars no tots n nuls, c1 , c2 , . . . , cn tals que i=1 ci Ai = [0], on ck = 0, amb k ∈ {1, . . . , n}. Podrem escriure: n Ak = i=1 i=k −ci Ai ck Aplicant els dos primers axiomes: n Φ(A1 , . . . , Ak , . . . , An ) = Φ(A1 , . . . , i=1 i=k n i=1 i=k −ci Ai , . . . , An ) = ck −ci Φ(A1 , . . . , Ai , . . . , An ) = 0 ck ja que, en cada sumand i, sempre hi haur` a dues files iguals, la k i la i.
Proposici´ o 8.2.2: Sigui Φ una f.m.a. d’ordre n. Sigui A una matriu diagonal, llavors:  a11 a22   Φ   Algweb   .
 1      = a11 · a22 · ann · Φ      a33 ..
1      1 ..
.
1 ann Demostraci´o: En ser la matriu A una matriu diagonal, per a un ´ındex k qualsevol podrem escriure: Ak = akk · (0 0 . . . 1(k) . . . 0 0) N=ot akk · Ik i utilitzant l’axioma 1: Φ(A) = Φ(a11 · I1 , a22 · I2 , . . . , ann · In ) = a11 · a22 · · · ann · Φ(I1 , I2 , . . . , In ) Proposici´ o 8.2.3: Sigui Φ una f.m.a. d’ordre n, ´es a dir Φ ∈ A(n). Sigui A una matriu triangular superior, llavors es verifica a11  0  0 Φ  .
 ..
a12 a22 0 ..
.
a13 a23 a33 ..
.
...
...
...
..
.
  a1n 1 a2n   1   a3n  = a11 · a22 · · · ann · Φ  1  ..    .
0 0 0 ...
ann a12 a22 0 ..
.
a13 a23 a33 ..
.
...
...
...
..
.
  a11 + 0 a1n a2n   0   a3n  = Φ  0  ..
..   .
.  0 0 ...
ann   ..
     .
1 Demostraci´o: a11  0  0 Φ  .
 ..
 0 a11  0  0 = Φ  .
 ..
 0 0 0 a22 0 ..
.
0 a23 a33 ..
.
...
...
...
..
.
0 0 ...
0 + a12 a22 0 ..
.
0 + a13 a23 a33 ..
.
0 0   0 a12 0 a2n   0 a22   a3n  + Φ  0 0 .
 ..  ..
 ..
.
.
ann 0 0  . . . 0 + a1n ...
a2n   ...
a3n   .
..
 ..
.
...
ann a13 a23 a33 ..
.
...
...
...
..
.
 a1n a2n   a3n  ..  .  0 ...
ann = Ax.2 aqu´ı l’´ ultim sumand ´es zero, donat que la matriu ´es de rang inferior a n, de tal forma que les files s´on linealment dependents (recordeu la propietat P3). Repetim el proc´es per a la segona fila: a11  0  0 Φ(A) = Φ   .
 ..
 0 a22 + 0 0 ..
.
0 0 + a23 a33 ..
.
0 0 0 a11  0  0 = Φ  .
 ..
  ...
0 . . . 0 + a2n   ...
a3n  =  ..
..
 .
.
...
ann 0 a22 0 ..
.
0 0 a33 ..
.
...
...
...
..
.
  a11 0 0   0   a3n  + Φ  0  .
 ..   ..
.
0 0 ...
ann 0 0 0 0 0 a23 0 a33 ..
..
.
.
0 0 ...
...
...
..
.
 0 a2n   a3n  ..  .  ...
ann pel mateix raonament d’abans, el segon sumand s’anul·la. Repetint aquest proc´es per a totes les files, despr´es d’un nombre finit n de passos, arribarem a:  Algweb   Φ(A) = Φ    a11  a22 1      = a11 · a22 · · · ann · Φ      a33 ..
 .
 1      1 ann ..
.
1 8.3 M` etode de Gauss Donada una matriu qualsevol A ∈ MK (n × n), i essent Φ una f.m.a. d’ordre n, vegem com, utilitzant el m`etode de Gauss, o m`etode de les operacions elementals de fila, podem obtenir Φ(A). Efectuant de manera sistem`atica operacions elementals de fila, podem transformar qualsevol matriu quadrada A en una matriu triangular superior T , de la que ja sabem calcular Φ(T ). Per obtenir la relaci´o entre Φ(A) i Φ(T ) vegem com afecten les operacions elementals de fila a Φ: 1) En permutar dues files d’A la seva imatge segons Φ canvia de signe.
2) Si multipliquem per un factor k no nul els coeficients d’una de les files d’A, llavors Φ(A1 , . . . , k · Ai , . . . , An ) = k · Φ(A).
3) Si a una fila li sumem una combinaci´ o lineal de la resta, la seva imatge segons Φ no es modifica.
Aix´ı doncs, si per transformar A en T hem efectuat p operacions del primer tipus, i q operacions del segon tipus, multiplicant pels escalars c1 , c2 , . . . , cq , obtindrem: Φ(A) = (−1)p (c1 · c2 · · · cq )−1 · Φ(T ) en particular: detn A = (−1)p (c1 · c2 · · · cq )−1 · t11 · t22 · · · tnn Proposici´ o 8.3.1: Si Φ1 i Φ2 s´ on f.m.a. d’ordre n, ´es a dir, si Φ1 i Φ2 ∈ A(n), i Φ1 (Id) = Φ2 (Id) llavors Φ1 = Φ2 Demostraci´ o: Efectivament, per a tota matriu A ∈ MK (n × n): Φ1 (A) = (−1)p (c1 · c2 · cq )−1 · t11 · · · tnn · · · Φ1 (Id) Φ2 (A) = (−1)p (c1 · c2 · · · cq )−1 · t11 · · · tnn · Φ2 (Id) per tant Φ1 (A) = Φ2 (A).
Corol·lari 8.3.2: La funci´ o determinant, si existeix, ´ es u ´ nica, i ´es aquella f.m.a. d’ordre n tal que detn (Id) = 1, i per a qualsevol altra f.m.a. d’ordre n, Φ, verifica Φ = Φ(Id) · detn . De la qual cosa es dedueix que dimK A(n) = 1, ja que la funci´ o determinant, si existeix, ´es una base d’aquest espai vectorial.
Notaci´ o: ∀A = (aij ) ∈ MK (n × n): N ot det A = a11 a21 a31 ..
.
a12 a22 a32 ..
.
a13 a23 a33 ..
.
...
...
...
..
.
a1n a2n a3n ..
.
an1 an2 an3 ...
ann Exemple 8.3.1: 4 −3 3 −2 1 −7 (1) −3 8 −5 1 −1 1 = 0 0 −6 −3 17 −2 (2) 1 −1 1 = 0 0 0 −3 17 = 100 100 (3) [1]f − [2]f [2]f − 3[1]f , [3]f − [1]f [3]f + 6[2]f Algweb (1) : (2) : (3) : 1 −1 = 3 −2 1 −7 5 8 −5 Exemple 8.3.2: 1 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 (1) : (2) : (3) : (4) : [2]f [3]f [4]f [5]f 3 1 1 −10 4 1 2 2 3 3 5 2 −7 1 4 4 2 2 −23 3 5 3 3 −41 11 3 7 11 7 5 4 10 16 7 3 5 1 2 13 0 −1 (1) 21 = 0 −1 2 0 −11 10 0 2 1 2 0 −1 (3) 0 = 0 0 0 0 0 − 2[1]f ; [3]f − 3[1]f ; [4]f − 2[1]f ; − [2]f ; [4]f − 11[2]f ; [5]f + 2[2]f + 10[3]f ; [5]f − 4[3]f − (5/3)[4]f 3 4 1 2 1 2 0 −3 0 −5 3 1 2 1 2 5 3 3 −11 −1 4 2 4 −1 −1 5 3 6 −8 5 1 2 0 −1 (4) 0 = 0 0 0 0 0 (2) = 3 1 1 0 0 4 2 2 −3 0 5 3 = 52 3 −11 52/3 [5]f − [1]f 8.4 Exist` encia de la funci´ o determinant Definicions 8.4.1: a) Per a cada n ∈N n ≥ 1 considerem el conjunt Jn = {1, 2, · · · , n}.
Sigui una aplicaci´ o bijectiva, σ : Jn → Jn que anomenarem permutaci´ o de Jn .
Denotarem una permutaci´ o per: 1 2 ··· n σ= σ(1) σ(2) · · · σ(n) b) Al conjunt de permutacions de Jn el designarem per Sn .
El nombre d’elements d’aquest conjunt ´es n! Proposici´ o 8.4.1: (Sn , ◦), on ◦ designa la composici´o d’aplicacions, ´es grup no commutatiu (´es el grup de les permutacions de n elements).
Demostraci´ o: ´ Es operaci´ o interna, ja que la composici´o d’aplicacions bijectives ´es una aplicaci´o bijectiva. Per la mateixa ra´o ´es associativa i no commutativa. L’element unitat d’aquest grup ´es la permutaci´o identitat, Idn , i l’element invers d’un σ ∈ Sn ´es σ −1 ∈ Sn donada per: σ −1 (j) = i ⇐⇒ σ(i) = j Definicions 8.4.2: a) Sigui τ ∈ Sn . Direm que τ ´es una transposici´ o ⇐⇒ ∃i, j ∈ Jn , i < j, τ (i) = j, τ (j) = i, τ (k) = k, (∀k ∈ Jn − {i, j}).
En general, notarem una transposici´ o com: τ = (i j). Observeu que τ −1 = τ , donat que τ ◦ τ = Idn b) Sigui σ ∈ Sn ; ∀i, j ∈ Jn , i < j, poden passar dues coses: (1) σ(i) < σ(j) (2) σ(i) > σ(j) Algweb En el segon cas direm que els elements i, j presenten una inversi´ o. Al nombre total d’inversions en σ el designem per I(σ), i definim signe de σ = (σ) = (−1)I(σ) Si (σ) = +1 σ s’anomena permutaci´ o parella .
Si (σ) = −1 σ s’anomena permutaci´ o imparella.
Proposici´ o 8.4.2: a) Si τ ∈ Sn ´es transposici´ o, llavors, (τ ) = −1.
b) ∀σ, σ ˆ ∈ Sn (σ ◦ σ ˆ ) = (σ). (ˆ σ) Demostraci´o: a) Sigui τ = (i, j) i < j. Comptem el nombre d’inversions de τ : 1) Els elements {1, · · · i − 1, j + 1, · · · , n} no presenten inversions entre ells.
2) Els elements {i, j} presenten una inversi´o, ja que, i < j per`o τ (i) = j > i = τ (j) 3) i presenta una inversi´ o amb cada element de {i + 1, · · · , j − 1}, ja que, τ (i) = j > i + 1 = τ (i + 1), etc. Sigui m el nombre d’aquestes inversions.
4) j presenta una inversi´ o amb cada element de {i + 1, · · · , j − 1}, ja que, τ (j) = i < i + 1 = τ (i + 1), etc. Tamb´e ´es m el nombre d’aquestes inversions.
Per tant, I(τ ) = 1 + 2m =⇒ (τ ) = (−1) 2m+1 = −1.
b) Considerem el seg¨ uent n´ umero enter positiu Vn : (j − i) Vn = 1≤i<j≤n Sigui σ ∈ Sn . Definim: = (σ(j) − σ(i)) σ(Vn ) = 1≤i<j≤n Com que σ ´es bijecci´ o, cada factor de Vn apareix en l’expressi´o deσ(Vn ) una i nom´es una vegada excepte ´ a dir, potser el signe. Es I(σ) σ(Vn ) = (−1) · Vn = (σ).Vn Siguin ara σ, σ ˆ ∈ Sn · (σ ◦ σ ˆ )(Vn ) = σ(ˆ σ (Vn )) = σ( (ˆ σ )Vn ) = (ˆ σ )(σ(Vn )) = (ˆ σ ) (σ)(Vn ).
Per una altra banda, (σ ◦ σ ˆ )(Vn ) = (σ ◦ σ ˆ )(Vn ).
D’on dedu¨ım (σ ◦ σ ˆ ) = (σ) (ˆ σ ).
Corol·lari 8.4.3: Tota transposici´ o ´es imparella.
El producte de dues permutacions de la mateixa paritat ´es una permutaci´o parella.
(σ) = (σ −1 ), ja que σ ◦ σ −1 = Id =⇒ (σ) · (σ −1 ) = 1 Proposici´ o 8.4.4: Tota permutaci´ o es pot descomposar en producte de transposicions.
Demostraci´o Sigui 1 2 ··· n σ= σ(1) σ(2) · · · σ(n) Algweb tal que σ no ´es una transposici´ o.
Suposem que 1 = σ(i) =⇒ σ −1 (1) = i. Podem expressarσ de la seg¨ uent manera: σ= 1 2 ··· i ··· n σ(1) σ(2) · · · 1 · · · σ(n) = = (1 σ(1)) ◦ 1 2 ··· i ··· n 1 σ(2) · · · σ(1) · · · σ(n) = τ 1 ◦ σ1 Si σ1 ´es transposici´ o hem acabat. Si no, repetim el proc´es.
Suposem que 2 = σ1 (j) =⇒ σ1−1 (2) = j. Podem expressar σ1 de la seg¨ uent manera: σ1 = 1 2 ··· j ··· n 1 σ(2) · · · 2 · · · σ(n) = = (2 σ(2)) ◦ 1 2 ··· j ··· n 1 2 · · · σ(2) · · · σ(n) = τ 2 ◦ σ2 Si σ2 ´es transposici´ o hem acabat. Si no, repetim el proc´es. Poden succeir dues coses: O b´e, σr amb r < n ´es una transposici´ o, o b´e s’arriba a σn = Id. En qualsevol cas la propietat es satisf`a.
Corol·lari 8.4.5: Tota permutaci´ o parella es pot descomposar en producte parell de transposicions, i tota permutaci´ o imparella es pot descomposar en producte imparell de transposicions.
Proposici´ o 8.4.6: Sigui P = {permutacions parelles} ; I = {permutacions imparelles} i τ ∈ Sn una transposici´o.
L’aplicaci´o f : P → I donada per f (p) = p ◦ τ ´es bijectiva.
Demostraci´ o Injectiva: p1 ◦ τ = p2 ◦ τ =⇒ p1 ◦ τ ◦ τ = p2 ◦ τ ◦ τ =⇒ p1 = p2 Exhaustiva: (∀σ ∈ I) =⇒ σ = τ1 ◦ · · · ◦ τ2r+1 , essent τi una transposici´o. Com que τ 2 = Idtenim: σ = (τ1 ◦ · · · ◦ τ2r+1 ◦ τ ) ◦ τ ´es a dir, p = τ1 ◦ · · · ◦ τ2r+1 ◦ τ , verifica f (p) = σ.
Proposici´ o 8.4.7: L’aplicaci´ o f : Sn → Sn donada per f (σ) = σ −1 ´es bijectiva.
Demostraci´ o: Exercici.
Teorema 8.4.8: (Exist`encia de la funci´o determinant) (∀n ∈N) n ≥ 1, definim f : MK (n × n) → K de la seg¨ uent manera: (σ)a1σ(1) · · · anσ(n) f (A) = σ∈Sn Llavors, f = detn .
Demostraci´ o N’hi ha prou amb comprovar que f verifica les quatre propietats de la funci´o determinant.
P1 i P2: Linealitat per a cada fila.
Recordem que A = (A1 , · · · , An ) on Ai = fila i − e`sima ∀i = 1, n , ∀λ ∈ K , f (A1 , · · · , λAi + Bi , · · · , An ) = (σ)a1σ(1) · · · (λaiσ(i) + biσ(i) ) · · · anσ(n) = λ (σ)a1σ(1) · · · · · · anσ(n) + σ∈Sn Algweb σ∈Sn (σ)a1σ(1) · · · biσ(i) · · · anσ(n) = λf (A1 , · · · , Ai , · · · , An ) + f (A1 , · · · , Bi , · · · , An ) + σ∈Sn P3: Si Ai = Aj , i < j =⇒ f (A) = 0 Sigui τ la transposici´ o que intercanvia i amb j: τ = (i j). Si σ ∈ Sn amb (σ) = −1, σ = p ◦ τ on p ∈ P , ´es a dir, (p) = +1. Per tant, (σ)a1σ(1) · · · anσ(n) = f (A) = σ∈Sn a1σ(1) · · · anσ(n) = a1p(1) · · · anp(n) − σ∈I p∈P a1p(1) · · · anp(n) − a1p◦τ (1) · · · anp◦τ (n) = p∈P p∈P a1p(1) · · · a(i−1)p(i−1) a(i+1)p(i+1) · · · a(j−1)p(j−1) a(j+1)p(j+1) · · · anp(n) · [aip(i) ajp(j) − aip(j) ajp(i) ] p∈P Ara b´e, com que Ai = Aj =⇒ aip(j) = ajp(j) , ajp(i) = aip(i) , i per tant en cada sumand hi ha un zero. I aix´ı f (A) = 0.
P4: f (Id) = 1, en efecte, f (Id) = f (I1 , · · · , In ) = 1 2 ··· n 1 2 ··· n a11 · · · ann = 1 Exemple 8.4.2: Calculem segons aquesta definici´o el determinant d’ordre dos: I(σ1 ) = 0, S2 = {σ1 , σ2 } σ1 = 1 1 2 2 ε(σ1 ) = (−1)0 = 1 σ2 = 1 2 2 1 I(σ2 ) = 1, ε(σ2 ) = (−1)1 = −1 ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) = a11 a22 − a12 a21 det2 A = σ∈S2 Exemple 8.4.3: Calculem el determinant d’ordre tres: S3 = {σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , σ5 , σ6 } 1 1 σ1 = σ3 = σ5 = 1 3 1 3 2 2 2 1 2 2 3 3 3 2 3 1 I(σ1 ) = 0, I(σ3 ) = 2, I(σ5 ) = 3, ε(σ1 ) = 1; ε(σ3 ) = 1; σ4 = ε(σ5 ) = −1; det3 A = 1 2 σ2 = 1 2 σ6 = 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 3 3 2 I(σ2 ) = 2, I(σ4 ) = 1, I(σ6 ) = 1, ε(σ2 ) = 1 ε(σ4 ) = −1 ε(σ6 ) = −1 ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) a3σ(3) = σ∈S3 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 Algweb Proposici´ o 8.4.9: Per a qualsevol matriu A ∈ MK (n × n): detn A = detn (AT ) Demostraci´ o: Per definici´ o tindrem: detn (AT ) = (σ)aσ(1)1 · · · aσ(n)n σ∈Sn per una altra banda, (φ)a1φ(1) · · · anφ(n) detn A = φ∈Sn Estudiem cada sumand a1φ(1) · · · anφ(n) : Si 1 = φ(j) =⇒ j = φ−1 (1) =⇒ ajφ(j) = aφ−1 (1)1 Si 2 = φ(k) =⇒ k = φ−1 (2) =⇒ akφ(k) = aφ−1 (2)2 I aix´ı seguir´ıem fins a n. Podem concloure que, a1φ(1) · · · anφ(n) = aφ−1 (1)1 · · · aφ−1 (n)n Per una altra banda, com que (φ) = (φ−1 ) i si φ recorre Sn , φ−1 tamb´e recorre Sn , resulta l’afirmat en la proposici´ o.
8.5 Propietats Proposici´ o 8.5.1: ∀A, B ∈ MK (n × n), Demostraci´ o: detn (A · B) = (detn A) · (detn B) Com ja sabem, ∀i = 1, n, (A · B)i = Ai · B, essent Ai la i–`esima fila de la matriu A i (A · B)i la i–`esima fila de A · B.
Considerant fixada la matriu B,definim: f : MK (n × n) −→ K A → f (A) = detn (A · B) = detn (A1 · B, A2 · B, . . . , An · B) De manera senzilla es verifica que f ´es una f.m.a. d’ordre n, amb f (Id) = detn B.
Procedim a definir una segona funci´ o: g : MK (n × n) −→ K A → g(A) = (detn A) · (detn B) Comprovem que g ´es una f.m.a. d’ordre n, i tal que g(Id) = detn B = f (Id), per tant f = g. D’aquesta manera per a qualsevol matriu A ∈ MK (n × n) es verifica: f (A) = detn (A · B) = g(A) = (detn A) · (detn B) Algweb Definici´ o 8.5.1: Donada la matriu A ∈ MK (n × n) direm que ´es no singular si ´es inversible.
Corol·lari 8.5.2: Si A ´es una matriu no singular, llavors detn (A−1 ) = (detn A)−1 Vegem algunes aplicacions i propietats dels determinants: Siguin {x1 , . . . , xn }, vectors d’un espai vectorial de dimensi´o n, les coordenades dels quals en una certa base V les representem com: ∀i = 1, n (xi )V = (x1i , x2i , . . . , xni ) A continuaci´ o definim una matriu A ∈ MK (n × n) les files de la qual estan formades per les components d’aquests n vectors:  x1 x2 x3 . . . xn  1 1 1 1  x12 x22 x32 . . . xn2   1  x x23 x33 . . . xn3  A=  .3 ..
.. . .
.   .
. ..  .
.
.
x1n x2n x3n ...
xnn Proposici´ o 8.5.3: (Determinants i independ`encia de vectors) {x1 , x2 , . . . , xn } s´ on linealment dependents ⇐⇒ detn A = 0 Demostraci´ o: =⇒) En ser els vectors linealment dependents hi ha una fila de la matriu A que ser`a combinaci´o lineal de la resta, per tant rang(A) < n, i llavors detn A = 0.
⇐=) Si detn A = 0, la matriu A no ´es inversible, amb la qual cosa no ´es de rang m`axim, i per tant els vectors s´on linealment dependents.
Proposici´ o 8.5.4: (Determinant d’una matriu diagonal en blocs) Sigui C ∈ MK (n × n), A ∈ MK (r × r); B ∈ MK (s × s), amb r + s = n, tals que la matriu C s’ha constru¨ıt col·locant diagonalment les matrius A i B i completant amb zeros fins aconseguir una matriu de n files i n columnes,   a11 . . . a1r 0 . . . 0 .
.
.
.
..
 .
..
..
..  .
 .
    ar1 . . . arr 0 . . . 0  C=   0 . . . 0 b11 . . . b1s   .
..
..
..  ..
 ..
.
.
.
.  0 . . . 0 bs1 . . . bss Llavors es verifica: Algweb detn C = (detr A) · (dets B) Demostraci´ o: Es construeix una aplicaci´ o Φ definida entre el conjunt de matrius quadrades d’ordre r i el cos K, de tal forma que a una matriu A li associa el determinant d’ordre n d’una matriu A , constru¨ıda col·locant en la seva diagonal la matriu A i la matriu Id d’ordre s, i completant amb zeros: det α n Φ : MK (r × r) −→ MK (n × n) −→ K   a11 . . . a1r 0 . . . 0 ..
..
..  ..
 ..
.
 .
.
.
.    ar1 . . . arr 0 . . . 0  A→A =  → detn A  0 ... 0 1 ... 0   .
.
.
.
..
.. . . . ..   ..
0 ... 0 0 ... 1 Aix´ı doncs, tenim que Φ = detn · α. Es verifica f`acilment que Φ ´es una f.m.a. d’ordre r, i Φ(Idr ) = 1, per tant Φ = detr , i podrem escriure: detr A = detn A De manera similar podem definir una altra aplicaci´o Ψ, ara definida entre el conjunt de les matrius quadrades d’ordre s i el cos K de tal forma que a una matriu B li associa el determinant d’ordre n d’una matriu B , constru¨ıda col·locant en la seva diagonal la matriu Id d’ordre r i la matriu B, i completant amb zeros: β det n Ψ : MK (s × s) −→ MK (n × n) −→ K 1  ...
 0  B→B = 0 .
 ..
0  ... 0 0 .
..
..
. ..
.
... 1 0 . . . 0 b11 ..
..
.
.
...
...
..
.
... 0 ...
bs1 ...
 0 ..  .  0   → detn B b1s   ..  .  bss Ara tenim que Ψ = detn · β. Es verifica f`acilment que Ψ ´es una f.m.a. d’ordre s, i Ψ(Ids ) = 1, per tant Ψ = dets , i podrem escriure: dets B = detn B De manera immediata, utilizant u ´nicament la definici´o de producte de matrius, comprovem que: C =A ·B amb la qual cosa detn C = (detn A ) · (detn B ) = (detr A) · (dets B) Definicions 8.5.2: Donada la matriu A ∈ MK (n × n), ∀i, j = 1, n, a) Anomenarem menor complementari del coeficient aij la matriu Aij ∈ MK ((n − 1) × (n − 1)) obtinguda a partir de la matriu A en la que s’ha suprimit la fila i i la columna j.
b) Anomenarem cofactor d’aij l’escalar: cof aij = (−1)i+j det(n−1) Aij c) Anomenarem matriu cofactor d’A, una matriu B = (bij ) ∈ MK (n × n), tal que: ∀i, j = 1, n bij = cof aij , B = cof A Algweb Exemple 8.5.1: exemple numeric Proposici´ o 8.5.5: (Desenvolupament de la funci´ o determinant per una fila qualsevol): n ∀k = 1, n n (−1)k+j akj det(n−1) Akj = detn A = j=1 akj (cof akj ) j=1 Exposarem la demostraci´ o en dos casos: a) k = 1 b) k > 1 a) En primer lloc anem a demostrar que la proposici´o ´es certa per a la primera fila (k = 1). Amb les notacions introdu¨ıdes anteriorment podem escriure: detn A = detn (A1 , A2 , . . . , An ) A1 = ( a11 a12 ...
a1n ) = a11 I1 + a12 I2 + . . . + a1n In n detn A = detn ( n a1j · detn (Ij , A2 , . . . , An ) a1j Ij , A2 , . . . , An ) = j=1 j=1 per a j = 1, tindrem: 1 a21 detn (I1 , A2 , . . . , An ) = a31 ..
.
0 a22 a32 ..
.
0 a23 a33 ..
.
...
...
...
..
.
0 a2n a3n ..
.
an1 an2 an3 . . . ann Si ara a la i–`esima fila (i > 1) li restem la primera fila multiplicada per ai1 el determinant no es modifica, i ens queda el determinant d’una matriu diagonal en blocs, el primer d’ordre 1 i el segon d’ordre n − 1.
1 0 detn (I1 , A2 , . . . , An ) = 0 ..
.
0 a22 a32 ..
.
0 a23 a33 ..
.
...
...
...
..
.
0 a2n a3n = det(n−1) A11 ..
.
0 an2 an3 ...
ann d’aquesta forma podrem escriure: a11 detn (I1 , A2 , . . . , An ) = (−1)1+1 det(n−1) A11 per a j > 1, Algweb 0 a21 detn (Ij , A2 , . . . , An ) = a31 ..
.
an1 0 ...
...
..
.
...
0 a2(j−1) a3(j−1) ..
.
an(j−1) 1 a2j a3j ..
.
anj 0 a2(j+1) a3(j+1) ..
.
an(j+1) 0 ...
...
..
.
...
0 a2n a3n ..
.
ann Si a la i–`esima fila (i > 1) li restem la primera fila multiplicada per aij el determinant no es modifica, 0 a21 detn (Ij , A2 , . . . , An ) = a31 ..
.
an1 0 ...
...
..
.
...
0 a2(j−1) a3(j−1) ..
.
an(j−1) 1 0 0 a2(j+1) 0 a3(j+1) ..
..
.
.
0 an(j+1) A continuaci´o anem a demostrar que aquest darrer determinant ´es igual efecte, definim l’aplicaci´ o: Φ : MK ((n − 1) × (n − 1)) −→ K  0 0 0 1 0  c11 .
.
.
c 0 c 1j 1(j−1)   c21 .
.
.
c 0 c 2j 2(j−1) C → Φ(C) = detn   ..
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
c(n−1)1 . . . c(n−1)(j−1) 0 c(n−1)j 0 ...
...
..
.
...
0 a2n a3n ..
.
ann a (−1)j+1 det(n−1) A1j . Per a tal 0 ...
...
..
.
...
0  c1(n−1) c2(n−1) ..
.
      c(n−1)(n−1) Es verifica f` acilment que Φ ´es una forma multilineal alternada d’ordre n − 1. Per una altra banda:   0 0 0 1 0 0 0  1 ··· 0 0 0 ··· 0     0 1 ··· 0 0 ··· 0    Φ(Idn−1 ) = detn  ..
.
. 0 .. · · · · · ·   ··· ··· ··· ··· 0 1 ··· 0 ··· 0 0 0 ··· 1 Si ara permutem la primera fila amb la segona, despr´es la segona amb la tercera, la tercera amb la quarta i aix´ı successivament, aconseguirem, aplicant j − 1 d’aquestes permutacions, arribar a la matriu identitat d’ordre n, per tant: Φ(Idn−1 ) = (−1)j−1 detn (Idn ) = (−1)j−1 detn (Idn )(−1)2 = (−1)j+1 Aplicant aquest resultat obtenim: detn (Ij , A2 , . . . , An ) = (−1)j+1 · detn−1 A1j i finalment queda demostrat el cas a): n n (−1)1+j a1j · detn−1 A1j a1j · detn (Ij , A2 , . . . , An ) = detn (A1 , A2 , . . . , An ) = j=1 j=1 b) Considerem ara la fila k > 1: n detn (A1 , . . . , Ak , . . . , An ) = detn (A1 , . . . , n akj · detn (A1 , . . . , Ij , . . . , An ) akj Ij , . . . , An ) = j=1 j=1 Si ara permutem Ij que ocupa la fila k, amb la seva fila immediatament anterior, i aix´ı successivament k − 1 vegades, aconseguirem que ocupi la primera fila, n (−1)k−1 akj · detn (Ij , A1 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , An ) detn (A1 , . . . , Ak , . . . , An ) = j=1 Algweb (Tinguem en compte que Ak−1 ocupa la fila k) ˆ obtinguda a partir de la matriu A en la que hem anat permutant la Definim ara una matriu auxiliar A, seva fila k–`esima amb l’anterior, i aix´ı successivament fins aconseguir que ocupi la primera fila: Aˆ = (Ak , A1 , A2 , . . . , Ak−1 , Ak+1 , . . . , An ) = (Aˆ1 , Aˆ2 , . . . , Aˆk−1 , Aˆk , Aˆk+1 , . . . , Aˆn ) si ara utilizem l’apartat a), obtenim: n (−1)k−1 akj (−1)j−1 detn−1 Aˆ1j detn (A1 , . . . , Ak , . . . , An ) = j=1 ˆ per`o, per la construcci´ o que hem fet d’A, Aˆ1j = Akj ∀j = 1, n i d’aquesta manera queda demostrat l’apartat b): n (−1)k+j akj detn−1 Akj detn (A1 , . . . , Ak , . . . , An ) = j=1 Corol·lari 8.5.6: Donat que, com s’ha demostrat anteriorment, el determinant d’una matriu coincideix amb el determinant de la seva transposta, podrem desenvolupar aquest determinant per una columna qualsevol: n ∀k = 1, n (−1)j+k ajk det(n−1) Ajk detn A = j=1 Proposici´ o 8.5.7: Donada una matriu qualsevol A ∈ MK (n × n), si la multipliquem per la transposta de la seva matriu cofactor, obtenim la matriu identitat multiplicada pel determinant d’A.
A ◦ (cof A)T = (detn A) · Id Sigui k = 1, n una fila qualsevol de la matriu A. Tenim  cof ak1  cof ak2   akn )  ..
  .
cof akn  n detn A = akj (cof akj ) = ( ak1 ak2 ...
j=1 (a) Considerem ara una altra fila qualsevol i = k, i constru¨ım una matriu D ∈ MK (n × n), els coeficients de la qual s´on iguals als de la matriu A, excepte els de la fila i, en la que col·loquem els coeficients de la fila k d’A. D’aquesta forma, en ser D una matriu amb dues files iguals el seu determinant ser`a igual a zero.
Di = Ak i ∀j = 1, n j = i Dj = Aj I ara calculem el determinant de D, desenvolupant-lo per la fila i: n n n dij (−1)i+j det(n−1) Dij = 0 = detn D = akj (−1)i+j det(n−1) Aij = j=1 j=1 akj (cof aij ) = j=1  cof ai1  cof ai2  =0 akn )  ..
  .
cof ain  Algweb = ( ak1 ak2 ...
k=i (b) Si ara efectuem el producte entre la matriu A i la transposta de la seva matriu cofactor, els elements de la diagonal de la matriu producte seran del tipus (a) i la resta del tipus (b), amb el que queda demostrada la proposici´o: a11  a21  T a A ◦ (cof A) =   31  ...
a12 a22 a32 ..
.
a13 a23 a33 ..
.
...
...
...
..
.
an1 an2 an3 ...
  (a)   =    cof a11 a1n a2n   cof a12  a3n   cof a13  ..  ..
.  .
ann cof a1n   (a) (b) (b) ..
.
cof a31 cof a32 cof a33 ..
.
...
...
...
..
.
 cof an1 cof an2   cof an3  =  ..
 .
cof a2n cof a3n ...
cof ann detn A  detn A     =     (a) cof a21 cof a22 cof a23 ..
.
  =   detn A ..
.
detn A (a)    = detn A    1  1      1 ..
.
1 Corol·lari 8.5.8: Si A ´es inversible, el seu determinant ´es diferent de zero, i podrem escriure: A·[ 1 (cof A)T ] = Id detn A ´es a dir: A−1 = 1 (cof A)T detn A 8.6 Regla de Cramer Considerem un sistema de n equacions lineals amb n inc`ognites: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. ..
..
.. ..
. .
.
. .
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn que representarem matricialment:  x1  x2   A = (aij ) ∈ MK (n × n) ; X =   ...  ;   b1  b2  ¯b =  .  ;  ..   xn A · X = ¯b bn on les columnes de la matriu A, el sistema anterior es podr`a reescriure com: Si C1 , C2 , . . . Cn s´ Calculem seguidament el determinant de la matriu A en la que hem substitu¨ıt la seva columna k per ¯b: Algweb detn (C1 , C2 , . . . , Ck−1 , ¯b, Ck+1 , . . . , Cn ) = n xj Cj , Ck+1 , . . . , Cn ) = = detn (C1 , C2 , . . . , Ck−1 , j=1 n xj detn (C1 , C2 , . . . , Ck−1 , Cj , Ck+1 , . . . , Cn ) = j=1 En aquesta expressi´ o hi ha n − 1 sumands nuls, ja que es consideren determinants de matrius amb dues columnes iguals. L’´ unic terme que ens queda ´es el corresponent a j = k.
detn (C1 , C2 , . . . , Ck−1 , ¯b, Ck+1 , . . . , Cn ) = xk detn (C1 , C2 , . . . , Ck−1 , Ck , Ck+1 , . . . , Cn ) = = xk detn A Si la matriu A ´es inversible (cosa que equival a dir que el sistema ´es compatible amb soluci´o u ´nica), llavors: ∀k = 1, n xk = 1 detn (C1 , C2 , . . . , Ck−1 , ¯b, Ck+1 , . . . , Cn ) detn A Exemple 8.6.1: Volem resoldre, si ´es possible, el seg¨ uent sistema complet:  1     x 0 1 1 1 1  1 0 1 1   x2   1   3  =    1 1 0 1 x 1 1 1 1 0 1 x4 Calculem el determinant de la matriu associada: 0 1 det4 A = 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 3 1 (1) 1 = 1 1 0 1 3 0 1 1 3 1 0 1 3 1 =3 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 (2) = 1 0 1 1 0 −1 3 0 0 0 0 (1) : (2) : 1 0 −1 0 1 0 0 −1 = −3 [1]f + [2]f + [3]f + [4]f [2]f − [1]f ; [3]f − [1]f ; [4]f − [1]f Per tant la matriu ´es de rang m` axim, el sistema ´es compatible amb soluci´o u ´nica, i podrem trobar-la calculant els quatre determinants seg¨ uents: 1 1 det4 A1 = 1 1 (3) : 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 (3) 0 −1 = 1 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 −1 = −1 [2]f − [1]f ; [3]f − [1]f ; [4]f − [1]f Algweb 0 1 det4 A2 = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 (4) =− 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 (5) 1 = 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 = det4 A1 = −1 1 0 (4): permutem les dues primeres files.
(5): permutem les dues primeres columnes.
0 1 det4 A3 = 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 (6) = det4 A1 = −1 1 0 (6): permutem les files primera i tercera, i permutem les columnes primera i tercera.
0 1 det4 A4 = 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 (7) = det4 A1 = −1 1 1 (7): permutem les files primera i cuarta, i permutem les columnes primera i cuarta.
I obtenim la soluci´ o: x1 = det4 A1 1 = det4 A 3 x2 = det4 A2 1 = det4 A 3 x3 = det4 A3 1 = det4 A 3 x4 = det4 A4 1 = det4 A 3 8.7 Aplicacions En aquest apartat considerarem un espai euclidi`a real de dimensi´o finita i veurem algunes propietats que relacionen el producte escalar i els determinants. En primer lloc demostrarem que en aquest cas l’espai i el seu dual s´ on isomorfs can` onicament, ´es a dir, existeix una aplicaci´o lineal bijectiva entre ells definida independentment de bases.
Proposici´ o 8.7.1: Sigui (En , < | >) e.e. real,llavors existeix Φ isomorfisme can`onic entre En i En∗ .
Demostraci´ o: Φ : En −→ En∗ x → Φ(x) =< x| > on: < x| >: En −→ R y →< x|y > a) Verifiquem que ´es lineal: ∀x, y, z ∈ En , ∀λ ∈ R, (Φ(x + λz)) (y) =< x + λz|y >=< x|y > +λ < z|y >= (Φ(x) + λΦ(z)) (y) i per tant: Φ(x + λz) = Φ(x) + λΦ(z) b) Per demostrar que ´es injectiva comprovem que Ker Φ = {0}.
Si x ∈ Ker Φ, llavors Φ(x) =< x| >= ˜0 ∀y ∈ En , < x|y >= ˜0(y) = 0 en particular ser` a cert per y = x: < x|x >= 0 =⇒ x = 0 Algweb c) Si ara tenim en compte el teorema de dimensions: dimR En = n = dimR Ker Φ + dimR Im Φ = dimR Im Φ = dimR En∗ = n el que ens permet afirmar que l’aplicaci´o Φ ´es exhaustiva.
Proposici´ o 8.7.2: Siguin V = {e1 , e2 , . . . , en }, N = {u1 , u2 , . . . , un } bases ortonormals de l’e.e. real (En , < | >), llavors la matriu de canvi de base ´es una matriu ortogonal, ´es a dir, que la seva inversa coincideix amb la transposta.
Demostraci´ o: n T P = (pij ) = [Id]N V ∈ MR (n × n) P · P = C = (cij ) ∀j = 1, n uj = pij ei i=1 volem demostrar que C ´es la matriu identitat.
∀i, j = 1, n p cij = ( p1i p2i ...
1j  n  p2j  = pni )  pki pkj =< ui |uj >= δij .
 .  .
k=1 pnj D’aquesta manera tamb´e obtenim: detn (P T · P ) = detn Id = 1 = (detn P )2 −→ |detn P | = 1 Definici´ o 8.7.1: Direm que dues bases tenen el mateix sentit si: detn [Id]N V > 0 Definici´ o 8.7.2: Sigui un espai euclidi`a real (En , < | >), V = {e1 , e2 , . . . , en } una base ortonormal, i B = {x1 , x2 , . . . , xn } ∈ En un sistema lliure. Definim el paral·lelep´ıpede n-dimensional generat per B: A{x1 ,x2 ,...,xn } = n x | ∀i = 1, n ∃αi ∈ R, 0 ≤ αi ≤ 1 x= αi xi i=1 ⊂ En Definici´ o 8.7.3: Definim el volum del paral·lelep´ıpede n-dimensional com el valor absolut del determinant de les coordenades dels vectors {x1 , x2 , . . . , xn }:  x1 Vol A{x1 ,x2 ,...,xn } = |detn M | = |det(x1 , x2 , . . . , xn )| x12 x22 x32 ..
.
x13 x23 x33 ..
.
...
...
...
..
.
xn2 xn3 ...
1 x21 x31   M =  .
 .
.
xn1 x1n  x2n   x3n  ..   .
n xn Comentari: Observem que si considerem qualsevol altra base ortonormal el volum ´es el mateix ja que: x ˆ1 1 x ˆ21 x ˆ31   ˆ M =  .
 .
.
x ˆn1 x ˆ12 x ˆ22 x ˆ32 ..
.
x ˆ13 x ˆ23 x ˆ33 ..
.
x ˆn2 x ˆn3 ... x ˆ1n  ... x ˆ2n   ... x ˆ3n  .  ..
. ..  ... x ˆnn P = [Id]V N ˆ | = |detn (P · M )| = |detn P | · |detn M | = |detn M | |detn M Algweb Exemple 8.7.1: Sigui En = R2 , V la base can`onica, < | > el producte escalar can`onic, i els vectors {x1 = (1, 2), x2 = (3, 0)}. En aquest cas A{x1 ,x2 } correspon a un paral·lelogram i Vol A{x1 ,x2 } = 6 ´es l’`area.
Exemple 8.7.2: Sigui En = R3 , V la base can`onica, < | > el producte escalar can`onic, i els vectors {x1 = (1, 2, 0), x2 = (3, 0, 0), x3 = (1, 1, 1)}. Ara A{x1 ,x2 ,x3 } ´es un paral·lelep´ıpede i Vol A{x1 ,x2 ,x3 } = 6 ´es el volum.
Definici´ o 8.7.4: Considerem un espai euclidi`a real de dimensi´o tres (E3 , < | >) en el qual nom´ es treballarem amb bases ortonormals del mateix sentit. Fixats els vectors u, v ∈ E3 definim l’aplicaci´o: ϕu,v : E3 −→ R x → ϕu,v (x) = det3 (u, v, x) A partir de les propietats del determinant tenim que ϕu,v ∈ E3∗ , i segons l’isomorfisme can`onic sabem que existeix i ´es u ´nic un vector w ∈ E3 tal que: ϕu,v = Φ(w) =< w| > ∀x ∈ E3 , ϕu,v (x) = det3 (u, v, x) =< w|x >=< x|w > Aquest vector w direm que ´es el producte vectorial de u i v, i el denotarem per w =u∧v En direm producte mixt de {u, v, x} a l’escalar det3 (u, v, x) =< u ∧ v|x > Observem que: Vol{u,v,x} = | < u ∧ v|x > | Proposici´ o 8.7.3: El producte vectorial compleix ∀u, z, v ∈ E3 , 1) u ∧ v = −v ∧ u.
2) (λu) ∧ v = λ · (u ∧ v).
∀λ ∈ R: 3) 4) 5) 6) (u + z) ∧ v = (u ∧ v) + (z ∧ v).
u ∧ v ´es ortogonal a u i a v.
u ∧ v = 0 ⇐⇒ {u, v} s´ on linealment dependents.
Si u ∧ v = 0, llavors {u, v, u ∧ v} ´es una base amb la mateixa orientaci´o que la de refer`encia.
Demostraci´ o: ∀x ∈ E3 , 1) < u ∧ v|x >= det3 (u, v, x) = −det3 (v, u, x) = − < v ∧ u|x > < (u ∧ v) + (v ∧ u)|x >= 0 =⇒ (u ∧ v) + (v ∧ u) = 0 2) (λu) ∧ v|x >= det3 (λu, v, x) = λ · det3 (u, v, x) = λ < u ∧ v|x > < ((λu) ∧ v) − λ(u ∧ v)|x >= 0 =⇒ ((λu) ∧ v) − λ(u ∧ v) = 0 3) < (u + z) ∧ v|x >= det3 (u + z, v, x) = det3 (u, v, x) + det3 (z, v, x) = < u ∧ v|x > + < z ∧ v|x >=< (u ∧ v) + (z ∧ v)|x > Algweb 4) < u ∧ v|u >= det3 (u, v, u) = 0 < u ∧ v|v >= det3 (u, v, v) = 0 5) ⇐=) Si v = αu, < u ∧ v|x >= det3 (u, αu, x) = 0 En particular ser` a cert per x = u ∧ v, < u ∧ v|u ∧ v >= 0 =⇒ u ∧ v = 0 =⇒) Ho demostrarem per reducci´ o a l’absurd. Suposem que u ∧ v = 0 i els vectors {u, v} s´on linealment independents. Llavors existir´ a un vector w ∈ E3 tal que {u, v, w} ´es base de E3 ,i 0 = det3 (u, v, w) =< u ∧ v|w >=< 0|w >= 0 6) Segons l’apartat anterior els vectors {u, v} s´on linealment independents.
0 =< u ∧ v|u ∧ v >= det3 (u, v, u ∧ v) = u ∧ v 2 > 0 aix`o implica que els tres vectors s´ on linealment independents i al ser el determinant positiu t´e la mateixa orientaci´o que la base de reefer`encia.
Proposici´ o 8.7.4: Sigui la base ortonormal V = {e1 , e2 , e3 }, i dos vectors u, v ∈ E3 , uV = (u1 , u2 , u3 ), vV = (v 1 , v 2 , v 3 ) es verifica: 1) e1 ∧ e2 = e3 ; e2 ∧ e3 = e1 ; e3 ∧ e1 = e2 .
2) u ∧ v = (u2 v 3 − u3 v 2 )e1 + (u3 v 1 − u1 v 3 )e2 + (u1 v 2 − u2 v 1 )e3 .
Demostraci´ o: ∀x ∈ E3 1) 3 3 xi < e1 ∧ e2 |ei >= x3 < e1 ∧ e2 |e3 >= x3 det3 (e1 , e2 , e3 ) = x3 i < e1 ∧ e2 |x >=< e1 ∧ e2 | x ei >= i=1 i=1 3 xi < e3 |ei >= x3 < e3 |e3 >= x3 < e3 |x >= i=1 < (e1 ∧ e2 ) − e3 |x >= 0 =⇒ (e1 ∧ e2 ) − e3 = 0 Les dues expressions que queden es demostren de forma an`aloga.
2) En primer lloc observem que es verifica: 3 ∀j = 1, 3 3 xi ei |ej >= < x|ej >=< i=1 Sigui i=1 w = u ∧ v = w1 e1 + w2 e2 + w3 e3 u1 w =< u ∧ v|e1 >= det3 (u, v, e1 ) = u2 u3 1 u1 w =< u ∧ v|e2 >= det3 (u, v, e2 ) = u2 u3 2 v1 v2 v3 v1 v2 v3 1 u2 0 = 3 u 0 0 u1 1 =− 3 u 0 u1 w =< u ∧ v|e3 >= det3 (u, v, e3 ) = u2 u3 Algweb xi < ei |ej >= xj 3 v1 v2 v3 v2 = u2 v 3 − u3 v 2 v3 u3 v1 3 = v u1 0 u1 0 = 2 u 1 v3 = u3 v 1 − u1 v 3 v1 v1 = u1 v 2 − u2 v 1 v2 Proposici´ o 8.7.5: ∀u, v, w ∈ E3 1) (u ∧ v) ∧ w =< u|w > v− < v|w > u (el producte vectorial no ´es associatiu) 2) (u ∧ v) ∧ w + (v ∧ w) ∧ u + (w ∧ u) ∧ v = 0 (Identitat de Jacobi) Demostraci´ o: 1) Considerem dues opcions: 1.1) u ∧ v = 0 Llavors els vectors s´ on linealment dependents i podrem escriure u = αv, d’on: < u|w > v− < v|w > u = α < v|w > v − α < v|w > v = 0 i la igualtat de l’enunciat ´es certa.
1.2) u ∧ v = 0 Tenim que u ∧ v ∈< u, v >⊥ R , d’on ((u ∧ v) ∧ w) ∈< u, v >R , per tant: (u ∧ v) ∧ w = αv + βu Aquest vector ha d’esser tamb´e ortogonal a w, d’on resulta que: < αv + βu|w >= 0; ´es a dir, α < v|w >= −β < u|w > 1.2.1) Si w = λ(u ∧ v) ens queda: α=β=0 (u ∧ v) ∧ w = 0 1.2.2) Si w = λ(u ∧ v) (u ∧ v) ∧ w = 0 α2 + β 2 = 0 Llavors almenys un dels dos productes escalars ´es diferent de zero: Si < u|w >= 0, llavors α = 0, ja que en cas contrari α = β = 0.
< v|w > −β = < u|w > α i existeix un valor a ∈ R: β = −a < v|w > α = a < u|w > Si < v|w >= 0, llavors β = 0, ja que en cas contrari α = β = 0, < u|w > α = < v|w > −β i existeix un valor a ∈ R: β = −a < v|w > α = a < u|w > Algweb i obtenim: (u ∧ v) ∧ w = a(< u|w > v− < v|w > u) Per veure que a = 1 calculem la primera coordenada d’aquest vector: (u3 v 1 − u1 v 3 )w3 − (u1 v 2 − u2 v 1 )w2 = a[(u1 w1 + u2 w2 + u3 w3 )v 1 − (v 1 w1 + v 2 w2 + v 3 w3 )u1 ] D’aqu´ı resulta a = 1.
2) Apliquem l’apartat anterior: (u ∧ v) ∧ w + (v ∧ w) ∧ u + (w ∧ u) ∧ v = < u|w > v− < v|w > u+ < v|u > w− < w|u > v+ < w|v > u− < u|v > w = 0 Proposici´ o 8.7.6: ∀u1 , u2 , v1 , v2 ∈ E3 : < u1 ∧ u2 |v1 ∧ v2 >=< u1 |v1 >< u2 |v2 > − < u1 |v2 >< u2 |v1 > Demostraci´ o: < u1 ∧ u2 |v1 ∧ v2 >=< v1 ∧ v2 |u1 ∧ u2 >= det3 (v1 , v2 , u1 ∧ u2 ) = det3 (u1 ∧ u2 , v1 , v2 ) = < (u1 ∧ u2 ) ∧ v1 |v2 >=<< u1 |v1 > u2 − < u2 |v1 > u1 |v2 >=< u1 |v1 >< u2 |v2 > − < u1 |v2 >< u2 |v1 > Corol·lari 8.7.7: u∧v 2 =< u ∧ v|u ∧ v >=< u|u >< v|v > − < u|v >< v|u >= u 2 · v 2 En el cas de R3 amb el producte escalar can`onic: u∧v 2 = u 2 · v 2 − u 2 · v 2 cos2 α = u u ∧ v = u · v · |sin α| 2 · v 2 sin2 α − (< u|v >)2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports ´ D’ENDOMORFISMES I MATRIUS 9. REDUCCIO En tot aquest tema, E representar` a un espai vectorial sobre K ∈ {R, C}. Quan E sigui de dimensi´o finita, escriurem En per representar el fet que dimK En = n ∈ N∗ .
9.1 Valors i vectors propis d’un endomorfisme Sigui f ∈ LK (E, E), i sigui x ∈ E. Es diu que x ´es un vector propi de f (o Definici´ o 9.1.1 autovector de f ) si verifica: ∃ λ ∈ K tal que f (x) = λx Proposici´ o 9.1.1 Sigui f ∈ LK (E, E). El vector 0 ´es vector propi de f .
Algweb ´ directe del fet que f (0) = 0 = µ · 0, per a qualsevol µ ∈ K.
Demostraci´ o 9.1.1 Es Definici´ o 9.1.2 Sigui f ∈ LK (E, E), i sigui λ ∈ K. Es diu que λ ´es un valor propi de f (o autovalor de f ) si verifica: ∃ x ∈ E, x = 0 tal que f (x) = λx Definici´ o 9.1.3 Sigui f ∈ LK (E, E). Sigui x un vector propi de f , i sigui λ ∈ K un valor propi de f . Si es verifica que f (x) = λx, es diu que x ´es un vector propi associat a λ i, rec´ıprocament, que λ ´es un valor propi associat a x.
Exemple 9.1.1 Sigui f ∈ LR (R2 , R2 ) definit com: ∀ (x, y) ∈ R2 : f (x, y) = (x + 2y, 2x + y) λ = 3 ∈ R ´es un valor propi de f ja que, per exemple: f (1, 1) = (3, 3) = 3 · (1, 1) , essent llavors (1, 1) un vector propi de f associat a λ = 3. Tamb´e λ = −1 ∈ R ´es valor propi de f . En efecte, el vector no nul (1, −1) ´es propi de f associat a λ = −1 : f (1, −1) = (−1, 1) = −1 · (1, −1) En canvi, λ = 2 ∈ R no ´es valor propi de f : si plantegem l’equaci´o f (x, y) = 2(x, y) , trobem que: (x + 2y, 2x + y) = 2(x, y) =⇒ (x + 2y, 2x + y) = (2x, 2y) =⇒ =⇒ (−x + 2y, 2x − y) = (0, 0) =⇒ (x, y) = (0, 0).
Essent (0, 0) l’´ unica soluci´ o de l’equaci´ o, deduim que λ = 2 no ´es valor propi de f .
Exemple 9.1.2 Sigui E l’espai vectorial real de les funcions f : R → R que s´on derivables fins a qualsevol ordre, per a tot x ∈ R, ´es a dir: E = {f / f : R → R ´es una funci´ o per a la que existeix dk f dxk per a tot k ∈ N∗ i tot x ∈ R} , amb la suma i el producte per escalars habituals per a les funcions reals de variable real. Sigui ara D ∈ LR (E, E) definit com segueix: ∀ f ∈ E : D(f ) = df dx Llavors, qualsevol λ ∈ R, λ = 0, ´es un valor propi de D, ja que: D(eλx ) = deλx dx = λeλx , on eλx ∈ E ´es diferent de la funci´ o zero (per tant, ´es un vector propi de D associat al valor propi λ).
Tamb´e λ = 0 ´es un valor propi de D. Si prenem f ∈ E definida com f (x) = 2, ∀x ∈ R (no ´es la funci´o zero): D(f ) = df dx =0=0·f , i f ´es un vector propi de D associat a λ = 0.
Sigui f ∈ LK (E, E), i sigui λ ∈ K. Es verifica: Algweb Proposici´ o 9.1.2 λ ´es valor propi de f ⇐⇒ Ker(f − λIdE ) = {0} Demostraci´ o 9.1.2 λ ∈ K ´es valor propi de f si i nom´es si (per definici´o) existeix algun x = 0 tal que f (x) = λx. Per` o f (x) = λx ⇐⇒ f (x) − λIdE (x) = 0 ⇐⇒ (f − λIdE )(x) = 0 ⇐⇒ x ∈ Ker(f − λIdE ) , d’on es dedueix el resultat.
Definici´ o 9.1.4 Sigui f ∈ LK (E, E), i sigui λ ∈ K un valor propi de f . El subespai vectorial Ker(f − λIdE ) = {0} s’anomena subespai propi de f associat a λ, i se sol simbolitzar per Vf (λ).
Proposici´ o 9.1.3 Sigui f ∈ LK (E, E), i siguin λ, µ ∈ K, valors propis de f tals que λ = µ.
Llavors: Vf (λ) ∩ Vf (µ) = {0}.
Demostraci´ o 9.1.3 expressions: Sigui x ∈ Vf (λ) ∩ Vf (µ). Llavors: f (x) = λx = µx. Restant les dues darreres (λ − µ) x = 0, d’on s’obt´e x = 0 ja que λ = µ Proposici´ o 9.1.4 Sigui f ∈ LK (E, E), i siguin λ1 , λ2 , . . . , λq (q ∈ N∗ , q ≥ 2) valors propis de f , diferents dos a dos. Siguin x1 , x2 , . . . , xq vectors de E tals que, per a cada j = 1, q, es verifiqui xj ∈ Ker(f − λj IdE ) (´es a dir, f (xj ) = λj xj ). Llavors: x1 + x2 + . . . xq = 0 =⇒ {x1 = 0, x2 = 0, . . . , xq = 0} Demostraci´ o 9.1.4 Fem la demostraci´ o per inducci´o sobre q : [ q = 2 ] Sobre l’expressi´ o multipliquem-la per λ2 : x1 + x2 = 0 aplicarem dos tipus de manipulacions. En primer lloc, λ2 x1 + λ2 x2 = 0 En segon lloc, podem aplicar f als dos cantons de l’equaci´o primera, obtenint: f (x1 ) + f (x2 ) = f (0), ´es a dir, λ1 x1 + λ2 x2 = 0 Restant les dues expressions obtingudes: (λ2 − λ1 )x1 = 0 Com que λ2 = λ1 , s’obt´e: x1 = 0. Substituint a l’equaci´o inicial, deduim que x2 = 0.
[ q = m ] Suposem cert: x1 + x2 + . . . xm = 0 =⇒ {x1 = 0, x2 = 0, . . . , xm = 0} [ q = m + 1 ] Procedim an` alogament al cas q = 2. Sobre l’expressi´o x1 + x2 + . . . + xm + xm+1 = 0 apliquem dos tipus de manipulacions: Algweb Si la multipliquem per λm+1 : λm+1 x1 + λm+1 x2 + . . . + λm+1 xm + λm+1 xm+1 = 0 Si apliquem f : λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λm xm + λm+1 xm+1 = 0 Restant les dues expressions obtingudes: (λm+1 − λ1 )x1 + (λm+1 − λ2 )x2 + . . . + (λm+1 − λm )xm = 0 Per`o, per qualsevol j = 1, m, tenim que (λm+1 − λj )xj ∈ Ker(f − λj IdE ). Per tant, a partir de l’equaci´o anterior i aplicant la hip` otesi d’inducci´ o, obtenim: ∀j = 1, m : (λm+1 − λj )xj = 0 I, en ser λm+1 = λj per a cada j = 1, m, deduim: x1 = x2 = . . . = xm = 0 Substituint finalment aquests valors a l’equaci´o x1 + x2 + . . . + xm + xm+1 = 0, obtenim tamb´e xm+1 = 0, finalitzant la demostraci´ o.
Proposici´ o 9.1.5 Sigui f ∈ LK (E, E), i siguin λ1 , λ2 , . . . , λq (q ∈ N∗ , q ≥ 2) valors propis de f , diferents dos a dos. Siguin B1 , B2 , . . . , Bq , sistemes lliures de E tals que, per a cada j = 1, q, es verifiqui Bj ⊂ Ker(f − λj IdE ). Llavors, es verifica: B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bq ´es un sistema lliure format per vectors propis de f Demostraci´ o 9.1.5 Que B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bq ´es un sistema de vectors propis de f ´es evident, ja que cada Bj ´es un sistema de vectors propis de f associats al valor propi λj (∀j = 1, q). Ara, qualsevol combinaci´o lineal de B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bq igualada a 0 es pot escriure com: x1 + x2 + . . . + xq = 0 , on, per a cada j = 1, q, el vector xj ´es combinaci´o lineal de Bj (essent inc`ognites els escalars que defineixen aquesta combinaci´ o lineal de Bj ) i, per tant, xj ∈ Ker(f − λj IdE ). Aix´ı, aplicant la proposici´o 9.1.4, obtenim: x1 = 0, x2 = 0, . . . , xq = 0 Ara, per cada j = 1, q, com que Bj ´es un sistema lliure, els escalars que apareixen en xj com a combinaci´o lineal de Bj han de ser tots nuls. Per tant, qualsevol combinaci´o lineal de B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bq igualada a zero d´ona tots els escalars nuls, indicant que B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bq ´es un sistema lliure.
• Comentari : A partir d’ara, tractarem amb endomorfismes definits sobre espais vectorials de dimensi´ o finita.
Proposici´ o 9.1.6 Siguin f ∈ LK (En , En ), V una base de En , i λ ∈ K. Llavors: λ ´es valor propi de f ⇐⇒ detn ([f ]V − λIn ) = 0 Demostraci´ o 9.1.6 Observem en primer lloc que [f − λIdEn ]V = [f ]V − λIn . En segon lloc, com que n = dimK Ker(f − λIdEn ) + rang(f − λIdEn ), tenim que: Algweb Ker(f − λIdEn ) = {0} ⇐⇒ rang(f − λIdEn ) = n ⇐⇒ detn [f − λIdEn ]V = 0 Tenint en compte la primera observaci´ o d’aquesta demostraci´o i la proposici´o 9.1.2, obtenim el resultat.
Definici´ o 9.1.5 (1) (2) (3) Siguin f ∈ LK (En , En ), i V una base de En .
Anomenem polinomi caracter´ıstic de f (i se simbolitza per pf (x)) a: pf (x) = detn ([f ]V − xIn ) S’anomena equaci´ o caracter´ıstica de f a l’equaci´o en x : pf (x) = 0 S’anomena soluci´ o caracter´ıstica de f (o tamb´e zero del polinomi caracter´ıstic de f ) a tota soluci´ o de l’equaci´ o caracter´ıstica (pertanyi o no aquesta soluci´o al cos K).
N ota: Segons la proposici´ o 9.1.6, podem afirmar que els valors propis d’un endomorfisme f ∈ LK (En , En ) s´ on aquelles solucions caracter´ıstiques de f que pertanyin al cos K. Per altra banda, es veu sense dificultat que si f ∈ LK (En , En ), llavors pf (x) ´es un polinomi de grau n amb coeficients en K, n essent el coeficient de xn igual a (−1) . Tampoc costa gaire veure que el polinomi pf (x) no dep`en de la base de En triada per a calcular-lo.
Exemple 9.1.3 Siguin E3 un espai vectorial real f ∈ LR (E3 , E3 ) un endomorfisme definit com:  1 −2 [f ]V =  4 8 −3 −9 de dimensi´o 3, V una base de E3 , i  −2 1  −2 Llavors: pf (x) = 1−x −2 −2 1−x −2 0 1−x −2 0 (1) (2) (3) 4 8−x 1 = 4 8 − x −7 + x = 1 −1 − x 0 = −3 −9 −2 − x −3 −9 7−x −3 −9 7−x (3) = (7 − x) 1−x −2 = (7 − x)(x2 + 1) 1 −1 − x ( Justificaci´ o: (1) : Operaci´ o elemental de columna c3 − c2 (2) : Operaci´ o elemental de fila f2 + f3 (3) : Desenvolupament per c3 ) Aix´ı: pf (x) = 0 =⇒ 7 − x = 0 =⇒ x = 7 x2 + 1 = 0 =⇒ x = i, x = −i Per tant, les solucions caracter´ıstiques de f s´on 7, i, − i, mentre que l’´ unic valor propi ´es λ = 7.
` Admetrem sense demostraci´ o el seg¨ uent teorema, conegut com Teorema fonamental de l’Algebra o Teorema de D’Alembert-Gauss.
Teorema 9.1.7 El cos C ´es algebraicament tancat; ´es a dir, tot polinomi de C[x] de grau no nul admet almenys una arrel en C.
Algweb Observem que aquest teorema implica, per a tot polinomi p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + . . . + pn xn ∈ C[x], amb n ≥ 1 i pn = 0 :   ∗  ∃q∈N , q≤n  m m m p(x) = pn (x − λ1 ) 1 (x − λ2 ) 2 · . . . (x − λq ) q ∃ {λ1 , λ2 , . . . , λq } ⊂ C, λi = λj , ∀i = j tals que m1 + m2 + . . . + mq = n   ∃ m1 , m2 , . . . , mq ∈ N∗ Els nombres naturals no nuls m1 , m2 , . . . , mq s’anomenen multiplicitats de λ1 , λ2 , . . . , λq , i se sol escriure, per a cada j = 1, q : mj = m(λj ). Per suposat, aix`o ´es v`alid pel polinomi caracter´ıstic d’un n endomorfisme f ∈ LK (En , En ), pel qual es pot veure que el coeficient de xn ´es igual a (−1) . Aix´ı, per a tot f ∈ LK (En , En ) podrem escriure: n m m mq pf (x) = (−1) · (x − λ1 ) 1 · (x − λ2 ) 2 · . . . · (x − λq ) m m m = (λ1 − x) 1 · (λ2 − x) 2 · . . . · (λq − x) q = N ota Hist` orica : Una de les caracter´ıstiques d’aquest teorema ´es la de no ser purament algebraic; per demostrar-lo, cal usar no nom´es les propietats algebraiques de C, sino tamb´e les propietats topol`ogiques.
La invenci´ o del nombres complexs (anomenats en un primer moment imaginaris) en el segle XV I, seguida r`apidament per la resoluci´ o de les equacions de tercer i quart grau amb coeficients en C, que tenen, respectivament, 3 i 4 arrels en C, juntament amb el fet de que l’equaci´o xn = a t´e n arrels en C, va fer intuir des del segle XV II que tota equaci´o de grau n amb coeficients en C tenia n arrels en C (naturalment, tenint en compte que podis haver-ne de repetides). Alguns matem`atics del segle XV III i en particular D’Alembert van fer demostracions incorrectes; ho va aconseguir Gauss a principis del segle XIX. Va donar quatre demostracions diferents.
Proposici´ o 9.1.8 (1) (2) Sigui f ∈ LK (En , En ). Es verifica: Si K = C, llavors tota soluci´ o caracter´ıstica de f ´es valor propi de f .
Si K = R, i λ ∈ C − R ´es soluci´ o caracter´ıstica de f (λ no ´es valor propi) amb mutiplicitat m(λ), ¯ tamb´e ´es soluci´ ¯ = m(λ).
llavors λ o caracter´ıstica de f , amb multiplicitat m(λ) Demostraci´ o 9.1.8 [ 1 ] Es conseq¨ u`encia directa del punt 1 del teorema 9.1.7.
[ 2 ] Sigui V una base de En . Conjugant l’expressi´o detn ([f ]V − λIn ) = 0 (tenint present que les matrius ¯ n ) = 0 i, per tant, λ ¯ ´es soluci´o caracter´ıstica de f .
[f ]V i In s´on reals), obtenim que detn ([f ]V − λI Suposem ara que λ1 , . . . , λs ´es el conjunt de valors propis (∈ R) de f , diferents dos a dos, i que ¯ s+1 , . . . , λq , λ ¯ q s´ λs+1 , λ on les solucions caracter´ıstiques no reals de f (tamb´e diferents dos a dos). Llavors, podem escriure: pf (x) = s j=1 m(λj ) (λj − x) · q k=s+1 (λk − x) m(λk ) · q k=s+1 (λk − x ¯) m(λk ) (λk − x) Conjugant aquesta expressi´ o, obtenim: pf (x) = s j=1 m(λj ) (λj − x ¯) m(λk ) m(λk ) (λk − x ¯) Llavors, per a qualsevol nombre real x, podem escriure (recordem que λ1 , . . . , λs s´on reals): pf (x) = s j=1 m(λj ) (λj − x) · q k=s+1 m(λk ) (λk − x) m(λk ) (λk − x) Ara, considerant a pf (x) com una funci´o real de variable real, tenim que pf (x) = pf (x). Com que les multiplicitats s´ on u ´niques, obtenim finalment: Algweb m(λs+1 ) = m(λs+1 ) , . . . , m(λq ) = m(λq ) Proposici´ o 9.1.9 m. Es verifica: Sigui f ∈ LK (En , En ). Sigui λ ∈ K un valor propi de f , amb multiplicitat 1 ≤ dimK Ker(f − λIdEn ) ≤ m Demostraci´ o 9.1.9 En ser λ un valor propi, sabem que Ker(f − λIdEn ) = {0} i, per tant, dimK Ker(f − λIdEn ) ≥ 1.
Suposem que dimK Ker(f − λIdEn ) = d. Comencem per prendre una base de Ker(f − λIdEn ) : { v1 , v2 , . . . , vd } Ara, ampliem aquesta base fins aconseguir una base de En : V = { v1 , v2 , . . . , vd , vd+1 , . . . , vn } Llavors, podem escriure: f (v1 ) = λv1 , . . . , f (vd ) = λvd , ∀j = d + 1, n : f (vj ) = n i=1 aij vi , donant la seg¨ uent matriu associada:  a1(d+1) . . . a1n  ..
..
on A =  .
.
ad(d+1) . . . adn triangular per blocs, obtenim: [f ]V = λ · Id 0 A B ,    i B ∈ MK ((n − d) × (n − d)). Per tant, tractant-se d’una matriu d pf (x) = (λ − x) · r(x) , on r(x) = detn−d (B − xIn−d ) ´es un polinomi de grau n − d. Per`o tamb´e sabem que podem escriure m pf (x) = (λ − x) · q(x), on q(x) ´es un polinomi que no cont´e cap pot`encia de (λ − x). Aix´ı doncs, m d igualant les dues expressions obtingudes per a pf (x), tenim que: (λ − x) · q(x) = (λ − x) · r(x), obligant a que d ≤ m (altrament, q(x) contindria alguna pot`encia de (λ − x)).
Sigui f ∈ LK (En , En ). Sigui λ ∈ K un valor propi de f , amb multiplicitat Corol·lari 9.1.10 m = 1. Es verifica: dimK Ker(f − λIdEn ) = 1 Siguin f ∈ LK (En , En ), i λ ∈ K un valor propi de f amb multiplicitat m.
Proposici´ o 9.1.11 Es verifica: 2 Ker(f − λIdEn ) = Ker(f − λIdEn ) ⇐⇒ dimK Ker(f − λIdEn ) = m Algweb Demostraci´ o 9.1.11 Per fer m´es c`omoda la demostraci´o, definim F1 = Ker(f − λIdEn ), 2 F2 = Ker(f − λIdEn ) . Clarament, tenim que F1 ⊂ F2 , ja que, ∀ x ∈ F1 : 2 (f − λIdEn )(x) = 0 ⇒ (f − λIdEn )( (f − λIdEn )(x) ) = 0 ⇒ (f − λIdEn ) (x) = 0 ⇒ x ∈ F2 Suposem a partir d’ara que dimK F1 = d ≤ n. Sigui W={v1 , . . . , vd } una base de F1 . Com hem vist en la demostraci´ o de la proposici´ o 9.1.9, es pot ampliar W fins a una base V de En tal que: λ · Id [f ]V = A B , (1) d on A ∈ MK (d × (n − d)), i B ∈ MK ((n − d) × (n − d)). Per tant, pf (x) = (λ − x) · detn−d (B − xIn−d ).
[ ⇐= ] Demostrarem el contrarec´ıproc. Suposem que F2 = F1 . Com que F1 ⊂ F2 , podem considerar que la base V ´es una ampliaci´ o d’una base de F2 , essent els primers vectors de V els de la base W (base de F1 ): {v1 , . . . , vd , vd+1 , . . . , vq } (base de F2 ) V = {v1 , . . . , vd , vd+1 , . . . , vq , vq+1 , . . . , vn } (base de En ) 2 Fixem-nos en vd+1 ∈ F2 . Com que (f − λIdEn ) (vd+1 ) = 0, aix`o implica que (f − λIdEn )(vd+1 ) ∈ F1 , ´es a dir: ∃ a1(d+1) , . . . , ad(d+1) ∈ K tals que (f − λIdEn )(vd+1 ) = o, equivalentment, d i=1 f (vd+1 ) = ( aid+1 vi ) + λvd+1 Per tant:      [f ]V =     λ ..
− .
− a1(d+1) ..
.
λ ad(d+1) λ − − |  | A˜ | | | − ˜ | B      ,    ˜ ´es una matriu quadrada d’ordre n − (d + 1). Aix´ı doncs: on ara B d i=1 aid+1 vi , d+1 pf (x) = (λ − x) ˜ − xIn−(d+1) ) , · detn−(d+1) (B i m ≥ d + 1 > d.
[ =⇒ ] Demostrarem el contrarec´ıproc. Suposem que dimK F1 = d < m. A partir de l’expressi´o (1), sabem d que pf (x) = (λ − x) · detn−d (B − xIn−d ). Per`o, en ser d < m, tenim que detn−d (B − λIn−d ) = 0, ja que detn−d (B −xIn−d ) ha de contenir alguna pot`encia de (λ−x). Si g ∈ LK (Kn−d , Kn−d ) ´es un endomorfisme tal que [g]S = B (on S ´es la base can` onica de Kn−d ), resulta que detn−d ([g]S − λIdKn−d ) = 0, i λ ´es valor propi de g. Per tant, existeix u ∈ Kn−d , u = 0, tal que (g − λIdKn−d )(u) = 0. Transcrivint-ho a matrius: [g − λIdKn−d ]S · [u]S = [0](n−d)×1 , ´es a dir : (B − λIn−d )U = [0](n−d)×1 , on U = [u]S = [0](n−d)×1 . Definim ara w ∈ En com:   0  ...   [w]V =   0  ∈ MK (n × 1) U Obviament, w = 0. Demostrarem que w ∈ F2 i que w ∈ F1 , amb la qual cosa haurem acabat (no podr`a ser F2 = F1 ).
{ w ∈ F1 } Observeu que: Algweb F1 = < v1 = (1, 0, . . . , 0)V , v2 = (0, 1, 0, . . . , 0)V , . . . , vd = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)V >K , la qual cosa vol dir que tot vector de F1 t´e nul·les les darreres n − d coordenades (en base V ). Com que w t´e diferent de zero alguna d’aquestes darreres n − d coordenades (ja que U = [0](n−d)×1 ), resulta que w ∈ F1 .
{ w ∈ F2 } A partir de l’expressi´ o (1), obtenim: [f − λIdEn ]V = 0 A (B − λIn−d ) , Per tant, simbolitzant de forma compacta la matriu [w]V per 2 2 [(f − λIdEn ) (w)]V = ([f − λIdEn ]V ) · [w]V = = A(B − λIn−d )U 2 (B − λIn−d ) U 0 A(B − λIn−d ) 2 (B − λIn−d ) 2 ([f − λIdEn ]V ) = 0 U 0 A(B − λIn−d ) 2 (B − λIn−d ) : · 0 U = = [0]n×1 , en ser (B − λIn−d )U = [0](n−d)×1 . Per tant, w ∈ F2 .
9.2 Diagonalitzaci´ o d’endomorfismes Lema 9.2.1 Sigui f ∈ LK (En , En ), i sigui W una base de En tal que [f ]W sigui matriu triangular. Llavors, tota soluci´ o caracter´ıstica de f pertany a K (´es valor propi), i els elements diagonals de [f ]W corresponen als valors propis de f , apareixent repetit cadascun d’ells en la diagonal de [f ]W tantes vegades com indica la seva multiplicitat.
Demostraci´ o 9.2.1 Suposarem que [f ]W ´es triangular superior (el cas triangular inferior ´es an`aleg):   a11 a12 . . . a1n a22 . . . a2n    ∈ MK (n × n) [f ]W =  ..
..
  .
.
ann Llavors: a11 − x pf (x) = a12 ...
a22 − x . . .
..
.
a1n a2n ..
.
= (a11 − x)(a22 − x) . . . (ann − x) ann − x Aix´ı, les solucions a pf (x) = 0 s´ on x = a11 , x = a22 , . . . , x = ann . Com que per a tot j = 1, n ´es ajj ∈ K, resulta que a11 , a22 , . . . , ann s´ on valors propis de f . Per altra banda, si {ai1 i1 , ai2 i2 , . . . , aiq ,iq } ´es el conjunt d’elements diagonals de [f ]W diferents entre s´ı dos a dos, i anomenem ris al nombre de vegades que apareix el terme ais is en la diagonal de [f ]W (per a tot s = 1, q), podrem escriure: ri1 pf (x) = (ai1 i1 − x) ri2 (ai2 i2 − x) riq . . . (aiq iq − x) , indicant que ris ´es la multiplicitat del valor propi ais is (per a tot s = 1, q).
Definici´ o 9.2.1 Sigui f ∈ LK (En , En ). Es diu que f ´ es diagonalitzable si existeix una base N de En tal que la matriu [f ]N ´es matriu diagonal. En cas d’existir N , es diu que f diagonalitza en base N .
Algweb Proposici´ o 9.2.2 Sigui f ∈ LK (En , En ), i sigui N una base de En . Es verifica: f diagonalitza en base N ⇐⇒ N est`a formada per vectors propis de f Demostraci´ o 9.2.2 Sigui N = {e1 , . . . , en }. Observeu que, ∀ j = 1, n : { ∃ µj ∈ K / f (ej ) = µj ej = (0, . . . , 0, µj , 0, . . . , 0)N } ⇐⇒ ej ´es vector propi de f Per tant:   [f ]N =   µ1  µ2 ..
   .
⇐⇒ N est`a formada per vectors propis de f µn Teorema 9.2.3 (Teorema General de diagonalitzaci´ o) Sigui f ∈ LK (En , En ). Siguin {λ1 , λ2 , . . . , λq } el conjunt de solucions caracter´ıstiques de f , diferents entre s´ı dos a dos, amb multiplicitats respectives m(λ1 ), m(λ2 ), . . . , m(λq ). Llavors, es verifica: f ´es diagonalitzable ⇐⇒ (1) ∀ j = 1, q : λj ∈ K (2) ∀ j = 1, q : dimK Ker(f − λj IdEn ) = m(λj ) Demostraci´ o 9.2.3 [ =⇒ ] f diagonalitza en una certa base N de En , ´es a dir, [f ]N ´es matriu diagonal. Per tant, segons el lema 9.2.1, tota soluci´ o caracter´ıstica de f ´es valor propi de f (per tant, pertany a K).
Per a veure el punt 2, recordem que per a tot j = 1, q tenim que dimK Ker(f −λj IdEn ) ≤ m(λj ) (veure proposici´o 9.1.9). Suposem que dimK Ker(f − λs IdEn ) < m(λs ) per alg´ un s ∈ {1, 2, . . . , q}, i arribem a un absurd. En efecte, com que el nombre m`axim de vectors propis de f linealment independents ´es q o 9.1.5), i com que m(λ1 ) + m(λ2 ) + . . . + m(λq ) = n, tenim: j=1 dimK Ker(f − λj IdEn ) (veure proposici´ q j=1 dimK Ker(f − λj IdEn ) < q j=1 m(λj ) = n , i el nombre m` axim de vectors propis linealment independents ´es estrictament m´es petit que n, amb la qual cosa ´es impossible que existeixi una base de En formada per vectors propis (absurd, ja que f ´es diagonalitzable).
[ ⇐= ] Podem escriure: q j=1 dimK Ker(f − λj IdEn ) = q j=1 m(λj ) = n , essent la primera igualtat deguda al punt 2 de la hip`otesi. Per tant, hi ha n vectors propis de f que s´on linealment independents, ´es a dir, formen base de En . Llavors, la proposici´o 9.2.2 permet garantir que f ´es diagonalitzable.
Sigui V una base de R4 , i sigui f ∈ LR (R4 , R4 ) definit com: Exemple 9.2.1   [f ]V =  5 2 −2 4 0 0 0 5 3 0 0 2 0 0 6 5    Algweb Es tracta de veure si f ´es diagonalitzable i, en cas afirmatiu, trobar una base de R4 on la matriu associada a f sigui diagonal.
pf (x) = 5−x 0 0 0 2 5−x 3 0 −2 0 2−x 0 4 0 6 5−x 3 = (x − 5) (x − 2) Per tant, les solucions caracter´ıstiques de f s´on λ1 = 5 i λ2 = 2, amb multiplicitats respectives m(5) = 3 i m(2) = 1. Com que totes dues solucions caracter´ıstiques pertanyen al cos R (per tant, s´on valors propis de f ), es verifica el punt 1 del teorema general de diagonalitzaci´o. Continuem, provant de veure si ´es cert el punt 2 d’aquest teorema.
[ λ1 = 5 ] A partir de la matriu   [f − 5IdR4 ]V = [f ]V − 5I4 =  0 2 −2 4 0 0 0 0 3 0 0 −3 0 0 6 0    , trobem sense dificultats que dimR Ker(f − 5IdR4 ) = 3 = m(5) i, per tant, el punt 2 del teorema general de diagonalitzaci´ o es verifica per aquest valor propi. Malgrat que encara no ens cal, trobem una base de Ker(f − 5IdR4 ): { e1 = (−3, 0, 2, 0)V , e2 = (0, 1, 0, 0)V , e3 = (0, 0, 0, 1)V } [ λ2 = 2 ] En aquest cas, sabem segur que dimR Ker(f − 2IdR4 ) = m(2) = 1, gr`acies al corol·lari 9.1.10. Aix´ı doncs, els dos punts del teorema general de diagonalitzaci´o es cumpleixen i, per tant, f ´es diagonalitzable. Ara, nom´es ens cal trobar una base del subespai propi associat a λ2 = 2. Sense gaire dificultats, obtenim: { e4 = (0, 1, −1, 2)V } Una base on f diagonalitza la podem trobar amb els vectors e1 , e2 , e3 , e4 . Per exemple: N = { e1 = (−3, 0, 2, 0)V , e2 = (0, 1, 0, 0)V , e3 = (0, 0, 0, 1)V , e4 = (0, 1, −1, 2)V } I, llavors: 5 0 0 0   [f ]N =  0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 2    , matriu diagonal. Observeu que l’ordre dels valors propis en la diagonal de [f ]N es correspon amb l’ordenaci´o dels vectors propis en la base N : els tres primers elements diagonals s´on iguals a λ1 = 5 perque els tres primers vectors de N s´ on propis associats a λ1 = 5, i en ser l’´ ultim vector de N un vector propi associat a λ2 = 2, aquest valor propi apareix en darrera posici´o en la diagonal de [f ]N . Llavors, si, per exemple, en comptes de la base N hagu´essim triat la base: W = { e1 = (−3, 0, 2, 0)V , e4 = (0, 1, −1, 2)V , e3 = (0, 0, 0, 1)V , e2 = (0, 1, 0, 0)V } , tindriem la matriu diagonal:   [f ]W =  Exemple 9.2.2 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0 5 0    Sigui E = MR (2 × 2) i sigui f ∈ LR (E, E) l’endomorfisme definit com: ∀A∈E : Algweb 0 0 0 5 f (A) = 2A + At Es tracta de veure si f ´es diagonalitzable i, en cas afirmatiu, trobar una base de E on la matriu associada a f sigui diagonal.
Comencem per triar una base V de E, i escriure E, ´es f`acil de veure que:  3  0 [f ]V =  0 0 la matriu [f ]V . Si triem V com la base can`onica de 0 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 3    3 Llavors: pf (x) = (x − 3) (x − 1), i les solucions caracter´ıstiques de f s´on λ1 = 3 i λ2 = 1, amb multiplicitats respectives m(3) = 3 i m(1) = 1. Com que totes dues solucions caracter´ıstiques pertanyen al cos R (per tant, s´ on valors propis de f ), es verifica el punt 1 del teorema general de diagonalitzaci´o.
Continuem, provant de veure si ´es cert el punt 2 d’aquest teorema.
[ λ1 = 3 ] A partir de la matriu   [f − 3IdE ]V = [f ]V − 3I4 =  0 0 0 0 0 −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 0    , trobem sense dificultats que dimR Ker(f − 3IdE ) = 3 = m(3) i, per tant, el punt 2 del teorema general de diagonalitzaci´ o es verifica per aquest valor propi. Trobem una base de Ker(f − 3IdE ): { e1 = (1, 0, 0, 0)V , e2 = (0, 1, 1, 0)V , e3 = (0, 0, 0, 1)V } [ λ2 = 1 ] En aquest cas, sabem segur que dimR Ker(f −IdE ) = m(1) = 1, gr`acies al corol·lari 9.1.10. Aix´ı doncs, els dos punts del teorema general de diagonalitzaci´o es cumpleixen i, per tant, f ´es diagonalitzable.
Ara, nom´es ens cal trobar una base del subespai propi associat a λ2 = 1. A partir de la matriu   2 0 0 0  0 1 1 0  [f − IdE ]V = [f ]V − I4 =   , obtenim: 0 1 1 0 0 0 0 2 { e4 = (0, 1, −1, 0)V } Per tant, podem definir la base N com: N = { e1 = (1, 0, 0, 0)V , e2 = (0, 1, 1, 0)V , e3 = (0, 0, 0, 1)V , e4 = (0, 1, −1, 0)V } I, llavors:   [f ]N =  3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1    , matriu diagonal.
Teorema 9.2.4 (Teorema Elemental de diagonalitzaci´ o) propis diferents entre s´ı dos a dos, llavors f ´es diagonalitzable.
Si f ∈ LK (En , En ) t´e n valors Algweb Demostraci´ o 9.2.4 Si f t´e n valors propis distints dos a dos, voldr`a dir que tota soluci´o caracter´ıstica ´es valor propi de f . Adem´es, essent la suma de multiplicitats igual a n, cal que m(λ) = 1, per tot λ valor propi de f i, pel corol·lari 9.1.10, tenim que dimK Ker(f − λIdEn ) = m(λ) = 1. Com a conseq¨ u`encia, f ´es diagonalitzable segons el teorema general de diagonalitzaci´o.
Exemple 9.2.3 Sigui V una base de C3 , i sigui f ∈ LC (C3 , C3 ) definit com:   2 + 5i 5i −2 − 3i  [f ]V =  −1 − 4i 1 − 4i 2 + 3i 1 + 4i 1 + 4i −3i Com que pf (x) = (x − (1 + i))(x − 2)(x + 3i), resulta que les solucions caracter´ıstiques de f (valors propis) s´on λ1 = 1 + i, λ2 = 2, i λ3 = −3i (amb multiplicitats respectives m(1 + i) = 1, m(2) = 1 i m(−3i) = 1). Com que hi ha tres valors propis diferents en un espai de dimensi´o tres, deduim que f ´es diagonalitzable, aplicant el teorema elemental de diagonalitzaci´o. Nom´es cal ara trobar bases dels subespais propis de f . Sense gaire problemes, es troben les seg¨ uents bases:  ( Ker(f − (1 + i) IdC3 ) ) { e1 = (2, −1, 1)V }     ( Ker(f − 2 IdC3 ) ) { e2 = (−1, 1, 0)V }     ( Ker(f + 3i IdC3 ) ) { e3 = (1, −1, 1)V } Una base on f diagonalitza la trobem amb els vectors e1 , e2 , e3 .
 1+i N = { e1 , e2 , e3 } , i llavors: [f ]N =  0 0 Per exemple:  0 0  2 0 0 −3i 9.3 Triangulaci´ o d’endomorfismes Definici´ o 9.3.1 (1) Sigui f ∈ LK (En , En ).
Es diu que f ´ es triangulable superiorment si existeix una base Ns de En tal que la matriu [f ]Ns ´es triangular superior. Cas d’existir Ns , diem que f triangula superiorment en base Ns .
(2) Es diu que f ´ es triangulable inferiorment si existeix una base Ni de En tal que la matriu [f ]Ni ´es triangular inferior. Cas d’existir Ni , diem que f triangula inferiorment en base Ni .
(3) Es diu que f ´ es triangulable si ´es triangulable superiorment o triangulable inferiorment. Si f ´es triangulable, diem que f triangula en base N , essent N la base de En on [f ]N ´es matriu triangular.
Proposici´ o 9.3.1 Sigui f ∈ LK (En , En ). Es verifica: (1) Si f ´es diagonalitzable, llavors f ´es triangulable.
(2) f triangulable superiorment ⇐⇒ f triangulable inferiorment.
Demostraci´ o 9.3.1 ´ directe, ja que una matriu diagonal ´es un cas particular de matriu triangular.
[ 1 ] Es [ 2 ] Siguin V = {e1 , e2 , . . . , en−1 , en } i N = {u1 , u2 , . . . , un−1 , un } dues bases de En tals que: Algweb u1 = en , u2 = en−1 , . . . , un−1 = e2 , un = e1 , ´es a dir: 1  [Id]N V 1     =    · · · 1       = [Id]−1 NV    1 Fent un simple producte matricial, es veu sense problemes que: Si [f ]V es matriu triangular superior, [f ]N = [Id]−1 N V [f ]V [Id]N V es matriu triangular inferior Si [f ]V es matriu triangular inferior, [f ]N = [Id]−1 N V [f ]V [Id]N V es matriu triangular superior Teorema 9.3.2 (Teorema de triangulaci´ o) Sigui f ∈ LK (En , En ). Sigui {λ1 , λ2 , . . . , λq } el conjunt de solucions caracter´ıstiques de f , diferents dos a dos. Es verifica: f triangulable ⇐⇒ { ∀ j = 1, q : λj ∈ K } Demostraci´ o 9.3.2 Nom´es ens cal considerar el cas triangulable superiorment, gr`acies al punt 2 de la proposici´o 9.3.1.
[ =⇒ ] Com que f ´es triangulable superiorment, existeix una base N de En tal que [f ]N ∈ MK (n × n) ´es triangular superior. Llavors, el lema 9.2.1 permet garantir que tota soluci´o caracter´ıstica de f pertany a K.
[ ⇐= ] Si n = 1, la matriu de f en qualsevol base sempre ´es triangular (ja que t´e un sol element de matriu). Suposem, doncs, que n ≥ 2, i demostrem la implicaci´o per inducci´o sobre n : { n = 2 } Sigui f ∈ LK (E2 , E2 ), on E2 ´es un espai vectorial sobre K de dimensi´o 2. Sigui λ ∈ K una soluci´o caracter´ıstica de f (valor propi), i sigui e1 = 0 un vector propi associat a λ, ´es a dir, f (e1 ) = λe1 .
Prenem unaltre vector e2 ∈ E2 de tal forma que N = {e1 , e2 } sigui una base de E2 . Aix´ı, existeixen els escalars a, b ∈ K tals que f (e2 ) = ae1 + be2 . Llavors: f (e1 ) = λe1 = (λ, 0)N f (e2 ) = ae1 + be2 = (a, b)N Per tant: λ 0 [f ]N = a b , i f ´es triangulable superiorment.
{ n = m } Suposem que per a qualsevol Em , espai vectorial sobre K de dimensi´o m, i per a qualsevol f ∈ LK (Em , Em ) tal que totes les seves solucions caracter´ıstiques pertanyin a K, es verifica que f ´es triangulable superiorment.
{ n = m + 1 } Sigui Em+1 un espai vectorial sobre K de dimensi´o m + 1, i sigui f ∈ LK (Em+1 , Em+1 ) tal que totes les seves solucions caracter´ıstiques pertanyen a K. Prenem una d’aquestes solucions caracter´ıstiques λ ∈ K, i un vector propi e1 = 0 associat a λ (f (e1 ) = λe1 ). Prenem ara m vectors de Em+1 de manera que, juntament amb e1 , formin una base del espai Em+1 : W = {e1 , e2 , . . . , em+1 } Algweb Llavors, la matriu [f ]W s’escriu com: λ [f ]W = A B , on A ∈ MK (1 × m) i B ∈ MK (m × m).
Ara, si V ´es la base can` onica de l’espai Km , sabem que existeix un u ´nic endomorfisme g ∈ LK (Km , Km ) tal que [g]V = B. Observeu que tota soluci´ o caracter´ıstica de g ´es soluci´o de l’equaci´o detm (B −xIm ) = 0 i, per tant, com que pf (x) = detn ([f ]W − xIm+1 ) = (λ − x) · detm (B − xIm ) , resulta que les solucions caracter´ıstiques de g s´on solucions caracter´ıstiques de f , que pertanyen a K.
Aix´ı, podem aplicar la hip` otesi d’inducci´ o a g : existeix una base Z de Km tal que [g]Z = T ´es matriu triangular superior. Si definim Q = [Id]ZV , podrem escriure: −1 Q−1 BQ = ([Id]ZV ) [g]V [Id]ZV = [g]Z = T Definint ara la matriu P com: 1 P = ∈ MK ((m + 1) × (m + 1)) Q (es veu f`acilment que ´es inversible, amb matriu inversa P −1 = 1 ) Q−1 tenim que es verifica: P −1 [f ]W P = λ (AQ) (Q−1 BQ) = λ (AQ) T , que ´es una matriu triangular superior. La demostraci´o s’acaba definint la base N de Em+1 per mitj`a de la igualtat [Id]N W = P ja que, llavors: −1 [f ]N = ([Id]N W ) [f ]W [Id]N W = P −1 [f ]W P = λ (AQ) T , i aix´ı f ´es triangulable superiorment.
Corol·lari 9.3.3 Tot endomorfisme f ∈ LC (En , En ) ´es triangulable.
Siguin E7 un espai vectorial real Exemple 9.3.1 f ∈ LR (E7 , E7 ) un endomorfisme definit com:  2 2 0 1 1 2 1 1   0 0 2 0   [f ]V =  −1 0 0 1  1 2 0 1   0 1 0 0 −1 −3 −1 −1 de dimensi´o 7, V una base de E7 , i 0 −3 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 −3 1 0 −1 1 1 0 −1          Es tracta de veure si f ´es triangulable, i si ho ´es, trobar una base N de E7 de tal manera que [f ]N sigui triangular superior.
3 2 2 Algweb Com es veu f` acilment, pf (x) = −(x − 2) (x − 1) (x + 1) . Aix´ı, les solucions caracter´ıstiques s´on reals (s´on 2, 1, −1), i f ´es triangulable. Per a cada valor propi, trobem una base del seu subespai propi associat:   (λ1 = 2) { e1 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0)V } (λ2 = 1) { e2 = (0, −1, 0, 1, 0, 0, 1)V }  (λ3 = −1) { e3 = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0)V } Ampliem aquest conjunt de tres vectors fins aconseguir base de E7 : W = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 } , on: e4 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)V , e5 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0)V e6 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0)V , e7 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)V Llavors, com que  [Id]W V     =    1 0 0 −1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1       ,    obtenim:  −1 [f ]W = ([Id]W V ) [f ]V [Id]W V      =     2 0 0 − 0 0 0 0 0 0 | 1 0 | 0 −1 | − − | 0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 1 0 −1 −1 1 0 0 0 − − − 2 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 − 0 0 0 −1        ,     que no ´es matriu triangular.
Sigui ara V4 la base can` onica de l’espai R4 , i sigui g ∈ LR (R4 , R4 ) l’endomorfisme definit com:   [g]V4 =  2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1    (observeu que aquesta matriu quadrada ´es la responsable de que [f ]W no sigui triangular superior).
Observant [f ]W , notem que 2, 1, − 1 s´ on valors propis de g. Per a cada valor propi de g, trobem una base del seu subespai propi associat:   (λ1 = 2) { z1 = (0, 1, 0, 0)V4 } (λ2 = 1) { z2 = (0, 0, 1, 0) }  (λ = −1) { z = (0, 0, 0, 1)V4 } 3 3 V4 Ampliem aquest conjunt de tres vectors fins aconseguir base de R4 : Z = {z1 , z2 , z3 , z4 = (1, 0, 0, 0)V4 } Llavors, seguint les notacions de la demostraci´o del teorema  0 0  1 0 Q = [Id]ZV4 =  0 1 0 0 Algweb Definint ara la base N de E7 per mitj` a de l’expressi´o  1  0   0  I3  − [Id]N W = = Q  0   0  0 0 0 0 1 0 0 1 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 9.3.2 : 0 0 0 1 1 0 0 0    | 0 | 0 | 0 | − | 0 | 1 | 0 | 0 0 0 0 0 0 0 − − 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 0        ,     obtenim:  −1 [f ]N = ([Id]N W ) [f ]W [Id]N W      =     2 0 0 − 0 0 0 0 0 0 | 1 0 | 0 −1 | − − | 0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0 | 1 −1 0 − 2 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 − − − 0 0 1 1 0 0 0 −1 0 0 0 2        ,     que ja ´es triangular superior.
Observeu que, si volem con`eixer els vectors de N en funci´o dels de la base V , nom´es cal avaluar: [Id]N V = [Id]W V [Id]N W Noteu tamb´e que si [f ]N no hagu´es estat triangular superior, hauriem hagut de procedir an`alogament a com hem fet per passar de [f ]W a [f ]N ; ´es a dir, hauriem hagut de definir un endomorfisme h ∈ LR (Rs , Rs ) (on s < 4) de forma que, en base can` onica (Vs ) de Rs , la matriu quadrada [h]Vs fos la responsable de la no-triangularitat de [f ]N , trobar bases dels subespais propis de h, ampliar fins base de Rs , etc.
9.4 Diagonalitzaci´ o i triangulaci´ o de matrius quadrades Sigui A ∈ MK (n×n), n ∈ N∗ , una matriu donada. Prenem l’espai vectorial Kn i la seva base can`onica, V . Sabem que existeix i ´es u ´nic l’endomorfisme f ∈ LK (Kn , Kn ) tal que [f ]V = A. Sigui ara N una altra n base de K , i definim la matriu P ∈ MK (n × n) com P = [Id]N V . Llavors: P −1 A P = [Id]−1 N V [f ]V [Id]N V = [f ]N ∈ MK (n × n) Per tant: P −1 A P (= [f ]N ) ´es una matriu diagonal ◦ Si f diagonalitza en base N : ◦ Si f triangula superiorment en base N : ◦ Si f triangula inferiorment en base N : P −1 A P (= [f ]N ) ´es una matriu triangular superior P −1 A P (= [f ]N ) ´es una matriu triangular inferior Aquesta relaci´ o entre matrius quadrades i endomorfismes suggereix la seg¨ uent definici´o: Definici´ o 9.4.1 (1) Sigui A ∈ MK (n × n), n ∈ N∗ . Es diu que: A´ es diagonalitzable en K si existeix una matriu inversible P ∈ MK (n × n) tal que P −1 AP ´es una matriu diagonal pertanyent a MK (n × n).
A´ es triangulable superiorment en K si existeix una matriu inversible P ∈ MK (n × n) tal que P −1 AP ´es una matriu triangular superior pertanyent a MK (n × n).
(3) A´ es triangulable inferiorment en K si existeix una matriu inversible P ∈ MK (n × n) tal que P −1 AP ´es una matriu triangular inferior pertanyent a MK (n × n).
Algweb (2) (4) A´ es triangulable en K si ´es triangulable superiorment o inferiorment en K.
(5) Anomenem polinomi caracter´ıstic de A (i se simbolitza per pA (x)) a: (6) (7) pA (x) = detn (A − xIn ) S’anomena equaci´ o caracter´ıstica de A a l’equaci´o en x : pA (x) = 0 S’anomena soluci´ o caracter´ıstica de A a tota soluci´o de l’equaci´o caracter´ıstica (pertanyi o no aquesta soluci´ o al cos K).
Observeu que pA (x) = pf (x), essent f ∈ LK (Kn , Kn ) l’endomorfisme tal que, en base can`onica V , es defineix com [f ]V = A. Tamb´e ha de quedar clar que la matriu inversible P de la definici´o anterior ´es P = [Id]N V , on N ´es la base de Kn on f diagonalitza o triangula.
´ important adonar-se que tota matriu real ´es tamb´e complexa. Aix`o vol dir que, per exemple, Es podriem tenir A ∈ MR (n × n) que no diagonalitz´es o triangul´es en R (per tenir solucions caracter´ıstiques no reals), per` o que s´ı ho fes en C. De fet, tota matriu de MC (n × n) ´ es triangulable en C.
0 1 ∈ MR (2 × 2). Es tracta d’esbrinar si A ´es diago−1 0 nalitzable en C i/o en R, donant en cas afirmatiu una matriu inversible P tal que P −1 AP sigui matriu diagonal.
Exemple 9.4.1 Sigui A = pA (x) = −x 1 −1 −x = x2 + 1 Aix´ı, de pA (x) = 0 obtenim x = i, x = −i (no reals). Per tant, si associem a A un endomorfisme real f ∈ LR (R2 , R2 ), aquest no pot ser diagonalitzable, ´es a dir, A no ´es diagonalitzable en R.
En canvi, si associem a A un endomorfisme complex f˜ ∈ LC (C2 , C2 ), aquest ´es diagonalitzable, segons garanteix el teorema elemental de diagonalitzaci´o. En altres paraules, A ´es diagonalitzable en C. Per a trobar la matriu P demanada, escrivim: 0 −1 [f˜]V = A = 1 0 , on V ´es la base can` onica de C2 . Uns simples c`alculs indiquen que: { (1, i)V } ´es base de Ker(f˜ − iIdC2 ) { (1, −i)V } ´es base de Ker(f˜ − (−i)IdC2 ) , i aix´ı, en la base N = { (1, i)V , (1, −i)V } de C2 , tenim que: i 0 0 −i [f˜]N = =D Finalment: P = [Id]N V = Algweb ´es una matriu inversible tal que P −1 AP = D = 1 1 i −i i 0 0 −i , matriu diagonal amb coeficients en C.
Proposici´ o 9.4.1 Sigui A ∈ MK (n × n), n ∈ N∗ . Siguin P i D dues matrius pertanyents a MK (n × n), tals que P ´es inversible i es verifica: P −1 AP = D Llavors, per a qualsevol r ∈ N∗ : Ar = P Dr P −1 Demostraci´ o 9.4.1 De l’expressi´ o P −1 AP = D deduim, multiplicant per P a l’esquerra i per P −1 a −1 la dreta: A = P DP . Aix´ı queda demostrat l’enunciat per r = 1. Per r ≥ 2, farem la demostraci´o per inducci´o sobre r.
[ r = 2 ] A2 = (P DP −1 )(P DP −1 ) = P D(P −1 P )DP −1 = P DIn DP −1 = P D2 P −1 , quedant comprovat en aquest cas.
[ r = m ] Suposem cert: Am = P Dm P −1 [ r = m + 1 ] Am+1 = Am A. Aplicant la hip`otesi d’inducci´o per Am : Am+1 = (P Dm P −1 )(P DP −1 ) = P Dm (P −1 P )DP −1 = P Dm In DP −1 = P Dm+1 P −1 , finalitzant la demostraci´ o.
Corol·lari 9.4.2 Sigui A ∈ MK (n × n) una matriu una matriu inversible tal que:  µ1 µ2  P −1 AP =  ..
 .
µn diagonalitzable en K. Sigui P ∈ MK (n × n)    ∈ MK (n × n)  Llavors, per tot r ∈ N∗ , es verifica:  r (µ1 )  r (µ2 )  Ar = P   ..
 −1 P  .
r (µn ) Demostraci´ o 9.4.2 Nom´es cal tenir present que, per tot r ∈ N∗ , la pot`encia r-`essima de la matriu diagonal val:   (µ )r 1 r (µ2 )    ..
   .
r (µn ) Exemple 9.4.2 Es tracta de calcular A999 , on A ´es la matriu: Algweb A= 0 −1 1 0 ∈ MR (2 × 2) Com ja hem vist en l’exemple 9.4.1, podem escriure P −1 AP = D, on: P = 1 1 i −i , i 0 0 −i D= Llavors: i999 0 = −i 0 0 i A999 = P D999 P −1 = −P DP −1 = −A = 0 −1 1 0 D999 = 0 999 (−i) = −D Per tant: 9.5 El teorema de Cayley-Hamilton Definici´ o 9.5.1 Sigui A ∈ MK (n×n), n ∈ N∗ . Sigui r(x) = a0 +a1 x+a2 x2 +. . .+am xm ∈ Km [x], amb m ∈ N. Es defineix: r(A) = a0 In + a1 A + a2 A2 + . . . + am Am ∈ MK (n × n) Teorema 9.5.1 (Teorema de Cayley-Hamilton per a matrius) A ∈ MK (n × n), n ∈ N∗ , es verifica: Per a tota matriu pA (A) = [0]n ∈ MK (n × n) Demostraci´ o 9.5.1 Com que A ´es triangulable en C, existeix una matriu inversible P ∈ MC (n × n) tal que P −1 AP = T , matriu triangular superior (per tant, P T P −1 = A). Llavors: pT (x) = detn (T − xIn ) = detn (P −1 AP − xP −1 In P ) = detn ( P −1 (A − xIn ) P ) = detn (A − xIn ) = pA (x) n j=0 Per tant, si pT (x) = aj xj : n j=0 pA (A) = pT (A) = pT (P T P −1 ) = j n j=0 aj (P T P −1 ) = P ( aj T j ) P −1 = P pT (T ) P −1 Com que P ´es inversible, tenim pA (A) = [0]n ⇐⇒ pT (T ) = [0]n , i nom´es ens queda demostrar que pT (T ) = [0]n (de fet, ´es el propi teorema de Cayley-Hamilton per a matrius triangulars superiors T ∈ MC (n × n)). Aix` o ho farem per inducci´o sobre n, amb n ≥ 2 ja que el cas n = 1 ´es trivial.
[ n = 2 ] Sigui T la matriu λ 0 T = w µ Llavors, pT (x) = (λ − x)(µ − x) = x2 − (λ + µ)x + λµ. Per tant: pT (T ) = T 2 − (λ + µ)T + λµI2 = λ2 w(λ + µ) = − (λ + µ) 0 µ2 λ 0 w µ 1 0 + λµ 0 1 = [0]2 [ n = m ] Suposem que pT (T ) = [0]m , per a tota matriu triangular superior T ∈ MC (m × m).
Algweb [ n = m + 1 ] Sigui T la matriu λ T = W B ∈ MC ((m + 1) × (m + 1)) , on B ∈ MC (m × m) ´es una matriu triangular superior (en ser-ho T ). Aplicant la hip`otesi d’inducci´o a B, obtenim que pB (B) = [0]m .
Ara, com que pT (x) = (λ − x) pB (x), resulta que: pT (T ) = (λIm+1 − T )pB (T ) = pB (T )(λIm+1 − T ) , on la segona igualtat ´es conseq¨ u`encia Per una altra banda, podem escriure:  x1 x2  ∀X= ..
 .
del fet que qualsevol pot`encia de T commuta amb T i amb Im+1 .
   ∈ MC ((m + 1) × 1) :  xm+1   U1 =   x1 0 ..
.
 b) pB (T ) =     , U2 =    0 0 0 −W (λIm − B) ˜ pB (λ) W pB (B)    x1 0 ..
.
0 = 0 x2 ..
.
    xm+1 Observem que, per a tot X ∈ MC ((m + 1) × 1) :  a) (λIm+1 − T )U1 = X = U1 + U2 , on ˜ pB (λ) W 0     =   0 0 ..
.
    0 , essent la segona igualtat deguda a la hip`otesi d’inducci´ o, i podent-se deduir f` acilment la primera a partir del producte de matrius per blocs.
Llavors:   0 x2 ˜   0 −W pB (λ) W  = (λIm+1 − T )pB (T )U2 = ..
  0 (λIm − B) 0 .
xm+1  0 0 = −W (λIm − B)    z 0 ..
.
    =   0 0 0 ..
.
    0 D’aquesta manera, per a tot X ∈ MC ((m + 1) × 1), que expressem com X = U1 + U2 de la forma descrita, tenim que: (pT (T ))X = (pT (T ))U1 + (pT (T ))U2 = (pB (T ))(λIm+1 − T )U1 + (λIm+1 − T )(pB (T ))U2 = [0](m+1)×1 Per tant, com que aix` o es verifica per tot X ∈ MC ((m + 1) × 1), deduim que pT (T ) = [0]m+1 .
• Acabarem aquesta secci´ o enunciant el teorema de Cayley-Hamilton per a endomorfismes.
Definici´ o 9.5.2 Sigui f ∈ LK (En , En ). Siguin r(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + am xm ∈ Km [x], ∗ amb m ∈ N . Es defineix: r(f ) = a0 IdEn + a1 f + a2 f 2 + . . . + am f m ∈ LK (En , En ) Sigui f ∈ LK (En , En ). Sigui V una base de En , tal que [f ]V = A. Llavors, Algweb Lema 9.5.2 [pf (f )]V = pA (A).
Demostraci´ o 9.5.2 Suposem pf (x) = pA (x) = n j=0 aj xj . Tenint present que per a tot j = 0, n es j verifica [f j ]V = ([f ]V ) = Aj : [pf (f )]V = [ n j=0 aj f j ]V = n j=0 aj [f j ]V = n j=0 aj Aj = pA (A) Teorema 9.5.3 (Teorema de Cayley-Hamilton per a endomorfismes) endomorfisme f ∈ LK (En , En ), es verifica: Per a tot pf (f ) = 0En ∈ LK (En , En ) Demostraci´ o 9.5.3 Sigui f ∈ LK (En , En ), i sigui V una base de En tal que [f ]V = A. Segons el lema 9.5.2 i el teorema de Cayley-Hamilton per a matrius: [pf (f )]V = pA (A) = [0]n , d’on es dedueix que pf (f ) = 0En (endomorfisme zero).
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports 10. OPERADORS. TEOREMES ESPECTRALS En tot aquest tema, En representar` a un espai vectorial de dimensi´o finita sobre K ∈ {R, C}, amb dimK En = n ∈ N∗ , i (En , < | >) ser` a un espai euclidi`a. L’espai vectorial LK (En , En ) el simbolitzarem simplement per LK (En ), i els endomorfismes IdEn i 0En s’escriuran, respectivament, com Id i 0 (si no hi ha ambig¨ uitat respecte de l’espai vectorial En on estan definits).
10.1 Definicions i propietats b` asiques Definici´o 10.1.1: Sigui (En , < | >). S’anomena operador (definit en (En , < | >)) a tot endomorfisme T ∈ LK (En ).
Observaci´ o : Com que conjugar un nombre real ´es intrascendent, i adjuntar una matriu real ´es el mateix que transposar-la, decidim emprar les f´ormules pel c`alcul de productes escalars en un espai euclidi`a complex en qualsevol cas, encara que l’espai euclidi`a sigui real.
Algweb Lema 10.1.1: Sigui (En , < | >), i sigui P ∈ LK (En ). Es verifica: P = 0 ⇐⇒ { ∀x, y ∈ En : < x | P (y) >= 0 } Demostraci´ o 10.1.1 La implicaci´ o =⇒ ´es directa. Per veure la implicaci´o ⇐=, notem que podem prendre (per a tot y ∈ En ) x = P (y), obtenint per hip`otesi: 2 ||P (y)|| =< P (y) | P (y) >= 0 , d’on deduim que P (y) = 0, ∀y ∈ En . Per tant, P = 0.
0bservem que si tenim P, Q ∈ LK (En ) que verifiquen ∀x, y ∈ En : < x | P (y) >=< x | Q(y) > , tindrem que < x | (P − Q)(y) >= 0 (∀ x, y), i, com a conseq¨ u`encia del lema anterior, podrem deduir que P − Q = 0, ´es a dir, P = Q.
Proposici´o 10.1.2: (1) Sigui (En , < | >) un espai euclidi` a complex. L’aplicaci´o ψ : LC (En ) → L3/2 (En , C) definida com ∀ Q ∈ LC (En ) : ψ(Q) =< Q( ) | ( ) > , amb (< Q( ) | ( ) >)(x, y) =< Q(x) | y > per qualssevol x, y ∈ En , ´es un isomorfisme.
a real. L’aplicaci´o ψ : LR (En ) → L2 (En , R) definida com (2) Sigui (En , < | >) un espai euclidi` ∀ Q ∈ LR (En ) : ψ(Q) =< Q( ) | ( ) > , amb (< Q( ) | ( ) >)(x, y) =< Q(x) | y > per qualssevol x, y ∈ En , ´es un isomorfisme.
Demostraci´ o 10.1.2 Demostrem primer que, per a qualsevol Q ∈ LK (En ), ψ(Q) ´es forma sesquilineal (si K = C) o forma bilineal (quan K = R). Per a qualssevol λ ∈ K, x, y, z ∈ En : (a) (ψ(Q))(λx + z, y) =< Q(λx + z) | y >=< λQ(x) + Q(z) | y >= = λ < Q(x) | y > + < Q(z) | y >= λ (ψ(Q))(x, y) + (ψ(Q))(z, y) (b) (ψ(Q))(x, λy + z) =< Q(x) | λy + z >= λ < Q(x) | y > + < Q(x) | z >= = λ (ψ(Q))(x, y) + (ψ(Q))(x, z) Comprovem ara que ψ ´es lineal. Per a qualssevol λ ∈ K, Q, S ∈ LK (En ), tenim que: ψ(λQ + S) =< (λQ + S)( ) | ( ) >. Aix´ı, per a qualssevol x, y ∈ En : (ψ(λQ + S))(x, y) =< (λQ + S)(x) | (y) >=< λQ(x) + S(x) | y >= λ < Q(x) | y > + < S(x) | y >= = λ(ψ(Q))(x, y) + (ψ(S))(x, y) = (λψ(Q) + ψ(S))(x, y).
Per tant, deduim que ψ(λQ + S) = λ (ψ(Q)) + ψ(S).
Per a veure que ψ ´es injectiva, suposem que Q ∈ Ker ψ, ´es a dir, ψ(Q) = 0. Llavors, per a qualssevol x, y ∈ En tenim que: < Q(x) | y >= 0(x, y) = 0 , d’on deduim que Q = 0 segons el lema 10.1.1. Aix´ı, obtenim que Ker ψ = {0}, i ψ ´es injectiva.
Algweb Finalment, recordant que els espais LC (En ) i L3/2 (En , C) tenen tots dos dimensi´o n2 (i el mateix passa pels espais LR (En ) i L2 (En , R)), la injectivitat de ψ fa que tamb´e ψ sigui exhaustiva i, per tant, sigui un isomorfisme.
Corol·lari 10.1.3: Sigui (En , < | >), i sigui T ∈ LK (En ). Llavors, existeix un u ´nic operador Q ∈ LK (En ) tal que: ∀x, y ∈ En : < x | T (y) >=< Q(x) | y > , < T (y) | x >=< y | Q(x) > Demostraci´ o 10.1.3 De forma similar a com s’ha fet en la demostraci´o de la proposici´o 10.1.2, es demostra sense dificultat que l’aplicaci´ o < ( ) | T ( ) > : En × En → K, definida com (< ( ) | T ( ) >)(x, y) =< x | T (y) > per quassevol x, y ∈ En , ´es una forma sesquilineal (si K = C) o una forma bilineal (quan K = R). Llavors, segons la proposici´o 10.1.2, existeix i ´es u ´nic l’operador Q ∈ LK (En ) tal que ψ(Q) =< ( ) | T ( ) >, ´es a dir, < Q( ) | ( ) >= =< ( ) | T ( ) >. Aix´ı, es verifica: ∀ x, y ∈ En : < Q(x) | y >=< x | T (y) > I, per tant, per a qualssevol x, y ∈ En tamb´e es verifica: < T (y) | x >= < x | T (y) > = < Q(x) | y > =< y | Q(x) > Definici´o 10.1.2: Sigui (En , < | >), i sigui T ∈ LK (En ). Es defineix: (1) Si K = C : L’operador adjunt de T com aquell operador ∗ T ∈ LC (En ) que verifica: ∀x, y ∈ En : (2) Si K = R : < y | T (x) >=< ∗ T (y) | x > , < T (x) | y >=< x | ∗ T (y) > L’operador transposat de T com aquell operador t T ∈ LR (En ) que verifica: ∀x, y ∈ En : < y | T (x) >=< t T (y) | x > , < T (x) | y >=< x | t T (y) > Observacions : (1) Tant si l’espai euclidi` a (En , < | >) ´es real com si ´es complex, escriurem ∗ T per a designar tant a t T (si K = C) com a T (si K = R), i parlarem simplement d’operador adjunt de T . Obviament, aquesta notaci´ o unificada nom´es s’utilitzar`a per aquelles proposicions que mostrin resultats alhora v`alids per espais euclidians reals i complexs.
∗ (2) Del corol·lari 10.1.3, deduim que ∗ T existeix i ´es u ´nic per a cada operador T . A m´es, la seva matriu associada en qualsevol base V de En es pot trobar f`acilment. En efecte, ∀ x, y ∈ En , tenim que: ∗ < y | T (x) >=< ∗ T (y) | x > , ´es a dir: ∗ ∗ [x]V ([T ]V [< | >]V ) [y]V = [x]V ([< | >]V [∗ T ]V ) [y]V Com que aquesta igualtat matricial s’ha de cumplir per a qualssevol vectors x, y ∈ En , deduim ∗ −1 que [T ]V [< | >]V = [< | >]V [∗ T ]V . Multiplicant a l’esquerra per la matriu [< | >]V , trobem finalment: −1 Algweb [< | >]V [T ]∗V [< | >]V = [∗ T ]V [∗ T ]V = [T ]∗V .
Per tant, si V ´es base ortonormal: (3) Es verifica f` acilment que: ∗ 0=0, ∗ Id = Id.
Proposici´o 10.1.4: Sigui (En , < | >), i sigui T ∈ LK (En ). Es verifica: (1) ∗ ∗ (2) ∀Q ∈ LK (En ) : (3) ∀α ∈ K : (4) ∀Q ∈ LK (En ) : (5) r(∗ T ) = r(T ) , dimK Ker ∗ T = dimK Ker T (6) Si λ ´es soluci´ o caracter´ıstica de T , llavors λ ´es soluci´o caracter´ıstica de ∗ T (7) Si λ ´es valor propi de T , llavors λ ´es valor propi de ∗ T ( T) = T ∗ ∗ ∗ (T + Q) = T + ∗ Q (αT ) = α ∗ T ∗ (T · Q) = ∗ Q · ∗ T Demostraci´ o 10.1.4 [ 1, 2, 3, 4 ] Per tots aquests punts tindrem present el comentari posterior al lema 10.1.1. Llavors, ∀x, y ∈ En , tenim : 1) : < x | ∗ (∗ T )(y) >=< ∗ T (x) | y >=< x | T (y) > 2) : < x | ∗ (T + Q)(y) >=< (T + Q)(x) | y >=< T (x) | y > + < Q(x) | y >= =< x | ∗ T (y) > + < x | ∗ Q(y) >=< x | (∗ T + ∗ Q)(y) > 3) : < x | ∗ (αT )(y) >=< (αT )(x) | y >= α < T (x) | y >= α < x | ∗ T (y) >< x | (α∗ T )(y) > 4) : < x | ∗ (T · Q)(y) >=< (T · Q)(x) | y >=< T (Q(x)) | y >=< Q(x) | ∗ T (y) >= =< x | ∗ Q(∗ T (y)) >=< x | (∗ Q ·∗ T )(y) > [ 5 ] Si V ´es una base ortonormal, tenim que [∗ T ]V = [T ]∗V . Llavors: r(∗ T ) = r([∗ T ]V ) = r([T ]∗V ) = r([T ]V ) = r(T ) Per tant: dimK Ker ∗ T = n − r(∗ T ) = n − r(T ) = dimK Ker T .
[ 6, 7 ] Sigui V una base ortonormal, i sigui λ tal que detn ([T ]V − λIn ) = 0. Llavors: ∗ 0 = detn ([T ]V − λIn ) = detn ([T ]∗V − λIn∗ ) = detn ([∗ T ]V − λIn ) , i λ ´es soluci´o caracter´ıstica de ∗ T . Si, adem´es, λ ∈ K (λ ´es valor propi de T ), tamb´e λ ∈ K, i ´es valor propi de ∗ T .
Sigui (En , < | >), i sigui T ∈ LK (En ). Llavors: Teorema 10.1.5 (Alternativa de Fredholm): 1) 2) 3) 4) ⊥ Ker ∗ T = (Im T ) ⊥ Ker T = (Im ∗ T ) ⊥ Im ∗ T = (Ker T ) ⊥ Im T = (Ker ∗ T ) ⊥ Algweb Demostraci´ o 10.1.5 Per demostrar el punt (1), comen¸carem per veure que Ker ∗ T ⊂ (Im T ) . Sigui ∗ x ∈ Ker T , i sigui y ∈ Im T (∃ z ∈ En / T (z) = y). Llavors: < x | y >=< x | T (z) >=< ∗ T (x) | z >=< 0 | z >= 0 , ⊥ d’on deduim que x ∈ (Im T ) . Adem´es, emprant el punt (5) de la proposici´o 10.1.4 : ⊥ dimK Ker ∗ T = dimK Ker T = n − dimK Im T = dimK (Im T ) , i queda demostrat el primer punt. El punt (2) es dedueix directament de (1), substituint T per ∗ T i recordant que ∗ (∗ T ) = T . Per altra banda, tenim que: Im ∗ T = ((Im ∗ T )⊥ )⊥ = (Ker T )⊥ , on s’ha aplicat el punt (2) en la segona igualtat. Finalment, (4) s’obt´e a partir del punt (3), substituint T (= ∗ (∗ T )) per ∗ T .
Exemple 10.1.1: Sigui l’espai euclidi` a real (R2 , < | >), on el producte escalar es defineix com [< | >]V = 1 1 1 2 , on V ´es la base can` onica de R2 . Sigui ara T ∈ LR (R2 ) tal que, per qualsevol (x, y) ∈ R2 : T (x, y) = (y, y) ⊥ Anem a trobar t T , i a comprovar expl´ıcitament que Im t T = (Ker T ) .
Primer de tot, ´es f` acil veure que [< | >]−1 V = t [t T ]V = [< | >]−1 V [T ]V [< | >]V = 2 −1 −1 1 2 −1 −1 1 0 0 , [T ]V = 0 1 0 1 1 1 1 . Llavors: 1 1 2 = −2 −3 2 3 D’aquesta matriu, trobem directament que Im t T = < (−1, 1) >R . Per altra banda, a partir de ⊥ [T ]V resulta que Ker T =< (1, 0) >R . Calculem ara (Ker T ) : ⊥ ∀ (x, y) ∈ (Ker T ) : 0 = < (x, y) | (1, 0) > = ( 1 0) 1 1 1 2 x y =x+y Per tant: ⊥ (Ker T ) = { (x, y) / x + y = 0 } = < (−1, 1) >R = Im t T 10.2 Operadors Normals Sigui (En , < | >), i sigui T ∈ LK (En ). Diem que T ´es un operador normal si Definici´o 10.2.1: verifica: T · ∗ T = ∗ T · T Lema 10.2.1: Sigui (En , < | >), i sigui T ∈ LK (En ) un operador normal. Llavors: (1) ∀ x ∈ En : (2) ∀µ∈K : ||∗ T (x)|| = ||T (x)|| T − µId ´es operador normal.
Algweb Demostraci´ o 10.2.1 [ 1 ] Per a qualsevol x ∈ En , tenim que: 2 ||∗ T (x)|| =< ∗ T (x) | ∗ T (x) >=< (T · ∗ T )(x) | x >=< (∗ T · T )(x) | x >= 2 =< T (x) | T (x) >= ||T (x)|| , on s’ha utilitzat el fet qu`e T ´es normal en la tercera igualtat.
[ 2 ] Per a qualsevol µ ∈ K, sabem que ∗ (T − µId) = ∗ T − µId. Llavors: 2 ∗ (T − µId) · (T − µId) = ∗ T · T − µ∗ T − µ T + |µ| Id , 2 (T − µId) · ∗ (T − µId) = T · ∗ T − µ T − µ∗ T + |µ| Id donant expressions id`entiques si tenim present que ∗ T · T = T · ∗ T.
Proposici´o 10.2.2: Sigui (En , < | >). Sigui T ∈ LK (En ) un operador normal, λ ∈ K un valor propi de T amb multiplicitat m(λ), i x ∈ Ker (T − λId) un vector propi de T associat a λ (T (x) = λx). Es verifiquen les seg¨ uents propietats: (1) x ∈ Ker (∗ T − λId) (2) Si µ = λ ´es un altre valor propi de T , i y ∈ Ker (T − µId), llavors: < x | y >= 0 (3) Ker (T − λId) ⊂ Ker (T − λId) (4) dimK Ker (T − λId) = m(λ) 2 Demostraci´ o 10.2.2 [ 1 ] Definim l’operador Q = T − λId, que ´es normal segons el punt (2) del lema 10.2.1. Llavors, si x ∈ Ker (T − λId), tenim que Q(x) = 0. Per tant, pel punt (1) del lema 10.2.1, obtenim ||∗ Q(x)|| = ||Q(x)|| = 0, ´es a dir, ∗ Q(x) = 0. D’aqu´ı deduim que x ∈ Ker (∗ T − λId).
[ 2 ] Tenim que T (x) = λx, T (y) = µy. Llavors: < T (x) | y >=< λx | y >= λ < x | y > Pero tamb´e: < T (x) | y >=< x | ∗ T (y) >=< x | µy >= µ < x | y > , on s’ha utilitzat el fet qu`e ∗ T (y) = µy en el segon pas. Igualant tots dos resultats: λ < x | y >= µ < x | y > , ´es a dir: (λ − µ) < x | y >= 0.
Com que λ = µ, obtenim finalment que < x | y >= 0.
2 [ 3 ] Sigui z ∈ Ker (T − λId) . Definint el vector w = (T − λId)(z), tenim que: 0 = (T − λId)( (T − λId)(z) ) = (T − λId)(w) , ´es a dir, w ∈ Ker (T − λId).
Ara, podem escriure: T (z) = (T − λId)(z) + λz = w + λz Avaluem ara < T (z) | w > de dues formes diferents: 2 < T (z) | w >=< w + λz | w >= ||w|| + λ < z | w > < T (z) | w >=< z | ∗ T (w) >=< z | λw >= λ < z | w > , Algweb havent emprat el fet qu`e ∗ T (w) = λw pel punt (1) d’aquesta proposici´o, ja que T (w) = λw. Igualant 2 totes dues expressions, obtenim que ||w|| = 0 i, per tant, w = 0. D’aquesta forma, (T − λId)(z) = 0, i z ∈ Ker (T − λId).
[ 4 ] Es dedueix directament a partir del punt (3), tenint present la proposici´o 9.1.14 (tema 9).
Teorema 10.2.3 (Teorema espectral per operadors normals): T ∈ LK (En ). Es cumpleix: Sigui (En , < | >), i sigui T e´s normal, amb totes les solucions caracter´ıstiques pertanyents a K Existeix una base ortonormal N de (En , < | >) on [T ]N e´s matriu diagonal Demostraci´ o 10.2.3 [ ⇑ ] Com que T ´es diagonalitzable per hip`otesi, totes les solucions caracter´ıstiques de T pertanyen a K.
Per veure que T ´es normal, suposem   µ   µ1 1 µ2 µ2      , i per tant, [∗ T ]N = [T ]∗ =  , [T ]N =  ..
..
N     .
.
µn µn havent utilitzat que [∗ T ]N = [T ]∗N ja que N ´es base ortonormal. Llavors:   2 |µ1 | 2   |µ2 |   [T · ∗ T ]N = [T ]N [T ]∗N =   = [T ]∗N [T ]N = [∗ T · T ]N , ..
  .
2 |µn | d’on es dedueix que T · ∗ T =∗ T · T , i T ´es normal.
[ ⇓ ] Del fet qu`e totes les solucions caracter´ıstiques de T pertanyin a K, i del punt (4) de la proposici´o 10.2.2 (ja que T ´es normal, per hip` otesi), deduim que T ´es diagonalitzable (veure el teorema general de diagonalitzaci´ o, tema 9).
Suposem que {λ1 , λ2 , . . . , λq } ´es el conjunt de solucions caracter´ıstiques (valors propis) de T , diferents entre s´ı. Per a cada j = 1, q, sigui Bj una base de Ker (T − λj Id). Apliquem ara el m`etode de GramSchmidt a cada Bj fins a obtenir una base ortornormal (Nj ) del subespai propi Ker (T − λj Id). Si definim N = N1 ∪ N2 ∪ . . . ∪ Nq , que ´es una base de En formada per vectors propis de T (on T diagonalitza), resulta que ´es una base ortonormal, si tenim en compte el punt (2) de la proposici´o 10.2.2.
Ja que per a tot operador complex T ∈ LC (En ) tenim que tota soluci´o caracter´ıstica pertany a C, el seg¨ uent corol·lari ´es directe.
Corol·lari 10.2.4 (Teorema espectral per operadors normals complexs): euclidi`a complex, i sigui T ∈ LC (En ). Llavors: Sigui (En , < | >) un espai Algweb T e´s normal Existeix una base ortonormal N de (En , < | >) on [T ]N e´s matriu diagonal Quan existeix una base ortornormal N de (En , < | >) on un cert operador T ∈ LK (En ) diagonalitza, es diu que diagonalitzen simult` aniament l’operador i el producte escalar (ja que tant [T ]N com [< | >]N = In s´on matrius diagonals). Tamb´e es diu que: Si K = C : T diagonalitza unit` ariament.
Si K = R : T diagonalitza ortogonalment.
Aquesta u ´ltima forma de parlar quedar` a justificada en la secci´o 4.
Exemple 10.2.1: Sigui l’espai euclidi` a real base de E3 en la qual  1 1 [< | >]V =  1 2 0 0 (E3 , < | >), dimR E3 = 3, i sigui T ∈ LR (E3 ). Sigui V una  0 0 , 1 Volem veure si T ´es diagonalitzable ortogonalment, afimatiu.
 2 −1  −1 1 En primer lloc, com que [< | >]−1 = V 0 0  1 1 1 [T ]V =  0 0 −1  0 −1 0  trobant la base ortonormal on diagonalitza en cas  0 0 , tenim que: 1  1 0 0 t 0 1 0 [T · t T ]V = [T ]V [t T ]V = [T ]V [< | >]−1 V [T ]V [< | >]V = 0 0 1   1 0 0 t 0 1 0 , [t T · T ]V = [t T ]V [T ]V = [< | >]−1 V [T ]V [< | >]V [T ]V = 0 0 1  2 i T ´es normal. Adem´es, com que pT (x) = −(x − 1) (x + 1), resulta que les solucions caracter´ıstiques de T s´on λ1 = 1, λ2 = −1, que s´ on reals. De tot aix`o, emprant el teorema 10.2.3, obtenim que T ´es diagonalitzable ortogonalment. Per a trobar la base ortonormal on T diagonalitza, trobarem una base de cada subespai propi i aplicarem el m`etode de Gram-Schmidt (fent els productes escalars amb la matriu [< | >]V ) a cadascuna d’elles fins aconseguir una base ortonormal del subespai propi: [ λ1 = 1 ] Base de Ker (T − Id) : {(1, 0, 0)V , (0, 1, −1)V } ↓ Gram − Schmidt √1 (−1, 1, −1)V 2 Base ortonormal de Ker (T − Id) : N1 = {(1, 0, 0)V , } [ λ2 = −1 ] Base de Ker (T + Id) : {(1, −1, −1)V } ↓ Gram − Schmidt N2 = { √12 (1, −1, −1)V } Base ortonormal de Ker (T + Id) : Llavors: √1 (−1, 1, −1)V 2 N = N1 ∪ N2 = {(1, 0, 0)V ,  ´es una base ortonormal de (E3 , < | >) tal que √1 (1, −1, −1)V 2 , 1 [T ]N =  }  1 .
Algweb −1 Exemple 10.2.2: Sigui l’espai euclidi` a complex (C2 , < | >), i sigui T ∈ LC (C2 ). Sigui W una base 2 ortonormal de C en la qual i −1 [T ]W = 1 3i Volem veure si T ´es diagonalitzable unit` ariament, trobant la base ortonormal on diagonalitza en cas afimatiu.
En primer lloc, com que [∗ T ]W = [T ]∗W = [T · ∗ −i −1 , tenim que: 1 −3i T ]W = [T ]W [∗ T ]W = 2 −4i 4i 10 = [∗ T · T ]W , i T ´es normal, ´es a dir, diagonalitzable unit`ariament segons el corol·lari 10.2.4. Per a trobar la base ortonormal on T diagonalitza, trobarem una base de cada subespai propi i aplicarem el m`etode de Gram-Schmidt a cadascuna d’elles fins aconseguir una base ortonormal Com que √ √ del subespai propi.
pT (x) = x2 − 4ix − 2, resulta que els valors propis de T s´on λ1 = (2 + 2)i, λ2 = (2 − 2)i. Per tant: √ √ √ [ λ1 = (2 + 2)i ] Base de Ker (T − (2 + 2)i Id) : { ((1 − 2)i, 1)W } ↓ Gram − Schmidt √ Base ortonormal de Ker (T − (2 + 2)i Id) : N1 = { √ [ λ2 = (2 − √ 2)i ] Base de Ker (T − (2 − √ 2)i Id) : { ((1 + √ 1 √ 4−2 2 ((1 − √ 2)i, 1)W } 2)i, 1)W } ↓ Gram − Schmidt √ Base ortonormal de Ker (T − (2 − 2)i Id) : N2 = { √ 1 √ ((1 4+2 2 + √ 2)i, 1)W } Llavors: N = N1 ∪ N2 = { √ 1 √ ((1 4−2 2 − √ 2)i, 1)W , √ 1 √ ((1 4+2 2 + √ 2)i, 1)W } ´es una base ortonormal de (C2 , < | >) tal que [T ]N = 2+ √ 2 2− √ 2 .
10.3 Alguns tipus d’operadors normals Tant pel cas complex com pel cas real, anem a distingir tres tipus especials d’operadors normals, els quals s´on especialment interessants. Per a cada tipus estudiarem, entre d’altres q¨ uestions, c`om s´on les seves solucions caracter´ıstiques amb la intenci´o d’aplicar, si ´es possible, el teorema 10.2.3.
10.3.1 Operadors normals complexs Definici´o 10.3.1.1: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a complex, i sigui T ∈ LC (En ).
T ´es hermiti` a (o autoadjunt) si (2) T ´es antihermiti` a si (3) T ´es unitari si Algweb (1) ∗ ∗ ∗ T =T T = −T T = T −1 Lema 10.3.1.1: Els operadors hermitians, els antihermitians, i els unitaris s´on normals.
Demostraci´ o 10.3.1.1 Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a complex, i sigui T ∈ LC (En ). Si T ´es hermiti`a: ∗ T · T = T · T = T · ∗ T . Si T ´es antihermiti`a: ∗ T · T = −T · T = T · (−T ) = T · ∗ T . Finalment, quan T ´es unitari: ∗ T · T = T −1 · T = Id = T · T −1 = T · ∗ T .
Abans de passar a veure propietats d’aquests tres tipus d’operadors, vegem un resultat especialment u ´til que es verifica per operadors complexs (siguin o no normals).
Proposici´o 10.3.1.2: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a complex, i sigui T ∈ LC (En ). Es verifica: { ∀ x ∈ En : < T (x) | x >= 0 } ⇐⇒ T = 0 Demostraci´ o 10.3.1.2 [ ⇐= ] Evident, ja que 0(x) = 0, per a qualsevol x ∈ En .
[ =⇒ ] Per a qualssevol u, w ∈ En tenim que: 0 =< T (u + w) | u + w >=< T (u) | w > + < T (w) | u > 0 =< T (u + iw) | u + iw >= −i < T (u) | w > +i < T (w) | u > , on s’ha utilitzat el fet qu`e < T (u) | u >=< T (w) | w >= 0, per hip`otesi. Llavors: 0 = i < T (u + w) | u + w > + < T (u + iw) | u + iw >= 2i < T (w) | u > 2 Com que 0 =< T (w) | u > per a qualssevol u, w ∈ En , prenent u = T (w) obtenim ||T (w)|| = 0 (∀ w ∈ En ), ´es a dir, T (w) = 0. Per tant, T = 0.
Proposici´o 10.3.1.3: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a complex, i sigui T ∈ LC (En ). Llavors: (1) T hermiti` a ⇐⇒ { ∀ x ∈ En : < T (x) | x > ∈ R } (2) T antihermiti` a ⇐⇒ { ∀ x ∈ En : ∃β ∈ R / < T (x) | x >= βi, } (3) T unitari ⇐⇒ { ∀ x ∈ En : ||T (x)|| = ||x|| } Demostraci´ o 10.3.1.3 [ 1, 2, =⇒ ] Per a qualsevol x ∈ En : < T (x) | x >=< x | ∗ T (x) >= < ∗ T (x) | x > a), resulta que < T (x) | x >= < T (x) | x >, i < T (x) | x > ´es un nombre Ara, si ∗ T = T (T hermiti` real. Per altra banda, quan ∗ T = −T (T antihermiti`a), tenim que < T (x) | x >= −< T (x) | x >, i < T (x) | x > ´es un nombre imaginari pur.
[ 1, ⇐= ] Per a qualsevol x ∈ En : < T (x) | x >=< x | ∗ T (x) > < T (x) | x >=< x | T (x) > , ja que < T (x) | x > ´es real.
Algweb Llavors, igualant totes dues expressions, obtenim que < x | (T − ∗ T )(x) >= 0, per a tot x ∈ En . Segons la proposici´o 10.3.1.2, aix` o implica que T − ∗ T = 0, i T ´es hermiti`a.
[ 2, ⇐= ] Per a qualsevol x ∈ En : < T (x) | x >=< x | ∗ T (x) > < T (x) | x >= − < x | T (x) > , ja que < T (x) | x > ´es imaginari pur.
Llavors, igualant totes dues expressions, obtenim que < x | (T + ∗ T )(x) >= 0, per a tot x ∈ En . Segons la proposici´o 10.3.1.2, aix` o implica que T + ∗ T = 0, i T ´es antihermiti`a.
[ 3 ] Per a qualsevol x ∈ En , notem que: [ =⇒ ] Com que dedueix el resultat.
2 ||T (x)|| =< T (x) | T (x) >=< x | (∗ T · T )(x) > ∗ T · T = Id, tenim que per a tot x ∈ En : 2 2 2 ||T (x)|| =< x | x >= ||x|| , d’on es 2 [ ⇐= ] Suposem ||T (x)|| = ||x|| =< x | Id(x) > per a tot x ∈ En . Com que 2 ||T (x)|| =< x | (∗ T · T )(x) >, resulta que: ∀ x ∈ En : Ara, aplicant la proposici´ o 10.3.1.2, obtenim < x | (∗ T · T − Id)(x) >= 0 ∗ T · T − Id = 0, i T ´es unitari.
Corol·lari 10.3.1.4: Siguin (En , < | >), espai euclidi`a complex, T ∈ LC (En ), i λ un valor propi de T .
(1) T hermiti` a =⇒ λ ∈ R (2) T antihermiti` a =⇒ ∃ β ∈ R / λ = β i (3) T unitari =⇒ |λ| = 1 (∃ θ ∈ [0, 2π) / λ = eiθ = cos θ + i sin θ) 2 Demostraci´ o 10.3.1.4 Sigui x ∈ En , x = 0, tal que T (x) = λx. Notem que ||x|| ∈ R, i tamb´e que: 2 (a) < T (x) | x >= λ ||x|| , 2 2 2 (b) ||T (x)|| = |λ| ||x|| [ 1 ] Com que < T (x) | x >∈ R pel punt (1) de la proposici´o anterior, de l’expressi´o (a) deduim que λ ∈ R.
[ 2 ] Ja que existeix β ∈ R tal que < T (x) | x >= β i pel punt (2) de la proposici´o 10.3.1.3, de l’expressi´o (a) deduim que β ∈ R.
2 2 [ 3 ] El punt (3) de la proposici´ o 10.3.1.3 permet garantir que ||T (x)|| = ||x|| . Llavors, segons 2 l’expressi´o (b), resulta que |λ| = 1.
Teorema 10.3.1.5: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a complex. Sigui T ∈ LC (En ). Llavors: T hermiti` a ⇐⇒ (1) Existeix N,base ortonormal de (En , < | >), tal  µ1   ..
que [T ]N =   , amb µj ∈ R, ∀j = 1, n .
µn T antihermiti` a ⇐⇒ Algweb (2) T unitari ⇐⇒ (3) Existeix N,  de (En , < | >), tal  base ortonormal β1 i   ..
que [T ]N =   , amb βj ∈ R, ∀j = 1, n .
βn i Existeix N, base ortonormal de (En , < | >), tal  µ1   ..
que [T ]N =   , amb |µj | = 1, ∀j = 1, n .
µn Demostraci´ o 10.3.1.5 [ 1, 2, 3, =⇒ ] Es consequ`encia directa dels corol·laris 10.2.4 i 10.3.1.4.
[ 1, 2, 3, ⇐= ] Si N ´es una base ortonormal tal que    µ1 µ1    .
∗ ∗ ..
[T ]N =   , ´es a dir, [ T ]N = [T ]N =  µn  ..
 , .
µn tenim que: Si µj ∈ R per tots els j = 1, n, resulta que [∗ T ]N = [T ]N . Per tant, 1) : 2) : ∗ 3) : ∗ T = T.
Si µj = βj i, amb βj ∈ R, per tots els j = 1, n, resulta que [∗ T ]N = −[T ]N = [−T ]N . Per tant, T = −T .
Si per a tot j = 1, n ´es |µj | = 1, llavors µj µj = 1. Per tant, [∗ T ·T ]N = [∗ T ]N [T ]N = In = [Id]N .
D’aquesta forma, deduim que ∗ T · T = Id.
Exemple 10.3.1.1: Sigui l’espai euclidi`a complex (E4 , < | >), dimC E4 = 4, i sigui V una base ortonormal de (E4 , < | >). Sigui Q ∈ LC (E4 ) un operador definit com:   2 0 0 0 0 0 1 i  [Q]V =   0 0 2 0 0 0 0 2 Definim tamb´e l’operador T ∈ LC (E4 , E4 ) com: T = Q · la base ortonormal on diagonalitza.
∗ Q. Volem veure que T ´es hermiti`a, i trobar Per veure que T ´es hermiti` a, no ens cal trobar la matriu [T ]V . En efecte: ∗ T =∗ (Q · ∗ Q) =∗ (∗ Q) · ∗ Q=Q· ∗ Q = T.
Per`o s´ı necessitem [T ]V per a trobar els valors propis i els subespais propis. Com que [∗ Q]V = [Q]∗V en ser V ortonormal:      2 0 0 0 4 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2i  0 0 1 i 0 0 0 0 0 [T ]V = [Q · ∗ Q]V = [Q]V [Q]∗V =  =   0 1 2 0 0 2 4 0 0 0 2 0 0 −i 0 2 0 −2i 0 4 0 0 0 2 2 Llavors, pT (x) = x(x − 6)(x − 4) , i els valors propis de T s´on λ1 = 0, λ2 = 6, λ3 = 4, que s´on reals.
Aix´ı: [ λ1 = 0 ] Base de Ker T : {(0, −2i, 2i, 1)V } ↓ Gram − Schmidt Base ortonormal de Ker T : N1 = { 13 (0, −2i, 2i, 1)V } Algweb [ λ2 = 6 ] Base de Ker (T − 6Id) : { (0, i, i, 1)V } ↓ Gram − Schmidt Base ortonormal de Ker (T − 6Id) : N2 = { √1 (0, i, i, 1)V 3 } [ λ3 = 4 ] Base de Ker (T − 4Id) : { (1, 0, 0, 0)V , (0, 0, −i, 1)V } ↓ Gram − Schmidt Base ortonormal de Ker (T − 4Id) : N3 = { (1, 0, 0, 0)V , √1 (0, 0, −i, 1)V 2 } Llavors: N = N1 ∪ N2 ∪ N3 = { 13 (0, −2i, 2i, 1)V , √1 (0, i, i, 1)V 3  ´es una base ortonormal de (E4 , < | >) tal que  [T ]N =  , (1, 0, 0, 0)V , 0 √1 (0, 0, −i, 1)V 2 }  6  .
4 4 Acabem aquesta subsecci´ o donant una caracteritzaci´o m´es completa dels operadors unitaris.
Proposici´o 10.3.1.6: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a complex, i sigui T ∈ LC (En ). Les seg¨ uents afirmacions s´ on equivalents: (1) T ´es operador unitari (2) ∀ x ∈ En : (3) ∀ x, y ∈ En : ||T (x)|| = ||x|| < T (x) | T (y) >=< x | y > (4) Per a tota base ortonormal B = {e1 , . . . , en } de (En , < | >), el sistema de vectors {T (e1 ), . . . , T (en )} tamb´e ´es base ortonormal de (En , < | >) Demostraci´ o 10.3.1.6 L’equival`encia dels dos primers punts ja s’ha vist en el punt (3) de la proposici´o 10.3.1.3. Per tant, n’hi ha prou amb demostrar: 1) =⇒ 3), 3) =⇒ 4), i 4) =⇒ 2).
[ 1) =⇒ 3) ] ∗ T · T = Id per hip` otesi. Llavors, per a qualssevol x, y ∈ En : < T (x) | T (y) >=< x | (∗ T · T )(y) >=< x | y > [ 3) =⇒ 4) ] Per a tot parell d’´ındexs j, k = 1, n : < T (ej ) | T (ek ) >=< ej | ek >= δjk , i el sistema {T (e1 ), . . . , T (en )} ´es ortonormal (per tant, base ortonormal de (En , < | >)). Observem que s’ha aplicat la hip` otesi (punt (3)) en la primera igualtat, i el fet qu`e {e1 , . . . , en } ´es base ortonormal en la segona.
[ 4) =⇒ 2) ] Suposem que B = {e1 , . . . , en } i W = {T (e1 ), . . . , T (en )} s´on bases ortonormals de 2 (En , < | >). Sigui ara x un vector qualsevol de En , tal que x = x1 e1 + . . . + xn en (per tant, ||x|| = 2 2 2 (x1 ) + . . . + (xn ) , en ser B ortonormal). Per`o T (x) = x1 T (e1 ) + . . . + xn T (en ), ´es a dir, ||T (x)|| = 2 2 2 2 (x1 ) + . . . + (xn ) , en ser Z ortonormal. Aix´ı, hem deduit que ||x|| = ||T (x)|| .
10.3.2 Operadors normals reals t En aquesta subsecci´ o, farem u ´s de la notaci´o espec´ıfica per a operador reals, ´es a dir, emprarem T (operador transposat) en comptes de ∗ T .
Algweb Definici´o 10.3.2.1: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a real, i sigui T ∈ LR (En ).
t (1) T ´es sim`etric si (2) T ´es antisim`etric si (3) T ´es ortogonal si T =T t t T = −T T = T −1 Lema 10.3.2.1: Els operadors sim`etrics, els antisim`etrics, i els ortogonals s´on normals.
Demostraci´ o 10.3.2.1 An` aloga a la del lema 10.3.1.1.
Proposici´o 10.3.2.2: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a real, i sigui T ∈ LR (En ). Llavors: (1) Si T ´es sim`etric: { ∀ x ∈ En : < T (x) | x >= 0 } =⇒ T = 0 (2) T antisim`etric ⇐⇒ { ∀ x ∈ En : (3) T ortogonal ⇐⇒ { ∀ x ∈ En : ||T (x)|| = ||x|| } < T (x) | x >= 0 } Demostraci´ o 10.3.2.2 [ 1 ] Per a qualsevol x, y ∈ En : 0 =< T (x + y) | x + y >=< T (x) | y > + < T (y) | x >=< T (x) | y > + < y | t T (x) >= =< T (x) | y > + < y | T (x) >= 2 < T (x) | y > , on s’ha utilizat que < T (x) | x >=< T (y) | y >= 0 per hip`otesi. Per tant, com que < T (x) | y >= 0 per a tot parell de vectors x, y ∈ En , deduim que T = 0.
[ 2, =⇒ ] Per a qualsevol x ∈ En : < T (x) | x >=< x | t T (x) >= − < x | T (x) >= − < T (x) | x > , d’on s’obt´e que < T (x) | x >= 0.
[ 2, ⇐= ] Per a qualsevol x ∈ En : 0 =< T (x) | x >=< x | t T (x) >=< t T (x) | x > Per tant: < (T + t T )(x) | x >= 0, ∀ x ∈ En . Per`o t (T + t T ) = t T + T = T + t T (T + t T ´es sim`etric), i llavors, segons el primer punt d’aquesta proposici´o, resulta que T + t T = 0. D’aquesta forma, t T = −T , i T ´es antisim`etric.
[ 3 ] Per a qualsevol x ∈ En , notem que: 2 ||T (x)|| =< T (x) | T (x) >=< x | (t T · T )(x) > t [ =⇒ ] Com que dedueix el resultat.
T · T = Id, tenim que per a tot x ∈ En : 2 2 2 ||T (x)|| =< x | x >= ||x|| , d’on es 2 [ ⇐= ] Suposem ||T (x)|| = ||x|| =< x | Id(x) > per a tot x ∈ En . Com que 2 ||T (x)|| =< x | (t T · T )(x) >, resulta que: ∀ x ∈ En : < x | (t T · T − Id)(x) >= 0 Algweb Per`o, com es veu f` acilment, l’operador t T · T − Id ´es sim`etric. Per tant, el punt (1) d’aquesta proposici´o permet garantir que t T · T − Id = 0, ´es a dir, t T · T = Id, i T ´es ortogonal.
Tamb´e podem donar una caracteritzaci´o m´es completa dels operadors ortogonals, tal i com ja s’ha fet pels unitaris (complexs).
Proposici´o 10.3.2.3: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a real, i sigui T ∈ LR (En ). Les seg¨ uents afirmacions s´ on equivalents: (1) T ´es operador ortogonal (2) ∀ x ∈ En : (3) ∀ x, y ∈ En : ||T (x)|| = ||x|| < T (x) | T (y) >=< x | y > (4) Per a tota base ortonormal B = {e1 , . . . , en } de (En , < | >), el sistema de vectors {T (e1 ), . . . , T (en )} tamb´e ´es base ortonormal de (En , < | >) Demostraci´ o 10.3.2.3 An` aloga a la demostraci´o de la proposici´o 10.3.1.6.
• Arribats a aquest punt, ens hem de preguntar si els operadors sim`etrics, els antisim`etrics o els ortogonals diagonalitzen en una certa base ortonormal. Tot recordant el teorema espectral per a operadors normals, la resposta a la pregunta anterior ser`a afirmativa quan les solucions caracter´ıstiques pertanyin a R. A l’estudi que c` om s´ on aquestes solucions caracter´ıstiques va orientat el seg¨ uent resultat.
Proposici´o 10.3.2.4: Siguin (En , < | >), espai euclidi`a real, T ∈ LR (En ).
(1) Si T ´es sim`etric, totes les seves solucions caracter´ıstiques s´on reals.
(2) Si T ´es antisim`etric: (2.1) Les solucions caracter´ıstiques s´on imagin`aries pures.
(2.2) L’´ unic valor propi possible ´es zero.
(3) Si T ´es ortogonal: (3.1) Les solucions caracter´ıstiques s´on nombres complexs de m`odul unitat.
(3.2) Els u ´nics valors propis possibles s´on 1, −1.
Demostraci´ o 10.3.2.4 Sigui W una base ortonormal de (En , < | >). Sigui ara l’espai euclidi`a complex (Cn , < ˆ| >), essent el producte escalar el can`onic, pel qual ´es base ortonormal la base can`onica (V ) de Cn .
Definim ara l’operador complex Q ∈ LC (En ) com: [Q]V = [T ]W . Fixem-nos en qu`e [∗ Q]V = [Q]∗V = [T ]∗W = [T ]tW = [t T ]W , on s’ha emprat que W i V s´on bases ortonormals, i tamb´e que la matriu [T ]W ´es real. Per tant: T sim`etric =⇒ [t T ]W = [T ]W T antisim`etric =⇒ [t T ]W = [−T ]W =⇒ [∗ Q]V = [Q]V =⇒ [∗ Q]V = [−Q]V =⇒ =⇒ T ortogonal =⇒ [t T ]W = [T ]−1 =⇒ [∗ Q]V = [Q]−1 =⇒ W V ∗ Q = Q =⇒ Q ´es hermiti`a ∗ Q = −Q =⇒ Q ´es antihermiti`a ∗ Q = Q−1 =⇒ Q ´es unitari Algweb D’aquesta forma, tenint en compte que les solucions caracter´ıstiques de T i de Q s´on id`entiques, i recordant el corol·lari 10.3.1.4, deduim els punts (1), (2.1) i (3.1). Adem´es, el punt (2.2) ´es directe, ja que l’´ unic nombre real que ´es imaginari pur ´es el zero. An`alogament, els u ´nics nombres reals de m`odul unitat s´on 1 i −1, demostrant aix´ı el punt (3.2).
Teorema 10.3.2.5 (Teorema espectral per operadors normals reals): euclidi`a real, i sigui T ∈ LR (En ). Llavors: Sigui (En , < | >) un espai T e´s sim` etric Existeix una base ortonormal N de (En , < | >) on [T ]N e´s matriu diagonal Demostraci´ o 10.3.2.5 [ ⇓ ] Es dedueix de forma directa del teorema 10.2.3 i de la proposici´o 10.3.2.4.
  µ1   ..
[ ⇑ ] Si [T ]N =   ∈ MR (n × n), resulta que, en ser N ortonormal, [t T ]N = [T ]tN , .
µn ´es a dir, [t T ]N = [T ]N , i T ´es sim`etric.
Observaci´ o : Com acabem de veure, els u ´nics operadors reals que diagonalitzen en una certa base ortonormal s´on els sim`etrics. Per` o, segons el teorema espectral per operadors normals (teorema 10.2.3), sabem que tot operador normal tal que totes les seves solucions caracter´ıstiques siguin reals ´es diagonalitzable en una certa base ortonormal (podria passar, per exemple, per alg´ un operador antisim`etric o ortogonal): aix´ o vol dir, per tant, que aquests operadors ser`an tamb´e sim`etrics. Aquest tipus de reflexions permet escriure la seg¨ uent proposici´ o.
Proposici´o 10.3.2.6: Sigui (En , < | >) un espai euclidi`a real.
(1) L’´ unic operador antisim`etric diagonalitzable ´es 0 (2) Per a tot operador T ∈ LR (En ) : (2.1) { T ´es normal, essent reals les seves solucions caracter´ıstiques } ⇐⇒ { T ´es sim`etric } (2.2) { T ´es ortogonal i sim`etric } ⇐⇒ { Existeix una base ortonormal (N ) de (En , < | >)   µ1   ..
tal que [T ]N =   , amb µj ∈ {−1, 1}, ∀j = 1, n } .
µn Demostraci´ o 10.3.2.6 [ 1 ] Com que l’´ unic valor propi possible d’un operador antisim`etric T ´es λ = 0, si V ´es una base de En on T diagonalitza, tindrem:   0 .
 , ´es a dir, T = 0.
..
[T ]V =  0 ´ conseq¨ [ 2.1, ⇐= ] Es u`encia del fet qu`e T ´es normal, i del punt (1) de la proposici´o 10.3.2.4.
[ 2.1, =⇒ ] Del teorema 10.2.3 deduim que T ´es diagonalitzable en una certa base ortonormal. Per tant, segons el teorema 10.3.2.5, T ´es sim`etric.
Algweb [ 2.2, =⇒ ] En ser T sim`etric, ´es diagonalitzable en una cert base ortonormal (teorema 10.3.2.5). I en ser ortogonal, pel punt (3.2) de la proposici´o 10.3.2.4, sabem que cada valor propi de T ´es igual a 1 o a −1.
[ 2.2, ⇐= ] T ´es sim`etric, en diagonalitzar en una base ortonormal. Per veure que T ´es alhora ortogonal:   µ1   ..
[T ]N =   , amb µj ∈ {−1, 1}, ∀j = 1, n implica .
µn   2 (µ1 )   ..
que [t T · T ]N = [t T ]N [T ]N = [T ]tN [T ]N =   .
2 (µn ) 2 Per`o llavors, com que (µj ) = 1 per cada j = 1, n, tenim que: [t T · T ]N = In = [Id]N , ´es a dir, t T · T = Id Exemple 10.3.2.1: L’operador T ∈ LR (E3 ) de l’exemple 10.2.1 ´es ortogonal ja que, com s’ha vist: [T · t T ]V = I3 = [Id]V , ´es a dir, T · t T = Id Per`o vam trobar que aquest operador diagonalitza ortogonalment, per la qual cosa ha de ser sim`etric.
Malgrat la comprovaci´ o d’aquest fet ´es trivial a partir de la matriu [T ]N (matriu diagonal, essent N base ortonormal), vegem que tamb´e ho podriem haver garantit a partir de la matriu [T ]V :       1 1 0 1 0 0 2 −1 0 t  −1 1 0   1 0 −1   1 2 0  = [T ]V , [t T ]V = [< | >]−1 V [T ]V [< | >]V = 0 0 1 1 −1 0 0 0 1 d’on obtenim t T = T , i T ´es sim`etric.
• Com hem vist, pels operadors reals que no s´on sim`etrics no existeix cap base ortonormal en la que diagonalitzin. Segons el teorema 10.2.3, si l’operador ´es normal, aix`o nom´es pot passar quan l’operador tingui alguna soluci´ o caracter´ıstica no real. En aquest cas, si no podem garantir la diagonalitzaci´o en base ortonormal, existeix alguna forma ”senzilla” per la matriu d’operador d’aquest tipus ? Malgrat no ho demostrarem (no ´es pas immediat fer-ho), responem a aquest q¨ uesti´o amb el seg¨ uent teorema.
Teorema 10.3.2.7: Sigui (En , < | >), un espai euclidi`a real, i sigui T ∈ LR (En ) un operador normal que t´e alguna soluci´ o caracter´ıstica no real. Suposem que λ1 , . . . , λs ´es el conjunt de valors propis (∈ R) de T , diferents dos a dos, i que λs+1 = as+1 + ibs+1 , λs+1 , . . . , λq = aq + ibq , λq s´on les solucions caracter´ıstiques no reals de T (tamb´e diferents dos a dos), amb aj , bj ∈ R, ∀j = s + 1, q. Siguin m(λ1 ), . . . , m(λs ), m(λs+1 ) = m(λs+1 ), . . . , m(λq ) = m(λq ), les multiplicitats respectives. Llavors: Existeix una base ortonormal N de (En , < | >) tal que   J1 J2     ..
  .
    Js   [T ]N =  , on les matrius Jj s´on: Js+1     Js+2     ..
  .
Jq  Algweb ∀ j = 1, s :  λj ..
 Jj =    ∈ MR (m(λj ) × m(λj )) .
λj  ∀ j = s + 1, q :   Jj =    aj bj −bj aj  ..
.
aj bj −bj aj    ∈ MR (2m(λj ) × 2m(λj ))   Exemple 10.3.2.2: Sigui l’espai euclidi` a real (R3 , < | >), essent < | > el producte escalar can`onic.
3 Sigui V la base can` onica de R (ortonormal), i sigui T ∈ LR (R3 ) tal que: √  √  2 2 0 √ 1  [T ]V = 12  −√ 2 1 2 1 1 Volem veure que T ´es operador ortogonal, per`o que no ´es diagonalitzable ortogonalment. Adem´es, trobarem la forma matricial del teorema 10.3.2.7 i interpretarem el resultat des del punt de vista geom`etric.
T ´es ortogonal, ja que:  [T · t T ]V = [T ]V [t T ]V = [T ]V 1 [T ]tV =  0 0 0 1 0  0 0 1 Per`o pT (x) = − 18 (x − 1)(x − i)(x + i), d’on resulta que les solucions caracter´ıstiques de T s´on λ1 = 1, λ2 = i, λ3 = λ2 = −i, de forma que dues d’elles no s´on reals (´es a dir, no diagonalitza ortogonalment).
Emprant el teorema 10.3.2.7, existeix una base ortonormal N en la qual:   1 [T ]N =  0 −1  1 0 Es pot veure que una possible base N on T pren aquesta forma matricial ´es: N = { e1 = √1 (0, 1, 1), 2 e2 = √1 (0, 1, −1), 2 e3 = (1, 0, 0) } Observem que, a partir de [T ]N : ◦ T (e1 ) = e1 ◦ T (e2 ) = e3 , T (e3 ) = −e2 ◦ ∀ x ∈ R3 , com que existeixen i s´ on u ´nics els vectors x1 = α1 e1 ∈< e1 >R i x2 = α2 e2 + α3 e3 ∈< e2 , e3 >R tals que x = x1 + x2 (noteu que < e2 , e3 >R ´es el subespai ortogonal de < e1 >R ), tenim: T (x1 ) = α1 e1 = x1 T (x2 ) = α2 e3 − α3 e2 i, per tant, < T (x2 )|x2 >= 0, ||T (x2 )|| = ||x2 || (observeu que l’´ ultima igualtat entre normes ja la coneixiem per tot operador ortogonal: punt (2) de la proposici´ o 10.3.2.3).
Algweb Per tant, l’actuaci´ o de l’operador T sobre un vector qualsevol x ∈ R3 consisteix en deixar igual la component de x sobre el vector e1 , i girar (prenent e1 com eix de gir) 90o la component de x sobre el pla perpendicular a e1 . Per aix` o, es diu que T ´es un gir de 90o al voltant de l’eix (0, 1, 1). De fet, qualsevol gir en R3 al voltant d’un cert eix es comporta de la mateixa manera. Si Q representa un gir de θ graus al voltant d’un eix (sobre el que es pren un vector unitari u1 ), es pot demostrar que:   1 [Q]N =  cos θ −sin θ  , sin θ cos θ on N ´es una base ortonormal de manera que el primer vector sigui u1 .
10.4 Matrius Normals Definici´o 10.4.1: Sigui A ∈ MK (n × n). Diem que A ´es una matriu normal si verifica: A A∗ = A∗ A Quan A ∈ MR (n × n), la condici´ o anterior s’esriur`a equivalentment com: A At = At A. Admetem sense demostraci´ o (per la seva simplicitat) el seg¨ uent lema.
Lema 10.4.1: S´ on matrius normals les matrius A ∈ MK (n × n) tals que: A∗ = A (hermitiana; sim`etrica, si K = R) A∗ = −A (antihermitiana; antisim`etrica, si K = R) A inversible i A∗ = A−1 (unit` aria; ortogonal, si K = R) Proposici´o 10.4.2: cumpleix: Siguin (En , < | >), T ∈ LK (En ), i N una base ortonormal de (En , < | >). Es (1) T ´es operador normal ⇐⇒ [T ]N ´es matriu normal (2) Si K = C : (2.1) T ´es operador hermiti` a ⇐⇒ [T ]N ´es matriu hermitiana (2.2) T ´es operador antihermiti` a ⇐⇒ [T ]N ´es matriu antihermitiana (2.3) (3) T ´es operador unitari ⇐⇒ [T ]N ´es matriu unit`aria Si K = R : (3.1) T ´es operador sim`etric ⇐⇒ [T ]N ´es matriu sim`etrica (3.2) T ´es operador antisim`etric ⇐⇒ [T ]N ´es matriu antisim`etrica (3.3) T ´es operador ortogonal ⇐⇒ [T ]N ´es matriu ortogonal Demostraci´ o 10.4.2 Observem que [∗ T ]N = [T ]∗N , ja que N ´es ortonormal. Com que totes les demostracions s´ on similars, nom´es donem expl´ıcitament la corresponent al punt (1): T normal ⇐⇒ ∗ T · T = T · ∗ T ⇐⇒ [∗ T · T ]N = [T · ∗ T ]N ⇐⇒ [∗ T ]N [T ]N = [T ]N [∗ T ]N ⇐⇒ [T ]∗N [T ]N = [T ]N [T ]∗N ⇐⇒ [T ]N normal Definici´o 10.4.2: Sigui A ∈ MK (n × n).
A ´es diagonalitzable unit` ariament si existeix una matriu unit`aria P ∈ MC (n × n) tal que P ∗ A P ´es una matriu diagonal pertanyent a MC (n × n).
(2) Sigui A ∈ MR (n × n). A ´es diagonalitzable ortogonalment si existeix una matriu ortogonal P ∈ MR (n × n) tal que P t A P ´es una matriu diagonal pertanyent a MR (n × n).
Algweb (1) Observeu que la condici´ o de que la matriu inversible P sigui unit`aria o ortogonal es pot escriure de forma unificada com: P inversible i P ∗ = P −1 (P ∗ P = In ).
Teorema 10.4.3 (Teorema espectral per matrius normals): Per a tota matriu A ∈ MK (n × n) : A ´es normal ⇐⇒ A ´es diagonalitzable unit`ariament Demostraci´ o 10.4.3 Sigui V la base can`onica de l’espai vectorial Cn . Sigui tamb´e (Cn , < | >) l’espai euclidi`a on < | > ´es el producte escalar can`onic, pel qual V ´es base ortonormal. Definim l’operador f ∈ LC (Cn , Cn ) com: [f ]V = A. Llavors, segons el punt (1) de la proposici´o 10.4.2 i el corol·lari 10.2.4: A normal ⇐⇒ f normal ⇐⇒ existeix una base ortonormal (N ) de (Cn , < | >) tal que [f ]N ´es diagonal Suposem que existeix la base ortonormal N on [f ]N ´es matriu diagonal. Definim ara la matriu P = [Id]N V ∈ MC (n × n), que ´es inversible. Tamb´e P ´es unit`aria, ja que ´es la matriu de canvi de base entre dues bases ortonormals de (Cn , < | >). Llavors: P ∗ A P = [Id]∗N V [f ]V [Id]N V = [Id]−1 N V [f ]V [Id]N V = [f ]N = matriu diagonal , i A ´es diagonalitzable unit` ariament.
Rec´ıprocament, suposem que A ´es diagonalitzable unit`ariament, ´es a dir, que existeix una matriu unit`aria P ∈ MC (n × n) tal que P ∗ A P = matriu diagonal. Definim la base N de Cn per mitj`a de la relaci´o: [Id]N V = P . Clarament, N ´es ortonormal, ja que V ho ´es i P ´es unit`aria. Per tant: −1 A P = P ∗ A P = matriu diagonal [f ]N = [Id]−1 N V [f ]V [Id]N V = P D’aquesta forma s’acaba la demostraci´o, ja que hem vist que dir que [f ]N ´es matriu diagonal (´es a dir, A normal) equival a dir que A ´es diagonalitzable unit`ariament.
Teorema 10.4.4 (Teorema espectral per matrius reals sim`etriques): Per a tota matriu A ∈ MR (n×n) : A ´es sim`etrica ⇐⇒ A ´es diagonalitzable ortogonalment Demostraci´ o 10.4.4 Sigui V la base can`onica de l’espai vectorial Rn . Sigui tamb´e (Rn , < | >) l’espai euclidi`a on < | > ´es el producte escalar can`onic, pel qual V ´es base ortonormal. Definim l’operador f ∈ LR (Rn , Rn ) com: [f ]V = A. Llavors, segons el punt (3.1) de la proposici´o 10.4.2 i el teorema 10.3.2.5: A sim`etrica ⇐⇒ f sim`etric ⇐⇒ existeix una base ortonormal (N ) de (Rn , < | >) tal que [f ]N ´es diagonal Suposem que existeix la base ortonormal N on [f ]N ´es matriu diagonal. Definim ara la matriu P = [Id]N V ∈ MR (n × n), que ´es inversible. Tamb´e P ´es ortogonal, ja que ´es la matriu de canvi de base entre dues bases ortonormals de (Rn , < | >). Llavors: P t A P = [Id]tN V [f ]V [Id]N V = [Id]−1 N V [f ]V [Id]N V = [f ]N = matriu diagonal, ∈ MR (n × n) , i A ´es diagonalitzable ortogonalment.
Rec´ıprocament, suposem que A ´es diagonalitzable ortogonalment, ´es a dir, que existeix una matriu ortogonal P ∈ MR (n × n) tal que P t A P = matriu diagonal. Definim la base N de Rn per mitj`a de la relaci´o: [Id]N V = P . Clarament, N ´es ortonormal, ja que V ho ´es i P ´es ortogonal. Aix´ı: Algweb −1 [f ]N = [Id]−1 A P = P t A P = matriu diagonal N V [f ]V [Id]N V = P D’aquesta forma s’acaba la demostraci´o, ja que hem vist que dir que [f ]N ´es matriu diagonal (´es a dir, A sim`etrica) equival a dir que A ´es diagonalitzable ortogonalment.
Exemple 10.4.1: Sigui A ∈ MR (4 × 4) la matriu:   0 1 0 0  −1 0 0 0  A=  0 0 0 −1 0 0 1 0 Notem que A no ´es diagonalitzable ortogonalment, ja que unit`ariament:    0 0 1 0 0  −1 0 0 0   1 ∗ t AA =AA =   0 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 no ´es sim`etrica. Per veure si ´es diagonalitzable −1 0 0 0  0 0 0 0  = At A = A∗ A , 0 1 −1 0 2 i A ´es normal i diagonalitza unit` ariament. De pA (x) = (x2 + 1) obtenim que les solucions carcater´ıstiques de A s´ on λ1 = i, λ2 = −i. Prenent V com la base can`onica de C4 , i definint un producte escalar i un operador f ∈ LC (C4 ) com [< | >]V = I4 , [f ]V = A , 4 tenim que (anem a trobar una base ortonormal de (C , < | >) on f diagonalitza): [ λ1 = i ] Base de Ker (f − iId) : { (−i, 1, 0, 0)V , (0, 0, i, 1)V } ↓ Gram − Schmidt Base ortonormal de Ker (f − iId) : N1 = { √1 (−i, 1, 0, 0)V 2 √1 (0, 0, i, 1)V 2 } √1 (0, 0, −i, 1)V 2 } , [ λ2 = −i ] Base de Ker (f + iId) : { (i, 1, 0, 0)V , (0, 0, −i, 1)V } ↓ Gram − Schmidt Base ortonormal de Ker (f + iId) : N2 = { √1 (i, 1, 0, 0)V 2 , Definint la base ortonormal  −i 0 i 1 0 1  1 P = [Id]N V = √2  0 i 0 0 1 0 P ∗ A P = [Id]∗N V [f ]V N = N1 ∪ N2 on f diagonalitza, i la matriu unit`aria  0 0  , resulta que: −i 1   i i   [Id]N V = [Id]−1  N V [f ]V [Id]N V = [f ]N =  −i −i • Tal i com s’ha fet en les demostracions dels teoremes 10.4.3 i 10.4.4, donada una matriu A ∈ MK (n × n), sempre li podem associar un endomorfisme f (i unaltre endomorfisme fˆ, si A ∈ MR (n × n)) de la seg¨ uent forma: (1) [f ]V = A, on f ∈ LC (Cn ), V ´es la base can`onica de Cn , i < | > ´es el producte escalar can`onic en Cn .
Si A ∈ MR (n × n), llavors [fˆ]V = A, on fˆ ∈ LR (Rn ), V ´es la base can`onica de Rn , i < | > ´es el producte escalar can` onic en Rn , on, entre d’altres relacions, trobem que les solucions caracter´ıstiques de f i de A (i tamb´e de fˆ) s´on id`entiques. Aquesta connexi´ o entre matrius i operadors ´es la base dels tres seg¨ uents resultats, que s’inclouen sense demostraci´ o.
Algweb (2) Corol·lari 10.4.5: Sigui A ∈ MK (n × n).
(1) Si A∗ = A, totes les solucions caracter´ıstiques de A s´on reals.
(2) Si A∗ = −A : (2.1) (2.2) (3) Les solucions caracter´ıstiques de A s´on imagin`aries pures.
L’´ unica possible soluci´ o caracter´ıstica real de A ´es zero.
Si A inversible i A∗ = A−1 : (3.1) (3.2) Les solucions caracter´ıstiques de A s´on nombres complexs de m`odul unitat.
Les u ´niques possibles solucions caracter´ıstiques reals de A s´on 1, −1.
Corol·lari 10.4.6: Sigui A ∈ MK (n × n). Llavors: A∗ = A ⇐⇒ (1) A∗ = −A ⇐⇒ (2) ∃ A−1 , A∗ = A−1 (3) Existeix P ∈ MC (n × n), aria, tal que  unit` µ1   ..
P∗ A P =   , amb µj ∈ R, ∀j = 1, n .
µn Existeix P ∈ MC (n × n), unit` aria, tal que β1 i   ..
P∗ A P =   , amb βj ∈ R, ∀j = 1, n .
βn i ⇐⇒ ExisteixP ∈ MC (n × n), aria, tal que  unit` µ1   ..
P∗ A P =   , amb |µj | = 1, ∀j = 1, n .
µn Corol·lari 10.4.7: Es verifica: (1) L’´ unica matriu real antisim`etrica diagonalitzable en R ´es On (2) Per a tota matriu A ∈ MR (n × n) : (2.1) (2.2) { A ´es normal, essent reals les seves solucions caracter´ıstiques } ⇐⇒ { A ´es sim`etrica } A ortogonal i sim` etrica ⇐⇒ Existeix P ∈ MR (n  × n), ortogonal, tal que  µ1   ..
Pt A P =   , µj ∈ {−1, 1}, ∀j = 1, n } .
µn • Escrivim ara l’an` aleg al teorema 10.3.2.7 per matrius normals reals que no diagonalitzen ortogonalment.
Algweb Teorema 10.4.8: Sigui A ∈ MR (n × n) una matriu normal, tal que t´e alguna soluci´o caracter´ıstica no real. Suposem que λ1 , . . . , λs ´es el conjunt de solucions caracter´ıstiques reals de A, diferents dos a dos, i que λs+1 = as+1 + ibs+1 , λs+1 , . . . , λq = aq + ibq , λq s´on les solucions caracter´ıstiques no reals de A (tamb´e diferents dos a dos), amb aj , bj ∈ R, ∀j = s + 1, q. Siguin m(λ1 ), . . . , m(λs ), m(λs+1 ) = m(λs+1 ), . . . , m(λq ) = m(λq ), les multiplicitats respectives. Llavors: Existeix una matriu ortogonal P ∈ MR (n × n) tal que   J1 J2     ..
  .
    J   s Pt A P =  , on les matrius Jj s´on: Js+1     Js+2     ..
  .
Jq  ∀ j = 1, s : ∀ j = s + 1, q :  λj ..
 Jj =    ∈ MR (m(λj ) × m(λj )) .
λj    Jj =    aj bj −bj aj  ..
.
aj bj −bj aj    ∈ MR (2m(λj ) × 2m(λj ))   • Acabem el tema amb una aplicaci´ o important de la diagonalitzaci´o ortogonal de matrius sim`etriques: la an`al·lisi del car` acter definit i/o degenerat d’una forma bilineal sim`etrica (veure tema 6).
Proposici´o 10.4.9: Sigui En un espai vectorial real, dimR En = n ∈ N∗ , i sigui V una base de En .
Sigui g ∈ L2 (En , R), forma bilineal sim`etrica. Si definim A = [g]V , es verifica: (1) g ´es definida positiva ⇐⇒ Les solucions caracter´ıstiques de A s´on ≥ 0 (2) g ´es definida negativa ⇐⇒ Les solucions caracter´ıstiques de A s´on ≤ 0 (3) g ´es no degenerada ⇐⇒ Les solucions caracter´ıstiques de A s´on = 0 i del mateix signe Demostraci´ o 10.4.9 Com que A ´es sim`etrica, sabem que existeix P ∈ MR (n × n) tal que P t = P −1 i   λ1 ..
, on λ1 , . . . , λn s´on les solucions caracter´ıstiques de A (reals). Si definim Pt A P =  .
λn la base N de En per mitj` a de [Id]N V = P , tindrem que:   λ1 ..
, [g]N = [Id]tN V [g]V [Id]N V = P t A P =  .
λn indicant que g pren forma can` onica en base N . Llavors, els tres punts de la proposici´o es dedueixen directament de la proposici´ o 6.2.12 (tema 6).
Algweb Exemple 10.4.2: Sigui g ∈ L2 (R3 , R) una forma bilineal sim`etrica tal que, en base can`onica de R3 , t´e per matriu associada:   4 1 1 [g]V =  1 1 −1  1 −1 4 Volem saber si g ´es definida (positiva o negativa), i si g ´es o no degenerada.
√ √ Definint A = [g]V , resulta que√pA (x) =√−(x − 5)(x − (2 + 3))(x − (2 − 3)). Per tant, les solucions caracter´ıstiques de A s´ on: 5, 2 + 3, 2 − 3. Llavors: g ´es definida positiva, ja que totes les solucions caracter´ıstiques s´on ≥ 0; g ´es no degenerada, ja que totes les solucions caracter´ıstiques s´on diferents de zero i del mateix signe (> 0).
Per tant, g ´es definida positiva i no degenerada, ´es a dir, ´es un producte escalar.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports 11.TENSORS 11.1 Espai Dual Definici´ o 11.1.1: sigui E un K espai vectorial, definim l’espai dual E: E ∗ = LK (E; K) = {f | f : E −→ K, f aplicaci´o lineal} Notaci´ o: Direm que f ∈ E ∗ ´es una forma lineal definida en E.
Hem de tenir en compte que segons la proposici´o 5.1.5 si considerem la suma d’aplicacions i el producte d’un escalar per una aplicaci´ o, (LK (E; F ), +, ·) t´e estructura de K e.v. Aqu´ı es tracta d’un cas particular on F = K.
Exemple 11.1.1: E = R3 , (R3 )∗ = {f | f : R3 −→ R aplicaci´o lineal}.
∀(x, y, z) ∈ R3 , f (x, y, z) = 3x + 2y − z Exemple 11.1.2: Considerem l’espai vectorial real de les funcions reals continues definides en el in- Algweb terval [0, 1], E = C[0, 1] = {g | g : [0, 1] −→ R ∗ L ∈ C[0, 1] funci´o cont´ınua} L : C[0, 1] −→ R 1 ∀g ∈ C[0, 1], L(g) = g(t) dt 0 Si l’espai vectorial En ´es de dimensi´ o finita, aplicant la proposici´o 5.2.1: dimK En∗ = dimK LK (E; K) = (dimK En ) · (dimK K) = n · 1 = n En aquest cas pretenem trobar una base de En∗ .
Sigui V = {e1 , e2 , . . . , en } una base de En . Definim n elements de En∗ , A = {ε1 , ε2 , . . . , εn } ⊂ En∗ ∀i, j = 1, n 1 i=j 0 i=j εi (ej ) = δji = (Delta de Kronecker) Segons la definici´ o: ∀x ∈ En , Proposici´ o 11.1.1: ∀i = 1, n εi : En −→ K   n εi (x) = εi  n xj ej  = j=1 n xj εi (ej ) = j=1 xj δji = xi [a] j=1 A ´es base de En∗ i en direm la base dual de V , A = V D.
Demostraci´ o: 1) Comen¸carem demostrant que ´es un sistema lliure, ∀i = 1, n n ∀αi ∈ K, tals que 1 2 αi εi = ˜0 n α1 ε + α2 ε + . . . + αn ε = i=1 on ˜ 0 : En −→ K ∀x ∈ En , ˜0(x) = 0 llavors n 0 = ˜0(x) = ∀x ∈ En , αi εi (x) i=1 en particular ser` a cert si agafem: ∀j = 1, n n x = ej n αi εi (ej ) = 0= i=1 αi δji = αj = 0 i=1 2) Ara justifiquem que ´es sistema de generadors: n ∀ψ ∈ En∗ , ∀x ∈ En , n xi ei ψ(x) = ψ i=1 xi ψ(ei ) = i=1 Si ara utilitzem l’expressi´ o [a]: n Algweb ∀x ∈ En , n ψ(ei )εi (x) = ψ(x) = ψ(ei )εi i=1 (x) i=1 ´es a dir: n ψ(ei )εi ψ = ψ(e1 )ε1 + ψ(e2 )ε2 + . . . + ψ(en )εn = [b] i=1 Conclusi´o: V = {e1 , e2 , . . . , en } ∀i, j = 1, n En∗ .
base de En εi (ej ) = δji V D = {ε1 , ε2 , . . . , εn } ∀x ∈ En , base de En∗ εi (x) = xi Proposici´ o 11.1.2: Sigui ψ ∈ En∗ = LK (En ; K), V una base de En , i la seva dual V D que ´es base de Considerem {1} com a base del cos K com a K espai vectorial.
1) Tenint en compte que ψ ´es una aplicaci´o lineal definida entre En i K, podem utilitzar la definici´o 5.2.1 i treballar amb la seva matriu associada en les bases V i {1}: [ψ]V {1} = ( ψ(e1 ) ψ(e2 ) · · · ψ(en ) ) = ( ψ1 ψ2 · · · ψn ) ∈ MK (1 × n) 2) Per`o tamb´e ψ pertany a l’espai vectorial En∗ , i l’expressi´o [b] ens dona les seves coordenades en la base V D :  ψ(e )    ψ1 1  ψ(e2 )   ψ2     ψV D = (ψ(e1 ), ψ(e2 ), . . . , ψ(en )) = (ψ1 , ψ2 , . . . , ψn ) ∈ Kn [ψ]V D =   ..  =  ..  ∈ MK (n × 1) .
.
ψn ψ(en ) i finalment: [ψ]V D = [ψ]TV {1} Demostraci´o: ´es inmediata dels resultats d’aquest apartat i de la definici´o 5.2.1.
Canvi de base Considerem dues bases de En i les seves respectives bases duals: V = {e1 , e2 , . . . , en } N = {u1 , u2 , . . . , un } bases de En ∀i, j = 1, n bases de En∗ εi (ej ) = δji ∀k, r = 1, n V D = {ε1 , ε2 , . . . , εn } N D = {µ1 , µ2 , . . . , µn } µk (ur ) = δrk Utilitzant els resultats de l’apartat 5.4.1 corresponent al canvi de base en un espai vectorial, tindrem dues matrius de canvi de base en En i dues en En∗ : [IdE ]V N = A−1 [IdE ]N V = A A, A−1 ∈ MK (n × n) [IdE ∗ ]V D N D = C −1 [IdE ∗ ]N D V D = C C, C −1 ∈ MK (n × n) Ara volem trobar la relaci´ o entre aquestes quatre matrius.
Algweb Proposici´ o 11.1.3: Amb les notacions anteriors es verifica: T T [IdE ∗ ]N D V D = [IdE ]V N [IdE ∗ ]V D N D = [IdE ]N V Demostraci´o: Seguint les notacions establertes en 5.4.1, les columnes de la matriu A representen les coordenades en la base V dels vectors de la base N ,  u1j 2  a2j    uj   [uj ]V =  =   ..    ...  .
anj unj a 1j ∀j = 1, n   n uij ei uj = i=1 De la mateixa manera les columnes de la matriu C corresponen a les coordenades en la base V D dels vectors de la base N D . Per` o la columna k de la matriu C ´es tamb´e la fila k de la matriu C T que, segons la proposici´o 11.1.2 correspon a la matriu associada a µj en les bases V i {1},   µk  c1k 1  c2k   µk2     =  ...  =  ..  .
cnk µkn  ∀k = 1, n [µk ]V D [µk ]V {1} = ( c1k c2k n µk = µkr εr r=1 · · · cnk ) = ( µk (e1 ) µk (e2 ) · · · µk (en ) ) Utilitzant que, ∀ψ ∈ En∗ ,  x1 2 x   ψ(x) = ( ψ(e1 ) ψ(e2 ) · · · ψ(en ) ) ·   ...   ∀x ∈ En , xn i tenint en compte que es verifica: µk (uj ) = δjk ∀j, k = 1, n podrem escriure:  ←−  ←−    ←− [µ1 ]V {1} [µ2 ]V {1} ..
.
[µn ]V {1}  µ1 1 µ21   .
 .
.
µn1 µ12 µ22 ..
.
µn2    −→    −→     ·  [u 1 ]V     −→ · · · µ1n   u11 · · · µ2n   u21 . · .
..
. ..   ..
· · · µnn un1    [u 2 ]V   u12 u22 ..
.
un2    · · · [u n ]V   ··· ···     = In  · · · u1n  · · · u2n  .  = In ..
. ..  · · · unn ´es a dir: C T = A−1 C T · A = In 11.2 Tensors: formes multilineals: Algweb Proposici´ o 11.2.1: Sigui En un espai vectorial real de dimensi´o finita. Podem definir un isomorfisme can`onic entre En i En∗∗ = (En∗ )∗ , el que ens permetr`a considerar-los equivalents.
Demostraci´ o: Considerem l’espai bidual de En : En∗∗ = {˜ x : En∗ −→ R , forma lineal} Definim: Φ : En −→ En∗∗ x → Φ(x) = x ˜ tal que: x ˜ : En∗ −→ R def f →x ˜(f ) = f (x) Aquesta aplicaci´ o ´es lineal: ∀x, y ∈ En , ∀λ ∈ R, ∀f ∈ En∗ (Φ(x + λy))(f ) = f (x + λy) = f (x) + λf (y) = (Φ(x))(f ) + λ(Φ(y))(f ) = (Φ(x) + λΦ(y))(f ) i ´es injectiva: Φ(x0 ) = ˜ 0 =⇒ ∀f ∈ En∗ , ˜0(f ) = 0 = f (x0 ) =⇒ x0 = 0 Aconseguim l’exhaustivitat tenint en compte la igualtat de dimensions dels dos espais: dimR En = dimR En∗ = dimR (En∗ )∗ Observem que hem definit l’aplicaci´ o i verificat que ´es isomorfisme sense usar bases, el que ens permet dir que ´es un isomorfisme can` onic i identificar matem`aticament els dos espais.
En ≡ En∗∗ x≡x ˜ Proposici´ o 11.2.2: Sigui (En , <|>) un espai euclidi`a real de dimensi´o finita. Podem definir un isomorfisme can` onic entre En i En∗ .
Demostraci´ o: Ω : En −→ En∗ x → Ω(x) =< x | > tal que: < x | >: En −→ R y →< x | > (y) =< x | y > Comencem per demostrar que ´es aplicaci´o lineal: ∀x, y, z ∈ En , ∀λ ∈ R, (Ω(x + λz)) (y) =< x + λz | y >=< x | y > +λ < z | y >= (Ω(x) + λΩ(z)) (y) i que ´es injectiva: Ω(x0 ) = ˆ 0, ∀y ∈ En , 0 = ˆ0(y) = (Ω(x0 )) (y) =< x0 | y >= 0 −→ x0 = 0 Algweb Aix´ı doncs quan treballem en un espai euclidi`a: En ≡ En∗ ≡ En∗∗ x ≡< x | >≡ x ˜ Definici´ o 11.2.1: Sigui En un R-e.v., dimR En = n < +∞, r ∈ N∗ .
T ´es un tensor af´ı definit en En si ´es una forma multilineal del tipus: T : V1 × V2 × . . . × Vr −→ R T ( 1, 2 , . . . , i−1 , i Vi ∈ {En , En∗ } ∀i = 1, r ´ a dir, es verifica: Es ∀i = 1, r + λψi , i+1 , r ) ∀ i , ψ i ∈ Vi , = T ( 1, ∀λ ∈ R 2 , . . . , i−1 , i , i+1 , r ) + λ · T ( 1, 2 , . . . , i−1 , ψi , i+1 , r ) Amb la notaci´o: V = V˜1 ⊗ V˜2 ⊗ . . . ⊗ V˜r = {T : V1 × V2 × . . . × Vr −→ R , forma multilineal} V˜i = En si Vi = En∗ , V˜i = En∗ si Vi = En Definici´ o 11.2.2: ordre del tensor: r varian¸ ca del tensor: ´es l’aplicaci´ o: var T : {1, 2, . . . , r} −→ { contravariant , covariant } ∀i = 1, r var T (i) = contravariant si V˜i = En var T (i) = covariant si V˜i = En∗ Notaci´ o 11.2.1: Farem servir l’expressi´o abreujada cova per indicar covariant i contra per indicar contravariant .
Direm que els escalars s´ on tensors d’ordre zero.
Proposici´ o 11.2.3: V amb la suma d’aplicacions i el producte d’un escalar per una aplicaci´o t´e estructura d’espai vectorial real.
Definici´ o 11.2.3: Sigui T un tensor af´ı definit en un espai euclidi`a real (En , <|>). Si nom´es treballem amb bases ortonormals direm que T ´es un tensor cartesi` a definit en En .
Definici´ o 11.2.4: Siguin dos tensors, T i Q, d’ordres r i s respectivament i T ∈ V = V˜1 ⊗ V˜2 ⊗ . . . ⊗ V˜r Q ∈ V = V˜1 ⊗ V˜2 ⊗ . . . . . . ⊗ V˜s Definim el seu producte tensorial: L = T ⊗ Q : V1 × V2 × . . . × Vr × V1 × V2 . . . . . . × Vs −→ R Algweb tal que: L( 1 , ∀i = 1, r ∀ i ∈ Vi , 2 , . . . , r , ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψs ) ∀j = 1, s = T ( 1, ∀ψj ∈ Vj 2 , . . . , r )Q(ψ1 , ψ2 , . . . , ψs ) D’aquesta manera verifiquem que L ´es un tensor d’ordre r + s i L = T ⊗ Q ∈ V˜1 ⊗ V˜2 ⊗ . . . ⊗ V˜r ⊗ V˜1 ⊗ V˜2 ⊗ . . . ⊗ V˜s Proposici´ o 11.2.4: ∀T1 , T2 ∈ V, ∀Q1 , Q2 ∈ V , ∀λ ∈ R a) (T1 + T2 ) ⊗ Q1 = (T1 ⊗ Q1 ) + (T2 ⊗ Q1 ) b) T1 ⊗ (Q1 + Q2 ) = (T1 ⊗ Q1 ) + (T1 ⊗ Q2 ) c) (λT1 ) ⊗ Q1 = T1 ⊗ (λQ1 ) = λ(T1 ⊗ Q1 ) 11.3 Canvis de base. Notacions Canvi de base en En : Siguin dues bases de l’espai vectorial real En : V = {e1 , e2 , . . . , en }, N = {u1 , u2 , . . . , un } A partir d’ara utilitzarem el conveni d’Einstein segons el qual si en una expressi´o hi ha dos ´ındexs repetits, es considera que correspon a una suma extesa de 1 a n, la dimensi´o de l’espai.
∀x ∈ En , n xi ei = xi ei x= i=1 n x ˆ α uα = x ˆ α uα x= α=1 Considerem les matrius de canvi de base: [Id]N V = A [Id]V N = B Notacions 11.3.1: A = [aij ], B = [bij ] on aij representa el coeficient situat a la fila i, columna j de la matriu A Algweb [x]N = [Id]V N [x]V = B[x]V Llegint aquesta expressi´ o per files i utilitzant el conveni d’Einstein, β x ˆ α = bα βx α = 1, . . . n Canvi de base en En∗ : Siguin les bases duals de V i N : Sigui una forma lineal f ∈ V D = {ε1 , ε2 , . . . , εn } N D = {µ1 , µ2 , . . . , µn } En∗ , f = fi εi εi (ej ) = δji µα (uβ ) = δβα f = fˆα µα i el canvi de base, [f ]N D = [Id]V D N D [f ]V D = [Id]TN V [f ]V D = AT [f ]V D Llegint aquesta expressi´ o per files i utilitzant el conveni d’Einstein, fˆα = aβα fβ α = 1, . . . n 11.4 Tensors d’ordre 1 11.4.1 Tensors covariants Donada la definici´ o de tensor, veiem que: f ∈ En∗ = {f : En −→ R , forma lineal} var f = {var f (1) = cova } Segons aix´o f ´es un tensor d’ordre 1, covariant definit en En El canvi de base el podrem escriure de forma matricial i per components: f ∈ En∗ , f = fi εi = f (ei )εi [f ]N D = AT [f ]V D fˆα = aβα fβ Llei de transformaci´o tensorial covariant 11.4.2 Tensors contravariants x≡x ˜ ∈ En∗∗ ≡ En = {˜ x : En∗ −→ R , forma lineal} var x = {var x(1) = contra } x ´es un tensor d’ordre 1, contravariant definit en En El canvi de base tamb´e el podrem escriure de forma matricial i per components: x = xi ei = εi (x)ei Algweb x ∈ En , [x]N = B[x]V α x ˆ = β bα βx Llei de transformaci´o tensorial contravariant 11.5 Tensors d’ordre dos Lema 11.5.1: Donats els nombres naturals no nuls m, p, r, n.
Siguin les matrius C ∈ MK (m × p), D ∈ MK (p × r), F ∈ MK (r × n) f  1j G = (gij ) = C · D · F ⇐⇒ ∀i = 1, m ∀j = 1, n gij = ( ci1 ci2 ...
 f2j   cip ) · D ·   ..  .
frj 11.5.1 Tensors 2–cova: S´on les formes bilineals definides en En : L2 (En , R ) = En∗ ⊗ En∗ = {T : En × En −→ R , forma bilineal} Siguin f, g ∈ En∗ , utilitzant el producte tensorial podrem definir un tensor dues vegades covariant: f ⊗ g : En × En −→ R (x, y) → (f ⊗ g)(x, y) = f (x)g(y) Llavors f ⊗ g ∈ En∗ ⊗ En∗ Proposici´ o 11.5.1.1: El conjunt seguent ´es base de l’espai vectorial En∗ ⊗ En∗ : B = {εi ⊗ εj , i, j = 1, n} εi ⊗ εj : En × En −→ R (x, y) → (εi ⊗ εj )(x, y) = εi (x)εj (y) = xi y j Demostraci´ o: En primer lloc justificarem que s´ on linealment independents, ∀x, y ∈ En ∀ek , er (αij εi ⊗ εj )(x, y) = ˜0(x, y) = 0 (αij εi ⊗ εj )(ek , er ) = αij εi (ek )εj (er ) = αij δki δrj = αkr = 0 k, r = 1, n Finalment demostrem que s´ on sistema de generadors. Per a qualsevol tensor T ∈ En∗ ⊗ En∗ , T (x, y) = T (xi ei , y j ej ) = xi y j T (ei , ej ) = (Tij εi ⊗ εj )(x, y) per tant, T = Tij εi ⊗ εj , es a dir, els escalars {Tij , Tij = T (ei , ej ) i, j = 1, n} s´on les components del tensor T en la base B.
A la matriu [T ]V = [Tij ] en direm la matriu de components de T en la base V .
Algweb Tamb´e coneixem la relaci´ o entre les matrius associades en les bases V i N ∀i, j = 1, n ∀α, β = 1, n Tij = T (ei , ej ) Tˆαβ = T (uα , uβ ) [T ]V = [Tij ] [T ]N = [Tˆαβ ] [T ]N = [Id]TN V [T ]V [Id]N V = AT [T ]V A que podem expressar com: Tˆαβ = T (uα , uβ ) = T (aγα eγ , aλβ eλ ) = aγα aλβ T (eγ , eλ ) = aγα aλβ Tγλ D’aquesta manera el canvi de base el podrem expressar per coordenades i de forma matricial: T tensor T : En × En −→ R 2 − cova forma bilineal, [T ]N = AT [T ]V A Tˆαβ = aγα aλβ Tγλ T ∈ En∗ ⊗ En∗ T = Tij εi ⊗ εj = T (ei , ej ) εi ⊗ εj Llei de transformaci´o tensorial 2–cova 11.5.2 Tensors (cova, contra): Considerem l’espai vectorial: En∗ ⊗ En = {T : En × En∗ −→ R , forma bilineal} ∀x ∈ En , ∀ω ∈ En∗ T (x, ω) = T (xi ei , ωj εj ) = xi ωj T (ei , εj ) D’aquesta manera podem definir la matriu associada a T en la base V , [T ]V = [Ti j ], on Ti j = T (ei , εj ) i correspon al coeficient de la fila i, columna j de la matriu.
Siguin ω ∈ En∗ , z ∈ En , utilitzant el producte tensorial definim: ω ⊗ z : En × En∗ −→ R (x, f ) → (ω ⊗ z)(x, f ) = ω(x)f (z) Llavors ω ⊗ z ∈ En∗ ⊗ En Proposici´ o 11.5.2.1: El conjunt seg¨ uent ´es base de l’espai vectorial En∗ ⊗ En : B = {εi ⊗ ej , i, j = 1, n} εi ⊗ ej : En × En∗ −→ R (x, f ) → (εi ⊗ ej )(x, f ) = εi (x)f (ej ) = xi fj La demostraci´ o ´es an` aloga a la realitzada en l’apartat anterior.
T (x, f ) = T (xi ei , fj εj ) = xi fj T (ei , εj ) = (Ti j εi ⊗ ej )(x, f ) ∀T ∈ En∗ ⊗ En , per tant, T = Ti j εi ⊗ ej , Ti j = T (ei , εj ) Algweb ´es a dir, els escalars {Ti j , i, j = 1, n} s´on les components del tensor T en la base B. A la matriu [T ]V = [Ti j ] en direm la matriu de components de T en la base V .
Ara ens cal estudiar el canvi de base.
[T ]N = [Tˆαβ ], Tˆαβ = T (uα , µβ ) Tˆαβ = T (uα , µβ ) = T (aiα ei , bβj εj ) = aiα bβj T (ei , εj ) = aiα bβj Ti j Resumint i expressant el canvi de base en forma matricial usant el Lema 11.5.1 : T tensor {cova, contra} T : En × En∗ −→ R T = Ti j εi ⊗ ej = T (ei , εj ) εi ⊗ ej forma bilineal, [T ]N = AT [T ]V B T Tˆαβ = aiα bβj Ti j T ∈ En∗ ⊗ En Llei de transformaci´o tensorial (cova,contra) 11.5.3 Tensors (contra, cova): Considerem l’espai vectorial: En ⊗ En∗ = {T : En∗ × En −→ R , forma bilineal} ∀f ∈ En∗ , ∀x ∈ En , T (f, x) = T (fi εi , xj ej ) = fi xj T (εi , ej ) En aquest cas definim la matriu associada a T en la base V , [T ]V = [T ij ], on T ij = T (εi , ej ) correspon al coeficient de la fila i, columna j de la matriu.
Donats z ∈ En , ω ∈ En∗ , tenim el producte tensorial: z ⊗ ω : En∗ × En −→ R (f, x) → (z ⊗ ω)(f, x) = f (z)ω(x) ´ a dir: Es z ⊗ ω ∈ En ⊗ En∗ Proposici´ o 11.5.3.1: El conjunt seg¨ uent ´es base de l’espai vectorial En ⊗ En∗ : B = {ei ⊗ εj , i, j = 1, n} ei ⊗ εj : En∗ × En −→ R (f, x) → (ei ⊗ εj )(f, x) = f (ei )εj (x) = fi xj Calculem les components del tensor T en aquesta base, T (f, x) = T (fi εi , xj ej ) = fi xj T (εi , ej ) = (T ij ei ⊗ εj )(f, x) Llavors, T = T ij ei ⊗ εj , T ij = T (εi , ej ) Els escalars {T ij , i, j = 1, n} s´ on les components del tensor T en la base B.
i A la matriu [T ]V = [T j ] en direm la matriu de components de T en la base V .
Algweb Estudiem el canvi de base.
[T ]N = [Tˆαβ ], Tˆαβ = T (µα , uβ ) i j α j i α j i Tˆαβ = T (µα , uβ ) = T (bα i ε , aβ ej ) = bi aβ T (ε , ej ) = bi aβ T j Resumint i expressant el canvi de base en forma matricial: T ∈ En ⊗ En∗ T tensor {contra, cova} T : En∗ × En −→ R forma bilineal, [T ]N = B[T ]V A j i Tˆαβ = bα i aβ T j T = T ij ei ⊗ εj = T (εi , ej )ei ⊗ εj Llei de transformaci´o tensorial (contra,cova) 11.5.4 Tensors 2–contra: Aqu´ı tenim l’espai vectorial de les formes bilineals definides en En∗ : En ⊗ En = {T : En∗ × En∗ −→ R , forma bilineal} ∀f, g ∈ En∗ , T (f, g) = T (fi εi , gj εj ) = fi gj T (εi , εj ) Definim la matriu associada a T en la base V , [T ]V = [T ij ], on T ij = T (εi , εj ) correspon al coeficient de la fila i, columna j de la matriu.
Donats z, v ∈ En , tenim el producte tensorial: z ⊗ v : En∗ × En∗ −→ R (f, g) → (z ⊗ v)(f, g) = f (z)g(v) Per tant: z ⊗ v ∈ En ⊗ En Proposici´ o 11.5.4.1: El conjunt seg¨ uent ´es base de l’espai vectorial En ⊗ En : B = {ei ⊗ ej , i, j = 1, n} ei ⊗ ej : En∗ × En∗ −→ R (f, g) → (ei ⊗ ej )(f, g) = f (ei )g(ej ) = fi gj Calculem les components del tensor T en aquesta base: ∀f, g ∈ En∗ , T (f, g) = T (fi εi , gj εj ) = fi gj T (εi , εj ) = (T ij ei ⊗ ej )(f, g) I obtenim, T = T ij ei ⊗ ej , T ij = T (εi , εj ) Els escalars {T ij , i, j = 1, n} s´ on les components del tensor T en la base B.
A la matriu [T ]V = [T ij ] en direm la matriu de components de T en la base V .
Ara estudiem el canvi de base.
Algweb [T ]N = [Tˆαβ ], Tˆαβ = T (µα , µβ ) i β j α β i j α β ij Tˆαβ = T (µα , µβ ) = T (bα i ε , bj ε ) = bi bj T (ε , ε ) = bi bj T Resumint i expressant el canvi de base en forma matricial: T : En∗ × T tensor 2 − contra En∗ −→ R forma bilineal, [T ]N = B[T ]V B T β ij Tˆαβ = bα i bj T T ∈ En ⊗ En T = T ij ei ⊗ ej = T (εi , εj )ei ⊗ ej Llei de transformaci´o tensorial 2–contra 11.6 Tensors d’ordre superior Els tensors d’ordre tres s´ on les formes trilineals: T : V1 × V2 × V3 −→ R ∀i = 1, 3 Vi ∈ {En , En∗ } Tenim 8 tipus de tensors d’ordre tres: 1) 3 − cova: En∗ ⊗ En∗ ⊗ En∗ = {T : En × En × En −→ R, forma trilineal } 2) {cova, cova, contra}: En∗ ⊗ En∗ ⊗ En = {T : En × En × En∗ −→ R, forma trilineal } 3) {cova, contra, cova}: En∗ ⊗ En ⊗ En∗ = {T : En × En∗ × En −→ R, 4) {contra, cova, cova}: forma trilineal } En ⊗ En∗ ⊗ En∗ = {T : En∗ × En × En −→ R, forma trilineal } 5) {contra, contra, cova}: En ⊗ En ⊗ En∗ = {T : En∗ × En∗ × En −→ R, forma trilineal } 6) {contra, cova, contra}: En ⊗ En∗ ⊗ En = {T : En∗ × En × En∗ −→ R, forma trilineal } 7) {cova, contra, contra}: En∗ ⊗ En ⊗ En = {T : En × En∗ × En∗ −→ R, forma trilineal } En ⊗ En ⊗ En = {T : En∗ × En∗ × En∗ −→ R, forma trilineal } 8) 3 − contra: Estudiem per exemple el segon tipus de tensor, T ∈ En∗ ⊗ En∗ ⊗ En , de varian¸ca {cova, cova, contra}: T : En × En × En∗ −→ R ∗ ∀f ∈ EN , Algweb ∀x, y ∈ En , T (x, y, f ) = T (xi ei , y j ej , fk εk ) = xi y j fk T (ei , ej , εk ) [a] usem la notaci´ o: ∀i, j, k = 1, n T (ei , ej , εk ) = Tij k Ara ens trobem una col·lecci´o de n3 escalars etiquetats, que en direm un quadre multiindexat que no podem expressar en forma de matriu com hem fet amb els tensors d’ordre dos Utilitzant el producte tensorial definim, ∀ω, φ ∈ En∗ , ∀z ∈ En : ω ⊗ φ ⊗ z : En × En × En∗ −→ R (x, y, f ) → (ω ⊗ φ ⊗ z)(x, y, f ) = ω(x)φ(y)f (z) Proposici´ o 11.6.1: El conjunt seguent ´es base de l’espai vectorial En∗ ⊗ En∗ ⊗ En : B = {εi ⊗ εj ⊗ ek i, j, k = 1, n} εi ⊗ εj ⊗ ek : En × En × En∗ −→ R (x, y, f ) → (εi ⊗ εj ⊗ ek )(x, y, f ) = εi (x)εj (y)f (ek ) = xi y j fk Demostraci´ o: En primer lloc justifiquem la independ`encia lineal: ∀x, y ∈ En , αij k εi ⊗ εj ⊗ ek = ˜0 ∀f ∈ En∗ (αij k εi ⊗ εj ⊗ ek )(x, y, f ) = ˜0(x, y, f ) = 0 en particular si agafem: ∀r, s, t = 1, n 0 = (αij k εi ⊗ εj ⊗ ek )(er , es , εt ) = αij k εi (er )εj (es )εt (ek ) = αij k δri δsj δkt = αrst = 0 Ara demostrarem que s´ on sistema de generadors.
Sigui un tensor qualsevol T ∈ En∗ ⊗ En∗ ⊗ En . Utilitzem l’expressi´o [a]: ∀x, y ∈ En , ∀f ∈ En∗ T (x, y, f ) = xi y j fk T (ei , ej , εk ) = Tij k εi (x)εj (y)f (ek ) = (Tij k εi ⊗ εj ⊗ ek )(x, y, f ) per tant: T = Tij k εi ⊗ εj ⊗ ek Tij k = T (ei , ej , εk ) Els escalars {Tij k , i, j, k = 1, n} s´ on les components del tensor T en la base B Al quadre multiindexat [Tij k ] ∈ MR (n × n × n) en direm les components de T en la base V .
Canvi de base: Algweb Tˆαβγ = T (uα , uβ , µγ ) = T (aiα ei , ajβ ej , bγk εk ) = aiα ajβ bγk T (ei , ej , εk ) = aiα ajβ bγk Tij k que en aquest cas no podrem expressar de forma matricial.
T tensor {cova, cova, contra} T : En × En × En∗ −→ R forma trilineal, Tˆαβγ = aiα ajβ bγk Tij k : T ∈ En∗ ⊗ En∗ ⊗ En T = Tij k εi ⊗ εj ⊗ ek = T (ei , ej , εk ) εi ⊗ εj ⊗ ek Llei de transformaci´o tensorial (cova,cova,contra) Si ara estudiem les formes tetralineals, o tensors d’ordre quatre trobarem 24 tipus diferents de tensors.
En general tindrem 2r tensors d’ordre r amb variances diferents. La manera de trobar una base i expressar les coordenades del tensor en aquesta base ser`a an`aloga al que acabem de fer.
Per exemple, considerem un tensor d’ordre 5: T ∈ En∗ ⊗ En∗ ⊗ En ⊗ En ⊗ En∗ , ∀x, y, z ∈ En , tensor (cova, cova, contra, contra, cova) T : En × En × En∗ × En∗ × En −→ R ∀f, g ∈ En∗ T (x, y, f, g, z) = T (xi ei , y j ej , fk εk , gr εr , z s es ) = xi y j fk gr z s T (ei , ej , εk , εr , es ) Notaci´o: ∀i, j, k, r, s = 1, n Tij kr s = T (ei , ej , εk , εr , es ) El conjunt seg¨ uent ´es base de l’espai vectorial En∗ ⊗ En∗ ⊗ En ⊗ En ⊗ En∗ : B = {εi ⊗ εj ⊗ ek ⊗ er ⊗ εs i, j, k, r, s = 1, n} εi ⊗ εj ⊗ ek ⊗ er ⊗ εs : En × En × En∗ × En∗ × En −→ R (x, y, f, g, z) → (εi ⊗ εj ⊗ ek ⊗ er ⊗ εs )(x, y, f, g, z) = = εi (x)εj (y)f (ek )g(er )εs (z) = xi y j fk gr z s El que ens permet escriure: ∀x, y, z ∈ En , ∀f, g ∈ En∗ T (x, y, f, g, z) = Tij kr s εj (y)f (ek )g(er )εs (z) = = Tij kr s εi ⊗ εj ⊗ ek ⊗ er ⊗ εs (x, y, f, g, z) i els escalars {Tij kr s i, j, k, r, s = 1, n} s´ on les components del tensor T en la base B.
Al quadre multiindexat [Tij kr s ] ∈ MR (n × n × n × n × n) en direm les components de T en la base V .
Canvi de base: Tˆαβγη ζ = T (uα , uβ , µγ , µη , uζ ) = T (aiα ei , ajβ ej , bγk εk , bηr εr , asζ es ) = = aiα ajβ bγk bηr asζ T (ei , ej , εk , εr , es ) = aiα ajβ bγk bηr asζ Tij kr s Algweb Resumint: T ∈ En∗ ⊗ En∗ ⊗ En ⊗ En ⊗ En∗ T tensor {cova, cova, contra, contra, cova} T : En × En × En∗ × En∗ × En −→ R forma pentalineal T = Tij kr s εi ⊗ εj ⊗ ek ⊗ er ⊗ εs = T (ei , ej , εk , εr , es ) εi ⊗ εj ⊗ ek ⊗ er ⊗ εs Llei de transformaci´o tensorial (cova,cova,contra,contra,cova): Tˆαβγη ζ = aiα ajβ bγk bηr asζ Tij kr s 11.7 Contracci´ o Sigui un tensor T d’ordre r amb almenys un ´ındex covariant i un contravariant. Definirem una operaci´o sobre T que ens permetr` a obtenir un altre tensor Q d’ordre r − 2.
Agafem per exemple el tensor d’ordre cinc de l’apartat anterior i triem un ´ındex de cada tipus, per exemple el segon i el quart. Definim: n ∀i, k, s = 1, n N ot Tij kj s = Tij kj s = Qi k s j=1 n ∀α, γ, ζ = 1, n N ot ˆ γ Tˆαβγβ ζ = Q α Tˆαβγβ ζ = ζ β=1 Proposici´ o 11.7.1: Els escalars {Qi k s i, k, s = 1, n} s´on les components d’un tensor Q ∈ En∗ ⊗ En ⊗ En∗ Demostraci´ o: Per justificar-ho nom´es caldr`a comprovar que verifiquen el corresponent canvi de base, la llei de transformaci´ o tensorial (cova,contra,cova): ˆγ Q α ζ = Tˆαβγβ ζ = aiα ajβ bγk bβr asζ Tij kr s = (ajβ bβr )aiα bγk asζ Tij kr s Per`o al ser les matrius de canvi de base C = A · B = In : n ajβ bβr = ajβ bβr = cjr = δrj β=1 Substituint: ˆγ Q α ζ = aiα bγk asζ Tij kj s = aiα bγk asζ Qi k s Notaci´ o 11.7.1: Direm que el tensor Q ´es la contracci´o respecte dels ´ındexs (2, 4) del tensor T Q = contr(2, 4) T T : En × En × En∗ × En∗ × En −→ R Q : En × En∗ × En −→ R Observaci´ o 11.7.1: La contracci´ o respecte de dos ´ındexs de la mateixa varian¸ca no t´e car`acter tensorial, com podem observar en l’exemple seg¨ uent: Agafem el primer ´ındex i el cinqu`e que s´on tots dos covariants. Definim: n Algweb ∀j, k, r = 1, n N ot Tij kr i = Tij kr i = Pj kr i=1 n ∀β, γ, η = 1, n Per´o ara els escalars {Pj (cova,contra,contra): Tˆαβγη α Tˆαβγη = N ot α = Pˆβγη α=1 kr Pˆβγη = Tˆαβγη j, k, r = 1, n} no verifiquen la llei de transformaci´o tensorial α = aiα ajβ bγk bηr asα Tij kr s = (aiα asα )ajβ bγk bηr Tij kr s [a] Per poder afirmar que P ´es un tensor (cova,contra,contra) haur´ıem de demostrar que es verifica: Pˆβγη = ajβ bγk bηr Pj kr [b] .
En aquest cas no podem ja que no necess`riament aiα asα = δ is , o el que ´es el mateix A · AT = In .
De forma an` aloga demostrem que la contracci´o respecte de dos ´ındexs contravariants no t´e car`acter tensorial.
Proposici´ o 11.7.2: Si (En , <|>) ´es espai euclidi`a real i nom´es treballem amb bases ortonormals llavors la contracci´o respecte dos ´ındexs de la mateixa varian¸ca t´e car`acter tensorial.
Demostraci´ o: Aqu´ı estem considerant el cas de tensors cartesians, en els que les matrius de canvi de base s´on ortogonals A · AT = In .
11.8 Aplicacions 11.8.1 Tensors de primer ordre Des de comen¸cament de curs hem treballat amb matrius i ens han perm´es representar tots els objectes que hem anat definint sempre que l’espai fos de dimensi´o finita. Per exemple una matriu columna amb n files la podem considerar com les coordenades en una certa base d’un vector en un espai de dimensi´o n. Podem triar l’espai concret i la base concreta que ens convingui, i aquesta matriu ens donar`a un vector de l’espai.
Suposem que tenim un cert espai vectorial, per exemple R3 i dues bases V i N de les que coneixem les matrius de canvi:     1 −2 1 1 2 3 A = [Id]N V =  0 1 −2  B = [Id]V N = A−1 =  0 1 2  0 0 1 0 0 1 Ens donen dos vectors i es tracta de determinar si s´on el mateix: xV = (1, 1, 1) i yN = (6, 3, 1) Per respondre nom´es cal comprovar si verifiquen el corresponent canvi de base, ´es a dir [y]N = [Id]V N [x]V −→ y = x que ´es cert en aquest cas:    6 1 3 = 0 1 0 2 1 0   3 1 21 1 1 Algweb A continuaci´ o ens fem la mateixa pregunta per als dos vectors: xV = (2, 1, 0) i yN = (2, −3, 0) i en aquest cas no es verifica:      2 1 2 3 2  −3  =  0 1 2   1  −→ x = y 0 0 0 1 0 per`o observem que:    1 2  −3  =  −2 1 0 0 1 −2       2 2 2 0 0   1  = [Id]TN V  1  = [IdE ∗ ]V D N D  1  0 0 0 1 ´ a dir aquests vectors verifiquen un canvi de base en el dual, de manera que si ara considerem les Es formes lineals: f, g ∈ E ∗ , fV D = (2, 1, 0), gN D = (2, −3, 0), [g]N D = [IdE ∗ ]V D N D [f ]V D −→ f = g Per tant (2, 1, 0) i (2, −3, 0) representen a una mateixa forma lineal f ∈ E ∗ en les bases V D i N D .
11.8.2 Tensors de segon ordre Sigui una matriu C ∈ MR (n × n). Quants objectes diferents pot representar? 1) Matriu associada a un sistema de n equacions lineals amb n inc`ognites.
2) Matriu associada a una aplicaci´ o lineal entre dos espais de dimensi´o n. Com a cas particular, matriu associada a un endomorfisme.
3) Matriu associada a una forma bilineal.
4) Matriu associada a un tensor 2–cova, o coordenades d’un tensor 2–cova. Aquest cas coincideix amb l’anterior.
5) Coordenades d’un tensor (cova,contra).
6) Coordenades d’un tensor (contra,cova).
7) Coordenades d’un tensor 2–contra.
Suposem que ens donen dues matrius C, D ∈ MR (n × n) i dues bases V i N d’un espai vectorial real En , on coneixem les matrius de canvi A = [Id]N V i B = [Id]V N = A−1 . Com podem saber si representen les coordenades d’un mateix tensor en les bases V i N respectivament? Per respondre nom´es cal comprovar si verifiquen algun dels quatre canvis de base: 1) Tensor (cova,cova) definit en En : [T ]N = AT · [T ]V · A D = AT · C · A ? 2) Tensor (cova,contra) definit en En : [T ]N = AT · [T ]V · B T D = AT · C · B T ? 3) Tensor (contra,cova) definit en En : [T ]N = B · [T ]V · A D =B·C ·A ? Algweb 4) Tensor (contra,contra) definit en En : [T ]N = B · [T ]V · B T D = B · C · BT ? Si C i D s´ on les coordenades d’un tensor T (cova,contra) o un tensor Q (contra,cova) , llavors tindran el mateix polinomi caracter´ıstic: detn [C − xIn ] = detn [D − xIn ] = (−1)n xn + pn−1 xn−1 + . . . + p1 x + p0 I als n escalars {pn−1 , . . . , p1 , p0 } en direm invariants dels tensors T i Q.
en particular: pn−1 = (−1)n−1 Tra¸ca C = (−1)n−1 Tra¸ca D = (−1)n−1 contr(1, 2)T = (−1)n−1 contr(1, 2)Q p0 = detn C = detn D Si C i D corresponen a un tensor (cova.cova) o (contra,contra) nom´es podrem afirmar que els seus determinants tenen el mateix signe.
11.8.3 Tensors cartesians d’ordre dos Si ara treballem en un espai euclidi` a real (En , <|>) i nom´es usem bases ortonormals parlarem de tensors cartesians en En . En aquesta situaci´ o sabem que les matrius de canvi de base entre bases ortonormals s´on ortogonals: A = [Id]N V , B = [Id]V N = A−1 = AT Llavors els canvis de base dels quatre tipus de tensors d’ordre dos coincideixen: [T ]N = AT · [T ]V · A D’aquesta manera si dues matrius C i D corresponen a les coordenades d’un cert tipus de tensor cartesi`a d’ordre dos tamb´e representar` an les coordenades d’un tensor cartesi`a de qualsevol dels altres tres tipus.
Un cas particularment interessant per les seves aplicacions ´es el dels tensors cartesians d’ordre dos que en una certa base la seva matriu associada ´es sim`etrica, [T ]V = C = C T . Podem observar que llavors la seva matriu associada en una base qualsevol tamb´e ser`a sim`etrica: S = [T ]N = AT · C · A S T = AT · C T · A = S Si apliquem el teorema espectral a la matriu C sabem que existeix una matriu ortogonal P ∈ MR (n × n) tal que D = PT · C · P on D ´es una matriu diagonal La matriu P = [Id]N V ens dona la nova base ortonormal en la que la matriu associada al tensor pren la forma diagonal.
Tot seguit veurem un exemple important de tensor cartesi`a d’ordre dos.
11.8.4 El tensor d’in` ercia Sigui V = {e1 , e2 , e3 } una base ortonormal de l’espai euclidi`a real (R3 , <|>).
Suposem N vectors ri ∈ R3 . i = 1, N interpretats f´ısicament com el vector posici´o de N punts materials de massa mi > 0, de tal manera que l’origen de coordenades coincideixi amb el centre de masses del sistema.
riV = (xi , yi , zi ) Definim el tensor d’in` ercia del conjunt de punts materials com el tensor cartesi`a d’ordre dos: Algweb N I=− N mi ri ⊗ ri + mi ri ⊗ ri contr(1, 2) i=1 δ i=1 Ara calcularem les seves components en la base V .
r ⊗ r = (x e1 + y e2 + z e3 ) ⊗ (x e1 + y e2 + z e3 ) = x2 e1 ⊗ e1 + xy e1 ⊗ e2 + xz e1 ⊗ e3 + yx e2 ⊗ e1 + y 2 e2 ⊗ e2 + yz e2 ⊗ e3 + zx e3 ⊗ e1 + zy e3 ⊗ e2 + z 2 e3 ⊗ e3 Amb la notaci´ o T = r ⊗ r. Expressem en forma matricial les components de T :  x2 xy  [T ]V = [r ⊗ r]V = yx y 2 zx zy  xz yz  z2 I la contracci´ o de T correspon a la tra¸ca: contr(1,2) T = T11 + T22 + T33 = x2 + y 2 + z 2 D’altra banda les components del tensor δ corresponen a la matriu identitat:  1 [δ]V =  0 0 0 1 0  0 0 1 per tant:  y2 + z2 2 2 2  −[r ⊗ r]V + (x + y + z )[δ]V = −yx −zx Finalment obtenim les components del tensor I: −xy x2 + z 2 −zy  −xz −yz  2 x + y2 N i=1  [I]V = [Iij ] =  − − mi (yi2 + zi2 ) N i=1 mi yi xi N i=1 mi zi xi N i=1 −  N i=1 mi xi zi N  i=1 mi yi zi N 2 2 i=1 mi (xi + yi ) − − mi xi yi N 2 2 m (x i i + zi ) i=1 N − i=1 mi zi yi Definici´ o 11.8.4.1: Considerem ara una recta e que passa per l’origen amb vector director unitari n, n = 1. Definim el moment d’inercia dels N punts materials respecte a l’eix e: N mi d2i In = i=1 essent di la dist` ancia del punt material i a l’eix e.
Si Pe (ri ) =< ri | n > n ´es la projecci´ o ortogonal de ri sobre la recta e, llavors di ´es la norma del vector pi = ri − Pe (ri ). Per tant aplicant el Teorema de Pit`agores: ri 2 = d2i + (< ri | n >)2 [c] Algweb Comentari 11.8.4.1: A partir d’aquesta definici´o observem que els termes de la diagonal de la matriu de components de la forma bilineal sim`etrica I s´on els moments d’in`ercia del sistema respecte als eixos x, y, z amb vectors directors els de la base ortonormal de refer`encia: N mi (yi2 + zi2 ) = Ie1 = Ix ≥ 0 I11 = i=1 N mi (x2i + zi2 ) = Ie2 = Iy ≥ 0 I22 = i=1 N mi (x2i + yi2 ) = Ie3 = Iz ≥ 0 I33 = i=1 Els elements Iij amb i = j, als que anomanarem productes d’in` ercia, no tenen signe definit.
Proposici´ o 11.8.4.1: I(n, n) = In .
Aquesta ´es una propietat fonamental del tensor d’in`ercia, ja que ens permet calcular el moment d’in`ercia respecte a qualsevol eix que passi pel centre de masses.
Demostraci´ o: Al ser I un tensor cartesi`a d’ordre dos: I(n, n) = ( n1 n2 I : R3 × R3 −→ R   N n1 n3 ) [I]V  n2  = − mi (ri ⊗ ri )(n, n) + i=1 n3 N mi ri ⊗ ri contr(1, 2) i=1 (ri ⊗ ri )(n, n) =< ri | n >< ri | n > N N mi ri ⊗ ri = contr(1, 2) i=1 N mi (x2i i=1 + yi2 + zi2 ) = mi ri i=1 2 δ(n, n)  δ(n, n) = ( n1 1 n3 )  0 0 n2   0 n1 0   n2  = n21 + n22 + n23 = n 1 n3 0 1 0 2 =1 Agrupant i utilitzant [c]: N N 2 I(n, n) = − mi < ri | n > + i=1 N mi ri 2 mi d2i = In = i=1 i=1 Al ser I una forma bilineal sim`etrica definida en (R3 , <|>) sabem que existeix i ´es u ´nic un operador sim`etric I ∈ LR (R3 ) tal que: ∀u, v ∈ R3 , I(u, v) =< I(u) | v >=< u | I(v) > i al ser V base ortonormal: [I]V = [I]V Direm que I ´es l’operador d’in` ercia.
Proposici´ o 11.8.4.2: N Algweb ∀v ∈ R3 , I(v) = N mi ( ri 2 v− < ri | v > ri ) mi ri ∧ (v ∧ ri ) = i=1 i=1 Demostraci´ o: I(v) = w = w1 e1 + w2 e2 + w3 e3 N s= N mi ( ri 2 v− < ri | v > ri ) = s1 e1 + s2 e2 + s3 e3 mi ri ∧ (v ∧ ri ) = i=1 i=1 w1 =< I(v) | e1 >= I(v, e1 ) = ( v1 N N mi v1 (x2i + yi2 + zi2 ) − (xi v1 + yi v2 + zi v3 )xi = s1 mi v1 (yi2 + zi2 ) − v2 yi xi − v3 zi xi = = i=1 i=1 w2 =< I(v) | e2 >= I(v, e2 ) = ( v1 N i=1 w3 =< I(v) | e3 >= I(v, e3 ) = ( v1 mi −v1 xi zi − v2 yi zi + i=1 mi v2 (x2i + yi2 + zi2 ) − (xi v1 + yi v2 + zi v3 )yi = s2 i=1 N = v2   0 v3 ) [I]V  1  = 0 N mi −v1 xi yi + v2 (x2i + zi2 ) − v3 zi yi = = v2   1 v3 ) [I]V  0  = 0 v2   0 v3 ) [I]V  0  = 1 N v3 (x2i + yi2 ) mi v3 (x2i + yi2 + zi2 ) − (xi v1 + yi v2 + zi v3 )zi = s3 = i=1 Si ara apliquem el Teorema espectral a l’operador sim`etric I, sabem que existeix una base ortonormal N = {u1 , u2 , u3 } en la que diagonalitza:  [I]N = [I]N I1 =0 0 0 I2 0  0 0 I3 Notacions 11.8.4.1: Als valors I1 , I2 , I3 que s´ on els valors propis de I en direm moments principals d’in` ercia. Per la definici´o sabem que s´ on no negatius.
A les rectes L1 =< u1 >R , L2 =< u2 >R , L3 =< u3 >R en direm direcccions principals o eixos principals d’in` ercia. Llavors I1 , I2 , I3 seran els moments d’in`ercia respecte als eixos principals.
Comentari 11.8.4.2: Si tots els valors propis de I s´ on diferents, Ii = Ij , i = j, llavors la base N ´es u ´nica excepte el signe i ordre dels vectors, per tant els eixos principals s´on u ´nics.
Algweb Si tenim dos valors propis diferents, I1 = I2 = I3 , llavors tenim infinites bases ortonormals de vectors propis. De totes maneres la direcci´ o L3 est` a determinada per`o qualsevol direcci´o ortogonal a ella ´es principal.
Si els valors propis coincideixen I1 = I2 = I3 = λ, llavors qualsevol direcci´o ´es principal i I diagonalitza en qualsevol base ortonormal ja que I = λId.
Aplicaci´ o 11.8.4.1: Quan a Mec` anica s’estudia el moviment d’un cos, el seu moment lineal i la velocitat del centre de masses s´ on dos vectors que tenen la mateixa direcci´o p = mvcm perque la massa m ´es un escalar.
Si ara el cos est` a girant respecte a un eix amb velocitat angular ω, el seu moment angular ve donat per L = I(ω). Aix` o implica que en general L i ω tindran direccions diferents. A Din`amica ´es molt important veure si existeixen direccions tals que si el cos gira segons aquests eixos,llavors L t´e la direcci´o de l’eix, cosa que ser`a certa quan I(ω) = λω, ´es a dir quan ω sigui un vector propi de I de valor propi λ.
Proposici´ o 11.8.4.3: Siguin I1 ≥ I2 ≥ I3 els tres moments principals. Per a qualsevol eix e que passi per l’origen amb vector director unitari n, el moment d’in`ercia del sistema respecte aquest eix In verificar`a: I1 ≥ In ≥ I3 Demostraci´ o: Treballarem amb la base ortonormal N en la que I pren la forma diagonal. nN = (˜ n1 , n ˜2, n ˜ 3 ),  In =< I(n) | n >= I(n, n) = ( n ˜1 n ˜2 I1 n ˜3 )  0 0 0 I2 0   0 n ˜1 0 n ˜ 2  = I1 (˜ n1 )2 + I2 (˜ n2 )2 + I3 (˜ n3 )2 ≤ I3 n ˜3 ≤ I1 ((˜ n1 )2 + (˜ n2 )2 + (˜ n3 )2 ) = I1 de manera semblant: In ≥ I3 ((˜ n1 )2 + (˜ n2 )2 + (˜ n3 )2 ) = I3 Resolució de les Pràctiques L’única resolució que falta és la del exercici 9 de la pràctica 10 que no està disponible a la web Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 1/01 (nivell 3) Comproveu que les seg¨ uents sent` encies s´ on certes: Algweb a) (p∧q)∧r ⇐⇒ p∧(q∧r) b) (p∨q)∨r ⇐⇒ p∨(q∨r) c) (p∨q) ⇐⇒ (q∨p) d) (p∧q) ⇐⇒ (q∧p) e) p∧(q∨r) ⇐⇒ (p∧q)∨(p∧r) f ) p∨(q∧r) ⇐⇒ (p∨q)∧(p∨r) g) ¬(p∨q) ⇐⇒ (¬p)∧(¬q) h) ¬(p∧q) ⇐⇒ (¬p)∨(¬q) i) (p⇒q) ⇐⇒ ((¬p)∨q) j) (p⇔q) ⇐⇒ (p⇒q)∧(q⇒p) k) (p⇔q) ⇐⇒ ((¬p)⇔(¬q)) l) (¬(¬p)) ⇐⇒ p m) (p⇒q) ⇐⇒ ((¬q)⇒(¬p)) n) (p⇒q)∧(q⇒r) =⇒ (p ⇒r) o) ((p∧(¬q))⇒(¬p)) ⇐⇒ (p⇒q) p) ((p∧(¬q))⇒q) ⇐⇒ (p ⇒q) a) Per tal de verificar cadascuna de les sent`encies el que cal fer ´es considerar totes les possibilitats de veritat (V) o fals (F) existents entre totes les sent`encies elementals. Si considerem que tenim r sent`encies-unitat, el n´ umero de possibilitats N ve donat per l’expressi´o: N = 2r Una vegada tenim totes les possibilitats i, basant-nos en la taula de veritat, hem de comprovar que la sent`encia proposada ´es certa en tots els casos.
Veiem primer la taula de veritat: p q p∨q p∧q p⇒q p⇔q V V F F V F V F V V V F V F F F V F V V V F F V I ara ja podem procedir tot construint una altra taula m´es complexa, que inclogui totes les combinacions possibles (que en el cas de l’enunciat s´ on 23 = 8) per a la sent`encia proposada: p q r p∧q q∧r (p∧q)∧r p∧(q∧r) (p∧q)∧r⇔p∧(q∧r) V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F V V F F F F F F V F F F V F F F V F F F F F F F V F F F F F F F V V V V V V V V Com que en l’´ ultima columna tots els casos s´on certs, queda demostrada la veracitat de la sent`encia.
´ per tant, una tautologia Es, b) Procedirem an` alogament al cas anterior, basant-nos en la taula de veritat, obtenint en aquest cas, q r p∨q q∨r (p∨q)∨r p∨(q∨r) (p∨q)∨r⇔p∨(q∨r) V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F V V V V V V F F V V V F V V V F V V V V V V V F V V V V V V V F V V V V V V V V Algweb p =⇒ ´es una tautologia c) p q p∨q q∨p (p∨q)⇔(q∨p) V V F F V F V F V V V F V V V F V V V V p q p∧q q∧p (p∧q)⇔(q∧p) V V F F V F V F V F F F V F F F V V V V =⇒ ´es una tautologia d) =⇒ ´es una tautologia e) p q r q∨r p∧q p∧r p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r) p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r) V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F V V V F V V V F V V F F F F F F V F V F F F F F V V V F F F F F V V V F F F F F V V V V V V V V =⇒ ´es una tautologia f) q r q∧r p∨q p∨r p∨(q∧r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r) V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F V F F F V F F F V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V V F F F V V V V V V V V Algweb p =⇒ ´es una tautologia g) p q ¬p ¬q p∨q ¬ (p∨q) (¬p)∧(¬q) ¬(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q) V V F F V F V F F F V V F V F V V V V F F F F V F F F V V V V V =⇒ ´es una tautologia h) p q ¬p ¬q p∧q ¬ (p∧q) (¬p)∨(¬q) ¬(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q) V V F F V F V F F F V V F V F V V F F F F V V V F V V V V V V V =⇒ ´es una tautologia i) p q ¬p p⇒q (¬p)∨q (p⇒q)⇔((¬p)∨q) V V F F V F V F F F V V V F V V V F V V V V V V =⇒ ´es una tautologia j) p q p⇒q q⇒p p⇔q (p⇒q)∧(q⇒p) (p⇔q)⇔(p⇒q)∧(q⇒p) V V F F V F V F V F V V V V F V V F F V V F F V V V V V =⇒ ´es una tautologia Algweb k) p q ¬p ¬q p⇔q (¬p)⇔(¬q) (p⇔q)⇔((¬p)⇔(¬q)) V V F F V F V F F F V V F V F V V F F V V F F V V V V V =⇒ ´es una tautologia l) p ¬p ¬(¬p) p⇔(¬(¬p) V F F V V F V V =⇒ ´es una tautologia m) p q ¬p ¬q p⇒q (¬q)⇒(¬p) (p⇒q)⇔ ((¬q)⇒(¬p)) V V F F V F V F F F V V F V F V V F V V V F V V V V V V =⇒ ´es una tautologia n) p q r p⇒q q⇒r (p⇒q)∧(q⇒r) p⇒r ((p⇒q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r) V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F V V F F V V V V V F V V V F V V V F F F V F V V V F V F V V V V V V V V V V V V =⇒ ´es una tautologia o) q ¬p ¬q p∧(¬q) ( p∧(¬q))⇒(¬p) p⇒q (p∧(¬q))⇒(¬p))⇔(p⇒q ) V V F F V F V F F F V V F V F V F V F F V F V V V F V V V V V V Algweb p =⇒ ´es una tautologia p) p q ¬q p∧(¬q) ( p∧(¬q))⇒q p⇒q (p∧(¬q))⇒q)⇔(p⇒q ) V V F F V F V F F V F V F V F F V F V V V F V V V V V V =⇒ ´es una tautologia Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 1/02 (nivell 3) Demostreu que les seg¨ uents sent` encies s´ on certes, siguin quins siguin els predicats P i Q: a) ∃x (P(x) ∨ Q(x)) ⇐⇒ (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x)) b) ∀x (P(x) ∧ Q(x)) ⇐⇒ (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x)) c) (∀x P(x)) ∨ (∀x Q(x)) =⇒ ∀x (P(x) ∨ Q(x)) a) Per demostrar una doble implicaci´ o n’hi haur`a prou amb demostrar que s´on certes les dues implicacions a la vegada, en virtut de la tautologia de l’apartat j), de l’exercici anterior.
Algweb =⇒) Farem la hip` otesi que la sent`encia de partida ´es certa (segons la taula de la veritat, el cas contrari implica sempre certesa, de manera que ens l’estalviarem).
Aix´ı, suposarem que ∃x (P(x) ∨ Q(x)). Aix`o implica tres situacions possibles a estudiar: 1) ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x)) 2) ∃x (¬P(x) ∧ Q(x)) 3) ∃x (P(x) ∧ Q(x)) I cada situaci´ o t´e les seg¨ uents implicacions: 1) ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x)) =⇒ ∃x (P(x)) =⇒ (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x)) 2) ∃x (¬P(x) ∧ Q(x)) =⇒ ∃x (Q(x)) =⇒ (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x)) 3) ∃x (P(x) ∧ Q(x)) =⇒ (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x)) Les tres situacions impliquen la certesa del que vol´ıem veure, per tant, aquesta implicaci´o queda demostrada.
⇐=) Suposarem que (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x)). Aix`o comporta les seg¨ uents tres situacions: 1) (∃x P(x)) ∧ (∀x ¬Q(x)) =⇒ ∃x P(x) =⇒ ∃x (P(x) ∨ Q(x)) 2) (∀x ¬P(x)) ∧ (∃x Q(x)) =⇒ ∃x Q(x) =⇒ ∃x (P(x) ∨ Q(x)) 3) (∃x P(x)) ∧ (∃x Q(x)) =⇒ ∃x (P(x) ∨ Q(x)) An`alogament al cas anterior, aquesta implicaci´o queda demostrada, verificant-se llavors la doble implicaci´o.
b) =⇒) Suposarem que ∀x (P(x) ∧ Q(x)). Per tant, en aquest cas nom´es hi ha una situaci´o possible, i ´es tal que (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x)) ⇐=) Suposarem que (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x)). Llavors, directament es verifica que ∀x (P(x) ∧ Q(x)).
c) En aquest cas nom´es haurem de verificar una implicaci´o. Suposarem que (∀x P(x)) ∨ (∀x Q(x)), de manera que se’ns presenten tres situacions possibles: Algweb 1) (∀x P(x)) ∧ (∃x ¬Q(x)) =⇒ ∀x P(x) =⇒ ∀x (P(x) ∨ Q(x)) 2) (∃x ¬P(x)) ∧ (∀x Q(x)) =⇒ ∀x Q(x) =⇒ ∀x (P(x) ∨ Q(x)) 3) (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x)) =⇒ ∀x (P(x) ∨ Q(x)) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 1/03 (nivell 3) on certes: Demostreu que les seg¨ uents sent` encies no s´ a) ∃x (P(x) ∧ Q(x)) ⇐⇒ (∃x P(x)) ∧ (∃x Q(x)) b) (∃x P(x)) ∧ (∃x Q(x)) =⇒ ∃x (P(x) ∧ Q(x)) c) ∀x (P(x) ∨ Q(x)) =⇒ (∀x P(x)) ∨ (∀x Q(x)) a) Algweb Per veure que la doble implicaci´ o no ´es certa, n’hi ha prou amb veure que alguna de les dues implicacions no ´es certa. Per veure tal cosa, nom´es cal trobar algun contraexemple. Veiem d’aquesta manera que ⇐= ´es falsa: Suposarem que (∃x = a P(x)) ∧ (∃x = b Q(x)). Per exemple, P(x) : “x ´es parell” Q(x) : “x ´es senar” Posem per cas que a = 2 i b = 1. Per` o llavors, aix`o no implicar`a mai que hi hagi algun x que sigui parell i imparell alhora, ja que aquest n´ umero no existeix.
b) Demostrar aquesta situaci´ o ´es precisament el que ens ha servit per verificar l’apartat anterior.
c) Suposarem que ∀x (P(x) ∨ Q(x)). Aprofitarem el contraexemple exposat en a): “Qualsevol n´ umero ´es o b´e parell o b´e senar”. Aix` o no implica pas que tot n´ umero sigui parell o b´e tot n´ umero sigui senar.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 1/04 (nivell 3) Siguin dos conjunts A i B. Demostreu que: (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B) Demostrem el primer contingut: 1) ∀x x ∈ (A − B) ∪ (B − A) =⇒ x ∈ (A ∪ B) − (A ∩ B) Considerant certa la primera part del condicional tenim dues possibilitats: x ∈ (A − B) =⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B) =⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∩ B) =⇒ x ∈ (A ∪ B) − (A ∩ B) 1.2) x ∈ (B − A) =⇒ (x ∈ B) ∧ (x ∈ / A) =⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∩ B) =⇒ x ∈ (A ∪ B) − (A ∩ B) Algweb 1.1) Per al segon contingut hem de demostrar: 2) ∀x x ∈ (A ∪ B) − (A ∩ B) =⇒ x ∈ (A − B) ∪ (B − A) Aqu´ı tamb´e s´ on possibles dues situacions: 2.1) (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B) =⇒ x ∈ (A − B) =⇒ x ∈ (A − B) ∪ (B − A) 2.2) (x ∈ / A) ∧ (x ∈ B) =⇒ x ∈ (B − A) =⇒ x ∈ (A − B) ∪ (B − A) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 1/05 (nivell 3) Demostreu ∀n ∈N∗ els seg¨ uents resultats: a) n i=1 i= n(n+1) 2 b) 2n+3 < (n + 3)! c) n 2 i=1 i = n(n+1)(2n+1) 6 d) 1 + r + r2 + ... + rn = e) n 1 i=1 i(i+1) 1−r n+1 1−r , r=1 n n+1 = Algweb f ) 2n > n g) n i=1 (2i − 1) = n2 h) (x + y)n = on n k i) n 3 i=1 i n k=0 n k xk y n−k n! k!(n−k)! = def =( n i=1 2 i) a) Per demostrar tots els resultats usarem el metode d’inducci´o completa.
1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 1 i=1= i=1 1(1 + 1) 2 2) Suposem-ho cert per a n: n i= i=1 n(n + 1) 2 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: n+1 n i= i=1 i=1 i+n+1= n2 + n + 2n + 2 (n + 1)(n + 2) n(n + 1) +n+1= = 2 2 2 b) 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 21+3 = 24 = 16 < 24 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = (1 + 3)! 2) Suposem-ho cert per a n: 2n+3 < (n + 3)! 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: 2(n + 3)!(n + 4) 2(n + 4)! = < (n + 4)! n+4 n+4 2n+4 = 2 · 2n+3 < 2(n + 3)! = c) 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: Algweb 1 i2 = 1 = i=1 1(1 + 1)(2 + 1) 6 2) Suposem-ho cert per a n: n i2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: n+1 n i2 = i=1 i2 + (n + 1)2 = i=1 = n(n + 1)(2n + 1) (n + 1)(6(n + 1) + n(2n + 1)) + (n + 1)2 = = 6 6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) (n + 1)(7n + 6 + 2n2 ) = 6 6 d) 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 1 ri = 1 + r = i=0 1 − r2 1−r 2) Suposem-ho cert per a n: n ri = i=0 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: 1 − rn+1 1−r n+1 n ri = i=0 1 − rn+1 rn+1 − rn+2 1 − rn+2 + = 1−r 1−r 1−r ri + rn+1 = i=0 e) 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 1 i=1 1 1 1 = = i(i + 1) 2 1+1 2) Suposem-ho cert per a n: n 1 n = i(i + 1) n+1 i=1 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: 1 = i(i + 1) Algweb n+1 i=1 n i=1 = 1 1 n 1 + = + = i(i + 1) (n + 1)(n + 2) n + 1 (n + 1)(n + 2) n(n + 2) + 1 (n + 1)2 n+1 = = (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n+2 f) 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 21 = 2 > 1 2) Suposem-ho cert per a n: 2n > n 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: 2n+1 = 2 · 2n > 2n = n + n ≥ n + 1 g) 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 1 (2i − 1) = 1 = 12 i=1 2) Suposem-ho cert per a n: n (2i − 1) = n2 i=1 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: n+1 n (2i − 1) + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 (2i − 1) = i=1 i=1 h) 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 1 1 k k=0 1 0 xk y 1−k = 1 1 x0 y 1 + x1 y 0 = y + x = (x + y)1 2) Suposem-ho cert per a n: n n k n−k x y = (x + y)n k k=0 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: Algweb n n (x + y)n+1 = (x + y)(x + y)n = (x + y) k=0 n = k=0 n k−1 = k=1 n =(∗) k=1 n k=1 (∗): Justificaci´ o que n + k n k−1 = = n k−1 + n k xk y n+1−k + n+1 n k−1 = n+1 k n+1 n+1 n+1 k k=0 + n k=1 xk y n+1−k + = n k n k n+1−k x y = k k=0 n n+1 0 x y + n xk y n+1−k + n+1 k = n k+1 n−k x y + k n n k n−k x y = k n k n+1−k n 0 n+1 x y + x y = k 0 n n+1 0 n 0 n+1 x y + x y = n 0 xn+1 y 0 + n+1 0 x0 y n+1 = xk y n+1−k : n! n! n! n! = + = + k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)! k(k − 1)!(n − k)! (k − 1)!(n + 1 − k)(n − k)! n!(n + 1 − k) + n!k n!(n + 1) (n + 1)! = = = k(n − k)!(k − 1)!(n − k + 1) k!(n + 1 − k)! k!(n + 1 − k)! n+1 k i) 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 1 2 1 3 3 2 i i =1 =1=1 = i=1 i=1 2) Suposem-ho cert per a n: n 2 n i3 = i=1 i i=1 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: n+1 n i3 = i=1 i=1 2 n i3 + (n + 1)3 = i + (n + 1)3 = i=1 Algweb n2 (n + 1)2 (n + 1)2 (n2 + 4(n + 1)) = + (n + 1)3 = = 4 4 n(n + 1) 2 2 + (n + 1)3 = (n + 1)(n + 2) 2 2 n+1 2 = i i=1 Nota: Per resoldre aquest apartat ens hem basat en el resultat obtingut en l’apartat a).
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 1/06 (nivell 3) Demostreu que, ∀n ∈N∗ : a) El n´ umero 34n + 9 ´ es m´ ultiple de 10 b) El n´ umero 9n+1 − 8n + 55 ´ es m´ ultiple de 64 a) De nou usarem el m`etode d’inducci´ o completa. Per`o definim primer qu`e entendrem per un natural m´ ultiple d’un altre: x ´es m´ ultiple d’a ⇐⇒ def ∃y ∈ N∗ / x = ya Algweb 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 34·1 + 9 = 81 + 9 = 90 = 9 · 10 =⇒ fent y = 9 veiem que aquest n´ umero ´es m´ ultiple de 10.
2) Suposem-ho cert per a n: 34n + 9 = y · 10 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: 34n+4 + 9 = 34n+4 + y · 10 − 34n = 34n (34 − 1) + y · 10 = 34n · 80 + y · 10 = (8 · 34n + y) · 10 Si ara definim yˆ = 8 · 34n + y, veiem que aquest n´ umero ´es m´ ultiple de 10.
b) 1) Veiem que ´es cert per a n = 1: 91+1 − 8 · 1 + 55 = 81 − 8 + 55 = 128 = 2 · 64 =⇒ fent y = 2 veiem que aquest n´ umero ´es m´ ultiple de 64.
2) Suposem-ho cert per a n: 9n+1 − 8n + 55 = y · 64 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: 9n+2 − 8n + 47 = 9 · 9n+1 − 8n + 47 = 9 · (y · 64 + 8n − 55) − 8n + 47 = 9 · y · 64 + 64n − 448 = (9 · y + n − 7) · 64 Si ara definim yˆ = 9 · y + n − 7, veiem que aquest n´ umero ´es m´ ultiple de 64.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 1/07 (nivell 3) Demostreu que existeix un nombre infinit de n´ umeros primers.
Per veure aquest resultat usarem el m`etode de la “reducci´o a l’absurd”. Negarem l’enunciat i arribarem a una contradicci´ o.
Definim abans qu`e entendrem per un n´ umero natural primer: x ´es primer ∀y ∈N∗ , y = 1, y = x, ⇐⇒ def x y ∈ / N∗ M`etode pr` actic de c` alcul de n´ umeros primers.
Algweb Per tal de determinar si un n´ umero natural donat x ´es primer, podem procedir de la seg¨ uent manera: Considerem tots els n´ umeros primers diferents de 1 que s´on inferiors a x, ordenats de menor a major.
Dividim x per cadascun d’ells successivament. En cas que alguna d’aquestes divisions sigui un natural, x no ´es primer. En cas contrari x ´es primer.
Suposarem que nom´es existeix un nombre finit m de n´ umeros primers que, ordenats, denotarem per {n1 , n2 , ..., nm }. A continuaci´ o crearem un n´ umero primer que no coincideix amb cap dels anteriors, arribant a demostrar aix´ı, que hi ha m + 1 n´ umeros primers, cosa que entra en contradicci´o amb la nostra suposici´o.
m = p def ni + 1 i=1 Fixem-nos que m ni + 1 ≥ nm + 1 > n m p= i=1 De manera que p ∈ / {n1 , ..., nm }, o sigui que p no ´es primer.
Veiem ara que p ´es primer. Per fer-ho, seguirem un m`etode semblant a l’exposat abans. Aquest ens indica que nom´es caldr` a anar comprovant que tots els n´ umeros primers considerats no en s´on divisors.
Sigui nj un dels n´ umeros primers qualsevol ∀j = 2, ..., m. Llavors, p = nj m i=1 ni + 1 = nj m i=1 nj ni + =⇒ n1 · n2 · ... · nj−1 · nj+1 · ... · nm + 1 nj 1 nj = N ot a+b on a ∈ N∗ i b ∈ (Q - N∗ ) =⇒ a + b ∈ / N∗ =⇒ p ´ es primer, cosa que entra en contradicci´o amb el que acabem de dir.
Aquesta contradicci´ o prov´e de suposar que existeix un nombre finit de n´ umeros primers, podent concloure aix´ı que aquesta suposici´ o ´es falsa, amb el que queda demostrat l’exercici.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 1/08 (nivell 3) Si A ´ es un conjunt amb m elements, calculeu quants elements t´ e el conjunt de les parts d’A, P(A) definit com = { B / B ⊂ A } P(A) def Si considerem A = {a1 , a2 , ..., am } llavors podem reescriure el conjunt P(A) com P(A) = {∅, {a1 }, ..., {an }, {a1 , a2 }, ..., A} Algweb Per comptar quants elements hi tenim farem u ´s d’una de les aplicacions dels n´ umeros combinatoris.
i Si calculem el n´ umero combinatori j obtenim el nombre de combinacions d’i elements agafats de j en j (sense repetici´ o), que ´es just el que ens cal en aquest cas. Per tant, P(A) = m m m m + + + ... + = 0 1 2 m m k=0 m = k m k=0 m k m−k 1 1 = (1 + 1)m = 2m k Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/09 (nivell 3) En R4 trobeu m i n per a qu` e {v1 = (2, 1, 3, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (3, m, 0, n)} sigui un sistema de vectors linealment independents. Feu el mateix per tal que siguin linealment dependents.
El sistema {v1 , v2 } ´es lliure, per tant {v1 , v2 , v3 } ser`a un sistema lligat si i nom´es si el tercer vector ´es combinaci´o lineal dels dos primers, ´es a dir: {v1 , v2 , v3 } linealment dependents ⇐⇒ ∃α, β ∈ R, v3 = αv1 + βv2 (3, m, 0, n) = α(2, 1, 3, 1) + β(1, 0, 1, 0) Algweb Per components:   3 = 2α + β       m = n = −3 m=α =⇒ α = −3  0 = 3α + β     β=9  n=α Llavors: {v1 = (2, 1, 3, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (3, m, 0, n)} ´es un sistema lligat ⇐⇒ (m = n = −3) Esquematitzant el resultat anterior com (p ⇐⇒ q) podrem afirmar que tamb´e es verifica ((¬p) ⇐⇒ (¬q)): {v1 = (2, 1, 3, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (3, m, 0, n)} ´es un sistema lliure ⇐⇒ (m = −3) ∨ (n = −3) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 1/10 (nivell 3) Siguin els conjunts A, B i les aplicacions: f : A −→ B g : B −→ A Demostreu que si f · g = IdB llavors g ´es injectiva i f ´es exhaustiva.
En primer lloc justifiquem que g ´es injectiva: Algweb ∀x, y ∈ B, tals que g(x) = g(y), =⇒ f (g(x)) = f (g(y)) =⇒ IdB (x) = IdB (y) =⇒ x=y Per demostrar que f ´es exhaustiva hem de justificar que per a qualsevol x ∈ B existeix un element z ∈ A tal que f (z) = x: ∀x ∈ B, x = IdB (x) = f (g(x)) prenent z = g(x) ja queda demostrat.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/01 (nivell 3) Considereu R3 .
a) De “manera natural” doteu aquest conjunt d’estructura d’espai vectorial real.
b) Generalitzeu-ho a Rn per a qualsevol n ∈N∗ .
c) Considereu: Algweb J1 = {(x, y, z) ∈R3 / z = x2 + y 2 } J2 = {(x, y, z) ∈R3 / x = 0} J3 = {(x, y, z) ∈R3 / 2x − 3y + 5z = 0} J4 = {(x, y, z) ∈R3 / x − 2y − 3z = 1} J5 = {(x, y, z) ∈R3 / x = y = z = 0} J6 = {(x, y, z) ∈R3 / x2 + y 2 + z 2 = 1} J7 = {(x, y, z) ∈R3 / x = 2y, 2x − 3y + 5z = 0} J8 = {(x, y, z) ∈R3 / z = x2 − y 2 } J9 = {(x, y, z) ∈R3 / z = xy} J10 = {(x, y, z) ∈R3 } J11 = {(x, y, z) ∈R3 / z 2 = x2 + y 2 } J12 = {(x, y, z) ∈R3 / z 2 = x2 − y 2 } Interpreteu geom` etricament cadascun dels J. Quins s´ on subespais de R3 ? a) Definirem R3 com el producte cartesi` a de R×R×R. Els seus elements seran ternes de reals que representarem com (x, y, z) ∀x, y, z ∈R. En concret, representarem tres elements qualssevol segons x, y i z. Les seves ternes ordenades associades les designarem per: x = (x1 , x2 , x3 ) y = (y1 , y2 , y3 ) z = (z1 , z2 , z3 ) Anomenarem λ i µ a dos reals qualssevol.
Establim ara el que entendrem per “operaci´ o interna” i “operaci´ o externa” (donarem per assumides les operacions internes + i · establertes entre elements del cos commutatiu R): ˆ :R3 ×R3 −→ R3 Operaci´ o interna + ˆ ˆ = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) (x, y) −→ +(x, y) N=ot x+y def Operaci´ o externa ˆ· :R×R3 −→ R3 = (λ · x , λ · x , λ · x ) (λ, x) −→ ˆ· (λ, x) N=ot λ ˆ· x def 1 2 3 Per tal de dotar aquest conjunt d’estructura d’espai vectorial sobre R amb les operacions definides haurem de verificar les seg¨ uents propietats: ˆ ´es Grup abeli` 1) (R3 , +) a. Aix´ı, s’haur`a de verificar: 1.1)Propietat associativa 1.2)Exist`encia d’element neutre 1.3)Exist`encia d’element sim`etric 1.4)Propietat commutativa ˆ ˆ· ) verifica, ∀x, y ∈ R3 , ∀λ, µ ∈ R: 2) (R3 , +, 2.1) 2.2) 2.3) 2.4) ˆ ˆ· x) (λ + µ) ˆ· x = (λ ˆ· x)+(µ ˆ ˆ λ ˆ· (x+y) = (λ ˆ· x)+(λ ˆ· y) λ ˆ· (µ ˆ· x) = (λ · µ) ˆ· x 1 ˆ· x = x, on 1 ´es l’element unitari de R Demostrem-les a continuaci´ o, basant-nos en les propietats associades als reals (ja que R ´es un cos commutatiu): Algweb ˆ +z ˆ = x+(y ˆ +z) ˆ 1.1) ∀x, y, z ∈R3 , (x+y) ˆ +z ˆ = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 )+(z ˆ 1 , z2 , z3 ) = ((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 , (x3 + y3 ) + z3 ) = (x+y) ˆ 1 +z1 , y2 +z2 , y3 +z3 ) = x+(y ˆ +z) ˆ = (x1 +(y1 +z1 ), x2 +(y2 +z2 ), x3 +(y3 +z3 )) = (x1 , x2 , x3 )+(y ˆ = x = x+x ˆ 1.2) ∃x / ∀x ∈ R3 , x +x Suposem que x = (a, b, c) ˆ = (a, b, c)+(x ˆ 1 , x2 , x3 ) = (a + x1 , b + x2 , c + x3 ) = (x1 , x2 , x3 ) x +x =⇒ a + x1 = x1 , b + x2 = x2 i c + x3 = x3 =⇒ a = b = c = 0 ∈ R =⇒ x = (0, 0, 0) N=ot 0 ˆ = x+x ˆ =0 1.3) ∀x ∈ R3 , ∃x / ∀x ∈ R3 , x +x Suposem que x = (d, e, f ) ˆ = (d, e, f )+(x ˆ 1 , x2 , x3 ) = (d + x1 , e + x2 , f + x3 ) = (0, 0, 0) x +x =⇒ d = −x1 , e = −x2 i f = −x3 =⇒ x = (−x1 , −x2 , −x3 ) N=ot − x ˆ = y +x ˆ 1.4) ∀x, y ∈R3 , x+y ˆ = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) = (y1 + x1 , y2 + x2 , y3 + x3 ) = y +x ˆ x+y 2.1) (λ + µ) ˆ· x = ((λ + µ) · x1 , (λ + µ) · x2 , (λ + µ) · x3 ) = = ((λ · x1 ) + (µ · x1 ), (λ · x2 ) + (µ · x2 ), (λ · x3 ) + (µ · x3 )) = ˆ · x1 , µ · x2 , µ · x3 ) = = (λ · x1 , λ · x2 , λ · x3 )+(µ ˆ ˆ· x) = (λ ˆ· x)+(µ ˆ = λ ˆ· (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) = (λ · (x1 + y1 ), λ · (x2 + y2 ), λ · (x3 + y3 )) = 2.2) λ ˆ· (x+y) = ((λ · x1 ) + (λ · y1 ), (λ · x2 ) + (λ · y2 ), (λ · x3 ) + (λ · y3 ) = ˆ · y1 , λ · y2 , λ · y3 ) = (λ ˆ· x)+(λ ˆ ˆ· y) = (λ · x1 , λ · x2 , λ · x3 )+(λ 2.3) λ ˆ· (µ ˆ· x) = λ ˆ· (µ · x1 , µ · x2 , µ · x3 ) = (λ · (µ · x1 ), (λ · (µ · x2 ), (λ · (µ · x3 )) = = ((λ · µ) · x1 , (λ · µ) · x2 , (λ · µ) · x3 ) = (λ · µ) ˆ· x 2.4) 1 ˆ· x = (1 · x1 , 1 · x2 , 1 · x3 ) = (x1 , x2 , x3 ) = x D’aquesta manera queda demostrat que R3 t´e estructura d’espai vectorial real.
b) Definim la suma i el producte extern “naturals” . Per a qualssevol x, y ∈ Rn tals que x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) i qualsevol λ ∈ R : Algweb ˆ : Rn × Rn −→ Rn + ˆ = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) (x, y) → x+y ˆ· : R × Rn −→ Rn (λ, x) → λˆ·x = (λ · x1 , λ · x2 , . . . , λ · xn ) (observem que en xj + yj s’utilitza la suma en (R, +, ·), i que en λ · xj s’utilitza el producte en (R, +, ·) , ∀j = 1, n). Verifiquem els cinc punts de la definici´o d’espai vectorial : ´ directe que, per a tot parell d’elements de Rn existeix i ´es u Es ´nica la seva suma (en existir i ser u ´nica ˆ ´es aplicaci´o (operaci´ la suma per a cada coordenada), per la qual cosa + o).
[ 1.1 ] ∀x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ), z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Rn es verifica: (1) ˆ +z ˆ = (x1 , . . . , xn )+(y ˆ 1 , . . . , yn ) +(z ˆ 1 , . . . , zn ) (1) ˆ (x+y) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )+(z1 , . . . , zn ) = (1) (2) (1) = (x1 + y1 ) + z1 , . . . , (xn + yn ) + zn = x1 + (y1 + z1 ), . . . , xn + (yn + zn ) = (1) (1) ˆ ˆ ˆ = (x1 , . . . , xn )+(y1 + z1 , . . . , yn + zn ) = (x1 , . . . , xn )+ (y1 , . . . , yn )+(z1 , . . . , zn ) = ˆ +z) ˆ = x+(y ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de suma en Rn (2) : Associativitat de la suma en (R, +, ·), per a cada coordenada ) [ 1.2 ] Sigui 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn . Llavors, ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn es verifica: (2) ˆ 0 = (x1 , . . . , xn )+(0, ˆ . . . , 0) (1) x+ = (x1 + 0, . . . , xn + 0) = (x1 , . . . , xn ) = x (1) ˆ = (0, . . . , 0)+(x ˆ 1 , . . . , xn ) = (0 + x1 , . . . , 0 + xn ) (2) 0+x = (x1 , . . . , xn ) = x ( Justificaci´ o: (1) : Definici´o de suma en Rn (2) : “ 0 ” ´es l’element neutre de la suma en (R, +, ·), per a cada coordenada ) ˜ ”, definit com: x ˜ = [ 1.3 ] ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , existeix un element en Rn que anomenem “ x (−x1 , . . . , −xn ) (on (−xj ) + xj = xj + (−xj ) = 0, ∀j = 1, n). Llavors : (1) ˜ = (x1 , . . . , xn )+(−x ˆx ˆ x+ 1 , . . . , −xn ) = (x1 + (−x1 ), . . . , xn + (−xn )) = (0, . . . , 0) = 0 ˜ +x ˆ = (−x1 , . . . , −xn )+(x ˆ 1 , . . . , xn ) (1) x = ((−x1 ) + x1 , . . . , (−xn ) + xn ) = (0, . . . , 0) = 0 ( Justificaci´ o: (1) : Definici´o de suma en Rn ) [ 1.4 ] ∀x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn es verifica: (2) ˆ = (x1 , . . . , xn )+(y ˆ 1 , . . . , yn ) (1) x+y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) = (1) (2) ˆ ˆ = (y1 + x1 , . . . , yn + xn ) = (y1 , . . . , yn )+(x1 , . . . , xn ) = y +x ( Justificaci´ o: Algweb (1) : Definici´o de suma en Rn (2) : Commutativitat de la suma en (R, +, ·), per a cada coordenada ) ´ directe que, per a cada parell format per un elemente de R i un element de Rn existeix i ´es u Es ´nic el seu producte (en existir i ser u ´nic el producte per a cada coordenada), per la qual cosa la llei ˆ· ´es aplicaci´o (llei de composici´o externa).
[ 2.1 ] ∀x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , ∀λ ∈ R es verifica: ˆ = λˆ· (x1 , . . . , xn )+(y ˆ 1 , . . . , yn ) (1) ·(x1 + y1 , . . . , xn + yn ) (2) λˆ·(x+y) = λˆ = (2) (3) (λ · (x + y ), .
.
.
, λ · (x + y )) (λ · x + λ · y , .
.
.
, λ · x + λ · yn ) (1) 1 1 n n 1 1 n = = = (1) (2) ˆ ˆ ·(y1 , . . . , yn ) = λˆ·x + ˆ λˆ·y ·(x1 , . . . , xn )+λˆ = (λ · x1 , . . . , λ · xn )+(λ · y1 , . . . , λ · yn ) = λˆ ( Justificaci´ o: (1) : Definici´o de suma en Rn (2) : Definici´ o de producte extern (3) : Distributivitat de la suma respecte del producte en (R, +, ·), per a cada coordenada ) [ 2.2 ] ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , ∀λ, µ ∈ R es verifica: (2) (λ + µ)ˆ·x = (λ + µ)ˆ·(x1 , . . . , xn ) (1) = ((λ + µ) · x1 , . . . , (λ + µ) · xn ) = (2) (3) (1) ˆ = (λ · x1 + µ · x1 , . . . , λ · xn + µ · xn ) = (λ · x1 , . . . , λ · xn )+(µ · x1 , . . . , µ · xn ) = (1) ˆ ·(x1 , . . . , xn ) = λˆ·x + ˆ µˆ·x ·(x1 , . . . , xn )+µˆ = λˆ ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de producte extern (2) : Distributivitat de la suma respecte del producte en (R, +, ·), per a cada coordenada (3) : Definici´ o de suma en Rn ) [ 2.3 ] ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , ∀λ, µ ∈ R es verifica: (1) (2) (λ · µ)ˆ·x = (λ · µ)ˆ·(x1 , . . . , xn ) (1) = ((λ · µ) · x1 , . . . , (λ · µ) · xn ) = (λ · (µ · x1 ), . . . , λ · (µ · xn )) = (1) (1) ·(µ · x1 , . . . , µ · xn ) = λˆ· µˆ·(x1 , . . . , xn ) = λˆ·(µˆ·x) = λˆ ( Justificaci´ o: (1) : Definici´ o de producte extern (2) : Associativitat del producte en (R, +, ·), per a cada coordenada ) Algweb [ 2.4 ] ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , es verifica: (2) 1ˆ·x = 1ˆ·(x1 , . . . , xn ) (1) = (1 · x1 , . . . , 1 · xn ) = (x1 , . . . , xn ) = x ( Justificaci´ o: (1) : Definici´o de producte extern (2) : “1” ´es l’element neutre del producte en (K, +, ·). ) ˆ ·) ´es un espai vectorial sobre (R, +, ·).
Aix´ı doncs, s’ha comprovat que (Rn , +,ˆ c) Interpretaci´ o geom`etrica: J1 =Paraboloide el·l´ıptic de revoluci´o al voltant de l’eix Z J2 =Pla coordenat XY J3 =Pla que passa per l’origen de coordenades J4 =Pla que no passa per l’origen de coordenades J5 =Centre de coordenades J6 =Superf´ıcie esf`erica J7 =Recta que passa per l’origen de coordenades J8 =Paraboloide hiperb` olic (“cadira de muntar”) J9 =“Bitxo” (res en concret) J10 =L’espai ambient J11 =Con de revoluci´o al voltant de l’eix Z J12 =Con de revoluci´ o al voltant de l’eix X Per veure que Ji ´es subespai de R3 ∀i = 1, ..., 12 n’hi haur` a prou amb verificar les dues condicions seg¨ uents: 1)(0, 0, 0) ∈ Ji Algweb 2)∀x, y ∈ Ji , ∀λ ∈ R (λx + y) ∈ Ji J1 : 1)(0, 0, 0) ∈ J1 ⇐⇒ 0 = 02 + 02 , cosa que ´es certa.
=⇒ 0 ∈ J1 2)λx + y = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) N=ot (x , y , z ) (x )2 + (y )2 = (λx1 + y1 )2 + (λx2 + y2 )2 = λ2 x21 + λ2 x22 + 2λ(x1 y1 + x2 y2 ) + y12 + y22 = = λ2 x3 + 2λ(x1 y1 + x2 y2 ) + y3 = z =⇒ J1 no ´es subespai vectorial de R3 J2 : 1)(0, 0, 0) ∈ J2 ⇐⇒ 0 = 0, cosa que ´es certa.
=⇒ 0 ∈ J2 2)λx + y = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) N=ot (x , y , z ) x = λx1 + y1 = λ0 + 0 = 0 =⇒ J2 ´es subespai vectorial de R3 J3 : 1)(0, 0, 0) ∈ J3 ⇐⇒ 2 · 0 − 3 · 0 + 5 · 0 = 0, cosa que ´es certa.
=⇒ 0 ∈ J3 2)λx + y = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) N=ot (x , y , z ) 2x −3y +5z = 2(λx1 +y1 )−3(λx2 +y2 )+5(λx3 +y3 ) = λ(2x1 −3x2 +5x3 )+(2y1 −3y2 +5y3 ) = λ0+0 = 0 =⇒ J3 ´es subespai vectorial de R3 J4 : 1)(0, 0, 0) ∈ J1 ⇐⇒ 0 − 2 · 0 − 3 · 0 = 1, per` o aix`o ´es fals.
=⇒ J4 no ´es subespai vectorial de R3 Algweb J5 : 1)(0, 0, 0) ∈ J5 ⇐⇒ 0 = 0 = 0 = 0, cosa que ´es certa.
=⇒ 0 ∈ J5 2)λx + y = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) N=ot (x , y , z ) x = λx1 + y1 = λ0 + 0 = 0 = y = z =⇒ J5 ´es subespai vectorial de R3 J6 : 1)(0, 0, 0) ∈ J6 ⇐⇒ 02 = 02 + 02 = 1, per`o aix`o ´es fals.
=⇒ J6 no ´es subespai vectorial de R3 J7 : 1)(0, 0, 0) ∈ J7 ⇐⇒ 0 = 2 · 0 i 2 · 0 − 3 · 0 + 5 · 0 = 0, cosa que ´es certa.
=⇒ 0 ∈ J7 2)λx + y = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) N=ot (x , y , z ) x = λx1 + y1 = λ(2x2 ) + 2y2 = 2(λx2 + y2 ) = 2y 2x −3y +5z = 2(λx1 +y1 )−3(λx2 +y2 )+5(λx3 +y3 ) = λ(2x1 −3x2 +5x3 )+(2y1 −3y2 +5y3 ) = λ0+0 = 0 =⇒ J7 ´es subespai vectorial de R3 J8 : 1)(0, 0, 0) ∈ J8 ⇐⇒ 0 = 02 − 02 , cosa que ´es certa.
=⇒ 0 ∈ J8 2)λx + y = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) N=ot (x , y , z ) (x )2 − (y )2 = (λx1 + y1 )2 − (λx2 + y2 )2 = λ2 x21 − λ2 x22 + 2λ(x1 y1 − x2 y2 ) + y12 − y22 = = λ2 x3 + 2λ(x1 y1 − x2 y2 ) + y3 = z =⇒ J8 no ´es subespai vectorial de R3 J9 : Algweb 1)(0, 0, 0) ∈ J9 ⇐⇒ 0 = 0 · 0, cosa que ´es certa.
=⇒ 0 ∈ J9 2)λx + y = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) N=ot (x , y , z ) x y = (λx1 + y1 )(λx2 + y2 ) = λ2 x1 x2 + λ(x2 y1 + x1 y2 ) + y1 y2 = λ2 x3 + λ(x2 y1 + x1 y2 ) + y3 = z =⇒ J9 no ´es subespai vectorial de R3 J10 : R3 ´es espai vectorial, i sabem que un espai vectorial ´es subespai vectorial d’ell mateix =⇒ J10 ´es subespai vectorial de R3 J11 : 1)(0, 0, 0) ∈ J11 ⇐⇒ 02 = 02 + 02 , cosa que ´es certa.
=⇒ 0 ∈ J11 2)λx + y = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) N=ot (x , y , z ) (x )2 + (y )2 = (λx1 + y1 )2 + (λx2 + y2 )2 = λ2 x21 + λ2 x22 + 2λ(x1 y1 + x2 y2 ) + y12 + y22 = = λ2 x23 + 2λ(x1 y1 + x2 y2 ) + y32 = (z )2 =⇒ J11 no ´es subespai vectorial de R3 J12 : 1)(0, 0, 0) ∈ J12 ⇐⇒ 02 = 02 − 02 , cosa que ´es certa.
=⇒ 0 ∈ J12 2)λx + y = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) N=ot (x , y , z ) (x )2 − (y )2 = (λx1 + y1 )2 − (λx2 + y2 )2 = λ2 x21 − λ2 x22 + 2λ(x1 y1 − x2 y2 ) + y12 − y22 = = λ2 x23 + 2λ(x1 y1 − x2 y2 ) + y32 = (z )2 Algweb =⇒ J12 no ´es subespai vectorial de R3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/02 (nivell 3) Considereu FR = {f :R −→ R, aplicaci´ o}.
a) De “manera natural” doteu aquest conjunt d’estructura d’espai vectorial real.
b) Siguin Algweb H1 = {f ∈ FR / f (5) = 0} H2 = {f ∈ FR / ∃k ∈R, ∀x ∈R f (x) = k} H3 = {f ∈ FR / f (0, 25) = 3} H4 = {f ∈ FR / ∀x ∈R, f (x) ≤ 0} H5 = {f ∈ FR / ∀x1 , x2 ∈ R, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )} H6 N=ot R[x] = {f ∈ FR / ∃n ∈N, ∃a0 , a1 , ..., an ∈R, f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn } H7 N=ot Rn [x] = {f ∈R[x]/ grau f (x) ≤ n}, ∀n ∈ N H8 = {f ∈R[x]/ grau f (x) = n}, ∀n ∈ N Esbrineu quins s´ on subespais de FR .
a) Establim primer el que entendrem per “operaci´o interna” i “operaci´o externa” (donarem per assumides les operacions internes + i · establertes entre elements del cos commutatiu R): ˆ : FR × FR −→ FR Operaci´ o interna + ˆ ˆ : R −→ R (f, g) −→ +(f, g) N=ot f +g ˆ = f (x) + g(x) x −→ (f +g)(x) def Operaci´ o externa ˆ· : R × FR −→ FR (λ, f ) −→ ˆ· (λ, f ) N=ot λ ˆ· f : R −→ R = λ · f (x) x −→ (λˆ·f )(x) def Per tal de dotar aquest conjunt d’espai vectorial sobre R amb les operacions definides haurem de verificar les seg¨ uents propietats: ˆ ´es Grup abeli` 1) (FR , +) a. Aix´ı, s’haur`a de verificar: 1.1)Propietat associativa 1.2)Exist`encia d’element neutre 1.3)Exist`encia d’element sim`etric 1.4)Propietat commutativa ˆ ˆ· ) verifica, ∀f, g ∈ FR , ∀λ, µ ∈ R: 2) (FR , +, ˆ ˆ· f ) 2.1) (λ + µ) ˆ· f = (λ ˆ· f )+(µ ˆ = (λ ˆ· f )+(λ ˆ ˆ· g) 2.2) λ ˆ· (f +g) 2.3) λ ˆ· (µ ˆ· f ) = (λ · µ) ˆ· f 2.4) 1 ˆ· f = f , on 1 ´es l’element unitari de R Demostrem-les a continuaci´ o, basant-nos en les propietats associades als reals (ja que R ´es un cos commutatiu): ˆ +h ˆ = f +(g ˆ +h) ˆ 1.1) ∀f, g, h ∈ FR , (f +g) ˆ +h ˆ : R −→ R (f +g) ˆ +h)(x) ˆ ˆ x −→ ((f +g) = (f +g)(x) + h(x) = f (x) + g(x) + h(x) Per una altra banda, ˆ +h) ˆ : R −→ R f +(g ˆ +h))(x) ˆ ˆ x −→ (f +(g = f (x) + (g +h)(x) = f (x) + g(x) + h(x) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +h ˆ = f +(g ˆ +h) ˆ De manera que ∀x ∈R, ((f +g)+h)(x) = (f +(g +h))(x), i per tant (f +g) ˆ = f = f +f ˆ 1.2) ∃f / ∀f ∈ FR , f +f Algweb ˆ : R −→ R f +f ˆ )(x) = f (x) + f (x) = f (x) + f (x) = (f +f ˆ )(x) x −→ (f +f ˆ = f caldr` ˆ )(x) = f (x), ´es a dir f (x) + f (x) = f (x).
Si volem que f +f a que es verifiqui ∀x ∈R, (f +f I llavors, ∀x ∈R f (x) = 0, funci´ o que denotarem per f = ˜0 N ot ˆ = f +f ˆ 1.3) ∀f ∈ FR , ∃f / ∀f ∈ FR , f +f = ˜0 ˆ : R −→ R f +f ˆ )(x) = f (x) + f (x) = f (x) + f (x) = (f +f ˆ )(x) x −→ (f +f ˆ =˜ ˆ )(x) = ˜0(x), ´es a dir f (x) + f (x) = 0. I Si volem que f +f 0 caldr`a que es verifiqui ∀x ∈R, (f +f llavors, ∀x ∈R f (x) = −f (x), funci´ o que denotarem per f = − f N ot ˆ = g +f ˆ 1.4) ∀f, g ∈ FR , f +g ˆ : R −→ R f +g ˆ x −→ (f +g)(x) = f (x) + g(x) Per una altra banda, ˆ : R −→ R g +f ˆ )(x) = g(x) + f (x) = f (x) + g(x) x −→ (g +f ˆ ˆ )(x), i per tant f +g ˆ = g +f ˆ De manera que ∀x ∈R, (f +g)(x) = (g +f 2.1) (λ + µ) ˆ· f : R −→ R x −→ ((λ + µ) ˆ· f )(x) = (λ + µ)f (x) = λf (x) + µf (x) Per una altra banda, ˆ ˆ· f ) : R −→ R (λ ˆ· f )+(µ ˆ ˆ· f ))(x) = (λ ˆ· f )(x) + (µ ˆ· f )(x) = λf (x) + µf (x) x −→ ((λ ˆ· f )+(µ ˆ ˆ· f ))(x), i per tant (λ + µ) ˆ· f = (λ ˆ· f )+(µ ˆ ˆ· f ) De manera que ∀x ∈R, ((λ + µ) ˆ· f )(x) = ((λ ˆ· f )+(µ ˆ : R −→ R 2.2) λ ˆ· (f +g) ˆ ˆ x −→ (λ ˆ· (f +g))(x) = λ(f +g)(x) = λf (x) + λg(x) Per una altra banda, ˆ ˆ· g) : R −→ R (λ ˆ· f )+(λ ˆ ˆ· g))(x) = (λ ˆ· f )(x) + (λ ˆ· g)(x) = λf (x) + λg(x) x −→ ((λ ˆ· f )+(λ ˆ ˆ ˆ· g))(x), i per tant λ ˆ· (f +g) ˆ = (λ ˆ· f )+(λ ˆ ˆ· g) De manera que ∀x ∈R, (λ ˆ· (f +g))(x) = ((λ ˆ· f )+(λ 2.3) λ ˆ· (µ ˆ· f ) : R −→ R x −→ (λ ˆ· (µ ˆ· f ))(x) = λ(µ ˆ· f )(x) = λµf (x) Per una altra banda, (λ · µ) ˆ· f : R −→ R x −→ ((λ · µ) ˆ· f )(x) = (λ · µ)f (x) = λµf (x) De manera que ∀x ∈R, (λ ˆ· (µ ˆ· f ))(x) = ((λ · µ) ˆ· f )(x), i per tant λ ˆ· (µ ˆ· f ) = (λ · µ) ˆ· f 2.4) 1 ˆ· f : R −→ R x −→ (1 ˆ· f )(x) = 1 · f (x) = f (x) De manera que ∀x ∈R, (1 ˆ· f )(x) = f (x), i per tant 1 ˆ· f = f Algweb D’aquesta manera queda demostrat que FR t´e estructura d’espai vectorial real.
b) Considerarem en tot l’apartat ˜ 0, l’element neutre de FR .
H1 : 1) ˜ 0(5) = 0 =⇒ ˜ 0 ∈ H1 2) ∀λ ∈R, ∀f, g ∈ H1 (λf + g)(5) = λf (5) + g(5) = λ0 + 0 = 0 =⇒ λf + g ∈ H1 Per tant, H1 ´es subespai vectorial de FR .
H2 : 1) Prenent k = 0 obtenim ˜0(x), per tant, ˜0 ∈ H2 .
2) ∀λ ∈R, ∀f, g ∈ H2 (λf + g)(x) = λf (x) + g(x) = λkf + kg = k ∈R, de manera que λf + g ∈ H2 Per tant, H2 ´es subespai vectorial de FR .
H3 : 1) ˜ 0(0, 25) = 3 = 0. I amb aix` o n’hi ha prou per veure que ˜0 ∈ / H3 H3 no ´es subespai vectorial de FR .
H4 : 1) ∀x ∈R ˜ 0(x) = 0 ≤ 0 =⇒ ˜0 ∈ H4 2) ∀λ ∈R, ∀f, g ∈ H4 ∀x ∈R (λf + g)(x) = λf (x) + g(x) ≤ λf (x). Per` o no podem garantir que aquesta expressi´ o sigui menor o igual que 0 per a qualsevol λ (sempre en podrem trobar una que faci l’expressi´ o positiva).
H4 no ´es subespai vectorial de FR .
H5 : 1) ∀x1 , x2 ∈R tals que x1 < x2 , ˜0(x1 ) = 0 = ˜0(x2 ) =⇒ ˜0(x1 ) ≥ ˜0(x2 ). I amb aix` o veiem que ˜0 ∈ / H5 H5 no ´es subespai vectorial de FR .
H6 : Algweb 1) ˜ 0(x) = 0 + 0x + 0x2 + · · · + 0xn =⇒ ∃a0 , a1 , ..., an ∈R, a0 = a1 = · · · = an = 0, ∃n ∈N/ ˜ 0(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn =⇒ ˜ 0 ∈ H6 2) ∀λ ∈R, ∀f, g ∈ H6 , ∃a0 , ..., an1 , b0 , ..., bn2 ∈R tals que f (x) = a0 + a1 x + · · · + an1 xn1 ; g(x) = b0 + b1 x + · · · + bn2 xn2 Sense p`erdua de generalitat considerarem n1 ≥ n2 (considerant l’altre cas, n1 < n2 arribem al mateix resultat).
=⇒ λf (x) + g(x) = λ(a0 + a1 x + · · · + an1 xn1 ) + b0 + b1 x + · · · + bn2 xn2 = = (λa0 + b0 ) + (λa1 + b1 )x + · · · + (λan2 + bn2 )xn2 + · · · + λan1 xn1 = N ot c0 + c1 x + · · · + cn1 xn1 =⇒ ∃c0 , c1 , ..., cn1 ∈ R, ∃n ∈ N, n = n1 / λf (x) + g(x) = c0 + c1 x + · · · + cn1 xn1 =⇒ λf + g ∈ H6 ´ el subespai dels polinomis a coeficients reals.
H6 ´es subespai vectorial de FR . Es H7 : 1) ˜ 0(x)´es un polinomi a coeficients reals de grau 0 ≤ n, ∀n ∈N, =⇒ ˜0 ∈ H7 .
2) ∀λ ∈R, ∀f, g ∈ H7 , ∃a0 , ..., an , b0 , ..., bn ∈R tals que f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ; g(x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn =⇒ λf (x) + g(x) = λ(a0 + a1 x + · · · + an xn ) + b0 + b1 x + · · · + bn xn = = (λa0 + b0 ) + (λa1 + b1 )x + · · · + (λan + bn )xn = N ot c0 + c1 x + · · · + cn xn =⇒ ∃c0 , c1 , ..., cn ∈ R, / λf (x) + g(x) = c0 + c1 x + · · · + cn xn =⇒ λf + g ∈ H7 ´ el subespai dels polinomis a coeficients reals de grau H7 ´es subespai vectorial de FR . Es menor o igual a n.
H8 : 1) ˜ 0(x) ´es un polinomi a coeficients reals de grau 0. Per tal de pert`anyer a H8 hauria de verificar-se n = 0, cosa que nom´es ser` a certa per al cas H8 = {f ∈ R[x] / grau f (x) = 0}. Considerem nom´es aquest cas per verificar el segon apartat.
2) ∀λ ∈R, ∀f, g ∈ H8 , f (x) = g(x) = ˜0(x) =⇒ λ˜0(x) + ˜0(x) = ˜0(x) que t´e grau 0 i per tant, λf + g ∈ H8 .
Algweb H8 ´es subespai vectorial de FR si i nom´es si n = 0 (´es a dir, H8 = {˜0}).
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/03 (nivell 3) Sigui E el conjunt de les funcions num` eriques reals de variable real dues vegades derivables, verificant f + af + bf = ˜0, amb a, b ∈R. Demostreu que E t´ e estructura d’espai vectorial real respecte de la suma i del producte extern definits per a les funcions reals.
Notacions: (x) f = dfdx f = d2 f (x) dx2 Considerem l’espai vectorial de les funcions reals de variable real FR = {f | f : R −→ R, f aplicaci´ o}. A teoria est`a justificat que (FR , +, ·) t´e estructura de R-espai vectorial.
Algweb Com que E ⊂ FR , per veure que (E, +, ·) t´e estructura de R-espai vectorial nom´es caldr` a veure que ´es subespai vectorial real de FR . Per fer-ho, comprovem les seg¨ uents dues propietats: 1) ˜0 ∈ E.
Prenem ˜0 ∈ FR i veiem si verifica les condicions de pertinen¸ca a E: ˜0 + a˜0 + b˜0 = ˜0 i per tant, efectivament, ˜ 0 ∈ E.
2) ∀f, g ∈ E, ∀λ ∈R, cal veure que λf + g ∈ E: (λf + g) + a(λf + g) + b(λf + g) = λf + g + aλf + ag + bλf + bg = = λ(f + af + bf ) + (g + ag + bg) = λ˜0 + ˜0 = ˜0 de manera que λf + g ∈ E i veiem aix´ı que E ´es subespai vectorial real.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/04 (nivell 3) Demostreu que s´ on certes les seg¨ uents proposicions i obtingueu en l’apartat c) la dimensi´ o de l’espai corresponent: a) ∀n ∈N∗ , Rn ´ es Q espai vectorial.
b) ∀n ∈N∗ , Cn ´ es Q espai vectorial.
c) ∀n ∈N∗ , Cn ´ es R espai vectorial.
Previ: De teoria sabem que, donat el cos commutatiu (K, +, ·), ∀n ∈N∗ , (Kn , +, ·) ´es un K-e.v.
Considerem en particular, els cossos commutatius, (Q, +, ·), (R, +, ·) i (C, +, ·) que verifiquen Q ⊂ R ⊂ C. Llavors, degut a aquesta cadena de continguts tenim que ∀n ∈N∗ , Algweb (Rn , +, ·) ´es Q-e.v.
(Cn , +, ·) ´es R-e.v.
(Cn , +, ·) ´es Q-e.v.
En general, si K, K’ s´ on dos cossos commutatius qualssevol, llavors Kn ´es un K’-espai vectorial sempre que K’⊂ K. Amb aix` o justifiquem immediatament que les tres proposicions plantejades s´on certes.
c) Recordem el cas n = 1: Sabem que ∀x ∈ C ∃a, b ∈ R tals que x = a + ib. D’aquesta manera, {1, i} ´es sistema de generadors per a C. A m´es s´on linealment independents, ja que si a, b ∈R i a + ib = 0, llavors a = b = 0. D’aquesta manera dimR (C) = 2.
Si considerem el cas general n, podem extrapolar el que acabem de veure ja que, an`alogament, ∀x ∈Cn ∃a, b ∈ Rn tals que x = a + ib. Considerem {e1 , ..., en } la base can`onica de Rn . En aquest cas, n ∃a1 , a2 , ..., an ∈ R / a = aj ej j=1 n ∃b1 , b2 , ..., bn ∈ R / b = bj ej j=1 de manera que podem reescriure x com n x = a + ib = n aj ej + i j=1 bj ej = j=1 = a1 e1 + a2 e2 + · · · + an en + b1 (ie1 ) + b2 (ie2 ) + · · · + bn (ien ) o sigui que podem garantir que ∀x ∈Cn ∃a1 , ..., an , b1 , ..., bn / x = que {e1 , ..., en , ie1 , ..., ien } ´es sistema de generadors de Cn .
n j=1 aj ej + n j=1 bj (iej ).
Aix`o implica Veiem que s´ on linealment independents tot plantejant una combinaci´o lineal igualada a 0 segons els escalars α1 , ..., αn , β1 , ..., βn ∈ R: α1 e1 + · · · + αn en + β1 (ie1 ) + · · · + βn (ien ) = 0 =⇒ (α1 + iβ1 )e1 + · · · + (αn + iβn )en = 0 =⇒ α1 + iβ1 = · · · = αn + iβn = 0 =⇒ α1 = β1 = · · · = αn = βn = 0 Algweb i aix´ı, el sistema de generadors plantejat ´es base de Cn . Com que cont´e 2n elements, dimR Cn = 2n Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/05 (nivell 3) Sigui (C,+,·) espai vectorial sobre R i els dos subconjunts A i B de C seg¨ uents: A = {k · (1 + i)/ k ∈ R} B = {λ · (1 + i)/ λ ∈ C} Comproveu si (A,+,·) i (B,+,·) s´ on subespais vectorials reals de (C,+,·). Si ho s´ on, doneu la seva dimensi´ o.
En primer lloc observem que aquests conjunts tamb´e es poden expressar com: Algweb A = {a | ∃k ∈ R, a = k · (1 + i)} B = {b | ∃λ ∈ C, b = λ · (1 + i)} Aplicant la definici´ o, (A,+,·) ´es subespai vectorial de l’espai vectorial real (C,+,·) si verifica: ∀a1 , ∀a2 , ∀γ, (a1 ∈ A) ∧ (a2 ∈ A) ∧ (γ ∈ R) =⇒ a1 + γa2 ∈ A Comprovem-ho, Si a1 , a2 ∈ A llavors ∃k1 , k2 ∈ R, tals que a1 = k1 · (1 + i), a2 = k2 · (1 + i): a1 + γa2 = (k1 + γk2 ) · (1 + i) = k · (1 + i) ∈ A, essent k = k1 + γk2 ∈ R Ho demostrarem de manera semblant per (B,+,·): ∀b1 , b2 ∈ B, ∀γ ∈ R, ∃λ1 , λ2 ∈ C, b1 + γb2 = λ1 · (1 + i) + γλ2 · (1 + i) = (λ1 + γλ2 ) · (1 + i) = λ · (1 + i) ∈ B, essent λ = λ1 + γλ2 ∈ C Ara busquem les dimensions.
∀a ∈ A, ∃k ∈ R, a = k · (1 + i), per tant {1 + i} ´es sistema de generadors de l’espai vectorial real A, i al ser un element no nul ´es base, llavors dimR A = 1.
∀b ∈ B, ∃λ ∈ C, b = λ · (1 + i).
Observem que ara no podem afirmar que {1 + i} ´es sistema de generadors de l’espai vectorial real B ja que λ ∈ C per`o no necessariament λ ∈ R. Expressant λ = α + iβ, amb α, β ∈ R: b = (α + iβ) · (1 + i) = α · (1 + i) + β · (−1 + i) D’aquesta manera {1 + i, −1 + i} ⊂ B ´es sistema de generadors de l’espai vectorial real B. Si demostrem que s´on linealment independents tindrem que dimR B = 2: ∀α1 , α2 ∈ R, tals que α1 · (1 + i) + α2 · (−1 + i) = 0 α1 + α1 i + α2 i − α2 = 0 (α1 − α2 ) + i(α1 + α2 ) = 0 Anul·lant les parts real i imagin` aria: (α1 − α2 ) = 0, (α1 + α2 ) = 0 Resolent el sistema anterior obtenim α1 = α2 = 0 i per tant {1 + i, −1 + i} ´es base de l’espai vectorial real B.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/06 (nivell 3) a) En R3 comproveu que {e1 = (3, 0, −3), e2 = (−1, 1, 2), e3 = (4, 2, −2), e4 = (2, 1, 1)} ´ es un sistema de vectors linealment dependents.
b) Sigui K un cos commutatiu. En Kn ∀n ∈ N∗ demostreu que C = {ei = (0, 0, ..., 1(i) , ..., 0), i = 1, ..., n} Algweb ´ es base de Kn (C s’anomena base can` onica).
3 c) En R comproveu que el sistema de vectors {u1 = (1, 0, −1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (0, −3, 2)} ´ es base. Expresseu cadascun dels vectors de la base can` onica com a combinaci´ o lineal de la base {u1 , u2 , u3 }.
d) En R4 , s´ on els vectors {u1 = (1, 1, 2, 4), u2 = (2, −1, −5, 2), u3 = (1, −1, −4, 0), u4 = (2, 1, 1, 6)} linealment independents ? a) Considerem una combinaci´o lineal qualsevol igualada a zero: α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 + α4 e4 = 0 =⇒ α1 (3, 0, −3) + α2 (−1, 1, 2) + α3 (4, 2, −2) + α4 (2, 1, 1) = (0, 0, 0) =⇒ (3α1 − α2 + 4α3 + 2α4 , α2 + 2α3 + α4 , −3α1 + 2α2 − 2α3 + α4 ) = (0, 0, 0) =⇒ Ens queden tres equacions: 3α1 − α2 + 4α3 + 2α4 = 0 α2 + 2α3 + α4 = 0 −3α1 + 2α2 − 2α3 + α4 = 0 Si ara resolem aquest sistema tenim que α1 = α2 = −2α3 ∀α3 ∈ R i α4 = 0 Per tant, no tots els escalars han de ser necess` ariament nuls. Aix´ı, els quatre vectors s´on linealment dependents (cosa que ja podr´ıem haver vist, sabent que ten´ıem m´es vectors que la dimensi´o de l’espai vectorial al que pertanyen).
b) Per veure que ´es base, veurem que ´es un sistema de generadors linealment independents.
Fixem-nos que ∀x ∈ Kn x = (x1 , x2 , ..., xn ) = x1 (1, 0, ..., 0) + x2 (0, 1, 0, ..., 0) + · · · + xn (0, ..., 0, 1) n =⇒ x = i=1 xi ei =⇒ {e1 , ..., en } s´ on sistema de generadors de Kn .
Veiem ara que s´ on linealment independents. Suposem una combinaci´ o lineal igualada a zero: β1 e1 + β2 e2 + · · · + βn en = 0 =⇒ (β1 , β2 , ..., βn ) = (0, 0, ..., 0) =⇒ β1 = β2 = · · · = βn = 0 =⇒ {e1 , ..., en } s´ on linealment independents.
=⇒ {e1 , ..., en } s´ on base de Kn , ent`es com a K espai vectorial. D’aquesta manera podem concloure que dimK Kn = n c) Algweb Sabem que dimR R3 = 3. Aix´ı, per veure que s´on base nom´es caldr`a comprovar que s´ on linealment independents. Suposem una combinaci´o lineal igualada a zero: α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 = (0, 0, 0) =⇒ α1 (1, 0, −1) + α2 (1, 2, 1) + α3 (0, −3, 2) = (0, 0, 0) =⇒ (α1 + α2 , 2α2 − 3α3 , −α1 + α2 + 2α3 ) = (0, 0, 0) =⇒ Ens queden tres equacions: α1 + α2 = 0 2α2 − 3α3 = 0 −α1 + α2 + 2α3 = 0 Si ara resolem aquest sistema tenim que α1 = α2 = α3 = 0 =⇒ {u1 , u2 , u3 } s´ on linealment independents =⇒ N = {u1 , u2 , u3 } ´es base de R 3 Si ens demanen expressar els vectors de la base can`onica de R3 (que ´es {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}) com a combinaci´ o dels anteriors, ens estan demanant els escalars α1 , α2 , α3 , β1 , β2 , β3 , γ1 , γ2 i γ3 ∈ R que verifiquen les seg¨ uents igualtats: (1, 0, 0) = α1 (1, 0, −1) + α2 (1, 2, 1) + α3 (0, −3, 2) (0, 1, 0) = β1 (1, 0, −1) + β2 (1, 2, 1) + β3 (0, −3, 2) (0, 0, 1) = γ1 (1, 0, −1) + γ2 (1, 2, 1) + γ3 (0, −3, 2) ´es a dir, [e1 ]N = (α1 , α2 , α3 ) [e2 ]N = (β1 , β2 , β3 ) [e3 ]N = (γ1 , γ2 , γ3 ) Veure quins s´ on aquests escalars equival a trobar les solucions dels tres sistemes seg¨ uents: 1= α1 + α2 0= 2α2 − 3α3 0 = −α1 + α2 + 2α3 0= β1 + β2 1= 2β2 − 3β3 0 = −β1 + β2 + 2β3 0= γ1 + γ2 0= 2γ2 − 3γ3 1 = −γ1 + γ2 + 2γ3 Les solucions s´ on les seg¨ uents: 7 α2 = α1 = 10 −2 β1 = 10 β2 = γ1 = −3 γ2 = 10 3 10 2 10 3 10 2 α3 = 10 β3 = −2 10 2 γ3 = 10 d) Considerem una combinaci´o lineal qualsevol igualada a zero: Algweb α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 + α4 u4 = 0 =⇒ α1 (1, 1, 2, 4) + α2 (2, −1, −5, 2) + α3 (1, −1, −4, 0) + α4 (2, 1, 1, 6) = (0, 0, 0, 0) =⇒ (α1 + 2α2 + α3 + 2α4 , α1 − α2 − α3 + α4 , 2α1 − 5α2 − 4α3 + α4 , 4α1 + 2α2 + 6α4 ) = (0, 0, 0, 0) =⇒ Ens queden quatre equacions: α1 + 2α2 + α3 + 2α4 α1 − α2 − α3 + α4 2α1 − 5α2 − 4α3 + α4 4α1 + 2α2 + 6α4 Si ara resolem aquest sistema tenim que α1 = 4α2 + 3α3 i α4 = −3α2 − 2α3 ∀α2 , α3 ∈ R Per tant, no s´ on linealment independents.
=0 =0 =0 =0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/07 (nivell 3) Sigui E un espai vectorial real, siguin {e1 , e2 , e3 } ⊂ E sistema de vectors linealment independents. Comproveu que {u1 = e1 + e2 − 5e3 , u2 = 3e1 − e3 , u3 = e1 − e2 + e3 } tamb´ e´ es sistema de vectors linealment independents.
Segons la definici´ o {u1 , u2 , u3 } ´es un sistema de vectors linealment independents ⇐⇒ ∀α, β, γ ∈ R αu1 + βu2 + γu3 = 0 =⇒ α=β=γ=0 Considerem la combinaci´ o lineal: 0 = αu1 + βu2 + γu3 = α(e1 + e2 − 5e3 ) + β(3e1 − e3 ) + γ(e1 − e2 + e3 ) Algweb Reordenant: (α + 3β + γ)e1 + (α − γ)e2 + (−5α − β + γ)e3 = 0 Ja que per hip` otesi {e1 , e2 , e3 } ´es sistema lliure  α + 3β + γ = 0   α − γ = 0 =⇒ α = β = γ = 0   −5α − β + γ = 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/08 (nivell 3) Sigui E un espai vectorial real, siguin {e1 , e2 , . . . , en } ⊂ E sistema de vectors linealment independents. Demostreu que tamb´ e s´ on linealment independents els vectors {w1 , w2 , . . . , wn }, definits com: i wi = ej ∀i = 1, . . . , n j=1 Segons la definici´ o sabem que {w1 , w2 , . . . , wn } ´es un sistema lliure ⇐⇒ n ∀i = 1 ÷ n ∀αi ∈ R αi wi = 0 =⇒ ∀i = 1 ÷ n αi = 0 Algweb i=1 Considerem la combinaci´ o lineal: n 0= αi wi = α1 e1 + α2 (e1 + e2 ) + α3 (e1 + e2 + e3 ) + . . . + αn (e1 + e2 + . . . + en ) i=1 Reordenant: (α1 + α2 + . . . + αn )e1 + (α2 + . . . + αn )e2 + . . . + αn en = 0 Al ser {e1 , e2 , . . . , en } linealment independents s’haur`a de verificar el sistema:  αn = 0     αn−1 + αn = 0    αn−2 + αn−1 + αn = 0 =⇒ αn = αn−1 = . . . = α1 = 0   ......      α1 + α2 + . . . + αn−1 + αn = 0 i per tant {w1 , w2 , . . . , wn } ´es un sistema lliure.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/09 (nivell 3) En R4 trobeu m i n per a qu` e {v1 = (2, 1, 3, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (3, m, 0, n)} sigui un sistema de vectors linealment independents. Feu el mateix per tal que siguin linealment dependents.
El sistema {v1 , v2 } ´es lliure, per tant {v1 , v2 , v3 } ser`a un sistema lligat si i nom´es si el tercer vector ´es combinaci´o lineal dels dos primers, ´es a dir: {v1 , v2 , v3 } linealment dependents ⇐⇒ ∃α, β ∈ R, v3 = αv1 + βv2 (3, m, 0, n) = α(2, 1, 3, 1) + β(1, 0, 1, 0) Algweb Per components:   3 = 2α + β       m = n = −3 m=α =⇒ α = −3  0 = 3α + β     β=9  n=α Llavors: {v1 = (2, 1, 3, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (3, m, 0, n)} ´es un sistema lligat ⇐⇒ (m = n = −3) Esquematitzant el resultat anterior com (p ⇐⇒ q) podrem afirmar que tamb´e es verifica ((¬p) ⇐⇒ (¬q)): {v1 = (2, 1, 3, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (3, m, 0, n)} ´es un sistema lliure ⇐⇒ (m = −3) ∨ (n = −3) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/10 (nivell 3) Sigui K un cos commutatiu, i siguin s vectors de Kn , s ≤ n, n ∈ N∗ que verifiquen: v1 = (α11 , α12 , ..., α1n ) v2 = (α21 , α22 , ..., α2n ) ..
.
vs = (αs1 , αs2 , ..., αsn ) s amb |αjj | > |αij | ∀j = 1, ..., s i=1 i=j Algweb Demostreu que llavors, {v1 , v2 , ..., vs } ´ es un sistema de vectors linealment independents.
Ho demostrarem per reducci´ o a l’absurd. Suposem que s´on linealment dependents i per tant que existeixen λ1 , λ2 , . . . , λs ∈ K tals que: s |λk | λi vi = 0, Not m`axim {|λi |, i = 1, . . . , s} > 0 = i=1 Considerem la component k: s λi αik = 0 i=1 que podem escriure com: s λk αkk = − λi αik i=1 i=k Si ara prenem valor absolut: s |λk | · |αkk | ≤ |λi | · |αik | i=1 i=k En ser |λk | > 0 podem dividir per ell els termes de la desigualtat i aquesta es mant´e: s |αkk | ≤ i=1 i=k |λi | · |αik | |λk | Tamb´e sabem que ´es el m´es gran dels valors absoluts: per tant: ∀i = 1, . . . s |λi | ≤ |λk | =⇒ |λi | ≤1 |λk | s |αkk | ≤ |αik | i=1 i=k Algweb que est`a en contradicci´ o amb la hip` otesi per j = k: s |αkk | > |αik | i=1 i=k Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/11 (nivell 3) Considerem l’espai vectorial R3 .
a) Essent E =< (0, 1, 1), (4, 1, −1), (2, 1, 0) >R , busqueu una base d’E.
b) Quan un vector (x, y, z) de R3 pertanyer` a a E ? Busqueu la condici´ o per a qu` e tal cosa succeeixi.
c) Sigui F el subespai donat per: F = {(a + 3b − c, b − c, a + 2b), ∀a, b, c ∈ R} Algweb Busqueu una base de F .
d) Busqueu una base del subespai G = E ∩ F e) Busqueu una base del subespai H = E + F a) Considerem la seg¨ uent combinaci´ o lineal igualada a 0 amb α, β, γ ∈R: α(0, 1, 1) + β(4, 1, −1) + γ(2, 1, 0) = (0, 0, 0)    4β + 2γ = 0 α+β+γ =0 =⇒   α−β =0 Resolent les equacions, prenent α = β = − γ2 es verifiquen ∀γ ∈R, de manera que els tres vectors s´ on linealment dependents. En aquest cas, treient un qualsevol del sistema, els dos que queden ja s´ on linealment independents. Suposem que treiem el (4, 1, −1), de manera que {(0, 1, 1), (2, 1, 0)} forma una base per a E amb dimR (E) = 2.
b) A partir de la base trobada, ∀x ∈R3 , x = (x, y, z), x ∈ E ⇐⇒ ∃α, β ∈R tals que (x, y, z) = α(0, 1, 1) + β(2, 1, 0) o el que ´es el mateix,    x = 2β y =α+β   z=α Multiplicant la segona i tercera equacions per 2, i restant la segona de la primera i sumant la tercera a la primera, obtenim la relaci´ o x − 2y + 2z = 0 que ´es la condici´o que han de verificar les components d’un vector qualsevol de R3 per pert`anyer a E.
c) Fixem-nos que, a partir de la definici´o, podem reescriure F de la seg¨ uent forma: F = {(x, y, z) ∈ R3 / ∃a, b, c ∈ R (x, y, z) = a(1, 0, 1) + b(3, 1, 2) + c(−1, −1, 0)} cosa que implica directament que {(1, 0, 1), (3, 1, 2), (−1, −1, 0)} ´es sistema de generadors de F . Comprovem si s´ on linealment independents a partir de la seg¨ uent combinaci´o lineal igualada a 0 amb α, β, γ ∈R: Algweb α(1, 0, 1) + β(3, 1, 2) + γ(−1, −1, 0) = (0, 0, 0)    α + 3β − γ = 0 =⇒ β−γ =0   α + 2β = 0 Resolent les equacions, prenent β = −γ = − α2 es verifiquen ∀γ ∈R, de manera que els tres vectors s´on linealment dependents. En aquest cas, treient un qualsevol del sistema, els dos que queden ja s´ on linealment independents. Suposem que treiem el (3, 1, 2), de manera que {(1, 0, 1), (−1, −1, 0)} forma una base per a F amb dimR (F ) = 2.
d) Per calcular una intersecci´ o ens ser` a m´es c`omode treballar amb equacions impl´ıcites. A l’apartat b) ja hem calculat les d’E: E = {(x, y, z) ∈ R3 / x − 2y + 2z = 0} Trobem ara la de F amb un procediment an`aleg: a partir de la base trobada.
∀x ∈R3 , x = (x, y, z), x ∈ F ⇐⇒ ∃α, β ∈R tals que (x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(−1, −1, 0) o el que ´es el mateix,   x = α − β y = −β   z=α Restant la segona i la tercera equacions de la primera obtenim la relaci´ o x−y−z =0 de manera que podem reescriure F = {(x, y, z) ∈ R3 / x − y − z = 0} i la intersecci´ o G = E ∩ F = {(x, y, z) ∈ R3 / x − y − z = 0 , x − 2y + 2z = 0} Treballant i resolent les dues equacions, podem reescriure G = {(x, y, z) ∈ R3 / x = 4z , y = 3z ∀z ∈ R} i passant-ho a sistema de generadors, directament, G =< (4, 3, 1) >R e) Per teoria tenim directament el seg¨ uent sistema de generadors, a partir de les bases d’E i de F trobades abans: H =< (0, 1, 1), (2, 1, 0), (1, 0, 1), (−1, −1, 0) >R Algweb Com que en tenim m´es que la dimensi´ o de l’espai vectorial, sabem que s´ on linealment dependents.
Podem comprovar que, de manera que H =R3 .
dimR H = dimR E + dimR F − dimR G = 2 + 2 − 1 = 3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/12 (nivell 3) Siguin E1 i E2 espais vectorials de dimensi´ o finita sobre un mateix cos K. Doteu E1 × E2 d’estructura d’espai vectorial en K, i trobeu la seva dimensi´ o.
E1 × E2 = def {x | ∃x1 ∈ E1 , ∃x2 ∈ E2 , x = (x1 , x2 )} Considerarem que (E1 , 1 , ♦1 ) i (E2 , 2 , ♦2 ) tenen estructura de K-espai vectorial.
Ens plantegem veure que llavors (E1 × E2 , , ♦) tamb´e t´e estructura de K-espai vectorial.
Algweb Presentem primer les operacions interna ( ) i externa (♦), que determinarem a partir de les respectives d’E1 i E2 : : (E1 × E2 ) × (E1 × E2 ) −→ E1 × E2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) −→ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = N ot (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) = def (x1 1 y1 , x2 ♦ : K × (E1 × E2 ) −→ E1 × E2 (λ, (x1 , x2 )) −→ ♦(λ, (x1 , x2 )) = N ot λ♦(x1 , x2 ) (λ♦1 x1 , λ♦2 x2 ) = def Verifiquem ara totes les propietats: 1) (E1 × E2 , )´ es grup commutatiu: 1.1) ∀x, y, z ∈ E1 × E2 (x = ((x1 y) 1 z = ((x1 , x2 ) y1 ) 1 z1 ), ((x2 = (x1 , x2 ) (x y) (y1 , y2 )) z=x z): (z1 , z2 ) = (x1 y2 ) 2 z2 ) = (x1 ((y1 1 z1 ), (y2 2 (y 1 2 1 (y1 y1 , x2 1 2 y2 ) z1 )), (x2 2 z2 )) = x 1.2) ∃0 ∈ E1 × E2 tal que ∀x ∈ E1 × E2 , x (y 0=0 (z1 , z2 ) = (y2 2 z2 )) = z) x = x: Proposant com a candidat 0 = (01 , 02 ), x 0 = (x1 , x2 ) (01 , 02 ) = (x1 01 , x2 2 02 ) = (x1 , x2 ) = x 0 x = (01 , 02 ) (x1 , x2 ) = (01 x1 , 02 2 x2 ) = (x1 , x2 ) = x 1.3) ∀x ∈ E1 × E2 ∃x ∈ E1 × E2 tal que x x =x x = 0: Proposant com a candidat x = −(x1 , x2 ) = (−x1 , −x2 ), x x = (x1 , x2 ) (−x1 , −x2 ) = (x1 1 (−x1 ), x2 2 (−x2 )) = (01 , 02 ) = 0 2 y2 ) x = (−x1 , −x2 ) x (x1 , x2 ) = (−x1 1.4) ∀x, y ∈ E1 × E2 , x x y = (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) = (x1 y=y 1 λ♦(x = ((λ♦1 x1 ) y) = λ♦(x1 1 1 2 = (λ♦(x1 , x2 )) 2 x2 ) = (01 , 02 ) = 0 x1 , y2 2 x2 ) = (y1 , y2 ) y2 ) = (y1 1 y) = (λ♦x) y1 , x2 (λ♦1 y1 ), (λ♦2 x2 ) x1 , −x2 x: y1 , x2 2) ∀λ ∈K, ∀x, y ∈ E1 × E2 , λ♦(x 1 2 2 Algweb 1 y1 ), λ♦2 (x2 (λ♦2 y2 )) = (λ♦1 x1 , λ♦2 x2 ) (λ♦(y1 , y2 )) = (λ♦x) 2 y2 )) = (λ♦1 y1 , λ♦2 y2 ) = (λ♦y) (µ♦x): (λ + µ)♦x = (λ + µ)♦(x1 , x2 ) = ((λ + µ)♦1 x1 , (λ + µ)♦2 x2 ) = ((λ♦1 x1 ) = (λ♦1 x1 , λ♦2 x2 ) (µ♦1 x1 , µ♦2 x2 ) = (λ♦(x1 , x2 )) 1 (µ♦1 x1 ), (λ♦2 x2 ) (µ♦(x1 , x2 )) = (λ♦x) 2 (µ♦2 x2 )) (µ♦x) 4) ∀λ, µ ∈K, ∀x ∈ E1 × E2 , (λ · µ)♦x = λ♦(µ♦x): (λ · µ)♦x = (λ · µ)♦(x1 , x2 ) = ((λ · µ)♦1 x1 , (λ · µ)♦2 x2 ) = (λ♦1 (µ♦1 x1 ), λ♦2 (µ♦2 x2 )) = = λ♦(µ♦1 x1 , µ♦2 x2 ) = λ♦(µ♦(x1 , x2 )) = λ♦(µ♦x) 5) ∀x ∈ E1 × E2 , 1♦x = x: 1♦x = 1♦(x1 , x2 ) = (1♦1 x1 , 1♦2 x2 ) = (x1 , x2 ) = x Per determinar la dimensi´o d’E1 × E2 considerarem les seg¨ uents dimensions i bases d’E1 i E2 : dimK (E1 ) = n1 {e1 , ..., en1 } base d’E1 dimK (E2 ) = n2 {u1 , ..., un2 } base d’E2 x (λ♦y): y2 ) = (λ♦1 (x1 3) ∀λ, µ ∈K, ∀x ∈ E1 × E2 , (λ + µ)♦x = (λ♦x) (x1 , x2 ) = y ∀x ∈ E1 × E2 , x = (x1 , x2 ) on x1 ∈ E1 i x2 ∈ E2 . Llavors, n1 x1 ∈ E1 =⇒ ∃λ1 , ..., λn1 ∈ K / x1 = λi ei i=1 = n2 x2 ∈ E2 =⇒ ∃µ1 , ..., µn2 ∈ K / x2 = µj ej j=1 n1 =⇒ x = (x1 , x2 ) = ( n2 n1 λi ei , i=1 n2 µj uj ) = ( j=1 n1 λi ei , 02 ) + (01 , i=1 µj uj ) = j=1 n2 λi (ei , 02 ) + i=1 =⇒ ∃λ1 , ..., λn1 , µ1 , ..., µn2 ∈K tals que ∀x ∈ (E1 × E2 ), x = n1 i=1 λi (ei , 02 ) + µj (01 , uj ) j=1 n2 j=1 µj (01 , uj ) =⇒ {(e1 , 02 ), ..., (en1 , 02 ), (01 , u1 ), ..., (01 , un2 )} ´es sistema de generadors de (E1 × E2 ).
Veiem ara que s´ on linealment independents. Considerem una certa combinaci´ o lineal igualada a 0: n1 n2 αi (ei , 02 ) + i=1  =⇒ βj (01 , uj ) = 0 = (01 , 02 ) j=1 n1  n2 αi ei ,  i=1 βj uj  = (01 , 02 ) j=1 n1 Algweb =⇒ n2 αi ei = 01 i=1 =⇒ i βj uj = 02 j=1 α1 = · · · = αn1 = β1 = · · · = βn2 = 0 Per tant s´ on linealment independents, formant aix´ı una base de (E1 × E2 ), cosa que ens indica que dimK (E1 × E2 ) = n1 + n2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/13 (nivell 3) Considerem dos subespais de R4 : F1 =< u1 = (1, 3, −2, 4), u2 = (2, 5, −3, 6) >R F2 = {(x, y, z, t) ∈R4 / 2x − y + 4z + 2t = 0, 3x + y + 5z = 0} Obtingueu una base de F1 ∩ F2 i de F1 + F2 .
Per trobar la intersecci´ o ens ser` a m´es c` omode treballar amb equacions impl´ıcites. Com que F2 ja el tenim aix´ı, nom´es ens cal trobar F1 en equacions impl´ıcites: ∀x ∈ F1 , ∃α, β ∈ R / x = (x, y, z, t) = α(1, 3, −2, 4) + β(2, 5, −3, 6) Algweb Llavors es verificar` a el seg¨ uent conjunt d’equacions:  x = α + 2β     y = 3α + 5β  z = −2α − 3β    t = 4α + 6β Com que els dos vectors donats s´ on linealment independents sabem que dimR (F1 ) = 2, de manera que hem d’obtenir dimR (R4 − 2 = 4 − 2 = 2 equacions impl´ıcites. Si a la segona equaci´o li sumem la tercera i li restem la primera obtenim y + z − x = 0. Si a la tercera equaci´o li sumem dues vegades la segona obtenim t + 2z = 0. I aquestes s´ on les dues equacions que busc` avem, de manera que podem reescriure F1 = {(x, y, z, t) ∈ R2 / x − y − z = 0 , t + 2z = 0} I la intersecci´o la podem expressar com F1 ∩ F2 = {(x, y, z, t) ∈ R2 / 2x − y + 4z + 2t = 0 , 3x + y + 5z = 0 , x − y − z = 0 , t + 2z = 0} Per calcular-la doncs, nom´es caldr` a plantejar el seg¨ uent conjunt d’equacions: que si resolem obtenim que x =  2x − y + 4z + 2t = 0     3x + y + 5z = 0  x−y−z =0    t + 2z = 0 y 2 ∀y ∈R, de manera que F1 ∩ F2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x = y/2, z = −y/2, t = y ∀y ∈ R} o en sistema de generadors, F1 ∩ F2 =< (1, 2, −1, 2) >R Per trobar la suma ens ser` a m´es c` omode treballar amb sistemes de generadors. Com que F1 ja el tenim aix´ı, nom´es ens cal trobar F1 en forma de sistema de generadors: ∀(x, y, z, t) ∈ F2 , (x, y, z, t) = (x, −3x − 5z, z, − 5x 9z 5 9 − ) = x(1, −3, 0, − ) + z(0, −5, 1, − ) 2 2 2 2 de manera que un sistema de generadors pot ser {(2, −6, 0, −5), (0, −10, 2, −9)}, vectors que s´ on linealment independents, formant aix´ı una base de F2 F2 =< (2, −6, 0, −5), (0, −10, 2, −9) >R I ara, directament per teoria tenim un sistema de generadors de F1 + F2 : F1 + F2 =< (1, 3, −2, 4), (2, 5, −3, 6), (2, −6, 0, −5), (0, −10, 2, −9) >R Comprovem si s´ on linealment independents o no. Considerem la seg¨ uent combinaci´ o lineal igualada a 0 amb α, β, γ, δ ∈R: α(1, 3, −2, 4) + β(2, 5, −3, 6) + γ(2, −6, 0, −5) + δ(0, −10, 2, −9) = (0, 0, 0, 0) Algweb expressi´o que podem reescriure aix´ı:      α + 2β + 2γ 3α + 5β − 6γ − 10δ  −2α − 3β + 2δ    4α + 6β − 5γ − 9δ =0 =0 =0 =0 Resolent aquestes equacions obtenim que α = −β = − γ2 = δ ∀δ ∈R concloent que els 4 vectors s´on linealment dependents. Podem comprovar que treient-ne un qualsevol obtenim un sistema de 3 vectors linealment independents, formant base de F1 + F2 . Per exemple, F1 + F2 =< (1, 3, −2, 4), (2, 5, −3, 6), (2, −6, 0, −5) >R Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/14 (nivell 3) Sigui D = {p(x) ∈R[x]/ grau (p(x)) ≤ 2}.
a) Comproveu que D ´ es subespai vectorial de R[x].
b) Trobeu dimR (D).
2 d p(x) c) Sigui p(x) = 3x2 + x − 1. Comproveu que {p(x), dp(x) es base de D.
dx , dx } ´ d) Generalitzeu l’anterior per a qualsevol p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 tal que a2 = 0.
e) Per qu` e´ es necessari que a2 = 0 ? Podem reescriure D de la seg¨ uent manera: Algweb D = {p(x) ∈ R[x] / ∃a0 , a1 , a2 ∈ R, p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 } a) Veiem primer que el polinomi ˜ 0(x) ∈ D: Prenent a0 = a1 = a2 = 0 veiem que, efectivament, ˜0 ∈ D.
∀λ ∈R,∀p, q ∈ D, p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 , q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 considerem λp + q: (λp + q)(x) = (λp)(x) + q(x) = λ(p(x)) + q(x) = λ(a0 + a1 x + a2 x2 ) + b0 + b1 x + b2 x2 = = (λa0 + b0 ) + (λa1 + b1 )x + (λa2 + b2 )x2 = N ot c0 + c1 x + c2 x2 ∃c0 , c1 , c2 ∈ R / (λp + q)(x) = c0 + c1 x + c2 x2 =⇒ i per tant, λp + q ∈ D b) Per la definici´o que hem donat al principi, observem que {1, x, x2 } ´es sistema de generadors. Comprovem si s´on linealment independents o no a partir de la seg¨ uent combinaci´o igualada a ˜0: α · 1 + βx + γx2 = ˜0(x) = 0 ∀x ∈ R Com que l’expressi´o ha de ser certa ∀x ∈R en particular ser`a certa per als seg¨ uents casos: x = 0: llavors α = 0 x = 1: llavors β + γ = 0 x = −1: llavors β − γ = 0 i aix` o implica que α = β = γ = 0 de manera que {1, x, x2 } s´ on linealment independents, formant base de D (en direm la base trivial de D).
D’aquesta manera dimR (D) = 3.
c) Determinem primer les derivades: dp(x) = 6x + 1 dx d2 p(x) =6 dx = N ot = N ot q(x) r(x) per comprovar que el sistema de vectors {p, q, r} formen base de D, nom´es caldr`a veure que s´on linealment independents: αp(x) + βq(x) + γr(x) = ˜0(x) = 0 ∀x ∈ R reescrivint-ho, 3αx2 + (α + 6β)x + (−α + β + 6γ) = 0 Com que l’expressi´o ha de ser certa ∀x ∈R en particular ser`a certa per als seg¨ uents casos: x = 0: llavors −α + β + 6γ = 0 x = 1: llavors 3α + 6β = 0 Algweb x = −1: llavors 2α − 6β = 0 i aix`o implica que α = β = γ = 0 de manera que {p, q, r} s´ on linealment independents, formant tamb´e una base de D.
d) Determinem primer les derivades: dp(x) = 2a2 x + a1 dx d2 p(x) = 2a2 dx = N ot = N ot q(x) r(x) procedint igual que abans, αa2 x2 + (αa1 + 2βa2 )x + (αa0 + βa1 + 2γa2 ) = 0 Com que l’expressi´o ha de ser certa ∀x ∈R en particular ser`a certa per als seg¨ uents casos: x = 0: llavors αa0 + βa1 + 2γa2 = 0 x = 1: llavors αa2 + αa1 + 2βa2 = 0 x = −1: llavors αa2 − αa1 − 2βa2 = 0 Sumant la segona condici´ o i la tercera, αa2 = 0. Com que a2 = 0, tenim que α = 0. Aix` o fa que la segona condici´ o ens quedi 2βa2 = 0, i pel mateix motiu β = 0. I finalment, reprenent la primera condici´o, 2γa2 = 0, de manera que γ = 0. Amb tot aix`o arribem a que α = β = γ = 0 de manera que {p, q, r} s´ on linealment independents, formant una altra base de D.
e) Si consider´essim a2 = 0, llavors r(x) = 0 i el sistema seria segur linealment dependent.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/15 (nivell 3) Demostreu que: F = {p(x) ∈ D/ p(2) + p (1) + 2p (0) = 0} ´ es un subespai vectorial de D. Trobeu la seva dimensi´ o i una base.
(Amb la notaci´ o p (x) i p (x) es representa la primera i segona derivades respectivament del polinomi p(x)) Considerant D com el subespai vectorial definit a l’exercici anterior, Algweb D = {p(x) ∈ R[x] / ∃a0 , a1 , a2 ∈ R, p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 } reescrivim la condici´ o de pertinen¸ca a F : p(2) + p (1) + 2p (0) = a0 + 2a1 + 4a2 + a1 + 2a2 + 4a2 = a0 + 3a1 + 10a2 = 0 i per tant, F = {p(x) ∈ D/ a0 + 3a1 + 10a2 = 0} D’aquesta manera tenim el subespai F definit per equacions impl´ıcites, el que ens permet comprovar que dimR (F ) = dimR (D) − 1 = 3 − 1 = 2. Per trobar una base, considerem ∀p(x) ∈ F , p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 = −3a1 − 10a2 + a1 x + a2 x2 = a1 (x − 3) + a2 (x2 − 10) de manera que {x−3, x2 −10} ´es sistema de generadors de F . S´on linealment independents? Comprovem- ho: α(x − 3) + β(x2 − 10) = 0 ∀x ∈ R Com que l’expressi´ o ha de ser certa ∀x ∈R en particular ser`a certa per als seg¨ uents casos: x = 3: llavors −β = 0 √ √ x = 10: llavors ( 10 − 3)α = 0 i aix` o implica que α = β = 0 i per tant s´on linealment independents, formant base de F F =< x − 3, x2 − 10 >R Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/16 (nivell 3) Considerem l’espai vectorial real Dn = {p(x) ∈R[x]/ grau p(x) ≤ n}, n ∈ N∗ Definim L = {p(x) ∈ Dn / p (1) = dp(x) dx = 0} x=1 Demostreu que L ´ es subespai vectorial de Dn , i obtingueu una base de L i un subespai suplementari.
Algweb Demostrem que L ´es subespai vectorial real de Dn : 1) Considerem ˜ 0(x) ∈ Dn . Llavors, d˜0(x) ˜ 0 (1) = dx = ˜0(x) x=1 =⇒ = ˜0(1) = 0 x=1 ˜0(x) ∈ L 2) ∀λ ∈R, ∀p(x), q(x) ∈ L considerem el polinomi λp(x) + q(x). Llavors, (λp(x)+q(x)) (1) = d(λp(x) + q(x)) dx = x=1 λdp(x) dq(x) + dx dx =λ x=1 dp(x) dx + x=1 dq(x) dx = λ·0+0 = 0 x=1 λp(x) + q(x) ∈ L =⇒ amb la qual cosa acabem de justificar que L ´es subespai vectorial real de Dn .
= {1, x, x2 , ..., xn }, de manera que ∀p(x) ∈ D , ∃p , p , ..., p Considerem la base trivial de Dn , V def n 0 1 n ∈R / 2 n p(x) = p0 + p1 x + p2 x + · · · + pn x . Llavors, ∀p(x) ∈ L segons aquesta descomposici´ o queda p (1) = d(p0 + p1 x + p2 x2 + · · · + pn xn ) dx = p1 + 2p2 + 3p3 + · · · + npn = 0 =⇒ = p1 + 2p2 x + 3p3 x2 + · · · + npn xn−1 x=1 =⇒ = x=1 ∀p(x) ∈ L, p1 = −(2p2 + 3p3 + · · · + npn ) ∀p(x) ∈ L, p(x) = p0 − (2p2 + 3p3 + · · · + npn )x + p2 x2 + p3 x3 + · · · + pn xn = = p0 + p2 (−2x + x2 ) + p3 (−3x + x3 ) + · · · + pn (−nx + xn ) per tant, {1, x2 −2x, x3 −3x, ..., xn −nx} ´es un sistema de generadors de L. Considerem α1 , α2 , ..., αn ∈R i veiem si s´ on linealment independents o no: =⇒ α1 + α2 (x2 − 2x) + · · · + αn (xn − nx) = 0 α1 − (2α2 + 3α3 + · · · + nαn )x + α2 x2 + · · · + αn xn = 0 com que sabem que V ´es base, α1 = 2α2 + 3α3 + · · · + nαn = α2 = · · · = αn = 0 i, en conret, α1 = α2 = · · · = αn = 0, cosa que implica que {1, x2 − 2x, x3 − 3x, ..., xn − nx} ´es una base de L.
A m´es, acabem de veure que dimR (L) = n. Considerem un subespai vectorial H tal que L ⊕ H = Dn .
Com que dimR (H) = 1, nom´es caldr` a buscar un vector linealment independent amb {1, x2 − 2x, x3 − n 3x, ..., x − nx}. Un exemple podria ser H =< x >R . Verifiquem-ho veient que el sistema de vectors {1, x2 − 2x, x3 − 3x, ..., xn − nx, x} ´es linealment independent: Siguin α1 , α1 , ..., αn , α ∈R i considerem α1 + α2 (x2 − 2x) + · · · + αn (xn − nx) + αx = 0 =⇒ α1 − (2α2 + 3α3 + · · · + nαn − α)x + α2 x2 + · · · + αn xn = 0 Algweb com que sabem que V ´es base, α1 = 2α2 + 3α3 + · · · + nαn − α = α2 = · · · = αn = 0 i, per tant tamb´e α = 0. D’aquesta manera, el sistema de vectors plantejat ´es linealment independent i el subespai H definit ´es suplementari de L.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/17 (nivell 3) Considerem els seg¨ uents subespais vectorials de R3 : F1 = {(x, y, z) ∈R3 / z = 0} F2 = {(x, y, z) ∈R3 / x = y = 0} F3 = {(x, y, z) ∈R3 / x = 0, z = y} a) Proveu que R3 = F1 + F2 + F3 .
b) Proveu que F1 ∩ F2 ∩ F3 = {0}, i que tamb´ e F1 ∩ F2 = {0}, F1 ∩ F3 = {0} i F2 ∩ F3 = {0}.
Algweb c) Trobeu dues descomposicions diferents per a 0 de la forma 0 = v1 + v2 + v3 , amb v1 ∈ F1 , v2 ∈ F2 i v3 ∈ F3 (amb el que es demostrar` a que R3 = F1 ⊕ F2 ⊕ F3 ).
a) Si passem els tres subespais vectorials en forma de sistema de generadors, tenim F1 =< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >R F2 =< (0, 0, 1) >R F3 =< (0, 1, 1) >R de manera que, directament, F1 + F2 + F3 =< (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1) >R ⊂ R3 que tamb´e ´es un sistema de generadors de R3 . Si dos subespais tenen el mateix sistema de generadors, llavors s´ on iguals, amb la qual cosa queda comprovat l’apartat.
b) F1 ∩ F2 = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 0, x = y = 0} = {(0, 0, 0)} F1 ∩ F3 = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 0, x = 0, z = y} = {(0, 0, 0)} F2 ∩ F3 = {(x, y, z) ∈ R3 / x = y = 0, x = 0, z = y} = {(0, 0, 0)} F1 ∩ F2 ∩ F3 = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 0, x = y = 0, x = 0, z = y} = {(0, 0, 0)} c) Directament, 0 = (0, 0, 0) = (0, −1, 0) + (0, 0, −1) + (0, 1, 1) amb (0, −1, 0) ∈ F1 , (0, 0, −1) ∈ F2 , (0, 1, 1) ∈ F3 i tamb´e, 0 = (0, 0, 0) = (0, −2, 0) + (0, 0, −2) + (0, 2, 2) amb (0, −2, 0) ∈ F1 , (0, 0, −2) ∈ F2 , (0, 2, 2) ∈ F3 Reflexi´ o final: Acabem de veure als apartats a) i b) que R3 = F1 + F2 + F3 i totes les interseccions possibles entre F1 , F2 i F3 donen el vector 0. Per` o a l’apartat c) hem comprovat que aix` o no ´es suficient per garantir que R3 = F1 ⊕ F2 ⊕ F3 . Qu`e passa doncs? Quines s´ on les condicions suficients que s’han de donar per a qu`e tal cosa es verifiqui? Recordem la definici´ o F1 + (F2 + F3 ) =< F1 ∪ F2 ∪ F3 >K = (F1 + F2 ) + F3 = N ot F1 + F2 + F3 Llavors, F2 + F3 = F2 ⊕ F3 ⇐⇒ F2 ∩ F3 = {0} cosa que en aquest cas ´es certa. Per` o a m´es, F1 + (F2 ⊕ F3 ) = F1 ⊕ (F2 ⊕ F3 ) N=ot F1 ⊕ F2 ⊕ F3 ⇐⇒ F1 ∩ (F2 ⊕ F3 ) = {0} Algweb cosa que en aquest cas no ´es certa ja que F1 ∩ (F2 ⊕ F3 ) =< (0, 1, 0) >R .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/18 (nivell 3) Siguin els subespais vectorials de R3 : F =< (1, 0, −1), (1, 1, 0), (0, 1, 1) >R G =< (2, 1, −1), (1, 2, 1) >R Demostreu que F = G. Proveu que (1, −1, 0) no pertany a F . Verifiqueu que (4, 5, 1) ´ es un element de F i a partir d’ell completeu una base d’aquest subespai.
Per veure que F = G veurem una inclosi´o i la igualtat de dimensions.
Fixem-nos que (1, 0, −1) = (1, 1, 0) − (0, 1, 1), de manera que F =< (1, 1, 0), (0, 1, 1) >R i com que aquests vectors s´on linealment independents, igual que els dos que defineixen G, dimR (F ) = dimR (G) = 2.
Algweb Veiem que G ⊂ F . Per fer-ho, considerarem (∀x ∈ G =⇒ x ∈ F ) ⇐⇒ ((2, 1, −1) ∈ F ∧ (1, 2, 1) ∈ F ) Fixem-nos que (2, 1, −1) = 2(1, 1, 0) − (0, 1, 1) i (1, 2, 1) = (1, 1, 0) + (0, 1, 1) de manera que es verifica la inclosi´o, quedant demostrada aix´ı la igualtat.
Per tal que (−1, 1, 0) ∈ F cal que ∃α, β ∈R tals que (−1, 1, 0) = α(1, 1, 0) + β(0, 1, 1) o el que ´es el mateix,    −1 = α 1=α+β   0=β per`o no exiteixen reals α i β que verifiquin aquestes equacions, de manera que (−1, 1, 0) ∈ / F.
En canvi, si plantegem el mateix per`o per a (4, 5, 1),   4 = α 5=α+β   1=β resolent les equacions obtenim α = 4, β = 1, de manera que (4, 5, 1) ∈ F . Per tal de completar una base de F a partir d’aquest vector, ens caldr` a aconseguir un altre vector de F que sigui linealment independent amb aquest. Qualsevol dels dos amb els que hem treballat ens serveix. Per exemple, F =< (4, 5, 1), (0, 1, 1) >R Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/19 (nivell 3) Demostreu, utilitzant el principi d’inducci´ o, que si F1 , ..., Fn s´ on subespais d’un espai vectorial de dimensi´ o finita E, llavors, n n−1 dimK (F1 + F2 + · · · + Fn ) = dimK Fk − dimK ((F1 + F2 + · · · + Fk ) ∩ Fk+1 ) k=1 k=1 1) Veiem que ´es cert per a n = 2: 2 Algweb dimK (F1 + F2 ) = dimK (F1 ) + dim K (F2 ) − dimK (F1 ∩ F2 ) = 1 dimK (Fk ) − k=1 dimK (Fk ∩ Fk+1 ) k=1 2) Suposem-ho cert per a n: n n−1 dimK (F1 + F2 + · · · + Fn ) = dimK (Fk ) − k=1 dimK ((F1 + F2 + · · · + Fk ) ∩ Fk+1 ) k=1 3) Veiem que ´es cert per a n + 1: Seguirem les dues notacions seg¨ uents: n H N=ot Fj j=1 G N=ot Fn+1 Llavors, dimK (F1 + · · · + Fn + Fn+1 ) = dimK (H + G) = dimK (H) + dimK (G) − dimK (H ∩ G) = n n−1 dimK (Fk ) − = k=1 dimK ((F1 + F2 + · · · + Fk ) ∩ Fk+1 ) + dimK (G) − dimK (H ∩ G) = k=1 n n−1 dimK (Fk ) + dimK (Fn+1 ) − = k=1 n dimK ((F1 + F2 + · · · + Fk ) ∩ Fk+1 ) − dimK ( n+1 n dimK (Fk ) − = k=1 Fj ∩ Fn+1 ) = j=1 k=1 dimK ((F1 + F2 + · · · + Fk ) ∩ Fk+1 ) k=1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/20 (nivell 3) a) Demostreu que, si la suma de les dimensions de dos subespais vectorials d’un espai n-dimensional ´ es m´ es gran que n, llavors aquests subespais tenen un vector com´ u no nul.
b) Demostreu que, si la dimensi´ o de la suma de dos subespais vectorials ´ es una unitat m´ es gran que la dimensi´ o de la seva intersecci´ o, llavors la suma coincideix amb un d’aquests subespais i la intersecci´ o amb l’altre.
a) Suposem que G i F pertanyen a un K-espai vectorial que anomenarem En de dimensi´o n, de manera que dimK (G) + dimK (F ) > n.
Algweb Sabem que G + F ⊂ En =⇒ n ≥ dimK (F + G) = dimK (G) + dimK (F ) − dimK (F ∩ G) > n − dimK (F ∩ G) =⇒ n > n − dimK (F ∩ G) =⇒ dimK (F ∩ G) > 0 =⇒ F ∩ G = {0} =⇒ F ∩ G t´e algun vector no nul.
b) Suposem que dimK (F + G) = 1 + dimK (F ∩ G) i dimK (F ∩ G) N=ot r Fixant-nos en F (tamb´e ho podr´ıem fer amb G) sabem que F ∩ G ⊂ F ⊂ (F + G). Aleshores, r = dimK (F ∩ G) ≤ dimK (F ) ≤ dimK (F + G) = 1 + r D’aquesta manera nom´es hi ha dues possibilitats per a F , que s´on: 1) dimK (F ) = r 2) dimK (F ) = r + 1 Considerem la possibilitat 1). En aquest cas, dimK (F ) = dimK (F ∩G) i F ∩G ⊂ F , per tant, F = F ∩G.
Llavors, recordant la f´ormula de Grassman, dimK (G) = dimK (F + G) − dimK (F ) + dimK (F ∩ G) = dimK (F + G) − r + r = dimK (F + G). I com que G ⊂ (F + G), llavors G = F + G.
Considerem la possibilitat 2). En aquest cas, dimK (F ) = 1 + r = dimK (F + G) i F ⊂ (F + G), per tant, F = F + G.
Llavors, dimK (G) = r = dimK (F ∩ G). I com que F ∩ G ⊂ G, llavors G = F ∩ G.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/21 (nivell 3) Es considera el conjunt dels n´ umeros reals de la forma: A = {x ∈ R/ ∃a, b, c ∈ Q, x = a · 1 + b · √ 2+c· √ 3} Comproveu que les lleis de composici´ o sobre R fan que A sigui espai vectorial sobre Q i trobeu la seva dimensi´ o.
Per veure que t´e estructura d’espai vectorial racional, nom´es cal verificar que ´es subespai vectorial racional de R: Algweb 1) 0 ∈ A: Fixem-nos que si fem a = b = c = 0 ∈Q tenim que 0 ∈ A.
√ √ √ √ 2) ∀λ ∈Q, ∀x, y ∈ A, x = ax · 1 + bx · 2 + cx · 3, y = ay · 1 + by · 2 + cy · 3, llavors λx + y = λ(ax · 1 + bx · = (λax + ay ) · 1 + (λbx + by ) · √ √ 2 + cx · 2 + (λcx + xy ) · √ √ 3) + ay · 1 + by · 3=a ·1+b · √ √ 2 + cy · 2+c · √ √ 3 3= amb a , b , c ∈ Q de manera que λx + y ∈ A, amb la qual cosa queda justificat el que vol´ıem.
Veiem ara quina ´es la dimensi´o d’A sobre Q. Per fer-ho ens interessar`a obtenir una base d’A.
√ √ Fixem-nos que, per la pr` opia definici´ o, √ el sistema {1, 2, 3} ´es un sistema de generadors, ja que √ ∀x ∈ A ∃α, β, γ ∈ Q / x = α · 1 + β · 2 + γ · 3.
√ √ Veiem ara si {1, 2, 3} s´ on linealment independents o no. Siguin α, β, γ ∈Q, i suposem una combinaci´o lineal igualada a zero: α·1+β· √ 2+γ· √ 3=0 En aquest cas es poden presentar diverses situacions, que analitzarem una per una. Per`o abans demostrarem el seg¨ uent lema: ∀x ∈ Q, ∀y ∈ (R − Q) x · y ∈ Q =⇒ x = 0 =⇒) x · y ∈ Q =⇒ ∃ a ∈ Z i ∃ b ∈ Z∗ tals que x·y = a b Nom´es es poden donar dues situacions: 1) x = 0 2) x = 0 Suposem que es verifica 1) a =⇒ y = x·b ∈Q =⇒ y ∈ (R - Q) ∩ Q = ∅ I aix` o ´es una contradicci´ o =⇒ x = 0 Veiem ara les diferents situacions possibles, tot classificant-les segons els par`ametres α, β, γ siguin 0 o no: 1) α = 0 =⇒ β α √ 2+ γ α √ 3 = −1 1.1) β = 0 Algweb √ =⇒ αγ 3 ∈ Q =⇒ γ = 0 (en virtut del lema anterior) =⇒ 0 = −1 per tant, aquest cas no ´es possible 1.2) β = 0 √ =⇒ γ = −α 3 3 −β 2 3 ∈ (R - Q) =⇒ γ ∈ (R - Q) ∩ Q = ∅ I aix` o ´es una contradicci´ o. Per tant, aquest cas no ´es possible.
2) α = 0 2.1) β = 0 =⇒ − βγ = 2 3 ∈ (R - Q) =⇒ − βγ ∈ (R - Q) ∩ Q = ∅ I aix` o ´es una contradicci´ o. Per tant, aquest cas no ´es possible.
2.2) β = 0 √ =⇒ γ 3 = 0 =⇒ γ = 0 =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ α=β=γ=0 √ √ {1, 2, 3} s´ on linealment independents √ √ {1, 2, 3} formen base d’A dimQ A = 3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/22 (nivell 3) Sigui E un K-espai vectorial real, sigui {e1 , e2 , ..., en } ⊂ E un sistema de vectors de rang r.
a) Comproveu que el rang de {e1 + λei , e2 , ..., en } ´ es igual a r, ∀i = 2, ..., n, ∀λ ∈ K.
b) Comproveu que el rang de {λe1 , e2 , ..., en } ´ es igual a r, ∀λ ∈ K, λ = 0.
Definim = < e , ..., e , ..., e W def 1 i n >K W1 = def < u1 , ..., un >K si demostrem que W = W1 llavors dimK (W ) = dimK (W1 ) i rang({e1 , ..., en }) = rang({u1 , ..., un }) Algweb a) En aquest cas considerem W1 tal que u1 = e1 + λei uj = ej ∀j ∈ {2, ..., n} per construcci´o, W1 ⊂ W ja que tots els vectors de W1 s´ on combinaci´ o lineal dels de W . Per`o tamb´e passa al rev´es: ej = uj ∀j ∈ {2, ..., n} e1 = u1 − λei = u1 − λui de manera que W ⊂ W1 i, per tant, W = W1 .
b) En aquest cas considerem W1 tal que u1 = λe1 uj = ej ∀j ∈ {2, ..., n} igual que abans, per construcci´o tenim que W1 ⊂ W ja que tots els vectors de W1 s´ on combinaci´ o lineal dels de W . Per` o tamb´e passa al rev´es: ej = uj ∀j ∈ {2, ..., n} e1 = λ1 u1 de manera que W ⊂ W1 i, per tant, W = W1 .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/23 (nivell 3) Sigui V = {v1 , v2 , ..., vk }, base de Rk , k ≥ 1, on vi = (vi1 , vi2 , ..., vik ), i = 1, ..., k. Donat n > k, considerem k vectors arbitraris de Rn−k , ui = (uk+1 , uk+2 , ..., uni ), i = 1, ..., k. Definim ara k i i n vectors de R de la seg¨ uent manera: wi = (vi1 , vi2 , ..., vik , uk+1 , uk+2 , ..., uni ) i i i = 1, ..., k Obtingueu el rang de {w1 , w2 , ..., wk }.
Veiem primer un exemple introductori. Considerem el cas k = 3 i n = 5, amb V , la base can` onica de R3 i u1 = (1, 0), u2 = (2, 3), u3 = (8, −1) ∈R2 . D’aquesta manera, Algweb w1 = (1, 0, 0, 1, 0) w2 = (0, 1, 0, 2, 3) w3 = (0, 0, 1, 8, −1) i podem comprovar f`acilment que rang{w1 , w2 , w3 } = 3.
Siguin α1 , ..., αk ∈R i considerem la seg¨ uent combinaci´ o lineal igualada a 0: α1 w1 + · · · + αk wk = 0 Sabent que Rn =Rk ×Rn−k i amb la notaci´ o wi N=ot (vi , ui ) ∀i = 1, ..., k, podem reescriure l’expressi´o anterior com α1 (v1 , u1 ) + · · · + αk (vk , uk ) = (0k , 0n−k ) en particular, α1 v1 + · · · + αk vk = 0k =⇒ α1 = α2 = · · · = αk = 0 i per tant, {w1 , ..., wk } s´ on linealment independents, concloent que rang{w1 , ..., wk } = k.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/24 (nivell 3) Considerem l’espai vectorial FR definit en el problema 2/02. Determineu el rang dels seg¨ uents subconjunts de FR : a) {1, sin x, cos x} b) {1, x, x2 , x3 , ..., xn } c) {1, sin x, cos x, sin 2x} d) {ex , e−x , cosh x} e) {1, sinh x, (sinh x)2 , (cosh x)2 , cosh 2x} Algweb a) Considerem la seg¨ uent combinaci´ o lineal on α, β, γ ∈R: α · 1 + β sin x + γ cos x = 0 ∀x ∈ R Com que aquesta igualtat ha de ser certa per a qualsevol valor real, en concret, ho haur`a de ser per als seg¨ uents casos: x= π 2: llavors α + β = 0 x = 0: llavors α + γ = 0 x = π: llavors α − γ = 0 i d’aquesta manera α = β = γ = 0, els tres vectors s´on linealment independents i el rang ´es 3.
b) Considerem la seg¨ uent combinaci´ o lineal on α0 , ..., αn ∈R: α0 · 1 + α1 x + · · · + αn xn = 0 ∀x ∈ R Com que aquesta igualtat ha de ser certa per a qualsevol valor real, en concret, ho haur` a de ser per al cas x = 0. Llavors, α0 = 0 i l’expressi´ o queda α1 x + · · · + αn xn = x(α1 + · · · + αn xn−1 ) = 0 ∀x ∈ R com que aquesta igualtat ha de ser certa per a qualsevol valor real, α1 + · · · + αn xn−1 = 0 ∀x ∈ R de nou, pel mateix motiu haur` a de ser per al cas x = 0. Llavors, α1 = 0 i l’expressi´ o queda α2 x + · · · + αn xn−1 = x(α2 + · · · + αn xn−2 ) = 0 ∀x ∈ R i aix´ı, successivament, anem veient que α0 = α1 = α2 = · · · = αn = 0 amb el que podem concloure que els n + 1 vectors s´ on linealment independents i el rang ´es n + 1.
c) Considerem la seg¨ uent combinaci´ o lineal on α, β, γ, δ ∈R: α · 1 + β sin x + γ cos x + δ sin 2x = 0 ∀x ∈ R Com que aquesta igualtat ha de ser certa per a qualsevol valor real, en concret, ho haur`a de ser per als seg¨ uents casos: x= π 2: llavors α + β = 0 x = 0: llavors α + γ = 0 x = π: llavors α − γ = 0 x= π 4: √ llavors α + 2 2 β √ + 2 2 γ +δ =0 i d’aquesta manera α = β = γ = δ = 0, els quatre vectors s´on linealment independents i el rang ´es 4.
d) Recordem que cosh x = ex + e−x 2 sinh x = ex − e−x 2 i, directament, veiem que cosh x ´es linealment dependent amb els altres dos vectors. Ara nom´es cal veure si ex i e−x s´ on linealment independents o no. Considerem la seg¨ uent combinaci´o lineal on α, β ∈R: αex + βe−x = 0 ∀x ∈ R Com que aquesta igualtat ha de ser certa per a qualsevol valor real, en concret, ho haur`a de ser per als seg¨ uents casos: x = 0: llavors α + β = 0 x = 1: llavors αe + β e =0 i d’aquesta manera α = β = 0, els dos vectors s´on linealment independents i el rang ´es 2.
e) Recordem les propietats cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x 1 = cosh2 x − sinh2 x i, directament, veiem que cosh 2x i 1 s´ on linealment dependents dels altres tres vectors. Ara nom´es cal veure si sinh x,sinh2 x i cosh2 x s´ on linealment independents o no. Considerem la seg¨ uent combinaci´ o lineal on α, β, γ ∈R: α sinh x + β sinh2 x + γ cosh2 x = 0 ∀x ∈ R Com que aquesta igualtat ha de ser certa per a qualsevol valor real, en concret, ho haur` a de ser per al cas x = 0. Llavors γ = 0 i ens queda l’expressi´o α sinh x + β sinh2 x = sinh x(α + β sinh x) = 0 ∀x ∈ R Com que aquesta igualtat ha de ser certa per a qualsevol valor real, α + β sinh x = 0 ∀x ∈ R I ara, de nou, aquesta igualtat ha de ser certa per a qualsevol valor real, de manera que ho haur`a de ser per al cas x = 0. Llavors α = 0 i finalment, β = 0 per la mateixa ra´o.
I aix´ı veiem que {sinh x, sinh2 x, cosh2 x} ´es un sistema lliure, i el rang demanat ´es 3.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/25 (nivell 3) Considerem el subespai F =< x1 , x2 , x3 , x4 >R de R3 , on: x1 = (1, 1, −1), x2 = (3, 8, 2), x3 = (4, 9, 1), x4 = (−2, −2, 2).
a) Calculeu el rang de {x1 , x2 , x3 , x4 } i busqueu una base de F .
b) Demostreu que (3, −17, −23) ∈ F i busqueu les coordenades d’aquest vector en la base de F obtinguda en a).
c) Busqueu un subespai suplementari G de F .
d) Per al vector x = (2, 17, 12), calculeu la seva descomposici´ o u ´ nica en x = y + z amb y ∈ F i z ∈ G.
a) Fixem-nos que, directament, x3 = x1 + x2 i x4 = −2x1 , de manera que podem reescriure F =< (1, 1, −1), (3, 8, 2) >R Algweb i podem comprovar que aquests dos vectors s´on linealment independents, veient aix´ı que el seu rang ´es 2 i formen base de F , que denotarem per B.
b) Per veure que (3, −17 − 23) ∈ F cal verificar que ´es combinaci´o lineal d’una base de F (per exemple, ´ a dir, que ∃α, β ∈R tals que de B). Es (3, −17, −23) = α(1, 1, −1) + β(3, 8, 2) o el que ´es el mateix    3 = α + 3β −17 = α + 8β   −23 = −α + 2β Resolent aquestes equacions obtenim que α = 15 i β = −4, de manera que (3, −17, −23) ∈ F i les seves coordenades en la base B s´ on (15, −4).
c) Volem un subespai vectorial G tal que R3 = F ⊕G, de manera que haur`a de tenir dimR (G) = 3−2 = 1.
Aix´ı, l’´ unic que ens cal ´es trobar un vector de R3 linealment independent amb x1 i x2 .
= (1, 0, 0) i sigui G =< (1, 0, 0) > . En aquest cas podem comprovar que u ´ Definim u def es linealment R independent amb x1 i x2 i que G ´es un subespai suplementari de F .
d) Volem trobar els tres escalars α, β, γ ∈R tals que es verifiqui (2, 17, 12) = α(1, 1, −1) + β(3, 8, 2) + γ(1, 0, 0) = y + z on y = α(1, 1, −1) + β(3, 8, 2) i z = γ(1, 0, 0).
reescrivint les equacions,    2 = α + 3β + γ 17 = α + 8β   12 = −α + 2β 62 Resolent aquestes equacions obtenim α = − 10 , β= 29 10 5 i γ = − 10 tals que y = α(1, 1, −1) + β(3, 8, 2) = (5/2, 17, 12) z = γ(1, 0, 0) = (−1/2, 0, 0) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/26 (nivell 3) Siguin F, G, H subespais d’un espai vectorial E. Demostreu o doneu un contraexemple de l’afirmaci´ o seg¨ uent: dimK (F ∩ (G + H)) = dimK (F ∩ G) + dimK (F ∩ H) + dimK (F ∩ G ∩ H) Aquesta afirmaci´ o ´es falsa i queda demostrat, per exemple, amb el seg¨ uent contraexemple: F = G = H = {0} Algweb Aix`o ´es aix´ı ja que en aquest cas tindrem dimK (F ) = dimK (F ) + dimK (F ) + dimK (F ) = 3dimK (F ) cosa que implica que dimK (F ) = 0, i per tant, que F = {0}.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 2/27 (nivell 3) Sigui En un K-espai vectorial, dimK En = n < +∞.
a) Demostreu que si {e, u, v} ⊂ En ´ es un sistema lliure, llavors {e, u, u + v} tamb´ e ho ´ es i genera el mateix subespai.
b) Siguin F i G subespais d’En tals que dimK (F ) = dimK (G). Demostreu que existeix un subespai H d’En que verifica F ⊕ H = G ⊕ H = En Algweb c) Sigui En = R3 , i F = {(x, y, z) ∈ R3 / x − 6y + 3z = 0} G = {(x, y, z) ∈ R3 / 2x + y − 5z = 0} Obtingueu bases de F , G, F ∩ G i H.
a) Siguin α1 , α2 , α2 ∈K i considerem la seg¨ uent combinaci´o lineal: α1 e + α2 u + α3 (u + v) = 0 =⇒ =⇒ α1 e + (α2 + α3 )u + α3 v = 0 α1 = α2 + α3 = α3 = 0 =⇒ α1 = α2 = α3 = 0 i per tant, {e, u, u + v} s´ on linealment independents.
Si ara definim els seg¨ uents subespais vectorials: = < e, u, v > F def K F = def < e, u, u + v >K Per veure que F = F tindrem en compte la igualtat de dimensions que es verifica amb el que acabem de veure (dimK (F ) = dimK (F ) = 3), i la inclosi´o F ⊂ F que demostrem a continuaci´o: ∀x ∈ F ∃α1 , α2 , α3 ∈ K / x = α1 e + α2 u + α3 (u + v) =⇒ x = α1 e + (α2 + α3 )u + α3 v =⇒ x∈F amb la qual cosa F ⊂ F i ja tenim la igualtat justificada.
b) Amb les seg¨ uents notacions dimK (F ∩ G) N=ot p dimK (F ) = dimK (G) N=ot r definim les seg¨ uents bases BF ∩G = {e1 , ..., ep } base de F ∩ G BF = {e1 , ..., ep , vp+1 , ..., vr } base de F BG = {e1 , ..., ep , wp+1 , ..., wr } base de G I sabem, per tant, que BF +G = {e1 , ..., ep , vp+1 , ..., vr , wp+1 , ..., wr } base de F + G Definim ara el seg¨ uent subespai vectorial S: = < u S def 2r−p+1 , ..., un >K un subespai vectorial d’En tal que (F + G) ⊕ S = En . D’aquesta manera podem considerar que En =< e1 , ..., ep , vp+1 , ..., vr , wp+1 , ..., wr , u2r−p+1 , ..., un >K on tots els vectors formen una base d’En i, per tant, un sistema lliure. En aquest cas podem aplicar l’apartat anterior i dir que: En =< e1 , ..., ep , vp+1 + wp+1 , vp+2 , ..., vr , wp+1 , ..., wr , u2r−p+1 , ..., un >K Algweb i tornem a repetir aquest proc´es fins a r − p vegades, obtenint En =< e1 , ..., ep , vp+1 + wp+1 , ..., vr + wr , wp+1 , ..., wr , u2r−p+1 , ..., un >K definint = < v H def p+1 + wp+1 , ..., vr + wr , u2r−p+1 , ..., un >K observem que En = G ⊕ H.
Per`o el que hem fet sobre els vectors v ho podem fer sobre els vectors w i tenim En =< e1 , ..., ep , vp+1 , ..., vr , vp+1 + wp+1 , ..., vr + wr , u2r−p+1 , ..., un >K i en aquest cas En = F ⊕ H. I aix´ı hem trobat el subespai vectorial que busc`avem.
c) Calculem la intersecci´ o: F ∩ G = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 6y + 3z = 0, 2x + y − 5z = 0} de manera que F ∩ G =< e1 = (27, 11, 13) >R A partir d’aquest vector, obtenim bases de F i G: F =< e1 = (27, 11, 13), v2 = (−3, 0, 1) >R G =< e1 = (27, 11, 13), w2 = (0, 5, 1) >R i autom`aticament tenim F + G =< e1 , v2 , w2 >R que en aquest cas coincideix amb R3 de manera que S = {0} i H queda determinat per H =< v2 + w2 = (−3, 5, 2) >R Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/01 (nivell 3) Sigui K un cos commutatiu qualsevol. Definim MK (m × n) com el conjunt de les matrius a coeficients en K de m files i n columnes, m, n ∈ N∗ .
a) De “manera natural” doteu aquest conjunt d’estructura d’espai vectorial.
b) Considerem: L1 L2 L3 L4 L5 m = {A ∈ MK (m × n)/ i=1 ai1 = 0} n = {A ∈ MK (m × n)/ i=1 a1i = 0} n = {A ∈ MK (n × n)/ i=1 aii = 0} = {A ∈ MK (n × n)/ aii = 1, ∀i = 1, ..., n} m = {A ∈ MK (m × n)/ i=1 ain = 3} Algweb Dels anteriors conjunts, quins s´ on subespais vectorials de MK (m × n) ? a) Definim primer les operacions interna : MK (m × n) × MK (m × n) −→ MK (m × n) (A, B) −→ on ∀i = 1, ..., m ∀j = 1, ..., n cij = def (A, B) = N ot aij + bij (λ, A) −→ ♦(λ, A) Direm que (MK (m × n), = def λ · aij = N ot = N ot λ♦A = C = (cij ) λaij , ♦) ´es espai vectorial sobre (K, +, ·) si es verifica: ) ´es un grup commutatitu, ´es a dir: 1.a) ∀A, B, C ∈ MK (m × n) (A B) C = A (B C) 1.b) ∃ˆ0 ∈ MK (m × n) tal que ∀A ∈ MK (m × n) A ˆ0 = ˆ0 A = A 1.c) ∀A ∈ MK (m × n) ∃A˜ ∈ MK (m × n) tal que A A˜ = A˜ A = ˆ0 1.d) ∀A, B ∈ MK (m × n) A B = B A 2) ∀λ ∈ K, ∀A, B ∈ MK (m × n) λ♦(A B) = λ♦A λ♦B 3) ∀λ, µ ∈ K, ∀A ∈ MK (m × n) (λ + µ)♦A = λ♦A µ♦A 4) ∀λ, µ ∈ K, ∀A ∈ MK (m × n) (λ · µ)♦A = λ♦(µ♦A) 5) ∀A ∈ MK (m × n) A B = C = (cij ) ♦ : K × MK (m × n) −→ K on ∀i = 1, ..., m ∀j = 1, ..., n cij 1) (MK (m × n), i externa ♦: 1♦A = A Verifiquem totes aquestes propietats: 1.a) ∀A, B, C ∈ MK (m × n), (A B) C N=ot D = (dij ), A (B C) N=ot E = (eij ), ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n on, per la definici´ o d’operaci´ o interna, dij = (aij + bij ) + cij = aij + bij + cij , ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n per una banda, i eij = aij + (bij + cij ) = aij + bij + cij , ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n per una altra, de manera que (A B) C = D = E = A (B C) 1.b) ∀A ∈ MK (m × n), A = (aij ) ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n es verifica: aij + 0 = 0 + aij = aij ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n de manera que si constru¨ım una matriu on tots els seus coeficients s´ on 0 (i la denotem per ˆ0), tindrem ˆ ˆ que A 0 = 0 A = A.
1.c) ∀A ∈ MK (m × n), A = (aij ) ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n es verifica: Algweb aij + (−aij ) = −aij + aij = 0 ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n de manera que si constru¨ım una matriu on tots els seus coeficients s´on els sim`etrics d’aij segons l’operaci´ o ˜ tindrem que A A˜ = A˜ A = ˆ0.
+ (i la denotem per A), 1.d) ∀A, B, C ∈ MK (m × n), A = (aij ), B = (bij ) ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n es verifica: aij + bij = bij + aij ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n per tant, A B = B A.
2) ∀λ ∈ K, ∀A, B ∈ MK (m × n), λ♦(A B) N=ot D = (dij ), (λ♦A) 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n es verifica: dij = λ · (aij + bij ) = (λ · aij ) + (λ · bij ) = eij de manera que λ♦(A B) = (λ♦A) = N ot E = (eij ), ∀i = ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n (λ♦B).
3) ∀λ, µ ∈ K, ∀A ∈ MK (m × n), (λ + µ)♦A N=ot D = (dij ), (λ♦A) 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n es verifica: dij = λ · (µ + λ) · aij = (µ · aij ) + (λ · aij ) = eij de manera que (λ + µ)♦A = (λ♦A) (λ♦B) (µ♦A) = N ot E = (eij ), ∀i = ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n (µ♦A).
4) ∀λ, µ ∈ K, ∀A ∈ MK (m × n), (λ · µ)♦A N=ot D = (dij ), λ♦(µ♦A) N=ot E = (eij ), ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n es verifica: dij = (λ · µ) · aij = λ · µ · aij = λ · (µ · aij ) ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n de manera que (λ · µ)♦A = λ♦(µ♦A).
5) ∀A ∈ MK (m × n), 1♦A N=ot D = (dij ) i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n es verifica: dij = 1 · aij = aij ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n de manera que 1♦A = A.
b) i ♦ usarem els s´ımbols + i · (o fins i tot no A partir d’ara farem un ab´ us de llenguatge, i enlloc de escriurem ·) respectivament.
m L1 = {A ∈ MK (m × n)/ ai1 = 0} i=1 1) ˆ0 ∈ L1 ? m m ai1 = i=1 0=0 =⇒ ˆ0 ∈ L1 i=1 Algweb 2) ∀λ ∈K, ∀A, B ∈ L1 es verifica λA + B N=ot C ∈ L1 ? m m ci1 = i=1 m (λai1 + bi1 ) = λ i=1 m ai1 + i=1 bi1 = λ0 + 0 = 0 =⇒ λA + B ∈ L1 =⇒ λA + B ∈ L2 i=1 per tant, L1 ´es subespai vectorial de MK (m × n).
1) ˆ0 ∈ L2 ? n L2 = {A ∈ MK (m × n)/ a1i = 0} i=1 n n a1i = i=1 0=0 =⇒ ˆ0 ∈ L2 i=1 2) ∀λ ∈K, ∀A, B ∈ L2 es verifica λA + B N=ot C ∈ L2 ? n n c1i = i=1 n (λa1i + b1i ) = λ i=1 n a1i + i=1 b1i = λ0 + 0 = 0 i=1 per tant, L2 ´es subespai vectorial de MK (m × n).
1) ˆ0 ∈ L3 ? n L3 = {A ∈ MK (n × n)/ aii = 0} i=1 n n aii = i=1 0=0 i=1 =⇒ ˆ0 ∈ L3 2) ∀λ ∈K, ∀A, B ∈ L3 es verifica λA + B N=ot C ∈ L3 ? n n cii = i=1 n (λaii + bii ) = λ i=1 n aii + i=1 bii = λ0 + 0 = 0 =⇒ i=1 per tant, L3 ´es subespai vectorial de MK (n × n).
L4 = {A ∈ MK (n × n)/ aii = 1, ∀i = 1, ..., n} 1) ˆ 0 ∈ L4 ? aii = 0 = 1 ∀i = 1, ..., n =⇒ ˆ0 ∈ / L4 per tant, L4 no ´es subespai vectorial de MK (n × n).
m L5 = {A ∈ MK (m × n)/ ain = 3} Algweb i=1 1) ˆ 0 ∈ L5 ? m ain = 0 = 3 =⇒ i=1 per tant, L5 no ´es subespai vectorial de MK (m × n).
ˆ0 ∈ / L5 λA + B ∈ L3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/02 (nivell 3) Sigui el conjunt: F = A ∈ MC (2 × 2)/ A = z −u u z Essent u i z els complexos conjugats d’u i z respectivament.
Demostreu que F t´ e estructura de cos amb la suma i el producte de matrius.
´ Es commutatiu? Comprovem primer que la suma i el producte de matrius s´on ambdues operacions internes: Algweb Suma (+): ∀A, A ∈ F , A+A = z −u u z + z −u u z = z+z −u − u u+u z+z = N ot α γ β δ on, γ = −β i δ = α, de manera que A + A ∈ F .
Producte (·): ∀A, A ∈ F , A·A = z −u z u · z −u u z = zz − uu −uz − u z zu + uz −u u + zz = N ot α γ β δ on, γ = −β i δ = α, de manera que A · A ∈ F .
Aquestes s´ on les propietats que s’han de verificar per tal que F sigui cos: 1) (F, +) ´es grup commutatiu: 1.1) associativa (*) 1.2) element neutre 1.3) element sim`etric 1.4) commutativa (*) 2) (F, +, ·) verifica: 2.1) distributiva de · respecte de + (*) 3) (F − {0}, ·) ´es grup: 3.1) associativa (*) 3.2) element neutre (o unitari) 3.3) element sim`etric (o invers) Totes les propietats marcades amb * es verifiquen directament ja que F ⊂ MC (2 × 2). Les altres 4 propietats s´on les que caldr` a verificar: 1.2) element neutre: ∀A ∈ F, ∃˜ 0 ∈ F / ˜[0] + A = A + ˜[0] = A. Prenem ˜[0] = [0]2 ∈ MC (2 × 2). Com que 0 = 0 = −0 = −0, [0]2 ∈ F .
1.3) element sim`etric: ∀A ∈ F, ∃A˜ ∈ F / A˜ + A = A + A˜ = [0]2 . Prenem −z A˜ = −A = u −u −z = N ot α γ β δ on, γ = −β i δ = α, de manera que −A ∈ F .
3.2) element neutre: ∀A ∈ (F − {0}), ∃A ∈ (F − {0}) / A · A = A · A = A. Prenem A = I2 . Com que −0 = 0 i 1 = 1, I2 ∈ F .
3.3) element sim`etric: ∀A ∈ (F − {0}), ∃A−1 ∈ (F − {0}) / A−1 · A = A · A−1 = I2 . Comprovem doncs, que qualsevol A ∈ F ´es inversible i A−1 ∈ F : u z ·u ∼> ·z |u|2 |z|2 zu −zu Algweb z −u +[1] ∼> zu 0 |u|2 2 |u| + |z|2 1 · zu 1 · |u|2 +|z| 2 ∼> 1 0 |u|2 zu −|u|2 zu [2] 1 ∼> I2 Per poder fer aquestes operacions elementals de fila ens ha calgut suposar que z = 0 ∧ u = 0. Vegem qu`e passa en la resta de casos: 1) z = 0 ∧ u = 0. Llavors, 0 −u A= I, directament, multiplicant la primera fila per a I2 , per tant tamb´e en aquest cas ´es inversible.
1 u u 0 i la segona per −1 u , i permutant les dues files, arribem 1 z arribem a I2 , per tant tamb´e en 2) z = 0 ∧ u = 0. Llavors, A= I, directament, multiplicant la primera fila per aquest cas ´es inversible.
z 0 1 z 0 z i la segona per 3) z = 0 ∧ u = 0. Llavors, A = [0]2 i aquest cas no l’estem considerant ja que ens trobem en (F − {0}).
Si ara acumulem les operacions elementals de fila d’abans a la matriu I2 trobarem A−1 : 1 0 0 1 ·u > ·z ∼ ∼> u 0 0 z +[1] ∼ 1 |u|2 + |z|2 > z u u 0 u z 1 · zu 1 ∼ · |u|2 +|z| 2 > 1 −u = A∗ z |u|2 + |z|2 1 z u |u|2 +|z|2 = N ot α γ 0 z |u|2 +|z|2 −|u|2 zu [2] ∼> β δ on γ = −β i δ = α, de manera que A−1 ∈ F (A∗ indica la matriu transposta i conjugada d’A).
A m´es, si calculem A−1 per als casos 1) i 2), podem comprovar que resulten ser els respectius casos particulars d’aquesta expressi´ o.
Per veure si F ´es cos commutatiu, cal comprovar que verifica la propietat commutativa respecte del producte de matrius. Vegem-ho: ∀A, A ∈ F , z u zz − uu zu + uz z u · = A·A = −u z −uz − u z −uu + zz −u z A ·A= z −u u z · z −u u z z−uu = z −u z − uz z u+uz −u u + z z I aquestes matrius no s´ on iguals en general. Nom´es cal agafar, per exemple, el cas z = u = i, z = u = 0 per comprovar-ho.
Algweb Per tant, F ´es cos per` o no commutatiu.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/03 (nivell 3) Sigui K un cos commutatiu no trivial.
a) Considereu MK (n × n), n ∈ N∗ , amb la suma i el producte de matrius. Comproveu que ´ es anell no commutatiu , unitari i amb divisors de zero.
b) Es defineix el Grup Lineal GL(n; K) = {A ∈ MK (n × n)/ ∃A−1 } Comproveu que (GL(n; K), ·) ´ es grup.
Siguin A, B ∈ GL(n; K) Algweb c) Demostreu que A−1 ∈ GL(n; K), i que (A−1 )−1 = A d) Demostreu que A · B ∈ GL(n; K), i que (A · B)−1 = B −1 · A−1 e) Demostreu que ∀t ∈ K, t = 0, t · A ∈ GL(n; K), i que (t · A)−1 = f ) Demostreu que AT ∈ GL(n; K), i que (AT )−1 = (A−1 )T g) La suma de matrius inversibles ´ es inversible ? 1 t · A−1 a) Aquestes s´ on les propietats que s’han de verificar per tal que MK (n × n) sigui anell unitari: 1) (MK (n × n), +) ´es grup commutatiu: 1.1) associativa 1.2) element neutre 1.3) element sim`etric 1.4) commutativa 2) (MK (n × n), ·) verifica: 2.1) associativa 2.2) distributiva respecte de la suma 2.3) element neutre Per tenir MK (n × n) estructura d’espai vectorial (vist a l’exercici 3/01), (MK (n × n), +) ´es grup commutatiu. Verificarem, per tant, nom´es les 3 darreres propietats: 2.1) ∀A, B, C ∈ MK (n × n), A · (B · C) (A · B) · C = N ot = N ot n D = (dij ) ∀i, j = 1, ..., n ; dij = n aik k=1 n E = (eij ) ∀i, j = 1, ..., n ; eij =  n l=1 n aik (bkl clj ) = k,l=1  β=1 aik bkl clj k,l=1 n aiβ bβα  cαj =  α=1 n bkl clj = n (aiβ bβα )cαj = α,β=1 aiβ bβα cαj α,β=1 I ara, agafant com a ´ındexs muts del sumatori β = k i α = l ens queda que eij = dij , i per tant D = E i es verifica la propietat associativa.
2.2) ∀A, B, C ∈ MK (n × n), n A · (B + C) = N ot D = (dij ) ∀i, j = 1, ..., n ; dij = n aik (bkj + ckj ) = k=1 n A·B+A·C = N ot E = (eij ) ∀i, j = 1, ..., n ; eij = (aik bkj + aik ckj ) k=1 n n aik bkj + k=1 aik ckj = k=1 (aik bkj + aik ckj ) k=1 per tant, D = E i es verifica la propietat distributiva.
2.3) ∀A ∈ MK (n × n), considerem A = In . Llavors, n A · A = A · In = N ot B = (bij ) ∀i, j = 1, ..., n ; bij = aik δkj = aij k=1 n A · A = In · A = N ot B = (bij ) ∀i, j = 1, ..., n ; bij = δik akj = aij k=1 Algweb per tant, existeix l’element neutre i ´es In Per veure que t´e divisors de zero, n’hi ha prou amb considerar el seg¨ uent exemple per a n = 2: 1 0 0 · 1 0 1 0 = [0]2 1 Per veure que no es verifica la propietat commutativa amb el producte de matrius n’hi ha prou amb considerar el mateix exemple per a n = 2: 1 0 0 · 1 0 1 0 1 0 1 · 1 1 0 = [0]2 1 0 0 = 0 2 0 0 b) Verifiquem primer que · ´es operaci´ o interna: ∀A, B ∈ GL(n; K), A · B ∈ GL(n; K)? Si considerem la matriu B −1 · A−1 N=ot C tenim que A · B · C = (A · B) · (B −1 · A−1 ) = A · B · B −1 · A−1 = A · A−1 = In . D’aquesta manera, A · B ´es inversible i aix´ı A · B ∈ GL(n; K).
Per tal que (GL(n; K), ·) sigui grup ha de verificar les seg¨ uents propietats: 1.1) associativa 1.2) element neutre 1.3) element sim`etric Les dues primeres propietats v´enen heretades de MK (n × n). Comprovem nom´es la darrera: 1.3) ∀A ∈ GL(n; K) sabem que existeix A−1 , i que A · A−1 = A−1 · A = In . Aquest ´es l’element sim`etric d’A.
c) A−1 · A = A · A−1 = In =⇒ A−1 ∈ GL(n; K) ; (A−1 )−1 = A d) (A · B) · (B −1 · A−1 ) = (B −1 · A−1 ) · (A · B) = In A · B ∈ GL(n; K) ; (A · B)−1 = B −1 · A−1 =⇒ e) 1 1 1 tA · A−1 = A−1 · tA = t A · A−1 = In t t t =⇒ tA ∈ GL(n; K) ; (tA)−1 = 1 −1 A t f ) Transposant a banda i banda de l’expressi´ o A · A−1 = A−1 · A = In , Algweb (A−1 )T · AT = AT · (A−1 )T = In =⇒ AT ∈ GL(n; K) ; (AT )−1 = (A−1 )T g) No. Vegem el seg¨ uent contraexemple: In , −In ∈ GL(n; K), i en canvi, In − In = [0]n ∈ / GL(n; K).
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/04 (nivell 3) Donats els subespais: F1 = {A ∈ MR (2 × 2) | AT = 2A} F2 = {A ∈ MR (2 × 2) | tra¸ ca(A) = a11 + a22 = 0} F3 = {A ∈ MR (2 × 2) | a11 + a12 = 0, a21 + a22 = 0} Trobeu bases de F1 , F2 , F3 i (F1 + F2 ) ∩ F3 .
∀A ∈ F1 es verifica AT = a11 a12 Algweb =⇒ a21 a22 2a11 2a21 = 2a12 2a22 = 2A a11 = a22 = a12 = a21 = 0 =⇒ A = [0]2 =⇒ F1 = {0} ∀A ∈ F2 es verifica A= a11 a21 a12 −a11 = a11 1 0 0 + a12 0 −1 0 1 0 + a21 0 1 0 0 = N ot a11 M1 + a12 M2 + a21 M3 de manera que {M1 , M2 , M3 } ´es sistema de generadors de F2 . S´on linealment independents? Considerem α, β, γ ∈R i α β [0]2 = αM1 + βM2 + γM3 = γ −α =⇒ α=β=γ=0 per tant, {M1 , M2 , M3 } ´es una base de F2 .
∀A ∈ F3 es verifica A= a11 −a22 −a11 a22 = a11 0 0 1 −1 + a22 −1 1 0 0 = N ot a11 M4 + a22 M5 de manera que {M4 , M5 } ´es sistema de generadors de F2 . S´on linealment independents? Considerem α, β ∈R i α −α [0]2 = αM4 + βM5 = −β β =⇒ α=β=γ=0 per tant, {M4 , M5 } ´es una base de F3 .
Fixem-nos que F1 + F2 = {0} + F2 = F2 . Llavors, ∀A ∈ F2 ∩ F3 es verifica A= a11 a11 −a11 −a11 = a11 1 −1 1 −1 = N ot a11 M6 de manera que {M6 } ´es sistema de generadors de F2 ∩ F3 , i com que M6 = [0]2 ´es una base de F2 ∩ F3 .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/05 (nivell 3) Considerem MR (2 × 2).
a) Trobeu una base d’aquest espai vectorial.
b) Considereu: W1 = {A ∈ MR (2 × 2)/ a11 = −a12 } W2 = {A ∈ MR (2 × 2)/ a11 = −a21 } Comproveu que W1 i W2 s´ on subespais vectorials de MR (2 × 2).
c) Trobeu les dimensions de W1 , W2 , W1 + W2 i W1 ∩ W2 .
Algweb a) Fixem-nos que ∀A ∈ MR (2 × 2), A= a11 a21 a12 a22 = a11 1 0 0 0 +a12 0 0 1 0 +a21 0 1 0 0 +a22 0 0 0 1 = N ot a11 M1 +a12 M2 +a21 M3 +a22 M4 de manera que {M1 , M2 , M3 , M4 } s´ on sistema de generadors de MR (2×2). S´ on linealment independents? Considerem α, β, γ, δ ∈R amb la seg¨ uent combinaci´ o lineal: [0]2 = 0 0 0 α = αM1 + βM2 + γM3 + δM4 = 0 γ =⇒ β δ α=β=γ=δ=0 i per tant, {M1 , M2 , M3 , M4 } s´ on linealment independents, formant aix´ı una base per a MR (2 × 2).
b) W1 ´es subespai vectorial: 1) Considerant A = [0]2 , a11 = 0 = −a12 . Per tant, [0]2 ∈ W1 .
2) ∀A, B ∈ W1 , ∀λ ∈R, λA + B N=ot C = (cij ), ∀i, j = 1, 2. Llavors, c11 = λa11 + b11 = −λa12 − b12 = −c12 , i aix´ı C ∈ W1 .
W2 ´es subespai vectorial: 1) Considerant A = [0]2 , a11 = 0 = −a21 . Per tant, [0]2 ∈ W2 .
2) ∀A, B ∈ W2 , ∀λ ∈R, λA + B N=ot C = (cij ), ∀i, j = 1, 2. Llavors, c11 = λa11 + b11 = −λa21 − b21 = −c21 , i aix´ı C ∈ W2 .
c) Per trobar les dimensions, en els dos primers casos procedirem igual: buscarem una base i comptarem els elements.
∀A ∈ W1 A= a11 a21 −a11 a22 = a11 0 1 −1 + a21 1 0 0 0 0 + a22 0 0 0 1 = N ot a11 M5 + a21 M3 + a22 M4 per tant, {M5 , M3 , M4 } s´ on sistema de generadors de W1 i, procedint an`alogament a l’apartat a), podem comprovar que s´ on linealment independents, de manera que formen base per a W1 . Aix´ı, dimR (W1 ) = 3.
∀A ∈ W2 A= a11 −a11 a12 a22 = a11 1 −1 0 0 + a12 0 0 0 0 1 + a22 0 1 0 = N ot a11 M6 + a12 M2 + a22 M4 per tant, {M6 , M2 , M4 } s´ on sistema de generadors de W2 i, procedint an`alogament a l’apartat a), podem comprovar que s´ on linealment independents, de manera que formen base per a W2 . Aix´ı, dimR (W2 ) = 3.
Sabem que dimR (W1 + W2 ) = dimR (W1 ) + dimR (W2 ) − dimR (W1 ∩ W2 ) = 6 − dimR (W1 ∩ W2 ). Per tant, un cop coneguem la dimensi´ o de la intersecci´o ja tindrem la de la suma. Fixem-nos que W1 ∩ W2 = {A ∈ MR (2 × 2)/ a11 = −a12 = −a21 } ∀A ∈ W1 ∩ W2 , A = Algweb =⇒ a11 −a11 −a11 a22 = a11 1 −1 0 + a22 −1 0 0 0 1 = N ot a11 M7 + a22 M4 per tant, {M7 , M4 } s´ on sistema de generadors de W1 ∩ W2 i, procedint an`alogament a l’apartat a), podem comprovar que s´on linealment independents, de manera que formen base per a W1 ∩ W2 . Aix´ı, dimR (W1 ∩ W2 ) = 2. I finalment, dimR (W1 + W2 ) = 6 − 2 = 4 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/06 (nivell 3) Si a, b i c s´ on tres n´ umeros complexos qualssevol, demostreu que les matrius del tipus:  a+b a − b − c a+c a−b+c a a+b−c  a−c a + b + c a−b ∀a, b, c ∈ C descriuen un subespai vectorial de MC (3 × 3). Trobeu una base d’aquest subespai.
Algweb Definim el subconjunt F com    a+b a−b+c a−c   a a + b + c F = A ∈ MC (3 × 3) / ∃a, b, c ∈ C, A =  a − b − c   a+c a+b−c a−b Fixem-nos que si agafem a = b = c = 0, llavors [0]3 ∈ F . A m´es, ∀A, B ∈ F, ∀λ ∈C,   a +b a+b a−b+c a−c a a + b + c + a − b − c λA + B = λ  a − b − c a +c a+c a+b−c a−b   λa + a + λb + b =  λa + a − λb − b − λc − c λa + a + λc + c λa + a − λb − b + λc + c λa + a λa + a + λb + b − λc − c a −b +c a a +b −c  a −c a +b +c = a −b  λa + a − λc − c λa + a + λb + b + λc + c  λa + a − λb − b Prenent r = λa + a , s = λb + b , t = λc + c ∈C, observem que λA + B ∈ F .
Per tant, F ´es subespai vectorial de MC (3 × 3). A m´es,   1 a+b a−b+c a−c a a + b + c = a1 ∀A ∈ F, A =  a − b − c 1 a+c a+b−c a−b  = N ot      0 1 −1 1 −1 0 1 1 1  1  + c  −1 0 1 1  + b  −1 0 1 −1 0 0 1 −1 1 1 aM1 + bM2 + cM3 per tant, {M1 , M2 , M3 } s´ on sistema de generadors de F . S´on linealment independents? Considerem α, β, γ ∈C i la seg¨ uent combinaci´ o lineal:  α+β [0]3 = αM1 + βM2 + γM3 =  α − β − γ α+γ =⇒ α−β+γ α α+β−γ  α−γ α+β+γ α−β α=β=γ=0 de manera que {M1 , M2 , M3 } s´ on linealment independents, formant aix´ı una base per a F .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/07 (nivell 3) Considerem MR (n × n). Siguin: S = {A ∈ MR (n × n)/ A = AT } H = {A ∈ MR (n × n)/ A = −AT } a) Comproveu que S i H s´ on subespais vectorials de MR (n × n).
b) Trobeu bases de S i H.
c) Comproveu que S ⊕ H = MR (n × n).
a) S ´es subespai vectorial de MR (n × n): Algweb 1) [0]n ´es sim`etrica, ja que [0]Tn = [0]n .
2) ∀A, B ∈ S, ∀λ ∈R, (λA + B)T = λAT + B T = λA + B =⇒ λA + B ∈ S H ´es subespai vectorial de MR (n × n): 1) [0]n ´es antisim`etrica, ja que [0]Tn = −[0]n = [0]n .
2) ∀A, B ∈ S, ∀λ ∈R, (λA + B)T = λAT + B T = −λA − B = −(λA + B) =⇒ λA + B ∈ S ´ a dir b) Base de S: ∀A ∈ S, A = (aij ), aij = aji ∀i, j = 1, ..., n. Es a11  a12 A=  ...
a12 a22 ..
.
··· ··· ..
.
a1n a2n · · · ann    a1n 1 a2n  0 = a11  ..   ...
.       0 0 ··· 1 0 1 ··· 0 0 ··· 0 0 0 ··· 0 1 0 ··· 0 0 ··· 0  + · · · + a1n  + a12  .. .. . .
..  .. . .
..    ... ... . . . ...  +   . .
. .
. .
.
1 0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 ··· 0 0 0 0 + · · · + ann   ...
 0  0 ··· 0 0 ··· 0 .. . .
. . ..  .
0 ··· 1 = N ot a11 M1 + · · · ann Mr de manera que {M1 , ..., Mr } s´ on sistema de generadors de S. Si fem una combinaci´ o lineal igualada a [0]n obtenim una matriu sim`etrica igualada a [0]n , cosa que implica que tots els seus coeficients s´on nuls.
Aix´ı, tenim que B = {M1 , ..., Mr } ´es una base de S. Quants elements tenim en B? Directament, fent un recompte, veiem que tenim n elements de la primera fila, n − 1 elements de la segona, n − 3 elements de la tercera,... fins a 1 element a la darrera fila. Sumant, n #(B) = n + n − 1 + n − 2 + · · · + 2 + 1 = i= i=1 n(n + 1) n2 + n = = dimR S 2 2 ´ a dir Base d’H: ∀A ∈ H, A = (aij ), aij = −aji ∀i, j = 1, ..., n. Es 0  −a12 A=  ...
 −a1n a12 0 ..
.
−a2n   · · · a1n 0 · · · a2n   −1 = a12  ..  ..
 ...
.
.  0 ··· 0 0 ···  ... . . .
+ · · · + an−1n  0 ··· 0 ···  0 ..
.
0 −1   1 ··· 0 0  0 0 ··· 0 .. . .
.  + · · · + a1n   ...
. ..  .
−1 0 ··· 0  0 ..  . 1 = N ot  0 ··· 1 0 ··· 0 .. . .
. + . ..  .
0 ··· 0 a12 M1 + · · · an−1n Ms 0 de manera que {M1 , ..., Ms } s´ on sistema de generadors d’H. Si fem una combinaci´ o lineal igualada a [0]n obtenim una matriu antisim`etrica igualada a [0]n , cosa que implica que tots els seus coeficients s´ on nuls.
Aix´ı, tenim que B = {M1 , ..., Ms } ´es una base d’H. Quants elements tenim en B? Directament, fent un recompte, veiem que tenim n − 1 elements de la primera fila, n − 2 elements de la segona, n − 4 elements de la tercera,... fins a 1 element a la fila n − 1. Sumant, n−1 #(B) = n − 1 + n − 2 + · · · + 2 + 1 = i= Algweb i=1 n2 − n (n − 1)n = dimR H = 2 2 c) Calculem S ∩ H: ∀A ∈ S ∩ H AT = A = −AT =⇒ 2AT = [0]n =⇒ AT = [0]n =⇒ A = [0]n per tant, S ∩ H = {[0]n }, i llavors S + H = S ⊕ H.
Sabent que S + H ⊂ MR (n × n), nom´es falta veure la igualtat de dimensions per concloure l’apartat: dimR (S + H) = dimR S + dimR H − dimR (S ∩ H) = I aix´ı queda comprovat que MR (n × n) = S ⊕ H.
n2 + n n2 − n + − 0 = n2 = dimR MR (n × n) 2 2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/08 (nivell 3) Sigui K un cos commutatiu no trivial. Definim: Ti = {A ∈ MK (n × n)/ aij = 0, ∀i < j} Ts = {A ∈ MK (n × n)/ aij = 0, ∀i > j} matrius triangulars inf eriors matrius triangulars superiors a) Comproveu que Ti i Ts s´ on subespais vectorials de MK (n × n).
b) Calculeu la seva dimensi´ o.
c) Trobeu Ti ∩ Ts i Ti + Ts .
a) Ti ´es subespai vectorial de MK (n × n): Algweb 1) [0]n ´es triangular inferior ja que aij = 0 ∀i, j = 1, ..., n.
2) ∀A, B ∈ Ti , ∀λ ∈K, λA + B N=ot C = (cij ), ∀i, j = 1, ..., n cij = λaij + bij = 0 ∀i < j =⇒ λA + B ∈ Ti Ts ´es subespai vectorial de MK (n × n): 1) [0]n ´es triangular superior ja que aij = 0 ∀i, j = 1, ..., n.
2) ∀A, B ∈ Ts , ∀λ ∈K, λA + B N=ot C = (cij ), ∀i, j = 1, ..., n cij = λaij + bij = 0 ∀i > j =⇒ λA + B ∈ Ts ´ a dir b) Fixem-nos que ∀A ∈ Ti , A = (aij ), aij = 0 ∀i, j = 1, ..., n amb i < j. Es a11  a21 A=  ...
0 a22 ..
.
··· ··· ..
.
an1 an2 · · · ann    0 1 0  0 = a11  ..   ...
.       0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· 0 1 0 ··· 0 0 0 ··· 0 0 ··· 0  + a12  + · · · + an1  .. . .
..  .. .. . .
..      ... ... . . . ...  + . .
. .
.
. .
0 ··· 0 0 0 ··· 0 1 0 ··· 0 0  0 0 ··· 0 0 0 ··· 0  + · · · + ann   ... ... . . . ...  0 0 ··· 1  = N ot a11 M1 + · · · ann Mr de manera que {M1 , ..., Mr } s´ on sistema de generadors de Ti . Si fem una combinaci´o lineal igualada a [0]n obtenim una matriu triangular inferior igualada a [0]n , cosa que implica que tots els seus coeficients s´ on nuls. Aix´ı, tenim que B = {M1 , ..., Mr } ´es una base de Ti . Quants elements tenim en B? Directament, fent un recompte, veiem que tenim 1 element de la primera fila, 2 elements de la segona, 3 elements de la tercera,... fins a n elements a la darrera fila. Sumant, n #(B) = 1 + 2 + 3 + · · · + n − 1 + n = i= i=1 n2 + n n(n + 1) = = dimR Ti 2 2 ´ a dir Fixem-nos que ∀A ∈ Ts , A = (aij ), aij = 0 ∀i, j = 1, ..., n amb i > j. Es a11  0 A=  ...
 0 a12 a22 ..
.
0 ··· ··· ..
.
  a1n 1 a2n  0 = a11  ..   ...
.    0 ··· 0 0 0 0 ··· 0 .. . .
.  + a12   ...
. ..  .
0 ··· 0 0 0 · · · ann 0 0 + · · · + ann   ...
 0  0 ··· 0 0 ··· 0 .. . .
. . ..  .
0 ··· 1 = N ot    1 ··· 0 0 0 ··· 1 0 0 ··· 0 0 ··· 0  + · · · + a1n  .. . .
..    ... ... . . . ...  + . .
.
0 ··· 0 0 0 ··· 0 a11 M1 + · · · ann Ms de manera que {M1 , ..., Ms } s´ on sistema de generadors de Ts . Si fem una combinaci´ o lineal igualada a [0]n obtenim una matriu triangular superior igualada a [0]n , cosa que implica que tots els seus coeficients s´ on nuls. Aix´ı, tenim que B = {M1 , ..., Ms } ´es una base de Ti . Quants elements tenim en B? Directament, fent un recompte, veiem que tenim n elements de la primera fila, n − 1 elements de la segona, n − 3 elements de la tercera,... fins a 1 element a la darrera fila. Sumant, n #(B) = n + n − 1 + n − 2 + · · · + 2 + 1 = i= Algweb i=1 n2 + n n(n + 1) = = dimR Ts 2 2 c) Ti ∩ Ts : Ti ∩ Ts = {A ∈ MK (n × n) / aij = 0, i < j , j < i} = {A ∈ MK (n × n) / aij = 0, i = j} i aquest subespai ´es el de les matrius diagonals, amb dimK (Ti ∩ Ts ) = n.
Ti + Ts : Mirem primer quina dimensi´ o t´e dimK (Ti + Ts ) = dimK Ti + dimK Ts − dimK (Ti ∩ Ts ) = n2 + n n2 + n + − n = n2 = dimK MK (n × n) 2 2 Com que a m´es es verifica Ti + Ts ⊂ MK (n × n), llavors, Ti + Ts = MK (n × n).
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/09 (nivell 3) Sigui A ∈ MK (n × n), tal que: A3 − 3A2 + 5A − In = [0]n Demostreu que A ´ es inversible i obtingueu A−1 .
Fixem-nos que: A3 − 3A2 + 5A − In = [0]n Algweb =⇒ =⇒ A3 − 3A2 + 5A = In A · (A2 − 3A + 5In ) = (A2 − 3A + 5In ) · A = In =⇒ A−1 = A2 − 3A + 5In Aix` o justifica directament que A ´es inversible i ens d´ona una expressi´ o d’A−1 .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/10 (nivell 3) Com varia el producte A · B de les matrius A i B, si: a) Es permuta les i-` esima i j-` esima files de la matriu A? b) A la i-` esima fila de la matriu A se li agrega la j-` esima fila, multiplicada per un escalar λ? c) Es permuta les i-` esima i j-` esima columnes de la matriu B? d) A la i-` esima columna de la matriu B se li agrega la j-` esima columna, multiplicada per un escalar λ? Per tal que tot tingui sentit, considerarem A ∈ MK (m × n), B ∈ MK (n × p). Si anomenem A · B = C, sabem que Algweb n cij = aik bkj ∀i = 1, ..., m ∀j = 1, ..., p i=1 Aquesta expressi´ o, per a una fila r qualsevol, la podem reescriure com: [ cr1 · · · crp ] = [ ar1 · · · arn ] · B ∀r = 1, ..., m [1] I la mateixa expressi´ o, per a una columna s qualsevol, la podem reescriure com:     b1s c1s .
.
 ..  = A ·  ..  ∀s = 1, ..., p [2] bns cms a) Si ens fixem en l’expressi´o [1], considerant els casos r = i i r = j, veiem que si permutem aquestes files d’A, queden permutades les mateixes files de C.
b) Si ens fixem en l’expressi´ o [1], considerant la combinaci´o lineal proposada, [ cˆi1 · · · cˆip ] = [ ai1 + λaj1 = [ ai1 · · · ain + λajn ] B = · · · ain ] B + λ [ aj1 = [ ci1 · · · cip ] + λ [ cj1 · · · ajn ] B = · · · cjp ] aix´ı veiem que a la i-`esima fila de C = A · B li passar` a el mateix.
c) Si ens fixem en l’expressi´o [2], considerant els casos s = i i s = j, veiem que si permutem aquestes columnes de B, queden permutades les mateixes columnes de C.
d) Si ens fixem en l’expressi´ o [2], considerant la combinaci´ o lineal proposada,     b1i + λb1j cˆ1i  ..
 ...  = A   = .
cˆmi bni + λbnj    b1j b1i   .
= A  ..  + λA  ...  = bni bnj     c1j c1i   .
=  ..  + λ  ...   cmi cmj Algweb aix´ı veiem que a la i-`esima columna de C = A · B li passar` a el mateix.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/11 (nivell 3) ´ certa la igualtat Siguin A, B ∈ MR (n × n). Es (A − B)(A + B) = A2 − B 2 ? Fixem-nos que: (A − B)(A + B) = A2 + AB − BA − B 2 Algweb Per tal que la igualtat proposada sigui certa, cal que AB − BA = [0]n , ´es a dir, que A i B commutin. I aix` o no ´es aix´ı en general. Vegem el seg¨ uent contraexemple per a n = 2: =⇒ A= 1 1 0 0 B= (A − B)(A + B) = 0 −1 2 · −1 0 1 1 0 1 0 1 −1 0 = 0 −2 −1 i en canvi, A2 − B 2 = 1 1 0 1 − 0 0 1 0 −1 = 0 −1 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/12 (nivell 3) Siguin A, B ∈ MK (n × n). Demostreu que: a) rang(A + B) ≤ rang(A) + rang(B) b) rang(A · B) ≤ m´ın{rang(A), rang(B)} a) Considerem les matrius A i B segons les seves files:    ← a1 → ← b1  ..
..
 B = A=  .
.
← an → ← bn →    → on a1 , ..., an , b1 , ..., bn ∈Kn . Definim: Algweb SA =< a1 , ..., an >K SB =< b1 , ..., bn >K SA+B =< a1 + b1 , ..., an + bn >K SA + SB =< a1 , ..., an , b1 , ..., bn >K D’aquesta manera observem que SA+B ⊂ SA + SB i per tant, dimK (SA+B ) ≤ dimK (SA + SB ) = dimK (SA ) + dimK (SB ) − dimK (SA ∩ SB ) dimK (SA+B ) ≤ dimK (SA ) + dimK (SB ) =⇒ =⇒ rang(A + B) ≤ rang(A) + rang(B) b) A · B N=ot C. D’aquesta manera, sabem que les columnes de C s´ on combinaci´ o lineal de les columnes d’A (*) i que les files de C s´ on combinaci´o lineal de les files de B (**). Considerem:     ← b1 → ↑ ↑   ..
B= A =  a1 · · · an   .
↓ ↓ ← bn →  ↑ C =  c1 ↓   ← c1 ↑ ..
  · · · cn = .
↓ ← cn →   → on a1 , ..., an , b1 , ..., bn , c1 , ..., cn , c1 , ..., cn ∈Kn . Definim: SA =< a1 , ..., an >K SB =< b1 , ..., bn >K SC =< c1 , ..., cn >K SC =< c1 , ..., cn >K (*) =⇒ SC ⊂ SA =⇒ dimK (SC ) ≤ dimK (SA ) =⇒ rang(C) ≤ rang(A) (**) =⇒ SC ⊂ SB =⇒ dimK (SC ) ≤ dimK (SB ) =⇒ rang(C) ≤ rang(B) I, verificant-se aquestes dues condicions, podem concloure que rang(C) ≤m´ın{rang(A), rang(B)}.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/13 (nivell 3) Siguin les matrius A ∈ MK (m × n), B ∈ MK (n × m), amb n < m.
Demostreu que la matriu producte A · B no ´es inversible.
Sigui A · B = C ∈ MK (m × m). Sabem que < f iles de C >K ⊂< f iles de B >K < columnes de C >K ⊂< columnes d A >K de manera que rang(C) ≤ rang(B) i rang(C) ≤ rang(A), concloent que Algweb rang(C) ≤ m´ın{rang(A), rang(B)} Si ho apliquem al nostre cas (n < m), A · B = C ∈ MK (m × m) tenim que rang(A), rang(B) ≤ n < m i per tant, m´ın{rang(A), rang(B)} < m.
Aix´ı doncs, rang(C) < m, cosa que implica que C no ´es inversible.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/14 (nivell 3) Demostreu si ´ es certa, o doneu un contraexemple si ´ es falsa, la proposici´ o seg¨ uent: “∀m, n ∈ N∗ , ∀A ∈ MK (m × n), si les columnes de la matriu A s´ on linealment dependents, llavors les files d’A s´ on linealment dependents.” Aquesta afirmaci´ o ´es falsa, i ho podem comprovar en el seg¨ uent contraexemple amb m = 2 i n = 3: A= 1 0 0 1 1 1 Algweb De fet, seria certa si nom´es consideressim els casos m ≥ n.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/15 (nivell 3) Sigui n ∈ N∗ . Definim: T r : MK (n × n) −→ K A −→ T r(A) = n i=1 aii “Tra¸ca d’A” Algweb Comproveu: a) ∀A, B ∈ MK (n × n), T r(A + B) = T r(A) + T r(B) b) ∀A ∈ MK (n × n), ∀λ ∈ K, T r(λ · A) = λ · T r(A) c) ∀A, B ∈ MK (n × n), T r(A · B) = T r(B · A) d) ∀A ∈ MK (n × n), ∀P ∈ MK (n × n) inversible, T r(P −1 · A · P ) = T r(A) e) /∃A, B ∈ MK (n × n) tals que A · B − B · A = In .
a) n T r(A + B) = n (aii + bii ) = i=1 n aii + i=1 bii = T r(A) + T r(B) i=1 b) n n T r(λA) = (λaii ) = λ i=1 aii = λT r(A) i=1 c) n n i=1 k=1 T r(A · B) = n aik bki = n aik bki = i,k=1 n n k=1 i=1 bki aik = i,k=1 bki aik = T r(B · A) d) Tenint en compte el resultat de l’apartat anterior, T r(P −1 · A · P ) = T r((P −1 · A) · P ) = T r(P · (P −1 · A)) = T r(P · P −1 · A) = T r(A) e) Suposem que existeixen. Llavors, T r(A · B − B · A) = T r(In ) = n =⇒ =⇒ T r(A · B) − T r(B · A) = n T r(A · B) − T r(A · B) = 0 = n i aix`o ´es una contradicci´ o, ja que estem suposant n > 0.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/16 (nivell 3) a) Demostreu que (A · B)T = B T · AT .
´ a dir: b) Generalitzeu el resultat anterior ∀m ∈ N, m ≥ 2. Es (A1 · A2 · · · Am )T = ATm · · · AT2 · AT1 c) Comproveu que ∀A ∈ MK (m × n), A · AT i AT · A s´ on matrius sim`etriques.
De quin ordre? a) Considerant el cas m´es general possible, A ∈ MK (m × n) i B ∈ MK (n × p), amb A · B MK (m × p) i B T · AT N=ot E ∈ MK (p × m), introdu¨ım les seg¨ uents notacions: T = ˆ C C ∈ MK (p × m) =⇒ cˆij = cji ∀i = 1, ..., p, ∀j = 1, ..., m N ot ˆ ∈ MK (p × n) =⇒ ˆbij = bji ∀i = 1, ..., p, ∀j = 1, ..., n B ˆ ∈ MK (n × m) =⇒ a = A ˆij = aji ∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., m N ot = N ot Algweb BT AT Fixem-nos que n n n ˆbik a ˆkj = eij = k=1 bki ajk = k=1 ajk bki = cji = cˆij ∀i = 1, ..., p, ∀j = 1, ..., m k=1 E = Cˆ =⇒ =⇒ B T · AT = (A · B)T b) Ho demostrarem per inducci´ o: b.1.) m = 2. Segons l’apartat anterior, (A1 · A2 )T = AT2 · AT1 b.2.) ho suposem cert per a m.
b.3.) m + 1: (A1 · A2 · · · Am · Am+1 )T = N ot (A · Am+1 )T = ATm+1 · (A )T = ATm+1 · (A1 · · · Am )T = = ATm+1 · ATm · · · AT1 c) Considerem la notaci´ o A · AT = N ot B. Llavors, B T = (A · AT )T = (AT )T · AT = A · AT = B per tant, B ´es sim`etrica, i d’ordre m (ja que B ∈ MK (m × m)).
Considerem la notaci´ o AT · A = N ot C. Llavors, C T = (AT · A)T = AT · (AT )T = AT · A = C per tant, C ´es sim`etrica, i d’ordre n (ja que C ∈ MK (n × n)).
= N ot =C ∈ Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/17 (nivell 3) Donades:  2 A = 4 6 5 −1 4  i D = 0 0  7 2 9 1−i −1 0  1 B = 3 0  2+i 3 − i −i −1 2 1  2 4 2  E= 3 9 C= 5 6 −2 + i 3 1−i  2 −8 −8 −5  2 2 5 10   5 8 4 7  i 3i 4 1 0  3 + 2i Algweb Useu operacions de fila per determinar quines matrius s´ on inversibles i, en cas afirmatiu, calculeu pel mateix procediment les matrius inverses.
A:       2 5 7 2 5 7 2 5 7  4 −1 2  −2[1] ∼>  0 −11 −12  ∼>  0 −11 −12  6 4 9 −3[1] 0 −11 −12 −[2] 0 0 0 per tant, rang(A) = 2 i A no ´es inversible.
B:     1 1 −1 2 +[3] 1 −1 2 3 5 −2  −5[3] ∼>  0 2 4  −3[1] ∼>  0 0 0 1 2 0 1 2  per tant,  1 0 0   1 0 4 > 0 0 −12  · −1 12 ∼ 0 1 2   0 4 −4[2] 1 0 1 ∼> 0 1 2 −2[2] 0  0 0 0 1 1 0 rang(B) = 3 i B ´es inversible. Apliquem les mateixes operacions a I3 per trobar la inversa:        1 0 1 1 0 0 +[3] 0 0 1 0 1 −4[2] 5  ∼>  41 −1 1 0  −3[1] ∼>  −3 1 0  −5[3] ∼>  −3 1 −5  · −1 ∼> 12 12 12 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 −2[2]     0 1/3 −2/3 0 4 −8 1 ∼> 1/4 −1/12 5/12  ∼>  −6 2 2  = B −1 12 −1/2 1/6 1/6 3 −1 5 C: 3 2  9 −8  5 −8 6 −5      1 2/3 3 2 2 2 · 31 2 2 −1 5 10  −3[1]  0 −14 −1 4  · 14 0 1  ∼>  5 −8 ∼>  5 −8 5 8  5 8 −1 0 1 0 −9 0 3 · 9 4 7 −2[1]  −2  1 1 2/3 2/3 2/3 3 [2] 0 1 1/14 −2/7 0    ∼>   34 ∼>  0 −34/3 5/3 14/3 0 + 3 [2] 0 0 −1/14 −1/21 ·(−14) 0   0 13/21 6/7 1 1/14 −2/7   0 52/21 10/7 0 1 2/3 −13 21 [4] −1 14 [4] −52 21 [4]  2/3 2/3 1/14 −2/7   −5[1] ∼> 5 8 0 −1/3 −[2] 1 0  ∼>  0 0  0 1 0 0  0 4/9 0 −1/3  ∼>  0 −2/9 · −9 2 1 2/3 ∼> I3 1 0  ∼>  0 0  0 1 0 0  −4  0 4/9 1 9 [3] 0 −1/3  + 13 [3]  0 ∼>  0 1 0 −2 1 2/3 0 3 [3] 0 1 0 0 0 0 0 1  0 0  1 0 ∼> I4 per tant, rang(C) = 4 i C ´es inversible. Apliquem les mateixes operacions a I4 per trobar la inversa: 1 0  0 0 0 1 0 0  0 0 1 0   0 1 0 0  −3[1] −3 1  ∼>   0 0 0 1 −2[1] −2 0   0 0 · 13 1/3 0 −1 0 0  · 14  3/14 −1/14  ∼> 0 1 0 0 −1 0 1 · 9 2/9 0  0 0 0 0  ∼>  1 0 −5[1] 0 −1/9 −[2]   −13  −2 4/21 1/21 0 0 1/3 0 0 0 3 [2] 21 [4] −1 3/14 −1/14 0 0 3/14 −1/14 0 0   14 [4] ∼>  ∼>    −52  34 ∼>  + 3 [2] 16/21 −17/21 1 0 −5/3 0 1 0 21 [4] −1/9 −1 0 14/9 1/126 1/14 0 −1/9 ·(−14)     7/27 2/3 0 −26/27 7/27 2/3 0 −26/27 −4 9 [3] 1 2/9 0 0 −1/9 + [3] 2/9 0 0 −1/9     > ∼  −9 ∼>  3 ∼> 28/27 5/3 1 −104/27 · 2 −14/3 −15/2 −9/2 52/3 −2 −1/9 −1 0 14/9 −1/9 −1 0 14/9 3 [3]     7/3 4 2 −26/3 7/3 4 2 −26/3 −4/3 −5/2 −3/2 17/3 −4/3 −5/2 −3/2 17/3     −1 ∼>  ∼> =C −14/3 −15/2 −9/2 52/3 3 4 3 −10 3 4 3 −10 −14/3 −15/2 −9/2 52/3 Algweb  D:      1 1 −1 − i 1 − 2i +(1 + i)[2] i 1 − i 2 + i ·(−i)  0 −1 3 − i  ·(−1) ∼> 0 1 i−3  ∼> 0 0 0 0 1 0 0 −i ·i per tant, rang(D) = 3 i D ´es inversible.
   1 0 0 ·(−i) −i 0  0 1 0  ·(−1) ∼> 0 −1 0 0 1 ·i 0 0  0 −3 − 4i +(3 + 4i)[3] 1 i − 3  +(3 − i)[3] ∼> I3 0 1 Apliquem les mateixes operacions a I3 per trobar la inversa:    0 +(1 + i)[2] −i −1 − i 0 +(3 + 4i)[3] ∼> 0 0 −1 0  +(3 − i)[3] ∼> 0 0 i i   −i −1 − i 3i − 4 ∼>  0 −1 1 + 3i  = D−1 0 0 i E:       −2 + i i 1 −2 + i i 1 −(−2 + i)[2] 0 1 + 3i 1  3 ∼> 3i 0  ·1/3 ∼> 1 i 0  i 0  ∼>  1 1 1−i 4 3 + 2i +[1] −1 4 + i 4 + 2i +[2] 0 4 + 2i 4 + 2i · 4+2i     0 0 0 −3i ·(−1/3i) 0 1 + 3i 1 −(1 + 3i)[3] ∼> 1 ∼> 1 ∼>  1 0 −i  −i[3] i 0 0 0 1 1 0 1 1   0 0 1 ∼> I3 ∼> 1 0 0  0 1 0   0 1 0 −i  +i[1] ∼> 1 1 −[1] per tant, rang(E) = 3 i E ´es inversible. Apliquem les mateixes operacions a I3 per trobar la inversa:  1 0 0   1 0 0 1 0  ·1/3 ∼> 0 1 0 1 +[1]   1 0 0 −(−2 + i)[2] ∼> 0 1/3 0  +[2] 1 0 1  (2 − i)/3 0 ∼> 1/3 0 1 1/3 1 · 4+2i    (1 − i)/2 (1 − i)/2 (−1 − i)/2 −(1 + 3i)[3] ·(−1/3i) 1 (2 − i)/3 0  ∼>  ∼> (−2i − 1)/10 (9 − 2i)/30 (−2i − 1)/10  ∼> −i[3] 0 1/3 0 (2 − i)/10 (2 − i)/30 (2 − i)/10 (2 − i)/10 (2 − i)/30 (2 − i)/10     (1 + i)/6 (1 + i)/6 (1 − i)/6 (1 + i)/6 (1 + i)/6 (1 − i)/6 ∼> (−2i − 1)/10 (9 − 2i)/30 (−2i − 1)/10  +i[1] ∼> (−i − 8)/30 (4 + 3i)/30 ∼> (2 − i)/30  (2 − i)/10 (2 − i)/30 (2 − i)/10 −[1] (1 − 8i)/30 (−3 − 6i)/30 (1 + 2i)/30   −8 − i 4 + 3i 2−i 1  ∼> 1 − 8i −3 − 6i 1 + 2i  = E −1 30 5 + 5i 5 + 5i 5 − 5i Algweb  Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/18 (nivell 3) Sigui A ∈ MK (n × n).
Demostreu que A ser` a inversible si i nom´ es si existeixen p matrius elementals E, (on Ei ∈ MK (n×n) ∀i = 1, ..., p) tals que A = E1 ·E2 · · · Ep . Aquesta descomposici´ o´ es u ´ nica? Obtingueu E1 , E2 , ..., Ep per a la matriu  3 A = 2 3 −4 −3 −5  5 1 −1 Algweb =⇒) Si A ´es inversible, llavors existeixen p operacions elementals de fila e1 , ..., ep que porten A a la seva ´ a dir, tals que merf , que ´es In . Es ep (· · · e2 (e1 (A)) · · ·) = merf (A) = In ˆ1 , ..., E ˆp , de per teoria sabem que aix` o equival a multiplicar A per l’esquerra per p matrius elementals E manera que ˆp · · · E ˆ2 · E ˆ1 · A = In E tamb´e per teoria sabem que totes aquestes matrius elementals s´on inversibles, i que les seves inverses tamb´e s´on matrius elementals. D’aquesta manera, passant-les a la dreta de la igualtat, ˆ −1 · · · E ˆp−1 A=E 1 = N ot E1 · · · E p ⇐=) Totes les matrius elementals s´ on inversibles, i el producte de matrius inversibles ´es una matriu inversible. Llavors, A ´es inversible.
´ a Com que aquestes p operacions no s´ on necess`ariament u ´niques, les p matrius tampoc ho seran. Es dir, que la descomposici´ o no ´es u ´nica.
Veiem el seg¨ uent cas:     1 −1 4 3 −4 5 −[2]  2 −3 1 1 ∼>  2 −3 3 −5 −1 3 −5 −1  1 ∼>  0 0    1 −1 4 −[2] 1 0 11 ∼>  0 −1 −7  ·(−1) ∼> −2[1] ∼>  0 −1 −7  −3[1] 0 −2 −13 −2[2] 0 0 1  0 11 −11[3] 1 7  −7[3] ∼> I3 0 1 Definim ara les matrius elementals seguint efectuades:    1 0 1 −1 0 ˆ2 =  −2 1 ˆ1 =  0 1 0  E E 0 0 0 0 1  l’ordre exposat per a les 8 operacions elementals de fila  0 0 1  1 0 0 ˆ3 =  0 1 0  E −3 0 1   1 −1 ˆ4 =  0 1 E 0 0  0 0 1  1 0 ˆ5 =  0 1 E 0 −2  0 0 1  1 0 ˆ6 =  0 −1 E 0 0  0 0 1  1 ˆ7 =  0 E 0  0 −11 1 0  0 1  1 ˆ8 =  0 E 0  0 0 1 −7  0 1 Calculant les inverses de totes aquestes matrius obtenim les matrius buscades:  1 E1 =  0 0  1 E5 =  0 0  1 0 1 0 0 1  0 0 1 0 2 1  1 E2 =  2 0   0 0 1 0 0 1 1 0 E6 =  0 −1 0 0  0 0 1  0 0 1 0 0 1   0 11 1 0  0 1 1 E3 =  0 3 1 E7 =  0 0 verificant-se que A = E1 · E2 · E3 · E4 · E5 · E6 · E7 · E8 .
Algweb   1 E4 =  0 0  1 E8 =  0 0  1 0 1 0 0 1  0 0 1 7 0 1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/19 (nivell 3) Esbrineu per a quins valors dels par` ametres reals a, b i c, la matriu seg¨ uent ´ es inversible, i calculeu la seva inversa  1 −a b  a 1 −c  −b c 1   0 0 1 0  −a[1] 0 1 +b[1]  Algweb 1 −a b 1  a 1 −c 0 −b c 1 0  1 −a 0 1 0 c − ab ∼> 1 0 0 1  ∼> 0 0 b−ac 1+a2 −c−ab 1+a2  ∼> 1 0 0 1 0 0 1  ∼> 1 0 0  1 −a  0 1 + a2 0 c − ab ∼> ∼> 0  0 +a[2] 0 1 +(ab − c)[2] a 1+a2 1 1+a2 ab−c 1+a2  0 0 1+a2 1 · 1+a2 +b2 +c2 ∼> b 1 0 −c−ab 1+a2 2 −a 1+a2 1 1+a2 b b−ac 1+a2 −c−ab 1+a2 1+a2 +b2 +c2 1+a2 1 1+a2 −a 1+a2 b+ac 1+a2 1+b 1 1+a2 −a 1+a2 b+ac 1+a2 +b2 +c2 0 0 1 0 0 1 1+c2 1+a2 +b2 +c2 bc−a 1+a2 +b2 +c2 b+ac 1+a2 +b2 +c2  b 1 0 0 1 −c − ab −a 1 0  · 1+a 2 2 b 0 1 1+b a 1+a2 1 1+a2 ab−c 1+a2 +b2 +c2 bc+a 1+a2 +b2 +c2 1+b2 1+a2 +b2 +c2 ab−c 1+a2 +b2 +c2 0 0 ac−b + 1+a 2 [3]  + ab+c2 [3] 1+a  1+a2 1+a2 +b2 +c2 ac−b 1+a2 +b2 +c2 ab+c 1+a2 +b2 +c2 1+a2 1+a2 +b2 +c2    De manera que la matriu ´es inversible i la seva inversa ´es  1 + c2 bc + a ac − b 1  bc − a 1 + b2 ab + c  1 + a2 + b2 + c2 ac + b ab − c 1 + a2  ∀a, b, c ∈ R ∼> ∼> Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/20 (nivell 3) Donades les matrius:   1 1 2 C =  −2 0 −1  1 3 5   4 2 5 B = 5 a 4 b 4 9 Justifiqueu per a quins valors d’a i b podem passar d’una matriu a l’altra aplicant operacions elementals de fila.
Per tal que es pugui passar d’una matriu a l’altra aplicant operacions elementals de fila, caldr`a veure ´ a dir, que que els subespais generats per les files d’ambdues matrius respectivament, coincideixen. Es < f iles de B >K =< f iles de C >K Algweb A m´es, sabem que < f iles de B >K =< f iles de merf (B) >K ; < f iles de C >K =< f iles de merf (C) >K i com que, donada una certa matriu, la seva merf ´es u ´nica, ens caldr` a imposar que merf (B) = merf (C).
Busquem primer la merf (C):      1 1 2 1 1 2 1 1 2  −2 0 −1  +2[1] ∼>  0 2 3  ∼>  0 2 3  · 21 1 3 5 −[1] 0 2 3 −[2] 0 0 0  Busquem  4 5 b ara la merf (B):   −1 2 5 −[2]  5 a 4 > ∼ b 4 9   2−a 1 −1 a 4  +5[1] ∼>  0 4 9 +b[1] 0  1 1 ∼>  0 1 0 0 2  3 2  −[2] 0  1 0 ∼>  0 1 0 0 1 2 3 2   0  2−a 1 ·(−1) 1 10 − 4a 9  · 10−4a (∗) ∼> 4 + 2b − ab 9 + b (*): Considerarem que a = 5/2. En el cas que a = 5/2, ens quedaria una fila del tipus [0 0 9] que mai podrem fer-la coincidir amb cap de les de merf (C).
    8−5a 1 0 1 a−2 −1 −(a − 2)[2] 10−4a 9 9   1 ∼>  0 ∼>  0 1 10−4a 10−4a 54−36a−8b+5ab 0 4 + 2b − ab 9 + b −(4 + 2b − ab)[2] 0 0 10−4a Per tal que les dues merf siguin iguals, caldr`a imposar les seg¨ uents condicions: 8 − 5a 1 = 10 − 4a 2 3 9 = 10 − 4a 2 54 − 36a − 8b + 5ab =0 10 − 4a cosa que nom´es verifiquen els valors a = 1 i b = 6.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/21 (nivell 3) Siguin les matrius M, N, A ∈ MK (n × n) amb les notacions: M (i) : fila i de la matriu M N(j) : columna j de la matriu N Demostreu que: n a) M · N = i=1 M(i) N (i) n i=1 b) M · A · N = n j=1 aij M(i) N (j) Algweb a) Si considerem M · N N=ot B i M = (mij ), N = (nij ) sabem que bij = n Amb la notaci´ o k=1 M(k) N (k) N=ot C = (cij ), desenvolupem cij ∀i, j = 1, ..., n:  n M(k) N (k) cij = k=1  m1k .
 ..  [ nk1 = k=1 ij m1k nk1 ..
 .
= k=1 mnk nk1 ij mik nkj , ∀i, j = 1, ..., n.
 m1k .
 ..  [ nk1   n · · · nkn ] = mnk  n   n n k=1 k=1 · · · nkn ] = mnk ij  · · · m1k nkn n ..
..
  = mik nkj = bij .
.
k=1 · · · mnk nkn ij Per tant, B = C.
n n b) Si considerem M · A · N = M · (A · N ) N=ot B sabem que bij = k=1 mik r=1 akr nrj , ∀i, j = 1, ..., n.
n n Amb la notaci´ o k=1 r=1 akr M(k) N (r) N=ot C = (cij ), desenvolupem cij ∀i, j = 1, ..., n: n cij = akr M(k) N (r) k=1 r=1 ij  m1k akr  ...  [ nk1 = k=1 r=1 mnk n n  n n   Per tant, B = C.
 m1k .
akr  ..  [ nr1 = r=1 k=1 mnk  n  n n n · · · nkn ] = ij n = k=1 r=1 n akr mik nrj = k=1 r=1 akr m1k nr1 ..
 .
 akr mnk nr1 n mik k=1 akr nrj = bij r=1  · · · nrn ] = ij  · · · akr m1k nrn ..
..
 = .
.
· · · akr mnk nrn ij Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/22 (nivell 3) Donada la matriu:  cosh x sinh x 0 0 0 0   sinh x cosh x A=  0 0 sinh x cosh x 0 0 cosh x sinh x  Trobeu An , ∀n ∈ N. Comproveu que A ´es inversible. Trobeu A−1 . Trobeu A−n .
Algweb Comen¸carem per trobar An . Per fer-ho ens caldr`a primer veure un Lema que demostrarem en detall: Lema: Siguin B, C ∈ MK (m × m) tals que:     B=   B1 B2            C=    C1 C2       matrius diagonals en blocs on B1 , C1 ∈ MK (r × r) i B2 , C2 ∈ MK (s × s) amb r + s = m.
En aquestes condicions podem afirmar que     B·C =    B1 · C1 B2 · C2       matriu diagonal en blocs Demostraci´ o: Considerarem B · C N=ot D de manera que m dij = r bik ckj = k=1 m bik ckj + k=1 bik ckj k=r+1 En aquesta situaci´ o se’ns poden presentar 4 casos: ∀i, j = 1, ..., m r m r k=1 bik ckj + k=r+1 bik ckj = k=1 bik ckj = (B1 · C1 )ij r m =⇒ dij = k=1 bik ckj + k=r+1 bik ckj = 0 + 0 = 0 r m =⇒ dij = k=1 bik ckj + k=r+1 bik ckj = 0 + 0 = 0 r m n m =⇒ dij = k=1 bik ckj + k=r+1 bik ckj = k=r+1 bik ckj = (B2 · C2 )ij cas 1) 1 ≤ i ≤ r ∧ 1 ≤ j ≤ r =⇒ dij = cas 2) r + 1 ≤ i ≤ m ∧ 1 ≤ j ≤ r cas 3) 1 ≤ i ≤ r ∧ r + 1 ≤ j ≤ m cas 4) r + 1 ≤ i ≤ m ∧ r + 1 ≤ j ≤ amb la qual cosa queda demostrat el Lema.
Immediat, a partir d’aquest lema, tenim el seg¨ uent Corol·lari: Corol·lari: Sigui A ∈ MK (m × m) tal que     A=    A1 A2       Algweb En aquestes condicions podem garantir que An , ∀n ∈N∗ ´es     A =    An1 n An2       Aplicant el corol·lari al nostre cas, A1 = cosh x sinh x sinh x cosh x A2 = sinh x cosh x cosh x sinh x i llavors, per calcular An ens cal nom´es calcular An1 i An2 .
Recordem primer les f´ ormules ex + e−x 2 ex − e−x sinh x = 2 cosh(a + b)x = cosh ax cosh bx + sinh ax sinh bx sinh(a + b)x = sinh ax cosh bx + sinh bx cosh ax cosh x = 1 = cosh2 x − sinh2 x Comen¸carem per An1 . Fixem-nos que A21 = cosh x sinh x sinh x cosh x cosh x sinh x cosh 2x sinh 2x = sinh x cosh x sinh 2x cosh 2x an`alogament, cosh 3x sinh 3x sinh 3x cosh 3x A31 = i extrapolant, sembla l` ogic suposar que cosh nx sinh nx sinh nx cosh nx An1 = Demostrem-ho per inducci´ o ∀n ∈N, n ≥ 2: 1) ´es cert per a n = 2 (ho acabem de veure) 2) suposem-ho cert per a n 3) ´es cert per a n + 1: cosh nx sinh nx cosh x sinh x cosh(n + 1)x sinh(n + 1)x · = sinh nx cosh nx sinh x cosh x sinh(n + 1)x cosh(n + 1)x An+1 = An1 · A1 = 1 Veiem ara com queda An2 . Fixem-nos que Algweb A22 = sinh x cosh x cosh x sinh x sinh x cosh x cosh 2x sinh 2x = cosh x sinh x sinh 2x cosh 2x an`alogament, A32 = sinh 3x cosh 3x cosh 3x sinh 3x i extrapolant, sembla l` ogic suposar que An2 = cosh nx sinh nx sinh nx cosh nx si n ´es parell i An2 = sinh nx cosh nx cosh nx sinh nx si n ´es imparell Demostrem el cas parell per inducci´ o ∀n ∈N, n ≥ 2: 1) ´es cert per a n = 2 (ho acabem de veure) 2) suposem-ho cert per a n 3) ´es cert per a n + 2: An+2 = An2 · A22 = 2 cosh nx sinh nx cosh 2x sinh 2x cosh(n + 2)x sinh(n + 2)x · = sinh nx cosh nx sinh 2x cosh 2x sinh(n + 2)x cosh(n + 2)x Demostrem el cas imparell per inducci´o ∀n ∈N, n ≥ 3: 1) ´es cert per a n = 3 (ho acabem de veure) 2) suposem-ho cert per a n 3) ´es cert per a n + 2: An+2 = An2 · A22 = 2 sinh nx cosh nx cosh 2x sinh 2x sinh(n + 2)x cosh(n + 2)x · = cosh nx sinh nx sinh 2x cosh 2x cosh(n + 2)x sinh(n + 2)x I aix´ı, unint els dos casos ja tenim An :  cosh nx sinh nx 0 0 0 0  sinh nx cosh nx  An =   0 0 cosh nx sinh nx 0 0 sinh nx cosh nx  si n ´es parell i  cosh nx sinh nx 0 0 0 0  sinh nx cosh nx  An =   0 0 sinh nx cosh nx 0 0 cosh nx sinh nx  si n ´es imparell Comprovem ara que A ´es inversible i trobem directament A−1 per operacions elementals de fila: cosh x sinh x 0 0 0 0  sinh x cosh x  0 0 sinh x cosh x 0 0 cosh x sinh x  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  0 · cosh x 0  0 · cosh x 1 ∼>  cosh2 x sinh x cosh x 0 0 cosh x 0 0 0 − sinh x[2] cosh x 0 0 0 1 0 0  sinh x ∼>  ∼>  0 0 sinh x cosh x cosh2 x 0 0 cosh x 0 − sinh x[4] 0 0 cosh x sinh x 0 0 0 1   1 0 0 0 cosh x − sinh x 0 0 0 0 0 1 0 0  sinh x cosh x  − sinh x[1] ∼>   ∼> 0 0 0 1 0 0 cosh x − sinh x 0 0 cosh x sinh x 0 0 0 1 − sinh x[3]   cosh x − sinh x 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 − sinh x cosh x 1 + sinh2 x  · cosh  0 cosh x x  ∼>  0 0 0 cosh x − sinh x 0 0 1 ∼> 2 1 0 0 − sinh x cosh x 1 + sinh x · cosh x 0 0 cosh x 0   1 0 0 0 cosh x − sinh x 0 0 0 0  0 1 0 0 − sinh x cosh x  ∼>  ∼>  0 0 0 1 0 0 cosh x − sinh x 0 0 1 0 0 0 − sinh x cosh x   1 0 0 0 cosh x − sinh x 0 0 0 0  0 1 0 0 − sinh x cosh x    ∼> 0 0 1 0 0 0 − sinh x cosh x 0 0 0 1 0 0 cosh x − sinh x Algweb  i per tant,  cosh x − sinh x 0 0 0 0  − sinh x cosh x  =  0 0 − sinh x cosh x 0 0 cosh x − sinh x  A−1 Per calcular A−n fixem-nos que A−n = (A−1 )n = A−1 · A−1 · · · A−1 = (A · A · · · A)−1 = (An )−1 . Aix´ı, el que farem ser` a buscar la matriu inversa d’An .
Novament, usarem el seg¨ uent Lema, que demostrem a continuaci´o: Lema: Sigui A ∈ MK (m × m) tal que:     A=    A1       A2 matriu diagonal en blocs on A1 ∈ MK (r × r) i A2 ∈ MK (s × s) amb r + s = m i A inversible.
En aquestes condicions podem afirmar que  Algweb A−1    =    A−1 1       A−1 2 matriu diagonal en blocs Demostraci´ o: Per demostrar el Lema, nom´es caldr` a verificar que la matriu proposada ´es, efectivament, la inversa d’A (ja que, si existeix, la matriu inversa ´es u ´nica). Aplicant el Lema que hem vist al principi de l’exercici,  A · A−1    =    A1 · A−1 1 A2 · A−1 2     = Im   Aplicant el Lema al nostre cas, considerem     n A =    An1 An2       i calculem (An1 )−1 i (An2 )−1 per als casos parell i imparell.
Servint-nos de les operacions elementals de fila realitzades abans, veiem c`omodament que, per al cas parell, An1 = An2 = cosh nx sinh nx sinh nx cosh nx =⇒ (An1 )−1 = (An2 )−1 = cosh nx − sinh nx − sinh nx cosh nx i per al cas imparell, An1 = cosh nx sinh nx sinh nx cosh nx =⇒ (An1 )−1 = cosh nx − sinh nx − sinh nx cosh nx An2 = sinh nx cosh nx cosh nx sinh nx =⇒ (An2 )−1 = − sinh nx cosh nx cosh nx − sinh nx i aix´ı, finalment,  cosh nx − sinh nx 0 0 0 0  − sinh nx cosh nx  =  0 0 cosh nx − sinh nx 0 0 − sinh nx cosh nx  A−n i  cosh nx − sinh nx 0 0 0 0  − sinh nx cosh nx  =  0 0 − sinh nx cosh nx 0 0 cosh nx − sinh nx si n ´es parell  Algweb A−n si n ´es imparell Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 3/23 (nivell 3) a) Sigui A ∈ MK (n × n), triangular superior, tal que aii = 0 ∀i = 1, ..., n.
Comproveu per inducci´o que An = [0]n b) Sigui B ∈ MK (n × n), triangular superior, tal que bii = 1 ∀i = 1, ..., n. Sigui N = B − In .
Comproveu que B ´es inversible i que la seva inversa ´es: n−1 B −1 = (−N )j j=0 c) Sigui N ∈ MK (n × n), tal que N r+1 = 0 per a un cert natural r.
Algweb Comproveu que In − N ´es inversible i que la seva inversa ´es: r (In − N )−1 = Nj j=0 d) Sigui A ∈ MK (n × n), direm que A ´es nilpotent si existeix un natural r ≥ 1, tal que Ar = [0]n .
Siguin A i B nilpotents, A, B ∈ MK (n × n), tals que A · B = B · A.
Comproveu que A · B i A + B s´ on nilpotents.
a) a.1) Comencem verificant que ´es cert per n = 2: A= 0 a12 0 0 A2 = 0 0 0 0 a.2) Ho suposarem cert quan la matriu ´es quadrada d’ordre n i demostrarem que tamb´e es verifica quan la matriu ´es d’ordre n + 1. Per fer-ho considerarem la matriu A ∈ MK ((n + 1) × (n + 1)) expressada en quatre blocs  0 a12 0 0  0 0  A=.
..
 ..
.
 0 0 0 0 a13 a23 0 0 0 ··· ··· ..
··· ··· .
··· 0 ···   a1(n+1) a2(n+1)     a3(n+1)    = ..
  .
   an(n+1)  0 0 Aˆ 0 0 ··· ··· a1(n+1) a2(n+1) a3(n+1) ..
.
an(n+1) 0 on Aˆ ∈ MK (n × n), ˜0 = [0]1×n i b ∈ MK (n × 1)         = N ot Aˆ b ˜0 0 Podrem expressar les pot`encies de la matriu A en funci´o dels seus blocs, ja que: A2 = Aˆ2 ˜0 Aˆ · b 0 Aplicant el m`etode inductiu, per m ≥ 2: Am = Aˆm ˜ 0 Aˆm−1 · b 0 =⇒ Am+1 = Aˆ b ˜0 0 Aˆm ˜0 · Aˆm−1 · b 0 Aˆm+1 ˜0 = Aˆm · b 0 Finalment prenent m = n i utilitzant la hip` otesi d’inducci´o segons la que Aˆn = [0]n = Aˆn+1 An+1 = Aˆn+1 ˜0 Aˆn · b 0 = [0]n+1 b) Observem que la matriu N = B − In ´es del tipus de la matriu A de l’apartat anterior, per tant sabem que N n = [0]n . Per comprovar que B ´es inversible i que la seva inversa ´es la que ens donen nom´es caldr`a verificar que el seu producte ´es igual a la matriu identitat: n−1 (−N )j = (In + N ) · (In − N + N 2 − N 3 + N 4 + · · · + (−1)n−1 N n−1 ) = B· j=0 = In + N − N − N 2 + N 2 + N 3 − N 3 − N 4 + · · · + (−1)n−1 N n−1 + (−1)n−1 N n = n−1 (−N )j · B = In + (−1)n−1 N n = In + [0]n = In = j=0 Per tant n−1 B −1 −1 = (In + N ) (−N )j = j=0 c) Aqu´ı tenim un resultat que ´es una generalitzaci´o de l’apartat anterior. A l’apartat b) consider`avem una matriu tal que N n = (−N )n = [0]n , ara en tenim una tal que N r+1 = [0]n per a un cert natural r.
El m`etode de demostraci´ o ser` a el mateix, farem el producte i comprovarem que coincideix amb la matriu identitat: (In − N ) · (In + N + N 2 + N 3 + · · · + N r ) = In − N + N − N 2 + N 2 − N 3 + · · · + N r − N r+1 = = In − N r+1 = In − [0]n = In = (In + N + N 2 + N 3 + · · · + N r ) · (In − N ) d) Sabem que existeixen naturals no nuls r, s tals que Ar = B s = [0]n . Siguin C = A · B i D = A + B. Considerem les seves pot`encies tenint en compte que ens trobem en un cas particular on les matrius commuten. Per exemple C 3 = A · B · A · B · A · B = A · A · A · B · B · B = A3 · B 3 2 D = (A + B) · (A + B) = A · A + A · B + B · A + B · B = A2 + 2A · B + B 2 Les pot`encies de C s´ on el producte de pot`encies d’A o de B, i podem utilitzar la f`ormula del binomi de Newton per les pot`encies de D: m ∀m ∈ N∗ , C m = (A · B)m = Am · B m , Dm = (A + B)m = j=0 p q m j Aj · B m−j Es tracta de justificar que existeixen dos naturals p, q tals que C = D = [0]n .
Si trobem un p tal que Ap = [0]n o B p = [0]n ja ens serveix, i aix`o ho aconseguim per exemple agafant com a p el m´ınim de {r, s}.
En el cas de la suma cercarem un natural q que ens permeti afirmar que s´on zero totes les matrius Aj · B q−j , per j = 0, 1, . . . , q, que ser` a cert quan j ≥ r ∨ (q − j) ≥ s cosa que aconseguim prenent q ≥ r + s.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/01 (nivell 3) En R estudieu la compatibilitat i resoleu, quan aix` o sigui possible, els seg¨ uents sistemes: a) x − 2y + z = −2 2x + y − 3z = 5 x − 5y + 2z = 3 b) 2x − 5y + 3z = −12 3x + 2y − 5z = 1 7x − 4y + 2z = 0 Algweb d) f) e) x + 2y + z + t = 3 x + 4y + 5z + 2t = 2 2x + 9y + 8z + 3t = 7 3x + 7y + 7z + 2t = 12 5x + 7y + 9z + 2t = 20 h) x−y+z =1 2x + y − 3z = 3 x − 4y + 6z = 0 c) x + 4y + 8z = 0 −2x + 5y + z = 2 3x + 7y + z = 2 5x − 12y − 3z + 3t + 2u = 0 x + y + z − 2t + 2u = 0 2x − 5y − z + t + u = 0 g) x + y + z + t + u = 15 x + 2y + 3z + 4t + 5u = 35 x + 3y + 6z + 10t + 15u = 70 x + 4y + 10z + 20t + 35u = 126 x + 5y + 15z + 35t + 70u = 210 x+y+z+t=0 x − y + z − t = 12 x − y − z + t = −6 x + y − z + t = −8 Per resoldre tots els casos muntarem primer la matriu ampliada associada al sistema i aplicarem operacions elementals de fila per arribar a la merf corresponent.
a)       1 −2 1 −2 1 −2 1 −2 1 −2 1 −2 +2[2]  2 1 −3 5  −2[1] ∼>  0 5 −5 9  ·1/5 ∼> 0 1 −1 9/5  ∼> 1 −5 2 3 0 −3 1 5 +3[2] −[1] 0 −3 1 5  1 0 0     1 0 −1 8/5 1 0 −1 8/5 +[3] ∼>  0 1 −1 1 −1 9/5  9/5  +[3] ∼> 0 0 0 −2 52/5 ·(−1/2) 0 0 1 −26/5  0 0 −18/5 1 0 −17/5  0 1 −26/5 amb la qual cosa rg(A) = rg(A|b) = 3. Per tant, el sistema ´es compatible determinat i la soluci´ o ´es x = −18/5, y = −17/5, z = −26/5.
b)     1 −1 1 1 1 −1 1 1  2 1 −3 3  −2[1] ∼>  0 3 −5 1  1 −4 6 0 −[1] 0 −3 5 −1    1 −1 1 1 +[2] 1 ∼>  0 1 −5/3 1/3  ∼> 0 0 0 0 0 0   1 −1 1 1 ∼>  0 3 −5 1  ·1/3 ∼> +[2] 0 0 0 0  0 −2/3 4/3 1 −5/3 1/3  0 0 0 amb la qual cosa rg(A) = rg(A|b) = 2. Per tant, el sistema ´es compatible indeterminat i la soluci´o ´es x = 2z/3 + 4/3, y = 5z/3 + 1/3, ∀z ∈R.
c)  1  −2 3    0 36/13 −8/13 1 1 17/13 2/13  ∼> 0 0 −214/13 36/13 ·(−13/214) 0 Algweb 1 ∼>  0 0     1 4 1 4 8 0 4 8 0 17 2  ·1/13 ∼> 0 1 5 1 2  +2[1] ∼>  0 13 0 −5 0 −5 −23 2 7 1 2 −3[1]  −4[2] 8 0 17/13 2/13  ∼> +5[2] −23 2   1 0 36/13 −8/13 −36/13[3] 1 17/13 2/13  −17/13[3] ∼> 0 0 0 1 −18/107  0 0 −16/107 1 0 40/107  0 1 −18/107 amb la qual cosa rg(A) = rg(A|b) = 3. Per tant, el sistema ´es compatible determinat i la soluci´o ´es x = −16/107, y = 40/107, z = −18/107.
d)   1 −5/2 2 −5 3 −12 ·1/2  3 2 −5 2 1  ∼> 3 7 −4 7 −4 2 0      1 −5/2 3/2 −6 3/2 −6 −5 1  −3[1] ∼> 0 19/2 −19/2 19  ·2/19 ∼> 0 27/2 −17/2 42 −7[1] 2 0     1 −5/2 3/2 −6 +5/2[2] 1 0 −1 −1 1  ∼> 0 1 −1 2  > ∼>  0 1 −1 2  ∼ 0 0 27/2 −17/2 42 −27/2[2] 0 0 5 15 ·1/5 0   1 0 0 2 ∼>  0 1 0 5  0 0 1 3  0 −1 −1 +[3] 1 −1 2  +[3] ∼> 0 1 3 amb la qual cosa rg(A) = rg(A|b) = 3. Per tant, el sistema ´es compatible determinat i la soluci´ o ´es x = 2, y = 5, z = 3.
e)  5 −12 −3 3 1 1 1 −2 2 −5 −1 1  1 1 ∼> 0 1 0 −7   2 0 −5[2] 0 −17  > 2 0 1 ∼ 1 1 0 −2[2] 0 −7 1 8/17 −3    −8 13 −8 0 1 1 1 −2 2 0 1 −2 2 0  ∼> 0 −17 −8 13 −8 0  ·(−1/17) ∼> −3 5 −3 0 0 −7 −3 5 −3 0    1 0 9/17 −21/17 26/17 0 −2 2 0 −[2] −13/17 8/17 0  ∼> 0 1 8/17 −13/17 8/17 0  ∼> 0 0 5/17 −6/17 5/17 0 ·17/5 5 −3 0 +7[2]    1 0 0 −3/5 1 0 1 0 9/17 −21/17 26/17 0 −9/17[3] ∼> 0 1 8/17 −13/17 8/17 0  −8/17[3] ∼> 0 1 0 −1/5 0 0  0 0 1 −6/5 1 0 0 0 1 −6/5 1 0  amb la qual cosa rg(A) = rg(A|b) = 3. Per tant, el sistema ´es compatible indeterminat i la soluci´o ´es x = 3t/5 − u, y = t/5, z = 6t/5 − u, ∀t, u ∈R.
f) 1 1  2  3 5  1 0  ∼> 0  0 0 1 5 8 7 9  1 3 2 2   3 7   2 12 2 20 1 2 −[1] 0 2  −2[1] ∼>  0 5  −3[1] 0 1 −5[1] 0 −3    0 −7 3 −3 1 1 4 −1 3  0   0 −14 6 −14  ·1/2 ∼> 0   0 −4 3 −7 0 0 16 −6 14 ·1/2 0 Algweb  2 4 9 7 7 1 0  ∼>  0  0 0  0 1 0 0 0   3 1 2 1 1 4 1 −1   0 1   1  ∼> 0 5 6 1   0 2 4 −1 3 0 −3 4 −3 5   0 −7 3 −3 1 1 4 −1 3  0   0 −7 3 −7  +[5] ∼>  0   0 −4 3 −7 0 0 8 −3 7 0   1 0 0 3 −3 −[4] 0 −1 3  0 1   0  1 0 ∼> 0 0   0 0 0 3 −7 0 0 +[4] 0 −3 7   1 4 0 0 0 −1 3  0   0  1 0 ∼> 0   0 0 3 −7 ·1/3 0 0 0 0 1 0  ∼> 0  0 0  0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0  3 1 1 4 −1 3   1  6 1  4 1 −1 4 −3 5 −2[2] −5[2] ∼> −2[2] +3[2]  0 −7 3 −3 1 4 −1 3   0 1 0 0   0 −4 3 −7 0 8 −3 7 +7[3] −4[3] ∼> +4[3] −8[3]  4 0 0 3  +[4] 0 −1  0  1 0 ∼>  0 1 −7/3 0 0 0  0 4 0 2/3   0 0   1 −7/3 0 0 amb la qual cosa rg(A) = rg(A|b) = 4. Per tant, el sistema ´es compatible determinat i la soluci´ o ´es x = 4, y = 2/3, z = 0, t = −7/3.
g) 1 1  1  1 1  1 1 2 3 3 6 4 10 5 15  1 1 15 4 5 35   10 15 70   20 35 126 35 70 210 1 0  ∼> 0  0 0  −[1] −[1] −[1] −[1] 1 1 1 1 2 3 2 5 9 3 9 19 4 14 34   1 −[4] 10 1 0 0 1 3  0 1 0 −3 −8 −10  +3[4]  0   ∼> 15  −3[4] ∼>  0 6 0 0 1 3    0 6 0 0 0 1 4 0 −4[4] 0 0 0 4 17 25  0 1 0 0 0  1 15 4 20   14 55   34 111 69 195 0 0 1 0 0 −[2]  1 0 −1 −2 −3 −5 3 4 20  0 1 2   −2[2] ∼> 0 0 1 3 6 15    −3[2] 0 0 3 10 22 51 −4[2] 0 0 6 22 53 115    +[5] 1 0 −1 4 8  −4[5]  0 0 4   0 −6 −3  +6[5] ∼>  0   6 −4[5] 0 1 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 +[3] −2[3] ∼> −3[3] −6[3]  5 4  3  2 1 amb la qual cosa rg(A) = rg(A|b) = 5. Per tant, el sistema ´es compatible determinat i la soluci´ o ´es x = 5, y = 4, z = 3, t = 2, u = 1.
h)     1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1  1 −1 1 −1 12  −[1] >  0 −2 0 −2 12  ·(−1/2) >  0 ∼ ∼    1 −1 −1 1 −6 −[1] 0 −2 −2 0 −6 ·(−1/2) 0 1 1 −1 1 −8 −[1] 0 0 −2 0 −8 ·(−1/2) 0  1  > ∼ 0 0 0  0 1 0 0   6 −[4] 1 0 1 0 0 1 −6   > ∼ 0 1  1 −1 9 0 0 4 1 0 0 0  1  ∼> 0 0 0   2 1 0 0 0 0 1 −6   ∼>   0 1 −1 9 4 −[3] 0 1 0  0 0 0 2 1 0 0 −1   0 1 0 4 0 0 1 −5 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1  1 0 −[2] 1 −6  ∼>  0 3 −[2] 0 4  2 0 0 0 1 −6  −[4] > ∼  +[4] 1 −1 9 0 1 −5 Algweb amb la qual cosa rg(A) = rg(A|b) = 4. Per tant, el sistema ´es compatible determinat i la soluci´ o ´es x = 2, y = −1, z = 4, t = −5.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/02 (nivell 3) Discutiu segons els valors de k els seg¨ uents sistemes: a) 2x − 3y − z x + 2y − 3z x − 2y − z kx − 2y + 2z b) x − 3y + 5z = 2 2x − 4y + 2z = 1 5x − 11y + 9z = k =2 =4 =3 =1 Algweb Considerarem la matriu ampliada associada al sistema i aplicarem operacions elementals de fila per arribar a la merf corresponent.
a)    5 2 1 −3 2 1  −2[1] ∼> 0 2 9 k −5[1] 0 4 1 −3  2 −4 5 −11  1 −3 ∼>  0 1 0 0 5 −4 0 5 −8 −16   2 1 −3 −3  2 ∼>  0 k − 10 −2[2] 0 0   1 2 +3[2] ∼> 0 −3/2  0 k−4 0 −7 1 −4 0 0 5 −8 0  2 −3  ·(1/2) ∼> k−4  −5/2 −3/2  k−4 Si k = 4, rg(A) = 2 , rg(A|b) = 3 i el sistema ´ es incompatible.
Si k = 4 el sistema ´es compatible indeterminat i les solucions s´on: ∀z ∈ R, x = −(5/2) + 7z ; y = −(3/2) + 4z b) 2 1  1 k  1 0  ∼> 0 0  −3 2 −2 −2 −2 1 4 (−2 + 2k)  1 0 0 1  ∼> 0 0 0 0 −1 −3 −1 2   0 1 2 −2[3] 4 4  −[3] 0  ∼>  1 −2 3 0 (−2 + 2k) 1 −k[3]   −1 3 +2[2] 1 1 −4  0 ∼>   −2 1 −4[2] 0 (2 + k) 1 − 3k −(−2 + 2k)[2] 0   1 −5 −[3] 1 1 −4  −[3] 0  ∼> 0 1 −17/6 (4 − k) −7 + 5k −(4 − k)[3] 0  −4 → [2] 1 1  → [3] > −2 ∼  −1 3 → [1] (2 + k) 1 − 3k  0 1 −5 1 1 −4  ∼>  0 −6 17 ·(−1/6) 0 (4 − k) −7 + 5k  0 0 −13/6 1 0 −7/6   0 1 −17/6 0 0 (13/6)(k + 2) Si k = −2, rg(A) = 3, rg(A|b) = 4 i el sistema ´ es incompatible.
Si k = −2, rg(A) = rg(A|b) = 3 i el sistema ´ es compatible determinat amb la soluci´o u ´nica: x = −13/6 ; y = −7/6 ; z = −17/6 Resoluci´ o alternativa: Escribim matricialment el sistema: 2 1  1 k  −3 2 −2 −2     2 −1 x −3     4   y =  3 −1 z 1 2 En fer la discusi´ o d’un sistema amb par`ametres , en general el proc´es ser`a m´es f`acil quan m´es grans siguin els ´ındexs de fila i columna on es troben els par` ametres. En aquest cas si permutem les inc`ognites x i z obtenim:     −1 −3 2   2 z 2 1  4  −3   y =  −1 −2 1 3 x 2 −2 k 1 Tot seguit aplicarem operacions elementals de fila per arribar a la merf corresponent.
−1  −3  −1 2 −3 2 −2 −2 2 1 1 k Algweb    2 → [3] −1 4 −3  ∼>  3 → [1] −1 1 2 1 2 −1 8 −2 0 ∼>  0 −1 1 0 −6 k + 2  1 0 1  0 1 −1  0 0 1 0 0 k−4  −2 2 −3 −2 1 1 2 k   3 ·(−1) 1 4 −3  ∼>  2 −1 1 2   −3 +2[3] 1 −5  +8[3] 0  ∼>  0 −1 7 −6[3] 0  −5 −[3] 1 +[3]   −(13/6) 13 −(k − 4)[3] 2 2 −3 −2 −1 1 2 k  −3 4  +3[1] > ∼  2 +[1] 1 −2[1]  −5 1 −13  ·(1/6) → [3] > 6 ∼  −1 ·(−1) → [2] 1 k−4 13   1 0 0 −(17/6) −(7/6)  0 1 0 ∼>   −(13/6) 0 0 1 0 0 0 (13/6)(k + 2) 0 0 −1 0 Si k = −2, rg(A) = 3, rg(A|b) = 4 i el sistema ´ es incompatible.
Si k = −2, rg(A) = rg(A|b) = 3 i el sistema ´ es compatible determinat amb la soluci´o u ´nica: z = −(17/6) ; y = −(7/6) ; x = −(13/6) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/03 (nivell 3) Discutiu i resoleu, quan aix` o sigui possible, els seg¨ uents sistemes: a) ax + y + z = 1 x + ay + z = a b) x + y + az = a2 Algweb c) (1 + λ)x + y + z = 1 x + (1 + λ)y + z = λ x + y + (1 + λ)z = λ2 d) x + my + z = m + 2 x + y + mz = −2(m + 1) mx + y + z = m (1 + λ)x + y + z = λ2 + 3λ x + (1 + λ)y + z = λ3 + 3λ2 x + y + (1 + λ)z = λ4 + 3λ3 e) 2x + 2y + 3t = a 2x + y − z − t = b z + 4t = c 2x + 4y + z + 10t + u = d u=e f) x + ay + 2z + 3t = 1 2x + 3y + 2z + 2t = 2 x + by − t = c z−t=1 h) x + ay + z = 1 + a y+z =1 x−y =1−a g) 2x + ay + z = 7 x + ay + z + t = b x + 2ay + t = −1 bx + ay = b (Examen 19/9/1988) a) El sistema en forma matricial ´es:  Treballant amb la  a 1 1      a 1 1 x 1 1 a 1y  =  a  1 1 a z a2 matriu ampliada,    1 1 1 +[2] + [3] 2 + a 2 + a 2 + a 1 + a + a2 ·1/(2 + a)  a 1 a a 1 a ∼>  1 2 2 1 a a 1 1 a a ∼>    1 1 1 (1 + a + a2 )/(2 + a) 1 1 1 (1 + a + a2 )/(2 + a)  −[1] ∼>  0 a − 1  ·1/(a − 1) ∼> a 0 (a − 1)/(2 + a) ∼>  1 a 1 2 3 2 1 1 a a −[1] 0 0 a − 1 (a + a − a − 1)/(2 + a) ·1/(a − 1)  1 ∼>  0 0 1 1 0   1 1 (1 + a + a2 )/(2 + a) −[2] − [3]   0 1/(2 + a) 0 > ∼ 0 1 (a2 + 2a + 1)/(2 + a) 0 1 0  (−a − 1)/(2 + a) 0  1/(2 + a) 0 1 (a2 + 2a + 1)/(2 + a) Per poder arribar fins aqu´ı ens ha calgut considerar que a = −2 i a = 1. Aix´ı doncs, ja podem muntar els casos existents: cas 1) a = −2 i a = 1. El sistema ´es Compatible Determinat i la soluci´o ´es:    x=       y=        z = −a − 1 (2 + a) 1 (2 + a) a2 + 2a + 1 (2 + a) cas 2) a = −2. En aquest cas el sistema a resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)  1 0 0 0  1 −2 1 −2  1 1 −2 4  El rang de la matriu principal no coincideix amb el de l’ampliada, per tant el sistema ´es Incompatible.
cas 3) a = 1. En aquest cas el sistema a resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)  1 0 0 1 0 0  1 1 0 0 0 0 El rang de la matriu principal coincideix amb el de l’ampliada per`o no ´es m`axim, per tant el sistema ´es Compatible Indeterminat i la soluci´ o ´es x=1−y−z ∀y, z ∈ R b) El sistema en forma matricial ´es:      1 m 1 x m+2  1 1 m   y  =  −2(m + 1)  m m 1 1 z Treballant amb la matriu ampliada,    1 m 1 m+2 1  1 1 m −2(m + 1)  −[1] ∼>  0 m 1 1 m −m[1] 0  1 m  0 1 > ∼ 0 1 − m2   1 m+2 −m[2] 1 3m+4  ∼>  0 −1 m−1 1 − m −m(1 + m) +(m2 − 1)[2] 0 m 1−m 1 − m2 0 1 0  1 m+2 m − 1 −3m − 4  ·1/(1 − m) ∼> 1 − m −m2 − m  2m2 +3m+2 1+m 1−m ∼> 3m+4  −1 m−1 (1 − m)(2 + m) 2(m + 1)(m + 2) ·1/((1 − m)(2 + m))  1 0 ∼>  0 1 0 0 1+m −1 1 2m2 +3m+2 1−m 3m+4 m−1 2(m+1) 1−m   −(1 + m)[3] 1 0   > 0 1 +[3] ∼  0 0 0 0 1 m 1−m m+2 m−1 2(m+1) 1−m   Per poder arribar fins aqu´ı ens ha calgut considerar que m = −2 i m = 1. Aix´ı doncs, ja podem muntar els casos existents: cas 1) m = 1 i m = −2. El sistema ´es Compatible Determinat i la soluci´o ´es:   x=      y=      z = m 1−m m+2 m−1 2(m + 1) 1−m Algweb cas 2) m = 1. En aquest cas el sistema a resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)   1 1 1 3  0 0 0 −7  0 0 0 −2 El rang de la matriu principal no coincideix amb el de l’ampliada, per tant el sistema ´es Incompatible.
cas 3) m = −2. En aquest cas el sistema a resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)   1 0 −1 43  0 1 −1 2  3 0 0 0 0 El rang de la matriu principal coincideix amb el de l’ampliada per` o no ´es m`axim, per tant el sistema ´es Compatible Indeterminat i la soluci´o ´es  4  x = + z 3 ∀z ∈ R  y = 2 +z 3 c) El sistema en forma matricial ´es:  1+λ  1 1 1 1+λ 1     1 x 1 1 y  =  λ  1+λ z λ2 Treballant amb la matriu ampliada,     1+λ 1 1 1 +[2] + [3] 3 + λ 3 + λ 3 + λ 1 + λ + λ2 ·1/(3 + λ)  1  1+λ 1 λ 1+λ 1 λ ∼>  1 ∼> 1 1 1 + λ λ2 1 1 1+λ λ2     1 1 1 (1 + λ + λ2 )/(3 + λ) 1 1 1 (1 + λ + λ2 )/(3 + λ)  −[1] ∼>  0 λ 0  ·1/λ ∼> ∼>  1 1 + λ 1 λ (2λ − 1)/(3 + λ) 2 3 2 1 1 1+λ λ −[1] 0 0 λ (λ + 2λ − λ − 1)/(3 + λ) ·1/λ  1  > 0 ∼ 0 1 1 0   1 (1 + λ + λ2 )/(3 + λ) −[2] − [3] 1  ∼>  0 (2λ − 1)/λ(3 + λ) 0 0 1 (λ3 + 2λ2 − λ − 1)/λ(3 + λ) 0 1 0  (2 − λ2 )/λ(3 + λ) 0  (2λ − 1)/λ(3 + λ) 0 1 (λ3 + 2λ2 − λ − 1)/λ(3 + λ) Per poder arribar fins aqu´ı ens ha calgut considerar que λ = −3 i λ = 0. Aix´ı doncs, ja podem muntar els casos existents: cas 1) λ = −3 i λ = 0. El sistema ´es Compatible Determinat i la soluci´o ´es:  2 − λ2   x =  λ(3 + λ)     2λ − 1 y=  λ(3 + λ)    3  λ + 2λ2 − λ − 1   z = λ(3 + λ) cas 2) λ = −3. En aquest cas el sistema a resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)   7 0 0 0  1 −2 1 −3  1 1 −2 9 El rang de la matriu principal no coincideix amb el de l’ampliada, per tant el sistema ´es Incompatible.
cas 3) λ = 0. En aquest cas el sistema a  1 0 0 resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)  1 1 31  0 0 −1 3 0 0 −1 3 El rang de la matriu principal no coincideix amb el de l’ampliada, per tant el sistema ´es Incompatible.
d) El sistema en forma matricial ´es:       2  λ + 3λ 1 · (λ · (λ + 3)) x 1+λ 1 1  1 1+λ 1   y  =  λ3 + 3λ2  =  λ · (λ · (λ + 3))  λ2 · (λ · (λ + 3)) 1 1 1+λ z λ4 + 3λ3 ´ a dir, que ´es el mateix sistema que el de l’apartat c), per amb el vector de termes independents Es multiplicat per λ · (λ + 3). Nom´es cal repassar doncs, els casos de l’apartat anterior: cas 1) λ = −3 i λ = 0. El sistema ´es Compatible Determinat i la soluci´o ´es:  2  x = 2 − λ y = 2λ − 1   z = λ3 + 2λ2 − λ − 1 cas 2) λ = −3. En  0 0 0  1 −2 1 1 1 −2 aquest cas el sistema a   0 1 1 −2 0  ∼>  1 −2 1 0 0 0 0 resoldre queda (directament   0 1 1 −2 0  −[1] ∼>  0 −3 3 0 0 0 0 amb la matriu ampliada)  0 0  ·(−1/3) ∼> 0  1 ∼>  0 0    1 −2 0 −[2] 1 0 −1 0 1 −1 0  ∼>  0 1 −1 0  0 0 0 0 0 0 0 El rang de la matriu principal coincideix amb el de l’ampliada per`o no ´es m`axim, per tant el sistema ´es Compatible Indeterminat i la soluci´o ´es x=z ∀z ∈ R y=z cas 3) λ = 0. En aquest cas el sistema a resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)  1 1 0 0 0 0  1 0 0 0 0 0 Algweb El rang de la matriu principal coincideix amb el de l’ampliada per`o no ´es m`axim, per tant el sistema ´es Compatible Indeterminat i la soluci´o ´es x = −y − z ∀y, z ∈ R e) El sistema en forma matricial ´es: 2 2  0  2 0      2 0 3 0 x a 1 −1 −1 0   y   b      0 1 4 0z  = c     4 1 10 1 t d 0 0 0 1 u e Treballant amb la matriu ampliada, 2 2  0  2 0    2 0 3 0 a 2 2 0 3 1 −1 −1 0 b  −[1] + [3]  0 −1 0 0   0 1 4 0 c ∼>  0 0 1 4   4 1 10 1 d −[5] − [1] 0 2 1 7 0 0 0 1 e 0 0 0 0  0 a ·1/2 0 b−a+c  ∼> 0 c   0 d − e − a +2[2] − [3] 1 e   1 1 0 3/2 0 a/2 +[2] 1 0 0 3/2 b−a+c 0  0 −1 0 0 0   0 −1 0  ∼>  ∼>  c 4 0 0 1 4 0  0 0 1    0 0 0 3 0 d − e − 3a + 2b + c ·1/3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 e 0 0 0 0    1 0 0 3/2 0 a/2 −3/2[4] 1 0 0 0 0 a−b−c 0 1 0  0 1 0   ∼>  0 0 (12a + 4e − 4d − 8b − c)/3  ∼>  0 0 1 0 0 1    0 0 0 1 0 (d − e − 3a + 2b + c)/3 0 0 0 0 0 0 0 1 e 0 0 0   0 a/2 0 b−a+c  ·(−1) ∼>  0 c  −4[4]  0 (d − e − 3a + 2b + c)/3 1 e  0 0 (2a + c + e − d)/2 0 0 a−b−c   0 0 (12a + 4e − 4d − 8b − c)/3   1 0 (d − e − 3a + 2b + c)/3 0 1 e Per poder arribar fins aqu´ı no ens ha calgut fer cap consideraci´o sobre els par`ametres a, b, c, d, e. El rang de la matriu principal coincideix amb el de l’ampliada i ´es m`axim, de manera que el sistema ´es Compatible Determinat i la soluci´ o ´es:  c−d+e   x=a+   2      y = a − b − c    12a − 8b − c − 4d + 4e z=  2     −3a + 2b + c + d − e   t=   3    u=e ∀a, b, c, d, e ∈ R f ) El sistema en forma matricial ´es:      1 x 1 a 2 3 y 2 3 2 2    2    =   c z 1 b 0 −1 1 t 0 0 1 −1 Treballant amb  1 2  1 0 1 a 0 1  ∼>  0 b−a 0 0  1 0 0  0 1 0 ∼>  0 0 0 0 0 1   1 0 0 1 ∼>  0 0 0 0 la matriu ampliada,    1 1 a 2 3 a 2 3 1 0  ·1/(3 − 2a) 3 2 2 2  −2[1] >  0 3 − 2a −2 −4 ∼    ∼> 0 b − a −2 −4 c − 1 b 0 −1 c −[1] 1 0 0 1 −1 0 1 −1 1  6−2a 9−2a   1 0 2 3 1 +(2a − b)/(3 − 2a)[4] 1 −a[2] 3−2a 3−2a −2 −4 −2 −4  0 1 ∼> 0 +2/(3 − 2a)[4] 0   3−2a 3−2a 3−2a 3−2a ∼>    0 0 2(a+b−3) 4(a+b−3) c − 1  +2(3 − a − b)/(3 − 2a)[4] −2 −4 c − 1 +(a − b)[2] 3−2a 3−2a 1 1 1 −1 0 0 1 −1    15−4a −3 −3 1 0 0 15−4a 3−2a 3−2a 3−2a 3−2a −6 2 2 −6 0 1 0   3−2a 3−2a 3−2a    ∼> 3−2a > 6(a+b−3) 2(3−a−b)  ·(3 − 2a)/(6(a + b − 3)) ∼  0 0 0 c(3−2a)+(3−2b)  1 c − 1 + 3−2a 3−2a 6(a+b−3) 0 0 1 −1 −1 1 1  c(4a−15)+4b+3  −3  15−4a 6(a+b−3) 0 3−2a 1 0 0 0 +(4a − 15)/(3 − 2a)[4] 3−2a  c−1 2 −6  +6/(3 − 2a)[4]  0 1 0 0  0 3−2a a+b−3 3−2a   >  ∼ 6a+4b−15+c(3−2a)   +[4] 0 0 1 0 1 1 −1  6(a+b−3) c(3−2a)+(3−2b) 0 0 0 1 c(3−2a)+(3−2b) 0 1 6(a+b−3) 6(a+b−3) Per poder arribar fins aqu´ı ens ha calgut considerar que a = 3/2 i a + b = 3. Aix´ı doncs, ja podem muntar els casos existents: cas 1) a = 3/2 i a + b = 3. El sistema ´es Compatible Determinat i la soluci´o ´es:  c(4a − 15) + 4b + 3   x=   6(a + b − 3)      c − 1   y = a+b−3 ∀c ∈ R 6a + 4b − 15 + c(3 − 2a)   z =   6(a + b − 3)     c(3 − 2a) + (3 − 2b)    t= 6(a + b − 3) cas 2) a = 3/2. En aquest cas el sistema a resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)    1 3/2 2 3 1 1 3/2 2 3 1 0 −2 −4 0  0 0 −2 −4 0  0 ∼>      0 b − 3/2 −2 −4 c − 1 −[2] 0 b − 3/2 0 0 c − 1 −[2] 0 0 1 −1 1 0 0 1 −1 1    1 3/2 2 3 1 1 3/2 2 3 0 b − 3/2 0 0 c − 1 ·1/(b − 3/2) 0 1 0 0    > ∼   ∼>  0 0 1 −1 0 0 1 −1 1 0 0 −2 −4 0 0 0 −2 −4 1    1 3/2 2 3 1 −3/2[2] 1 0 0 1 0 0 2(c − 1)/(2b − 3)    ∼>  ∼>  0 1  0 0 1 −1 1 0 0 0 0 −2 −4 0 +2[3] 0 0  1 0  ∼>  0 0 Algweb  0 1 0 0 0 5 0 0 1 −1 0 1 6−3c−2b 2b−3 2(c−1) (2b−3) 1  −5[4]    +[4] ∼> −1 3 1 0  0 0  0 1 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 1 −1 0 −6 0 0 0 1 2(c−1) (2b−3) 1 0 2b−3c 2b−3 2(c−1) (2b−3) 3−9c+4b 3(2b−3) 2(c−1) (2b−3) 2 3 −1 3 1 2  ∼> −3/2[2] ∼>   +2[3]  −2[3]    ∼> · − 1/6     Per poder arribar fins aqu´ı ens ha calgut considerar que b = 3/2. Aix´ı doncs, ens apareixen 2 subcasos: cas 2.1) b = 3/2. El sistema ´es Compatible Determinat i la soluci´o ´es:  3 − 9c + 4b   x=   3(2b − 3)      2(c − 1)  y = (2b − 3)  2    z=   3      t = −1 3 ∀c ∈ R cas 2.2) b = 3/2. En aquest cas el sistema a resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)      1 3/2 2 3 1 +[2] 1 3/2 0 −1 1 1 3/2 0 −1 1 0 −2 −4 0  0 0 −2 −4 0  > 0 0 1 −1 1  0 ∼>  >     ∼   0 0 −2 −4 c − 1 −[2] 0 0 0 0 c−1 0 0 −2 −4 0 +2[2] ∼ 0 0 0 0 c−1 0 0 1 −1 1 0 0 1 −1 1      1 3/2 0 −1 1 1 3/2 0 −1 1 +[3] 1 3/2 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 −1 1 +[3] 0 0 1      ∼>  ∼>  ∼>   −1  0 0 0 −6 2 · − 1/6 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 c−1 0 0 0 0 c−1 0 0 0  2  0 3 2 0 3  −1  1 3 0 c−1 Amb aix`o ens apareixen dos subcasos m´es: cas 2.2.1) c = 1. El rang de la matriu principal no coincideix amb el de l’ampliada, per tant el sistema ´es Incompatible.
cas 2.2.2) c = 1. El rang de la matriu principal coincideix amb el de l’ampliada per`o no ´es m` axim, per tant el sistema ´es Compatible Indeterminat i la soluci´o ´es:    x=     z=       t= 2 3y − 3 2 2 3 −1 3 ∀y ∈ R El rang de la matriu principal no coincideix amb el de l’ampliada, per tant el sistema ´es Incompatible.
cas 3) a + b = 3. Considerarem dos subcasos: cas 3.1) a = 3/2. Llavors b = 3/2 i aquest cas ´es exactament el mateix que el 2.2.
cas 3.2) a = 3/2. En aquest cas el sistema a resoldre queda (directament amb la matriu ampliada)  1 0  0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 15−4a 3−2a −6 3−2a 0 −1 −3 3−2a 2 3−2a   1  0  ∼>  0 c − 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 15−4a 3−2a −6 3−2a −1 0 −3 3−2a 2 3−2a    1  c−1 I de nou ens apareixen dos subcasos m´es: cas 3.2.1) c = 1. El rang de la matriu principal no coincideix amb el de l’ampliada, per tant el sistema ´es Incompatible.
cas 3.2.2) c = 1. El rang de la matriu principal coincideix amb el de l’ampliada per`o no ´es m` axim, per tant el sistema ´es Compatible Indeterminat i la soluci´o ´es:  15 − 4a −3   x= − t   3 − 2a 3 − 2a  2 6 y= + t   3 − 2a 3 − 2a    z =1+t ∀t ∈ R g) El sistema en forma matricial ´es: 2 a 1 1 a 1  1 2a 0 b a 0      0 x 7 1y   b    =   1 z −1 0 t b Reordenant les variables obtenim una forma matricial m´es senzilla d’operar, 1 1  0 0  0 1 1 0     a 2 z 7 a 1 t   b    =   2a 1 y −1 a b x b Treballant amb la matriu ampliada, 1 1  0 0  0 1 1 0   a 2 7 1 0 a 1 b  −[1] >  0 1 ∼   2a 1 −1 0 1 a b b 0 0 1 0  ∼>  0 0  a 2 0 −1 2a 1 a b   7 1 0 b − 7 0 1  ∼>   −1 −[2] 0 0 b 0 0  0 0 (2 − b) 7−b 1 0 −1 b−7  ∼>  0 a 1 (6 − b)/2 0 a b b −[3] a 2 0 −1 2a 2 a b  7 −[4] b − 7 ∼>  6 − b ·(1/2) b  0 0 (2 − b) 7−b 1 0 −1 b−7   0 a 1 (6 − b)/2 0 0 (b − 1) 3(b − 2)/2 1 0  0 0  cas 1) a = 0. Dividim la tercera fila per a 1 0  0 0  0 1 0 0  0 (2 − b) 7−b 0 −1 b−7   1 1/a (6 − b)/2a 0 (b − 1) 3(b − 2)/2 cas 1.1) a = 0 i b = 1. El sistema ´es compatible amb soluci´ ou ´nica.
1 0  0 0 0 1 0 0   0 (2 − b) 7−b −(2 − b)[4] 1 0 0 −1 b−7 +[4]   ∼>  0 1  1 1/a (6 − b)/2a −(1/a)[4] 0 0 0 1 3(b − 2)/2(b − 1) 0 0 Algweb  0 0 1 0  0 (b2 + 4b − 2)/2(b − 1) 2 0 (2b − 13b + 8)/2(b − 1)   0 b(4 − b)/2a(b − 1) 1 3(b − 2)/2(b − 1) La soluci´o ´es:  b2 + 4b − 2    z=   2(b − 1)      2b2 − 13b + 8    t= 2(b − 1)  b(4 − b)   y=   2a(b − 1)      3(b − 2)   x = 2(b − 1) cas 1.2) a = 0 i b = 1. El sistema ´es incompatible.
cas 2) a = 0.
1 0  0 0  0 1 0 0  0 (2 − b) 7−b 0 −1 b−7   ∼> 0 1 (6 − b)/2 0 (b − 1) 3(b − 2)/2 −(b − 1)[3] 1 0  0 0  0 (2 − b) 7−b 0 −1 b−7   0 1 (6 − b)/2 0 0 b(b − 4)/2 0 1 0 0  cas 2.1) a = 0 i b = 0 i b = 4. El sistema ´es incompatible.
cas 2.2) a = 0 i (b = 0 o b = 4). El sistema ´es compatible indeterminat.
cas 2.2.1) a = 0 i b = 0: 1 0  0 0  0 1 0 0 0 2 0 −1 0 1 0 0  7 −2[3] −7  +[3] > ∼  3 0 1 0  0 0  0 1 0 0 0 0 0 0  0 1 0 −4   1 3 0 0 La soluci´o ´es: z=1 ; t = −4 ; ∀y ∈ R x=3 ; cas 2.2.2) a = 0 i b = 4: 1 0  0 0 0 1 0 0  0 −2 0 −1 0 1 0 0   1 3 +2[3] −3  +[3] ∼>  0   0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0  0 5 0 −2   1 1 0 0 La soluci´o ´es: z=5 ; t = −2 ; x=1 ; ∀y ∈ R h) El sistema en forma matricial ´es:  1 a 0 1 1 −1     1 x 1+a 1y  =  1  0 z 1−a Treballant amb la matriu ampliada,    → [3] 1 0 1 2−a 1 1+a ∼>  0 1 1 ∼> 1  1  1 1 a 1 1 + a −[1] − a[2] 0 1 − a +[2] → [1]  1 a 0 1 1 −1  1 ∼>  0 0  0 1 2−a ∼> 1  1 1 0 −a a − 1 ·(−1)  1 0 0  0 1 2−a 1  1 1 0 a 1−a cas 1) a = 0. El rang de la matriu associada ´es dos i el de l’ampliada tres per tant el sistema ´es incompatible.
cas 2) a = 0. En aquest cas el sistema ´es compatible amb soluci´o u ´nica.
Dividint la tercera fila per a, podem escriure:     (−a2 +3a−1) 1 0 1 2 − a −[3] 1 0 0 a  (2a−1) 0 1 1 1  −[3] ∼>  0 1 0  a (1−a) (1−a) 0 0 1 0 0 1 a a La soluci´o ´es:  −a2 + 3a − 1   x=   a   2a − 1 y=  a     z = 1−a a Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/04 (nivell 3) Esbrineu si existeix una matriu X que verifica A · X = B, on  1 A = 1 1  1 0 1  2 B = 0 2  1 2 1 Per tal que el producte sigui possible caldr`a que X ∈ MR (2 × 2). Considerem aquesta matriu segons els coeficients a b X= c d Algweb Si A · X = B, llavors s’haur` a de verificar que   2 a A· = 0 c 2 [1]   1 b A· = 2 d 1 [2] i que Resolem el sistema [1]:  1 1 1   1 2 1  > 0 0 1 ∼ 1 2 −[1] 0  1 2 0 0 0 0  1  1 > ∼ 0   0 0 1 1 2  −[1] ∼>  0 0 0 0  0 0 1 2 0 0 Resolem el sistema [2]:  1 1 1   1 1 1 0 2 ∼>  1 0 1 1 −[1]  1 1 0 2 0 0  1 ∼>  1 0  0 2 1 1  −[1] 0 0  1 ∼>  0 0  0 2 1 −1  0 0 De manera que els dos sistemes s´ on compatibles i determinats, obtenint X de forma u ´nica com X= 0 2 2 −1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/05 (nivell 3) Discutiu l’exist` encia d’una matriu X que verifica X · A = B en funci´ o d’α  α A=1 1 1 α 1  1 1 α B= 1 1 α 1 α2 1 i doneu l’expressi´ o (o les expressions) d’X quan sigui possible.
Per tal que tot tingui sentit, caldr` a que X sigui una matriu (2×3). Suposem aquesta matriu a coeficients Algweb X= a b d e c f Si ara transposem a banda i banda de l’expressi´o que volem que es verifiqui, AT · X T = B T ´es a dir que  α 1 1 1 α 1    1 a d 1 1 b e  =  α α c f α2 que podem separar en els dos sistemes seg¨ uents:      α 1 1 a 1  1 α 1 b  =  α  [1] 1 1 α c α2  α 1 1 1 α 1  1 1 1     1 d 1 1  e  = 1 α f 1 [2] Resolem el sistema [1]:  1   1 −α[2] 0 1 − α2 1 − α 1 − α2 · 1−α  α 1 α α ∼>  1 ∼> 1 > ∼ 0 1 − α α − 1 α(α − 1) · 1−α α2 −[2]    1 1 + α −(1 + α)[3] 0 0 2 + α (1 + α)2 ∼> 1 α  −α[3] ∼> ∼>  1 0 1 + α α(α + 1)  −1 −α 0 1 −1 −α     1 0 1+α 1 0 1 + α α(1 + α) α(1 + α) −(1 + α)[3] ∼>  0 1  ∼>  0 1 −1 −α  −1 −α +[3] ∼> 1 0 0 1 0 0 2 + α (α + 1)2 · 2+α (α + 1)2 /(2 + α)   1 0 0 −(1 + α)/(2 + α)  1/(α + 2) ∼>  0 1 0 2 0 0 1 (α + 1) /(2 + α)  α 1 1 1 α 1 1 1 α  0 1+α 1 α 0 1 Per poder arribar fins al final hem hagut de considerar que α = 1 ∧ α = −2. D’aquesta manera ens apareixen 3 casos: cas 1: α = 1 ∧ α = −2 El sistema [1] ´es compatible determinat. Com queda el sistema [2]? Com que la matriu principal ´es la mateixa, nom´es cal que apliquem les mateixes operacions de fila al vector de termes independents. Si ho fem,     1 1 −α[2] 1 − α · 1−α 1 ∼>  1  1 1 −[2] 0 · 1−α     1 −(1 + α)[3] 1 −α[3] ∼>  1  ∼>  1  0 0 ∼>   1 ∼>  0  1 1 · 2+α   1 −(1 + α)[3] ∼>  0  +[3] ∼> 1 α+2   1 1   1 α+2 1 i per tant, la matriu que busquem val Algweb X= 1 −1 − α 1 α+2 1 (α + 1)2 1 1 cas 2: α = 1 En aquest cas, els dos sistemes coincideixen:  1 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1  −[1] ∼>  0 1 1 −[1] 0 1 0 0  1 1 0 0 0 0 Els sistemes s´ on compatibles indeterminats i, per tant, la matriu X queda X= 1−b−c 1−e−f b e c f ∀b, c, e, f cas 2: α = −2 Reprenem el sistema [1]:      −2 1 1 1 +2[2] 0 −3 3 −3 0 −3  1 −2 1 −2  ∼>  1 −2 ∼>  1 −2 1 −2  1 1 −2 4 −[2] 0 3 −3 6 +[1] 0 0   0 1 −1 1 ∼>  1 −2 1 −2  0 0 0 1   1 −2 1 −2 +2[2] ∼> 0 1 −1 1  ∼> 0 0 0 1  1 0 0  3 −3 · − 31 1 −2  · 13 0 3   0 −1 0 1 1 −1 1  −[3] ∼>  0 0 0 1 0 ∼>  0 −1 0 1 −1 0  0 0 1 El sistema [1] ´es incompatible. Per tant, sigui com sigui el sistema [2] ja veiem que en aquest cas no existeix X.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/06 (nivell 3) Per poder fabricar un formig´ o ens cal una grava constitu¨ıda segons les proporcions seg¨ uents: 35% 15% 20% 30% de de de de part´ıcules part´ıcules part´ıcules part´ıcules de de de de 5mm de di` ametre 7mm de di` ametre 9mm de di` ametre 13mm de di` ametre Per aconseguir-ho no disposem de graves formades per part´ıcules de la mateixa mida, sin´ o de 3 tipus de graves de composicions diferents. Aquestes s´ on: 5mm 7mm 9mm 13mm Grava tipus 1 10% 20% 30% 40% Grava tipus 2 60% 10% 10% 20% Grava tipus 3 20% 18% 26% 36% Algweb Tipus / Di` ametre Esbrineu quina quantitat hem d’agafar de cadascun dels tres tipus de graves per obtenir 1Tm de la mescla desitjada. Doneu totes les solucions possibles.
Com que volem 1 tona de la mescla, voldrem obtenir: 35% 15% 20% 30% d’1Tm d’1Tm d’1Tm d’1Tm = = = = 350 150 200 300 Kg Kg Kg Kg de de de de 5mm 7mm 9mm 13mm Si anomenem x als kg de grava del tipus 1, y als kg de grava del tipus 2 i z als kg de grava del tipus 3 que necessitem per a la nostra mescla, sabem que en total ens ha de sumar 1Tm=1000 Kg. I, plantejant el sistema (prenent el kg com a unitat),  10%x + 60%y + 20%z = 350     20%x + 10%y + 18%z = 150    30%x + 10%y + 26%z = 200    40%x + 20%y + 36%z = 300     x + y + z = 1000 i en forma matricial (passant-ho a tants per u), 0, 1  0, 2   0, 3  0, 4 1  0, 6 0, 1 0, 1 0, 2 1    350 0, 2   0, 18  x  150     0, 26   y  =  200     300 0, 36 z 1 1000 Resolem-lo:  0, 1 0, 6 0, 2 350  0, 2 0, 1 0, 18 150     0, 3 0, 1 0, 26 200    0, 4 0, 2 0, 36 300 1 1 1 1000  0 0  0  0 1  5 0 0 0 1  ·10 1 ·100  20  ·100 ∼>  30  ·100 40 1   0 1 2500 · 51 0 0  1  ∼>  0 0  0   0 0 0 0 1 1000 1 1 0 0 0 1 5 1 0 0 0 6 10 10 20 1    2 3500 −[5] 0 5 1 2500 18 15000  −20[5]  0 −10 −2 −5000  +2[1]    26 20000  −30[5] ∼>  0 −20 −4 −10000  +4[1] ∼>    36 30000 −40[5] 0 −20 −4 −10000 +4[1] 1 1000 1 1 1 1000   500 0 1000  −[1] 1   ∼>  0 0    0 0 0 0 1 0 0 0 0 Algweb i aix´ı,  4z   x = 500 − 5 z   y = 500 − 5 ∀z 1 5 4 5 0 0 0  500 500   0   0 0 1 0 ∼> 0  0 0  0 1 0 0 0 4 5 1 5 0 0 0  500 500   0   0 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/07 (nivell 3) Sigui A ∈ MK (n × n).
Demostreu que A no ´ es inversible si i nom´ es si existeix una matriu B ∈ MK (n × n), B = [0]n , tal que A · B = [0]n ⇐=) Demostrem-ho per reducci´ o a l’absurd. Suposem que A ´es inversible. Llavors, A−1 · A · B = A−1 · [0]n×n = [0]n×n =⇒ B = [0]n×n i aix`o entra en contradicci´ o amb la nostra hip`otesi. Per tant, A no ´es inversible.
Algweb =⇒) Si A no ´es inversible, llavors rang(A) < n. Si ara plantegem un sistema homogeni tal com AX = [0]n×1 sabem que ´es un sistema compatible i la dimensi´o del subespai de solucions ´es n − rang(A) > 0, ja que rang(A) < n. Si ara escollim n solucions qualssevol d’aquest subespai B1 , ..., Bn , amb alguna soluci´o no nul·la, podem definir la seg¨ uent matriu  ↑ B =  B1 ↓ i B ser`a tal que que A · B = [0]n×n .
 ↑ · · · Bn  = [0]n×n ↓ Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/08 (nivell 3) Sigui A ∈ MK (r × r) inversible, i B ∈ MK (r × p).
Demostreu que: rang(A · B) = rang(B) Anomenant Ci a les columnes de C = A · B, ∀i = 1, ..., p, considerem els sistemes seg¨ uents: AX = Ci Algweb Com que A ´es inversible, rang(A) = r i llavors, els p sistemes plantejats s´on compatibles (ja que rang(A) = rang(A|Ci )) i determinats. Com que la soluci´o ´es u ´nica en cada cas, i sabem que A · B = C, llavors aquesta soluci´ o ´es, respectivament, Bi (on Bi ´es la columna i-`essima de la matriu B).
Si passa aix` o, llavors els sistemes A · X = Ci s´on equivalents als sistemes merf (A) · X = Cˆi . Per`o en ˆ = rang(B) (on ser A inversible, merf (A) = Ir i llavors Cˆi = X = Bi , ∀i = 1, ..., p. Aix´ı, Cˆ = B i rang(C) Cˆ ´es una matriu que t´e les Cˆi per columnes).
Com que per passar de C a Cˆ nom´es hem aplicat operacions elementals de fila, llavors rang(C) = ˆ I finalment, rang(C).
ˆ = rang(B) rang(A · B) = rang(C) = rang(C) Resoluci´ o alternativa per matrius: Sigui C = A · B. Sabem que les files de C s´on combinaci´o lineal de les de B, de manera que rang(C) ≤ rang(B). Per` o en ser A inversible, podem composar per A−1 l’expressi´o anterior per l’esquerra, quedant −1 A · C = B. An` alogament veiem que les files de B s´on combinaci´o lineal de les de C, de manera que rang(B) ≤ rang(C). Amb les dues condicions trobades, necess`ariament rang(C) = rang(B).
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/09 (nivell 3) Sigui A ∈ MK (n × n), tal que ∃B ∈ MK (n × n) verificant B · A = In .
a) Demostreu que ∀b ∈ MK (n × 1), el seg¨ uent sistema ´ es compatible: A·X =b b) Demostreu que ∃C ∈ MK (n × n) tal que A · C = In c) Demostreu que B = C Algweb Conclusi´ o: Si trobem una matriu B inversa per l’esquerra de la matriu A, tamb´e ser` a inversa per la dreta d’A a) Com que B ·A = In , les files d’In s´ on combinaci´o lineal de les files d’A, de manera que n = rang(In ) ≤ rang(A). Per` o rang(A) ≤ n ja que A ∈ MK (n × n), de manera que podem concloure que rang(A) = n.
Llavors, si ens plantegem un sistema d’equacions lineals tal com AX = b tindrem que rang(A) = rang(A|b) = n, cosa que ens indica que el sistema ´es compatible (amb soluci´o u ´nica), sigui quin sigui b.
b) Anomenant Yi a les columnes d’In , ∀i = 1, ..., n, si ens plantegem els seg¨ uents sistemes AX = Yi ∀i = 1, ..., n segons l’apartat anterior s´ on tots compatibles. Sigui {C1 , ..., Cn } el conjunt de les solucions trobades en cadascun d’ells. Si ara definim   ↑ ↑ C =  C1 · · · Cn  ↓ ↓ tindrem que A · C = In .
c) Partim de les condicions B · A = In i A · C = In . Llavors, B = B · In = B · A · C = In · C = C Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/10 (nivell 3) Donades les matrius: A= 3 −1 2 0 B= 2 −5 0 1 Es defineix L = {C ∈ MC (2 × 2)/ C · B = A · C} Algweb Demostreu que L ´ es subespai vectorial de MC (2 × 2) i obtingueu-ne una base.
1) Comprovem que [0]2×2 ∈ G: [0]2×2 · B = A · [0]2×2 = [0]2×2 =⇒ [0]2×2 ∈ L 2) ∀λ ∈C, ∀C1 , C2 ∈ L, (λC1 + C2 ) · B = λC1 B + C2 B = λAC1 + AC2 = A · (λC1 + C2 ) per tant, λC1 + C2 ∈ L.
Un cop vist que L ´es subespai vectorial de MC (2 × 2), en buscarem una base tot plantejant-nos quina ´es la forma m´es general de les matrius que pertanyen a L: Sigui C ∈ MC (2 × 2), C = (cij ), i, j = 1, 2. Si C ∈ L, llavors es verifica que C · B = A · C. Aix´ı, s’haur`a de verificar: c c 2 0 3 2 c11 c12 C · B = 11 12 = =A·C c21 c22 −5 1 −1 0 c21 c22 =⇒ 2c11 − 5c12 2c21 − 5c22 =⇒ c12 3c11 + 2c21 3c12 + 2c22 = c22 −c11 −c12  c11 + 5c12 + 2c21 = 0     2c12 + 2c22 = 0  c11 + 2c21 − 5c22 = 0    c12 + c22 = 0 i ara, resolent el sistema 1 0  1 0  5 2 0 1      1 c11 0 2 0 0 2   c12   0  0   =   ∼> (o.e.f.) ∼>  0 0 2 −5 c21 0 0 0 1 c22 0 1 0 0     c11 0 2 −5 0 1   c12   0   =  0 0 0 c21 0 0 0 c22 obtenim els coeficients de C: c11 = 5c22 − 2c21 c12 = −c22 ∀c21 , c22 ∈ C o sigui que C= 5c22 − 2c21 c21 −c22 c22 = c22 5 −1 −2 + c21 0 1 1 0 0 = not c22 M + c21 N Algweb cosa que implica que {M, N } forma un sistema de generadors de L que, en ser linealment independent, resulta una base per a L.
5 −1 −2 0 L =< , >C 0 1 1 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/11 (nivell 3) Es defineix: G = {A ∈ MR (3 × 3)/ ∀B ∈ MR (3 × 3), A · B = B · A} Demostreu que G ´ es subespai vectorial de MR (3 × 3) i trobeu-ne una base.
1) Comprovem que [0]3×3 ∈ G: ∀B ∈ MR (3 × 3), [0]3×3 · B = B · [0]3×3 = [0]3×3 [0]3×3 ∈ G =⇒ 2) ∀λ ∈R, ∀A1 , A2 ∈ G, ∀B ∈ MR (3 × 3), Algweb (λA1 + A2 ) · B = λA1 B + A2 B = λBA1 + BA2 = B · (λA1 + A2 ) per tant, λA1 + A2 ∈ G.
Un cop vist que G ´es subespai vectorial de MR (3 × 3), en buscarem una base tot plantejant-nos quina ´es la forma m´es general de les matrius que pertanyen a G: Sigui A ∈ MR (3 × 3), A = (aij ), i, j = 1, 2, 3. Si A ∈ G, llavors ∀B ∈ MR (3 × 3), es verifica que A · B = B · A. Aix´ı, s’haur` a de verificar per a tots els casos particulars de B que volguem considerar. Per exemple,       1 0 0 a11 0 0 a11 a12 a13 1) B =  0 0 0  =⇒ A · B =  a21 0 0  =  0 0 0 =B·A 0 0 0 a31 0 0 0 0 0 =⇒  0 2) B =  0 0 0 1 0 a12 = a21  0 0 0  =⇒ A · B =  0 0 0  =⇒ =⇒ = a13 = a31 = 0   a12 0 0 a22 0  =  a21 a32 0 0  0 a23  = B · A 0 a32 = a23 = 0   a11 0 0 A =  0 a22 0  0 0 a33 i ja considerant aix´ı la matriu A,    1 0 0 a11 3) B =  1 0 0  =⇒ A · B =  a22 1 0 0 a33 =⇒ 0 a22 0   0 0 a11 0 0  =  a11 0 0 a11 a11 = a22 = a33 = not  0 0 0 0 = B · A 0 0 λ de manera que A = λI3 .
Acabem de veure que ∀A ∈ G, A = λI3 , cosa que implica que {I3 } forma un sistema de generadors de G que, en ser linealment independent, resulta una base per a G.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/12 (nivell 3) Sigui una matriu A ∈ MR (n × m), n ≤ m, tal que existeix una altra matriu B ∈ MR (m × n) que verifica A · B = In . Definim: Ω = {C ∈ MR (m × n)/ A · C = [0]n } Justifiqueu que Ω ´ es subespai vectorial de MR (m × n) i obtingueu-ne la seva dimensi´ o.
1) Comprovem que [0]m×n ∈ Ω: A · [0]m×n = [0]n×n [0]m×n ∈ Ω =⇒ 2) ∀λ ∈R, ∀C1 , C2 ∈ Ω, A(λC1 + C2 ) = λAC1 + AC2 = λ[0]n×n + [0]n×n = [0]n×n per tant, λC1 + C2 ∈ Ω.
Algweb Un cop vist que Ω ´es subespai vectorial de MR (m × n), buscarem la seva dimensi´o a partir de trobar una base. Per fer-ho, ens plantejarem quina ´es la forma m´es general de les matrius que pertanyen a Ω:   ↑ ↑ =  C1 ∀C ∈ Ω C not · · · Cn  ↓ ↓ Com que A · C = [0]n×n , resulta que {C 1 , ..., C n } s´on n solucions qualssevol del sistema AX = [0]n×1 que, per ser homogeni, ´es compatible i el conjunt de solucions ´es subespai vectorial de MR (m × 1), i que anomenarem S.
Llavors, dimR (S) = m − rang(A). Quant val rang(A)? Com que A · B = In , tenim que les columnes d’In s´on combinaci´ o lineal de les columnes d’A, de manera que n = rang(In ) ≤ rang(A). Per`o rang(A) ≤ n, de manera que podem concloure que rang(A) = n i que, per tant, dimR (S) = m − n. Considerem S =< e1 , ..., em−n >R Aix´ı doncs, la matriu C estar` a formada per n columnes que seran n elements qualssevol de S, sense cap relaci´o entre si. Per tant, C i = λi1 e1 + · · · + λim−n em−n ∀i = 1, ..., n de manera que ∀C ∈ Ω,  ↑ m−n C =  k=1 λ1k ek · · · ↓ ↑ m−n k=1  m−n λnk ek  = ↓ k=1  ↑ λ1k  ek ↓    m−n ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 0 ··· 0 + ··· + λnk  0 · · · 0 ek  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ k=1 m−n λ1k Mk1 + · · · + = not k=1 = not m−n λnk Mkn k=1 de manera que 1 n {M11 , M21 , ..., Mm−n , M12 , ..., Mm−n } ´es sistema de generadors d’Ω, que podem comprovar f`acilment que s´on linealment independents, formant una base per a Ω. Com que en tenim n(m − n) podem concloure que dimR (Ω) = n(m − n) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/13 (nivell 3) Sigui una matriu A ∈ MR (3 × 2).
1a. Def: Direm que B1 ∈ MR (2 × 3) ´ es una pseudo-inversa per la dreta d’A, si A · B1 = I3 2a. Def: Direm que B2 ∈ MR (2 × 3) ´ es una pseudo-inversa per l’esquerra d’A, si B2 · A = I2 a) Demostreu que B2 existeix, si i nom´ es si A ´ es de rang m` axim. Demostreu a m´ es que no ´ es u ´ nica.
b) Suposant que B2 ´ es la pseudo-inversa per l’esquerra d’A, demostreu que B2T ´ es la pseudo-inversa per la dreta d’AT .
c) Trobeu B2 per a Algweb   2 3 1 1 A= 0 −1 a) =⇒) Sabem que rang(I2 ) ≤ m´ın{rang(B2 ), rang(A)}. Com que rang(I2 ) = 2 llavors rang(A) ≥ 2. Per`o per tal i com tenim definida A, rang(A) ≤ 2, de manera que acabem concloent que rang(A) = 2.
⇐=) Per saber si existeix la matriu B2 , B2 = b11 b21 b12 b22 b13 b23 imposarem les condicions que ha de verificar i veurem si podem trobar els seus coeficients: B2 · A = I2 =⇒ (B2 · A)T = AT · B2T = I2T = I2 que en forma compacta resulta,  b11   1 0  b12    b 0   13   0  =   0  b21    b22 1 b23    0 0 0 0 AT 0 0 0 0 0 0 AT  Com que rang(AT ) = rang(A) = 2 llavors el rang de la matriu principal coincideix amb el de l’ampliada i ´es 4. Per tant, el sistema ´es compatible i existeix soluci´o. O sigui, que existeixen els coeficients de B2 , i per tant, B2 .
Per`o com que estem en un cas on tenim m´es inc`ognites que equacions, el sistema ´es indeterminat, cosa que implica que B2 no ´es u ´nica.
(Comentari: En canvi, tal i com est` a definida, B1 no existeix) b) Com que B2 · A = I2 , transposant a banda i banda tenim que AT · B2T = I2 c) Resolem el sistema aplicant operacions elementals de fila a la matriu ampliada: 1 0 −1 2 3 1  0 0 0 0 0 0   0 0 0 1 0 0 0 0  −2[1]  1 0 −1 0 2 3 1 1 −2[3] 1 0  0 0  0 −1 3 3 0 0 0 0  0 0 0 1 0 0 0 −2  · 13  1 0 −1 0 · 13 0 3 3 1 Algweb i les solucions s´ on:  b11 = 1 + b13     2    b12 = − − b13 3  b = b  21 23     1  b22 = − b23 3 ∀b13 , b23 ∈ R i aix´ı, B2 = 1+α β − 23 − α 1 3 −β α β ∀α, β ∈ R 1 0  0 0  0 −1 1 1 0 0 0 0  0 0 0 1 0 0 0 − 23   1 0 −1 0 1 0 1 1 3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 4/14 (nivell 3) Direm que una matriu A ∈ MR (3 × 3) ´ es m` agica, si les vuit sumes seg¨ uents s´ on iguals: 3 aij ∀j = 1, 2, 3 i=1 3 aij ∀i = 1, 2, 3 j=1 3 aii i=1 Algweb a13 + a22 + a31 Es designa per s el valor com´ u d’aquestes vuit sumes, i per A(s) una de les matrius m` agiques corresponents.
a) Demostreu que el conjunt de les matrius m` agiques ´ es un subespai vectorial de MR (3 × 3).
b) Quin ´ es el valor de s si A(s) ´ es antisim` etrica? Constru¨ıu totes les matrius m` agiques antisim` etriques.
c) Constru¨ıu totes les matrius m` agiques sim` etriques.
d) Quina ´ es la dimensi´ o del subespai vectorial de MR (3 × 3) descrit per les matrius m` agiques? Trobeu-ne una base.
a) Designarem per M, M ⊂ MR (3 × 3) el subconjunt de les matrius m`agiques.
a.1.) [0]3×3 ∈ M ja que tots els seus termes s´on 0, i d’aquesta manera es verifica que les vuit sumes s´ on iguals i valen 0.
a.2.) ∀λ ∈ R, ∀A, B ∈ M , sigui C = λA + B. Llavors cij = λaij + bij , ∀i, j = 1, 2, 3. En aquest cas, anomenant sA i sB els valors de les sumes d’A i B respectivament, es verifica que 3 3 cij = i=1 3 cii = c13 + c22 + c31 = λsA + sB ∀i, j = 1, 2, 3 cij = j=1 i=1 comprovant aix´ı que C ∈ M b) Si A(s) ´es antisim`etrica, els elements de la diagonal s´on zero. Llavors, s = 0.
Considerem una matriu A antisim`etrica 3 × 3 qualsevol:   0 a b A =  −a 0 c  −b −c 0 a, b, c ∈ R aquesta matriu ja verifica directament que les dues darreres sumes valen 0. Per tal que la resta de sumes tamb´e siguin iguals a zero caldr` a imposar que a = −b = c. O sigui que ∀A ∈ M , antisim`etrica   0 a −a a  a∈R A =  −a 0 a −a 0 Aix´ı, si H ´es el subespai de les matrius antisim`etriques, M ∩ H =< A0 >R , on   0 1 −1 1  A0 =  −1 0 1 −1 0 c) Considerem una matriu A sim`etrica 3 × 3 qualsevol:   a b c a, b, c, d, e, f ∈ R A=b d e c e f Algweb Les condicions que caldr` a imposar per tal que A ∈ M s´ on: a+b+c=s b+d+e=s c+e+f =s a+d+f =s 2c + d = s que podem reescriure, substitu¨ınt la darrera condici´o en la resta, com a+b−c−d=0 b − 2c + e = 0 −c − d + e + f = 0 a − 2c + f = 0 i en forma matricial: 1 1 −1 −1 0  0 1 −2 0 1  0 0 −1 −1 1 1 0 −2 0 0    a   0 0 b   0 c  0   =   0 1 d   0 1 e f  Resolent el sistema obtenim  a=e      b=f   1 c = (e + f )   2      d = 1 (e + f ) 2 ∀e, f ∈ R de manera que la forma m´es general d’una matriu d’aquest tipus ´es:      1 0 21 e f 1/2(e + f ) 0  = e 0 1 1  + f  1  f 1/2(e + f ) e 2 1 1 1/2(e + f ) e f 1 0 2 2 1 1 2 0 1 2  0 1 Aix´ı, si S ´es el subespai de les matrius sim`etriques, M ∩ S =< A1 , A2 >R , on  1 A1 =  0 0 1 2 1 2 1 1 2  1 0  0 A2 =  1 1 2 1 1 2 0 1 2  0 1 d) Els dos apartats anteriors ens poden ajudar a determinar el que busquem, sempre que es verifiqui que M = MS ⊕ MH (on MS = M ∩ S =< A1 , A2 >R i MH = M ∩ H =< A0 >R ). Essent aix´ı, dimR (M ) = dimR (MS ) + dimR (MH ) = 2 + 1 = 3 i una base estar`a formada per la uni´ o de les bases trobades a b) i c).
d.1.) ∀A ∈ MS ∩ MH , A ∈ S ∩ H i, per tant, A = [0]3×3 . De manera que MS ∩ MH = {[0]3×3 }.
d.2.) ∀A ∈ MS + MH , ∃λ, β, γ ∈R | A = λA1 + βA2 + γA0 . Com que A0 , A1 , A2 ∈ M i M ´es subespai vectorial, llavors A ∈ M . Amb aix` o veiem que MS + MH ⊂ M .
d.3.) ∀A ∈ M podem comprovar r` apidament que AT ∈ M , i amb ella definim: Algweb AS = 1 (A + AT ) 2 AH = 1 (A − AT ) 2 D’aquesta manera, AS ∈ MS i AH ∈ MH , i a m´es es verifica que A = AS + AH . Amb aix` o veiem que M ⊂ MS + MH .
I un cop hem vist que M = MS ⊕ MH ja podem concloure que M =< A0 , A1 , A2 >R .
Resoluci´ o alternativa. C`alcul directe d’una base de M .
Plantejant el sistema de 9 equacions,  a11 + a12 + a13      a21 + a22 + a23      a31 + a32 + a33    a + a + a 11 21 31  a + a + a 12 22 32      a + a + a 13 23 33      a11 + a22 + a33    a13 + a22 + a31 =s =s =s =s =s =s =s =s Si substitu¨ım el valor de s de la vuitena equaci´o en la resta d’equacions,  a12 + a13 − a22 − a33      a + a23 − a11 − a33    21     a31 + a32 − a11 − a22 a21 + a31 − a22 − a33    a12 + a32 − a11 − a33      a13 + a23 − a11 − a22     a13 + a31 − a11 − a33 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 que en forma matricial resulta,  a11   0 −1  a12    −1   a13   0      0   a21   0      −1   a22  =  0      −1   a23   0      0  a31  0   a32 0 −1 a33  0 1  −1 0   −1 0   0 0   −1 1  −1 0 −1 0 1 0 0 0 0 1 1  −1 0 −1 −1 0 −1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0  i ara, per operacions elementals de fila arribem al seg¨ uent sistema equivalent:  a11   0 1/3  a12    −2/3   a13   0      −2/3   a21   0      −4/3   a22  =  0      −1/3   a23   0      0 2/3  a31    0 a32 0 a33  1 0  0  0  0  0 0 Algweb  0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −2/3 −2/3 1/3 2/3 −1/3 −4/3 0 −2/3 1/3 −2/3 −1/3 −1/3 −1/3 0  d’on treiem que qualsevol matriu m` agica A la podem expressar segons,  2/3 A = a31  −2/3 1      2/3 −1/3 2/3 −1/3 2/3 −1/3 2/3 2/3 1/3 4/3 +a32  1/3 1/3 1/3 +a33  4/3 1/3 −2/3  0 0 0 1 0 0 0 1 = N ot a31 M1 +a32 M2 +a33 M3 de manera que {M1 , M2 , M3 } s´ on sistema de generadors. F`acilment comprovem que tamb´e s´on linealment independents, formant aix´ı una base de M .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/01 (nivell 3) Donades les seg¨ uents aplicacions, definides sobre R2 i R3 per: f1 (x, y) = (y, x) f2 (x, y) = (3x, 3x + y) f3 (x, y) = (2x − y, x + y) f4 (x, y) = (x + 2, 3x + y) f5 (x, y) = (sin x, sin 2y) f6 (x, y, z) = (3x, x − y, 2x + y + z) f7 (x, y, z) = (5x + 3z, x − z, x + y) Es demana: a) Comprovar si s´ on lineals.
Algweb b) Trobar [fi ]B i = 1, ..., 7, on B ´ es la base can` onica de l’espai vectorial corresponent en cada cas on fi sigui lineal.
c) Calcular el rang i la nul·litat de cada aplicaci´ o lineal.
d) Trobar bases del nucli i de la imatge de fi lineal.
a) ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ R2 , x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ).
• f1 : f1 (λx + y) = f1 (λx1 + y1 , λx2 + y2 ) = (λx2 + y2 , λx1 + y1 ) = (λx2 , λx1 ) + (y2 , y1 ) = = λf1 (x1 , x2 ) + f1 (y1 , y2 ) = λf1 (x) + f1 (y) f1 ´es lineal.
• f2 : f2 (λx + y) = f2 (λx1 + y1 , λx2 + y2 ) = (3λx1 + 3y1 , 3λx1 + 3y1 + λx2 + y2 ) = = (3λx1 , 3λx1 + λx2 ) + (3y1 , 3y1 + y2 ) = λf2 (x1 , x2 ) + f2 (y1 , y2 ) = λf2 (x) + f2 (y) f2 ´es lineal.
• f3 : f3 (λx + y) = f3 (λx1 + y1 , λx2 + y2 ) = (2λx1 + 2y1 − λx2 − y2 , λx1 + y1 + λx2 + y2 ) = = (2λx1 − λx2 , λx1 + λx2 ) + (2y1 − y2 , y1 + y2 ) = λf3 (x1 , x2 ) + f3 (y1 , y2 ) = λf3 (x) + f3 (y) f3 ´es lineal.
• f4 : f4 (λx + y) = f4 (λx1 + y1 , λx2 + y2 ) = (λx1 + y1 + 2, 3λx1 + 3y1 + λx2 + y2 ) = = (λx1 + 2, 3λx1 + λx2 ) + (y1 , 3y1 + y2 ) + (2, 0) − (2, 0) = λf4 (x1 , x2 ) + f4 (y1 , y2 ) − (2, 0) = = λf4 (x) + f4 (y) − (2, 0) = λf4 (x) + f4 (y) f4 no ´es lineal.
• f5 : f5 (λx+y) = f5 (λx1 +y1 , λx2 +y2 ) = (sin(λx1 +y1 ), sin(2(λx2 +y2 ))) = (λsinx1 +siny1 , λsin2x2 +sin2y2 ) = = λ(sinx1 , sin2x2 ) + (siny1 , sin2y2 ) = λf5 (x1 , x2 ) + f5 (y1 , y2 ) = λf5 (x) + f5 (y) f5 no ´es lineal.
∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ R3 , x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ).
• f6 : f6 (λx+y) = f6 (λx1 +y1 , λx2 +y2 , λx3 +y3 ) = (3λx1 +3y1 , λx1 +y1 −λx2 −y2 , 2λx1 +2y1 +λx2 +y2 +λx3 +y3 ) = = (3λx1 , λx1 − λx2 , 2λx1 + λx2 + λx3 ) + (3y1 , y1 − y2 , 2y1 + y2 + y3 ) = λf6 (x1 , x2 , x3 ) + f6 (y1 , y2 , y3 ) = = λf6 (x) + f6 (y) f6 ´es lineal.
• f7 : f7 (λx+y) = f7 (λx1 +y1 , λx2 +y2 , λx3 +y3 ) = (5λx1 +5y1 +3λx3 +3y3 , λx1 +y1 −λx3 −y3 , λx1 +y1 +λx2 +y2 ) = = (5λx1 + 3λx3 , λx1 − λx3 , λx1 + λx2 ) + (5y1 + 3y3 , y1 − y3 , y1 + y2 ) = λf7 (x1 , x2 , x3 ) + f7 (y1 , y2 , y3 ) = = λf7 (x) + f7 (y) f7 ´es lineal.
b) Considerem B = {(1, 0), (0, 1)} base can`onica de R2 .
• f1 : [f1 ]B = 0 1 1 0 [f2 ]B = 3 3 • f2 : 0 1 • f3 : [f3 ]B = 2 −1 1 1 Considerem B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} base can`onica de R3 .
• f6 :   0 0 1   0 3 0 −1  1 0 3 0 [f6 ]B =  1 −1 2 1 • f7 : 5 [f7 ]B =  1 1 c) • f1 : rg(f1 ) = rg([f1 ]B ) = 2. Per tant, pel teorema fonamental de dimensions, η(f1 ) = 2 − 2 = 0.
• f2 : rg(f2 ) = rg([f2 ]B ) = 2. Per tant, η(f2 ) = 2 − 2 = 0.
• f3 : rg(f3 ) = rg([f3 ]B ) = 2. Per tant, η(f3 ) = 2 − 2 = 0.
• f6 : rg(f6 ) = rg([f6 ]B ) = 3. Per tant, η(f6 ) = 3 − 3 = 0.
Algweb • f7 : rg(f7 ) = rg([f7 ]B ) = 3. Per tant, η(f7 ) = 3 − 3 = 0.
d) Hem vist a l’apartat anterior que totes les nul·litats s´ on zero, de manera Ker(fi ) = {0}, ∀i = 1, 2, 3, 6, 7.
Les imatges les calculem directament a partir de les columnes de cada matriu associada. Com que totes les aplicacions s´on de rang m`axim, llavors totes les columnes de cada matriu formaran directament una base per a cada aplicaci´ o. Aix´ı, • f1 : {(0, 1), (1, 0)} ´es base d’Im(f1 ).
• f2 : {(3, 3), (0, 1)} ´es base d’Im(f2 ).
• f3 : {(2, 1), (−1, 1)} ´es base d’Im(f3 ).
• f6 : {(3, 1, 2), (0, −1, 1), (0, 0, 1)} ´es base d’Im(f6 ).
• f7 : {(5, 1, 1), (0, 0, 1), (3, −1, 0)} ´es base d’Im(f7 ).
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/02 (nivell 3) Siguin u1 = (1, 5), u2 = (1, 6) ∈ R2 . Existeix una aplicaci´ o lineal f : R2 −→ R tal que f (u1 ) = −1 i f (u2 ) = 0 ? En cas afirmatiu trobeu f (−3, 2).
Considerant V = {u1 , u2 } base de R2 , per l’enunciat tenim Im(f ) =< f (u1 ), f (u2 ) >R i, per tant, podem determinar [f ]V {1} = [ −1 0 ] que, per l’isomorfisme existent entre LR (R2 , R) i MR (1 × 2), correspon a una aplicaci´o lineal.
Algweb Si busquem les coordenades de (−3, 2) i (1, 5) en la base V , (−3, 2) = −20(1, 5) + 17(1, 6) (1, 5) = 1(1, 5) + 0(1, 6) de manera que f (−3, 2) = −20f (1, 5) + 17f (1, 6) = −20f (u1 ) + 17f (u2 ) = 37 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/03 (nivell 3) Sigui f : R −→ R definida per f (a) = λa, λ ∈ R. Aquesta aplicaci´ o rep el nom d’homot` ecia de ra´ o λ. Demostreu que ´ es lineal, i que totes les aplicacions lineals de R en R s´ on homot` ecies.
Comprovem que ´es lineal: ∀µ ∈R, ∀a, b ∈R, f (µa + b) = λ(µa + b) = µ(λa) + λb = µf (a) + f (b) i per tant, f ´es lineal.
Algweb Considerem una aplicaci´o f qualsevol definida en R. S’haur`a de verificar que ∀x ∈ R, f (x) ∈ R. Per`o = xλ. I llavors, f ´ f (x) = f (x · 1) = xf (1) not es una homot`ecia de ra´o λ.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/04 (nivell 3) Siguin E i E dos espais vectorials sobre el mateix cos commutatiu, i dimK E = n. Sigui {e1 , ..., en } una base d’E i {v1 , ..., vn } un sistema de n vectors d’E . Demostreu que existeix una u ´ nica f ∈ LK (E, E ) tal que ∀i = 1, ..., n f (ei ) = vi . Si a m´ es dimK E = n i {v1 , ..., vn } ´ es una base d’E , demostreu que llavors l’aplicaci´ of ´ es un isomorfisme.
Suposem que f existeix. Llavors, ∀x ∈ E, considerant x = n n f (x) = f ( αi ei ) = n i=1 αi ei n αi f (ei ) = i=1 i=1 es verificar`a αi vi i=1 Vist aix` o definim la seg¨ uent aplicaci´o f : f : E −→ E n Algweb x −→ f (x) = • Verifiquem que ´es lineal: ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E, x = n f (λx + y) = f (λ αi vi i=1 n αi ei + i=1 n i=1 n βi ei ) = f ( i=1 αi ei , y = n i=1 βi ei , n n (λαi + βi )ei ) = i=1 n (λαi + βi )vi = i=1 n λαi vi + i=1 n =λ αi vi + i=1 βi vi = λf (x) + f (y) i=1 • Verifiquem que f (ei ) = vi , ∀i = 1, ..., n: ei = 0 · e1 + · · · + 1 · ei + · · · + 0 · en = si k = i, αk = 0 si k = i, i aix` o ∀i = 1, ..., n.
Llavors, f (ei ) = n k=1 βi vi = i=1 αk vk = 0 · v1 + · · · + 1 · vi + · · · + 0 · vn = vi n k=1 αk ek on αk = 1 ∀i = 1, ..., n.
• Verifiquem que ´es u ´ nica: Suposem que existeixen dues aplicacions lineals f1 , f2 que verifiquen f1 (ei ) = f2 (ei ) = vi , ∀i = 1, ..., n. Llavors, f1 (ei ) − f2 (ei ) = (f1 − f2 )(ei ) = 0 ∀i = 1, ..., n n ∀x ∈ E, x = =⇒ n n αi ei ) − f2 ( f1 ( i=1 (f1 − f2 )(x) = f1 (x) − f2 (x) = αi ei , i=1 n i=1 n αi f1 (ei ) − αi ei ) = i=1 =⇒ n i=1 f1 − f2 = ˜0 n αi (f1 − f2 )(ei ) = αi f2 (ei ) = i=1 =⇒ αi 0 = 0 i=1 f1 = f2 Sabem que Im(f ) =< f (e1 ), ..., f (en ) >K =< v1 , ..., vn >K . Si suposem que {v1 , ..., vn } ´es base d’E , llavors Im(f ) = E i per tant, f ´es exhaustiva i rang(f ) = dimK E = n. Llavors, pel teorema fonamental de dimensions, dimK E = n = rang(f ) + η(f ) = n + η(f ) =⇒ η(f ) = 0 =⇒ Ker(f ) = {0} amb la qual cosa f ´es injectiva.
Com que f ´es injectiva i exhaustiva, ´es bijectiva, i ´es aix´ı un isomorfisme entre E i E .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/05 (nivell 3) Sigui f ∈ LK (E, E ) i A = {e1 , ..., en } un sistema de vectors d’E. Demostreu que: a) Si A ´ es un sistema lligat, llavors {f (e1 ), ..., f (en )} tamb´ e´ es un sistema lligat.
b) Si {f (e1 ), ..., f (en )} ´ es un sistema lliure, llavors A ´ es un sistema lliure.
Quan f ´ es injectiva tenim a m´ es que: c) Si A ´ es lliure, llavors {f (e1 ), ..., f (en )} ´ es un sistema lliure.
d) Si A ´ es base d’E, llavors {f (e1 ), ..., f (en )} ´ es base d’Imf .
Quan f ´ es exhaustiva tenim a m´ es que: e) Si A genera E, llavors {f (e1 ), ..., f (en )} genera E .
Algweb Fixem-nos que si reescrivim la implicaci´ o de l’apartat a) com p ⇒ q, llavors l’apartat b) ´es ¬q ⇒ ¬p. De manera que, demostrar un apartat ´es equivalent a demostrar l’altre. Per comoditat demostrarem l’apartat b): b) Comprovem que {e1 , ..., en } s´ on vectors linealment independents. Siguin α1 , ..., αn ∈K i considerem α1 e1 + · · · + αn en = 0 f (α1 e1 + · · · + αn en ) = f (0) = 0 =⇒ α1 f (e1 ) + · · · + αn f (en ) = 0 =⇒ i com que {f (e1 ), ..., f (en )} ´es un sistema lliure, resulta α1 = α2 = · · · = αn = 0 c) Comprovem que A ´es un sistema lliure. Siguin α1 , ..., αn ∈K i considerem α1 f (e1 ) + · · · + αn f (en ) = 0 f (α1 e1 + · · · + αn en ) = 0 =⇒ α1 e1 + · · · + αn en ∈ Ker(f ) =⇒ =⇒ α1 e1 + · · · + αn en = 0 i com que {e1 , ..., en } ´es un sistema lliure, resulta α1 = α2 = · · · = αn = 0 d) Sigui A base d’E. Llavors, per definici´ o, Im(f ) =< f (e1 ), ..., f (en ) >K per`o hem vist a l’apartat anterior que, com que A ´es lliure (per ser base), llavors {f (e1 ), ..., f (en )} tamb´e ho ´es. I per tant, {f (e1 ), ..., f (en )} ´es base d’Im(f ).
e) E =< e1 , ..., en >K =⇒ Im(f ) =< f (e1 ), ..., f (en ) >K per`o per ser f exhaustiva, Im(f ) = E , i llavors, E =< f (e1 ), ..., f (en ) >K Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/06 (nivell 3) a) Busqueu un endomorfisme f ∈ LR (R3 , R3 ) per al que R3 = Kerf ⊕ Imf .
b) Busqueu un endomorfisme f ∈ LR (R4 , R4 ) per al que Kerf = Imf .
a) Suposem V = {e1 , e2 , e3 } base de R3 . Definim Ker(f ) =< e1 >R Im(f ) =< e2 , e3 >R llavors, Algweb   0 0 0 [f ]V =  0 a b  0 c d on a, b, c, d ∈R s´ on valors tals que rang(f ) = 2. Per exemple,  0 [f ]V =  0 0  0 0 1 −1  1 1 b) Suposem V = {e1 , e2 , e3 , e4 } base de R4 . Definim Ker(f ) = Im(f ) =< e1 , e2 >R llavors, 0 0 [f ]V =  0 0   0 a b 0 c d  0 0 0 0 0 0 on a, b, c, d ∈R s´ on valors tals que rang(f ) = 2. Per exemple, 0 0 [f ]V =  0 0  0 0 0 0 1 2 0 0  3 4  0 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/07 (nivell 3) Sigui E un espai vectorial sobre un cos commutatiu K, amb E = {0}. Sigui H el subconjunt definit per: H = {f ∈ LK (E, E)/ Kerf = Imf } ´ H un subespai vectorial de l’espai vectorial dels endomorfismes definits sobre E? a) Es b) Demostreu que si E =R3 , llavors H = ∅.
c) Demostreu que si f ∈ H, llavors f 2 = ˜0.
d) Demostreu que si f ∈ H, llavors f no ´ es ni injectiva ni exhaustiva.
Algweb a) Per comprovar si H ´es subespai vectorial, veiem primer si ˜0 ∈ H: Im(˜ 0) = {0} = E = Ker(˜0) ˜0 ∈ /H =⇒ i amb aix` o ja veiem que H no ´es subespai vectorial de LK (E, E).
b) ∀f ∈ H s’ha de verificar el teorema fonamental de dimensions: 3 = rg(f ) + η(f ) = 2rg(f ) =⇒ rg(f ) = 3 ∈ /N 2 i aquesta contradicci´o prov´e de suposar que existeix algun element f d’H. Per tant, H = ∅.
c) ∀f ∈ H, ∀x ∈ E, f 2 (x) = f (f (x)) = f (y) = 0 =⇒ f 2 = ˜0 ja que y ∈ Im(f ) = Ker(f ).
d) Veurem les dues condicions per reducci´o a l’absurd. Sigui f ∈ H: d.1.) f ´es injectiva. Llavors Ker(f ) = {0} = Im(f ), i per tant, f = ˜0 =⇒ Ker(f ) = E = {0}.
d.2.) f ´es exhaustiva. Llavors Im(f ) = E = Ker(f ), i per tant, f = ˜0 =⇒ Im(f ) = {0} = E.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/08 (nivell 3) Sigui l’espai vectorial real V = {p(x) ∈ R[x] / grau (p(x)) ≤ m} amb m ∈ N∗ donat.
Definim D : V −→ V p(x) −→ D(p(x)) = d(p(x)) dx a) Comproveu que D ´ es lineal. Trobeu la seva matriu en la base trivial. Calculeu-ne el rang i la nul·litat.
b) Quan m = 2, trobeu la matriu de D en la base {1, (x − 1), (x − 1)2 }.
a) ∀λ ∈R, ∀p(x), q(x) ∈ V, Algweb D(λp(x) + q(x)) = d(λp(x) + q(x)) d(p(x)) d(q(x)) =λ + = λD(p(x)) + D(q(x)) dx dx dx amb la qual cosa veiem que D ´es lineal.
Considerant B = {1, x, x2 , ..., xm } la base trivial de V , la matriu associada a D en aquesta base ´es 0 0 .
.
[D]B =  .
0  0  1 0 ··· 0 0 2 ··· 0  .. .. . .
.  . ..  . .
 ∈ MR ((m + 1) × (m + 1)) 0 0 ··· m 0 0 ··· 0 El rang de D ´es el rang de la matriu associada que acabem de trobar, que ´es m. Per tant, pel teorema fonamental de dimensions, la nul·litat ´es (m + 1) − m = 1.
b) Com a cas particular de l’apartat anterior, la matriu en la base trivial queda  0 [D]B =  0 0  1 0 0 2 0 0 Si anomenem N a la nova base donada per l’enunciat, el canvi de base respecte de la trivial B queda   1 −1 1 [Id]N B =  0 1 −2  0 0 1 i llavors, [D]N = [Id]−1 N B [D]B [Id]N B   1 1 1 0 = 0 1 20 0 0 1 0    1 0 1 −1 1 0 0 2   0 1 −2  =  0 0 0 0 0 1 0  1 0 0 2 0 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/09 (nivell 3) Sigui l’espai vectorial real V = {p(x) ∈ R[x]/ grau (p(x)) ≤ 2}. Sigui a ∈ R donat. Definim: Ta : V −→ V p(x) −→ Ta (p(x)) = p(x + a) a) Comproveu que sigui quin sigui a, Ta ´ es un automorfisme sobre V .
b) Trobeu la matriu associada a Ta en la base trivial.
c) Comproveu que el conjunt {Ta , ∀a ∈ R} amb la composici´ o d’endomorfismes ´ es grup commutatiu.
Algweb a) Per tal que sigui automorfisme, Ta haur`a de ser una aplicaci´ o lineal i bijectiva.
a.1.) Ta ´es aplicaci´o Efectivament, ∀p(x) ∈ V ∃!Ta (p(x)) = p(x + a) ∈ V .
a.2.) Ta ´es lineal ∀λ ∈R, ∀p(x), q(x) ∈ V , λp(x) + q(x) N=ot r(x), Ta (λp(x) + q(x)) = Ta (r(x)) = r(x + a) = λp(x + a) + q(x + a) = λTa (p(x)) + Ta (q(x)) i per tant, Ta ´es lineal.
a.3.) Ta ´es injectiva ∀p(x) ∈ Ker(Ta ), p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 , Ta (p(x)) = p(x + a) = ˜0(x + a) =⇒ p0 + p1 (x + a) + p2 (x + a)2 = 0 =⇒ p0 + p1 a + p2 a2 + (p1 + 2p2 a)x + p2 x2 = 0 =⇒ p0 = p1 = p 2 = 0 =⇒ p(x) = ˜0(x) i per tant, Ker(Ta ) = {˜ 0} i Ta ´es injectiva.
a.4.) Ta ´es exhaustiva dimR (V ) = 3 = η(Ta ) + rang(Ta ) = 0 + rang(Ta ) =⇒ b) Sigui B = {1, x, x2 } la base trivial de V . Calculant les imatges, Ta (1) = 1 Ta (x) = x + a Im(Ta ) = V Ta (x2 ) = (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 I llavors, la matriu ´es  1 a [Ta ]B =  0 1 0 0  a2 2a  1 c) Sigui G = {Ta , ∀a ∈ R}, volem veure que (G, ·) verifica: c.1.) associativa c.2.) ∃ element neutre c.3.) ∃ element sim`etric c.4.) commutativa La primera propietat es verifica per her`encia dels endomorfismes definits sobre V , LR (V ). Pel que fa a les altres dues propietats, caldr`a comprovar que els u ´nics elements possibles, que seran els heretats de LR (V ) pertanyen tamb´e a G. Veiem-ho: Algweb Element neutre: Fixem-nos que Id ´es un automorfisme de G ja que coincideix amb un Ta per a a = 0.
Element sim`etric: Cal comprovar que Ta−1 ∈ G, ∀a ∈R. Si calculem la matriu inversa a la trobada en l’apartat anterior,   1 −a a2  0 1 −2a  [Ta−1 ]B = [Ta ]−1 B = 0 0 1 i aix´ı veiem que Ta−1 = T−a ∈ G Per veure la propietat commutativa considerem dos elements qualssevol de G, Ta , Tb i comprovem que Ta · Tb = Tb · Ta : Ta · Tb = Tb · Ta ⇐⇒ [Ta · Tb ]B = [Tb · Ta ]B       1 a + b (a + b)2 1 b b2 1 a a2 1 2(a + b)  = [Tb · Ta ]B [Ta · Tb ]B =  0 1 2a  ·  0 1 2b  =  0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 i obtenim Ta · Tb = Tb · Ta = Ta+b .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/10 (nivell 3) Sigui C2 [x] l’espai vectorial complex dels polinomis de grau ≤ 2.
Sigui V = {1, x, x2 } la base trivial de C2 [x] i M = {q1 (x) = i + ix + ix2 , q2 (x) = i + ix, q3 (x) = i} un sistema de polinomis.
a) Demostreu que M ´ es base de C2 [x].
b) Sigui h l’endomorfisme definit sobre C2 [x] que verifica h(x2 ) = i + ix + ix2 h(1 − x2 ) = −2 − 2x h(1 + x + x2 ) = 0 Trobeu [h]V i [h]M .
Algweb c) Es defineix H = {p(x) ∈ C2 [x]/ p(0) = 0}, subespai vectorial de C2 [x]. Demostreu que C2 [x] = Kerh ⊕ H.
d) Demostreu que h3 = ˜ 0.
a) Siguin α1 , α2 , α3 ∈C i plantegem la seg¨ uent combinaci´o lineal igualada a ˆ0: α1 q1 + α2 q2 + α3 q3 = ˆ0 =⇒ ∀x ∈ C α1 q1 (x) + α2 q2 (x) + α3 q3 (x) = ˆ0(x) = 0 =⇒ ∀x ∈ C α1 (i + ix + ix2 ) + α2 (i + ix) + α3 i = 0 =⇒ ∀x ∈ C (α1 i + α2 i + α3 i)1 + (α1 i + α2 i)x + α1 ix2 = 0 per tant, com que {1, x, x2 } s´ on linealment independents, α1 i + α2 i + α3 i = α1 i + α2 i = α1 i = 0, i llavors α1 = α2 = α3 = 0, cosa que implica que {q1 , q2 , q3 } s´ on base de C2 [x].
b) Per calcular [h]V ens caldr`a con`eixer h(1), h(x), h(x2 ). Com que h ´es lineal, h(1) = h(x2 ) + h(1 − x2 ) = i − 2 + (i − 2)x + ix2 h(x) = h(1 + x + x2 ) − h(x2 ) − h(1) = (2 − 2i) + (2 − 2i)x − 2ix2 h(x2 ) = i + ix + ix2 i llavors   i − 2 2 − 2i i [h]V =  i − 2 2 − 2i i  i −2i i Per calcular [h]M podem fer el mateix que abans o b´e aplicar un canvi Sabem que    i i i 0 0 [Id]M V =  i i 0  ; [Id]V M =  0 −i i 0 0 −i i de base a la matriu anterior.
 −i i  0 per tant,  [h]M = [Id]−1 M V [h]V [Id]M V  0 −i i =  0 0 −2  0 0 0 c) Per comoditat de c` alculs, calculem el Ker(h) en la base M :      0 −i i p0 0  0 0 −2   p1  =  0  0 0 0 p2 0 resolent el sistema,  0 0 0 1 0 0     0 p0 0 1   p1  =  0  0 p2 0 de manera que Ker(h) = {p(x) ∈ C2 [x], p(x)M = (a0 , a1 , a2 ) / a1 = a2 = 0} =< i + ix + ix2 >C i en la base V , Ker(h) = {p(x) ∈ C2 [x], p(x)V = (p0 , p1 , p2 ) / p0 = p1 = p2 } Caracteritzem el subespai H en la base V per poder treballar amb Ker(h): H = {p(x) ∈ C2 [x], p(x)V = (p0 , p1 , p2 ) / p0 = 0} Llavors la intersecci´ o queda Ker(h) ∩ H = {p(x) ∈ C2 [x], p(x)V = (p0 , p1 , p2 ) / p0 = p1 = p2 = 0} = {ˆ0} Com que Ker(h) + H ⊂ C2 [x], per veure la igualtat nom´es caldr`a verificar que les dimensions s´on les mateixes: dimC (Ker(h) + H) = dimC (Ker(h)) + dimC (H) = 1 + 2 = 3 = dimC (C2 [x]) d) h3 = ˜0 ⇐⇒ [h3 ]B = [h]3B = [0]3×3 en qualsevol comoditat de c`alculs:  0 −i [h3 ]M = [h]3M =  0 0 0 0 B base de C2 [x]. Veiem-ho en la base M , per 3 i −2  = [0]3×3 0 (Nota: Com que [h]M ´es una matriu triangular amb zeros a la diagonal, ´es nilpotent d’ordre 3, cosa que ens estalvia fer cap c` alcul.) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/11 (nivell 3) Siguin u1 = (1, −1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0, 0), u3 = (0, 0, 1, 1), u4 = (0, 0, 1, −1) vectors de R4 .
a) Proveu que s´ on base de R4 i que existeix un u ´ nic endomorfisme f definit sobre R4 que verifica: Kerf =< u1 + u2 , u3 + u4 − u1 >R ; f (u1 ) = 2u1 ; f (u3 ) = 2u3 b) Trobeu f (x, y, z, t), ∀(x, y, z, t) ∈ R4 .
c) Proveu que R4 = Kerf ⊕ Imf .
Algweb a) Per veure que N = {u1 , u2 , u3 , u4 } s´ on base n’hi ha prou amb veure que s´ on linealment independents.
Muntem, per exemple, una matriu que tingui els quatre vectors per columnes 1  −1  0 0  1 1 0 0  0 0 0 0   1 1 1 −1 i aplicant operacions elementals de fila comprovem que la seva merf ´es I4 .
Fixem-nos que f (u1 ) = 2u1 f (u1 ) + f (u2 ) = 0 =⇒ f (u2 ) = −f (u1 ) = −2u1 f (u3 ) = 2u3 f (u3 ) + f (u4 ) − f (u1 ) = 0 =⇒ f (u4 ) = f (u1 ) − f (u3 ) = 2u1 − 2u3 de manera que podem construir la matriu associada a f en la base N : 2 −2 0 0 = 0 0 0 0  [f ]N  0 2 0 0   ∈ MR (4 × 4) 2 −2 0 0 Com que la matriu ´es u ´nica, l’endomorfisme f existeix i ´es u ´nic.
b) Per aconseguir f (x, y, z, t) ens cal la matriu associada a f en la base can`onica C de R4 . A partir de la matriu anterior i de la matriu de canvi de base entre N i C podem trobar aquesta matriu: 1 −1 1 1 =⇒ [f ]C =  0 0 0 0  [f ]C = [Id]−1 CN [f ]N [Id]CN  0 0 2 −2 0 0 0 0  1 1 0 0 1 −1 0 0      1 1 0 0 0 −2 1 −1 0 2 0 0  1  −1 1 0 0   0 2 −1 1  =    0 0 1 1 0 0 0 2 2 −2 2 0 0 1 −1 0 0 0 2 0 0 i com que ∀x ∈R4 xC = (x, y, z, t), llavors     0 −2 1 −1 x −2y + z − t  0 2 −1 1   y   2y − z + t  [f (x)]C = [f ]C [x]C =    =   0 0 0 2 z 2t 0 0 0 2 t 2t  i per tant, f (x, y, z, t) = (−2y + z − t, 2y − z + t, 2t, 2t) c) Com que η(f ) = 2 llavors rang(f ) = 4 − 2 = 2. I, a partir de les dades de l’enunciat, u1 , u3 ∈ Im(f ) i s´on linealment independents, formant aix´ı una base d’Im(f ). Per tant, Ker(f ) ⊕ Im(f ) = R4 ⇐⇒ {u1 + u2 , u3 + u4 − u1 , u1 , u3 } s´ on base de R4 D’aquesta manera nom´es cal comprovar que els quatre vectors s´ on linealment independents i ja ho tenim Algweb vist.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/12 (nivell 3) Siguin E, E espais vectorials sobre K, i f ∈ LK (E, E ), g ∈ LK (E , E), tals que g · f = IdE .
a) Demostreu que f ´ es injectiva i g ´ es exhaustiva.
b) Demostreu que E = Kerg ⊕ Imf .
a) f ´es injectiva ⇐⇒ Ker(f ) = {0} ∀x ∈ Ker(f ), =⇒ =⇒ f (x) = 0 g(f (x)) = g(0) = 0 g(f (x)) = (g · f )(x) = IdE (x) = x = 0 Algweb f ´es exhaustiva ⇐⇒ Im(g) = E Com que ja sabem que Im(g) ⊂ E nom´es comprovarem que E ⊂ Im(g): ∀y ∈ E, y = IdE (y) = (g · f )(y) = g(f (y)) N=ot g(z) =⇒ ∃z ∈ E / g(z) = y =⇒ y ∈ Im(g) b) Veiem primer que Ker(g) ∩ Im(f ) = {0}: ∀x ∈ Ker(g) ∩ Im(f ), x ∈ Im(f ) =⇒ =⇒ ∃z ∈ E / f (z) = x g(f (z)) = (g · f )(z) = (IdE )(z) = z = g(x) = 0 =⇒ x = f (z) = f (0) = 0 I ara, sabent que Ker(g) + Im(f ) ⊂ E , nom´es caldr` a veure que E ⊂ Ker(g) + Im(f ). Suposem que ´ a dir, que ∀y ∈ E , ∃x ∈ Ker(g), ∃z ∈ Im(f ), z = f (u) tals que y = x + z.
es verifica aquest resultat. Es Llavors, g(y) = g(x) + g(z) = g(z) = g(f (u)) = (g · f )(u) = (IdE )(u) = u =⇒ f (g(y)) = f (u) = z Amb aix` o, ∀y ∈ E definim z = (f · g)(y) x = y − (f · g)(y) D’aquesta manera, •) x ∈ Ker(g) ja que g(x) = g(y) − g((f · g)(y)) = g(y) − (g · f )(g(y)) = g(y) − g(y) = 0 •) z ∈ Im(f ) ja que z = (f · g)(y) = f (g(y)) •) x + z = y − (f · g)(y) + (f · g)(y) = y Aix´ı, ∀y ∈ E ∃x ∈ Ker(g), ∃z ∈ Im(f ) tals que y = x + z, cosa que implica que y ∈ Ker(g) + Im(f ).
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/13 (nivell 3) En R2 sigui Fθ = “rotaci´ o de centre (0, 0) i angle θ”. Siguin θ i ϕ dos angles qualssevol. Es demana: a) Calcular la matriu associada a l’aplicaci´ o lineal Fθ · Fϕ i demostrar que coincideix amb la matriu de Fθ+ϕ .
b) Donada la rotaci´ o Fθ , demostrar que ´ es inversible, i que Fθ−1 = F−θ .
Algweb Considerem la base can` onica de R2 , C = {(1, 0), (0, 1)}. Un gir d’angle θ afecta als vectors de la base de la seg¨ uent manera: (0,1) Fµ(0,1) µ cosµ(0,1) Fµ(1,0) µ -sinµ(1,0) cosµ(1,0) sinµ(0,1) (1,0) + Llavors, les matrius associades queden [Fθ ]C = cosθ sinθ −sinθ cosθ [Fϕ ]C = cosϕ sinϕ −sinϕ cosϕ a) [Fθ · Fϕ ]C = [Fθ ]C · [Fϕ ]C = cosθ sinθ −sinθ cosϕ · cosθ sinϕ −sinϕ cos(θ + ϕ) −sin(θ + ϕ) = cosϕ sin(θ + ϕ) cos(θ + ϕ) b) cosθ sinθ 1 sinθ 0 cosθ cosθ 0 −sinθ 1 cosθ 0 sinθ 1 0 1 −sinθ[1] cos2 θ sinθ ·cosθ −sinθcosθ cosθ cosθ 0 1 0 cosθ 0 cosθ −sinθcosθ π 2 +sinθ[2] 1 · cosθ 1 0 cosθ 0 1 −sinθ [Fθ ]−1 C = [F−θ ]C =⇒ cosa que hem pogut fer considerant θ = sinθ cos2 θ 0 1 + kπ, ∀k ∈N. Analitzem els altres casos possibles: cas b.1. (cas parell): k = 2p, ∀p ∈N. En aquest cas, la matriu associada ´es [Fθ ]C = 0 −1 1 0 que ´es inversible i t´e per inversa Algweb [Fθ ]−1 C = 0 −1 1 = [F−θ ]C 0 cas b.2. (cas imparell): k = 2p + 1, ∀p ∈N. En aquest cas, la matriu associada ´es [Fθ ]C = 0 −1 1 0 que ´es inversible i t´e per inversa [Fθ ]−1 C = 0 −1 = [F−θ ]C 1 0 sinθ cosθ Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/14 (nivell 3) Siguin V i W espais vectorials sobre K. Siguin T, Q ∈ LK (V, W ), amb rang(T ) = r, rang(Q) = q. Demostreu que: |r − q| ≤ rang(T + Q) ≤ r + q Veurem que rang(T + Q) ≤ r + q a partir de demostrar que Im(T + Q) ⊂ Im(T ) + Im(Q): ∀y ∈ Im(T + Q) ∃x ∈ V / (T + Q)(x) = y Algweb =⇒ =⇒ y = T (x) + Q(x) N=ot zT + zQ ∃zT ∈ Im(T ), ∃zQ ∈ Im(Q) / y = zT + zQ =⇒ y ∈ Im(T ) + Im(Q) llavors, dimK (Im(T + Q)) = rang(T + Q) ≤ dimK (Im(T ) + Im(Q)) = = dimK (Im(T )) + dimK (Im(Q)) − dimK (Im(T ) ∩ Im(Q)) = = rang(T ) + rang(Q) − dimK (Im(T ) ∩ Im(Q)) ≤ rang(T ) + rang(Q) = r + q i per tant, arribem a que rang(T + Q) ≤ r + q.
Fixem-nos ara que T = T + Q − Q, de manera que, si tornem a aplicar el resultat que acabem de trobar tindrem que: rang(T ) = r = rang(T + Q + (−Q)) ≤ rang(T + Q) + rang(−Q) Justifiquem ara que ∀λ ∈ K, λ = 0 es verifica que Im(λQ) = Im(Q): 1) Im(λQ) ⊂ Im(Q): ∀y ∈ Im(λQ) ∃x ∈ V / λQ(x) = y =⇒ Q(λx) = y =⇒ y ∈ Im(Q).
2) Im(Q) ⊂ Im(λQ): ∀y ∈ Im(Q) ∃x ∈ V / Q(x) = y =⇒ Q( λλ x) = y =⇒ λQ( λ1 x) = y =⇒ y ∈ Im(λQ).
de manera que podem afirmar que Im(−Q) = Im(Q), i aix´ı, r ≤ rang(T + Q) + q =⇒ r − q ≤ rang(T + Q) [1] An`alogament podem considerar Q = T + Q − T i arribem a que q − r ≤ rang(T + Q). Verificant-se aquesta expressi´ o i [1] podem concloure que |r − q| ≤ rang(T + Q). I per tant, |r − q| ≤ rang(T + Q) ≤ r + q Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/15 (nivell 3) Sigui En un espai vectorial sobre K de dimensi´ o n, sigui f ∈ LK (En , En ).
Demostreu que : En = Imf ⊕ Kerf ⇐⇒ Imf = Im(f 2 ) =⇒) Vegem les dues inclosions: Im(f 2 ) ⊂ Im(f ): Algweb ∀y ∈ Im(f 2 ) ∃x ∈ En / f 2 (x) = y = f (f (x)) N=ot f (z) ∃z ∈ En / f (z) = y =⇒ =⇒ y ∈ Im(f ) Im(f ) ⊂ Im(f 2 ): Sabem que ∀x ∈ En ∃!xk ∈ Ker(f ), ∃!xi ∈ Im(f ) / x = xk + xi . Llavors, ∀y ∈ Im(f ) ∃x ∈ En / f (x) = y = f (xk + xi ) =⇒ y = f (xk ) + f (xi ) = f (xi ) per`o com que xi ∈ Im(f ) sabem que ∃z ∈ En / f (z) = xi i aix´ı, y = f (xi ) = f (f (z)) = f 2 (z) =⇒ y ∈ Im(f 2 ) ⇐=) Im(f ) = Im(f 2 ) =⇒ rg(f ) = rg(f 2 ) =⇒ n − η(f ) = n − η(f 2 ) =⇒ η(f ) = η(f 2 ) I com que a m´es Ker(f ) ⊂ Ker(f 2 ), resulta Ker(f ) = Ker(f 2 ). I ara, ∀y ∈ Ker(f ) ∩ Im(f ), ∃x ∈ En / f (x) = y =⇒ =⇒ f (f (x)) = f 2 (x) = f (y) = 0 x ∈ Ker(f 2 ) = Ker(f ) =⇒ f (x) = y = 0 amb la qual cosa veiem que Ker(f ) ∩ Im(f ) = {0}. I sabent que Ker(f ) + Im(f ) ⊂ En i verificant la igualtat de dimensions amb el teorema fonamental de dimensions, arribem a que Ker(f ) ⊕ Im(f ) = En .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/16 (nivell 3) Donats dos K-espais vectorials En , Fr , donades T, Q ∈ LK (En , Fr ) tals que rang(T ) = rang(Q) = 1 i tals que ImT = ImQ i KerT = KerQ, demostreu que ∃λ ∈ K de manera que T = λQ.
Com que rang(T ) = dimK (Im(T )) = 1, llavors, dimK (Ker(T )) = n − 1. Considerem {e1 , ..., en−1 } una base de Ker(T ) = Ker(Q), i la completem amb un vector u fins obtenir una base B d’En : B = {e1 , ..., en−1 , u} Algweb Sigui V una certa base de Fr . Si ara constru¨ım les matrius associades a T i Q en aquestes dues bases,  0 · · · 0 α1 .
.
..  =  .. . . . ..
.
0 · · · 0 αr   [T ]BV [Q]BV  0 · · · 0 β1   =  ... . . . ... ...  0 · · · 0 βr on α1 , ..., αr , β1 , ..., βr ∈K i ∃αi = 0, ∃βj = 0, i, j = 1, ..., r.
Per` o si ara considerem Im(T ) = Im(Q) =< w >K podem definir una altra base Vˆ de Fr Vˆ = {v1 , ..., vr−1 , w} que ens proporcionar` a m´es informaci´ o sobre les matrius associades, que ara queden  0 ··· 0 .
.
=  .. . . . ..  0 ··· α  [T ]B Vˆ  0 ··· 0 .
.
=  .. . . . ..  0 ··· β  [Q]B Vˆ on α, β ∈K i s´ on tals que α = 0 = β. D’aquesta manera [T ]B Vˆ = α [Q]B Vˆ β = N ot λ[Q]B Vˆ =⇒ T = λQ Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/17 (nivell 3) Sigui E un K-espai vectorial i siguin f, g ∈ LK (E, E). Definim: h : E × E −→ E (x, y) −→ h(x, y) = f (x) + g(y) a) Demostreu que h ´ es una transformaci´ o lineal.
b) Proveu que Imh = Imf + Img.
c) Demostreu que: Imh = Imf ⊕ Img ⇐⇒ Kerh = Kerf × Kerg Algweb d) Sigui E de dimensi´ o finita. Expresseu la matriu associada a h en funci´ o de les matrius associades a f i a g.
a) ∀λ ∈K, ∀(x, y), (x , y ) ∈ E × E, h(λ(x, y) + (x , y )) = h(λx + x , λy + y ) = f (λx + x ) + g(λy + y ) = λf (x) + f (x ) + λg(y) + g(y ) = = λ(f (x) + g(y)) + f (x ) + g(y ) = λh(x, y) + h(x , y ) b) Vegem les dues inclosions: Im(h) ⊂ Im(f ) + Im(g): ∀z ∈ Im(h) ∃(x, y) ∈ E × E / h(x, y) = z = f (x) + g(y) =⇒ ∃u ∈ Im(f ), ∃v ∈ Im(g) / z = u + v =⇒ z ∈ Im(f ) + Im(g).
Im(f ) + Im(g) ⊂ Im(h): ∀z ∈ Im(f ) + Im(g) ∃u ∈ Im(f ), ∃v ∈ Im(g) / z = u + v u ∈ Im(f ) =⇒ ∃x ∈ E / u = f (x) v ∈ Im(g) =⇒ ∃y ∈ E / v = g(y) =⇒ z = f (x) + g(y) =⇒ ∃(x, y) ∈ E × E / z = h(x, y) =⇒ z ∈ Im(h) c) Vegem les dues implicacions: ⇐=) La suma l’hem vist a l’apartat b). Per tant, nom´es ens cal verificar que la intersecci´ o sigui {0}: ∀x ∈ Im(f ) ∩ Im(g) ∃z, u ∈ E / x = f (z) = g(u) =⇒ f (z) − g(u) = 0 f (z) + g(−u) = h(z, −u) = 0 =⇒ (z, −u) ∈ Ker(h) = Ker(f ) × Ker(g) =⇒ z ∈ Ker(f ) ∧ u ∈ Ker(g) =⇒ =⇒ f (z) = g(u) = x = 0 i aix´ı veiem que Im(f ) ∩ Im(g) = {0} =⇒) Per veure la igualtat, verificarem les dues inclosions: Ker(h) ⊂ Ker(f ) × Ker(g): ∀(x, y) ∈ Ker(h), h(x, y) = f (x) + g(y) = 0 f (x) = −g(y) = g(−y) =⇒ f (x) ∈ Im(f ) ∩ Im(g) = {0} Algweb =⇒ =⇒ f (x) = g(−y) = 0 =⇒ x ∈ Ker(f ) ∧ y ∈ Ker(g) =⇒ (x, y) ∈ Ker(f ) × Ker(g) Ker(f ) × Ker(g) ⊂ Ker(h): ∀(x, y) ∈ Ker(f ) × Ker(g), f (x) = g(y) = 0 =⇒ f (x) + g(y) = h(x, y) = 0 =⇒ (x, y) ∈ Ker(h) d) Suposem dimK (E) = n i considerem V = {e1 , ..., en } una certa base d’E. Llavors, sabem que W = {(e1 , 0), ..., (en , 0), (0, e1 ), ..., (0, en )} ´es base d’E × E. Si calculem la matriu associada a h en aquesta base de sortida i amb V com a base d’arribada,  [h]W V ↑ =  [h(e1 , 0)]V ↓  ↑ · · · [h(0, en )]V  ↓ Fixem-nos que h(ei , 0) = f (ei ) i h(0, ei ) = g(ei ) ∀i = 1, ..., n, de manera que  [h]W V ↑ =  [f (e1 )]V ↓ ↑ · · · [f (en )]V ↓ ↑ [g(e1 )]V ↓   ↑ · · · [g(en )]V  =  [f ]V ↓  [g]V  ∈ MK (n × 2n) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/18 (nivell 3) Sigui E un K-espai vectorial. Definim un projector sobre E com aquell endomorfisme p : E −→ E, que verifica p · p = p.
a) Comproveu que p ´ es projector si i nom´ es si Id − p ´ es projector.
b) Siguin p1 i p2 projectors. Sota quines condicions ´ es p1 + p2 un projector? Sigui E de dimensi´ o finita.
c) Demostreu que si p ´ es projector, llavors Imp ⊕ Kerp = E.
d) Doneu un exemple d’endomorfisme f de R2 que no sigui projector per` o que tot i aix´ı verifiqui Imf ⊕ Kerf =R2 .
Algweb a) (Id − p)2 = Id − p ⇐⇒ Id − 2p + p2 = Id − p ⇐⇒ −2p + p2 = −p ⇐⇒ p2 = p b) p1 + p2 ´es projector si i nom´es si (p1 + p2 )2 = p1 + p2 ⇐⇒ p21 + p22 + p1 p2 + p2 p1 = p1 + p2 ⇐⇒ p1 p2 + p2 p1 = ˜0 c) Comprovem primer que Ker(p) ∩ Im(p) = {0}: ∀x ∈ Ker(p) ∩ Im(p), x ∈ Im(p) =⇒ =⇒ =⇒ ∃z ∈ E / p(z) = x p(p(z)) = p(x) 2 p (z) = p(z) = x = p(x) i com que x ∈ Ker(p), llavors x = p(x) = 0 de manera que x = 0 i per tant, Ker(p) ∩ Im(p) = {0}.
Sabent que Ker(p)+Im(p) ⊂ E, per veure la igualtat de subespais nom´es ens caldr`a verificar la igualtat de dimensions. Suposant que dimK (E) = n, dimK (Ker(p) + Im(p)) = η(p) + r(p) − dimK (Ker(p) ∩ Im(p)) = η(p) + r(p) i aquesta suma ´es n, pel teorema fonamental de dimensions.
d) Sigui V = {u1 , u2 } una certa base de R2 de manera que [f ]V = 0 0 2 0 D’aquesta manera, Ker(f ) =< u1 >K i Im(f ) =< u2 >K i es verifica que R2 = Ker(f ) ⊕ Im(f ). Per`o en canvi, f 2 = f ja que [f ]2V = [f ]V .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/19 (nivell 3) Considerem en R3 dues bases: B1 = {e1 , e2 , e3 } i B2 = {a1 , a2 , a3 }.
Sigui t ∈ R3 un vector qualsevol. Coordenades de t: tB1 = (x, y, z) tB2 = (ˆ x, yˆ, zˆ) Suposem: x ˆ=x−y+z yˆ = −2y + z zˆ = x + 2y Algweb Considerem en R2 dues bases: D1 = {c1 , c2 } i D2 = {d1 , d2 } .
Sigui v ∈ R2 un vector qualsevol de R2 . Coordenades de v: vD1 = (α, β) ˆ vD2 = (α ˆ , β) Suposem: α=α ˆ + βˆ β=α ˆ − βˆ Definim: f : R2 −→ R3 f (α, β) = (2α − 3β)e1 + αe2 + βe3 Es demana: a) Expressar els vectors de B1 com a combinacions lineals dels vectors de B2 i viceversa.
b) Expressar els vectors de D1 com a combinacions lineals dels vectors de D2 i viceversa.
c) Comprovar que f ´ es lineal i trobar [f ]D1 B1 , [f ]D1 B2 , [f ]D2 B1 , [f ]D2 B2 d) Trobar el nucli de f en les bases D1 i D2 e) Trobar la imatge de f en les bases B1 i B2 a) A partir de la relaci´ o entre les coordenades de t en les bases B1 i B2 tenim que:        1 −1 1 x x ˆ 1 −1 1  0 −2 1   y  =  yˆ  ;  0 −2 1  t 1 2 0 z zˆ 1 2 0 B1 = t B2 aix´ı,  [Id]B1 B2  1 −1 1 =  0 −2 1  1 2 0 D’aqu´ı treiem els vectors de B1 com a combinaci´o lineal dels de B2 : e1 = a1 + a3 e2 = −a1 − 2a2 + 2a3 e3 = a1 + a2 Per trobar l’altra relaci´ o busquem la matriu inversa [Id]B2 B1 :  Algweb [Id]B2 B1  2 −2 −1 =  −1 1 1 −2 3 2 D’aqu´ı treiem els vectors de B1 com a combinaci´o lineal dels de B2 : a1 = 2e1 − e2 − 2e3 a2 = −2e1 + e2 + 3e3 a3 = −e1 + e2 + 2e3 b) A partir de la relaci´ o entre les coordenades de v en les bases D2 i D1 tenim que: 1 1 1 −1 α ˆ α = βˆ β 1 1 [v]D2 = [v]D1 1 −1 ; aix´ı [Id]D2 D1 = 1 1 1 −1 D’aqu´ı treiem els vectors de D2 com a combinaci´o lineal dels de D1 : d1 = c1 + c2 d2 = c1 − c2 Per trobar l’altra relaci´ o busquem la matriu inversa [Id]D1 D2 : [Id]D1 D2 = 1 1 1 1 −1 2 D’aqu´ı treiem els vectors de D1 com a combinaci´o lineal dels de D2 : c1 = 12 (d1 + d2 ) c2 = 12 (d1 − d2 ) c) ∀v, w ∈R2 i ∀λ ∈R, suposem vD1 = (α1 , β1 ) i wD1 = (α2 , β2 ). Llavors, f (λv + w) = (2(λα1 + α2 ) − 3(λβ1 + β2 ))e1 + (λα1 + α2 )e2 + (λβ1 + β2 )e3 = = λ((2α1 − 3β1 )e1 + α1 e2 + β1 e3 ) + (2α2 − 3β2 )e1 + α2 e2 + β2 e3 = = λf (v) + f (w) ⇒ f ´es lineal.
A partir de la definici´ o de f donada en l’enunciat, tenim la primera matriu:  Algweb      2 −3 2α − 3β 2 −3 α 1  ; 1 0 = α 0  [v]D1 = [f (v)]B1 β 0 1 β 0 1 aix´ı,  [f ]D1 B1  2 −3 = 1 0 0 1     1 −2 2 −3 1 −1 1 1 0  =  −2 =  0 −2 1   1 4 −3 0 1 1 2 0  [f ]D1 B2 = [Id]B1 B2 [f ]D1 B1  [f ]D2 B1 = [f ]D1 B1 [Id]D2 D1    2 −3 −1 5 1 1 = 1 0 = 1 1 1 −1 0 1 1 −1     1 −1 1 −1 5 −1 3 1  =  −1 −3  =  0 −2 1   1 1 7 1 −1 1 2 0  [f ]D2 B2 = [Id]B1 B2 [f ]D2 B1 d) Per trobar el Kerf en la base D1 ens fixarem, per exemple, en la matriu [f ]D1 B1 :     2 −3 0 α 1 0 = 0 β 0 1 0 ⇒ Kerf = {0} ⇒ les coordenades del Kerf en qualsevol base s´on les mateixes.
e) Per trobar la Imf en la base B1 ens fixarem, per exemple, en la matriu [f ]D1 B1 : Imf =< (2, 1, 0), (−3, 0, 1) >R Algweb Per trobar la Imf en la base B2 ens fixarem, per exemple, en la matriu [f ]D1 B2 : Imf =< (1, −2, 4), (−2, 1, −3) >R Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/20 (nivell 3) Considerem en R3 quatre bases: B1 B2 B3 B4 = {u1 , u2 , u3 } = {v1 , v2 , v3 } = {w1 , w2 , w3 } = {r1 , r2 , r3 } tB1 tB2 tB3 tB4 = (x, y, z) = (ˆ x, yˆ, zˆ) = (a, b, c) = (ˆ a, ˆb, cˆ) Suposem: x ˆ=x−y+z yˆ = −2y + z zˆ = x + 2y r1 = 2w1 − 2w2 r2 = w1 + w2 − w3 r3 = −3w1 + w2 − w3 Algweb Definim: f (x, y, z) = (x − 5y + 6z)w1 + (−2x + 3y + z)w2 + (−x − 2y + 7z)w3 Es demana: a) Expressar els vectors de B2 com a combinaci´ o lineal dels vectors de B1 .
b) Obtenir la matriu de l’aplicaci´ o lineal f quan en la sortida es considera B1 i a l’arribada B3 .
c) Expressar les coordenades del vector t en la base B4 com a sumatoris de les coordenades en la base B3 .
d) Obtenir la matriu de l’aplicaci´ o lineal f quan en la sortida es considera B2 i a l’arribada B4 .
e) Trobar el nucli de f en les bases B1 i B2 .
f ) Trobar el rang de f .
a) A partir de l’enunciat veiem que      1 −1 1 x x ˆ  0 −2 1   y  =  yˆ  1 2 0 z zˆ [Id]B1 B2 [t]B1 = [t]B2 de manera que tenim directament la matriu [Id]B1 B2 :  [Id]B1 B2  1 −1 1 =  0 −2 1  1 2 0 Per trobar la relaci´ o que ens demanen haurem de buscar la matriu inversa [Id]B2 B1 :  [Id]B2 B1  2 −2 −1 =  −1 1 1 −2 3 2 D’aqu´ı treiem les coordenades dels vectors de B2 en la base B1 : v1 = 2u1 − u2 − 2u3 v2 = −2u1 + u2 + 3u3 v3 = −u1 + u2 + 2u3 Algweb b) A partir de l’enunciat,      1 −5 6 x x − 5y + 6z  −2 3 1   y  =  −2x + 3y + z  −1 −2 7 z −x − 2y + 7z [f ]B1 B3 [t]B1 [f (t)]B3 aix´ı, la matriu demanada ´es :  1 −5 6 =  −2 3 1 −1 −2 7  [f ]B1 B3 c) Per trobar aquesta relaci´ o ens caldr` a la matriu [Id]B3 B4 . A partir de l’enunciat tenim que:      a a ˆ 2 1 −3  −2 1 1   b  =  ˆb  0 −1 −1 c cˆ [Id]B3 B4 [t]B3 = [t]B4 per tant,  [Id]B4 B3  2 1 −3 =  −2 1 1 0 −1 −1 D’aquesta manera nom´es haurem de calcular la inversa:  [Id]B3 B4  0 −2 −2 1 1 −2  =  1 4 −1 −1 −2 D’aqu´ı treiem les coordenades d’un vector gen`eric t en la base B4 com a combinacions lineals de les coordenades en la base B3 : a ˆ = 14 (−2b − 2c) ˆb = 1 (a + b − 2c) 4 cˆ = 14 (−a − b − 2c) d) Algweb [f ]B2 B4 = [Id]B3 B4 [f ]B1 B3 [Id]B2 B1     0 −2 −2 1 −5 6 2 −2 −1 1 = 1 1 −2   −2 3 1   −1 1 1 = 4 −1 −1 −2 −1 −2 7 −2 3 2      6 −2 −16 2 −2 −1 46 −62 −40 1 1 1 2 −7   −1 1 1  =  14 −21 −13  = 4 4 3 6 −21 42 −63 −39 −2 3 2 e) Per trobar el Kerf en la base B1 usarem la matriu [f ]B1 B3 : Kerf =< zB1 = (23, 13, 7) >R Per trobar el Kerf en la base B2 usarem la matriu [f ]B2 B4 : Kerf =< yB2 = (17, −19, 49) >R f) Pel teorema general de dimensions veiem que Com que η(f ) = 1 ⇒ r(f ) = 2.
3 = η(f ) + r(f ) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/21 (nivell 3) Sigui E un espai vectorial sobre el cos commutatiu K, i f un endomorfisme definit en E.
Direm que f ´ es nilpotent d’´ındex p, si ∃p ∈N∗ amb f p−1 = ˜0, i f p = ˜0. Es demana: a) Provar que si f ´ es nilpotent d’´ındex p, llavors existeix un vector x ∈ E tal que el sistema {x, f (x), f 2 (x), ..., f p−1 (x)} ´ es lliure.
b) Provar que si dimK E = n i f ´ es nilpotent d’´ındex n, existeix un vector x ∈ E tal que = {x, f (x), f 2 (x), ..., f n−1 (x)} ´ B def es base d’E. Trobeu la matriu associada a f en aquesta base.
c) Essent E =R4 i C la base can` onica, provar que f ´ es nilpotent d’´ındex 4, amb 1 1 1  3 −1 −1 [f ]C =  −1 3 −1 −1 −1 3 Algweb   3 1  1 1 Trobeu una base B de R4 tal que: 0 0 [f ]B =  0 0  1 0 0 0 0 1 0 0  0 0  1 0 a) Considerem la seg¨ uent combinaci´ o igualada a zero: α1 x + α2 f (x) + α3 f 2 (x) + · · · + αp f p−1 (x) = 0 Si ara apliquem f a banda i banda, ⇒ f (α1 x + α2 f (x) + α3 f 2 (x) + · · · + αp f p−1 (x)) = f (0) = 0 ⇒ α1 f (x) + α2 f 2 (x) + α3 f 3 (x) + · · · + αp−1 f p−1 (x) = 0 Si ara repetim aquest proc´es p-2 vegades (apliquem p-2 vegades f a banda i banda), ⇒ α1 f p−1 (x) = 0 Com que Ker(f p−1 ) = E (ja que en cas contrari, f p−1 = ˜0, cosa que contradiu l’enunciat), si ara escollim el vector x tal que x ∈ (E − Ker(f p−1 )), llavors α1 = 0. Per tant, la combinaci´ o suposada originalment ens queda: α2 f (x) + α3 f 2 (x) + · · · + αp f p−1 (x) = 0 Ara, repetint exactament el mateix per` o aplicant f p-2 vegades, tindrem que α2 f p−1 (x) = 0 ⇒ α2 = 0.
Si tornem a fer el mateix aplicant f p − 3, p − 4, p − 5, ..., 2 i 1 vegades, anirem obtenint α3 = 0, α4 = 0, α = 0, ..., αp−2 = 0 i αp−1 = 0. Aix´ı,al final, ens quedarem amb: 5 αp f p−1 (x) = 0 ⇒ αp = 0 O sigui que si escollim x ∈ / Ker(f p−1 ), llavors α1 = α2 = · · · = αp = 0 i per tant, el sistema de vectors 2 p−1 {x, f (x), f (x), ..., f (x)} ´es lliure.
b) Per l’apartat anterior, fent p = n tenim garantida la independ`encia lineal dels vectors. Aix´ı, tenim n vectors linealment independents en un espai vectorial E de dimensi´o n, per tant formen una base d’E. La matriu associada a f en la base B surt directament: 0 1  0 [f ]B =  .
 ..
 0 0 ··· 0 ··· 0 ··· .. . .
.
.
0 0 ··· 0 0 1 ..
.
 0 0  0 ..  . 0 c) f ´es nilpotent d’´ındex 4 ⇔ f 4 = 0 ⇔ en qualsevol base, la matriu associada verifica [f ]4C = 0. Aquest u ´ltim resultat ´es el m´es c` omode de veure, atenent a les dades de l’enunciat: 2 2  4  1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3  3 −1 −1 1   3 −1 −1 1   3 −1 −1 1  [f ]4C =   =    = −1 3 −1 1 −1 3 −1 1 −1 3 −1 1 −1 −1 3 1 −1 −1 3 1 −1 −1 3 1  2  0 0 8 8 0 0 8 8  0 0 =  = 8 −8 0 0 0 −8 8 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 0 Fixem-nos que la matriu [f ]B ´es la transposta de la donada en l’apartat b) per al cas n = 4, per tant ´ a dir: la base ´es la mateixa per` o invertida d’ordre. Es 3 2 = {f (x), f (x), f (x), x} B def on x ha de ser tal que x ∈ / Ker(f 3 ). Busquem el Ker(f 3 ), a partir de [f ]3C :     0 −1 1 1 1 z1 1 1 1   z2   0   −1 3 [f ]C [w]C = 16    =   0 −1 1 1 1 z3 0 1 −1 −1 −1 z4  ⇒ Ker(f 3 ) =< (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) >R = (1, 0, 0, 0). Llavors, Prenem, per exemple xC def  −16 0 1 1 0 3 0  −16 =  −16 8 −1 0 16 −8 −1 0  [Id]BC Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/22 (nivell 3) Sigui E3 un espai vectorial en R, i f : E3 −→ E3 aplicaci´ o lineal. Sigui V = {e1 , e2 , e3 } base d’E3 ; ∀x ∈ R3 , xV = (x, y, z). Definim: f (x) = (x − y + z)e1 + (x − z)e2 + (x − y − z)e3 Considerem: u1 = f (e1 ) , u2 = f (e2 ) , u3 = f (e3 ) Comproveu que N = {u1 , u2 , u3 } ´ es base d’E3 i obtingueu [f ]V N , [f ]N V , [f ]V V , [f ]N N Algweb A partir de l’enunciat veiem que:  [f ]V V  1 −1 1 = 1 0 −1  1 −1 −1 Aquesta matriu t´e, per columnes, les coordenades de les imatges dels vectors de la base V en ella mateixa, que s´ on les coordenades dels vectors u1 , u2 i u3 en la base V . Per tant, per veure que N ´es base nom´es cal buscar la m.e.r.c. de la matriu anterior. Si ho fem,  1 m.e.r.c.([f ]V ) =  0 0  0 0 1 0 1 0 ⇒ tenim 3 vectors linealment independents en un espai vectorial E3 de dimensi´o 3 ⇒ N ´es base d’E3 .
Aix´ı, [f ]V = [Id]N V .
 [f ]V N = [Id]V N [f ]V V = [Id]V N [Id]N V 1 = 0 0  [f ]N V = [f ]V V [Id]N V = [Id]2N V 0 1 0  0 0 1  1 −2 1 = 0 0 2 −1 0 3 [f ]N N = [f ]V N [Id]N V = [Id]N V = [f ]V V Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/23 (nivell 3) Sigui D = casos: d dt D : Ei −→ Ei l’aplicaci´ o lineal “derivada”. Calculeu la seva matriu associada en els seg¨ uents ∀i = 1, 2, 3, 4, 5 E1 =< et , e2t >R E2 =< 1, t >R E3 =< 1, t, t2 >R Algweb E4 =< 1, t, et , e2t , tet >R E5 =< sint, cost >R Suposarem les mateixes bases de sortida i arribada, donades en cada cas pel propi enunciat. Per trobar les matrius associades aplicarem l’operador derivada a cada vector de la base i provarem d’expressar-lo com a combinaci´o lineal d’ella mateixa. D’aqu´ı treiem unes coordenades que, col·locades en vertical, seran les columnes de la matriu.
E1 : [D]V V = 1 0 0 2 [D]V V = 0 0 1 0 E2 : E3 :  [D]V V 0 = 0 0 1 0 0  0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 E4 : 0 0  = 0  0 0  [D]V V 1 0 0 0 0 E5 : [D]V V = 0 −1 1 0  0 0  1  0 1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/24 (nivell 3) Sigui f : R2 −→ R3 aplicaci´ o lineal. En ambd´ os espais considerem la base can` onica. ∀(x, y) ∈ R , f (x, y) = (2x + y, −x + 2y, x − y). En R2 considerem: 2 B = {u1 = (1, 2), u2 = (0, −1)} a) Comproveu que ´ es base 3 En R considerem: C = {r1 = (1, 0, 1), r2 = (0, 1, 0), r3 = (0, 1, 1)} Algweb b) Comproveu que ´ es base c) Obtingueu : [f ]B0 C0 , [f ]BC0 , [f ]B0 C , [f ]BC d) Calculeu el rang de f . Caracteritzeu Kerf i Imf en cada base.
(B0 i C0 s´ on les respectives bases can` oniques) a) Per comprovar que B ´es base n’hi ha prou amb veure que els dos vectors s´on linealment independents.
Per a tal efecte construirem una matriu on les columnes siguin aquests vectors i verifiquem que el seu rang ´es 2. Llavors, [Id]BB0 = 1 0 2 −1 b) Procedim an` alogament al cas anterior i obtenim:  0 1 0  0 1 1 [Id]CC0 1 = 0 1 [f ]B0 C0  2 1 =  −1 2 1 −1 c) (obtinguda directament de l’enunciat)      2 1 4 −1 1 0 =  −1 2 =  3 −2  2 −1 1 −1 −1 1 [f ]BC0 = [f ]B0 C0 [Id]BB0  [f ]B0 C = [Id]C0 C [f ]B0 C0 1  = [Id]−1 [f ] 0 B C 0 0 CC0 1 0 1 0 −1    0 2 1 1 1   −1 2 =  1 1 1 −1 −1   0 0 2 1 1 −1   −1 2 = 0 1 1 −1   2 1  0 4 −1 −2    2 1 4 −1 1 0 = 0 4 =  8 −4  2 −1 −5 2 −1 −2  Algweb [f ]BC = [f ]B0 C [Id]BB0 d) El rang de f vindr` a donat pel rang de qualsevol de les seves matrius associades. Aquest ´es 2.
Pel teorema fonamental de dimensions veiem que η(f ) = 0 ⇒ el Kerf ve generat pel vector 0 que t´e les mateixes coordenades en qualsevol base. Aix´ı, Kerf =< (0, 0) >R .
Busquem la Imf en la base C0 a partir, per exemple, de la matriu [f ]B0 C0 : Im(f ) =< (2, −1, 1), (1, 2, −1) >R Busquem la Imf en la base C a partir, per exemple, de la matriu [f ]B0 C : Imf =< (2, 0, −1), (1, 4, −2) >R Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/25 (nivell 3) Siguin E i F espais vectorials sobre R, h, g ∈ LR (E, F ), h = g · f, B1 , B2 bases d’E, D = {v1 , v2 } base de F .
∀x ∈ E , xB1 = (x1 , x2 , x3 ) ; xB2 = (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 ) x1 = 2ˆ x1 + 3ˆ x2 + x ˆ3 x2 = x ˆ1 + 3ˆ x2 + 2ˆ x3 x3 = 3ˆ x1 + x ˆ2 + 2ˆ x3 Algweb Es verifica: 1) Ker(h) = {x ∈ E | 4x1 + 5x2 − x3 = 0} 2) Imh =< v = 2v1 + 3v2 >  3) [f ]B1 B2  2 −1 0 =  1 −1 −1  1 1 1 Es demana: a) Justificar que h no ´ es u ´ nic. Trobar [h]B1 D .
b) Demostrar que f ´ es inversible. Trobar [f −1 ]B1 .
c) Trobar [g]B1 D d) Obtenir una base d’Img.
a) Veurem que h no ´es u ´nic si la seva matriu associada en dues bases qualssevol tampoc ´es u ´nica. Busquem primer el Ker(h) i la Im(h) en les bases B1 i D respectivament, a partir de les dades 1 i 2: Ker(h) =< (1, 0, 4), (0, 1, 5) >R Im(h) =< (2, 3) >R La matriu associada a h en les bases B1 i D ´es 2λ 3λ [h]B1 D = 2µ 2ϕ 3µ 3ϕ λ, µ, ϕ ∈ R Si ara imposem matricialment les condicions dels dos vectors del Ker(h), 2λ 3λ   1 2µ 2ϕ   0 0 = 3µ 3ϕ 0 4 ⇒ λ + 4ϕ = 0 2λ 3λ   0 2µ 2ϕ   0 1 = 3µ 3ϕ 0 5 ⇒ µ + 5ϕ = 0 ⇒ ∀ϕ ∈ R, ϕ = 0, λ = −4ϕ i µ = −5ϕ ⇒ [h]B1 D = ϕ −8 −10 −12 −15 2 3 I aquesta matriu ´es v` alida ∀ϕ ∈ R, ϕ = 0, per tant no ´es u ´nica ⇒ h tampoc ho ´es.
b) Per veure que f ´es inversible nom´es cal veure que la seva matriu associada ´es de rang m`axim. Per exemple, ho podem verificar amb la que ens donen en l’enunciat, en l’apartat 3:  2 −1 0 =  1 −1 −1  1 1 1  [f ]B1 B2 = N ot A si ara apliquem operacions elementals de fila a A podrem comprovar que merf (A) = I3 , de manera que rang(A) = rang(f ) = 3 ⇒ f ´es inversible. A m´es sabem per l’enunciat que:  2 1 3 3 3 1  1   1  1 x ˆ x 2x ˆ2  =  x2  2 x ˆ3 x3 per tant,  [Id]B2 B1 2 = 1 3 3 3 1  1 2 2 Aix´ı, [f −1 ]B1 = [f ]−1 B1 −1 = [Id]B2 B1 [f ]B1 B2  2 =  1 3 3 3 1  −1  −1 1 2 −1 0 8 −4 −2 2   1 −1 −1  =  7 −2 −1  = 2 1 1 1 9 −2 1  −1 4 6 0  1  −4  2 3 13 6 −1 2     −10 6 1 3 = 1 3 c) Fixem-nos que [h]B1 D = [g]B1 D [f ]B1 B1 ⇒ [g]B1 D = [h]B1 D [f −1 ]B1 B1 = [h]B1 D [f ]−1 B1 B1 =  −1 3 = ϕ 2 −8 −10 −12 −15  2  −4  3  3 1 3 4 6 0  3 −182 6 21 3 75 3 −273 6 21 2  50  −1  = 2   13 6 −10 6 ϕ 2    ∀ϕ ∈R ϕ = 0 1 d) En coordenades en la base D, a partir de la matriu anterior, Im(g) =< (2, 3) >R = Im(h) cosa l` ogica, ja que la imatge de g s’obt´e com a combinaci´o lineal (donada pel producte matricial) de la imatge de h.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/26 (nivell 3) Sigui E un espai vectorial de dimensi´ o n = 0, i sigui f ∈ LK (E; E), tal que: f2 = 0 ; r = rangf a) Proveu que: Imf ⊂ Kerf i 2r ≤ n b) Proveu que: Imf = Kerf ⇐⇒ 2r = n c) Essent F un subespai suplementari qualsevol del Kerf i {u1 , ...um } una base de F , demostreu que {f (u1 ), ..., f (um )} ´ es base de Imf .
d) Demostreu que els vectors {u1 , f (u1 ), ...um , f (um )} s´ on linealment independents.
Algweb e) Comproveu que l’endomorfisme f de R3 , que t´ e per matriu associada a la base can` onica:  2  −1 1 10 −5 5  6 −3  3 verifica f 2 = 0, i busqueu una base de R3 , en la que la matriu associada a f sigui:  0 0 1 0 0 1  0 0 0 a) Volem veure que : ∀y ∈ Imf ⇒ y ∈ Kerf =⇒) ∀y ∈ Imf, ∃x ∈ En /f (x) = y ⇒ f (f (x)) = f 2 (x) = 0 = f (y) ⇒ y ∈ Kerf Ara ja sabem que Imf ⊂ Kerf ⇒ dimK (Imf ) ≤ dimK (Kerf ) ⇒ r ≤ η = n − r ⇒ 2r ≤ n b) Veiem les dues implicacions: =⇒) Imf = Kerf ⇒ dimK (Imf ) = dimK (Kerf ) ⇒ r = n − r ⇒ 2r = n ⇐=) Sabem que 2r = n i que Imf ⊂ Kerf ⇒ dimK (Kerf ) = n−r = r = dimK (Imf ) =⇒ Imf = Kerf c) Suposem que F ⊕ Kerf = En ⇒ si definim bases per als dos subespais, = {w , w , ..., w } BK def base del Kerf 1 2 η = {u , u , ..., u BF def 1 2 m } base de F = {w , w , ..., w , u , u , ..., u ⇒ B def es base d’En 1 2 η 1 2 m} ´ Per tant, per definici´ o, Imf =< f (w1 ), f (w2 ), ..., f (wη ), f (u1 ), f (u2 ), ..., f (um ) >K =< f (u1 ), f (u2 ), ..., f (um ) >K ⇒ {f (u1 ), f (u2 ), ..., f (um )} s´ on sistema de generadors de Imf . Nom´es falta per veure que s´on linealment independents.
Considerem la seg¨ uent combinaci´ o lineal igualada a zero: α1 f (u1 ) + α2 f (u2 ) + · · · + αm f (um ) = 0 ⇒ f (α1 u1 + α2 u2 + · · · + αm um ) = 0 ⇒ α1 u1 + α2 u2 + · · · + αm um ∈ Kerf ⇒ ∃β 1 , β 2 , ..., β η ∈ K tals que α1 u1 + α2 u2 + · · · + αm um = −β 1 w1 − β 2 w2 − · · · − β η wη ⇒ α1 u1 + α2 u2 + · · · + αm um + β 1 w1 + β 2 w2 + · · · + β η wη = 0 Per`o com que B ´es base d’En ⇒ α1 = α2 = · · · = αm = β 1 = β 2 = · · · = β η = 0 ⇒ en particular, α1 = α2 = · · · = αm = 0 ⇒ {f (u1 ), f (u2 ), ..., f (um )} s´ on linealment independents ⇒ {f (u1 ), f (u2 ), ..., f (um )} s´ on base de Imf d) Considerem la seg¨ uent combinaci´ o lineal igualada a zero: α1 u1 + β 1 f (u1 ) + α2 u2 + β 2 f (u2 ) + · · · + αm um + β m f (um ) = 0 Aplicant f a banda i banda, α1 f (u1 ) + β 1 f 2 (u1 ) + α2 f (u2 ) + β 2 f 2 (u2 ) + · · · + αm f (um ) + β m f 2 (um ) = 0 ⇒ α1 f (u1 ) + α2 f (u2 ) + · · · + αm f (um ) = 0 ⇒ α1 = α2 = · · · = αm = 0 per ser {f (u1 ), f (u2 ), ..., f (um )} base de Imf ⇒ β 1 f (u1 ) + β 2 f (u2 ) + · · · + β m f (um ) = 0 ⇒ β 1 = β 2 = · · · = β m = 0 per ser {f (u1 ), f (u2 ), ..., f (um )} base de Imf ⇒ tots els α i β s´ on nuls ⇒ {u1 , f (u1 ), u2 , f (u2 ), ..., um , f (um )} s´on linealment independents e) L’endomorfisme verificar` a que f 2 = 0 sempre que la matriu associada a ell en qualsevol base V , [f ]V , 2 verifiqui que [f ]V = 0. En particular tamb´e ho haur`a de verificar per a la base can`onica. Aix´ı,      2 10 6 2 10 6 0 [f ]2V = [f ]V [f ]V =  −1 −5 −3   −1 −5 −3  =  0 1 5 3 1 5 3 0 0 0 0  0 0 0 ⇒ f2 = 0 Per trobar la base (que anomenarem N N=ot {v1 , v2 , v3 }), fixem-nos en la forma resultant que ha de tenir la matriu. D’ella dedu¨ım que: f (v1 ) = f (v2 ) = v3 (condici´ o [1]) i v3 ∈ Kerf Si busquem el Kerf en la base can` onica V a partir de la matriu anterior, tenim que: Kerf =< (−5, 1, 0), (−3, 0, 1) >K Suposem que v3 ∈ Kerf ⇒ ∃α, β ∈ R tals que v3 = α(−5, 1, 0)+β(−3, 0, 1) (tot donat en coordenades respecte de la base V ).
Si imposem la condici´ o [1], per` o ara matricialment i en coordenades respecte de la base V ,        2 10 6 x −5 −3  −1 −5 −3   y  = α  1  + β  0  1 5 3 z 0 1 I la matriu ampliada associada al sistema ens queda  2 10 6 −5α − 3β   −1 −5 −3 α β 1 5 3  i fent operacions elementals de fila arribem a  1 0 0 5 0 0  β 3 0 α+β 0 α+β Com que aquest sistema volem que sigui compatible ⇒ α = −β i per tant, els vectors que busquem v1 i v2 han de tenir coordenades (−α − 5y − 3z, y, z) en la base V i v3 = α(−2, 1, −1) Suposem [v1 ]V = (−α − 5y, y, 0) i [v2 ]V = (−α − 3z, 0, z) ´ a dir, que els tres vectors siguin linealment independents.
Ara nom´es cal imposar que N sigui base. Es Fent operacions elementals de fila,  −α − 5y  y 0 −α − 3z 0 z    −α −2α +5[2] + 3[3] ∼ y α  0 −α 1 1 ∼ 0 z − y 0 z   1 1 0 1 ∼ 0 1 0  · z−y 0 z −α −α 0 z  ·− 0 α  −α   −[2] 0 1 0  ∼ 0 −α −z[2] 0 1 α  1 ∼ y 0 1 0 z  0 α  −y[1] + [3] ∼ −α  0 0 1 0  0 −α · − ∼ I3 1 α I per poder arribar fins al final ha calgut suposar que α = 0 i y = z. Prenem, per exemple, α = 1, y=-1 i z=1. Llavors,  [Id]N V  4 −4 −2 =  −1 0 1 0 1 −1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/27 (nivell 3) Sigui R3 un espai vectorial real, i V una base. ∀x ∈ R3 , xV = (x, y, z).
Es defineix f ∈ LR (R3 ,R3 ), tal que: 1) Im(f ) = {(x, y, z) ∈R3 | 3x + 2y − z = 0} 2) Ker(f ) ∩ Im(f ) =< (1, −1, 1) >R 3) Tra¸ca(f ) = 3 4) f (2, −1, 9) = (3, 0, 9) 5) f (< (1, 2, 7) >R ) ⊂< (1, 2, 7) >R Es demana : a) Trobar una base d’Im(f ) Algweb b) Trobar una base de Ker(f ) c) Obtenir [f ]V a) Per trobar una base d’Im(f ) nom´es cal passar la forma impl´ıcita donada en la propietat 1) a un sistema de generadors, donat en coordenades en la base V : Im(f ) =< (1, 0, 3), (0, 1, 2) >R a m´es podem comprovar que s´ on linealment independents ⇒ formen una base d’Im(f ) b) Com que el rang de f ´es 2, pel teorema fonamental de dimensions sabem que η(f ) = 1. Aix´ı, directament obtenim el vector de la base per la propietat 2), en coordenades en la base V : Ker(f ) =< (1, −1, 1) >R c) Ens interessa trobar una base c` omoda en la qu`e tenir la matriu associada a f Si definim la seg¨ uent base (coordenades en la base V ) = {(1, −1, 1), (1, 2, 7), (2, −1, 9)} N def a partir d’aqu´ı podem considerar dues opcions que ens portaran a dues resolucions diferents del mateix problema: c.1) Considerem  [f ]N 0 0 = 0 λ 0 0  2 1 0 com que la tra¸ca de f ´es 3, llavors λ = 3. I ara nom´es cal fer el canvi de base:  [f ]V = [Id]N V [f ]N [Id]V N  0 = 0 0 3 6 21 1 =  −1 1  1 2 0 2 −1   0 7 9 0 0 3 0    2 25 5 −5 1  8 1 7 −1  = 15 0 −9 −6 3     25 5 −5 −1 3 1 1  0 8 7 −1  =  16 15 5 −9 −6 3 29 9  1 2 14 −2  31 2 c.2) Considerem  [f ]N V Algweb I ara nom´es cal fer el canvi  0 [f ]V = [f ]N V [Id]V N =  0 0 0 λ =  0 2λ 0 7λ  3 0 9 de base:     λ 3 25 5 −5 8λ − 27 1  1  2λ 0  8 7 −1  = 16λ 15 15 7λ 9 −9 −6 3 56λ − 81  7λ − 18 −λ + 9 14λ −2λ  49λ − 54 −7λ + 27 com que la tra¸ca de f ´es 3, llavors 8λ − 27 + 14λ − 7λ + 27 = 45 i, per tant, λ = 3. Si substitu¨ım en aquesta matriu obtenim   −1 1 2 1 16 14 −2  [f ]V = 5 29 31 2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/28 (nivell 3) Siguin P1 , P2 projectors definits en un espai vectorial E, tals que P1 · P2 = P2 · P1 = 0 a) Compareu la imatge de cadascun d’ells amb el nucli de l’altre.
b) Comproveu que P1 + P2 ´ es projector.
c) Demostreu que: ImP1 ⊕ ImP2 = Im(P1 + P2 ) d) Demostreu que: Ker(P1 + P2 ) = KerP1 ∩ KerP2 Considerem ara dos endomorfismes f i h definits en R4 : f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 41 (x1 + x2 + x3 + x4 , x1 + x2 + x3 + x4 , x1 + x2 + x3 + x4 , x1 + x2 + x3 + x4 ) h(x1 , x2 , x3 , x4 ) = 14 (x1 + x2 − x3 − x4 , x1 + x2 − x3 − x4 , −x1 − x2 + x3 + x4 , −x1 − x2 + x3 + x4 ) Algweb e) Trobeu les matriu associades a f i a h en la base can` onica.
f ) Verifiqueu que f i h s´ on projectors, tals que f · h = h · f = 0 g) Trobeu: Imf, Imh, Kerf, Kerh, Im(f + h), Ker(f + h).
a) Comparem, per exemple, ImP2 amb KerP1 : ∀y ∈ ImP2 ∃x ∈ E / y = P2 (x) ⇒ aplicant P1 a aquest vector tenim que P1 (y) = (P1 · P2 )(x) = P1 · (P2 (x)) = 0 ⇒ P2 (x) ∈ KerP1 ⇒ ImP2 ⊂ KerP1 An`alogament podem veure que ImP1 ⊂ KerP2 . Aquestes s´on les relacions.
b) (P1 + P2 ) ´es projector ⇔ P1 + P2 ´es endomorfisme i (P1 + P2 )2 = P1 + P2 .
P1 + P2 ´es endomorfisme per ser suma de dos endomorfismes. Veiem l’altra propietat: (P1 + P2 )2 = (P1 + P2 )(P1 + P2 ) = P12 + P1 · P2 + P2 · P1 + P22 = P1 + 0 + 0 + P2 = P1 + P2 ⇒ P1 + P2 ´es projector c) Abans que res, comprovem que ImP1 ∩ ImP2 = {0}: ∀y ∈ ImP1 ∩ ImP2 , y = P1 (x) = P2 (z) on x, z s´on dos vectors d’E ⇒ P1 (y) = P12 (x) = P1 · P2 (z) = 0 ⇒ P12 (x) = P1 (x) = y = 0 ⇒ Im(P1 ) ∩ Im(P2 ) = {0} Vegem ara les dues inclosions: ImP1 ⊕ ImP2 ⊂ Im(P1 + P2 ) ∀y ∈ ImP1 ⊕ ImP2 ∃!y1 ∈ ImP1 i ∃!y2 ∈ ImP2 tals que y = y1 + y2 = P1 (x) + P2 (z), on x, z s´on dos vectors d’E ⇒ P1 (y) = P12 (x) + P1 · P2 (z) = P1 (x) i tamb´e P2 (y) = P2 · P1 (x) + P22 (z) = P2 (z) ´es a dir que y = P1 (x) + P2 (z) = P1 (y) + P2 (y) = (P1 + P2 )(y) ⇒ y ∈ Im(P1 + P2 ) Im(P1 + P2 ) ⊂ ImP1 ⊕ ImP2 Algweb ∀y ∈ Im(P1 + P2 )∃x ∈ En / y = (P1 + P2 )(x) ⇒ y = P1 (x) + P2 (x) N=ot y1 + y2 ⇒ ∃y1 ∈ ImP1 i ∃y2 ∈ ImP2 tals que y = y1 + y2 ⇒ y ∈ ImP1 + ImP2 d) Veurem les dues inclosions: Ker(P1 + P2 ) ⊂ KerP1 ∩ KerP2 ∀x ∈ Ker(P1 + P2 ), (P1 + P2 )(x) = P1 (x) + P2 (x) = 0 ⇒ P1 (x) = −P2 (x) ⇒ P12 (x) = −P1 · P2 (x) = 0 = P1 (x) ⇒ x ∈ KerP1 ⇒ −P2 (x) = 0 ⇒ P2 (x) = 0 ⇒ x ∈ KerP2 ⇒ x ∈ KerP1 ∩ KerP2 KerP1 ∩ KerP2 ⊂ Ker(P1 + P2 ) ∀x ∈ KerP1 ∩ KerP2 , P1 (x) = P2 (x) = 0 ⇒ P1 (x) + P2 (x) = (P1 + P2 )(x) = 0 ⇒ x ∈ Ker(P1 + P2 ) e) Construint-les directament, 1 1 1 [f ]V =  4 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1  1 1  1 1  1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1  [h]V =   1 1 4 −1 −1 −1 −1 1 1  i f) Per veure aquesta propietat n’hi haur` a prou amb verificar-la per a les seves matrius associades a la base V 1 1 1 2 [f ]V = [f ]V [f ]V =  16 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 11  1 1 1 1 1 1 1 1   4 1 1 4 1 =  1 16 4 1 4 1 1 1 1  1 1 −1 −1 1 1 1  1 1 −1 −1   1 1 2 [h ]V = [h]V [h]V =   1 1 −1 −1 16 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1  1 1 −1 1 1 1 −1 =  −1 −1 1 4 −1 −1 1 Algweb  4 4 4 4 4 4 4 4   4 1 4 1 1 =  4 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1  1 1    −1 −1 4 4 −4 −4 1  4 −1 −1  4 −4 −4  =   1 1 4 4 16 −4 −4 1 1 −4 −4 4 4  −1 −1   1 1 ⇒ h i f s´ on projectors. A m´es, 0 0 [f · h]V = [f ]V · [h]V =  0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  0 0  = [h]V · [f ]V = [h · f ]V 0 0 ⇒ h i f verifiquen f · h = h · f = 0 g) Les columnes de les matrius corresponents ens donen sistemes de generadors per a les imatges. Els nuclis els trobem resolent sistemes homogenis. Aix´ı, donant els vectors en coordenades en la base can`onica V tenim que: Imf =< (1, 1, 1, 1) >R Imh =< (1, 1, −1, −1) >R Kerf =< (1, −1, 0, 0), (1, 0, −1, 0), (1, 0, 0, −1) >R Kerh =< (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, −1) >R Per als dos subespais que ens queden ens cal trobar la matriu associada a la suma d’ambd´os endomorfismes, que ´es: 1 1 1 [f + h]V = [f ]V + [h]V =  2 0 0  1 1 0 0 0 0 1 1 I per tant, Im(f + h) =< (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) >R = Im(f ) ⊕ Im(h) Ker(f + h) =< (1, −1, 0, 0), (0, 0, 1, −1) >R = Ker(f ) ∩ Ker(h)  0 0  1 1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/29 (nivell 3) Sigui V base de l’espai vectorial real En , i Φ, Ψ dos endomorfismes definits sobre En , n = 2m, m ≥ 1, amb matrius associades: [Φ]V = (Φij ) [Ψ]V = (Ψij ) ; ; ∀i, j = 1, ..., n Φij = 1 ∀i, j = 1, ..., n Ψij = (−1)i+j a) Demostreu que (Idn − Φ)−1 = Idn − (n − 1)−1 Φ b) Obtingueu bases de: KerΦ, ImΦ, KerΨ, ImΨ i de (KerΦ∩KerΨ)+ImΨ. Aquesta darrera suma, ´ es directa? c) Demostreu que per a qualsevol n´ umero real α = 0, existeixen bases N1 i N2 d’En que verifiquen: α 0 =  ...
α 0 ..
.
α 0 ..
.
··· ··· ..
.
 α 0 ..  . 0 0 0 ··· 0 Algweb  [Φ]N1 N2 a) Tal i com est` a definida, la matriu associada a Φ en la base V ´es: 1 1 [Φ]V =   ...
1 1 ..
.
1 1   1 ··· 1 1 ··· 1 .. . .
. . ..  .
1 ··· 1 = N ot A 1 Ens cal demostrar que (Idn − Φ)(Idn − n−1 Φ) = Idn . Si ho desenvolupem, aix`o equival a demostrar 2 que Φ = nΦ, cosa que ser` a veritat si i nom´es si en una base qualsevol V les matrius associades verifiquen el mateix resultat [Φ2 ]V = [nΦ]V .
Per`o [Φ2 ]V = [Φ]2V = A2 = nA = n[Φ]V = [nΦ]V b) Per calcular els nuclis i les imatges de Φ i Ψ ens basarem en les matrius associades en la base V .
D’aquesta manera tenim: KerΦ =< (1, −1, 0, ..., 0), (1, 0, −1, 0, ..., 0), ..., (1, 0, ..., 0, −1) >R ImΦ =< (1, 1, ..., 1) >R KerΨ =< (1, 1, 0, ..., 0), (1, 0, −1, 0, ..., 0), (1, 0, 0, 1, 0, ..., 0), ..., (1, 0, ..., 0, 1) >R ImΨ =< (1, −1, 1, −1, ..., 1, −1) >R amb dimR KerΦ = dimR KerΨ = n − 1 i dimR ImΦ = dimR ImΨ = 1 Calculem ara la intersecci´ o dels nuclis. Per fer-ho, recorrerem a les equacions impl´ıcites de cada subespai vectorial, que s´ on les seg¨ uents: KerΦ = {x ∈ En / x1 + x2 + x3 + · · · + xn = 0} KerΨ = {x ∈ En / x1 − x2 + x3 − x4 + · · · − xn = 0} amb (x1 , x2 , ..., xn ) = [x]TV ∀x ∈ En D’aquesta manera la intersecci´ o, caracteritzada en equacions impl´ıcites queda: KerΦ ∩ KerΨ = {x ∈ En / x1 + x2 + x3 + · · · + xn = 0; x1 − x2 + x3 − x4 + · · · − xn = 0} i per tant, dimR (KerΦ ∩ KerΨ) = n − 2.
Desenvolupant les equacions obtenim un sistema de n − 2 generadors linealment independents, base de KerΦ ∩ KerΨ: {(−1, 0, 1, 0, ..., 0), (0, −1, 0, 1, ..., 0), ..., (0, −1, 0, 0, ..., 1)} 1   −1  Fixem-nos que (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Im(Ψ) ⇐⇒ rang   ...
Algweb   x1 x2  =1 ..  .  −1 xn Aplicant operacions elementals de fila a la matriu arribem a 1 0  0 .
 ..
  x1 1 x +x   x3 − x1   ..
 .
2 0 xn + x1 Com que el rang d’aquesta segona matriu ha de seguir essent 1, llavors caldr`a que x2 + x1 = 0; x3 − x1 = 0; ...xn + x1 = 0. D’aquesta manera determinem en equacions impl´ıcites Im(Ψ): ImΨ = {x ∈ En / x1 = −x2 = −x4 = · · · = −xn = x3 = · · · = xn−1 } A partir d’aquest resultat veiem f` acilment que (KerΦ ∩ KerΨ) ∩ ImΨ = {0}. Aix´ı, una base per al subespai vectorial (KerΦ ∩ KerΨ) + ImΨ ´es la uni´o de les bases de (KerΦ ∩ KerΨ) i d’ImΨ, trobades abans. D’aquesta manera hem vist a la vegada que aquesta suma de subespais ´es directa.
c) Anomenem les bases que busquem segons N1 = {u1 , ..., un } i N2 = {v1 , ..., vn }. Per tal que la matriu associada sigui la de l’enunciat caldr` a verificar que Φ(u1 ) = Φ(u2 ) = · · · = Φ(un ) = αv1 , de manera que v1 ∈ Im(Φ). Com que rang(Im(Φ)) = 1, podem definir [v1 ]TV = (1, 1, ..., 1) de manera que Im(Φ) =< v1 >R .
Imposem ara les condicions anteriors en la base V : tots els vectors de la base N1 hauran de verificar que [Φ]V [x]V = α[v1 ]V . Aix` o ens porta a un sistema d’equacions lineals tal com: 1 1 .
 ..
1 1 ..
.
1 1   1    α x 1 ··· 1 1 · · · 1   x2   α  .. . .
.  .  =  .  . ..   ..   ..  .
α xn 1 ··· 1 que si resolem tenim que x1 + x2 + · · · + xn = α. Busquem ara n vectors linealment independents que verifiquin aquesta condici´ o i ja tenim la base N1 . Una base possible ´es la donada per  α  α  [Id]N1 V =   ..
   .
α La base N2 l’obtenim a partir de v1 i completant amb n − 1 vectors m´es linealment independents amb ell. Per exemple, una base N2 possible ´es  0 ··· 0 1 ··· 0 .. . .
. . ..  .
0 ··· 1 1 1 =  ...
 [Id]N2 V 1 I ara, per veure que tot encaixa, nom´es cal fer el canvi de base:   1 0 ··· 0 1 1 1 ··· 1 α  −1 1 · · · 0   1 1 1 · · · 1     =  ... ... . . . ...   ... ... ... . . . ...   1 1 1 ··· 1 −1 0 · · · 1  Algweb [Φ]N1 N2 = [Id]V N2 [Φ]V [Id]N1 V α 0 =  ...
α 0 ..
.
α 0 ..
.
0 0 0   ··· α ··· 0  . ..
. ..  ··· 0  α ..
 =  .
α Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/30 (nivell 3) Siguin els espais vectorials reals R4 i C2 . ∀a, b ∈ R es defineix l’aplicaci´ o: fa,b : R4 −→ C2 (x, y, z, t) −→ (ix + (a − i)y + (b + 2i)z + (2b + i)t, x + (−1 + i)y + 3z + (b + 1 + ia)t) Algweb a) Demostreu que fa,b ∈ LR (R4 , C2 ).
b) ∀a, b ∈ R, trobeu bases d’Imfa,b i de Kerfa,b .
c) Obtingueu els valors d’a i b per a qu` e fa,b sigui injectiva.
d) Obtingueu els valors d’a i b per a qu` e fa,b sigui exhaustiva.
e) Obtingueu els valors d’a i b per a qu` e fa,b sigui bijectiva.
f ) Calculeu un subespai suplementari de F = Imf1,1 ∩ Imf0,2 .
a) Per veure que ´es lineal, considerem ∀λ ∈R, ∀x, y ∈R4 , x = (x, y, z, t), y = (x , y , z , t ), fa,b (λx + y) = fa,b (λx + x , λy + y , λz + z , λt + t ) = = (i(λx+x )+(a−i)(λy+y )+(b+2i)(λz+z )+(2b+i)(λt+t ), λx+x +(i−1)(λy+y )+3(λz+z )+(b+1+ia)(λt+t )) = = λ(ix + (a − i)y + (b + 2i)z + (2b + i)t, x + (−1 + i)y + 3z + (b + 1 + ia)t)+ +(ix + (a − i)y + (b + 2i)z + (2b + i)t , x + (−1 + i)y + 3z + (b + 1 + ia)t ) = λfa,b (x) + fa,b (y) b) Per resoldre aquest apartat treballarem amb la matriu associada a fa,b en les bases B (base can`onica de R4 ) i V = {(1, 0), (0, 1), (i, 0), (0, i)}, base de C2 : fa,b (1, 0, 0, 0) = (i, 1) = 0 · (1, 0) + 1 · (0, 1) + 1 · (i, 0) + 0 · (0, i) fa,b (0, 1, 0, 0) = (a − i, i − 1) = a · (1, 0) − 1 · (0, 1) − 1 · (i, 0) + 1 · (0, i) fa,b (0, 0, 1, 0) = (b + 2i, 3) = b · (1, 0) + 3 · (0, 1) + 2 · (i, 0) + 0 · (0, i) fa,b (0, 0, 0, 1) = (2b + i, b + 1 + ai) = 2b · (1, 0) + (b + 1) · (0, 1) + 1 · (i, 0) + a · (0, i) i llavors,  0 a b 2b  1 −1 3 b + 1  =  1 −1 2 1 0 1 0 a  [fa,b ]BV Treballant amb operacions elementals de fila arribem a 1 0 0 0 1 0  0 0 1 0 0 0   1 + a − 2b a   b 2 2 2b − b − a i aix´ı podem comprovar que rang(fa,b ) = 4 ⇐⇒ 2b − b2 − a2 = 0. D’aquesta manera tenim 2 casos: cas 1): 2b − b2 − a2 = 0 En aquest cas Ker(fa,b ) = {0} i Im(fa,b ) =C2 cas 2): 2b − b2 − a2 = 0 √ √ En aquest cas Ker(fa,b ) =< (2b − 2b − b2 − 1, − 2b − b2 , −b, 1) >R (en base B) i √ Im(fa,b ) =< (i, 1), ( 2b − b2 − i, i − 1), (b + 2i, 3) >R c) fa,b ´es injectiva ⇐⇒ Ker(fa,b ) = {0} ⇐⇒ 2b − b2 − a2 = 0 d) fa,b ´es exhaustiva ⇐⇒ Im(fa,b ) = C2 ⇐⇒ rang(fa,b ) = 4 ⇐⇒ 2b − b2 − a2 = 0 e) fa,b ´es bijectiva ⇐⇒ fa,b ´es injectiva i exhaustiva ⇐⇒ 2b − b2 − a2 = 0 f ) Calculem les dues imatges: Algweb Im(f1,1 ) =< (i, 1), (1 − i, i − 1), (1 + 2i, 3) >R Im(f0,2 ) =< (i, 1), (−i, i − 1), (2 + 2i, 3) >R i per tant, Im(f1,1 ) ∩ Im(f0,2 ) =< (i, 1), (2 + i, 2 + i) >R i un subespai vectorial suplementari de F pot ser, per exemple, < (0, i), (0, 1) >R Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/31 (nivell 3) Sigui f ∈ LR (R4 , R4 ), tal que Imf =< (3, 7, −3, 2), (1, 3, −1, 1), (3, 5, −3, 1) >R Kerf = {(x, y, z, t) ∈ R4 / y + z = 0, x − y − 2t = 0} f (1, 3, −1, 1) = (2, 6, −2, 2) Algweb a) Obtingueu una base de Kerf .
b) Obtingueu les equacions impl´ıcites d’Imf .
c) Obtingueu una base i les equacions impl´ıcites de Kerf ∩ Imf .
d) Obtingueu la tra¸ ca de f .
a) Passem el Ker(f ) d’equacions impl´ıcites a sistema de generadors: ∀(x, y, z, t) ∈ Ker(f ), (x, y, z, t) = (−z + 2t, −z, z, t) = z(−1, −1, 1, 0) + t(2, 0, 0, 1) i obtenim, Ker(f ) =< (−1, −1, 1, 0), (2, 0, 0, 1) >R b) Passem Im(f ) de sistema de generadors a equacions impl´ıcites: (x, y, z, t) ∈ Im(f ) ⇐⇒  3 1 3 x 3 5 y   7 ⇐⇒ rang   −3 −1 −3 z 2 1 1 t   3 1 3 3 5   7 = rang(A|b) = rang   N ot −3 −1 −3 2 1 1  = N ot rang(A) Aplicant operacions elementals de fila a A|b obtenim  1 0 2 x−t  0 1 −3 −2x + 3t    0 0 0 x − y + 2t 0 0 0 x+z  = N ot SA Com que rang(A) = 2, llavors les dues darreres files de SA han de ser nul·les. Aix´ı, Im(f ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + z = 0 , x − y + 2t = 0} c) Les equacions impl´ıcites de la intersecci´ o s´on directament, Ker(f ) ∩ Im(f ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + z = 0 , y = x + 2t , y + z = 0, x − y − 2t = 0} Si resolem el sistema 1 −1 0 1  1 0 1 −1      0 −2 x 0 1 0 y  0   =   1 0 z 0 0 2 t 0 obtenim, per operacions elementals de fila, el sistema equivalent 1 0  0 0  0 1 0 0     0 x 0 0y  0   =   0 z 1 0 t 0 1 1 0 0 i aix´ı, Ker(f ) ∩ Im(f ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 / t = 0 , x + z = 0 , y + z = 0} i a partir d’aqu´ı trobem una base que caracteritzi Ker(f ) ∩ Im(f ) com, per exemple, Ker(f ) ∩ Im(f ) =< (−1, −1, 1, 0) >R Algweb d) Definim la seg¨ uent base de R4 : B = {u1 = (−1, −1, 1, 0), u2 = (2, 0, 0, 1), u3 = (1, 3, −1, 1), u4 = (0, 0, 0, 1)} on u1 ∈ Ker(f ) ∩ Im(f ), u2 ∈ Ker(f ), u3 ∈ Im(f ) i u4 ´es un vector qualsevol, linealment independent amb els altres 3. En aquest cas, la matriu associada f en aquesta base ens queda 0 0 [f ]B =  0 0  0 0 0 0  0 λ 0 0  2 µ 0 0 on λ, µ ∈R. A partir d’aquesta matriu veiem que tra¸ca(f ) =tra¸ca([f ]B ) = 2.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/32 (nivell 3) Siguin els espais vectorials reals F = R2 i E = LR (R2 , R2 ). Sigui V = {v1 = (1, 2), v2 = (0, −1)} base de F . Definim S = {f1 , f2 , f3 , f4 } ⊂ E tal que ∀(x, y) ∈ F f1 (x, y) = (x + y, y) f2 (x, y) = (x + 2y, 4y) f3 (x, y) = (0, 3x) f4 (x, y) = (x − y, y) i Φ : E −→ F f −→ Φ(f ) = f (1, 1) Algweb a) Demostreu que S ´ es base d’E b) Demostreu que Φ ´ es aplicaci´ o lineal i trobeu [Φ]SV c) Trobeu un subespai suplementari de KerΦ d) Trobeu una base B1 d’E i una base B2 de F , tals que la matriu associada a Φ en aquestes bases sigui una matriu esglaonada redu¨ıda per files, amb tots els seus coeficients no nuls iguals a la unitat.
a) Per veure que ´es base considerem els escalars α1 , α2 , α3 , α4 ∈R i la seg¨ uent combinaci´o lineal: α1 f1 + α2 f2 + α3 f3 + α4 f4 = ˜0 =⇒ ∀x ∈ R2 α1 f1 (x) + α2 f2 (x) + α3 f3 (x) + α4 f4 (x) = 0 prenent un cert vector x = (0, 1) tenim =⇒ α1 (1, 1) + α2 (2, 4) + α3 (0, 0) + α4 (−1, 1) = (0, 0) i prenent un altre vector x = (1, 0) tenim =⇒ α1 (1, 0) + α2 (1, 0) + α3 (0, 3) + α4 (1, 0) = (0, 0) que agrupant resulta el sistema homogeni  α1 + 2α2 − α4     α + 4α + α 1 2 4  α1 + α2 + α4    3α3 i reescrivint-lo en forma matricial,  1 1  1 0 2 4 1 0 =0 =0 =0 =0     0 −1 α1 0 0 1   α2   0    =   0 1 α3 0 3 0 α4 0 Amb operacions elementals de fila podem comprovar que la matriu principal del sistema ´es de rang m`axim i, per tant, el sistema ´es compatible determinat, amb soluci´o u ´nica α1 = α2 = α3 = α4 = 0, cosa que implica que {f1 , f2 , f3 , f4 } ´es linealment independent, formant aix´ı una base per a E.
Alternativa: per matrius associades.
Considerem les matrius associades als quatre endomorfismes en la base can`onica B de R2 : [f1 ]B = 1 0 1 1 ; 1 0 [f2 ]B = 2 4 ; [f3 ]B = 0 3 0 0 ; [f4 ]B = 1 −1 0 1 Comprovem si les 4 matrius s´ on linealment independents: siguin α1 , α2 , α3 , α4 ∈R i considerem α1 1 0 1 1 + α2 1 0 2 0 + α3 4 3 0 1 −1 α1 + α2 + α4 + α4 = 0 0 1 3α3 α1 + 2α2 − α4 α1 + 4α2 + α4 = 0 0 0 0 de manera que α1 = α2 = α3 = α4 = 0 amb la qual cosa les 4 matrius s´on linealment independents.
Aix`o implica que els 4 endomorfismes tamb´e ho s´on.
b) ∀λ ∈R, ∀f, g ∈ E, Φ(λf + g) = (λf + g)(1, 1) = λf (1, 1) + g(1, 1) = λΦ(f ) + Φ(g) i per tant, Φ ´es lineal.
Per teoria sabem que  [Φ]SV ↑ =  [Φ(f1 )]V ↓ ↑ [Φ(f2 )]V ↓ ↑ [Φ(f3 )]V ↓  ↑ [Φ(f4 )]V  ↓ Si ara calculem aquestes quatre imatges, Φ(f1 ) = f1 (1, 1) = (2, 1) Φ(f2 ) = f2 (1, 1) = (3, 4) Φ(f3 ) = f3 (1, 1) = (0, 3) Φ(f4 ) = f4 (1, 1) = (0, 1) que estan en la base can` onica B. Aix´ı, [Φ]SB = Sabem que [Id]V B = 2 1 3 4 0 3 0 1 1 0 1 0 . Per tant, [Id]BV = [Id]−1 V B = 2 −1 2 −1 [Φ]SV = [Id]BV [Φ]SB = 1 0 2 −1 2 1 3 4 0 3 0 2 = 1 3 i llavors 3 0 0 2 −3 −1 c) Per caracteritzar el Ker(Φ) farem servir la matriu trobada a l’apartat anterior. ∀f ∈ Ker(Φ), fS = (a1 , a2 , a3 , a4 ),  1 a 0 2 3 0 0  a2   3= 3 2 −3 −1 a 0 a4 Resolent el sistema obtenim 3 (3a3 + a4 ) 5 −2 (3a3 + a4 ) a2 = 5 a1 = i per tant, Ker(Φ) =< gS = (3, −2, 1, 2), hS = (3, −2, 2, −1) >R Busquem un subespai vectorial L d’E, tal que Ker(Φ) ⊕ L = E. Definint per exemple = < m L def S = (1, 0, 0, 0), nS = (0, 1, 0, 0) >R aconseguim tal cosa.
d) Amb la notaci´ o A = [Φ]SB , si calculem la merf (A), merf (A) = 1 0 0 −9/5 −3/5 1 6/5 2/5 = N ot RA Aquesta matriu t´e un aspecte similar al que ens demanen, per`o encara ens faltaria arreglar les dues darreres columnes. Si calculem la merc(RA ), merc(RA ) = 1 0 0 1 0 0 0 0 I aquesta matriu ja verifica les condicions que ens demana l’enunciat. Sabem que aplicar operacions elementals de fila a A equival a multiplicar una matriu P per l’esquerra d’A. Aquesta matriu ´es una matriu equivalent per files, inversible, i l’aconseguim aplicant les mateixes operacions de fila a la matriu I2 . En aquest cas, 4/5 −3/5 P = =⇒ RA = P · A −1/5 2/5 Sabem que aplicar operacions elementals de columna a RA equival a multiplicar una matriu Q per la dreta de RA . Aquesta matriu ´es una matriu equivalent per columnes, inversible, i l’aconseguim aplicant les mateixes operacions de columna a la matriu I4 . En aquest cas,  1 0 9/5 3/5  0 1 −6/5 −2/5  Q=  0 0 1 0 0 0 0 1  =⇒ merc(RA ) = RA · Q = P · A · Q En ser P i Q dues matrius inversibles, les podem interpretar com canvis de base en F i en E respecti´ a dir, que ∃B1 base de F i ∃B2 base d’E tals que vament. Es P = [IdF ]BB2 Q = [IdE ]B1 S justificant d’aquesta manera que existeixen les bases demanades, ja que P · A · Q = [IdF ]BB2 · [Φ]SB · [IdE ]B1 S = [Φ]B1 B2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/33 (nivell 3) Siguin f, g ∈ LC (Cn ). Considerem el conjunt de vectors F = {y / ∃x ∈ Cn , y = g(x), f (g(x)) = 0} Demostreu que F ´ es subespai vectorial de Cn i que dimC (F ) = rang(g) − rang(f · g) Fixem-nos que podem reescriure F com F = {y / y ∈ Im(g) ∧ y ∈ Ker(f )} = Ker(f ) ∩ Im(g).
D’aquesta manera, F ´es subespai vectorial per ser intersecci´o de subespais vectorials.
Algweb Considerem ara l’aplicaci´ o lineal fˆ : Im(g) −→ Cn = f (x) x −→ fˆ(x) def pel teorema fonamental de dimensions sabem que dimC (Im(g)) = rang(g) = rang(fˆ) + η(fˆ). Per`o si ens fixem en Ker(fˆ), Ker(fˆ) = {x ∈ Im(g) / f (x) = 0} = Im(g) ∩ Ker(f ) = F aix´ı, rang(fˆ) + dimC (F ) = rang(g) per tant, dimC (F ) = rang(g) − rang(fˆ) I si podem veure que Im(fˆ) = Im(f · g), llavors aquest resultat coincidir` a amb el que volem demostrar.
∀y y ∈ Im(fˆ) ⇐⇒ ∃x ∈ Im(g) / f (x) = y per`o si x ∈ Im(g), llavors sabem que ∃z ∈Cn / g(z) = x, de manera que ∀y y ∈ Im(fˆ) ⇐⇒ ∃z ∈ Cn / f (g(z)) = y ⇐⇒ y ∈ Im(f · g) ´es a dir que Im(fˆ) = Im(f · g) i per tant, rang(fˆ) = rang(f · g), cosa que ens porta a justificar la f´ormula de l’enunciat.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/34 (nivell 3) Siguin En i Fm dos K-espais vectorials, i L un subespai vectorial d’En amb dimK (L) = p.
Definim: A = {P ∈ LK (En , Fm )/ L ⊂ KerP } Demostreu que A ´ es subespai vectorial de LK (En , Fm ) i trobeu la seva dimensi´ o.
Vegem primer que ´es subespai vectorial: 1)ˆ0 ∈ A: Ker(ˆ 0) = En =⇒ L ⊂ En =⇒ ˆ0 ∈ A Algweb 2)∀λ ∈K, ∀P, Q ∈ A, ∀x ∈ L, (λP + Q)(x) = λP (x) + Q(x) = λ0 + 0 = 0 =⇒ x ∈ Ker(λP + Q) =⇒ λP + Q ∈ A Per veure’n la dimensi´o, considerem primer que p = 0. En aquest cas L = {0} i llavors A = LK (En , Fm ) amb dimK (A) = m · n.
I a partir d’ara suposarem 1 ≤ p ≤ n.
Sigui {e1 , ..., ep } una base de L. Sigui BE una base d’En obtinguda a partir de l’anterior: BE = {e1 , ..., ep , vp+1 , ..., vn } i sigui BF = {u1 , ..., um } una certa base de Fm . En aquesta situaci´o, ∀P ∈ A,  [P ]BE BF 0 · · · 0 a1,p+1  .. . .
.
..
=.
. ..
.
0 · · · 0 am,p+1  · · · a1n ..  ..
.
.  · · · amn = N ot C on aij ∈K s´ on arbitraris i = 1, ..., m, j = p + 1, ..., n.
Llavors, dimK (A) = dimK ({A ∈ MK (m × n) / A = C}) = m(n − p).
Fixem-nos que en aquest resultat final hi queda incl`os el cas p = 0, separat abans.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/35 (nivell 3) Siguin En i Fm dos K- espais vectorials de dimensi´ o finita. Siguin f, g ∈ LK (En , Fm ). Demostreu que: a) {f, g} s´ on linealment dependents =⇒ ∀x ∈ En , {f (x), g(x)} s´ on linealment dependents.
b) El rec´ıproc d’a), en general, no ´ es cert.
c) Si rang(f ) = n, llavors el rec´ıproc d’a) ´ es cert.
d) Si Kerf = Kerg, llavors el rec´ıproc d’a) ´ es cert.
e) Si Kerf ⊂ Kerg i rang(f ) = 1, llavors el rec´ıproc d’a) ´ es cert.
a) Algweb Com que {f, g} s´ on linealment dependents sabem que existeixen α, β ∈K amb α = 0 ∨ β = 0 tals que αf + βg = ˜0 =⇒ ∀x ∈ En (αf + βg)(x) = ˜ 0(x) = 0 =⇒ ∀x ∈ En αf (x) + βg(x) = 0 on, o b´e α o b´e β no ´es nul.
=⇒ ∀x ∈ En , {f (x), g(x)} s´ on linealment dependents b) Per veure-ho n’hi haur`a prou amb donar un contraexemple. Suposem que En = R2 i que Fm = R. Sigui V una base de R2 i f, g ∈ L(R2 ,R) amb matrius associades, [f ]V = [1 0] [g]V = [0 1] Fixem-nos que ∀x ∈R2 , f (x), g(x) ∈R, per tant, s´on linealment dependents. En canvi, f i g no ho s´ on.
c) Com que rang(f ) = n, η(f ) = 0 i Ker(f ) = {0} i, per tant, f ´es injectiva. Suposem ara que f (x) i g(x) s´ on linealment dependents ∀x ∈ En . Si ´es aix´ı, considerant una combinaci´o lineal igualada a zero, els escalars que acompanyen aquests vectors no han de ser constants, sin´o que dependran del vector x considerat cada vegada. D’aquesta manera, per especificar aquesta depend`encia, notarem els dos escalars per αx i βx .
Aix´ı, tenim que si ∃αx , βx ∈ K / αx f (x) + βx g(x) = 0 llavors, algun dels dos escalars no ´es nul.
Considerem qualsevol x ∈ En , x = 0 (estem suposant que n ≥ 1).
Si ara suposem que βx = 0, llavors αx f (x) = 0. Per` o com que αx = 0, for¸cosament f (x) = 0, i per tant x = 0, cosa que entra en contradicci´ o amb el cas que estem considerant.
Aix´ı, en aquest cas, necess` ariament βx = 0.
=⇒ αx βx f (x) + g(x) = 0 =⇒ g(x) = − αβxx f (x) N=ot γx f (x) [1] i aix`o ∀x ∈ En , x = 0. Si ara agafem un altre vector y qualsevol, linealment independent amb x (estem suposant que n ≥ 2), g(y) = γy f (y) [2] i considerant la suma x + y, g(x + y) = γx+y f (x + y) per`o com que f i g s´ on lineals, llavors =⇒ g(x + y) = g(x) + g(y) = γx+y f (x) + γx+y f (y) =⇒ en virtut de [1] i [2], γx f (x) + γy f (y) = γx+y f (x) + γx+y f (y) =⇒ (γx+y − γx )f (x) + (γx+y − γy )f (y) = 0 =⇒ com que x i y s´ on linealment independents i f ´es injectiva, f (x) i f (y) tamb´e s´on linealment independents.
=⇒ γx+y = γx = γy N=ot γ Si ara considerem B, una base d’En , amb B = {e1 , ..., en }, tindrem n vectors linealment independents ´ a dir que dos a dos, als quals podem aplicar el resultat anterior. Es ∃γ ∈ K / g(ei ) = γf (ei ) ∀i = 1, ..., n De manera que ∀x ∈ En , sabent que existeixen escalars α1 , ..., αn ∈K tals que x = n ∀x ∈ En n αi ei g(x) = g i=1 n αi g(ei ) = = i=1 n αi γf (ei ) = γ i=1 n i=1 n αi f (ei ) = γf i=1 αi ei , tenim que αi ei = γf (x) i=1 cosa que implica dir que ∃γ ∈K / g = γf , o sigui que {f, g} s´on linealment dependents.
Per arribar fins aqu´ı hem hagut de suposar que dimK En = n ≥ 2. Veiem ara qu`e passa quan n = 1 i n = 0: n=1 En aquest cas, tot parell de vectors {x, y} ∈ E1 que intentem agafar seran linealment dependents entre ells. Llavors ∃λ ∈K/ x = λy =⇒ g(x) = λg(y) = λγy f (y) = γy f (x) = γx f (x) =⇒ (γx − γy )f (x) = 0 Considerem dos casos: Cas 1) x = 0 En aquest cas, per ser f injectiva, γx = γy = N ot γ Cas 2) x = 0 Aqu´ı tamb´e podem garantir que ∃γ ∈K tal que g(0) = 0 = γf (0) Tenint en compte els dos casos alhora podem concloure que ∀x ∈ E1 ∃γ ∈K tal que g(x) = γf (x), cosa que ens porta a que ∃γ ∈K tal que g = γf , concloent que {f, g} s´on linealment dependents.
n=0 En aquest cas, En = {0} i per tant Im(f ) = {0} (ja que rang(f ) = n = 0), cosa que implica que f = ˜0, de manea que f i g s´ on linealment dependents.
d) Sigui η(g) = η(f ) = r i {e1 , ..., er } una base de Ker(f ) = Ker(g) una base d’En . Definim = < u L def r+1 , ..., un >K = N ot S i sigui V = {e1 , ..., er , ur+1 , ..., un } de manera que es verificar` a que En = S ⊕ L. O sigui que ∀x ∈ En ∃!x1 ∈ S, ∃!x2 ∈ L / x = x1 + x2 .
Aix´ı, ∀x ∈ En f (x) = f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) = f (x2 ) g(x) = g(x1 + x2 ) = g(x1 ) + g(x2 ) = g(x2 ) de manera que {f (x), g(x)} s´ on linealment dependents ⇐⇒ {f (x2 ), g(x2 )} s´on linealment dependents.
Considerem ara les restriccions de f i g sobre L, que anomenarem fˆ i gˆ respectivament, de manera que fˆ : L −→ Fm = f (x ) x2 −→ fˆ(x2 ) def 2 gˆ : L −→ Fm = g(x ) x2 −→ gˆ(x2 ) def 2 llavors, {f (x2 ), g(x2 )} s´ on linealment dependents ⇐⇒ {fˆ(x2 ), gˆ(x2 )} s´on linealment dependents. Per`o fixem-nos que ∀x2 ∈ L =⇒ fˆ(x2 ) = 0, per ser L un subespai suplementari de S, de manera que Ker(fˆ) = {0}. Aplicant el teorema fonamental de dimensions a fˆ tenim que dimK L = rang(fˆ) + η(fˆ) = rang(fˆ), cosa que ens porta a les mateixes condicions de l’apartat anterior. Per tant, podem afirmar que {fˆ, gˆ} s´on linealment dependents.
Llavors, ∃γ ∈K / gˆ = γ fˆ =⇒ ∃γ ∈K / ∀x2 ∈ L, gˆ(x2 ) = γ fˆ(x2 ) =⇒ ∃γ ∈K / ∀x ∈ En , g(x) = g(x2 ) = gˆ(x2 ) = γ fˆ(x2 ) = γf (x) =⇒ ∃γ ∈K / g = γf =⇒ {f, g} s´ on linealment dependents.
e) Com que rang(f ) = 1, llavors η(f ) = n − 1, i com que Ker(f ) ⊂ Ker(g) resultar`a que η(g) ≥ n − 1.
Arribats aqu´ı tenim nom´es dues possibilitats: 1) η(g) = n En aquest cas g = ˜ 0 i per tant f i g s´ on linealment dependents.
2) η(g) = n − 1 En aquest cas η(f ) = η(g) i per tant Ker(f ) = Ker(g), cosa que ens porta a l’apartat anterior.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 5/36 (nivell 3) Sigui A ∈ MK (m × n), una matriu de rang r, amb r < m, r < n. Demostreu que existeixen matrius inversibles B i C, tals que: B·A·C = Ir O O O essent Ir ∈ MK (r × r) la matriu identitat d’ordre r.
Siguin En i Fm dos K-espais vectorials amb dimK (En ) = n i dimK (Fm ) = m. Essent BE base d’En i BF base de F , sabem que ∃!f ∈ LK (En , Fm ) tal que A = [f ]BE BF , amb rang(f ) = r i η(f ) = n − r.
Algweb Pel que diu l’enunciat, podem interpretar les matrius B i C com dos canvis de base en Fm i en En respectivament. Suposem que les noves bases les anomenem NE i NF , de manera que B · A · C = [IdFm ]BF NF [f ]BE BF [IdEn ]NE BE = [f ]NE NF = Ir 0 0 0 Com hauran de ser les bases NE i NF per a qu`e tal cosa succeeixi? NE = {u1 , ..., ur , ur+1 , ..., un } NF = {v1 , ..., vr , vr+1 , ..., vm } Per comen¸car, caldr` a imposar que f (ur+1 ) = · · · = f (un ) = 0 cosa que aconseguim prenent {ur+1 , ..., un } base de Ker(f ).
A m´es podem prendre {v1 , ..., vr } com una base d’Im(f ) i la resta de vectors de NF arbitraris de manera que formin base per a Fm .
Com que vi ∈ Im(f ), ∀i = 1, ..., r sabem que ∃ui ∈ En / f (ui ) = vi ∀i = 1, ..., r. Aix`o ens permet garantir l’exist`encia dels vectors que ens falten de NE sempre que siguin linealment independents amb els de Ker(f ) i entre si. Verifiquem-ho amb una combinaci´o lineal segons els escalars α1 , ..., αn ∈K: α1 u1 + · · · + αr ur + αr+1 ur+1 + · · · + αn un = 0 aplicant f a banda i banda, α1 f (u1 ) + · · · + αr f (ur ) = 0 =⇒ α1 v1 + · · · + αr vr = 0 i com que {v1 , ..., vr } s´ on base d’Im(f ), llavors α1 = · · · = αr = 0. Substituint al principi de la igualtat ens queda, αr+1 ur+1 + · · · + αn un = 0 per`o per ser {ur+1 , ..., un } base de Ker(f ) tenim que αr+1 = · · · = αn = 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/01 (nivell 3) Considerem R3 amb la base can` onica. ∀x, y ∈ R3 , x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ). Definim f : 3 3 3 R × R −→ R; g : R × R −→ R 3 1 f (x, y) = x1 y 1 + 2x3 y 3 − x2 y 2 − x2 y 3 − x3 y 2 + (x1 y 2 + y 1 x2 ) 2 1 2 1 2 2 2 2 g(x, y) = (x − 2x )(y − 2y ) + x y + (x + x3 )(y 2 + y 3 ) a) Comproveu que f i g s´ on formes bilineals.
b) Trobeu les seves matrius associades en la base can` onica.
c) Comproveu que g ´ es sim` etrica.
a) ∀x, y, z ∈R3 , ∀λ ∈R, f (λx + z, y) = f ((λx1 + z 1 , λx2 + z 2 , λx3 + z 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )) = (λx1 + z 1 )y 1 + 2(λx3 + z 3 )y 3 − (λx2 + z )y − (λx2 + z 2 )y 3 − (λx3 + z 3 )y 2 + 21 ((λx1 + z 1 )y 2 + y 1 (λx2 + z 2 )) = = λ(x1 y 1 +2x3 y 3 −x2 y 2 −x2 y 3 −x3 y 2 + 12 (x1 y 2 +y 1 x2 ))+z 1 y 1 +2z 3 y 3 −z 2 y 2 −z 2 y 3 −z 3 y 2 + 12 (z 1 y 2 +y 1 z 2 ) = λf (x, y) + f (z, y) 2 Algweb 2 f (x, λy + z) = f ((x1 , x2 , x3 ), (λy 1 + z 1 , λy 2 + z 2 , λy 3 + z 3 )) = x1 (λy 1 + z 1 ) + 2x3 (λy 3 + z 3 ) − x2 (λy 2 + z ) − x2 (λy 3 + z 3 ) − x3 (λy 2 + z 2 ) + 12 (x1 (λy 2 + z 2 ) + (λy 1 + z 1 )x2 ) = = λ(x1 y 1 + 2x3 y 3 − x2 y 2 − x2 y 3 − x3 y 2 + 12 (x1 y 2 + y 1 x2 )) + x1 z 1 + 2x3 z 3 − x2 z 2 − x2 z 3 − x3 z 2 + 12 (x1 z 2 + 1 2 z x ) = λf (x, y) + f (x, z) per tant, f ´es una forma bilineal.
2 g(λx + z, y) = g((λx1 + z 1 , λx2 + z 2 , λx3 + z 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )) = (λx1 + z 1 − 2λx2 − 2z 2 ))(y 1 − 2y 2 ) + (λx + z 2 )y 2 + (λx2 + z 2 + λx3 + z 3 )(y 2 + y 3 ) = = λ((x1 − 2x2 )(y 1 − 2y 2 ) + x2 y 2 + (x2 + x3 )(y 2 + y 3 )) + (z 1 − 2z 2 )(y 1 − 2y 2 ) + z 2 y 2 + (z 2 + z 3 )(y 2 + y 3 ) = λg(x, y) + g(z, y) 2 g(x, λy + z) = g((x1 , x2 , x3 ), (λy 1 + z 1 , λy 2 + z 2 , λy 3 + z 3 )) = (x1 − 2x2 )(λy 1 + z 1 − 2λy 2 − 2z 2 ) + x (λy + z 2 ) + (x2 + x3 )(λy 2 + z 2 + λy 3 + z 3 ) = = λ((x1 − 2x2 )(y 1 − 2y 2 ) + x2 y 2 + (x2 + x3 )(y 2 + y 3 )) + (x1 − 2x2 )(z 1 − 2z 2 ) + x2 z 2 + (x2 + x3 )(z 2 + z 3 ) = λg(x, y) + g(x, z) per tant, g ´es una forma bilineal.
2 2 b) Sigui V = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} la base can` onica de R3 . Llavors,    f ((1, 0, 0), (1, 0, 0)) f ((1, 0, 0), (0, 1, 0)) f ((1, 0, 0), (0, 0, 1)) 1 [f ]V =  f ((0, 1, 0), (1, 0, 0)) f ((0, 1, 0), (0, 1, 0)) f ((0, 1, 0), (0, 0, 1))  =  1/2 f ((0, 0, 1), (1, 0, 0)) f ((0, 0, 1), (0, 1, 0)) f ((0, 0, 1), (0, 0, 1)) 0    g((1, 0, 0), (1, 0, 0)) g((1, 0, 0), (0, 1, 0)) g((1, 0, 0), (0, 0, 1)) 1 [g]V =  g((0, 1, 0), (1, 0, 0)) g((0, 1, 0), (0, 1, 0)) g((0, 1, 0), (0, 0, 1))  =  −2 g((0, 0, 1), (1, 0, 0)) g((0, 0, 1), (0, 1, 0)) g((0, 0, 1), (0, 0, 1)) 0 c) g ´es sim`etrica ja que [g]V ´es una matriu sim`etrica.
Nota: f tamb´e ´es sim`etrica.
 1/2 0 −1 −1  −1 2  −2 0 6 1 1 1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/02 (nivell 3) Considerem R2 amb la base can` onica. Definim les formes f : R2 × R2 −→ R a) f (x, y) = x1 y 2 − x2 y 1 b) f (x, y) = (x1 y 1 )2 + x2 y 2 c) f (x, y) = (x1 + y 1 )2 − (x1 − y 1 )2 d) f (x, y) = 1 e) f (x, y) = 2x1 y 1 − 3x1 y 2 + 4x2 y 1 + x2 y 2 f ) f (x, y) = x1 y 2 − x2 y 1 + 3 Quines s´ on bilineals ? Algweb a) ∀x, y, z ∈R2 , ∀λ ∈R, a.1.) Vegem si ´es lineal per a la primera component: f (λx + z, y) = (λx1 + z 1 )y 2 − (λx2 + z 2 )y 1 = λx1 y 2 + z 1 y 2 − λx2 y 1 + z 2 y 1 = λ(x1 y 2 − x2 y 1 ) + z 1 y 2 + z 2 y 1 = = λf (x, y) + f (z, y) a.2.) Vegem si ´es lineal per a la segona component: f (x, λy + z) = x1 (λy 2 + z 2 ) − x2 (λy 1 + z 1 ) = λx1 y 2 + x1 z 2 − λx2 y 1 − x2 z 1 = λ(x1 y 2 − x2 y 1 ) + x1 z 2 − x2 z 1 = = λf (x, y) + f (x, z) Per tant, f ´es bilineal.
b) ∀x, y, z ∈R2 , ∀λ ∈R, b.1.) Vegem si ´es lineal per a la primera component: f (λx + z, y) = ((λx1 + z 1 )y 1 )2 + (λx2 + z 2 )y 2 = (λx1 y 1 + z 1 y 1 )2 + λx2 y 2 + z 2 y 2 = = λ2 (x1 y 1 )2 + 2λx1 z 1 (y 1 )2 + (z 1 y 1 )2 + λx2 y 2 + z 2 y 2 = = λ2 (x1 y 1 )2 + 2λx1 z 1 (y 1 )2 + λx2 y 2 + f (z, y) = λf (x, y) + f (z, y) Per tant, f no ´es bilineal.
c) Reescriguem primer l’enunciat: f (x, y) = (x1 + y 1 )2 − (x1 − y 1 )2 = (x1 )2 + 2x1 y 1 + (y 1 )2 − (x1 )2 + 2x1 y 1 − (y 1 )2 = 4x1 y 1 I ara, ∀x, y, z ∈R2 , ∀λ ∈R, c.1.) Vegem si ´es lineal per a la primera component: f (λx + z, y) = 4(λx1 + z 1 )y 1 = 4λx1 y 1 + 4z 1 y 1 = λf (x, y) + f (z, y) c.2.) Vegem si ´es lineal per a la segona component: f (x, λy + z) = 4x1 (λy 1 + z 1 ) = 4λx1 y 1 + 4x1 z 1 = λf (x, y) + f (x, z) Per tant, f ´es bilineal.
d) ∀x, y, z ∈R2 , ∀λ ∈R, d.1.) Vegem si ´es lineal per a la primera component: f (λx + z, y) = 1 = λf (x, y) + f (z, y) = λ + 1 Algweb Per tant, f no ´es bilineal.
e) ∀x, y, z ∈R2 , ∀λ ∈R, e.1.) Vegem si ´es lineal per a la primera component: f (λx + z, y) = 2(λx1 + z 1 )y 1 − 3(λx1 + z 1 )y 2 + 4(λx2 + z 2 )y 1 + (λx2 + z 2 )y 2 = = 2λx1 y 1 + 2z 1 y 1 − 3λx1 y 2 − 3z 1 y 2 + 4λx2 y 1 + z 2 y 1 + λx1 y 2 + z 2 y 2 = = λ(2x1 y 1 − 3x1 y 2 + 4x2 y 1 + x1 y 2 ) + 2z 1 y 1 − 3z 1 y 2 + z 2 y 1 + z 2 y 2 = λf (x, y) + f (z, y) e.2.) Vegem si ´es lineal per a la segona component: f (x, λy + z) = 2x1 (λy 1 + z 1 ) − 3x1 (λy 2 + z 2 ) + 4x2 (λy 1 + z 1 ) + x2 (λy 2 + z 2 ) = = 2x1 λy 1 + 2x1 z 1 − 3x1 λy 2 − 3x1 z 2 + 4x2 λy 1 + 4x2 z 1 + x2 λy 2 + x2 λz 2 = = λ(2x1 y 1 − 3x1 y 2 + 4x2 y 1 + x2 y 2 + x2 y 2 ) + 2x1 z 2 − 3x1 z 2 + 4x2 z 1 + x2 z 2 = λf (x, y) + f (x, z) Per tant, f ´es bilineal.
f ) ∀x, y, z ∈R2 , ∀λ ∈R, f.1.) Vegem si ´es lineal per a la primera component: f (λx + z, y) = (λx1 + z 1 )y 2 − (λx2 + z 2 )y 1 + 3 = λx1 y 2 + z 1 y 2 − λx2 y 1 − z 2 y 1 + 3 = = λ(x1 y 2 − x2 y 1 ) + z 1 y 2 − z 2 y 1 + 3 = λf (x, y) + z 1 y 2 − z 2 y 1 = λf (x, y) + f (z, y) Per tant, f no ´es bilineal.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/03 (nivell 3) Sigui f ∈ L2 (R2 ;R) i considerem R2 amb la base can` onica. Sigui f (x, y) = x1 y 1 + x2 y 2 . Trobeu la matriu associada a f en les bases: B1 = {u1 = (1, −1), u2 = (1, 1)} B2 = {v1 = (1, 2), v2 = (3, 4)} ; Si anomenem V a la base can` onica de R2 , Algweb [f ]B1 = [f ]B2 = f (u1 , u1 ) f (u1 , u2 ) 2 = f (u2 , u1 ) f (u2 , u2 ) 0 = 1 −1 1 1 1 0 0 1 0 = [Id]TB1 V [f ]V [Id]B1 V = 2 1 −1 1 1 5 11 f (v1 , v1 ) f (v1 , v2 ) = [Id]TB2 V [f ]V [Id]B2 V = = 11 25 f (v2 , v1 ) f (v2 , v2 ) = 1 3 2 4 1 0 0 1 1 3 2 4 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/04 (nivell 3) Sigui En un espai vectorial real amb dimR En = n. Definim: L2 (En ;R) = {f : En × En −→R/ f bilineal } S2 (En ;R) = {f ∈ L2 (En ;R)/ f (x, y) = f (y, x) ∀x, y ∈ En } H2 (En ;R) = {f ∈ L2 (En ;R)/ f (x, y) = −f (y, x) ∀x, y ∈ En } Algweb a) Doteu L2 (En ;R) d’estructura d’espai vectorial real.
b) Comproveu que S2 (En ;R) i H2 (En ;R) s´ on subespais vectorials de L2 (En ;R).
c) Comproveu que S2 (En ;R) ⊕ H2 (En ;R) = L2 (En ;R).
d) Donada una base B = {e1 , e2 , ..., en } d’En , constru¨ıu un isomorfisme tal que Ψ : L2 (En ; R) −→ MR (n × n) e) Comproveu que : Ψ(S2 (En ; R)) = {A ∈ MR (n × n)/ A = AT } Ψ(H2 (En ; R)) = {A ∈ MR (n × n)/ A = −AT } f ) Trobeu la dimensi´ o de L2 (En ;R), S2 (En ;R) i H2 (En ;R).
a) Per a qualssevol g, h, s ∈ L2 (En , R), qualssevol λ, µ ∈ R, i per a qualssevol x, y, z ∈ En : g + h ∈ L2 (En , R), ja que: (g + h)(λx + z, y) = g(λx + z, y) + h(λx + z, y) = λg(x, y) + g(z, y) + λh(x, y) + h(z, y) = λ(g + h)(x, y) + (g + h)(z, y) An` alogament es veu que (g + h)(x, λy + z) = λ(g + h)(x, y) + (g + h)(x, z).
µg ∈ L2 (En , R), ja que: (µg)(λx+z, y) = µ·g(λx+z, y) = µ·(λg(x, y)+g(z, y)) = µλg(x, y)+µg(z, y) = λ(µg)(x, y) + (µg)(z, y) An` alogament es veu que (µg)(x, λy + z) = λ(µg)(x, y) + (µg)(x, z).
Verifiquem els punts de definici´ o d’espai vectorial: [ 1-a ] [(g + h) + s](x, y) = (g + h)(x, y) + s(x, y) = g(x, y) + h(x, y) + s(x, y) = g(x, y) + (h + s)(x, y) = [g + (h + s)](x, y).
Per tant: (g + h) + s = g + (h + s) ´ molt f`acil veure que θ ∈ L2 (En , R).
[ 1-b ] Definim θ(x, y) = 0 (∀x, y ∈ En ). Es Llavors: (g + θ)(x, y) = g(x, y) + θ(x, y) = g(x, y).
Per tant: g+θ =g (i, an`alogament, θ + g = g) [ 1-c ] Per a cada g ∈ L2 (En , R), definim (−g)(x, y) = −g(x, y) (∀x, y ∈ En ). Es veu f`acilment que (−g) ∈ L2 (En , R).
Llavors: [g + (−g)](x, y) = g(x, y) + (−g)(x, y) = g(x, y) − g(x, y) = 0 = θ(x, y).
Per tant: g + (−g) = θ (i, an`alogament, (−g) + g = θ) [ 1-d ] (g + h)(x, y) = g(x, y) + h(x, y) = h(x, y) + g(x, y) = (h + g)(x, y).
Per tant: Algweb g+h=h+g [ 2 ] [λ(g + h)](x, y) = λ · (g + h)(x, y) = λ · (g(x, y) + h(x, y)) = λ · g(x, y) + λ · h(x, y)) = [(λg) + (λh)](x, y).
Aix´ı: λ(g + h) = λg + λh [ 3 ] [(λ + µ)g](x, y) = (λ + µ) · g(x, y) = λ · g(x, y) + µ · (x, y) = [(λg) + (µg)](x, y).
Aix´ı: (λ + µ)g = λg + µg [ 4 ] [(λµ)g](x, y) = (λµ) · g(x, y) = λµ · g(x, y) = λ · (µg)(x, y) = [λ(µg)](x, y).
Aix´ı: (λµ)g = λ(µg) [ 5 ] (1 · g)(x, y) = 1 · g(x, y) = g(x, y).
D’aquesta forma: 1·g =g b) Vegem que S2 (En ;R) ´es subespai vectorial de L2 (En ;R): 1) ∀x, y ∈ En , θ(x, y) = 0 = θ(y, x) =⇒ θ ∈ S2 (En ;R) 2) ∀f, g ∈ S2 (En ;R), ∀λ ∈R, ∀x, y ∈ En , (λf + g)(x, y) = λf (x, y) + g(x, y) = λf (y, x) + g(y, x) = (λf + g)(y, x) =⇒ (λf + g) ∈ S2 (En ; R) Vegem que H2 (En ;R) ´es subespai vectorial de L2 (En ;R): 1) ∀x, y ∈ En , θ(x, y) = 0 = −θ(y, x) =⇒ θ ∈ H2 (En ;R) 2) ∀f, g ∈ H2 (En ;R), ∀λ ∈R, ∀x, y ∈ En , (λf + g)(x, y) = λf (x, y) + g(x, y) = −λf (y, x) − g(y, x) = −(λf + g)(y, x) =⇒ (λf + g) ∈ H2 (En ; R) c) Determinem primer S2 (En ;R) ∩ H2 (En ;R): ∀f ∈ S2 (En ; R) ∩ H2 (En ; R), ∀x, y ∈ En , f (x, y) = f (y, x) = −f (y, x) =⇒ 2f (y, x) = 0 =⇒ f (y, x) = 0 =⇒ f = θ =⇒ S2 (En ; R) ∩ H2 (En ; R) = {θ} Per ser S2 (En ;R) i H2 (En ;R) subespais vectorials de L2 (En ;R), sabem que S2 (En ;R) + H2 (En ;R) ⊂ L2 (En ;R). Vegem ara que tamb´e es verifica l’altra inclosi´ o, L2 (En ;R) ⊂ S2 (En ;R) + H2 (En ;R): = f (y, x) ∀f ∈ L2 (En ; R), ∀x, y ∈ En , fˆ(x, y) def Algweb S’ha de verificar que ∃s ∈ S2 (En ; R) i ∃h ∈ H2 (En ; R) tals que ∀x, y ∈ En , f (x, y) = s(x, y) + h(x, y) f (y, x) = fˆ(x, y) = s(y, x) + h(y, x) = s(x, y) − h(x, y) Sumant i restant aquestes dues expressions tenim les aplicacions candidates, que s´ on 1 = s def (f + fˆ) 2 1 = h def (f − fˆ) 2 D’aquesta manera es verifica: ∀x, y ∈ En , s(x, y) = ∀x, y ∈ En , h(x, y) = 1 1 1 (f + fˆ)(x, y) = (f (x, y) + fˆ(x, y)) = (fˆ(y, x) + f (y, x)) = s(y, x) 2 2 2 =⇒ s ∈ S2 (En ; R) 1 1 1 (f − fˆ)(x, y) = (f (x, y) − fˆ(x, y)) = (−fˆ(y, x) + f (y, x)) = −h(y, x) 2 2 2 =⇒ h ∈ H2 (En ; R) i a m´es, s+h= 1 1 (f + fˆ) + (f − fˆ) = f 2 2 amb la qual cosa ∀f ∈ L2 (En ; R), ∃s ∈ S2 (En ; R), ∃h ∈ H2 (En ; R) tals que f = s + h.
d) L’isomorfisme ser`a el determinat per la construcci´ o del que la base B:  f (e1 , e1 )  ..
∀f ∈ L2 (En ; R), Ψ(f ) = [f ]B =  .
coneixem com matriu associada a f en  · · · f (e1 , en )  ..
..
 .
.
f (en , e1 ) · · · f (en , en ) Vegem que Ψ ´es aplicaci´ o lineal:  ∀f, g ∈ L2 (En ; R), ∀λ ∈ R,   · · · (λf + g)(e1 , en )  ..
..
= .
.
(λf + g)(en , e1 ) · · · (λf + g)(en , en ) (λf + g)(e1 , e1 )  ..
Ψ(λf + g) = [λf + g]B =  .
   g(e1 , e1 ) · · · g(e1 , en ) · · · f (e1 , en )    ..
..
..
..
..
 = λ[f ]B + [g]B = λΨ(f ) + Ψ(g) + .
.
.
.
.
g(en , e1 ) · · · g(en , en ) f (en , e1 ) · · · f (en , en ) f (e1 , e1 )  ..
= λ .
Vegem que Ψ ´es injectiva: ∀f ∈ Ker(Ψ), Ψ(f ) = [0]n =⇒ f (ei , ej ) = 0 ∀i, j = 1, ..., n n n i =⇒ ∀x, y ∈ En , x = x ei , y = i=1 n j y ej f (x, y) = f ( j=1 n i x ei , i=1 n n j xi y j f (ei , ej ) = 0 y ej ) = j=1 i=1 j=1 =⇒ f = θ =⇒ Ker(Ψ) = {θ} Algweb Vegem que ´es exhaustiva: Sabem que Im(Ψ) ⊂ MR (n × n), llavors nom´es ens falta veure que MR (n × n) ⊂ Im(Ψ): ∀A ∈ MR (n × n), A = (aij ). Definim una certa f ∈ L2 (En ;R) tal que ∀i, j = 1, ..., n = a f (ei , ej ) def ij n n n n D’aquesta manera ∀x, y ∈ En , x = i=1 xi ei , y = j=1 y j ej , f (x, y) = i=1 xi j=1 y j f (ei , ej ) = n xi j=1 y j aij , on es pot comprovar r` apidament que f ´es bilineal. Aix´ı, per la definici´ o, [f ]B = A = Ψ(f ), per tant, A ∈ Im(Ψ), i Ψ ´es exhaustiva.
n i=1 Essent Ψ injectiva i exhaustiva resulta ser bijectiva, amb la qual cosa ´es un isomorfisme.
e) ∀f ∈ S2 (En ;R),     · · · f (e1 , en ) f (e1 , e1 ) · · · f (e1 , en )    ..
..
..
T T ..
..
=  = [f ]B ∈ {A ∈ MR (n×n)/ A = A } .
.
.
.
.
f (en , e1 ) · · · f (en , en ) f (e1 , en ) · · · f (en , en ) f (e1 , e1 )  ..
Ψ(f ) = [f ]B =  .
=⇒ Ψ(S2 (En ; R) ⊂ {A ∈ MR (n × n)/ A = AT } A m´es, ∀A ∈ {A ∈ MR (n × n)/ A = AT }, Ψ−1 (A) = f tal que [f ]B = A = AT . Per tant, f (ei , ej ) = f (ej , ei ) ∀i, j = 1, ..., n n =⇒ ∀x, y ∈ En , x = i=1 n n xi ei , y = n y j ej j=1 n i=1 n xi y j f (ej , ei ) = f ( = i=1 j=1 n n y j ej ) = j=1 xi y j f (ei , ej ) = i=1 j=1 n y j ej , j=1 n xi ei , f (x, y) = f ( xi ei ) = f (y, x) =⇒ f ∈ S2 (En ; R) i=1 An` alogament, ∀f ∈ H2 (En ;R),     · · · f (e1 , en ) 0 · · · f (e1 , en )    ..
..
..
T T ..
..
=  = [f ]B ∈ {A ∈ MR (n×n)/ A = −A } .
.
.
.
.
f (en , e1 ) · · · f (en , en ) −f (e1 , en ) · · · 0) f (e1 , e1 )  ..
Ψ(f ) = [f ]B =  .
=⇒ Ψ(H2 (En ; R) ⊂ {A ∈ MR (n × n)/ A = −AT } A m´es, ∀A ∈ {A ∈ MR (n × n)/ A = −AT }, Ψ−1 (A) = f tal que [f ]B = A = −AT . Per tant, f (ei , ej ) = f (ej , ei ) ∀i, j = 1, ..., n n n xi ei , y = =⇒ ∀x, y ∈ En , x = i=1 n n y j ej j=1 n i=1 n xi y j f (ej , ei ) = f ( =− i=1 j=1 n j=1 xi y j f (ei , ej ) = i=1 j=1 xi ei ) = −f (y, x) =⇒ f ∈ H2 (En ; R) i=1 f ) Per l’isomorfisme vist als dos apartats anteriors podem concloure Algweb n y j ej ) = n y j ej , j=1 n xi ei , f (x, y) = f ( dimR (L2 (En ; R)) = dimR (MR (n × n)) = n2 dimR (S2 (En ; R)) = dimR ({A ∈ MR (n × n)/ A = AT }) = n + n2 2 dimR (H2 (En ; R)) = dimR ({A ∈ MR (n × n)/ A = −AT }) = n − n2 2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/05 (nivell 3) Sigui g una forma bilineal definida sobre R3 , que t´ e per matriu associada en la base can` onica  1  −1 1 2 1 0  3 1 1 a) Tobeu dos vectors x, y ∈ R3 tals que g(x, y) = g(y, x).
b) Trobeu la seva matriu associada respecte de la base B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)}.
Algweb a) Per exemple, x = (1, 0, 0) i y = (0, 1, 0). En aquest cas, g(x, y) = 2 = −1 = g(y, x). En definitiva, g no ´es sim`etrica ja que la matriu associada tampoc ho ´es.
b) Amb la notaci´ o C per a la base can` onica, el canvi de base ve determinat per la matriu:  [Id]BC 1 = 1 0  0 1 1 1 0 1 i el canvi de base resulta [g]B = [Id]TBC [g]C [Id]BC  1 = 0 1  1 0 1 1 0   −1 1 1 1 matriu que, l` ogicament, tampoc ´es sim`etrica.
 2 3 1 1 11 0 1 0   3 0 1 1 1 = 0 4 0 1  3 7 1 1 3 9 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/06 (nivell 3) Siguin x, y ∈ R4 amb coordenades x = (x1 , x2 , x3 , x4 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) en la base can` onica.
Expresseu en termes d’aquestes coordenades cada forma bilineal sim` etrica associada a les seg¨ uents formes quadr` atiques: a) f (x) = x1 x2 b) f (x) = x1 x3 + (x4 )2 c) f (x) = 2x1 x2 − x3 x4 Algweb Per a tot l’exercici usarem la primera f´ ormula de Polaritzaci´o a l’hora de determinar la forma bilineal sim`etrica g: 1 g(x, y) = [f (x + y) − f (x) − f (y)] 2 a) g(x, y) = 1 1 1 2 (x1 + y 1 )(x2 + y 2 ) − x1 x2 − y 1 y 2 = x x + x1 y 2 + x2 y 1 + y 1 y 2 − x1 x2 − y 1 y 2 = 2 2 = 1 1 2 x y + x2 y 1 2 b) g(x, y) = = 1 (x1 + y 1 )(x3 + y 3 ) + (x4 + y 4 )2 − x1 x3 − (x4 )2 − y 1 y 3 − (y 4 )2 = 2 1 1 3 x x + x1 y 3 + y 1 x3 + y 1 y 3 + (x4 )2 + 2x4 y 4 + (y 4 )2 − x1 x3 − (x4 )2 − y 1 y 3 − (y 4 )2 = 2 1 1 3 = x y + y 1 x3 + 2x4 y 4 2 c) g(x, y) = = 1 2(x1 + y 1 )(x2 + y 2 ) − (x3 + y 3 )(x4 + y 4 ) − 2x1 x2 + x3 x4 − 2y 1 y 2 + y 3 y 4 = 2 1 2x1 x2 + 2x1 y 2 + 2y 1 x2 + 2y 1 y 2 − x3 x4 − x3 y 4 − y 3 x4 − y 3 y 4 − 2x1 x2 + x3 x4 − 2y 1 y 2 + y 3 y 4 = 2 1 2x1 y 2 + 2y 1 x2 − x3 y 4 − y 3 x4 = 2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/07 (nivell 3) Redu¨ıu a la forma can` onica i a la forma normal les seg¨ uents formes quadr` atiques, usant el m` etode de la reducci´ o Gaussiana.
a) g(x1 , x2 , x3 ) = (x1 )2 + 2x1 x2 + 2(x2 )2 + 4x2 x3 + 5(x3 )2 b) g(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 c) g(x1 , x2 , x3 ) = 6(x1 )2 − 4x1 x2 + 5(x2 )2 + 4x1 x3 + 7(x3 )2 d) g(x1 , x2 , x3 ) = (x1 )2 + 4x1 x2 + (x2 )2 + 4x1 x3 + (x3 )2 + 4x2 x3 e) g(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 )2 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x1 x4 + (x2 )2 + 2x2 x3 − 4x2 x4 + (x3 )2 − 2(x4 )2 f ) g(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (x1 )2 −4x1 x2 +4(x2 )2 −12x2 x3 +8(x3 )2 −(x4 )2 +6x1 x3 +2x3 x4 +x2 x5 −x4 x5 Algweb En cada cas doneu l’expressi´ o del canvi global de coordenades.
Per a tots els casos suposarem que estem en un cert E, K-espai vectorial amb V una certa base, de manera que ∀x ∈ E t´e per coordenades en aquesta base les que se’ns donen en cada apartat. La forma can`onica l’aconseguirem en una base C i la normal en una base N .
a) La matriu de la forma bilineal sim`etrica associada  1 1 [g]V =  1 2 0 2 Fem operacions elementals de fila la matriu:    1 1 1 1 0  1 2 2  −[1] ∼> 0 1 0 2 0 2 5 −[1] a g en la base V ´es:  0 2 5 (i les mateixes de columna) per arribar a una estructura diagonal de     0 1 0 0 1 2  ∼>  0 1 2  ∼> 0 5 0 2 5 −2[2] 0   0 0 1 1 2  ∼>  0 0 1 0 − 2[2]  0 0 1 0 0 1 En aquest cas, directament la forma can`onica trobada ja ´es forma normal, de manera que C = N .
Trobem aquesta base C tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I3 :       1 0 0 1 0 0 1 0 0  0 1 0  −[1] ∼> −1 1 0  ∼>  −1 1 0  = [Id]TCV 0 0 1 −2[2] 2 −2 1 0 0 1 de manera que si ∀x ∈ E, xC = (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 ), llavors el canvi global de coordenades ´es  1 ˆ1 − x ˆ2 + 2ˆ x3  x = x x2 = x ˆ1 − 2ˆ x2   3 x =x ˆ3 b) La matriu de la forma bilineal sim`etrica associada a g en la base V ´es:   0 1/2 1/2 [g]V =  1/2 0 1/2  1/2 1/2 0 Fem operacions elementals de fila la matriu:    1/2 0 1/2 1/2 +[2]  1/2 0 1/2  ∼>  1/2 1/2 1/2 1/2 0 +[2] (i les mateixes de columna) per arribar a una estructura diagonal de 1/2 0 1/2   1 1 1/2 1/2  ∼>  1/2 0 0 1 1/2    1 1 1/2 1 1/2  −1/2[1] ∼>  0 −1/4 0  ∼> 0 −[1] 0 0 −1 − 1/2[1] − [1]   1 0 0 ∼>  0 −1/4 0  0 0 −1 forma can` onica. Trobem la base C tot acumulant les operacions elementals de fila      1 1 0 1 1 0 0 0 +[2] T 1 0 ∼> 0 1 0  −1/2[1] ∼>  −1/2 1/2 0  = [Id]CV 0 0 1 −[1] −1 −1 1 0 1 Algweb I aquesta ´es una sobre I3 :  1 0 0 de manera que si ∀x ∈ E, xC = (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 ), llavors el canvi global de coordenades ´es  1 ˆ1 − 1/2ˆ x2 − x ˆ3  x = x x2 = x ˆ1 + 1/2ˆ x2 − x ˆ3   3 x =x ˆ3 A partir de la forma can` onica anterior trobem la forma normal:       1 0 0 1 0 0 1 0 0  0 −1/4 0  ·2 ∼>  0 −1/2 0  ∼>  0 −1 0  0 0 −1 0 0 −1 0 0 −1 ·2 Trobem la base N tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I3 :     1 0 0 1 0 0  0 1 0  ·2 ∼> 0 2 0  = [Id]TN C 0 0 1 0 0 1 per tant, [Id]N V = [Id]CV · [Id]N C   1 −1/2 −1 1 =  1 1/2 −1   0 0 0 1 0    1 −1 −1 0 0 2 0  =  1 1 −1  0 0 1 0 1 de manera que si ∀x ∈ E, xN = (˜ x1 , x ˜2 , x ˜3 ), llavors el canvi global de coordenades ´es  1 ˜1 − x ˜2 − x ˜3  x = x x2 = x ˜1 + x ˜2 − x ˜3   3 x =x ˜3 c) La matriu de la forma bilineal sim`etrica associada a g en la base V ´es:   6 −2 2 [g]V =  −2 5 0  2 0 7 Fem operacions elementals de fila (i les mateixes de columna) per arribar a una estructura diagonal de la matriu:         6 −2 2 6 −2 2 6 0 0 6 0 0  −2 5 0  +1/3[1] ∼>  0 13/3 2/3  ∼>  0 13/3 2/3  ∼>  0 13/3 2/3 ∼> 2 0 7 −1/3[1] 0 2/3 19/3 0 2/3 19/3 −2/13[2] 0 0 81/13 +1/3[1] − 1/3[1] − 2/13[2]   6 0 0 0  ∼>  0 13/3 0 0 81/13 Algweb I aquesta ´es una forma can` onica. Trobem la base C tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I3 :       1 0 0 1 0 0 1 0 0  0 1 0  +1/3[1] ∼> 1/3 1 0  1 0  = [Id]TCV ∼>  1/3 −5/13 −2/13 1 −1/3 0 1 −2/13[2] 0 0 1 −1/3[1] de manera que si ∀x ∈ E, xC = (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 ), llavors el canvi global de coordenades ´es  1 ˆ1 + 1/3ˆ x2 − 5/13ˆ x3  x = x x2 = x ˆ2 − 2/13ˆ x3   3 x =x ˆ3 A partir de la forma can` onica anterior trobem la forma normal: √   √    6 0 0 6 √ 0√ 0 1 0 0 √·1/ √6  0 13/3  ∼>  0 1 0  0 √ · 3/ √ 13 ∼> 0 13/ 3 √ 0√ 0 0 81/13 13/3 3 0 0 1 0 0 3 3/ 13 √ √ √ √ √ ·1/ 6 · 3/ 13 · 13/3 3 Trobem la base N tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I3 : √    √  1 0 0 0 1/ 6 √ 0√ √·1/ √6  0 1 0  · 3/ 13 ∼> 0 3/ 13 √ 0 √  = [Id]TN C √ √ 0 0 1 13/3 3 13/3 3 0 0 per tant,  [Id]N V = [Id]CV ·[Id]N C 1 = 0 0  √ 1/3 −5/13 1/ 6 √ 0√ 1 −2/13   0 3/ 13 0 1 0 0 √ √ √    √ 0 1/ 6 √3/3√ 13 −5/3√39 = 0 3/ 13 √ −2/3 √ 39  √ 0 √ 13/3 3 0 0 13/3 3 de manera que si ∀x ∈ E, xN = (˜ x1 , x ˜2 , x ˜3 ), llavors llavors el canvi global de coordenades ´es  √ 1 √ √ √  x1 = 1/ 6˜ x + 3/3 13˜ x2 − 5/3 39˜ x3   √ √ √ x2 = 3/ 13˜ x2 − 2/3 39˜ x3  √ √   3 x3 x = 13/3 3˜ d) La matriu de la forma bilineal sim`etrica associada a g en la base V ´es:  1 [g]V =  2 2  2 2 1 2 2 1 Fem operacions elementals de fila (i les mateixes de columna) per arribar a una estructura la matriu:          1 2 2 1 2 2 1 0 0 1 0 0 1  2 1 2  −2[1] ∼> 0 −3 −2  ∼>  0 −3 −2  −2  ∼>  0 ∼>  0 −3 2 2 1 −2[1] 0 −2 −3 0 −2 −3 −2/3[2] 0 0 −5/3 0 −2[1] − 2[1] diagonal de  0 0 −3 0  0 −5/3 − 2/3[2] I aquesta ´es una forma can` onica. Trobem la base C tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I3 :       1 0 0 1 0 0 1 0 0  0 1 0  −2[1] ∼> −2 1 0  ∼> −2 1 0  = [Id]TCV 0 0 1 −2[1] −2 0 1 −2/3[2] 4/3 −2/3 1 Algweb de manera que si ∀x ∈ E, xC = (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 ), llavors el canvi global de coordenades ´es  1 ˆ1 − 2ˆ x2 + 4/3ˆ x3  x = x x2 = x ˆ2 − 2/3ˆ x3   3 x =x ˆ3 A partir de la forma can` onica anterior trobem la forma normal:       1 0 0 1 0 0 1 0 0 √ √  0 −3  ∼>  0 −1 0  0  √ ·1/ √3 ∼> 0 − 3 √0 √ 0 0 −5/3 · 3/ 5 0 0 − 5/ 3 0 0 −1 √ √ √ ·1/ 3 · 3/ 5 Trobem la base N tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I3 :  1 0 0    0 0 1 0√ 0 √ ·1/ √3 ∼> 0 1/ 3 √ 0√  1 0 √ 0 0 3/ 5 0 1 · 3/ 5 per tant, [Id]N V = [Id]CV · [Id]N C √ √     1 −2 4/3 1 0√ 0 1 −2/√ 3 4/ √15  =  0 1 −2/3   0 1/ 3 √ 0√  =  0 1/ 3 −2/ √ √15 0 0 0 0 1 3/ 5 0 0 3/ 5  de manera que si ∀x ∈ E, xN = (˜ x1 , x ˜2 , x ˜3 ), llavors el canvi global de coordenades ´es  √ 2 √  x1 = x ˜1 − 2/ 3˜ x + 4/ 15˜ x3   √ √ x2 = 1/ 3˜ x2 − 2/ 15˜ x3  √ √   3 x = 3/ 5x3 e) La matriu de la forma bilineal sim`etrica associada  1 −1  −1 1 [g]V =  1 1 −1 −2 a g en la base V ´es:  1 −1 1 −2   1 0 0 −2 elementals de fila (i les mateixes de columna) per arribar a una estructura diagonal:        1 −1 1 −1 1 −1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 −2  +[1] >  0 0 2 −3  >  0 0 2 −3  −[4] >  0 3 1 0  > ∼ ∼   ∼   ∼ 1 0 −[1] 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 −2 +[1] 0 −3 1 −3 0 −3 1 −3 0 −3 1 −3 +[1] − [1] + [1] − [4]       1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3 1 0  1 0  > 0 3 0 0  0 3 ∼> ∼> ∼>     ∼   −1/3[2] 0 1 0 1 0 0 −1/3 1 0 0 −1/3 1 0 0 1 −3 0 0 1 −3 0 0 1 −3 +3[3] −1/3[2]     1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 ∼>   ∼>   0 0 −1/3 1 0 0 −1/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +3[3] I aquesta ´es una forma can` onica. Trobem la base C tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I4 :       1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0  0 1 0 0  +[1] > 1 1 0 0  −[4] > 0 1 0 −1  ∼> ∼ ∼     0 0 1 0 −[1] −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1/3[2] 0 0 0 1 +[1] 1 0 0 1 1 0 0 1     1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1  1 0 −1   0 ∼> ∼>     −1 −1/3 1 1/3 −1 −1/3 1 1/3 1 0 0 1 +3[3] −2 −1 3 2 Algweb Fem operacions  1 −1  −1 1  1 1 −1 −2 de manera que si ∀x ∈ E, xC = (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 , x ˆ4 ), llavors,  1 x =x ˆ1 − x ˆ3 − 2ˆ x4      x2 = x ˆ2 − 1/3ˆ x3 − x ˆ4  x3 = x ˆ3 + 3ˆ x4     4 x = −ˆ x2 + 1/3ˆ x3 + 2ˆ x4 A partir de la forma  1 0  0 0 can` onica anterior trobem la forma normal:     1 1 √0 0 0 0 0 0 √ 0 3 3 0 0 0 3 0 0  ·1/    √  ∼>   √ ∼> 0 · 3 0 0 −1/ 3 0 0 −1/3 0 0 0 0 √ √ 0 0 0 0 0 ·1/ 3 · 3 Trobem la base N tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I4 :     1 0 0 0 1 0√ 0 0 √  0 1 0 0  ·1/√ 3 ∼> 0 1/ 3 √0 0      0 0 1 0 · 3 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 1  0 0 0 1 0 0  0 −1 0 0 0 0 √     1 0√ − √3 −2 1 0√ 0 0 1 0 −1 −2  0 1 −1/3 −1   0 1/ 3 √0 0   0 1/ 3 −1/ √ 3 −1  =   = 0 0 1 3 3 0 0 0 0 0√ 3 √3 0 −1 1/3 2 0 0 0 1 0 −1/ 3 1/ 3 2  [Id]N V = [Id]CV · [Id]N C de manera que si ∀x ∈ E, xN = (˜ x1 , x ˜2 , x ˜3 , x ˜4 ), llavors, √ 3  1 x =x ˜1 − 3˜ x − 2˜ x4    √ √   x2 = 1/ 3˜ x2 − 1/ 3˜ x3 + 3˜ x4 √  x3 + 2˜ x4 x3 = 3˜    √ 2 √  4 x = −1/ 3˜ x + 1/ 3˜ x3 + 2˜ x4 f ) La matriu de la forma bilineal sim`etrica associada a g en  1 −2 3 −6  −2 4  [g]V =  3 −6 8  0 0 1 0 1/2 −1/2 la base V ´es:  0 0 0 1/2   1 −1/2   −1 0 0 0 Algweb Fem operacions elementals de fila (i les mateixes de columna) per arribar a una estructura diagonal:       1 −2 3 0 0 1 −2 3 0 0 1 0 0 0 0 −6 0 1/2  +2[1]  0 0 0 0 1/2  0 0 1/2  +[5]  −2 4 0 0       8 1 −1/2  −3[1] ∼>  0 0 −1 1 −1/2  ∼>  0 0 −1 1 −1/2   3 −6 ∼>       0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 1/2 −1/2 0 0 0 1/2 −1/2 0 0 0 1/2 −1/2 0 0 +2[1] − 3[1]       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/2  1 −1/2 0 1/2  1/2   0 1/2 −1/2 0 0  0 1 −1/2 0       0 −1 1 −1/2  ∼>  0 −1/2 −1 1 −1/2  +1/2[2] ∼> 0 0 −5/4 1 −1/4 ∼> ∼>  0       0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 1/2 −1/2 0 0 0 1/2 −1/2 0 0 −1/2[2] 0 0 −1/4 0 −1/4 +[5] + 1/2[2] − 1/2[2]       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0  0 0 0  0 1 0 1 0 1      ∼> ∼> ∼> 0 0 −5/4 0 0  1 −1/4  ∼>  0 0 −5/4  0 0 −5/4 1 −1/4        +4/5[3] 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1/5 −1/5 0 0 0 −1/5 −1/5 0 0 0 −1/5 −1/5 −[4] 0 0 0 −1/5 −1/5 0 0 −1/4 0 −1/4 −1/5[3] +4/5[3] − 1/5[3]     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 1 0 1   >   > 0 0 −5/4 0 0 0 0 −5/4 0 0  ∼  ∼     0 0 0 −1/5 −1/5 0 0 0 −1/5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −[4] I aquesta ´es una forma can` onica. Trobem la base C tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I5 :       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0  0 1 0 0 0  +2[1]  2 1 0 0 0  +[5]  2 1 0 0 1        ∼>  −3 0 1 0 0  +1/2[2] ∼>  0 0 1 0 0  −3[1] ∼> −3 0 1 0 0        0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −1/2[2] 1 0 1  2  ∼>  −2 1/2  0 0 −1 −1/2  0 0 1 0 0   1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1   2  2    1/2 1 0 1/2 1 0 1/2  ∼>  −2 ∼>  −2    −8/5 2/5 4/5 1 −8/5 2/5 4/5 1 2/5 +4/5[3] 1 −1 −1 −1 −3/5 −3/5 −1/5 0 2/5 −[4] −1/5[3]  0 0 0 1   0 1/2   1 0 0 1/2   0 1   1/2   2/5 0 de manera que si ∀x ∈ E, xC = (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 , x ˆ4 , x ˆ5 ), llavors,  1 x    2    x x3    x4     5 x =x ˆ1 + 2ˆ x2 − 2ˆ x3 − 8/5ˆ x4 + x ˆ5 =x ˆ2 + 1/2ˆ x3 + 2/5ˆ x4 − x ˆ5 =x ˆ3 + 4/5ˆ x4 − x ˆ5 =x ˆ4 − x ˆ5 =x ˆ2 + 1/2ˆ x3 + 2/5ˆ x4 A partir de la forma can` onica anterior trobem la forma normal: 1 0  0  0 0   0 0 0 0 1 1 0 0 0 0  √   > ∼ 0 −5/4 0 0  ·2/ 5 0   √  · 5 0 0 0 −1/5 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 1 1 0 0 0 0   √   0 − 5/2 0√ 0  ∼>  0   0 0 −1/ 5 0 0 0 0 0 0 0 √ √ ·2/ 5 · 5 Trobem la base N tot acumulant les operacions elementals de fila sobre I5 : Algweb  1 0  0  0 0  0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0  0 0 0 0 1 0 0 0  0 −1 0 0   0 0 −1 0 0 0 0 0    1 0 0 0 0 0 0√ 0 0 0 0 1 √    > 0 5 0 2/ 5 0  ·2/ ∼ √0 0     √ 5 0 · 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 per tant,    1 2 −2 −8/5 1 1 1 0 0 0 0 0√ 0 0 0  0 1 1/2 2/5 −1   0 1     = 0 0 1 4/5 −1   0 0 2/ 5 √0 0  =  0     0 0 0 0 0 0 1 −1 5 0 0 0 1 1/2 2/5 0 0 0 0 0 1 0  [Id]N V = [Id]CV ·[Id]N C de manera que si ∀x ∈ E, xN = (˜ x1 , x ˜2 , x ˜3 , x ˜4 , x ˜5 ), llavors,  1 x       x2   x3     x4     5 x √ 4 √ 3 x − 8/ 5˜ x +x ˜5 =x ˜1 + 2˜ x2 − 4 5˜ √ 3 √ 4 =x ˜2 + 1/ 5˜ x + 2/ 5˜ x −x ˜5 √ 3 √ 4 = 2/ 5˜ x + 4/ 5˜ x −x ˜5 √ 4 x −x ˜5 = 5˜ √ √ 4 =x ˜2 + 1/ 5˜ x3 + 2/ 5˜ x √ √  2 −4/√ 5 −8/√ 5 1 1 1/√5 2/√5 −1   4/ 0 2/ 5 √ 5 −1   0 0√ −1 √5 2/ 5 0 1 1/ 5 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/08 (nivell 3) Sigui En un R-espai vectorial de dimensi´ o n. Sigui V = {e1 , ..., en } base d’En i f, g ∈ LR (En ,R).
Definim: h : En × En −→ R (x, y) −→ h(x, y) = f (x) · g(y) Algweb a) Demostreu que h ´ es una forma bilineal.
b) Demostreu que ∀x ∈ En h(x, x) = 0 ⇐⇒ f = ˜0 o b´ e g = ˜0.
c) Demostreu que si h = ˜ 0, llavors h no ´ es antisim` etrica.
d) Comproveu que rang([h]V ) ≤ 1.
e) Demostreu que d) ´ es una condici´ o suficient per tal que h existeixi tal i com est` a definida.
f ) Demostreu que si ∃α = 0 tal que ∀x, y ∈ En h(x, y) = α · f (x) · f (y), llavors {f, g} ´ es linealment dependent.
a) Per veure que ´es una forma, n’hi ha prou amb comprovar que ´es una aplicaci´ o i que, efectivament, les seves imatges s´ on del cos R. A partir de la definici´o, ∀(x, y) ∈ En × En ∃!h(x, y) = f (x) · g(y) ∈ R Veiem que ´es lineal per a cada component: a.1.) ∀λ ∈R, ∀x1 , x2 , y ∈ En , h(λx1 + x2 , y) = f (λx1 + x2 ) · g(y) = (λf (x1 ) + f (x2 )) · g(y) = = λf (x1 ) · g(y) + f (x2 ) · g(y) = λh(x1 , y) + h(x2 , y) a.2.) ∀λ ∈R, ∀x, y1 , y2 ∈ En , h(x, λy1 + y2 ) = f (x) · g(λy1 + y2 ) = f (x) · (λg(y1 ) + g(y2 )) = = λf (x) · g(y1 ) + f (x) · g(y2 ) = λh(x, y1 ) + h(x, y2 ) b) Veiem les dues implicacions: ⇐=) f =˜ 0∨g =˜ 0 i per tant, h = ˜ 0.
=⇒ ∀x, y ∈ En , f (x) · g(y) = h(x, y) = 0 =⇒) Ho demostrarem per reducci´ o a l’absurd: suposem que f = 0˜ i g = ˜0. Llavors, rg(f ) = rg(g) = 1 i per tant, η(f ) = η(g) = n − 1. En aquesta situaci´o poden passar dues coses: cas 1): Ker(f ) = Ker(g). En aquest cas, considerant Ker(f ) = Ker(g) =< e1 , ..., en−1 >R , podem definir B = {e1 , ..., en−1 , u}, base d’En tal que f (u) = 0 = g(u). Per tant, ∃u ∈ En , u = 0 tal que h(u, u) = f (u) · g(u) = 0, cosa que contradiu la nostra hip`otesi.
cas 2): Ker(f ) = Ker(g). Fixem-nos que dimR (Ker(f ) + Ker(g)) = η(f ) + η(g) − dimR (Ker(f ) ∩ Ker(g)) ≤ n =⇒ dimR (Ker(f ) ∩ Ker(g)) ≥ n − 2 de manera que aquesta dimensi´ o nom´es pot valer n − 2 o n − 1.
cas 2.1.) dimR (Ker(f )∩Ker(g)) = n−1. En aquest cas, la dimensi´o coincideix amb la dels Ker per separat i, com que la intersecci´ o est` a inclosa en qualsevol d’ells, tenim que Ker(f ) = Ker(f ) ∩ Ker(g) = Ker(g), cosa que contradiu el cas 2 en el que estem.
Algweb cas 2.2.) dimR (Ker(f ) ∩ Ker(g)) = n − 2. Llavors, considerant Ker(f ) =< e1 , ..., en−2 , v >R i Ker(g) =< e1 , ..., en−2 , w >R , podem definir B = {e1 , ..., en−2 , v, w}, base d’En tal que f (w) = 0 = g(v).
En aquest cas, definint u = v + w tenim que ∃u ∈ En , u = 0 tal que h(u, u) = f (u) · g(u) = 0, cosa que contradiu la nostra hip` otesi.
Com que en tots els casos exposats hem arribat a contradiccions, l’afirmaci´o que hem fet ´es falsa, cosa que demostra aquesta implicaci´ o.
c) Ho demostrarem pel contrarec´ıproc: h ´es antisim`etrica =⇒ h = ˜0 Si h ´es antisim`etrica, ∀x, y ∈ En , h(x, y) = −h(y, x). Si considerem un cas particular en que y = x, ∀x ∈ En , tindrem que h(x, x) = −h(x, x), de manera que h(x, x) = 0, ∀x ∈ En . Per l’apartat anterior, aix`o implica que f = ˜ 0∨g =˜ 0. I si una de les dues formes lineals ´es ˜0, llavors, h = ˜0.
d) Fixem-nos que  h(e , e ) 1 1  h(e2 , e1 ) [h]V =  ..
 .
h(e1 , e2 ) h(e2 , e2 ) ..
.
··· ··· ..
.
h(e1 , en )   f (e1 )g(e1 ) h(e2 , en )   f (e2 )g(e1 ) = ..
..
  .
.
h(en , e1 ) h(en , e2 ) · · · h(en , en ) f (e1 )g(e2 ) f (e2 )g(e2 ) ..
.
··· ··· ..
.
f (e1 )g(en )  f (e2 )g(en )  = ..
 .
f (en )g(e1 ) f (en )g(e2 ) · · · f (en )g(en )  f (e )  1  f (e2 )   = F · G =  ..  [ g(e1 ) g(e2 ) · · · g(en ) ] not .
f (en ) per les relacions del producte matricial, rang([h]V ) ≤m´ın{rg(F ), rg(G)} ≤ 1 e) En cas que rang([h]V ) = 0, llavors h = ˜0 i nom´es cal prendre f = ˜0 o b´e g = ˜0 per tal que h es pugui definir segons l’enunciat.
En cas contrari, suposem A = [h]V una matriu de rang 1. En aquest cas, totes les columnes (o files) s´ on combinaci´ o lineal d’una sola columna (o fila). Una manera de representar-ho, considerant que aquesta columna ´es la primera, seria      b1 b1 b1 ..    ..  ..     = . [ a1 · · · an .
A = a1 .
bn bn bn   · · · an ] = not B·A Si ara definim f, g, dues formes lineals tals que [f ]V {1} = B T i [g]V {1} = A, llavors h queda determinada tal i com ho est` a a l’enunciat.
f ) Ho demostrarem pel contrarec´ıproc: {f, g} s´ on linealment independents =⇒ /∃α = 0 / ∀x, y ∈ En , h(x, y) = α · f (x) · f (y) Algweb Si {f, g} s´ on linealment independents, llavors f = ˜0 ∧ g = 0˜ i aix` o ens porta a que rg(f ) = rg(g) = 1 i per tant, η(f ) = η(g) = n − 1. Llavors, tal i com hem vist a l’apartat b),dimR (Ker(f ) ∩ Ker(g)) ≥ n − 2, de manera que aquesta dimensi´o nom´es pot ser n − 1 o n − 2. Si fos n − 1, llavors Ker(f ) = Ker(g), i com que Im(f ) = Im(g) i rang(f ) = rang(g) = 1, llavors {f, g} serien linealment dependents, cosa que contradiu el que estem considerant. O sigui que dimR (Ker(f ) ∩ Ker(g)) = n − 2. En aquest cas, considerant Ker(f ) =< e1 , ..., en−2 , y >R i Ker(g) =< e1 , ..., en−2 , x >R , podem definir B = {e1 , ..., en−2 , y, x}, base d’En tal que f (x) = 0 = g(y).
I llavors, h(x, y) = 0. I si ara considerem f (x)f (y) = 0 i llavors, no existeix cap α = 0 de manera que h(x, y) = αf (x)f (y) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/09 (nivell 3) Sigui En un R-espai vectorial. Siguin N1 i N2 dues bases d’En en les que una certa forma bilineal sim` etrica f pren la forma normal, [f ]N1 = D ; [f ]N2 = G Demostreu que en les diagonals de D i G hi ha la mateixa quantitat de 0, d’1 i de −1.
Aquest ´es l’anomenat Teorema de Sylvester per a una forma bilineal sim`etrica.
Considerem f : En × En −→ R una forma bilineal sim`etrica i suposem que tenim dues bases en les que pren la forma normal, N1 = {e1 , ..., en } i N2 = {u1 , ..., un }: ↑ 1 Algweb  [f ]N1        =        ..
.
p 1 ↓ −1 ↑ ..
.
−1 r−p ↓ 0 ..
.
                        =        [f ]N2 ↑ 1 ..
.
 t 1 ↓ −1                ↑ ..
.
−1 m−t ↓ 0 ..
.
0 0 on suposarem que p ≥ t. Per demostrar el teorema n’hi haur` a prou amb verificar que p = t i r = m. I llavors, p N=ot ´ındex de positivitat r − p N=ot ´ındex de negativitat n − r N=ot ´ındex de nul·litat = (p, r − p, n − r) = signatura de f def sign(f ) N ot Per veure que r = m nom´es cal comprovar que rang([f ]N1 ) = rang([f ]N2 ). Fixem-nos que [f ]N2 = [Id]TN2 N1 [f ]N1 [Id]N2 N1 = N ot A = C T BC =⇒ AC −1 = C T B Com que C ´es inversible, llavors C T i C −1 tamb´e ho s´ on. Aix´ı, rg(C T B) = rg(B) i rg(AC −1 ) = rg(A) tal i com ja s’ha vist en un problema anterior de matrius. Com que AC −1 = C T B =⇒ rg(AC −1 ) = rg(C T B) =⇒ rg(A) = rg(B).
Justificarem que p = t per reducci´o a l’absurd. Suposarem que p = t i arribarem a una contradicci´o.
Considerarem ∀x ∈ En , xN1 = (x1 , ..., xn ) i xN2 = (ˆ x1 , ..., x ˆn ).
Suposem que p = t, o sigui p > t. Definim: H =< e1 , ..., ep >R ; S =< ut+1 , ..., un >R Llavors, ∀z ∈ H, z = 0 tindrem que f (z, z) = (z 1 )2 + · · · + (z p )2 > 0 ∀x ∈ S, x = 0 tindrem que f (x, x) = −(ˆ xt+1 )2 − · · · − (ˆ xm )2 < 0 Si calculem la dimensi´ o de H + S, dimR (H + S) = dimR (H) + dimR (S) − dimR (H ∩ S) = p + (n − t) − dimR (H ∩ S) ≤ n =⇒ dimR (H ∩ S) ≥ p + (n − t) − n = p − t Algweb Com que estem suposant que p > t, llavors dimR (H ∩ S) > 0 i per tant, dimR (H ∩ S) ≥ 1. De manera que ∃w ∈ H ∩ S, w = 0. I aquest vector ser`a tal que f (w, w) > 0 i f (w, w) < 0, cosa que entra en contradicci´o.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 6/10 (nivell 3) Sigui En un R espai vectorial, dimR En = n < +∞, i f una forma bilineal definida en ell.
Considerem el conjunt : = {y ∈ E /∀x ∈ E , f (x, y) = 0} W def n n a) Demostreu que per a dues bases qualssevol V i N d’En , les matrius associades a f en aquestes bases tenen el mateix rang, al que anomenarem rangf .
b) Demostreu que W ´ es subespai d’En i que es verifica : rangf = n − dimR W c) Sigui E = MR (n × n), n > 1, definim: ∀A, B ∈ E , f (A, B) = n·Tra¸ca(AB) − (Tra¸ca(A)) · (Tra¸ca(B)) Algweb ´ sim` demostreu que f ´ es una forma bilineal en E. Es etrica? d) Trobeu una base de W per a la forma bilineal de l’apartat anterior i calculeu rangf .
a) Si considerem el canvi de base d’una forma bilineal segons les matrius associades a dues bases N i V qualssevol, tenim que [f ]N = [Id]TN V [f ]V [Id]N V = N ot A = C T BC =⇒ AC −1 = C T B Com que C ´es inversible, llavors C T i C −1 tamb´e ho s´ on. Aix´ı, rg(C T B) = rg(B) i rg(AC −1 ) = rg(A) tal i com ja s’ha vist en un problema anterior. Com que AC −1 = C T B =⇒ rg(AC −1 ) = rg(C T B) =⇒ rg(A) = rg(B).
b) Veiem que W ´es subespai: 1) 0 ∈ W : f (x, 0) = f (x, x − x) = f (x, x) − f (x, x) = 0 =⇒ 0 ∈ W 2) ∀y1 , y2 ∈ W, ∀λ ∈ R λy1 + y2 ∈ W : f (x, λy1 + y2 ) = λf (x, y1 ) + f (x, y2 ) = λ0 + 0 = 0 =⇒ λy1 + y2 ∈ W =⇒ W ´es subespai vectorial d’En . Per veure la relaci´ o de dimensions associarem la matriu B (per exemple, en la base V ) a la d’una aplicaci´ o lineal i aplicarem el teorema fonamental de dimensions. Veiem alguns passos previs: ∀y ∈ W es verifica f (x, y) = 0 ∀x ∈ En =⇒ en particular s’haur`a de verificar per a tots els n vectors = {e , e , ..., e }, tindrem que: de la base V . Si considerem V def 1 2 n f (e1 , y) = 0 f (e2 , y) = 0 ..
.
f (ej , y) = f (ej , y 1 e1 + · · · + y n en ) = y 1 f (ej , e1 ) + · · · + y n f (ej , en ) = 0 ..
.
f (en , y) = 0 Matricialment aix` o equival a dir que: Algweb [f ]V [y]V f (e1 , en )   y 1   0  f (e2 , en )   y 2   0      f (e3 , en )   y 3  =  0   .   .  ..
  .   ..  .
.
0 yn f (en , e1 ) f (en , e2 ) f (en , e3 ) · · · f (en , en )  f (e , e ) 1 1  f (e2 , e1 )   f (e3 , e1 ) = B[y] V = N ot ..
 .
f (e1 , e2 ) f (e2 , e2 ) f (e3 , e2 ) ..
.
f (e1 , e3 ) f (e2 , e3 ) f (e3 , e3 ) ..
.
··· ··· ··· ..
.
´ a dir, que y ´es soluci´ Es o del sistema homogeni BX = 0 que t´e S per conjunt de solucions (S ´es un subespai vectorial d’En ).
Per` o al rev´es tamb´e ´es cert: qualsevol soluci´ o del sistema homogeni ´es un vector de W perqu`e verifica les condicions anteriors, per la qual cosa podem concloure que W = S. Per tant, les seves dimensions s´ on iguals, i aix´ı, dimR W = dimR S = n − rang(B) = n − rang([f ]V ) = n − rangf =⇒ rangf = n − dimR W c) Per veure que ´es bilineal cal veure que ´es lineal per a les dues components: 1era component: ∀A1 , A2 , B ∈ E ∀λ ∈ R f (λA1 + A2 , B) = n· Tra¸ca((λA1 + A2 )B)−Tra¸ca(λA1 + A2 )· Tra¸ca(B) = = n · (λTra¸ca(A1 B)+Tra¸ca(A2 B))−Tra¸ca(λA1 )· Tra¸ca(B)+Tra¸ca(A2 )· Tra¸ca(B) = = λ · (n· Tra¸ca(A1 B)− Tra¸ca(A1 )· Tra¸ca(B)) + (n· Tra¸ca(A2 B)− Tra¸ca(A2 )· Tra¸ca(B)) = = λf (A1 , B) + f (A2 , B) 2ona component: ∀A, B1 , B2 ∈ E ∀µ ∈ K f (A, µB1 + B2 ) = n· Tra¸ca(A(µB1 + B2 ))−Tra¸ca(A)· Tra¸ca(µB1 + B2 ) = = n · (µTra¸ca(AB1 )+Tra¸ca(AB2 ))−Tra¸ca(A)· Tra¸ca(µB1 )+Tra¸ca (A)· Tra¸ca(B2 ) = = µ · (n· Tra¸ca(AB1 )− Tra¸ca(A)· Tra¸ca(B1 )) + (n· Tra¸ca(AB2 )− Tra¸ca(A)· Tra¸ca(B2 )) = = µf (A, B1 ) + f (A, B2 ) =⇒ f ´es bilineal. A m´es, ∀A, B ∈ E f (A, B) = n·Tra¸ca(AB)−Tra¸ca(A)·Tra¸ca(B) = n·Tra¸ca(BA)−Tra¸ca(B)·Tra¸ca(A) = f (B, A) =⇒ f ´es sim`etrica.
d) ∀B ∈ W, f (A, B) = 0 ∀A ∈ E Algweb Per tant, aquesta condici´ o s’haur`a de verificar per a qualsevol matriu pertanyent a una base d’E (que anomenarem N = {N1 , N2 , ..., Nn2 } i que prendrem com a base can`onica, ordenada per files). Imposem-la per a cada cas, considerant B = (bij ) i Tra¸ca(B) N=ot t : 1 0 0 ··· 0 0 0 ···  0 0 0 ··· A = N1 =  . . . .
 .. .. ..
..
0 0 0 ···   0 0  0  =⇒ n · b11 = t ..  . 0 0 1 0 0 0 0  0 0 0 A = N2 =  . . .
 .. .. ..
0 0 0  ··· 0 ··· 0  · · · 0  =⇒ n · b21 = 0 . ..
. ..  ··· 0 0 0 1 0 0 0  0 0 0 A = N3 =  . . .
 .. .. ..
0 0 0  ··· 0 ··· 0  · · · 0  =⇒ n · b31 = 0  .
..
. ..  ··· 0   ..
.
0 1  0 =  ...
   A = Nn+1 0 0 0 ··· 0 0 0 0 ··· 0 1 0 ···  0 0 0 ··· = . . . .
 .. .. ..
..
0 0 0 ···  A = Nn+2  0 0 ··· 0 0 0 ··· 0  0 0 ··· 0 =⇒ n · b12 = 0 .. .. . .
..  . . . .
   0 0  0  =⇒ n · b22 = t ..  . 0 ..
.
0 0 0 ··· 0 0 0 ···  0 0 0 ··· = . . . .
 .. .. ..
..
0 0 0 ···  A = N n2  0 0  0  =⇒ n · bnn = t ..  . 1 De manera que: bii = nt ∀i = 1, ..., n bij = 0 ∀i, j = 1, ..., n i = j Per tant, B ´es una matriu diagonal amb un u ´nic element en ella. En aquest cas, la base demanada ´es la matriu identitat: W =< In >R Algweb =⇒ dimR W = 1 =⇒ rangf = n2 − 1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/01 (nivell 3) Considereu totes les formes bilineals sim` etriques reals donades en el problema 6/07, mitjan¸ cant les formes quadr` atiques associades. Quines d’elles s´ on productes escalars reals? Trobeu bases ortonormals utilitzant el m` etode de la reducci´ o Gaussiana.
Per veure si s´ on productes escalars, nom´es caldr`a fixar-nos en la seva forma normal i comprovar que tots els elements de la diagonal siguin 1. En concret, ´ a dir, que a) ´es producte escalar. I en aquest cas la base N = {u1 , u2 , u3 } trobada ´es ortonormal. Es    Φg (u1 , u1 ) Φg (u1 , u2 ) Φg (u1 , u3 ) 1 0 0 =  0 1 0  =  Φg (u2 , u1 ) Φg (u2 , u2 ) Φg (u2 , u3 )  Φg (u3 , u1 ) Φg (u3 , u2 ) Φg (u3 , u3 ) 0 0 1   Algweb [Φg ]N [Id]N V  1 −1 2 =  0 1 −2  0 0 1 b) no ´es producte escalar ´ a dir, que c) ´es producte escalar. I en aquest cas la base N = {u1 , u2 , u3 } trobada ´es ortonormal. Es √ √ √   √    1/ 6 √3/3√ 13 −5/3√39 Φg (u1 , u1 ) Φg (u1 , u2 ) Φg (u1 , u3 ) 1 0 0 =  0 1 0  =  Φg (u2 , u1 ) Φg (u2 , u2 ) Φg (u2 , u3 )  [Id]N V =  0 3/ 13 √ −2/3 √ 39  Φg (u3 , u1 ) Φg (u3 , u2 ) Φg (u3 , u3 ) 0 0 1 13/3 3 0 0  [Φg ]N d) no ´es producte escalar e) no ´es producte escalar f) no ´es producte escalar Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/02 (nivell 3) Essent V = {v1 , v2 , ..., vn } una base de l’espai vectorial real Fn , es considera una forma bilineal g tal que: ∀i, j = 1, ..., n , g(vi , vj ) = m´ın{i, j} Demostreu que g ´ es producte escalar. Trobeu una base ortonormal de (F3 , g).
Si calculem la matriu associada a g en la base  1 1  1 [g]V =  .
 ..
1 V,  1 1 ··· 1 2 2 ··· 2   2 3 ··· 3  .. .. . .
. . ..  . .
2 3 ··· n Algweb Com que la matriu ´es sim`etrica, g ´es sim`etrica. Per veure si ´es producte escalar, passarem aquesta matriu a la forma normal per la reducci´ o Gaussiana i verificarem que sigui In :       1 1 1 ··· 1 1 0 0 ··· 0 1 1 1 ··· 1  1 2 2 · · · 2  −[1]  0 1 1 · · · 0 1 1 ··· 1  1         1 2 3 · · · 3  −[1]  0 1 2 · · ·   0 1 2 ··· 2  −[2] 2  . . . .
   ..  ..  .
 .. .. ..
 ... ... ... . . .
 ... ... ... . . .
. . ...  ..
.  ..
.
.
1 2 3 · · · n −[1] 0 1 2 · · · n − 1 −[2] 0 1 2 ··· n − 1     1 0 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 0 1 1 ··· 0 1 0 ··· 1  0      0 0 1 ··· 0 0 1 ··· 1  1  . . . .
 . . . .
 .
.
 .. .. ..
 .. .. ..
..
..  ..
..  0 0 1 ··· n − 2 0 0 1 ··· n − 2 i aix´ı, successivament anem aplicant operacions elementals de fila i columna. De forma general, eles operacions elementals de fila que fem s´ on  [i]f = [i]f − [1]f ∀i = 2, ..., n      [i] = [i] − [2] ∀i = 3, ..., n  f f f   [i]f = [i]f − [3]f ∀i = 4, ..., n   ..
   .
   [n]f = [n]f − [n − 1]f arribant aix´ı a In , que ´es la matriu associada a aquest producte escalar en una base ortonormal D.
Si acumulem aquestes operacions elementals de fila a In trobarem el canvi de base que ens interessa per determinar la base D, ortonormal:   1 0 0 ··· 0  −1 1 0 · · · 0     0 −1 1 · · · 0  = [Id]TDV  .
..
.. . .
.  ..
. ..  .
.
0 0 0 ··· 1 de manera que D = {w1 , ..., wn } ´es una base ortonormal definida per: w1 = v1 wi = −vi−1 + vi ∀i = 2, ..., n Algweb En particular, per a n = 3 tenim  1 −1 0 =  0 1 −1  0 0 1  [Id]DV Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/03 (nivell 3) Demostreu que si f ´ es una forma sesquilineal definida sobre un espai vectorial complex E, i verifica ∀x, y ∈ E f (x, y) = f (y, x) llavors f = ˜0 Com que f ´es sesquilineal, ∀λ ∈ C, ∀x, y ∈ E f (x, λy) = λf (x, y) [1] Algweb i com que a m´es ´es sim`etrica, f (x, λy) = f (λy, x) = λf (y, x) = λf (x, y) [2] De les expressions [1] i [2] dedu¨ım que ∀λ ∈ C, ∀x, y ∈ E, (λ − λ)f (x, y) = 0 En particular haur`a de ser cert per a λ = i: ∀x, y ∈ E, −2if (x, y) = 0 =⇒ ∀x, y ∈ E, f (x, y) = 0 =⇒ f = ˜0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/04 (nivell 3) Considerem R3 . ∀x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ) ∈R3 definim: < | >: R3 × R3 −→ R < (x1 , x2 , x3 )|(y 1 , y 2 , y 3 ) >= x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 a) Comproveu que < | > ´ es una forma bilineal sim` etrica definida positiva.
b) Comproveu que la base can` onica ´ es una base ortonormal.
c) Comproveu que ||x|| coincideix amb el concepte cl` assic de ‘m` odul’ d’un vector.
Algweb d) Comproveu que x − y coincideix amb el concepte de ‘dist` ancia euclidiana’ entre dos punts de l’espai d((x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )).
a) ´ lineal per a la primera component: ∀(x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ), (z 1 , z 2 , z 3 ) ∈ R3 , ∀λ ∈R, 1) Es < λ(x1 , x2 , x3 ) + (y 1 , y 2 , y 3 )|(z 1 , z 2 , z 3 ) >= (λx1 + y 1 )z 1 + (λx2 + y 2 )z 2 + (λx3 + y 3 )z 3 = = λx1 z 1 + y 1 z 1 + λx2 z 2 + y 2 z 2 + λx3 z 3 + y 3 z 3 = λ(x1 z 1 + x2 z 2 + x3 z 3 ) + y 1 z 1 + y 2 z 2 + y 3 z 3 = = λ < (x1 , x2 , x3 )|(z 1 , z 2 , z 3 ) > + < (y 1 , y 2 , y 3 )|(z 1 , z 2 , z 3 ) > ´ lineal per a la segona component: ∀(x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ), (z 1 , z 2 , z 3 ) ∈ R3 , ∀λ ∈R, 2) Es < (x1 , x2 , x3 )|λ(y 1 , y 2 , y 3 ) + (z 1 , z 2 , z 3 ) >= x1 (λy 1 + z 1 ) + x2 (λy 2 + z 2 ) + x3 (λy 3 + z 3 ) = = λx1 y 1 + x1 z 1 + λx2 y 2 + x2 z 2 + λx3 y 3 + x3 z 3 = λ(x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 ) + x1 z 1 + x2 z 2 + x3 z 3 = = λ < (x1 , x2 , x3 )|(y 1 , y 2 , y 3 ) > + < (x1 , x2 , x3 )|(z 1 , z 2 , z 3 ) > ´ sim`etrica: ∀(x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ R3 , 3) Es < (x1 , x2 , x3 )|(y 1 , y 2 , y 3 ) >= x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 = y 1 x1 + y 2 x2 + y 3 x3 =< (y 1 , y 2 , y 3 )|(x1 , x2 , x3 ) > ´ definida positiva no degenerada: ∀(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , (x1 , x2 , x3 ) = ˜0, 4) Es < (x1 , x2 , x3 )|(x1 , x2 , x3 ) >= (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 ≥ 0 amb < (x1 , x2 , x3 )|(x1 , x2 , x3 ) >= 0 ⇐⇒ (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0) b) Sigui C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} la base can` onica de R3 . Llavors,  1 0 0 [< | >]C =  0 1 0  0 0 1  i per tant, C ´es base ortonormal.
c) ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈R3 , x = + < x|x > = (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 que ´es el concepte cl` assic de m`odul d’un vector.
d) ∀x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ) ∈R3 , < x − y|x − y > = Algweb x−y = = < (x1 − y 1 , x2 − y 2 , x3 − y 3 )|(x1 − y 1 , x2 − y 2 , x3 − y 3 ) > = (x1 − y 1 )2 + (x2 − y 2 )2 + (x3 − y 3 )2 que ´es el concepte de dist` ancia euclidiana entre dos punts de l’espai que tenen per vector posici´o x i y respectivament.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/05 (nivell 3) Considerem C[−1, 1], espai vectorial de totes les funcions cont´ınues reals definides en l’interval [−1, 1]. Definim: < | >: C[−1, 1] × C[−1, 1] −→ R 1 < f |g >= f (t)g(t)dt −1 Comproveu que ´ es producte escalar.
Sigui W = {f ∈ C[−1, 1]/ f (−t) = −f (t) ∀t ∈ [−1, 1]}. Comproveu que W ´ es subespai vectorial de C[−1, 1]. Trobeu W ⊥ Algweb Vegem que ´es producte escalar: ´ lineal per a la primera component: ∀f1 , f2 , g ∈ C[−1, 1], ∀λ ∈R, 1) Es 1 < λf1 + f2 |g >= 1 (λf1 (t) + f2 (t))g(t)dt = −1 1 =λ (λf1 (t)g(t) + f2 (t)g(t))dt = −1 1 f2 (t)g(t)dt = λ < f1 |g > + < f2 |g > f1 (t)g(t)dt + −1 −1 ´ lineal per a la segona component: ∀f, g1 , g2 ∈ C[−1, 1], ∀λ ∈R, 2) Es 1 < f |λg1 + g2 >= 1 f (t)(λg1 (t) + g2 (t))dt = −1 1 =λ (λf (t)g1 (t) + f (t)g2 (t))dt = −1 1 f (t)g2 (t)dt = λ < f |g1 > + < f |g2 > f (t)g1 (t)dt + −1 −1 ´ sim`etrica: ∀f, g ∈ C[−1, 1], 3) Es 1 < f |g >= 1 f (t)g(t)dt = −1 g(t)f (t)dt < g|f > −1 ´ definida positiva no degenerada: ∀f ∈ C[−1, 1], f = ˜0, 4) Es 1 < f |f >= 1 (f (t))2 dt ≥ 0 f (t)f (t)dt = −1 −1 amb < f |f >= 0 ⇐⇒ f = ˜0 Vegem la implicaci´ o =⇒) per reducci´ o a l’absurd: suposem que < f |f >= 0 i que f = ˜0. Llavors, per continuitat, ∃c ∈ (−1, 1), f (c) = 0 =⇒ ∃δ > 0 / (c − δ, c + δ) ⊂ (−1, 1) de manera que ∀t ∈ (c − δ, c + δ) f (t) t´e el mateix signe que f (c). En aquest cas llavors, 1 c−δ (f (t))2 dt = 0 =< f |f >= −1 c+δ (f (t))2 dt + −1 c+δ (f (t))2 dt c−δ >0i 1 (f (t))2 dt + (f (t))2 dt > 0 c−δ c+δ I a partir d’aquesta contradicci´ o veiem que f = ˜0.
Vegem ara que W ´es subespai vectorial de C[−1, 1]: 1) ˜0 ∈ W : ∀t ∈ [−1, 1], ˜ 0(−t) = 0 = −˜0(t) ˜0 ∈ W =⇒ 2) ∀f, g ∈ W, ∀λ ∈R, Algweb (λf + g)(−t) = λf (−t) + g(−t) = −λf (t) − g(t) =⇒ λf + g ∈ W Sabem que W ⊥ = {g ∈ C[−1, 1] / ∀f ∈ W, < f |g >= 0}. Aix´ı, ∀g ∈ W ⊥ , ∀f ∈ W , 1 0 =< f |g >= 0 f (t)g(t)dt = 1 f (t)g(t)dt + −1 −1 f (t)g(t)dt = 0 (fent el canvi de variable u = −t a la primera integral, i u = t a la segona) 0 =− 1 f (−u)g(−u)du + 1 0 1 =− 1 f (u)g(u)du = 0 1 f (u)g(−u)du + 0 1 f (−u)g(−u)du + f (u)g(u)du = 0 1 0 1 f (u)(g(u) − g(−u))du f (u)g(u)du = 0 = N ot f (u)G(u)du 0 Fixem-nos que, ∀u ∈ [−1, 1] es verifica que G(−u) = g(−u) − g(u) = −(g(u) − g(−u)) = −G(u), per tant, G ∈ W . Com que l’expressi´ o anterior ha de ser certa ∀f ∈ W , en particular podem considerar f = G, i llavors, 1 (G(u))2 du = 0 =⇒ ∀u ∈ [0, 1] G(u) = 0 0 =⇒ =⇒ ∀u ∈ [−1, 1] G(u) = 0 ∀u ∈ [−1, 1] g(−u) = g(u) i per tant, g ´es parella en [−1, 1].
Per` o tamb´e, si g ´es una funci´ o parella qualsevol, ∀f ∈ W 1 1 f (t)g(t)dt = −1 f (−t)g(−t)(−dt) = −1 (fent el canvi u = −t) −1 1 f (u)g(u)du = − = 1 =⇒ 2 1 f (t)g(t)dt = 0 −1 f (u)g(u)du −1 1 f (t)g(t)dt =< f |g >= 0 =⇒ −1 I amb aix` o queda vist que W ⊥ = {g ∈ C[−1, 1]/ g(−t) = g(t) ∀t ∈ [−1, 1]} (funcions parelles), i podem concloure que Algweb C[−1, 1] = W ⊕ W ⊥ = {f uncions imparelles} ⊕ {f uncions parelles} Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/06 (nivell 3) Sigui D3 = {p(x) ∈ R[x]/ grau de p(x) ≤ 3}. Definim: < | >: D3 × D3 −→ R 1 < p(x)|q(x) >= p(x)q(x)dx 0 a) Comproveu que < | > ´ es producte escalar.
b) Trobeu el subespai ortogonal dels seg¨ uents subespais vectorials: Algweb F1 = { polinomis de grau zero } F2 = {p(x) ∈ D3 / p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , a0 + a3 = 0 , a1 + a2 = 0} c) Usant el m` etode de la reducci´ o Gaussiana trobeu una base ortonormal a partir de la base {1, x, x2 , x3 }.
d) Usant el m` etode de Gram-Schmidt trobeu una base ortonormal a partir de la base {1, x, x2 , x3 }.
a) ´ lineal per a la primera component: ∀p1 (x), p2 (x), q(x) ∈ D3 , ∀λ ∈R, 1) Es 1 < λp1 (x) + p2 (x)|q(x) >= 1 (λp1 (x) + p2 (x))q(x)dx = 0 1 =λ (λp1 (x)q(x) + p2 (x)q(x))dx = 0 1 p1 (x)q(x)dx + p2 (x)q(x)dx = λ < p1 (x)|q(x) > + < p2 (x)|q(x) > 0 0 ´ lineal per a la segona component: ∀p(x), q1 (x), q2 (x) ∈ D3 , ∀λ ∈R, 2) Es 1 < p(x)|λq1 (x) + q2 (x) >= 1 p(x)(λq1 (x) + q2 (x))dx = 0 1 =λ (λp(x)q1 (x) + p(x)q2 (x))dx = 0 1 p(x)q1 (x)dx + 0 p(x)q2 (x)dx = λ < p(x)|q1 (x) > + < p(x)|q2 (x) > 0 ´ sim`etrica: ∀p(x), q(x) ∈ D3 , 3) Es 1 < p(x)|q(x) >= 1 p(x)q(x)dx = 0 q(x)p(x)dx =< q(x)|p(x) > 0 ´ definida positiva no degenerada: ∀p(x) ∈ D3 , p(x) = ˜0, 4) Es 1 < p(x)|p(x) >= 1 (p(x))2 dx ≥ 0 p(x)p(x)dx = 0 0 amb < p(x)|p(x) >= 0 ⇐⇒ p(x) = ˜0 b) ∀p(x), q(x) ∈ D3 seguirem les notacions p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 .
F1 = {p(x) ∈ D3 / a1 = a2 = a3 = 0} =< 1 >R Per determinar F1⊥ n’hi haur`a prou amb buscar la forma m´es general dels polinomis q(x) ∈ D3 que s´on ortogonals als vectors de la base de F1 : 0 =< q(x)|1 >= = b0 + b1 2 + b2 3 + 1 0 q(x)dx = 1 (b0 0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 )dx = b0 x + b1 x2 2 + b2 x3 3 + b3 x4 4 1 = 0 b3 4 i aix´ı, F1⊥ = {p(x) ∈ D3 / 12b0 + 6b1 + 4b2 + 3b3 = 0} =< 2x − 1, 3x2 − 1, 4x3 − 1 >R F2 = {p(x) ∈ D3 / p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , a0 + a3 = 0 , a1 + a2 = 0} =< x2 − x, x3 − 1 >R Per determinar F2⊥ n’hi haur`a prou amb buscar la forma m´es general dels polinomis q(x) ∈ D3 que s´on ortogonals als vectors de la base de F2 : 1 (b0 x2 +b1 x3 +b2 x4 +b3 x5 −b0 x−b1 x2 −b2 x3 −b3 x4 )dx 0 2 6 1 3 4 5 1 2 3 = − b20 + b0 −b + b1 −b + b2 −b + b63 − b02x + (b0 − b1 ) x3 + (b1 − b2 ) x4 + (b2 − b3 ) x5 + b36x 3 4 5 0 1 1 0 =< q(x)|x3 − 1 >= 0 q(x)(x3 − 1)dx = 0 (b0 x3 + b1 x4 + b2 x5 + b3 x6 − b0 − b1 x − b2 x2 − b3 x3 )dx 2 3 5 6 7 1 4 3 −b0 x − b12x − b23x + (b0 − b3 ) x4 + b15x + b26x + b37x = −b0 − b21 − b32 + b0 −b + b51 + b62 + b73 4 0 Algweb 0 =< q(x)|x2 −x >= 1 0 q(x)(x2 −x)dx = = = i aix´ı, F2⊥ = {p(x) ∈ D3 / 10b0 + 5b1 + 3b2 + 20b3 = 0 , 315b0 + 126b1 + 70b2 + 45b3 = 0} = =< 4 − 35x + 45x2 , 51 − 130x + 7x3 >R c) Calculem primer la matriu associada al producte escalar en la base trivial V = {1, x, x2 , x3 }:  1 1/2 1/3 1/4  1/2 1/3 1/4 1/5  [< | >]V =   1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7  i ara fem operacions elementals de fila (i les mateixes de columna) per arribar a la forma normal, que pren el producte escalar en la base ortonormal D: 1 1/2  1/2 1/3  1/3 1/4 1/4 1/5  1 0 ∼> 0 0  1/3 1/4 1/5 1/6      1/4 1 1/2 1/3 1/4 1 0 0 0 1/5  −1/2[1]  0 1/12 1/12 3/40   0 1/12 1/12 3/40  > >   ∼>   1/6 −1/3[1] ∼ 0 1/12 4/45 1/12 0 1/12 4/45 1/12 −[2] ∼ 1/7 −1/4[1] 0 3/40 1/12 9/112 0 3/40 1/12 9/112 −9/10[2] −1/2[1] − 1/3[1] − 1/4[1]   0 0 0 1 0 1/12 1/12 3/40  >  0 1/12  ∼  0 1/180 1/120 0 0 0 1/120 9/700 0 0 −[2] − 9/10[2]   0 0 1 0 0  0 ∼>   1/180 1/120 0 1/120 9/700 −3/2[3] 0  0 0 0 1/12 0 0  > ∼ 0 1/180 1/120 0 0 1/2800 − 3/2[3] 1 0 0 1/12  ∼>  0 0 0 0 0 0 1/180 0   0 1 √ 0  ·2√3 > 0 ∼  0 0 ·6 √5 1/2800 ·20 7 0   0 0 1 1/ 12 0 0 0   √  ∼>  0 1/ 180 0 0 √ 0 0 0 1/ 2800 √ √ √ ·2 3 ·6 5 · 20 7 Si acumulem les operacions elementals de fila a la matriu I4 trobarem [Id]TDV :  1 0  0 0 0 1 0 0  0 0 1 0   0 1 0 0  −1/2[1] >  −1/2 1 ∼  0 −1/3[1] −1/3 0 1 −1/4[1] −1/4 0 1 −1/2  ∼>  1/6 −1/20  0 0 1 0 0 √   0 1 0 0 0 −1/2 1 0  ∼>   0 −[2] 1/6 −1 1 1 −9/10[2] 1/5 −9/10 0   1 0 0 0 0 0 √ √ √ 0 1 0 0  ·2√3 > −√ 3 2 √3 √ ∼  6 √ 5 −1 1 0 ·6 √5 √5 −6√ 5 − 7 12 7 −30 7 3/5 −3/2 1 ·20 7 0 1 0 0 0 0 1 0  0 0  0 1  0 0 ∼>  0 1 −3/2[3]  0 0  T  = [Id]DV 0√ 20 7 i aix´ı, Algweb √ √ √ √ √ √ √ √ √ D = {1, − 3 + 2 3x, 5 − 6 5x + 6 5x2 , − 7 + 12 7x − 30 7x2 + 20 7x3 } d) Si anomenem D = {w1 , w2 , w3 , w4 } la base ortonormal final, i N = {u1 , u2 , u3 , u4 } la base ortogonal trobada amb Gram-Schmidt, u1 = 1 u2 = x − <u1 |x> <u1 |u1 > u1 = x − 1/2 u3 = x2 − <u1 |x2 > <u1 |u1 > u1 − <u2 |x2 > <u2 |u2 > u2 = x2 − x + 1/6 u4 = x3 − <u1 |x3 > <u1 |u1 > u1 − <u2 |x3 > <u2 |u2 > u2 − <u3 |x3 > <u3 |u3 > u3 = x3 − 3x2 /2 + 3x/5 − 1/20 ´es a dir que N = {1, x − 1/2, x2 − x + 1/6, x3 − 3x2 /2 + 3x/5 − 1/20} Per arribar a D dividirem els vectors anteriors per les seves normes: w1 = 1 u1 w2 = 1 u2 w3 = 1 u3 w4 = 1 u4 u1 = 1 √ √ √ u2 = 2 3(x − 1/2) = 2 3x − 3 √ √ √ √ u3 = 6 5(x2 − x + 1/6) = 6 5x2 − 6 5x + 5 √ √ √ √ √ u4 = 20 7(x3 − 3x2 /2 + 3x/5 − 1/20) = 20 7x3 − 30 7x2 + 12 7x − 7 i aix´ı, √ √ √ √ √ √ √ √ √ D = {1, − 3 + 2 3x, 5 − 6 5x + 6 5x2 , − 7 + 12 7x − 30 7x2 + 20 7x3 } Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/07 (nivell 3) a) Demostreu que ∀a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ...bn ∈ R, i ∀λ1 , λ2 , ..., λn reals positius no nuls, es verifica   2 n n n 1 2 bk ai bi ≤ λj a2j  λ k i=1 j=1 k=1 (Indicaci´ o : Useu la desigualtat de Schwarz) b) Donat un cert n ∈ N∗ i donats b1 , b2 , ..., bn ∈ R, comproveu que   2 n bi n b2j  ≤ n j=1 i=1 Algweb Quan ´ es v` alida la igualtat? (Indicaci´ o : Useu la desigualtat de Schwarz) a) Considerem el producte escalar can` onic en Rn i la desigualtat de Schwarz, | < x|y > | ≤ x · y =⇒ < x|y >2 ≤ x 2 · y 2 Llavors, si considerem els vectors x = ( λ1 a1 , ..., λn an ) bn b1 y = ( √ , ..., √ ) λn λ1 tenim el resultat justificat.
b) Considerem el producte escalar can` onic en Rn i la desigualtat de Schwarz, | < x|y > | ≤ x · y =⇒ < x|y >2 ≤ x 2 · y 2 Llavors, si considerem els vectors x = (b1 , ..., bn ) y = (1, ..., 1) tenim el resultat justificat.
Es verifica la igualtat nom´es quan {x, y} s´ on linealment dependents, o sigui quan x = αy, α ∈R, ´es a dir quan b1 = b2 = · · · = bn .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/08 (nivell 3) a) Essent E un espai euclidi` a real i x ∈ E, x = 0, demostreu que existeixen exactament dos vectors unitaris colineals amb x.
b) Essent E un espai euclidi` a complex i x ∈ E, x = 0, demostreu que existeixen infinits vectors unitaris colineals amb x.
c) Sigui E un espai euclidi` a complex. Demostreu que ∀λ1 , λ2 , ..., λp ∈ C, ∀x1 , x2 , ..., xp ∈ E es verifica   p p λi xi ≤ i=1 p |λj  |2  j=1 k=1 2 (Indicaci´ o : Tingueu en compte que ∀i, j = 1, ..., p Algweb ||xk ||2 (|λi | ||xj || − |λj | ||xi ||) ≥ 0.
a) {x, y} s´ on colineals si i nom´es si s´ on linealment dependents.
Sigui y un vector colineal amb x i unitari (amb la qual cosa y = 1 i per tant y = 0). Considerem α, β ∈R amb la seg¨ uent combinaci´ o lineal: αx + βy = 0 Si β = 0 llavors α = 0 per ser {x, y} linealment dependents, i aix`o ens porta a que x = 0 cosa que entra en contradicci´o amb l’enunciat. Per tant, β = 0 i aix´ı, α y=− x β = N ot y = 1 = |γ| x =⇒ =⇒ =⇒ γx =⇒ |γ| = γ= 1 x ∨ γ=− 1 x 1 x x ∨ y=− 1 x y= 1 x x b) En el cas complex podem seguir el mateix raonament de l’apartat anterior fins a |γ| = 1 x Per` o en aquest cas γ ∈C i per tant existeixen dos reals a, b tals que γ = a + ib. Si |γ| = 1/ x llavors |γ|2 = a2 + b2 = 1/ x 2 condici´ o que verifiquen infinits reals a, b. Per tant, hi ha infinits vectors y colineals amb x i unitaris.
c) Donat que la norma ´es no negativa, justificar l’expressi´o demanada equival a demostrar-la tot aplicant quadrats a banda i banda:   2 p p p ||xk ||2 |λj |2  ≤ λi xi j=1 i=1 k=1 Comencem a desenvolupar l’expressi´ o de l’esquerra: 2 p p i=1 p p λi xi | =< λi xi i=1 p p p |λi |2 xi λi λj < xi |xj >= = i=1 j=1 λj xj >= j=1 2 p λi λj < xi |xj >= [1] + [2] + i=1 i=1 j=1 i=j Considerem nom´es l’expressi´o [2] p p p p 2Re(λi λj < xi |xj >) ≤ i=1 j=1 i=1 j=1 i<j j<i i<j p ≤2 p p p |λi ||λj || < xi |xj > | ≤ 2 |λi ||λj | xi i=1 j=1 i=1 j=1 i<j i<j =⇒ p λi λj < xi |xj >= i=1 j=1 Algweb p p λi λj < xi |xj > + [2] = p (|λi |2 xj xj ≤ 2 + |λj |2 xi 2 ) = i=1 j=1 (∗∗) p (∗) i<j p |λi |2 xj = 2 i=1 j=1 i=j p p |λi |2 xi [1] + [2] ≤ 2 p p |λi |2 xj + i=1 2 p i=1 j=1 i=j p |λi |2 xj = 2 i=1 j=1 p |λi |2 = i=1 xj j=1 Vegem ara els passos (∗) i (∗∗) amb detall: (∗): Sigui µ ∈C, µ = a + ib. Llavors, a2 ≤ a2 + b2 =⇒ |a| ≤ =⇒ a2 + b2 =⇒ a2 + b2 = |µ| a ≤ |a| ≤ a = Re(µ) ≤ |µ| Aplicant-ho al nostre cas, i tenint en compte que |λj | = |λj |, Re(λi λj < xi |xj >) ≤ |λi ||λj || < xi |xj > | (∗∗): Fent u ´s de la indicaci´o de l’enunciat, 2 (|λi | xj − |λj | xi ) ≥ 0 =⇒ =⇒ 2|λi | |λj | xi |λi |2 xj 2 + |λj |2 xi xj ≤ |λi |2 xj 2 2 ≥ 2|λi | xj |λj | xi + |λj |2 xi 2 2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/09 (nivell 3) En R4 considerem el producte escalar can` onic.
Donats els vectors v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (1, −1, 1, 1), v3 = (−1, 0, 2, 1) i v4 = (1, 0, 0, 0), apliqueu el m` etode de Gram-Schmidt per obtenir una base ortogonal. Obtingueu a partir de l’anterior una base ortonormal.
Anomenarem W = {u1 , u2 , u3 , u4 } la base ortogonal que busquem.
u1 = v1 = (1, 1, 0, 0) u2 = v2 − <v2 |u1 > <u1 |u1 > u1 = (1, −1, 1, 1) − 0(1, 1, 0, 0) = (1, −1, 1, 1) u3 = v3 − <v3 |u1 > <u1 |u1 > u1 − <v3 |u2 > <u2 |u2 > u2 = (−1, 0, 2, 1) − −1 2 (1, 1, 0, 0) − 24 (1, −1, 1, 1) = (−1, 1, 3/2, 1/2) <v4 |u1 > <v4 |u2 > <v4 |u3 > −1 u1 − <u u2 − <u u3 = (1, 0, 0, 0)− 12 (1, 1, 0, 0)− 14 (1, −1, 1, 1)− 9/2 (−1, 1, 3/2, 1/2) = u4 = v4 − <u 1 |u1 > 2 |u2 > 3 |u3 > Algweb = (1/36, −1/36, 1/12, −5/36) Per tant, W = {(1, 1, 0, 0), (1, −1, 1, 1), (−1, 1, 3/2, 1/2), (1/36, −1/36, 1/12, −5/36)} Si calculem les normes,   u1     u 2  u3     u4 √ = 2 =2 √ = 3/ 2 = 1/6 Si anomenem D = {w1 , w2 , w3 , w4 } la base ortonormal que busquem, w1 = w2 = w3 = w4 = 1 u1 1 u2 1 u3 1 u4 √ u1 = 1/ 2(1, 1, 0, 0) u2 = 1/2(1, −1, 1, 1) √ u3 = 2/3(−1, 1, 3/2, 1/2) u4 = 6(1/36, −1/36, 1/12, −5/36) Per tant, √ √ √ √ √ √ D = {(1/ 2, 1/ 2, 0, 0), (1/2, −1/2, 1/2, 1/2), (− 2/3, 2/3, 1/ 2, 1/3 2), (1/6, −1/6, 1/2, −5/6)} Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/10 (nivell 3) Sigui Dn l’espai vectorial real dels polinomis a coeficients reals de grau inferior o igual a n. Definim: < | >: Dn × Dn −→ R < p(x)|q(x) >= p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) a) Demostreu que aquesta aplicaci´ o´ es producte escalar nom´ es per a n ≤ 2.
b) Trobeu la matriu associada al producte escalar en la base trivial.
a) Algweb ´ lineal per a la primera component: ∀p1 (x), p2 (x), q(x) ∈ Dn , ∀λ ∈R, 1) Es < λp1 (x) + p2 (x)|q(x) >= (λp1 (−1) + p2 (−1))q(−1) + (λp1 (0) + p2 (0))q(0) + (λp1 (1) + p2 (1))q(1) = = λp1 (−1)q(−1) + p2 (−1)q(−1) + λp1 (0)q(0) + p2 (0)q(0) + λp1 (1)q(1) + p2 (1)q(1) = = λ < p1 (x)|q(x) > + < p2 (x)|q(x) > ´ lineal per a la segona component: ∀p(x), q1 (x), q2 (x) ∈ Dn , ∀λ ∈R, 2) Es < p(x)|λq1 (x) + q2 (x) >= p(−1)(λq1 (−1) + q2 (−1)) + p(0)(λq1 (0) + q2 (0)) + p(1)(λq1 (1) + q2 (1)) = = λp(−1)q1 (−1) + p(−1)q2 (−1) + λp(0)q1 (0) + p(0)q2 (0) + λp(1)q1 (1) + p(1)q2 (1) = = λ < p(x)|q1 (x) > + < p(x)|q2 (x) > ´ sim`etrica: ∀p(x), q(x) ∈ Dn , 3) Es < p(x)|q(x) >= p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) = q(−1)p(−1) + q(0)p(0) + q(1)p(1) =< q(x)|p(x) > ´ definida positiva no degenerada: ∀p(x) ∈ Dn , p(x) = ˜0, 4) Es < p(x)|p(x) >= p(−1)2 + p(0)2 + p(1)2 ≥ 0 amb < p(x)|p(x) >= 0 ⇐⇒ p(−1) = p(0) = p(1) = 0 Suposem que p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + · · · + pn xn . llavors, aquestes tres condicions s´ on  n   p0 − p1 + p2 − p3 + · · · + (−1) pn = 0 p0 = 0   p0 + p1 + p 2 + p3 + · · · + p n = 0 i matricialment, aix` o equival a  1 −1 1 0 1 1    p0   1 · · · (−1)n  p1  0   0 ··· 0  0 =  ..  .
1 ··· 1 0 pn = N ot AX = 0 I aquest sistema volem que sigui compatible determinat per tal que l’´ unica soluci´ o possible sigui p(x) = ˜0.
Aix`o passar` a nom´es quan rang(A) sigui m`axim i coincideixi amb la quantitat d’inc`ognites, ´es a dir, quan A ∈ MR (3 × (n + 1)) amb n ≤ 2.
Per tant, ´es definida positiva nom´es per a n ≤ 2.
Algweb b) Sigui V = {1, x, x2 } la base trivial de D2 . Llavors,  3 [< | >]V =  0 2  0 2 2 0 0 2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/11 (nivell 3) En C3 considerem la base can` onica i definim < | >: C3 × C3 −→ C < v|w >= v 1 w1 + v 2 w2 + v 3 w3 a) Comproveu que < | > ´ es producte escalar.
b) Donats V =< (1, i, 0), (1, 1, 1) >C , W =< (1, −1, i), (i, 1, 2) >C . Trobeu bases ortonormals per a V i W .
c) Trobeu V ⊥ i W ⊥ .
Algweb a) ´ lineal per a la primera component: ∀(x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ), (z 1 , z 2 , z 3 ) ∈ C3 , ∀λ ∈C, 1) Es < λ(x1 , x2 , x3 ) + (y 1 , y 2 , y 3 )|(z 1 , z 2 , z 3 ) >= (λx1 + y 1 )z 1 + (λx2 + y 2 )z 2 + (λx3 + y 3 )z 3 = = λx1 z 1 + y 1 z 1 + λx2 z 2 + y 2 z 2 + λx3 z 3 + y 3 z 3 = λ(x1 z 1 + x2 z 2 + x3 z 3 ) + y 1 z 1 + y 2 z 2 + y 3 z 3 = = λ < (x1 , x2 , x3 )|(z 1 , z 2 , z 3 ) > + < (y 1 , y 2 , y 3 )|(z 1 , z 2 , z 3 ) > 2) ∀(x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ), (z 1 , z 2 , z 3 ) ∈ C3 , < (x1 , x2 , x3 )|(y 1 , y 2 , y 3 ) + (z 1 , z 2 , z 3 ) >= x1 (y 1 + z 1 ) + x2 (y 2 + z 2 ) + x3 (y 3 + z 3 ) = = x1 y 1 + x1 z 1 + x2 y 2 + x2 z 2 + x3 y 3 + x3 z 3 = x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 + x1 z 1 + x2 z 2 + x3 z 3 = =< (x1 , x2 , x3 )|(y 1 , y 2 , y 3 ) > + < (x1 , x2 , x3 )|(z 1 , z 2 , z 3 ) > 3) ∀(x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ C3 , ∀λ ∈C, < (x1 , x2 , x3 )|λ(y 1 , y 2 , y 3 ) >= x1 λy 1 + x2 λy 2 + x3 λy 3 + z 3 = = λx1 y 1 + λx2 y 2 + λx3 y 3 = λ(x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 ) = = λ < (x1 , x2 , x3 )|(y 1 , y 2 , y 3 ) > ´ hermitiana: ∀(x1 , x2 , x3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ C3 , 4) Es < (x1 , x2 , x3 )|(y 1 , y 2 , y 3 ) >= x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 = y 1 x1 + y 2 x2 + y 3 x3 = < (y 1 , y 2 , y 3 )|(x1 , x2 , x3 ) > ´ definida positiva no degenerada: ∀(x1 , x2 , x3 ) ∈ C3 , (x1 , x2 , x3 ) = ˜0, 5) Es < (x1 , x2 , x3 )|(x1 , x2 , x3 ) >= x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 = |x1 |2 + |x2 |2 + |x3 |2 ≥ 0 amb < (x1 , x2 , x3 )|(x1 , x2 , x3 ) >= 0 (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0) ⇐⇒ b) Per trobar les bases ortonormals usarem el m`etode de Gram-Schmidt, amb les notacions NV = {u1 , u2 } base ortogonal de V , NW = {v1 , v2 } base ortogonal de W , DV = {w1 , w2 } base ortonormal de V i DW = {z1 , z2 } base ortonormal de W .
u1 = (1, i, 0) u2 = (1, 1, 1) − <(1,1,1)|u1 > <u1 |u1 > u1 = (1, 1, 1) − w1 = 1 u1 u1 = ( √12 , √i2 , 0) w2 = 1 u2 √ , 1−i √ , √1 ) u2 = ( 21+i 2 2 2 2 1−i 2 (1, i, 0) 1−i = ( i+1 2 , 2 , 1) v1 = (1, −1, i) <(i,1,2)|v1 > <v1 |v1 > v1 Algweb v2 = (i, 1, 2) − = (i, 1, 2) − z1 = 1 v1 −1 √i v1 = ( √13 , √ , 3) 3 z2 = 1 v2 √ , 2−i √ , 5+i √ ) v2 = ( 1+4i 4 3 4 3 4 3 −i−1 3 (1, −1, i) 2−i 5+i = ( 1+4i 3 , 3 , 3 ) b) Per calcular V ⊥ trobarem la forma m´es general dels vectors (v 1 , v 2 , v 3 ) que s´on ortogonals a tots els vectors de la base de V : 0 =< (v 1 , v 2 , v 3 )|(1, i, 0) >= v 1 − iv 2 0 =< (v 1 , v 2 , v 3 )|(1, 1, 1) >= v 1 + v 2 + v 3 D’aquesta manera, ∀v ∈ V ⊥ , v = (iv 2 , v 2 , −(1 + i)v 2 ) = v 2 (i, 1, −1 − i) i aix´ı V ⊥ =< (i, 1, −1 − i) >C An` alogament procedim per a W : 0 =< (v 1 , v 2 , v 3 )|(1, −1, i) >= v 1 − v 2 − iv 3 0 =< (v 1 , v 2 , v 3 )|(i, 1, 2) >= −iv 1 + v 2 + 2v 3 −3−3i 3 −3−3i 3 3 D’aquesta manera, ∀v ∈ W ⊥ , v = ( −3−i v , v ) = v 3 ( −3−i , 1) i aix´ı 2 v , 2 2 , 2 W ⊥ =< (−3 − i, −3 − 3i, 2) >C Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/12 (nivell 3) Sigui < | > el producte escalar en R4 i {e1 , e2 , e3 , e4 } una base ortonormal.
a) Determineu l’angle que forma v = e1 + e2 + e3 + e4 amb cadascun dels vectors de la base.
b) Trobeu la projecci´ o ortogonal de v sobre w = e1 − e2 − e3 − e4 .
c) Trobeu l’angle format per v i w.
a) Aplicarem la definici´ o del cosinus de l’angle α que formen dos vectors {x, y}: cosα = < x|y > x x Algweb α1 = (v,ˆe1 ) cosα1 = < v|e1 > < (1, 1, 1, 1)|(1, 0, 0, 0) > 1 √ = = v e1 2 4·1 =⇒ α1 = 600 cosα2 = < v|e2 > < (1, 1, 1, 1)|(0, 1, 0, 0) > 1 √ = = v e2 2 4·1 =⇒ α2 = 600 cosα3 = < v|e3 > 1 < (1, 1, 1, 1)|(0, 0, 1, 0) > √ = = v e3 2 4·1 =⇒ α3 = 600 cosα4 = < v|e4 > < (1, 1, 1, 1)|(0, 0, 0, 1) > 1 √ = = v e4 2 4·1 =⇒ α4 = 600 α2 = (v,ˆe2 ) α3 = (v,ˆe3 ) α4 = (v,ˆe4 ) b) Aquesta projecci´o ser` a la projecci´ o sobre el subespai vectorial generat per w. Sigui W =< w >R P rW (v) = < v|w > < (1, 1, 1, 1)|(1, −1, −1, −1) > −1 w= (1, −1, −1, −1) = (1, −1, −1, −1) = < w|w > < (1, −1, −1, −1)|(1, −1, −1, −1) > 2 = (−1/2, 1/2, 1/2, 1/2) c) Anomenant α = (v,ˆw), cosα = < v|w > −1 < (1, 1, 1, 1)|(1, −1, −1, −1) > √ √ = = v w 2 4· 4 =⇒ α = 1200 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/13 (nivell 3) Sigui V un C-espai vectorial de dimensi´ o finita. Definim J : V −→ V tal que 1) 2) 3) 4) J ´ es aplicaci´ o.
J(x + y) = J(x) + J(y), ∀x, y ∈ V J(λx) = λJ(x), ∀λ ∈ C , ∀x ∈ V J · J = IdV Algweb a) Proveu que W = {x ∈ V / J(x) = x} t´ e estructura d’espai vectorial real respecte de les operacions definides en V .
b) Proveu que ∀x ∈ V, ∃!x1 , x2 ∈ W tals que x = x1 + ix2 .
c) Suposem que sobre W s’ha donat un cert < | >: W × W −→ R, producte escalar real. Comproveu que a partir de < | > es pot construir un producte escalar complex sobre V , g : V × V −→ C, que verifica la seg¨ uent propietat: ∀x, y ∈ W g(x, y) =< x|y > d) Comproveu que el producte escalar complex g definit en l’apartat anterior ´ es u ´ nic.
e) Comproveu que ∀x, y ∈ V es verifica que g(J(x), J(y)) = g(x, y) f ) A partir dels apartats anteriors trobeu alguna relaci´ o entre els productes escalars can` onics definits sobre Rn i sobre Cn .
a) Si veiem que W ´es subespai vectorial real de V , aleshores W tindr`a estructura d’espai vectorial real.
Comprovem-ho: 1) 0 ∈ W ja que J(0) = J(0 · x) = 0 · J(x) = 0, on x ∈ V 2) ∀x, y ∈ W, ∀λ ∈ R, J(λx + y) = J(λx) + J(y) = λJ(x) + J(y) = λx + y Quedant comprovat d’aquesta manera que W ´es subespai real de V .
b) Imposem les condicions. ∀x ∈ V , s’ha de verificar: x = x1 + ix2 J(x) = x1 − ix2 Sumant i restant aquestes dues expressions obtenim: x1 = 21 (x + J(x)) x2 = −i 2 (x − J(x)) Aleshores, J(x1 ) = J( 12 (x + J(x))) = 12 (J(x) + J 2 (x)) = 12 (x + J(x)) = x1 i 2 J(x2 ) = J( −i 2 (x − J(x))) = 2 (J(x) − J (x)) = i per tant, x1 , x2 ∈ W . A m´es, x1 + ix2 = −i 2 (x − J(x)) = x2 1 1 (x + J(x)) + (x − J(x)) = x 2 2 Algweb Suposem que hi haguessin dues descomposicions possibles, de manera que ∃x1 , x2 , x1 , x2 ∈ W tals que x = x1 + ix2 = x1 + ix2 . Llavors, [1] 0 = x1 − x1 + i(x2 − x2 ) [2] =⇒ J(0) = 0 = J(x1 ) − J(x1 ) − iJ(x2 ) + iJ(x2 ) = x1 − x1 − i(x2 − x2 ) Sumant i restant les dues expressions, [1] + [2] : 0 = x1 − x1 =⇒ x1 = x1 [1] − [2] : 0 = x2 − x2 =⇒ x2 = x2 ´ Es a dir, que aquests vectors x1 i x2 s´ on u ´nics.
c) ∀x, y ∈ V, x = x1 + ix2 , y = y1 + iy2 . Per ser g producte escalar complex, haur`a de verificar: g(x, y) = g(x1 + ix2 , y1 + iy2 ) = g(x1 , y1 ) + ig(x2 , y1 ) − ig(x1 , y2 ) + g(x2 , y2 ) i com que x1 , x2 , y1 , y2 ∈ W , g(x, y) =< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 |y2 > + < x2 |y2 > Definim doncs, una aplicaci´o g tal que ∀x, y ∈ V , g(x, y) =< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 |y2 > + < x2 |y2 > Ara comprovarem que ´es una forma sesquilineal hermitiana definida positiva (o sigui, un producte escalar en un espai vectorial complex, com ´es V ): 1) g ´es una aplicaci´ o ja que ∀x, y ∈ V ∃!g(x, y).
2) g ´es una forma ja que ∀x, y ∈ V g(x, y) ∈C.
3) g ´es sesquilineal: 3.1.) ∀x, x , y ∈ V , suposarem que x = x1 + ix2 . Llavors g(x + x , y) =< x1 + x1 |y1 > +i < x2 + x2 |y1 > −i < x1 + x1 |y2 > + < x2 + x2 |y2 >= =< x1 |y1 > + < x1 |y1 > +i < x2 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x2 |y1 > −i < x2 |y1 > + + < x2 |y2 > + < x2 |y2 >= (< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x2 |y1 > + < x2 |y2 >)+ +(< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x2 |y1 > + < x2 |y2 >) = g(x, y) + g(x , y) 3.2.) ∀x, y ∈ V, ∀λ ∈C, λ = a + ib, a, b ∈R volem veure que g(λx, y) = λg(x, y).
Fixem-nos que si considerem λx, la seva descomposici´ ou ´nica est`a relacionada amb la de x de la seg¨ uent manera: λx = λx1 + iλx2 = (a + ib)x1 + i(a + ib)x2 = (ax1 − bx2 ) + i(bx1 + ax2 ).
Aix´ı, g(λx, y) =< ax1 − bx2 |y1 > +i < bx1 + ax2 |y1 > −i < ax1 − bx2 |y2 > + < bx1 + ax2 |y2 >= =< ax1 |y1 > − < bx2 |y1 > +i < bx1 |y1 > +i < ax2 |y1 > −i < ax1 |y2 > +i < bx2 |y2 > + + < ax1 |y2 > + < bx2 |y2 >= = (a + ib) < x1 |y1 > +i(a + ib) < x2 |y1 > −i(a + ib) < x1 |y2 > +(a + ib) < x2 |y2 >= = λ(< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 |y2 > + < x2 |y2 >) = λg(x, y) 3.3.) ∀x, y, y ∈ V suposarem que y = y1 + iy2 . Llavors g(x, y + y ) =< x1 |y1 + y1 > +i < x2 |y1 + y1 > −i < x1 |y2 + y2 > + < x2 |y2 + y2 >= =< x1 |y1 > + < x1 |y1 > +i < x2 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 |y2 > −i < x1 |y2 > + + < x2 |y2 > + < x2 |y2 >= (< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 |y2 > + < x2 |y2 >)+ +(< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 |y2 > + < x2 |y2 >) = g(x, y) + g(x, y ) Algweb 3.4.) ∀x, y ∈ V, ∀λ ∈C, λ = a + ib, a, b ∈R volem veure que g(x, λy) = λg(x, y).
Fixem-nos que si considerem λy, la seva descomposici´o u ´nica est` a relacionada amb la de y de la seg¨ uent manera: λy = λy1 + iλy2 = (a + ib)y1 + i(a + ib)y2 = (ay1 − by2 ) + i(by1 + ay2 ).
Aix´ı, g(x, λy) =< x1 |ay1 − by2 > +i < x2 |ay1 − by2 > −i < x1 |by1 + ay2 > + < x2 |by1 + ay2 >= =< x1 |ay1 > − < x1 |by2 > +i < x2 |ay1 > −i < x2 |by2 > −i < x1 |by1 > −i < x1 |ay2 > + + < x2 |by1 > + < x2 |ay2 >= = (a − ib) < x1 |y1 > +i(a − ib) < x2 |y1 > −i(a − ib) < x1 |y2 > +(a − ib) < x2 |y2 >= = λ(< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 |y2 > + < x2 |y2 >) = λg(x, y) 4) g ´es hermitiana: ∀x, y ∈ V g(y, x) =< y1 |x1 > +i < y2 |x1 > −i < y1 |x2 > + < y2 |x2 >= =< x1 |y1 > −i < x2 |y1 > +i < x1 |y2 > + < x2 |y2 >= = < x1 |y1 > + i < x2 |y1 > − i < x1 |y2 > + < x2 |y2 > = g(x, y) 5) g ´es definida positiva: ∀x ∈ V, x = 0, g(x, x) =< x1 |x1 > +i < x2 |x1 > −i < x1 |x2 > + + < x2 |x2 >=< x1 |x1 > + < x2 |x2 >= x1 2 + x2 2 ≥ 0 I a m´es, g(x, x) = 0 ⇐⇒ x1 2 + x2 2 = 0 ⇐⇒ x1 2 = x2 2 = 0 ⇐⇒ x1 = x2 = 0 ⇐⇒ x = 0 A m´es ∀x, y ∈ W, x = x + i0, y = y + i0, on x, y, 0 ∈ W . Llavors, g(x, y) =< x|y > +i < 0|y > −i < x|0 > + < 0|0 >=< x|y > d) Suposem que existeixen dos productes escalars g1 i g2 que verifiquen la condici´ o anterior, que ∀u, v ∈ W, g1 (u, v) = g2 (u, v) =< u|v >. Llavors, considerant les descomposicions x = x1 + ix2 i y = y1 + iy2 ∀x, y ∈ V , com que g1 i g2 s´ on formes sesquilineals, g1 (x, y) = g1 (x1 , y1 ) + ig1 (x2 , y1 ) − ig1 (x1 , y2 ) + g1 (x2 , y2 ) = =< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 |y2 > + < x2 |y2 > per`o tamb´e, g2 (x, y) = g2 (x1 , y1 ) + ig2 (x2 , y1 ) − ig2 (x1 , y2 ) + g2 (x2 , y2 ) = =< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 , y2 > + < x2 |y2 > =⇒ g1 (x, y) = g2 (x, y) ∀x, y ∈ V =⇒ g1 = g2 e) ∀x, y ∈ V , si x = x1 + ix2 i y = y1 + iy2 , sabent a partir de l’apartat b) que J(x) = x1 − ix2 i que J(y) = y1 − iy2 , g(J(x), J(y)) =< x1 |y1 > +i < −x2 |y1 > −i < x1 | − y2 > + < −x2 | − y2 >= =< x1 |y1 > −i < x2 |y1 > +i < x1 |y2 > + < y2 |x2 >= = < x1 |y1 > + i < x2 |y1 > − i < x1 |y2 > + < x2 |y2 > = g(x, y) f ) ∀x, y ∈Cn sabem que ∃x1 , x2 , y1 , y2 ∈Rn tals que x = x1 + ix2 i y = y1 + iy2 . Considerem (Rn , < | >) espai euclidi` a amb el producte escalar can`onic i definim g tal que ∀x, y ∈Cn g(x, y) =< x1 |y1 > +i < x2 |y1 > −i < x1 |y2 > + < x2 |y2 > llavors, Algweb n n xj1 y1j + i g(x, y) = j=1 n n xj2 y1j − i j=1 xj1 y2j + j=1 n j=1 n xj1 y1j − iy2j + i = j=1 n n xj2 y2j = xj1 y1j − iy2j + j=1 xj2 y2j + iy1j = j=1 n xj2 y1j − iy2j = j=1 que es correspon amb el producte escalar can`onic de Cn .
xj1 + ixj2 j=1 y1i − iy2j Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/14 (nivell 3) Sigui < | > producte escalar sobre Rn i W un subespai vectorial del mateix. Sabem per tant que Rn = W ⊕ W ⊥ , o sigui, ∀x ∈ Rn , ∃!x1 ∈ W i ∃!x2 ∈ W ⊥ tals que x = x1 + x2 . Definim x1 = Projecci´ o de x sobre W N=ot P rW (x) x2 = Projecci´ o de x sobre W ⊥ = N ot P rW ⊥ (x) Algweb a) Comproveu que P rW i P rW ⊥ s´ on aplicacions lineals.
b) Trobeu Im(P rW ), Im(P rW ⊥ ), Ker(P rW ) i Ker(P rW ⊥ ) c) Comproveu que P rW i P rW ⊥ s´ on projectors.
d) Caracteritzeu els projectors (Id − P rW ) i (Id − P rW ⊥ ).
e) Relacioneu el resultat anterior amb el concepte de coeficient de Fourier donat a teoria.
a) ∀x, y ∈Rn , ∀λ ∈R, x = x1 + x2 , y = y1 + y2 , z = λx + y = λx1 + y1 + λx2 + y2 amb λx1 + y1 ∈ W i λx2 + y2 ∈ W ⊥ . Llavors, P rW (λx + y) = P rW (z) = z1 = λx1 + y1 = λP rW (x) + P rW (y) per tant, P rW ´es lineal.
∀x, y ∈Rn , ∀λ ∈R, x = x1 + x2 , y = y1 + y2 , z = λx + y = λx1 + y1 + λx2 + y2 amb λx1 + y1 ∈ W i λx2 + y2 ∈ W ⊥ . Llavors, P rW ⊥ (λx + y) = P rW ⊥ (z) = z2 = λx2 + y2 = λP rW ⊥ (x) + P rW ⊥ (y) per tant, P rW ⊥ ´es lineal.
b) Im(P rW ) = {y ∈ Rn / ∃x ∈ Rn , y = P rW (x)} =⇒ ∀y ∈ Im(P rW ), y ∈ W =⇒ Im(P rW ) ⊂ W per`o tamb´e, ∀y ∈ W, y = y1 + 0 = y =⇒ P rW (y) = y y ∈ Im(P rW ) =⇒ =⇒ W ⊂ Im(P rW ) per tant, Im(P rW ) = W An`alogament podem procedir amb P rW ⊥ i comprovar que Im(P rW ⊥ ) = W ⊥ .
Ker(P rW ) = {x ∈ Rn , x = x1 + x2 / P rW (x) = x1 = 0} =⇒ ∀x ∈ Ker(P rW ), x = x2 ∈ W ⊥ =⇒ x ∈ W⊥ =⇒ Ker(P rW ) ⊂ W ⊥ per`o tamb´e, ∀x ∈ W ⊥ , x = 0 + x2 =⇒ P rW (x) = 0 =⇒ x ∈ Ker(P rW ) =⇒ W ⊥ ⊂ Ker(P rW ) Ker(P rW ) = W ⊥ =⇒ An` alogament podem procedir amb P rW ⊥ i comprovar que Ker(P rW ⊥ ) = W .
c) ∀x ∈Rn , 2 P rW (x) = P rW (P rW (x)) = P rW (x1 ) = x1 = P r(x) 2 P rW = P rW =⇒ i per tant, P rW ´es projector. An` alogament podem procedir amb P rW ⊥ .
d) ∀x ∈Rn , x = x1 + x2 = P rW (x) + P rW ⊥ (x) = (P rW + P rW ⊥ )(x). Per tant, Id = P rW + P rW ⊥ Algweb i aix´ı, Id − P rW = P rW ⊥ i P rW ⊥ = Id − P rW .
e) Sigui W =< w1 , ..., wm >R amb {w1 , ..., wm } una base ortogonal de W . Aleshores la projecci´ o ortogonal d’un vector x ∈Rn sobre W ´es m y= ci wi ci = i=1 < x|wi > < wi |wi > ∀i = 1, ..., m El que volem veure ´es que aquesta projecci´ o coincideix amb la imatge de x segons el projector P rW , ´es a dir que y = P rW (x).
Considerant Rn = W ⊕ W ⊥ i prenent una base ortogonal de W ⊥ , W ⊥ =< zm+1 , ..., zn >R , m x = x1 + x2 = n αi wi + i=1 βj zj j=m+1 m =⇒ P r(x) = x1 = αi wi i=1 Multiplicant escalarment a banda i banda per wj , ∀j = 1, ..., m, =⇒ αj = m < x1 |wj >= αi < wi |wj >= αj < wj |wj > i=1 < x1 |wj > + < x2 |wj > < x|wj > < x1 |wj > = = = cj < wj |wj > < wj |wj > < wj |wj > de manera que P rW (x) = x1 = y.
∀j = 1, ..., m Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/15 (nivell 3) Sigui < | > producte escalar definit sobre R3 i {e1 , e2 , e3 } una base ortonormal del mateix.
Sigui W =< (1, 0, 2), (3, 0, 1) >R .
a) Trobeu W ⊥ b) Trobeu la matriu de P rW i P rW ⊥ en la base {e1 , e2 , e3 } (Indicaci´ o : Treballeu primer en una base c` omoda i despr´es canvieu de base) c) Interpreteu geom` etricament W, W ⊥ , P rW i P rW ⊥ .
Algweb a) Anomenant V = {e1 , e2 , e3 }, considerem un x ∈ W ⊥ qualsevol, xV = (x, y, z) i imposem les condicions seg¨ uents: < x|(1, 0, 2) > = x + 2z = 0 < x|(3, 0, 1) > = 3x + z = 0 Llavors, x = z = 0 i xV = (0, y, 0) ∀y ∈R, amb la qual cosa, W ⊥ =< (0, 1, 0) >R b) Definim la base N = {uV = (1, 0, 2), vV = (3, 0, 1), wV = (0, 1, 0)}. D’aquesta manera, P rW (u) = u P rW (v) = v P rW (w) = 0 i llavors, [P rW ]N amb [Id]N V  1 = 0 0  0 0 1 0 0 0   3 0 0 1 1 0 1 = 0 2 de manera que  [P rW ]V = [Id]N V [P rW ]N [Id]V N An`alogament per a P rW ⊥ , P rW ⊥ (u) = 0 P rW ⊥ (v) = 0 P rW ⊥ (w) = w 1 = 0 0  0 0 0 0 0 1 i llavors,  [P rW ⊥ ]N 0 = 0 0  0 0 0 0 0 1 de manera que  [P rW ⊥ ]V = [Id]N V [P rW ⊥ ]N [Id]V N 0 = 0 0  0 0 1 0 0 0 c) Algweb W : pla que passa per l’origen de coordenades W ⊥ : recta perpendicular al pla W que passa per l’origen de coordenades P rW : projector ortogonal sobre el pla W P rW ⊥ : projector ortogonal sobre la recta W ⊥ Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/16 (nivell 3) Sigui V un K-espai vectorial amb dimK V = n. Sigui < | > un producte escalar definit sobre V . Donats W1 i W2 , subespais vectorials de V a) Expresseu (W1 + W2 )⊥ en termes de W1⊥ i W2⊥ .
b) Expresseu (W1 ∩ W2 )⊥ en termes de W1⊥ i W2⊥ .
c) Trobeu (W1⊥ )⊥ .
a) ∀w ∈ W1 + W2 ∃w1 ∈ W1 , ∃w2 ∈ W2 / w = w1 + w2 ∀y ∈ W1⊥ ∩ W2⊥ , < y|w >=< y|w1 + w2 >=< y|w1 > + < y|w2 >= 0 + 0 = 0 =⇒ =⇒ y ∈ (W1 + W2 )⊥ W1⊥ ∩ W2⊥ ⊂ (W1 + W2 )⊥ Algweb Per` o tamb´e, ∀x ∈ (W1 + W2 )⊥ , ∀w1 ∈ W1 ⊂ W1 + W2 , w1 ∈ W1 + W2 =⇒ < x|w1 >= 0 =⇒ x ∈ W1⊥ ∀w2 ∈ W2 ⊂ W1 + W2 , w2 ∈ W1 + W2 =⇒ < x|w2 >= 0 =⇒ x ∈ W2⊥ Per tant, x ∈ W1⊥ ∩ W2⊥ , i aix´ı (W1 + W2 )⊥ ⊂ W1⊥ ∩ W2⊥ .
I amb les dues inclusions, (W1 + W2 )⊥ = W1⊥ ∩ W2⊥ b) ∀x ∈ W1⊥ + W2⊥ ∃x1 ∈ W1⊥ , ∃x2 ∈ W2⊥ / x = x1 + x2 .
∀y ∈ W1 ∩ W2 , < x|y >=< x1 |y > + < x2 |y >= 0 + 0 = 0 =⇒ =⇒ x ∈ (W1 ∩ W2 )⊥ (W1⊥ + W2⊥ ) ⊂ (W1 ∩ W2 )⊥ Considerant l’apartat anterior, mirem la dimensi´ o de W1⊥ + W2⊥ : dimK (W1⊥ + W2⊥ ) = dimK W1⊥ + dimK W2⊥ − dimK (W1⊥ ∩ W2⊥ ) = = n − dimK W1 + n − dimK W2 − dimK (W1 + W2 )⊥ = = 2n − dimK W1 − dimK W2 − n + dimK (W1 + W2 ) = = n − dimK W1 − dimK W2 + dimK W1 + dimK W2 − dimK (W1 ∩ W2 ) = = n − dimK (W1 ∩ W2 ) = dimK (W1 ∩ W2 )⊥ I amb la inclusi´ o i aquesta igualtat de dimensions, podem concloure (W1⊥ + W2⊥ ) = (W1 ∩ W2 )⊥ c) ∀x ∈ W1 , ∀y ∈ W1⊥ , < x|y >= 0 =⇒ x ∈ (W1⊥ )⊥ =⇒ W1 ⊂ (W1⊥ )⊥ .
A m´es, V = W1 ⊕ W1⊥ = W1⊥ ⊕ (W1⊥ )⊥ , per tant dimK W1 = dimK (W1⊥ )⊥ = n − dimK W1⊥ .
Amb la inclusi´ o i aquesta igualtat de dimensions podem concloure W1 = (W1⊥ )⊥ Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/17 (nivell 3) Sigui E un K-espai vectorial i F, G subespais vectorials tals que F ⊕ G = E.
S : E −→ E per S(x) = x1 − x2 , ∀x ∈ E on x1 ∈ F, x2 ∈ G, tals que x = x1 + x2 .
Definim a) Comproveu que S ´ es un automorfisme (transformaci´ o simetria).
b) Definim < | > un producte escalar sobre E, amb dimK (E) = n < +∞. Considerem el cas G = F ⊥ . Verifiqueu que S = P rF − P rF ⊥ ´ es una simetria.
c) Considerem l’espai euclidi` a real (R4 , < | >), amb {e1 , e2 , e3 , e4 } base ortonormal. Donat F =< (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0) >R constru¨ıu les matrius associades a P rF , P rF ⊥ , S i S −1 en aquesta base.
Algweb a) a.1.) S ´es lineal: ∀x, x ∈ E, ∀λ ∈K amb x = x1 + x2 i y = y1 + y2 on x1 , y1 ∈ F i x2 , y2 ∈ G. Llavors, S(λx + y) = S(λx1 + y1 + λx2 + y2 ) = λx1 + y1 − λx2 − y2 = λ(x1 − x2 ) + y1 − y2 = λS(x) + S(y) a.2.) S ´es injectiva: ∀x ∈ Ker(S), S(x) = x1 − x2 = 0 =⇒ x1 = x2 =⇒ x1 ∈ F ∩ G = {0} =⇒ x1 = x2 = x = 0, amb la qual cosa Ker(S) = {0} el que implica que S ´es injectiva.
a.3.) S ´es exhaustiva: ∀y ∈ E, y = y1 + y2 . Definim ara x = y1 − y2 de manera que x1 = y1 i x2 = −y2 . Llavors, S(x) = x1 − x2 = y1 + y2 = y =⇒ y ∈ Im(S) I aix´ı, E ⊂ Im(S). Com que Im(S) ⊂ E llavors podem concloure que Im(S) = E i S ´es exhaustiva.
Nota: S ´es bijectiva, o sigui que t´e inversa. En aquest cas, S −1 = S de manera que ´es autoinversa.
b) Recordem que ∀x ∈ E, P rF = x1 , P rF ⊥ (x) = x2 . Llavors, (P rF − P rF ⊥ )(x) = P rF (x) − P rF ⊥ (x) = x1 − x2 = S(x) =⇒ S = P rF − P rF ⊥ c) Determinem primer F ⊥ : F ⊥ =< (1, 0, −1, −1), (0, 1, −1, −1) >K Definim ara la seg¨ uent base de R4 : N = {(1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, −1, −1), (0, 1, −1, −1)} En aquestes bases, 1 0 = 0 0  [P rF ]N 0 1 0 0 0 0 0 0  0 0  0 0 0 0 = 0 0  [P rF ⊥ ]N 0 0 0 0 0 0 1 0  0 0  0 1 i per tant, 1 0 = 0 0  [S]N = [P rF ]N − [P rF ⊥ ]N  0 0 0 1 0 0   0 −1 0 0 0 −1 1 0 = 0 0  [S −1 ]N = [S]−1 N = [S]N Anomenant V = {e1 , e2 , e3 , e4 } les matrius de canvi de base entre V i N s´ on 1 1 = 0 1  Algweb [Id]N V  1 1 0 1 0 1   1 −1 −1 0 −1 −1  1 1 −2 3 1 1 1 3 −2  =   3 −2 −1 −1 5 −2 3 −1 −1  [Id]V N i per tant, [P rF ]V = [Id]−1 V N · [P rF ] · [Id]V N i [P rF ⊥ ]V = [Id]−1 V N · [P rF ⊥ ] · [Id]V N amb  2 2 1 1 1 2 2 1 1  =   1 1 3 −2 5 1 1 −2 3   3 −2 −1 −1 1  −2 3 −1 −1  =   2 5 −1 −1 2 −1 −1 2 2   −1 4 2 2 1  4 −1 2 2  [S]V = [S −1 ]V = [P rF ]V − [P rF ⊥ ]V =   2 2 1 −4 5 2 2 −4 1   0 0 0 1 0 0   0 −1 0 0 0 −1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/18 (nivell 3) a) Sigui (R3 , < | >) espai euclidi` a real, i V = {e1 , e2 , e3 } una base ortonormal. Trobeu una base N = {u1 , u2 , u3 } de vectors unitaris tals que ui − uj sigui tamb´ e unitari per a tot parell d’´ındexos distints i, j. Obtingueu la matriu associada al producte escalar en aquesta base N .
b) Sigui {x1 , x2 , ..., xk } un sistema de vectors linealment independents d’un espai euclidi` a (E, < | >), i siguin dos sistemes de vectors ortogonals i no nuls {y1 , y2 , ..., yk } i {z1 , z2 , ..., zk }, que verifiquen: ∀i = 1, ..., k Demostreu que ∀i = 1, ..., k yi , zi ∈< x1 , x2 , ..., xi >K yi = αi zi , amb αi ∈ K αi = 0.
Algweb a) A partir de les condicions de l’enunciat, veiem que ∀i, j = 1, 2, 3 tant, ||ui − uj ||2 = 1 =⇒ i = j tenim que ||ui − uj || = 1. Per < ui − uj |ui − uj >= 1 =< ui |ui > −2 < ui |uj > + < uj |uj >= ||ui ||2 − 2 < ui |uj > +||uj ||2 per`o l’enunciat tamb´e ens diu que ∀k = 1, 2, 3 ||uk || = 1, de manera que 1 = 1 − 2 < ui |uj > +1 =⇒ < ui |uj >= 1 2 i aix´ı queda determinada la matriu associada al producte escalar en aquesta base N :   1 < u1 |u1 > < u2 |u1 > < u3 |u1 > =  < u1 |u2 > < u2 |u2 > < u3 |u2 >  =  12 1 < u1 |u3 > < u2 |u3 > < u3 |u3 > 2  [< | >]N 1 2 1 1 2 1 2 1 2   1 Ara ens falta caracteritzar la base N . Per fer-ho, buscarem la matriu de canvi de base respecte de la base ortonormal V , [Id]N V . Sabem que [< | >]N = [Id]TN V [< | >]V [Id]N V = [Id]TN V [Id]N V i podem intentar plantejar un sistema de 9 equacions amb 9 inc`ognites, que no ser`a lineal.
Per` o una altra opci´o ´es plantejar-se la relaci´o al rev´es: [< | >]V = I3 = [Id]TV N [< | >]N [Id]V N d’aquesta manera ens plantegem el seg¨ uent problema: donada la matriu associada a una forma bilineal sim`etrica en una certa base (com ´es el producte escalar en la base N ) com podem trobar la seva forma normal i quin ´es el canvi de base? Aquest problema queda resolt aplicant el m`etode de la Reducci´ o Gaussiana a [< | >]N . Si ho fem, i acumulem les operacions elementals de fila per aplicar-les despr´es a la matriu I3 , obtenim:   1 0 0 2  −1  [Id]TV N =  √3 √3 √0  −1 √ 6 −1 √ 6 √3 2 invertint i transposant, 1 0 =  [Id]N V 0 1 √2 3 2 0 1 2 1 √ 2√ 3 √2 3    A m´es, les operacions que hem fet per a la Reducci´ o Gaussiana no s´ on u ´niques, cosa que ens porta a afirmar que la soluci´ o tampoc ho ser`a. Efectivament, la base N forma en R3 un tetr` aedre, i qualsevol tetr` aedre que tingui un v`ertex en l’origen de coordenades ser`a v` alid.
b) Demostrarem aquest resultat aplicant el m`etode d’inducci´ o sobre i (amb 1 ≤ i ≤ k), i considerant el cas m´es general K = C: Algweb i=1 Fixem-nos que en aquest cas, y1 , z1 ∈< x1 >K , i per tant, < x1 >K =< y1 >K =< z1 >K ⇒ y1 ∈< z1 >K ⇒ ∃α1 ∈K/y1 = α1 z1 i a m´es, com que y1 ´es no nul resulta α1 = 0 i Ho suposem cert fins a i. Aix`o vol dir que: y1 = α1 z1 , y2 = α2 z2 , ... , yi = αi zi i+1 Com que {y1 , ..., yi+1 } s´ on ortogonals i no nuls, llavors s´ on linealment independents. A m´es, per hip`otesi < y1 , ..., yi+1 >K ⊂< x1 , ..., xi+1 >K . Com que s´ on linealment independents veiem que dimK (< y1 , ..., yi+1 >K ) = dimK (< x1 , ..., xi+1 >K ) = i + 1 cosa que ens permet concloure que < x1 , ..., xi+1 >K =< y1 , ..., yi+1 >K . An`alogament arribem a que < x1 , ..., xi+1 >K =< z1 , ..., zi+1 >K , i conseq¨ uentment, < y1 , ..., yi+1 >K =< z1 , ..., zi+1 >K . Per tant, en particular, yi+1 ∈< z1 , ..., zi+1 >K i+1 ⇒ ∃β1 , β2 , ..., βi+1 ∈ K / yi+1 = Si ara multipliquem escalarment aquesta expressi´o pel vector yl per`o yl = αl zl βj zj j=1 i+1 0 =< yi+1 |yl >=< ∀l = 1, ..., i, i+1 βj zj |yl >= j=1 ∀l = 1, ..., i per hip`otesi d’inducci´ o βj < zj |yl > j=1 i+1 i+1 βj < zj |αl zl >= =⇒ 0 = j=1 i βj αl < zj |zl >= j=1 βj αl < zj |zl > + βi+1 αl < zi+1 |zl > j=1 per`o < zj |zl >= 0 excepte per a j = l i < zi+1 |zl >= 0 ∀l = 1, ..., i, de manera que βl αl < zl |zl >= βl αl ||zl ||2 = 0 i com que αl = 0 = ||zl ||2 , ⇒ βl = 0 ∀l = 1, ..., i i+1 ⇒ yi+1 = βj zj = βi+1 zi+1 j=1 Algweb amb βi+1 = 0 ja que yi+1 = 0 =⇒ ∃αi+1 ∈ K, αi+1 = def βi+1 / yi+1 = αi+1 zi+1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/19 (nivell 3) Sigui (R4 , < | >) espai euclidi` a real i V = {e1 , e2 , e3 , e4 } una certa base, tal que: 2  −1 [< | >]V =  1 0  −1 3 0 1 1 0 2 0  0 1  0 1 Donats W =< uV = (1, 2, 0, −1), rV = (2, −1, 0, 3) >R zV = (1, 0, 1, 1) Algweb a) Trobeu la projecci´ o ortogonal del vector z sobre el subespai vectorial W .
b) Trobeu dos vectors z1 ∈ W i z2 ∈ W ⊥ , tals que z = z1 + z2 . S´ on u ´ nics? ⊥ c) Obtingueu una base de (< u, r, z2 >R ) d) Trobeu una base ortonormal de (R4 , < | >) tal que els dos primers vectors pertanyin al subespai vectorial W .
a) Ho resoldrem per dos m`etodes diferents: M`etode 1: via Coeficients de Fourier Per poder fer la projecci´o a partir dels coeficients de Fourier ens cal disposar d’una base ortogonal per a W (u i r no s´ on ortogonals). Apliquem Gram-Schmidt a {u, r} per obtenir {v, w}: v=u w=r− <r|v> <v|v> v Treballant en coordenades en la base V , v = (1, 2, 0, −1) w = (2, −1, 0, 3) − tenint en compte que −1 7 (1, 2, 0, −1) 2 −1 3  −1 0 −1 ]  1 0 0 1  < r|v >= [ 1 2 i = 57 (3, −1, 0, 4) 2 −1 3  −1 < v|v >= [ 1 2 0 −1 ]  1 0 0 1    2 1 0 0 1   −1   = −1  0 2 0 3 0 1   1 0 1 0 1 2   =7 2 0 0 0 1 −1 I ara ja podem calcular la projecci´ o: P rW (z) = = < z|v > < z|w > v+ w= < v|v > < w|w > < (1, 0, 1, 1)| 57 (3, −1, 0, 4) > 5 < (1, 0, 1, 1)|(1, 2, 0, −1) > (3, −1, 0, 4) = (1, 2, 0, −1) + < (1, 2, 0, −1)|(1, 2, 0, −1) > < 57 (3, −1, 0, 4)| 57 (3, −1, 0, 4) > 7 = 2 13 1 (1, 2, 0, −1) + (3, −1, 0, 4) = (7, 1, 0, 6) 7 35 5 M`etode 2: via W ⊥ La idea ´es calcular W ⊥ =< v, w >R i trobar la descomposici´ o de z en la base N = {u, r, v, w}.
Si calculem W ⊥ treballant en coordenades en la base V , W ⊥ = {(x, y, z, t) ∈ R4 / 4y + z + t = 0, 5x − 2y + 2z + 2t = 0} =< (−2, −1, 4, 0), (−2, −1, 0, 4) >R Algweb Com que N = {u, r, v, w} ´es base de R4 , z tindr`a una descomposici´ ou ´nica en aquesta base a partir de ´ a dir: les seves coordenades en N , zN = (α, β, γ, δ). Es (1, 0, 1, 1) = α(1, 2, 0, −1) + β(2, −1, 0, 3) + γ(−2, −1, 4, 0) + δ(−2, −1, 0, 4) matricialment,     1 2 −2 −2 α 1  2 −1 −1 −1   β   0     =   0 0 4 0 γ 1 −1 3 0 4 δ 1  que resolent,     α 9/25  β   13/25   =  γ 1/4 δ −1/20 I llavors, P rW (z) ser`a la part de la desocmposici´o corresponent a W , ´es a dir, P rW (z) = 13 1 9 (1, 2, 0, −1) + (2, −1, 0, 3) = (7, 1, 0, 6) 25 25 5 b) Si recuperem el resultat de l’apartat anterior, P rW (z) ∈ W ´es el vector z1 que busquem. Per tant, z2 = z − z1 ser`a l’altre vector demanat. Podem garantir la seva exist`encia i unicitat ja que R4 = W ⊕ W ⊥ .
Aix´ı, z1 = 15 (7, 1, 0, 6) z2 = 15 (−2, −1, 5, −1) c) Amb la notaci´ o F =< u, r, z2 >R , com que u, r ∈ W i z2 ∈ W ⊥ llavors, si F ⊥ =< s >R , volem determinar un cert s ∈ W ⊥ que sigui ortogonal a z2 .
Si s ∈ W ⊥ llavors ∃α, β ∈R tals que (treballant amb coordenades en base V ) s = α(−2, −1, 4, 0) + β(−2, −1, 0, 4). A m´es < s|z2 >= 0, o sigui que 2 −1 1 3  −1 < w|z2 >= [ −2 −1 5 −1 ]  1 0 5 0 1  α − 3β = 0 =⇒ =⇒ =⇒ =⇒   1 0 −2α − 2β 0 1   −α − β   =0 2 0 4α 0 1 4β β = 3α s = α(−8, −4, 4, 12) F ⊥ =< (−2, −1, 1, 3) >R Alternativa: Calculem una base ortogonal de W ⊥ per Gram-Schmidt a partir d’una base on el primer vector sigui z2 i obtenim el vector s.
d) Sigui D = {w1 , w2 , w3 , w4 }. A partir dels resultats obtinguts als apartats anteriors, podem muntar una base ortogonal N de forma c` omoda: Algweb 1 5 N = {u, w, z2 , s } = {(1, 2, 0, −1), (3, −1, 0, 4), (−2, −1, 5, −1), (−2, −1, 1, 3)} 7 5 (amb s , el vector s obtingut fent α = 1). Per passar de N a D nom´es caldr`a dividir cada vector per la seva norma, respectivament (coordenades en base V ): d1 = 1 u u= d2 = 1 w w= d3 = 1 z2 √1 (3, −1, 0, 4) 35 √ z2 = 2√52 (−2, −1, 5, −1) d4 = 1 s s = √1 (1, 2, 0, −1) 7 1 √ (−2, −1, 1, 3) 2 2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/20 (nivell 3) Sigui (E3 , < | >) espai euclidi` a real i V = {e1 , e2 , e3 } una base d’E3 .
∀x ∈ E3 xV = (x1 , x2 , x3 ). Sigui W un subespai vectorial d’E3 amb dimR W = 2 i L =< (1, −2, 0) >R .
Es desconeix l’expressi´ o del producte escalar, per` o sabem que verifica: 1) P rW (5, 2, −3) = (1, −3, 1) 2) P rW (10, 7, −9) = (2, −3, −1) 3) L⊥ = {x ∈ E3 / 2x1 − 4x2 − 3x3 = 0} Trobeu Algweb a) Una base de W ⊥ b) Una base de W c) L ∩ W d) Una base ortogonal de W e) Una base ortogonal d’E3 f ) La matriu associada al producte escalar en la base V a) Sabem que Id − P rW = P rW ⊥ . Aix´ı, fixant-nos per exemple en (5, 2, −3), (5, 2, −3) − P rW (5, 2, −3) = (4, 5, −4) ∈ W ⊥ i com que E3 = W ⊕ W ⊥ i dimR W = 2, llavors dimR W ⊥ = 1, de manera que W ⊥ =< (4, 5, −4) >R b) Com que ∀x ∈ E3 P rW (x) ∈ W i {(1, −3, 1), (2, −3, −1)} s´ on linealment independents, llavors W =< (1, −3, 1), (2, −3, −1) >R ja que dimR W = 2.
c) Com que dimR L = 1, llavors nom´es podr`a passar que W ∩ L = L o b´e W ∩ L = {0}.
∀x ∈ W ∩ L, ∃α, β, γ ∈R tals que α(1, −3, 1) + β(2, −3, −1) = γ(1, −2, 0) i de forma matricial,     0 1 2 −1 α  −3 −3 2   β  =  0  0 1 −1 0 γ  i resolent aquests sistema homogeni comprovem que L ∩ W = L =< (1, −2, 0) >R .
d) Fixem-nos que S = L⊥ ∩ W ⊂ W i tamb´e L = L ∩ W ⊂ W . Per tant, ∀x ∈ S, ∀y ∈ L, < x|y >= 0 i {x, y} ⊂ W . Aix´ı, per determinar una base ortogonal de W nom´es ens caldr`a trobar aquestes dues interseccions. Una l’hem calculat a l’apartat anterior. Per calcular l’altra, fixem-nos que de l’enunciat podem deduir, L⊥ =< (2, 1, 0), (3, 0, 2) >R Plantegem la intersecci´ o amb W : ∀x ∈ L⊥ ∩ W, ∃α, β, γ, δ ∈R tals que α(2, 1, 0) + β(3, 0, 3) = γ(1, −3, 1) − δ(2, −3, −1) i de forma matricial,  2 1 0 α   0 3 −1 −2 β 0 3 3   = 0 γ 0 2 −1 1 δ i resolent aquests sistema homogeni comprovem que L⊥ ∩ W =< (−1, −8, 10) >R .
{(1, −2, 0), (−1, −8, 10)} ´es base ortogonal de W .
I aix´ı, Algweb e) Directament, agafant la base ortogonal anterior i la base de W ⊥ trobada al primer apartat, tenim una base N ortogonal d’E3 , ja que E3 = W ⊕ W ⊥ : N = {(1, −2, 0), (−1, −8, 10), (4, 5, −4)} f ) La matriu associada al producte escalar en la base Suposem  a [< | >]N =  0 0 N ´es una matriu diagonal, per ser N ortogonal.
 0 0 b 0 0 c Llavors, tenint en compte el canvi de base [Id]N V   1 −1 4 =  −2 −8 5  0 10 −4 [Id]V N   18 −36 −27 1  = 8 4 13  90 20 10 10 podem canviar la base del producte escalar [< | >]V = [Id]TV N [< | >]N [Id]V N  −243a+52b+100c 81a + 16b + 100c −162a + 8b + 50c 2 1  = −162a + 8b + 50c 324a + 4b + 225c 162a + 13b + 25c  2025 −243a+52b+100c 729a+169b+100c 162a + 13b + 25c 2 4  Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/21 (nivell 3) Sigui {v1 , v2 , ..., vm } un sistema de vectors ortonormals d’(E, < | >) espai euclidi` a real o complex. Demostreu que: m |ci |2 ≤ ||x||2 ∀x ∈ E, i=1 essent ci el coeficient de Fourier de x respecte de vi . Raoneu en quins casos es verifica la igualtat.
Algweb La desigualtat ve donada directament per l’anomenada “Desigualtat de Bessel”. Justifiquem-la: m ∀x ∈ E m 0≤ x− 2 ci vi =< x − i=1 2 m m = x 2 m ci < vi |x > + i=1 j=1 ci cj < vi |vj >= i=1 j=1 m − cj < x|vj > − j=1 m i=1 2 m m ci ci + ci ci = i=1 j=1 i=1 m = x 2 ci cj δij = i=1 j=1 cj cj − − m ci < vi |x > + m = x cj vj >= j=1 m cj < x|vj > − − ci vi |x − i=1 m = x m m − cj cj = x 2 |cj |2 − j=1 j=1 m |cj |2 ≤ x =⇒ 2 j=1 i a m´es, x 2 m m 2 |cj | = j=1 ⇐⇒ x− m cj vj = 0 ⇐⇒ x = j=1 on W =< v1 , ..., vm >K cj vj ⇐⇒ x ∈ W j=1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/22 (nivell 3) Sigui (E, < | >) un espai euclidi` a real i x, y, z ∈ E. Demostreu que ||x − y|| = ||x − z|| + ||z − y|| ⇐⇒ ∃α ∈ R, 0 ≤ α ≤ 1, z = αx + (1 − α)y ⇐=) Considerant z = αx + (1 − α)y, ||x − z|| + ||z − y|| = ||x − αx + (α − 1)y|| + ||αx + (1 − α)y − y|| = Algweb ||(1 − α)(x − y)|| + ||α(x − y)|| = |1 − α| ||x − y|| + |α| ||x − y|| = (|1 − α| + |α|)||x − y|| = [∗] per`o com que 0 ≤ α ≤ 1, llavors |1 − α| = 1 − α ≥ 0 i |α| = α ≥ 0, de manera que [∗] = (1 − α + α)||x − y|| = ||x − y|| =⇒) Per una banda, ||x−y||2 = ||x−z +z −y||2 =< (x−z)+(z −y)|(x−z)+(z −y) >= ||x−z||2 +||z −y||2 +2 < x−z|z −y >= [1] per`o tamb´e, ||x − y||2 = (||x − z|| + ||z − y||)2 = ||x − z||2 + ||z − y||2 + 2||x − z|| · ||z − y|| = [2] i amb [1] i [2] arribem a que < x − z|z − y >= ||x − z|| · ||z − y|| ≥ 0 =⇒ | < x − z|z − y > | = ||x − z|| · ||z − y|| ´ a dir, que ∃a, b ∈R, i per tant, per Schwarz, sabem que {x − z, z − y} s´ on linealment dependents. Es a2 + b2 = 0 tals que a(x − z) + b(z − y) = 0 =⇒ (b − a)z + ax − by = 0 [3] En general, es pot donar els dos casos seg¨ uents: cas 1): a = b = 0. Llavors, substituint en [3] obtenim x = y. I recuperant la hip`otesi inicial, 0 = ||x − z|| + ||z − x|| = 2||x − z|| i per tant, x = z. En aquest cas, agafant α = 1 tenim verificada la implicaci´o.
cas 2): a = b. Llavors, z= Prenent la notaci´ oα= −a b−a −a b x+ y b−a b−a tenim que z = αx + (1 − α)y i ara nom´es falta verificar que 0 ≤ α ≤ 1. Per fer-ho, substitu¨ım aquesta expressi´ o a la nostra hip` otesi inicial: ||x − y|| = ||x − z|| + ||z − y|| = ||x − αx − (1 − α)y|| + ||αx + (1 − α)y − y|| = ||(1 − α)(x − y)|| + ||α(x − y)|| = (|1 − α| + |α|)||x − y|| Aqu´ı, de nou, podem considerar dos casos m´es: cas 2.1.) ||x − y|| = 0, que coincideix amb el cas 1).
cas 2.2.) ||x − y|| = 0. En aquest cas, dividint l’expressi´o per ||x − y||, Algweb 1 = |1 − α| + |α| [∗] Observem que ´es impossible que α < 0. Si ho fos, |1 − α| > 1, i llavors, |1 − α| + |α| > 1 cosa que entra en contradicci´ o amb [*].
Observem que ´es impossible que α > 1. Si ho fos, |α| > 1, i llavors, cosa que entra en contradicci´ o amb [*].
|1 − α| + |α| > 1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/23 (nivell 3) Sigui (E, < | >) espai euclidi` a real o complex. Demostreu que ∀u, v ∈ E es verifica | ||u|| − ||v|| |≤ ||u − v|| Aplicant la desigualtat triangular dos cops, ||u|| = ||u − v + v|| ≤ ||u − v|| + ||v|| Algweb =⇒ ||u|| − ||v|| ≤ ||u − v|| [1] ||v|| = ||v − u + u|| ≤ ||v − u|| + ||u|| =⇒ ||v|| − ||u|| ≤ ||v − u|| = ||u − v|| [2] I a partir d’[1] i [2], | ||u|| − ||v|| |≤ ||u − v|| Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/24 (nivell 3) Donat (E3 , < | >) espai euclidi` a real, i B = {e1 , e2 , e3 } base d’E3 tal que  1 [< | >]B =  0 1 0 5 2  1 2 2 Sigui H un subespai vectorial d’E3 de dimensi´ o 2. Sigui el vector uB = (4, 2, 0), la projecci´ o ortogonal sobre H del qual ´ es vB = P rH (u) = (−1, 1, 3).
a) Trobeu la projecci´ o ortogonal sobre H del vector wB = (3, 3, a).
b) Trobeu el valor del par` ametre a per tal que H ⊥ ⊂< u, w >R .
c) Per a a = 1, trobeu una base ortonormal de < u, w >R ∩H.
Algweb d) Trobeu una base ortonormal d’E3 .
a) Com que P rH + P rH ⊥ = Id, llavors w = P rH (w) + P rH ⊥ (w). Si calculem P rH ⊥ (w) i li restem a w ja tenim el que ens demanen. Com que dimR H = 2 llavors dimR H ⊥ = 1 i qualsevol vector d’H ⊥ (diferent de 0) en ser`a una base.
Fixem-nos que tamb´e u = P rH (u)+P rH ⊥ (u), de manera que treballant en base B, (4, 2, 0) = (−1, 1, 3)+ P rH ⊥ (u), i aix´ı,   5 [P rH ⊥ (u)]B =  1  ∈ H ⊥ −3 =⇒ H ⊥ =< (5, 1, −3) >R I ara calculem P rH ⊥ (w): [P rH ⊥ (w)]B = =⇒ 3+a < (3, 3, a)|(5, 1, −3) > (5, 1, −3) = (5, 1, −3) < (5, 1, −3)|(5, 1, −3) > 6 [P rH (w)]B = (3, 3, a) − 3+a 1 (5, 1, −3) = (3 − 5a, 15 − a, 9 + 9a) 6 6 = N ot z b) Fixem-nos que H ⊥ ⊂< u, w >R ⇐⇒ (5, 1, −3) ∈< u, w >R ⇐⇒ ∃α, β ∈ R / (5, 1, −3) = αu + β w ⇐⇒ {(5, 1, −3), u, w} s´ on linealment dependents ⇐⇒ rang({(5, 1, −3), u, w}) < 3 ⇐⇒ a = 3 c) a = 1 =⇒ wB = (3, 3, 1) =⇒ F =< u, w >R =< (4, 2, 0), (3, 3, 1) >R . Observem que en aquest cas {v, z} ⊂ H ´es un sistema linealment independent, i per tant H =< (−1, 1, 3), (−1/3, 7/3, 3) >R i ara ja podem calcular F ∩ H: ∀x ∈ F ∩ H ∃α, β, γ, δ ∈R tals que xB = α(4, 2, 0) + β(3, 3, 1) = γ(−1, 1, 3) + δ(−1/3, 7/3, 3) α   0 4 3 1 1/3 β  2 3 −1 −7/3     = 0 γ 0 0 1 −3 −3 δ  =⇒ =⇒ xB = δ(1/3, 5/3, 1) F ∩ H =< (1, 5, 3) >R =⇒ Per fer que aquesta base sigui ortonormal, nom´es caldr`a normalitzar aquest vector: F ∩ H =< √ 1 (1, 5, 3) >R 210 d) Sigui D = {w1 , w2 , w3 } una base ortonormal d’E3 .
Algweb Si normalitzem un vector d’H ⊥ (per exemple, (5, 1, −3)) i un d’H (per exemple, (−1, 1, 3)), ja tenim dos possibles vectors w1 i w2 : w1 = 1 (5,1,−3) (5, 1, −3) = w2 = 1 (−1,1,3) (−1, 1, 3) = √1 (5, 1, −3) 6 √1 (−1, 1, 3) 30 I ara, busquem un vector w3 tal que < w3 |w1 >=< w3 |w2 >= 0 i < w3 |w3 >= 1. Suposem [w3 ]B = (x, y, z). Llavors, 0 =< w3 |w1 > =⇒ 2x − y + z = 0 Per tant, [w3 ]B = 0 =< w3 |w2 > =⇒ 1 =< w3 |w3 > =⇒ √1 (−3, −2, 4) 5 2x − 11y + 7z = 0 x2 + 5y 2 + 2z 2 + 2xz + 4yz = 1 i aix´ı, √ √ 5/√6 −1/√ 30 =  1/ √6 1/√30 −3/ 6 3/ 30  [Id]DB √  −3/√5 −2/√ 5  4/ 5 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/25 (nivell 3) a) Sigui A ∈ MR (n × k) amb k ≤ n, matriu de rang m` axim. Demostreu que existeix una matriu B ∈ MR (n × k), les columnes de la qual corresponen a les components de k vectors de Rn ortonormals segons el producte escalar can` onic, i existeix una altra matriu T ∈ MR (k × k), inversible i triangular superior, tals que: A=B·T b) Obtingueu B i T per a la matriu 2 5 A= 1 0 Algweb  1 3 4 1  3 2  3 −1 a) Podem considerar les columnes d’A com k vectors {a1 , ..., ak } ⊂ (Rn , < | >) amb < | > el producte escalar can`onic, que generen un cert subespai W =< a1 , ..., ak >R ⊂ Rn .
Sabem que a partir d’aquests k vectors, tot aplicant Gram-Schmidt, podem obtenir uns altres k vectors ortogonals entre si {v1 , ..., vk }. Si normalitzem aquests darrers vectors obtenim una base ortonormal per a W: W =< w1 , ..., wk >R Si explicitem el proc´es per passar de {a1 , ..., ak } a {v1 , ..., vk }, v1 = a1 vi = ai − i−1 j=1 cij vj ∀i = 2, ..., k on cij = <ai |vj > <j|vj > ´es el coeficient de Fourier d’ai respecte de vj .
Per` o aquest proc´es el podem reescriure segons: a1 = v1 i−1 ai = vi + j=1 cij vj ∀i = 2, ..., k que matricialment equival a dir que  ↑ A =  v1 ↓   1 c21 ↑ 0 1 · · · vk   ..
 ...
.
↓ 0 0  · · · ck1 · · · ck2  ..  ..
.
.  ··· 1 Si explicitem el proc´es per passar de {v1 , ..., vk } a {w1 , ..., wk }, wi = 1 vi vi ∀i = 1, ..., k Per` o aquest proc´es el podem reescriure segons: = N ot M ·T vi = vi wi ∀i = 1, ..., k que matricialment equival a dir que  ↑  · · · wk   ↓  ↑ M =  w1 ↓ ··· ..
.
··· v1 ..
.
0  0 ..  .  vk Si substitu¨ım aquest resultat en l’expressi´ o anterior,  ↑ A =  w1 ↓  ↑  · · · wk   ↓ v1 ..
.
0 ··· ..
.
···  0 ..  · T .  vk  = N ot ↑  w1 ↓  ↑ · · · wk  · T ↓ Com que aquest proc´es l’hem seguit a partir del producte escalar can`onic i les columnes d’A, podem garantir que la base {w1 , ..., wk } existeix sempre, i que per tant existeix la matriu B definida com  Algweb ↑ B =  w1 ↓  ↑ · · · wk  ↓ Amb T una matriu triangular superior inversible (per ser producte de matrius triangulars superiors inversibles), de manera que A = B · T .
b) Per trobar les matrius B i T ens basarem en la justificaci´o exposada a l’apartat anterior.
v1 = a1 = (2, 5, 1, 0) v2 = a2 − c21 v1 = 1/10(−4, −5, 33, 10) v3 = a3 − c31 v1 − c32 v2 = 10/123(24, −11, 7, −19) √ w1 = 1/ 30(2, 5, 1, 0) √ w2 = 1/ 1230(−4, −5, 33, 10) √ w3 = 1/3 123(24, −11, 7, −19) Per tant, les matrius B i T s´ on: √ √ √  2/√30 −4/√1230 24/3 √123  5/ 30 −5/√ 1230 −11/3 √ 123  B= √  1/ 30 33/√1230 7/3 √ 123 0 10/ 1230 −19/3 123  √ 30 T = 0 0 √ 7 30/10 123/10 0 √  19/ √ 30 67/ √1230  30/ 123 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 7/26 (nivell 3) Siguin MR (2 × 2) espai vectorial real i el producte escalar < | >: MR (2 × 2) × MR (2 × 2) −→ R < A|B >= tra¸ ca(AT · B) a) Sigui S ⊂ MR (2 × 2) el subespai vectorial de les matrius sim` etriques. Trobeu una base de S i expresseu la matriu associada a la restricci´ o de < | > sobre S en aquesta base.
b) Donades les matrius A= 2 1 3 4 B= 0 1 2 1 M= 2 3 3 4 Algweb Trobeu C ∈ S tal que C sigui ortogonal al subespai vectorial generat per A i B, i tal que < C|M >= 4.
c) Trobeu la projecci´ o ortogonal de C sobre el subespai vectorial generat per la matriu identitat.
d) Trobeu una base ortonormal de (MR (2 × 2), < | >).
e) Sigui W ⊥.
W = {A ∈ MR (2 × 2)/ A = −λ −2λ 3λ λ λ ∈ R} verifiqueu que W ´ es subespai vectorial de MR (2 × 2) i obtingueu una base ortogonal de ´ a dir, que la a) ∀A ∈ S, AT = A. Aix` o vol dir que, si A = (aij ) amb i, j = 1, 2 resulta que aij = aji . Es forma general d’una matriu A ∈ S ´es: a11 a12 A= a12 a22 de manera que A= a11 a12 a12 a22 = a11 1 0 0 0 + a12 0 1 1 0 + a22 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 = {N , N , N }.
, , 1 2 3 N ot 0 0 1 0 0 1 Podem veure f` acilment que aquests tres generadors s´on linealment independents, ja que si agafem tres escalars qualssevol, α, β, γ ∈ R, obtenint aix´ı un sistema de generadors α 1 0 0 0 1 0 0 α +β +γ = 0 1 0 0 1 β β γ = 0 0 0 0 =⇒ α = β = γ = 0 Aix´ı, V = {N1 , N2 , N3 } ´es base de S.
Si ara considerem < | >: S × S −→ R (A, B) −→< A|B >= tra¸ca(AT · B) = tra¸ca(A · B) la matriu associada al producte escalar en la base V ser`a   1 < N1 |N1 > < N2 |N1 > < N3 |N1 > [< | >]V =  < N1 |N2 > < N2 |N2 > < N3 |N2 >  =  0 0 < N1 |N3 > < N2 |N3 > < N3 |N3 >   0 0 2 0 0 1 b) Suposem que la matriu C t´e coeficients C = (cij ) amb i, j = 1, 2, amb c12 = c21 per ser una matriu sim`etrica. En aquest cas, les condicions que hem d’imposar s´on: < C|A >= tra¸ca(C · A) = 2c11 + 4c12 + 4c22 = 0 Algweb < C|B >= tra¸ca(C · B) = 3c11 + c22 = 0 < C|M >= tra¸ca(C · M ) = 2c11 + 6c12 + 4c22 = 4 Resolent aquest sistema de tres equacions amb tres inc`ognites resulta 8 2 2 −6 C= c) El que ens demanen ´es la projecci´ o de C sobre un subespai W generat per un sol element, que en aquest cas ´es Id2 . Directament, P rW (C) = < C|Id2 > 2 1 Id2 = Id2 = 0 < Id2 |Id2 > 2 0 = Id2 1 d) Fixem-nos que la matriu associada a la restricci´ o del producte escalar trobada en l’apartat a) ´es una matriu diagonal. Aix`o implica que les tres matrius s´ on ortogonals. Si ara considerem S ⊥ , podrem completar les matrius anteriors fins obtenir una base D de MR (2 × 2). Com que dimR S = 3, llavors dimR S ⊥ = 1, i la base ser`a ortogonal. Busquem S ⊥ : < ∀G ∈ S ⊥ , G = (gij ) i, j = 1, 2 < 0 1 < 1 0 |G >= 0 = tr 0 0 1 |G >= 0 = tr 0 0 0 0 |G >= 0 = tr 1 1 0 0 1 0 0 g11 g21 1 0 0 0 g11 g21 0 1 g12 g22 g12 g22 g11 g21 = g12 + g21 g12 g22 de manera que, la forma m´es general de les matrius G ser`a: G= 0 g12 0 = g12 −g12 0 −1 = g11 1 0 = g22 0 1 ´es una base de S ⊥ , i resulta ser una matriu antisim`etrica. A m´es, sabem −1 0 que MR (2 × 2) = S ⊕ H (descomposici´ o en sim`etriques i antisim`etriques) amb dimR H = 1. Aix`o implica que S ⊥ = H.
La base D esmentada abans ser` a: i, per tant, la matriu 1 0 D= 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 0 1 , 1 −1 0 = N ot {N1 , N2 , N3 , N4 } i la matriu associada al producte escalar en aquesta base ´es 1 0 [< | >]D =  0 0  0 2 0 0 0 0 1 0  0 0  0 2 Si ara volem una base ortonormal, nom´es cal multiplicar les matrius N2 i N4 per l’invers de les normes corresponents. Definim: Algweb N2 = 1 1 N2 = √ N2 ||N2 || 2 N4 = 1 1 N4 = √ N4 ||N4 || 2 obtenint aix´ı la base ortonormal D demanada: D = def {N1 , N2 , N3 , N4 } e) e.1) [0]2 ∈ W : Nom´es cal agafar λ = 0 i ja tenim A = [0]2 , =⇒ [0]2 ∈ W e.2) ∀λ ∈ R, ∀A, B ∈ W, (λA + B) ∈ W : Suposem que A= 3λA λA −λA −2λA , 3λB λB B= −λB −2λB llavors, λA + B = 3(λλA + λB ) −(λλA + λB ) λλA + λB −2(λλA + λB ) veient aix´ı que W ´es subespai vectorial de MR (n × n) i la matriu =⇒ (λA + B) ∈ W 3 −1 1 −2 n’´es una base.
De la definici´ o es despr`en que dimR (W ) = 1, per la qual cosa sabem que dimR (W ⊥ ) = 3. Caracteritzem W : 3 −1 ∀P ∈ W ⊥ P = (pij ) i, j = 1, 2 < P| >= 0 1 −2 ⊥ =⇒ P = =⇒ p11 p12 + 2p22 − 3p11 3p11 + p21 − p12 − 2p22 = 0 p12 p22 = p11 1 −3 0 0 + p12 0 1 1 0 + p22 0 0 2 1 0 0 0 1 1 0 = es un sistema de generadors de W ⊥ .
, , N ot {P1 , P2 , P3 } ´ 2 1 1 0 −3 0 Procedint igual que en el l’apartat a) podem arribar a demostrar que s´on linealment independents, cosa que les converteix en base de W ⊥ . A partir d’aquesta base, aplicant el m`etode d’ortogonalitzaci´o de GramSchmidt podem obtenir una base ortogonal Q = {Q1 , Q2 , Q3 }: de manera que Q1 = P2 Q2 = P1 − < P3 |Q1 > < P3 |Q2 > 0 Q1 − Q2 = 2 < Q1 |Q1 > < Q2 |Q2 > Algweb Q3 = P3 − < P1 |Q1 > 1 Q1 = −3 < Q1 |Q1 > 3 0 0 + 0 2 1 2 0 0 − 1 2 1 1 1 = 0 − 32 6 1 1 + 0 11 − 32 3 2 0 3 2 0 = 1 6 −2 1 11 2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/01 (nivell 3) Trobeu: a) 1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 b) 2 3 4 −3 −5 −4 −9 2 4 7 8 −5 3 5 5 3 c) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 a) Algweb 1 1 1 1 1 1 1 1 0 −2 0 0 1 −1 1 1 −[1] = −8 = 0 0 −2 0 1 1 −1 1 −[1] 0 0 0 −2 1 1 1 −1 −[1] b) 2 −5 4 3 −4 7 4 −9 8 −3 2 −5 2 −5 3 3 −4 5 = 0 1 5 −2[1] 0 −2 3 +[2] 0 1 = 0 0 0 0 1 0 2 −5 4 3 1 0 7 5 −[1] − [3] = 0 1 0 −1 0 0 2 8 +2[3] 0 −2 3 3 = (−1)3 0 −1 2 6 1 0 0 0 0 1 0 0 4 3 −2[2] + 5[3] + [4] 3 3 = 0 −1 2 6 3 3 0 −1 =4 2 6 0 −2 c) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 +[2] + [3] + [4] 3 1 1 = 1 1 0 1 3 0 1 1 3 1 0 1 3 1 =3 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 −[1] =3 1 −[1] 0 −[1] 1 1 1 1 0 −1 0 0 = −3 0 0 −1 0 0 0 0 −1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/02 (nivell 3) Calculeu els seg¨ uents determinants: a) 1 1 1 ..
.
1 0 1 ..
.
1 1 0 ..
.
··· ··· ··· ..
.
1 1 1 ..
.
1 1 1 ··· 0 d) b) 1 −1 −1 ..
.
2 0 −2 ..
.
3 3 0 ..
.
··· ··· ··· ..
.
n n n ..
.
−1 −2 −3 ··· 0 a1 −x1 0 ..
.
a2 x2 −x2 ..
.
a3 0 x3 ..
.
··· ··· ··· ..
.
an 0 0 ..
.
0 0 0 ··· xn e) c) a1 x x ..
.
x a2 x ..
.
x x a3 ..
.
··· ··· ··· ..
.
x x x ..
.
x x x ··· an 1 −1 0 ..
.
2 x −1 ..
.
3 0 x ..
.
··· ··· ··· ..
.
n 0 0 ..
.
0 0 0 ··· x Algweb f ) detn (A) on aij = m´ın {i, j}, ∀i, j = 1, ..., n g) detn (A) on aij = m` ax {i, j}, ∀i, j = 1, ..., n h) detn (A) on aij = |i − j|, ∀i, j = 1, ..., n a) 1 1 1 1 0 1 1 1 0 .. .. ..
. . .
1 1 1 ··· 1 ··· 1 · · · 1 = · · · {∀k = 2, ..., n, [k]f − [1]f } · · · = .
..
. ..
··· 0 1 1 1 0 −1 0 0 0 −1 ..
..
..
.
.
.
0 0 0 ··· ··· ··· ..
.
1 0 0 ..
.
= (−1)n−1 · · · −1 b) 1 2 3 −1 0 3 −1 −2 0 ..
..
..
.
.
.
−1 −2 −3 ··· n ··· n · · · n = · · · {∀k = 2, ..., n, [k]f + [1]f } · · · = .
..
. ..
··· 0 1 2 3 ··· n 0 2 6 · · · 2n 0 0 3 · · · 2n = n! .. .. .. . .
.
. ..
. . .
0 0 0 ··· n c) a1 x x ..
.
x a2 x ..
.
x x a3 ..
.
··· ··· ··· ..
.
x x x · · · an x x x ..
.
a1 x x ··· x (x − a1 ) (a2 − x) 0 · · · 0 = · · · {∀k = 2, ..., n, [k]f − [1]f } · · · = ..
..
.. . .
..
.
.
.
.
.
(x − a1 ) 0 0 · · · (an − x) = N ot Dn Casos possibles: cas 1): (x − ai ) = 0 ∀i = 1, ..., n a1 a1 −x x a2 −x −1 ..
.
Dn = (a1 − x) · · · (an − x) 1 ..
.
−1 [∗] 0 = (a1 − x) · · · (an − x) ..
.
= (a1 − x) · · · (an − x) · 0 x a2 −x 0 x a3 −x 1 ..
.
0 ..
.
··· ··· ..
.
x an −x 0 ··· 1 x a3 −x 0 ..
.
0 0 0 ..
.
n = · · · [1]c + ··· = [i]c i=2 x an −x ··· ··· ..
.
··· 0 ..
.
= (a1 − x) · · · (an − x) · [∗] = 1 n a1 x x + + ··· + a1 − x a2 − x an − x n (ai − x) · = 1+ i=1 i=1 x ai − x cas 2): ∃i ∈ {1, ..., n} / x = ai . Recuperant el determinant inicial, a1 ..
.
ai ..
.
ai ..
.
Dn = ai ..
.
ai ..
.
ai ..
.
··· ..
.
··· ..
.
ai ai ai · · · an a1 − ai ..
.
Algweb ai ..
.
ai = ... {∀k = 1, ..., n, [k]f − [i]f , k = i} · · · = ..
.
1 ..
.
0 ..
.
= (a1 − ai )(a2 − ai ) · · · (ai−1 − ai )(ai+1 − ai ) · · · (an − ai ) · ai 1 ..
.
1 ..
.
0 0 ai ..
.
0 ..
.
ai ..
.
ai ..
.
··· ..
.
··· ..
.
0 0 0 · · · an − ai 0 ..
.
0 ··· 0  .. . .
.
 . ..
.
 1 · · · 1 = · · · [i]f −  .. . .
.
 . ..
.
0 ··· 1 0 ..
.
ai ..
.
n [j]f    = ··· =   j=1 j=i n (aj − ai ) = (a1 − ai )(a2 − ai ) · · · (ai−1 − ai )(ai+1 − ai ) · · · (an − ai ) · ai · detn (In ) = ai j=1 j=i d) Desenvolupant per la primera fila, a1 a2 a3 −x1 x2 0 0 x2 x3 ..
.. ..
.
. .
0 0 0 +(−1)1+3 a3 ··· ··· ··· ..
.
an x2 0 −x2 0 = a1 0 ..
..
.
.
0 · · · xn 0 x3 0 ..
.
0 0 x4 ..
.
··· ··· ··· ..
.
0 0 · · · xn 0 0 0 ..
.
− a2 −x1 −0 0 ..
.
0 x3 −x3 ..
.
0 0 x4 ..
.
··· ··· ··· ..
.
0 0 0 · · · xn 0 0 0 + ..
.
−x1 −x2 −x1 0 0 ..
.
x2 −x2 0 ..
.
0 0 x4 ..
.
··· ··· ··· ..
.
0 0 0 · · · xn 0 0 0 +· · ·+(−1)1+j aj ..
.
..
.
−xj−1 + xj+1 −xj+1 ..
.
..
.
..
.
−xn−1 xn −x1 −x2 + · · · + (−1)1+n an ..
= a1 x2 x3 · · · xn + (−1)1+2 (−1)x1 a2 x3 · · · xn + .
−xn 1+3 +(−1) 2 (−1) x1 x2 a3 x4 · · · xn + · · · + (−1)1+j (−1)j−1 x1 · · · xj−1 aj xj+1 · · · xn + n + · · · + (−1)1+n (−1)n−1 x1 · · · xn−1 an = x1 · · · xj−1 aj xj+1 · · · xn j=1 e) NO ´es un cas particular de l’apartat anterior per la primera fila, 1 2 3 ··· n x 0 −1 x 0 ··· 0 −1 x 0 −1 x · · · 0 = (−1)1+1 1 .. ..
..
.. .. . .
.
. .
. ..
.
. .
0 0 0 0 0 ··· x per`o es pot resoldre de forma semblant. Desenvolupant ··· ··· ..
.
0 −1 0 · · · 0 0 0 x ··· 0 .. .. . .
. + ···+ .. + (−1)1+2 2 . ..
. .
.
0 0 ··· x ··· x Algweb −1 x ··· 0 0 −1 ··· 0 +(−1)n+1 n ..
.. . .
.. = xn−1 + 2xn−2 + 3xn−3 + · · · + (n − 1)x + n = .
.
.
.
0 0 · · · −1 n ixn−i i=1 f) 1 1 1 ··· 1 1 2 2 ··· 2 Dn = 1 2 3 · · · 3 = · · · {∀i = n, ..., 2, [i]f − [i − 1]f } · · · = .. .. .. . .
.
. ..
. . .
1 2 3 ··· n 1 0 0 ..
.
0 1 1 ··· 1 1 ··· 0 1 ··· .. .. . .
.
. .
0 0 ··· 1 1 1 =1 ..
.
1 g) 1 2 Dn = 3 ..
.
2 2 3 ..
.
3 3 3 ..
.
n n n −1 0 0 ··· 0 ··· n −1 −1 0 · · · 0 ··· n · · · n = · · · {∀i = 1, ..., n − 1, [i]f − [i + 1]f } · · · = −1 −1 −1 · · · 0 = n(−1)n−1 .
..
..
..
.
..
..
. ..
. ..
.
.
.
··· n n n n ··· n h) ··· n − 1 ··· n − 2 · · · n − 3 = · · · {∀i = n, ..., 2, [i]f −[i−1]f } · · · = Dn = ..
..
.
.
n − 1 n − 2 n − 3 ··· 0 0 1 2 ..
.
1 0 1 ..
.
2 1 0 ..
.
n−1 n n+1 0 −2 −2 0 0 −2 = · · · {∀j = 1, ..., n − 1, [j]c + [n]c } · · · = ..
..
..
.
.
.
0 0 0 0 1 2 1 −1 −1 1 1 −1 ..
..
..
.
.
.
1 1 1 ··· n − 1 ··· −1 ··· −1 = ..
..
.
.
··· −1 ··· n − 1 ··· −1 ··· −1 = (−1)n−1 (n − 1)2n−2 ..
..
.
.
··· −1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/03 (nivell 3) Calculeu els seg¨ uents determinants pel m` etode d’expressi´ o del determinant en forma de suma de determinants: a) a1 + b1 a2 + b1 a3 + b1 ..
.
a1 + b2 a2 + b2 a3 + b2 ..
.
a1 + b3 a2 + b3 a3 + b3 ..
.
··· ··· ··· ..
.
a1 + bn a2 + bn a3 + bn ..
.
an + b1 an + b2 an + b3 ··· an + bn x + a1 a1 a1 ..
.
a2 x + a2 a2 ..
.
a3 a3 x + a3 ..
.
··· ··· ··· ..
.
an an an ..
.
a1 a2 a3 ··· x + an Algweb c) b) d) x1 a1 a1 ..
.
a2 x2 a2 ..
.
a3 a3 x3 ..
.
··· ··· ··· ..
.
an an an ..
.
a1 a2 a3 ··· xn 0 x1 x2 ..
.
1 a1 x2 ..
.
1 0 a2 ..
.
··· ··· ··· ..
.
1 0 0 ..
.
xn xn xn ··· an Indicacions: b) Considereu xi = (xi − ai ) + ai c) Expresseu els elements situats fora la diagonal principal en la forma 0 + ai d) Expresseu el coeficient de la primera fila i primera columna com 0 = 1−1 i expresseu el determinant com a suma de dos determinants respecte de la primera fila a) ··· ··· ..
.
a1 a1 + bn a2 + b1 a2 + bn = ..
..
.
.
an + b1 · · · an + bn a1 + b1 a2 + b1 ..
.
a1 + b2 a2 + b2 ..
.
an + b1 an + b2 a1 a2 ..
.
a1 a2 ..
.
an + b1 an + b2 b1 b1 ..
.
b2 b2 ..
.
an + b1 an + b2 + +a2 ··· ··· ..
.
a1 a2 ..
.
· · · an + bn + a1 a2 + b2 ..
.
an + b2 a1 b1 ..
.
a1 b2 ..
.
an + b1 an + b2 ··· bn 1 ··· bn 1 = a1 ·a2 ..
..
..
.
.
.
an + b1 · · · an + bn b1 1 ..
.
b2 1 ..
.
an + b1 an + b2 ··· ··· ..
.
b1 a1 a2 + b1 a2 + bn + ..
..
.
.
an + b1 · · · an + bn ··· ··· ..
.
a1 bn ..
.
+ · · · an + bn 1 1 ..
.
an + b2 b2 a2 + b2 ..
.
··· ··· ..
.
an + b2 · · · an + bn b1 a2 ..
.
b2 a2 ..
.
an + b1 an + b2 ··· ··· ..
.
1 b2 ..
.
an + b2 ··· ··· ..
.
bn a2 ..
.
+ · · · an + bn 1 ··· 1 b1 ··· 1 +a1 ..
..
..
.
.
.
· · · an + bn an + b1 1 ··· bn b1 ··· 1 = (a1 − a2 ) ..
..
..
.
.
.
· · · an + bn an + b1 bn a2 + bn = ..
.
1 b2 ..
.
an + b2 1 bn ..
.
· · · an + bn ··· ··· ..
.
1 bn ..
.
· · · an + bn + Aquest darrer determinant el podrem anar descomposant ∀n ≥ 3 en suma de dos, de manera que en un d’ells hi haur` a una fila que coincidir` a amb la primera, i en l’altre n’hi haur`a una que coincidir` a amb la segona. Aix`o far` a que el determinant sigui nul.
En canvi, per a n = 2 el determinant val (a1 − a2 )(b2 − b1 ), i per a n = 1 el determinant val a1 + b1 .
b) x1 − a1 0 = ..
.
x1 a1 ..
.
a2 x2 ..
.
a1 a2 0 x1 − a1 0 a1 .. + ..
.
.
· · · xn a1 a2 x1 − a1 0 = ··· = ..
.
an x1 − a1 an a1 .. = ..
.
.
· · · xn a1 ··· ··· ..
.
0 x2 − a2 ..
.
a1 ··· ··· ..
.
Algweb 0 0 n a2 0 a1 an 0 .. + ..
.
.
· · · xn a1 a2 a2 x2 − a2 ..
.
i=1 a2 x2 ..
.
··· ··· ..
.
a2 · · · xn ··· ··· ..
.
a2 x2 − a2 ..
.
an a1 0 a1 .. + ..
.
.
· · · xn a1 a2 ··· ··· ..
.
x1 − a1 0 +· · ·+ ..
.
an 0 ..
.
n · · · xn a2 ··· ··· ..
.
0 0 ..
.
· · · an (xi − ai ) = n (xi − ai ) + (xi − ai ) aj i=1 a2 an an .. = .
i=1 i=1 i=j n ··· ··· ..
.
n−1 (xi − ai ) + · · · + an (xi − ai ) + · · · + aj i=2 a2 a2 ..
.
0 x2 − a2 ..
.
a1 n = an an .. = .
· · · xn − an 0 n (xi − ai ) + a1 = 0 a1 an a1 .. + ..
.
.
· · · xn a1 ··· ··· ..
.
0 a2 ..
.
··· 0 a1 ··· 0 0 + ..
..
..
.
.
.
· · · xn − an 0 0 x2 − a2 ..
.
··· ··· ..
.
0 x2 ..
.
j=1 i=1 i=j c) x + a1 a1 ..
.
a2 x + a2 ..
.
a1 a2 ··· ··· ..
.
x a1 = ..
.
an an ..
.
· · · x + an x 0 = ..
.
0 x ..
.
··· ··· ..
.
a1 a2 · · · x + an 0 0 ..
.
a1 0 x + a2 ..
.
a2 x a1 + ..
.
0 a2 ..
.
··· ··· ..
.
a1 a2 · · · x + an a1 x 0 ··· 0 0 0 x ··· 0 = · · · = .. .. . .
.. + ..
. .
.
. .
0 0 0 ··· x 0 an ..
.
a2 x ..
.
0 ··· ··· ..
.
a1 a1 + ..
.
0 an ..
.
· · · x + an a2 x + a2 ..
.
··· ··· ..
.
an an ..
.
= · · · x + an a1 a2 an an ..
.
a1 0 + ..
.
a2 x ..
.
··· ··· ..
.
a1 a2 · · · x + an a1 a1 + ..
.
a2 a2 ..
.
··· ··· ..
.
a1 a2 · · · x + an x · · · an 0 ··· 0 .. + · · · + ..
..
. .
.
a1 ··· x 0 x ..
.
··· ··· ..
.
a2 · · · an 0 0 ..
.
n = xn + a1 xn−1 + · · · + aj xn−1 + · · · + an xn−1 = xn + xn−1 ai i=1 = an 0 ..
.
= = d) Dn+1 0 x1 = x2 ..
.
1 a1 x2 ..
.
1 0 a2 ..
.
··· ··· ··· ..
.
1 0 0 ..
.
−1 x1 = x2 ..
.
0 a1 x2 ..
.
0 0 a2 ..
.
··· ··· ··· ..
.
0 0 0 ..
.
1 x1 + x2 ..
.
1 a1 x2 ..
.
1 0 a2 ..
.
··· ··· ··· ..
.
xn xn xn · · · an xn xn xn · · · an xn xn xn · · · an Algweb ˆ n+1 D 1 1 0 a1 − x1 0 = · · · {∀i = 2, ..., n + 1, [i]f − xi−1 [1]f } · · · = 0 ..
..
.
.
0 0 n =⇒ 1 −x1 a2 − x2 ..
.
0 n (ai − xi ) − Dn+1 = i=1 ai i=1 ··· ··· ··· ..
.
1 0 0 ..
.
n ˆ n+1 ai + D =− 1 −x1 −x2 ..
.
· · · an − xn i=1 n (ai − xi ) = i=1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/04 (nivell 3) Sigui A(t) una matriu 2 × 2 tal com A(t) = b1 (t) b2 (t) c1 (t) c2 (t) amb bi (t), ci (t) funcions derivables ∀i = 1, 2.
Es demana: a) Comprovar que det2 A(t) ´ es derivable.
b) Comprovar que d (det2 A(t)) = det2 dt d dt b1 (t) d dt b2 (t) c1 (t) b1 (t) + det2 c2 (t) b2 (t) d dt c1 (t) d dt c2 (t) Algweb c) Enunciar i comprovar el resultat anterior per files.
d) Generalitzar-ho per a A(t) = (aij (t)), matriu n × n, amb aij (t) funcions derivables ∀i, j = 1, ..., n.
a) Desenvolupant el determinant, det2 (A(t)) = b1 (t)c2 (t) − b2 (t)c1 (t) I com que b1 (t), b2 (t), c1 (t), c2 (t) s´ on funcions derivables, aquesta composici´ o tamb´e ´es derivable.
b) d b (t) c1 (t) b (t) c1 (t) + 1 (det2 A(t)) = b1 (t) · c2 (t) + b1 (t) · c2 (t) − b2 (t) · c1 (t) − b2 (t) · c1 (t) = 1 b2 (t) c2 (t) b2 (t) c2 (t) dt c) De la mateixa manera que hem fet abans podem verificar que d b (t) c1 (t) b (t) c1 (t) (det2 A(t)) = b1 (t) · c2 (t) + b1 (t) · c2 (t) − b2 (t) · c1 (t) − b2 (t) · c1 (t) = 1 + 1 b2 (t) c2 (t) b2 (t) c2 (t) dt d) Per a muntar aquesta generalitzaci´o recorrerem a l’expressi´o de la funci´o determinant per permutacions: detn (A(t)) = ε(σ)a1σ(1) · a2σ(2) · · · anσ(n) σ∈Sn que derivant, d (detn (A(t))) = dt n ε(σ)a1σ(1) · · · aj−1σ(j−1) · ajσ(j) · aj+1σ(j+1) · · · anσ(n) = j=1 σ∈Sn n = detn (Aj (t)) j=1 on, ∀j = 1, ..., n  a11  ..
 .
 Aj (t) =   aj1  .
 ..
an1  · · · a1n ..  ..
.
.   · · · ajn   ..  ..
.
.  · · · ann Algweb I com que detn (Aj (t)) = detn (Aj (t)T ), tenim la justificaci´o del desenvolupament en la suma de n determinants on hi ha la columna j-`essima derivada.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/05 (nivell 3) Donades f (t) i g(t), funcions dues vegades derivables com a m´ınim, definim: Φ(t) = det2 f (t) f (t) g(t) g (t) Φ (t) = det2 f (t) f (t) g(t) g (t) Comproveu que Desenvolupant el determinant, Algweb Φ(t) = f (t)g (t) − f (t)g(t) si ara derivem aquesta expressi´ o, Φ (t) = f (t)g (t) + f (t)g (t) − f (t)g(t) − f (t)g (t) = f (t)g (t) − f (t)g(t) I ara, calculant el nou determinant proposat det2 f (t) g(t) = f (t)g (t) − f (t)g(t) = [1] f (t) g (t) [1] Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/06 (nivell 3) Comproveu que Dn+1 1 1 = 1 ..
.
1 x1 x2 x3 ..
.
xn+1 x21 x22 x23 ..
.
x2n+1 xn1 xn2 xn3 = (xj − xi ) ..
i<j .
xnn+1 ··· ··· ··· ..
.
··· Determinant de VANDERMONDE Indicaci´ o : Comproveu-ho per recorr`encia : Dn+1 = n j=1 (xn+1 − xj )Dn Algweb A totes les files (excepte la darrera) els restem la darrera: Dn+1 0 x1 − xn+1 0 x2 − xn+1 = 0 x3 − xn+1 ..
..
.
.
1 xn+1 x21 − x2n+1 x22 − x2n+1 x23 − x2n+1 ..
.
x2n+1 · · · xn1 − xnn+1 · · · xn2 − xnn+1 · · · xn3 − xnn+1 ..
..
.
.
··· xnn+1 I ara, desenvolupant aquesta expressi´ o per la primera columna, 1+n+1 Dn+1 = (−1) x1 − xn+1 ..
.
xn − xn+1 · · · xn1 − xnn+1 ..
..
.
.
· · · xnn − xnn+1 m Comprovem ara que ∀i, j = 1, ..., n + 1 ∀m ∈N∗ es verifica que xm i − xj = (xi − xj ) m k=1 1) Per a m = 1: xi − xj = xi − xj . Es verifica.
2) Suposem-ho cert per a m.
3) Verifiquem-ho per a m + 1: m m m m m xm+1 − xm+1 = xi xm i − xj xj = xi xi − xj xj − xi xj + xi xj = i j m xm−k xk−1 + xm j (xi − xj ) = i j m m = xi (xm i − xj ) + xj (xi − xj ) = xi (xi − xj ) k=1 m m+1 xm+1−k xk−1 + (xi − xj )xm j = (xi − xj ) i j = (xi − xj ) k=1 Aplicant aquest resultat al nostre determinant amb la notaci´ o Dn+1 xm+1−k xk−1 i j k=1 m k=1 xm−k xk−1 i j 1 Γ21,n+1 1 Γ22,n+1 n = (−1) (x1 − xn+1 )(x2 − xn+1 ) · · · (xn − xn+1 ) .
..
..
.
1 Γ2n,n+1 = not Γm i,j , · · · Γn1,n+1 · · · Γn2,n+1 ..
..
.
.
· · · Γnn,n+1 xm−k xk−1 : i j Fixem-nos ara que ∀l = 2, ..., n ∀i = 1, ..., n, l Γli,n+1 − xn+1 Γl−1 i,n+1 = l−1 xl−k xk−1 n+1 − i k=1 xl−k−1 xkn+1 = i k=1 l−2 l−2 l−3 2 l−1 l−2 0 0 l−1 0 l−1 = xl−1 i xn+1 + xi xn+1 + · · · + xi xn+1 + xi xn+1 − xi xn+1 − xi xn+1 − · · · − xi xn+1 = xi Comen¸cant per la darrera columna, restant-li xn+1 vegades l’anterior, i aix´ı successivament fins la segona columna, Dn+1 1 1 = (−1)n (−1)n (xn+1 − x1 )(xn+1 − x2 ) · · · (xn+1 − xn ) .
..
x1 x2 ..
.
1 xn · · · xn−1 1 · · · xn−1 2 ..
..
.
.
· · · xn−1 n An` alogament, repetint els mateixos passos per a Dn arribem a que Dn = successivament de manera que n Algweb Dn+1 = j=1 n−1 (xn+1 − xj ) 2 (xn − xj ) · · · j=1 (xn+1 − xj )Dn j=1 n−1 j=1 (xn − xj )Dn−1 , i aix´ı 1 (x3 − xj ) j=1 n = not (x2 − xj ) = j=1 (xj − xi ) i<j Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/07 (Nivell 3) Demostreu que, per a qualssevol n´ umeros reals distints entre si t0 , t1 , t2 , ..., tn i qualssevol n´ umeros reals z0 , z1 , z2 , ..., zn , existeix un polinomi p(t) de grau menor o igual que n, i nom´ es un, tal que p(ti ) = zi , per a i = 0, 1, 2, ..., n.
Considerem p(t) = p0 + p1 t + · · · + pn tn ∈ Rn [x]. Si ara imposem el seg¨ uent paquet de condicions,   p(t0 ) = p0 + p1 t0 + · · · + pn tn0 = z0     p(t1 ) = p0 + p1 t1 + · · · + pn tn1 = z1   Algweb    ..
.
p(tn ) = p0 + p1 tn + · · · + pn tnn = zn    obtenim un sistema de n+1 equacions amb n+1 inc`ognites que, reescrivint matricialment resulta .
..
.
...
· · · tn0   p0   z0  · · · tn1   p1   z1      ..    ..  =  ...  .
.
1 tn t2n · · · tnn pn 1 1 .
.
t0 t1 t20 t21 = N ot A·p=z zn d’aquesta manera, ∃!p(t) ∈ Rn [x] ⇐⇒ la soluci´o del sistema A · p = z ´es u ´nica ⇐⇒ detn+1 (A) = 0.
n Per`o detn+1 (A) = Dn+1 (determinant de VANDERMONDE) = estem considerant ti = tj ∀i, j = 0, ..., n amb i = j .
i,j=0 i<j (tj − ti ) = 0, ja que Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/08 (nivell 3) Sigui En un K-espai vectorial, amb B1 i B2 dues bases qualssevol del mateix.
a) Sigui Φ ∈ LK (En , En ). Dedu¨ıu les relacions entre detn [Φ]B1 , detn [Φ]B2 , detn [Φ]B1 B2 i detn [Φ]B2 B1 .
b) Sigui g ∈ L2 (En ;R). Dedu¨ıu la relaci´ o entre detn [g]B1 i detn [g]B2 .
a) A partir de la relaci´o [Φ]B1 = [Id]−1 B1 B2 · [Φ]B2 · [Id]B1 B2 i prenent determinants a banda i banda Algweb −1 detn ([Φ]B1 ) = detn ([Id]−1 B1 B2 · [Φ]B2 · [Id]B1 B2 ) = detn ([Id]B1 B2 ) · detn ([Φ]B2 ) · detn ([Id]B1 B2 ) = = 1 · detn ([Φ]B2 ) · detn ([Id]B1 B2 ) = detn ([Φ]B2 ) detn ([Id]B1 B2 ) (´es a dir, que el determinant ´es un invariant d’un endomorfisme per canvis de base) A partir de la relaci´ o [Φ]B1 = [Id]B2 B1 · [Φ]B1 B2 i prenent determinants a banda i banda detn ([Φ]B1 ) = detn ([Id]B2 B1 · [Φ]B1 B2 ) = detn ([Id]B2 B1 ) · detn ([Φ]B1 B2 ) A partir de la relaci´o [Φ]B1 = [Φ]B2 B1 · [Id]B1 B2 i prenent determinants a banda i banda detn ([Φ]B1 ) = detn ([Φ]B2 B1 · [Id]B1 B2 ) = detn ([Φ]B2 B1 ) · detn ([Id]B1 B2 ) i resultats semblants obtindrem si fem la resta de combinacions possibles que ens queden.
b) A partir de la relaci´o [Φ]B1 = [Id]TB1 B2 · [Φ]B2 · [Id]B1 B2 i prenent determinants a banda i banda detn ([g]B1 ) = detn ([Id]TB1 B2 · [g]B2 · [Id]B1 B2 ) = detn ([Id]TB1 B2 ) · detn ([g]B2 ) · detn ([Id]B1 B2 ) = = detn ([g]B2 ) · detn ([Id]B1 B2 )2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/09 (nivell 3) Sigui (En , < | >) un espai euclidi` a real amb dimR En = n < ∞.
Definim el Determinant de Gram d’un sistema de vectors {x1 , x2 , ..., xk } com: < x1 |x1 < x2 |x1 < x3 |x1 ..
.
< xk |x1 < x1 |x2 < x2 |x2 < x3 |x2 ..
.
< xk |x2 > > > > > > > > < x1 |x3 < x2 |x3 < x3 |x3 ..
.
< xk |x3 > > > > ··· ··· ··· ..
.
··· < x1 |xk < x2 |xk < x3 |xk ..
.
< xk |xk > > > = N ot G(x1 , x2 , ..., xk ) > Algweb a) Demostreu que: {x1 , x2 , ..., xk } s´ on linealment dependents ⇐⇒ G(x1 , x2 , ..., xk ) = 0 b) Demostreu que si a un dels vectors se li resta la seva projecci´ o ortogonal sobre la resta, el determinant de Gram no varia.
c) Si en aplicar el proc´ es d’ortogonalitzaci´ o de Gram-Schmidt al sistema de vectors inicial {x1 , x2 , ..., xk } obtenim {y1 , y2 , ..., yk }, demostreu que: G(x1 , x2 , ..., xk ) = G(y1 , y2 , ..., yk ) = ||y1 ||2 · ||y2 ||2 · · · ||yk ||2 d) Demostreu que: G(x1 , x2 , ..., xk ) ≤ ||x1 ||2 · ||x2 ||2 · · · ||xk ||2 a) =⇒) Si {x1 , x2 , ..., xk } s´ on linealment dependents, llavors k ∃j ∈ {1, 2, ..., k}, ∃α1 , α2 , ..., αj−1 , αj+1 , ..., αk ∈ R / xj = =⇒ αl xl l=1 l=j k k αl xl |xs >= ∀s = 1, ..., k < xj |xs >=< l=1 l=j αl < xl |xs > l=1 l=j i la fila j-`essima del Determinant de Gram queda modificada segons < x1 |x1 > < x2 |x1 > < x3 |x1 > ..
.
G(x1 , x2 , ..., xk ) = < xj |x1 > ..
.
< x1 |x2 > < x2 |x2 > < x3 |x2 > ..
.
< x1 |x3 > < x2 |x3 > < x3 |x3 > ..
.
< xj |x2 > ..
.
< xj |x3 > ..
.
··· ··· ··· ..
.
< x1 |xk > < x2 |xk > < x3 |xk > ..
.
= < xj |xk > ..
.
··· ..
.
< xk |x1 > < xk |x2 > < xk |x3 > · · · < xk |xk > < x1 |x1 > < x2 |x1 > < x3 |x1 > ..
.
= < < x1 |x2 > < x2 |x2 > < x3 |x2 > ..
.
k < x1 |x3 > < x2 |x3 > < x3 |x3 > ..
.
k ··· ··· ··· ..
.
< x1 |xk > < x2 |xk > < x3 |xk > ..
.
k k αl xl |x1 > < l=1 αl xl |x2 > < l=1 αl xl |x3 > · · · < l=1 αl xl |xk > l=j l=j l=j ..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
< xk |x1 > < xk |x2 > < xk |x3 > ··· < xk |xk > = l=1 l=j k = l=1 l=j < x1 |x1 > < x2 |x1 > < x3 |x1 > ..
αl .
< xl |x1 > ..
.
< x1 |x2 > < x2 |x2 > < x3 |x2 > ..
.
< x1 |x3 > < x2 |x3 > < x3 |x3 > ..
.
< xl |x2 > ..
.
< xl |x3 > ..
.
··· ··· ··· ..
.
< x1 |xk > < x2 |xk > < x3 |xk > ..
.
= < xl |xk > ..
.
··· ..
.
< xk |x1 > < xk |x2 > < xk |x3 > · · · < xk |xk > Algweb i com que l = j, la fila j-`essima sempre coincideix amb alguna de les altres, ∀l = 1, ..., k. Per tant, cada determinant del sumatori t´e dues files iguals, cosa que implica que ´es nul. Aix´ı, k αl · 0 = 0 G(x1 , x2 , ..., xk ) = l=1 l=j ⇐=) ´ a dir, demostrarem que: Ho demostrarem pel contrarec´ıproc. Es {x1 , x2 , ..., xk } s´ on linealment independents =⇒ G(x1 , x2 , ..., xk ) = 0 = {x , x , ..., x } ´ Suposem que B def 1 2 k es un sistema de vectors linealment independents. Considerem un subespai vectorial W d’En amb dimR W = k, tal que B ´es una base de W , i la restricci´o del producte escalar anterior a aquest subespai, < | > . Llavors tindrem que  < x |x > < x |x > < x |x > · · · < x |x >  1 1  < x2 |x1 >  < x3 |x1 > [< | > ]B =   ..
 .
1 2 1 < x2 |x2 > < x3 |x2 > ..
.
3 < x2 |x3 > < x3 |x3 > ..
.
1 ··· ··· ..
.
k < x2 |xk >   < x3 |xk >   ..
 .
< xk |x1 > < xk |x2 > < xk |x3 > · · · < xk |xk > i, per ser < | > un producte escalar, ´es una forma bilineal sim`etrica definida positiva no degenerada, cosa que implica que detk ([< | > ]B ) > 0. Per`o detk ([< | > ]B ) = G(x1 , x2 , ..., xk ), =⇒ G(x1 , x2 , ..., xk ) = 0 b) Considerem un cert vector xj amb j = 1, ..., k. Suposem que li restem una certa combinaci´ o lineal de la resta, obtenint un nou vector xj , ortogonal amb tots ells segons on αji ´es un escalar concret.
k xj = xj − αji xi i=1 i=j Aix´ı, < x1 |x1 > < x1 |x2 > < x2 |x1 > < x2 |x2 > ..
..
.
.
G(x1 , x2 , ..., xj , ..., xk ) = < xj |x1 > < xj |x2 > ..
..
.
.
< xk |x1 > < xk |x2 > · · · < x1 |xj · · · < x2 |xj ..
..
.
.
· · · < xj |xj ..
..
.
.
· · · < xk |xj · · · < x1 |xk · · · < x2 |xk ..
..
.
.
> · · · < xj |xk ..
..
.
.
> · · · < xk |xk > > > > > = > si substitu¨ım el vector xj per l’expressi´ o anterior a la fila j-`essima, tindrem < x1 |x1 > < x2 |x1 > ..
.
= <x − j k i=1 i=j < x1 |x2 > < x2 |x2 > ..
.
αji xi |x1 > < xj − Algweb ..
.
< xk |x1 > = < x1 |x1 > < x2 |x1 > ..
.
< x1 |x2 > < x2 |x2 > ..
.
< xj |x1 > ..
.
< xj |x2 > ..
.
k i=1 i=j ··· ··· ..
.
αji xi |x2 > · · · < xj − ..
.
< xk |x2 > ··· ··· ..
.
< x1 |xk > < x2 |xk > ..
.
· · · < xj |xk > ..
..
.
.
< xk |x1 > < xk |x2 > · · · < xk |xk > < x1 |xk > < x2 |xk > ..
.
.
··· αji i=1 i=j αji xi |xk > = ..
.
< xk |xk > ..
k − k < x1 |x1 > < x2 |x1 > ..
.
< x1 |x2 > < x2 |x2 > ..
.
< xi |x1 > ..
.
< xi |x2 > ..
.
··· ··· ..
.
< x1 |xk > < x2 |xk > ..
.
· · · < xi |xk > ..
..
.
.
< xk |x1 > < xk |x2 > · · · < xk |xk > i=1 i=j = on els determinants del sumatori tenen tots dues files iguals i, per tant, s´ on tots nuls. De manera que, < x1 |x1 > < x1 |x2 > < x2 |x1 > < x2 |x2 > ..
..
.
.
G(x1 , x2 , ..., xj ..., xk ) = < xj |x1 > < xj |x2 > ..
..
.
.
< xk |x1 > < xk |x2 > · · · < x1 |xj · · · < x2 |xj ..
..
.
.
· · · < xj |xj ..
..
.
.
· · · < xk |xj · · · < x1 |xk · · · < x2 |xk ..
..
.
.
> · · · < xj |xk ..
..
.
.
> · · · < xk |xk > > > > > > I ara fem la mateixa substituci´o anterior per`o en la columna j-`essima i tindrem < x1 |xj − k < x2 |x1 > < x2 |x2 > · · · < x2 |xj − ..
..
..
.
.
.
G(x1 , x2 , ..., xj ..., xk ) = < xj |x1 > < xj |x2 > · · · < xj |xj − ..
..
..
.
.
.
< xk |x1 > < xk |x2 > · · · < xk |xj − k < x1 |x1 > < x1 |x2 > ··· i=1 i=j i=1 i=j ..
.
k i=1 i=j ..
.
k i=1 i=j αji xi > ··· < x2 |xk > ..
..
.
.
= αji xi > · · · < xj |xk > ..
..
.
.
αji xi > · · · < xk |xk > αji xi > ··· < x1 |xk > = < x1 |x1 > < x2 |x1 > ..
.
< x1 |x2 > < x2 |x2 > ..
.
< xj |x1 > ..
.
< xj |x2 > ..
.
··· ··· ..
.
< x1 |xk > < x2 |xk > ..
.
· · · < xj |xk > ..
..
.
.
< xk |x1 > < xk |x2 > · · · < xk |xk > k − αji i=1 i=j < x1 |x1 > < x2 |x1 > ..
.
< x1 |x2 > < x2 |x2 > ..
.
< xj |x1 > ..
.
< xj |x2 > ..
.
··· ··· ..
.
< x1 |xk > < x2 |xk > ..
.
· · · < xj |xk > ..
..
.
.
< xk |x1 > < xk |x2 > · · · < xk |xk > = = G(x1 , x2 , ..., xj ..., xk ) ja que el determinant de l’esquerra t´e vectors xj en el lloc j corresponent, i els determinants del sumatori tenen tots dues columnes iguals i, per tant, s´ on tots nuls.
Si la combinaci´ o lineal hagu´es estat amb una altra col·lecci´ o de k − 1 escalars, o fins i tot de s escalars (amb s <= k − 1), tot hagu´es funcionat igualment. Aix´ı doncs, podem concloure que el resultat tamb´e ´es v`alid si xj , ∀j = 1, ..., k ´es r αi xi xj = xj + ∀α1 , ..., αs ∈ R ∀r = 1, ..., k Algweb i=1 i=j c) Fixem-nos que aplicant el m`etode d’ortogonalitzaci´ o de Gram-Schmidt l’expressi´o general de yj , ´es y1 = x1 j−1 yj = xj − cji yi amb cji = i=1 < xj |yi > ∀j = 2, ..., k < yi |yi > Per` o aix` o equival a dir que x1 = y1 j−1 cji yi ∀j = 2, ..., k xj = yj + i=1 Considerem V = {e1 , e2 , ..., en } una base ortonormal d’En . D’aquesta manera, totes les expressions anteriors les podem reescriure matricialment com:    1 c21 · · · ck1    ↑ ↑ ↑ ↑  0 1 · · · ck2   [x1 ]V · · · [xk ]V  =  [y1 ]V · · · [yk ]V   .
..
..  ..
 ..
.
.
.  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 0 ··· 1 Si aquesta expressi´ o la denotem per Mx = My · T on Mx , My ∈ MR (n × k), T ∈ MR (k × k), tenim que  < y |y > 1 1 < y2 |y1 >  MyT · My =  ..
 .
i < y1 |y2 > < y2 |y2 > ..
.
··· ··· ..
.
< y1 |yk >  < y2 |yk >   ..
 .
= N ot A < yk |y1 > < yk |y2 > · · · < yk |yk >  < x |x > 1 1 < x2 |x1 >  MxT · Mx =  ..
 .
< x1 |x2 > < x2 |x2 > ..
.
··· ··· ..
.
< x1 |xk >  < x2 |xk >   ..
 .
< xk |x1 > < xk |x2 > · · · < xk |xk > = N ot B i d’aquesta manera G(y1 , y2 , ..., yk ) = detk (A) i G(x1 , x2 , ..., xk ) = detk (B). Per tant, G(x1 , x2 , ..., xk ) = detk (B) = detk (MxT · Mx ) = = detk (T T · MyT · My · T ) = detk (T T · A · T ) = = detk (T T ) · detk (A) · detk (T ) = (detk (T ))2 · detk (A) = = 1 · detk (A) = G(y1 , y2 , ..., yk ) i, per ser {y1 , y2 , ..., yk } un sistema de vectors ortogonals, resulta  < y |y >   ||y ||2 0 ··· 0 1 1 1 0 < y2 |y2 > · · · 0    0 = .
A= ..
..
..
..
   .
.
.
.
.
.
0 0 · · · < yk |yk > 0 Algweb I, per tant, G(x1 , x2 , ..., xk ) = G(y1 , y2 , ..., yk ) = detk (A) = k i=1 0 ||y2 ||2 ..
.
··· ··· ..
.
0 0 ..
.
0 ··· ||yk ||2     ||yi ||2 , concloent que G(x1 , x2 , ..., xk ) = ||y1 ||2 · ||y1 ||2 · · · ||yk ||2 d) Tot recuperant el resultat de l’apartat anterior, demostrar aquesta desigualtat es redueix a demostrar: ||y1 ||2 · ||y2 ||2 · · · ||yk ||2 ≤ ||x1 ||2 · ||x2 ||2 · · · ||xk ||2 I aix`o quedar` a justificat si demostrem que ||yj ||2 ≤ ||xj ||2 ∀j = 1, ..., k Per fer-ho, considerem l’expressi´ o general d’un element yj : y1 = x1 =⇒ x1 2 = y1 2 j−1 yj = xj − cji yi amb cji = i=1 =⇒ x1 2 ≥ y1 2 < xj |yi > , ∀j = 2, ..., k < yi |yi > j−1 =⇒ xj = yj + cji yi i=1 j−1 =⇒ ||xj || = ||yj + cji yi || i=1 j−1 =⇒ 2 cji yi ||2 ||xj || = ||yj + i=1 i com que yj ´es ortogonal a yi , ∀i = 1, ..., j − 1, apliquem el teorema de Pit`agoras, obtenint j−1 ||xj ||2 = ||yj ||2 + || cji yi ||2 ≥ ||yj ||2 i=1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/10 (nivell 3) Siguin p1 (x), p2 (x), ..., pn (x) polinomis a coeficients reals de grau inferior o igual a n − 2 (amb n ≥ 2). Demostreu que ∀a1 , a2 , ..., an ∈R es verifica p1 (a1 ) p2 (a1 ) p3 (a1 ) ..
.
pn (a1 ) p1 (a2 ) p2 (a2 ) p3 (a2 ) ..
.
pn (a2 ) p1 (a3 ) p2 (a3 ) p3 (a3 ) ..
.
pn (a3 ) ··· ··· ··· ..
.
··· p1 (an ) p2 (an ) p3 (an ) = 0 ..
.
pn (an ) Algweb Fixem-nos que tenim un sistema {p1 (x), ..., pn (x)} de n polinomis pertanyents a un espai vectorial de dimensi´ o n − 1. Aix` o implica directament que aquests polinomis s´on linealment dependents. Per tant, n ∃k ∈ {1, ..., n} ∃α1 , α2 , ..., αk−1 , αk+1 , ..., αn ∈ R/ pk (x) = αj pj (x) j=1 j=k i aix` o ser`a cert ∀x ∈ R. En concret, ser`a cert per a x = ai ∀i = 1, ..., n, de manera que n αj pj (ai ) pk (ai ) = j=1 j=k i per tant, la fila k-`essima del determinant ´es combinaci´ o lineal de la resta, cosa que l’anul·la.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/11 (nivell 3) Donats a, b0 , b1 , ..., bn n´ umeros reals, demostreu que existeix i ´ es u ´ nic un polinomi p(t) a coeficients reals i de grau inferior o igual a n, tal que: p(a) = b0 ∀m = 1, ..., n p(m (a) = dm p(t) dtm = bm t=a Algweb Considerem p(t) = p0 + p1 t + p2 t2 + · · · + pn tn i reescrivim totes aquestes condicions: p(a) = p0 + p1 a + p2 a2 + · · · + pn an = b0 p (a) = p (a) = ..
.
p(n (a) = p1 + 2p2 a + · · · + npn an−1 = b1 2p2 + · · · + n(n − 1)pn an−2 = b2 n!pn = bn i en forma matricial,  1 a a2 · · ·     an p0 b0 nan−1  0 1 2a · · ·   p 1   b1        0 0 2 · · · n(n − 1)an−2   p2  =  b2  . .
 .   .  .. . .
..
. .
  .   ..  .
.
. .
.
.
bn pn 0 0 0 ··· n! De manera que el polinomi existeix i ´es u ´nic, si i nom´es si el sistema anterior ´es compatible determinat, o b´e, Per` o detn+1 (A) = n i=0 ∃!p(t) ⇐⇒ rg(A) = n + 1 ⇐⇒ detn+1 (A) = 0 i! = 0, cosa que garanteix el que vol´ıem verificar.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/12 (nivell 3) Calculeu el determinant seg¨ uent: on (∗) = λ + n i=1 µ λ µ2 ..
.
µ2 µ2 λ ..
.
··· ··· ··· ..
.
µn µn µn ..
.
µ µ2 µ3 ··· λ amb λ, µ ∈ R [1]c + [k]c (a la primera columna li sumem la resta): Algweb ∀k = 2, ..., n + 1 λ µ µ ..
.
(∗) µ (∗) λ (∗) µ2 ..
..
.
.
(∗) µ2 µ2 µ2 λ ..
.
µ3 · · · µn · · · µn · · · µn = (∗) .
..
. ..
··· λ 1 µ 1 λ 1 µ2 .. ..
. .
1 µ2 µ2 µ2 λ ..
.
µ3 · · · µn · · · µn · · · µn .
..
. ..
··· λ µi I ara, ∀k = 2, ..., n + 1 [k]c − µk−1 [1]c : 1 0 0 1 λ−µ 0 2 2 (∗) 1 µ − µ λ − µ ..
..
..
.
.
.
1 µ2 − µ µ3 − µ2 ··· ··· ··· ..
.
0 0 0 ..
.
· · · λ − µn n = = (∗)(λ − µ)(λ − µ2 ) · · · (λ − µn ) = n µi λ+ i=1 (λ − µi ) i=1 Aquest resultat ´es directament el valor del determinant que busquem ja que nom´es hem fet operacions del tercer tipus.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/13 (nivell 3) Sigui A = (aij ) ∈ MR (n × n), AT = A. ∀x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈Rn usarem la notaci´ o X T = (x1 x2 · · · xn ) ∈ MR (1 × n) 1era Definici´ o: A ´ es definida positiva no degenerada ⇐⇒ ∀x ∈Rn x = 0 X T · A · X > 0 2ona Definici´ o: A ´ es definida negativa no degenerada ⇐⇒ ∀x ∈Rn x = 0 X T · A · X < 0 amb a11  a21   a31  .
 .
.
a12 a22 a32 ..
.
a13 a23 a33 ..
.
··· ··· ··· ..
.
ak1 ak2 ak3 ··· Algweb   a1k a2k   a3k  ..   .
akk = N ot Ak ∈ MR (k × k) ∀k = 1, ..., n a) Demostreu que: A´ es definida positiva no degenerada ⇐⇒ ∀k = 1, ..., n detk Ak > 0 b) Demostreu que: A´ es definida negativa no degenerada ⇐⇒ ∀k = 1, ..., n detk Ak = (−1)k |detk Ak | = 0 a) =⇒) Per justificar aquesta implicaci´ o demostrarem abans la seg¨ uent proposici´ o: A ´es definida positiva =⇒ ∀k = 1, ..., n Ak ´es definida positiva no degenerada ´ a dir, suposem que ∃s ∈ {1, ..., n} tal que As no ´es definida Ho demostrarem usant el contrarec´ıproc. Es positiva. Llavors ∃(x1 , ..., xs ) N=ot x ˜ ∈ Rs , x ˜ = 0, tal que  x1 .
· · · xs ] As  ..  ≤ 0 xs  [ x1 si ara constru¨ım un nou vector x = (x1 , ..., xs , 0, ..., 0) ∈ Rn i fem  1 x  ..   1  .  x  s x .
  1 s 1 s  [ x · · · x 0 · · · 0 ] A   = [ x · · · x ] As ..  ≤ 0  0   .  xs  ..  0 veiem que ∃x ∈ Rn , x = 0 tal que X T · A · X ≤ 0, amb la qual cosa A no ´es definida positiva no degenerada.
Vista aquesta proposici´o, l’apliquem al nostre cas i considerem que ∀k = 1, ..., n Ak ´es definida positiva no degenerada. Fixem-nos que, ∀k = 1, ..., n Ak la podem considerar com la matriu associada a una forma bilineal real sim`etrica fk ∈ S2 (Rk ; R) en una certa base Vk de Rk : Ak = [fk ]Vk i llavors, per ser definida positiva no degenerada ser`a producte escalar i la seva forma normal en una certa base Nk ser`a Ik ∈ MR (k × k). Considerant P = [Id]Nk Vk podem concloure que [fk ]Nk = Ik = P T · Ak · P = [Id]TNk Vk · [fk ]Vk · [Id]Nk Vk prenent determinants a banda i banda, detk Ik = 1 = detk P T · detk Ak · detk P = det2k P · detk Ak =⇒ detk Ak = 1 >0 det2k P Algweb ⇐=) Sabem que A ∈ MR (n × n) i ´es sim`etrica, de manera que la podem considerar com la matriu associada a una certa forma bilineal sim`etrica f ∈ S2 (Rn ; R) en una certa base V de Rn . El que farem ´es buscar la seva forma can` onica pel m`etode de la reducci´o Gaussiana i, si aquesta t´e tots els elements de la diagonal estrictament positius, aix` o voldr`a dir que f ´es definida positiva degenerada. Finalment veurem que si f ´es definida positiva no degenerada llavors A tamb´e ho ´es.
pas 1): Sabem que det1 A1 > 0. Llavors, a11 > 0 i fem les seg¨ uents operacions elementals de fila: i1 ∀i = 2, ..., n [i]f − aa11 [1]f . Despr´es fem les mateixes operacions per`o per columnes, quedant-nos la matriu A(1) a 0 ··· 0  11 (1) (1)  0 a22 · · · a2n  A(1) =  ..
..  ..
  ..
.
.
.
.
(1) (1) 0 an2 · · · ann Com que les operacions elementals que hem fet s´ on del tercer tipus, es verifica que detn A = detn A(1) i (1) (1) a m´es ∀k = 1, ..., n detk Ak = detk Ak (ja que les operacions per passar de Ak a Ak han estat les mateixes (1) que hem fet per passar d’A a A ). Aix´ı, en particular, (1) (1) (1) det2 A2 = det2 A2 = a11 a22 > 0 =⇒ a22 > 0 i podem tornar a repetir el proc´es: (1) pas 2): Fem les seg¨ uents operacions elementals de fila: ∀i = 3, ..., n [i]f − (2) mateixes operacions per` o per columnes, quedant-nos la matriu A  A(2) a11  0   = 0  .
 ..
0 (1) a22 0 0 0 0 ..
.
a33 ..
.
0 an3 (2) (2)  ··· 0 ··· 0   (2)  · · · a3n  ..  ..
.
.  (2) · · · ann ai1 (1) a11 [2]f . Despr´es fem les (2) Igual que abans es verifica que detn A = detn A(1) = detn A(2) i a m´es ∀k = 1, ..., n detk Ak = detk Ak .
Aix´ı, en particular, (2) (1) (2) (1) det3 A3 = det3 A3 = a11 a22 a33 > 0 =⇒ a33 > 0 i aix´ı anem repetint el proc´es fins a n − 1 vegades obtenint la matriu A(n−1) , ja en forma can`onica:  (n−1) A a11    =    (1) a22 (2) a33 ..
.
(n−1)       ann (1) (n−1) > 0. I d’aquesta manera queda comprovat que f ´es definida verificant-se a11 > 0, a22 > 0, ..., ann positiva no degenerada. Si suposem que la forma can` onica la pr`en en una base N de Rn , considerant P = [Id]N V tindrem que [f ]N = P T · [f ]V · P o sigui A(n−1) = P T · A · P A = P −T · A(n−1) · P −1 =⇒ Algweb llavors, ∀X ∈ MR (n × 1), X = 0 es verifica X T · A · X = X T · P −T · A(n−1) · P −1 · X N=ot Y T · A(n−1) · Y Com que P ´es inversible i X = 0, llavors Y = 0 =⇒ Y T · A(n−1) · Y > 0 =⇒ X T · A · X > 0 amb la qual cosa A ´es definida positiva degenerada.
b) =⇒) Per justificar aquesta implicaci´ o demostrarem abans la seg¨ uent proposici´ o: A ´es definida negativa no degenerada ∀k = 1, ..., n Ak ´es definida negativa no degenerada =⇒ ´ a dir, suposem que ∃s ∈ {1, ..., n} tal que As no ´es definida Ho demostrarem usant el contrarec´ıproc. Es 1 s = negativa no degenerada. Llavors ∃(x , ..., x ) N ot x ˜ ∈ Rs , x ˜ = 0, tal que  x1 .
· · · xs ] As  ..  ≥ 0 xs  [ x1 si ara constru¨ım un nou vector x = (x1 , ..., xs , 0, ..., 0) ∈ Rn i fem [ x1  x1  ..   .   s x  0 · · · 0 ] A   = [ x1  0   .   ..  0  · · · xs  x1 .
· · · xs ] As  ..  ≥ 0 xs  veiem que ∃x ∈ Rn , x = 0 tal que X T · A · X ≥ 0, amb la qual cosa A no ´es definida negativa no degenerada.
Vista aquesta proposici´ o, l’apliquem al nostre cas i considerem que ∀k = 1, ..., n Ak ´es definida negativa no degenerada. Fixem-nos que, ∀k = 1, ..., n Ak la podem considerar com la matriu associada a una forma bilineal real sim`etrica fk ∈ S2 (Rk ; R) en una certa base Vk de Rk : Ak = [fk ]Vk i llavors, per ser definida negativa no degenerada, la seva forma normal en una certa base Nk ser`a −Ik ∈ MR (k × k). Considerant P = [Id]Nk Vk podem concloure que [fk ]Nk = −Ik = P T · Ak · P = [Id]TNk Vk · [fk ]Vk · [Id]Nk Vk prenent determinants a banda i banda, detk (−Ik ) = (−1)k = detk P T · detk Ak · detk P = det2k P · detk Ak =⇒ i per tant, |detk Ak | = 1 det2k P detk Ak = (−1)k 1 =0 det2k P , de manera que detk Ak = (−1)k |detk Ak | = 0.
Algweb ⇐=) Sabem que A ∈ MR (n × n) i ´es sim`etrica, de manera que la podem considerar com la matriu associada a una certa forma bilineal sim`etrica f ∈ S2 (Rn ; R) en una certa base V de Rn . El que farem ´es buscar la seva forma can` onica pel m`etode de la reducci´o Gaussiana i, si aquesta t´e tots els elements de la diagonal estrictament negatius, aix` o voldr` a dir que f ´es definida negativa no degenerada. Finalment veurem que si f ´es definida negativa no degenerada llavors A tamb´e ho ´es.
pas 1): Sabem que det1 A1 < 0. Llavors, a11 < 0 i fem les seg¨ uents operacions elementals de fila: i1 [1]f . Despr´es fem les mateixes operacions per`o per columnes, quedant-nos la matriu ∀i = 2, ..., n [i]f − aa11 A(1) a 0 ··· 0  11 (1) (1)  0 a22 · · · a2n  A(1) =  ..
..  ..
  ..
.
.
.
.
(1) (1) 0 an2 · · · ann Com que les operacions elementals que hem fet s´ on del tercer tipus, es verifica que detn A = detn A(1) i (1) (1) a m´es ∀k = 1, ..., n detk Ak = detk Ak (ja que les operacions per passar de Ak a Ak han estat les mateixes (1) que hem fet per passar d’A a A ). Aix´ı, en particular, (1) (1) (1) det2 A2 = det2 A2 = a11 a22 > 0 =⇒ a22 < 0 i podem tornar a repetir el proc´es: (1) pas 2): Fem les seg¨ uents operacions elementals de fila: ∀i = 3, ..., n [i]f − mateixes operacions per` o per columnes, quedant-nos la matriu A(2)   a11 0 0 ··· 0  0 a(1) 0 ··· 0  22   (2)  (2)  0 (2) 0 a33 · · · a3n  A =  .
..
..
..  ..
 ..
.
.
.
.  0 0 (2) an3 (2) · · · ann ai1 (1) a11 [2]f . Despr´es fem les (2) Igual que abans es verifica que detn A = detn A(1) = detn A(2) i a m´es ∀k = 1, ..., n detk Ak = detk Ak .
Aix´ı, en particular, (2) (1) (2) (1) det3 A3 = det3 A3 = a11 a22 a33 < 0 =⇒ a33 < 0 i aix´ı anem repetint el proc´es fins a n − 1 vegades obtenint la matriu A(n−1) , ja en forma can`onica:  A(n−1) a11    =    (1) a22 (2) a33 ..
.
(n−1)       ann (1) (n−1) verificant-se a11 < 0, a22 < 0, ..., ann < 0. I d’aquesta manera queda comprovat que f ´es definida negativa no degenerada. Si suposem que la forma can`onica la pr`en en una base N de Rn , considerant P = [Id]N V tindrem que [f ]N = P T · [f ]V · P o sigui A(n−1) = P T · A · P =⇒ A = P −T · A(n−1) · P −1 Algweb llavors, ∀X ∈ MR (n × 1), X = 0 es verifica X T · A · X = X T · P −T · A(n−1) · P −1 · X N=ot Y T · A(n−1) · Y Com que P ´es inversible i X = 0, llavors Y = 0 =⇒ Y T · A(n−1) · Y < 0 =⇒ X T · A · X < 0 amb la qual cosa A ´es definida negativa no degenerada.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/14 (nivell 3) Donades les matrius A ∈ MK (n × n), B ∈ MK (n × m) i C ∈ MK (m × m), demostreu que es verifica: detn+m A 0 B C = (detn A) · (detm C) Si apliquem operacions elementals de fila a la matriu per tal d’intentar portar la submatriu A a la seva mef corresponent, estarem afectant nom´es a les n primeres files, obtenint M N=ot = A 0 B C mefA 0 −→ o.e.f B C = N ot M I com que A ´es una matriu quadrada, mefA resulta ser una matriu triangular superior, de manera que n si mefA = (aij ), i, j = 1, ..., n, llavors detn (mefA ) = a .
k=1 kk Algweb Suposem que hem fet rA combinacions lineals, sA permutacions i pA productes per escalars λ. Llavors, n detn (mefA ) = k=1 akk = λ1 · λ2 · · · λpA · (−1)sA · detn (A) An`alogament podem procedir amb la submatriu C, arribant a mefC de manera que M −→ o.e.f mefA 0 B mefC = N ot M I com que C ´es una matriu quadrada, mefC resulta ser una matriu triangular superior, de manera que m si mefC = (cij ), i, j = 1, ..., m, llavors detn (mefC ) = c .
k=1 kk Suposem que hem fet rC combinacions lineals, sC permutacions i pC productes per escalars µ. Llavors, m detm (mefC ) = k=1 ckk = µ1 · µ2 · · · µpC · (−1)sC · detm (C) Si ara volgu´essim fer operacions elementals de fila a M per obtenir mefM , totes les que hem fet abans ens serveixen perfectament, ja que mefM = M (matriu triangular superior a coeficients M = (bij ) ∀i, j = 1, ..., n + m). D’aquesta manera tindrem: detn+m (M ) = λ1 · λ2 · · · λpA · µ1 · µ2 · · · µpC · (−1)sA · (−1)sC · detn+m (M ) = n+m = n k=1 m ass · bkk = s=1 crr = (λ1 · λ2 · · · λpA · (−1)sA · detn (A)) · (µ1 · µ2 · · · µpC · (−1)sC · detm (C)) r=1 =⇒ detn+m (M ) = detn (A) · detm (C) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/15 (nivell 3) Siguin A, B, C, D ∈ MK (n × n) matrius inversibles que commuten “dues a dues”.
Demostreu que: A B det2n = detn (AD − CB) C D Alternativa 1: Descomposem la matriu en producte de dues matrius triangulars en blocs i calculem el seu determinant tenint en compte el resultat de l’exercici 8/14.
A C det2n Algweb =⇒ B D = In A−1 C [0]n×n C In B = A−1 C D A C A [0]n×n B C −1 D − A−1 B [0]n×n A · C [0]n×n B = C −1 D − A−1 B = detn (In )detn (C)detn (A)detn (C −1 D − A−1 B) = detn (AC)detn (C −1 D − A−1 B) = = detn (ACC −1 D − ACA−1 B) = detn (AD − BC) Alternativa 2: Apliquem operacions elementals de fila fins arribar a una matriu triangular en blocs i calculem el seu determinant tenint en compte el resultat de l’exercici 8/14.
A C M2 B D −→ o.e.f −→ o.e.f (3r tipus) In C In [0]n×n A−1 B D = N ot A−1 B D − CA−1 B M2 = N ot M1 D’aquesta manera, det2n M1 = detn (In )detn (D −CA−1 B). I a m´es fixem-nos que, pel tipus d’operacions elementals efectuades per passar de la M2 a M1 , el determinant no ha variat, de manera que det2n M2 = det2n M1 = detn (D − CA−1 B).
Ara nom´es falta veure la relaci´ o entre M2 i la matriu original per poder relacionar els seus determinants.
Podem comprovar que A B A [0]n×n = · M2 C D [0]n×n In i llavors, det2n A C B D = det2n A [0]n×n [0]n×n · det2n M2 = In = detn (A) · detn (D − CA−1 B) = detn (AD − ACA−1 B) = detn (AD − CB) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/16 (nivell 3) Demostreu que: detn (A · B T + In ) = 1 + AT · B ∀A, B ∈ MR (n × 1) 1 a1 b1 + 1 a1 b2 ··· a1 bn a2 b1 a2 b2 + 1 · · · a2 bn = detn (A·B T +In ) = ..
..
..
..
.
.
.
.
an b1 an b2 · · · an bn + 1 1 0 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 = 1 0 0 ··· 0 + a1 = 1 b2 1 b3 0 + a1 b1 0 0 b2 1 0 b3 0 1 b2 b1 0 0 b2 1 0 b3 0 1 b1 b1 · · · bn b1 ··· 0 0 · · · 0 + a1 a3 b1 · · · bn 1 ··· 0 ··· 0 = ··· = b2 b2 b3 b3 · · · bn · · · bn b2 1 b2 b3 0 b3 + a1 1 b1 0 b2 b2 1 0 ..
.
b3 0 1 ..
.
0 0 0 ai bi + 1 = AT · B + 1 · · · bn ··· 0 ··· 0 = .
..
. ..
··· 1 ··· 0 · · · bn = 1 0 = · · · · · · = a1 b1 + · · · + an bn + 0 ..
.
n i=1 b1 0 0 ..
.
0 b3 0 = · · · bn ··· 0 · · · bn = + a2 + a1 b1 = a1 b1 + = · · · = a1 b1 + a2 b2 + · · · bn = 0 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 0 1 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 0 1 0 ··· 0 b3 = + a1 a2 0 0 ··· 0 = b1 +a1 · · · bn ··· 0 + a1 Algweb = b1 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· 1 0 ··· 0 1 ··· .. .. . .
.
. .
0 0 ··· 0 0 0 = ..
.
0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/17 (nivell 3) Siguin A ∈ MK (n×n) i B ∈ MK (2n×2n). Expresseu el determinant de B en funci´ o del determinant d’A en els casos seg¨ uents: a) B = A A −A A b) B = 2A A 3A 4A a) Algweb Tot aplicant operacions elementals de fila del 3r tipus a la matriu B passem a una matriu B que ´es triangular superior en blocs i t´e el mateix determinant que B. En concret, aquestes operacions s´on [j + n]f − [j]f ∀j = 1, ..., n, de manera que B = A [0]n×n −A 2A En virtut del resultat vist a l’exercici 8/14, det2n B = det2n B = detn A · detn (2A) = 2n det2n (A) b) Fem una cosa semblant a l’apartat anterior. En aquest cas, les operacions elementals de fila efectuades s´ on [j + n]f − 21 [j]f ∀j = 1, ..., n, de manera que B = 2A [0]n×n 3A 5 2A I en virtut del resultat vist a l’exercici 8/14, det2n B = det2n B = detn (2A) · detn ( 52 A) = 5n det2n (A) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/18 (nivell 3) Sigui A ∈ MK (n × n) una matriu inversible amb n ≥ 2 i B = cof (A) ∈ MK (n × n) la seva matriu cofactor. Demostreu que: cof (B) = (detn A)n−2 · A Recordem la relaci´ o existent entre cof (A) i In : A · cof (A)T = detn (A) · In llavors, Algweb A · B T = detn (A) · In =⇒ B T = detn (A) · A−1 [1] Prenent determinants a banda i banda, detn B T = detn B = detn (detn (A)A−1 ) = (detn (A))n · 1 = detn−1 A n detn (A) [2] Per una altra banda, la relaci´o inicial ´es v`alida per a qualsevol matriu quadrada. En concret ho ser` a per a B: B · cof (B)T = detn (B) · In tenint en compte la relaci´ o [1], (detn (A) · A−T ) · cof (B)T = detn (B) · In =⇒ cof (B)T = detn (B) · AT detn (A) i ara tenint en compte la relaci´ o [2], cof (B)T = detn−1 (A) n · AT = detn−2 (A) · AT n detn (A) =⇒ cof (B) = detn−2 (A) · A n Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/19 (nivell 3) Sigui A(t) una matriu n × n els coeficients de la qual s´ on funcions derivables de t. Demostreu que: n d daij (t) (detn A(t)) = (cof (A))ij dt dt i,j=1 En virtut del resultat de l’exercici 8/04 sabem que d (detn A(t)) = dt n detn (Ai (t)) i=1 Algweb on, ∀i = 1, ..., n a 11  ...
  Ai (t) =  ai1  .
 .
.
an1 ··· ..
.
··· ..
.
a1n  ..  .  ain   ..   .
· · · ann Si ara desenvolupem cadascun d’aquests determinants per la i-`essima fila, n n i+j detn (Ai (t)) = aij (−1) j=1 detn−1 (Aij ) = aij (cof (A))ij j=1 (on Aij ´es la menor complement`aria ij de la matriu A) I per tant, n n daij (t) d (detn A(t)) = (cof (A))ij dt dt i=1 j=1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/20 (nivell 2) Siguin C, D ∈ MK (n × n), tals que C = [0]n , D = [0]n i C · D = [0]n . Proveu que: detn C = detn D = 0 Demostrem-ho per reducci´o a l’absurd: Suposem que detn (C) = 0 =⇒ ∃C −1 =⇒ D = C −1 · [0]n = [0]n , cosa que entra en contradicci´o amb les hip`otesis de l’enunciat.
Algweb Suposem que detn (D) = 0 =⇒ ∃D−1 =⇒ C = [0]n · D−1 = [0]n , cosa que entra en contradicci´o amb les hip`otesis de l’enunciat.
=⇒ detn (C) = detn (D) = 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/21 (nivell 3) Donades les matrius A ∈ MK (3 × 3), B ∈ MK (2 × 2) es defineix el Producte de Kronecker d’A i B com b11 A b21 A b12 A b22 A = N ot B ∈ MK (6 × 6) A Demostreu que : det6 (A B) = (det3 A)2 · (det2 B)3 Distingirem dos casos: cas 1): b11 = 0 Algweb [j]f ∀j = 1, 2, 3 a A Llavors, efectuant les operacions elementals de fila del tercer tipus [j + 3]f − bb21 11 obtenim una matriu b11 A [0]3×3 B b12 A (b22 − b21b11b12 )A que ´es triangular superior en blocs i que t´e el mateix determinant que el que volem calcular. Aplicant el resultat de l’exercici 8/14, det6 (A B) = det3 (b11 A) · det3 ((b22 − = b311 ( b21 b12 3 b21 b12 )A) = b311 det3 (A)(b22 − ) det3 (A) = b11 b11 b22 b11 − b21 b12 3 2 ) det3 (A) = (b22 b11 − b21 b12 )3 det23 (A) = det32 (B) · det23 (A) b11 cas 2): b11 = 0 En aquest cas, A B= [0]3×3 b21 A b12 A b22 A I ara, efectuant les permutacions de les files [j]f amb [j + 3]f respectivament, ∀j = 1, 2, 3 obtenim la matriu b21 A [0]3×3 b22 A b12 A que ´es triangular superior en blocs i tal que el seu determinant ´es (−1)3 det6 (A de l’exercici 8/14, det6 (A B). Aplicant el resultat B) = (−1)3 det3 (b21 A)det3 (b12 A) = (−1)3 b321 b312 det23 (A) = (−b21 b12 )3 det23 (A) = det32 (B) · det23 (A) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 8/22 (nivell 3) Sigui A ∈ MC (2 × 2), A2 = [0]2 . Demostreu que ∀c ∈C, es verifica: det2 (cI2 − A) = c2 Si desenvolupem l’expressi´ o, det2 (cI2 − A) = c2 − c · tr(A) + det2 (A) = c2 − c · tr(A) [1] Algweb Fixem-nos primer que si A2 = [0]2×2 , llavors det2 (A) = 0 i tr(A2 ) = 0. En concret, 0 = tr(A2 ) = a211 + 2a12 a21 + a222 = [2] per`o com que det2 A = 0, llavors a12 a21 = a11 a22 i aix´ı [2] = a211 + 2a11 a22 + a222 = (a11 + a22 )2 = 0 =⇒ a11 + a22 = tr(A) = 0 Si substitu¨ım aquests resultats obtinguts en l’expressi´o [1], det2 (cI2 − A) = c2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/02 (nivell 3) Donada la matriu: 0 0 A= 0 1  1 0 0 0 0 1 0 0  0 0  1 0 Comproveu que: a) A no diagonalitza en R.
b) A no triangula en R.
c) A triangula en C.
Algweb d) A diagonalitza en C. Doneu el canvi de base a la forma diagonal i la matriu diagonalitzada.
Calculem el seu polinomi caracter´ıstic: 1−x 1−x 1−x 1−x −x 1 0 0 +[2] + [3] + [4] 0 −x 1 0 0 −x 1 0 = = Pc A[x] = 0 0 −x 1 0 0 −x 1 1 0 0 −x 1 0 0 −x 1 1 1 1 −[2] − [4] 0 −x 1 0 = (1−x) = (1−x) 0 0 −x 1 1 0 0 −x 0 0 0 1 1+x 0 1+x −x 1 0 = (1−x)(1+x) 0 −x 1 0 0 −x 0 1 0 1 0 −x 1 0 = 0 0 −x 1 1 0 0 −x 1 0 1 = (1 − x)(1 + x)(−1)5 −x 1 0 = (−1)(1 − x)(1 + x)(1 + x2 ) = (1 − x)(−1 − x)(i − x)(−i − x) 0 −x 1 Aix´ı, les seves arrels s´ on λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = i, λ4 = −i.
a) A no diagonalitza en R perqu`e alguna de les arrels del polinomi caracter´ıstic no ´es real.
b) A no triangula en R perqu`e alguna de les arrels del polinomi caracter´ıstic no ´es real.
c) A triangula en C perqu`e totes les arrels del polinomi caracter´ıstic s´on complexes.
d) A diagonalitza en C perqu`e totes les arrels del polinomi caracter´ıstic s´on complexes i diferents.
λ1 = 1     −1 1 0 0 x 0 0 −1 1 0 y    0    =   0 0 −1 1 z 0 1 0 0 −1 t 0  =⇒ x = y = z = t, ∀t ∈C =⇒ VA (1) =< (1, 1, 1, 1) >C λ2 = −1 1 0  0 1  1 1 0 0 0 1 1 0     0 x 0 0y  0   =   1 z 0 1 t 0 =⇒ x = −y = z = −t, ∀t ∈C =⇒ VA (−1) =< (1, −1, 1, −1) >C λ3 = i     −i 1 0 0 x 0 0 y  0  0 −i 1    =   0 0 −i 1 z 0 1 0 0 −i t 0 Algweb  =⇒ x = it, y = −t, z = −it, ∀t ∈C =⇒ VA (i) =< (i, −1, −i, 1) >C λ4 = −i     i 1 0 0 x 0 0 i 1 0y  0    =   0 0 i 1 z 0 1 0 0 i t 0  =⇒ x = −it, y = −t, z = it, ∀t ∈C =⇒ VA (−i) =< (−i, −1, i, 1) >C Si anomenem P a la matriu de canvi de base i D la matriu diagonalitzada,  1 1 i −i  1 −1 −1 −1  P =  1 1 −i i 1 −1 1 1   1 0 0 0  0 −1 0 0  D=  0 0 i 0 0 0 0 −i  Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/04 (nivell 3) Estudieu per a quins valors dels par` ametres reals p i q la seg¨ uent matriu ´ es diagonalitzable.
Obtingueu-ne els valors i vectors propis.
 5 A = 0 3 0 −1 0  0 q p Algweb Considerarem l’espai vectorial real R3 i una certa base V . Sabem que en aquest cas existeix un cert endomorfisme f tal que [f ]V = A. Per estudiar la diagonalitzaci´o d’A ens basarem en la de f . Calculem el Pc (f )[x]: 5−x 0 0 Pc (f )[x] = 0 −1 − x q = (5 − x)(−1 − x)(p − x) 3 0 p−x de manera que les arrels s´ on: λ1 = −1 d1 = 1 λ2 = 5 d2 = 1 λ3 = p d3 = 1 Considerem els seg¨ uents tres casos: cas 1) p = −1 ∧ p = 5 En aquest cas, els tres valors propis s´ on diferents, de manera que f diagonalitza. Calculem els vectors propis respectius: λ1 = −1  6 0 3     0 0 x 0 0 q y  = 0 0 0 p+1 z =⇒ x = z = 0 ∀y ∈R =⇒ Ker(f + Id) = Vf (−1) =< (0, 1, 0) >R λ2 = 5      0 0 0 x 0  0 −6 q y  = 0 3 0 p−5 z 0 =⇒ x = (5−p)z y = qz 3 6 ∀z ∈R =⇒ Ker(f − 5Id) = Vf (5) =< (10 − 2p, q, 6) >R λ3 = p  5−p  0 3 =⇒ x = 0 ; y = qz 1+p     0 0 x 0 −1 − p q   y  =  0  0 0 0 z ∀z ∈R =⇒ Ker(f − pId) = Vf (p) =< (0, q, 1 + p) >R Si ara definim la matriu P com la de canvi de base entre la de vectors propis que acabem de trobar (N ) i la de refer`encia (V ),   0 10 − 2p 0 P = [Id]N V =  1 q q  0 6 1+p ja tenim la diagonalitzaci´ o buscada per a A:  −1 P −1 · A · P =  0 0 Algweb cas 2) p = −1 Ara, λ1 = −1 λ2 = 5  0 0 5 0 0 p d1 = 2 d2 = 1 λ1 = −1  6 0 3 0 0 0     0 x 0 qy  = 0 0 z 0 =⇒ x = 0 qz = 0 ∀y ∈R i aqu´ı distingirem dos casos a partir de q: cas 2.1) q = 0 =⇒ Ker(f + Id) = Vf (−1) =< (0, 1, 0), (0, 0, 1) >R i, substitu¨ınt en el resultat del cas anterior q = 0, Vf (5) =< (2, 0, 1) >R . A diagonalitza i la matriu de canvi ´es:   0 0 2 P = [Id]N V =  1 0 0  0 1 1 de manera que   −1 0 0 P −1 · A · P =  0 −1 0  0 0 5 cas 2.2) q = 0 =⇒ Ker(f + Id) = Vf (−1) =< (0, 1, 0) >R i dim(Vf (−1)) = 1 = d1 , cosa que ens indica que A no diagonalitza.
cas 3) p = 5 Ara, λ1 = −1 λ2 = 5 d1 = 1 d2 = 2 λ2 = 5  0 0  0 −6 3 0     0 x 0 qy  = 0 0 z 0 Algweb =⇒ x = 0 y = qz 6 ∀z ∈R =⇒ Ker(f − 5Id) = Vf (5) =< (0, q, 6) >R i dim(Vf (5)) = 1 = d2 , cosa que ens indica que A no diagonalitza.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/05 (nivell 3) o de Tenim una successi´ o de n´ umeros reals {an }n∈N∗ , amb a1 = a2 = 1, que verifica la relaci´ recorr` encia: ∀k ∈ N, k > 2 ak+2 = ak+1 + ak (Successi´ o de Fibonacci (Pisa, 1170-1250)) Es defineix ak+1 ak uk = ∈ R2 Algweb a) Expresseu uk+1 en funci´ o de uk .
b) Obtingueu a1000 .
a) Directament, uk = ak+1 ak =⇒ uk+1 = ak+2 ak+1 ak+1 + ak ak+1 = = 1 1 1 0 ak+1 ak = N ot A · uk b) Si, per exemple, considerem k = 998, tenim que u999 = Au998 , de manera que a1000 a999 = 1 1 1 0 a999 a998 i d’aquesta expressi´ o treiem el valor de a1000 . Per`o seguim tenint una f´ormula recorrent, que no podrem calcular f`acilment si no la posem en funci´ o dels dos valors inicials que coneixem. Fixem-nos en els seg¨ uents resultats: uk+1 = A · uk =⇒ uk+1 = A2 · uk−1 uk = A · uk−1 i en general podem comprovar que uj = Ap · ui , ∀i, j ∈N∗ , i < j, p = j − i. En concret, fent j = 999 i i = 1, tenim que 1 u999 = A998 · u1 = A998 · 1 i aix`o redueix el problema a trobar la matriu A998 . En general aquesta expressi´o no ser`a f`acil de calcular, per`o si aconseguim trobar una expressi´o m´es senzilla per a A i tenim en compte el canvi a realitzar per aconseguir-la P , se’ns poden simplificar les coses. Fixem-nos que, donada una certa matriu P inversible, tal que A = P · A · P −1 , A998 = P · A · P −1 · P · A · P −1 · · · P · A · P −1 = P · (A )998 · P −1 Si la matriu A ´es diagonalitzable, aquesta P pot ser tal que A ´es diagonal, i llavors tot ´es m´es senzill.
Comprovem si A ´es diagonalitzable: Pc (A)[x] = 1−x 1 = x2 − x − 1 1 −x √ √ de manera que les seves arrels s´ on λ1 = 1+2 5 i λ2 = 1−2 5 , diferents.
Aix`o implica que A ´es diagonalitzable. Calculem la matriu P de canvi: λ1 = √ 1+ 5 2 √ 1+ 5 2 1− 1 √ − 1+2 5 1 √ 1+ 5 2 y ∀y ∈R √ Ker(A − 1+2 5 Id) =⇒ x = =⇒ √ = VA ( 1+2 5 ) =< (1 + An`alogament arribem a qu`e Ker(A − Aix´ı, √ √ 1− 5 2 Id) x 0 = y 0 5, 2) >R √ = VA ( 1−2 5 ) =< (1 − √ 1+ 5 P = 2 5, 2) >R √ 1− 5 2 i la seva inversa resulta √ P −1 1 = √ 2 5 A =P −1 5−1 √2 5+1 2 1 −1 de manera que Algweb √ ·A·P = √ 1+ 5 2 0 0 √ 1− 5 2 i, per tant, A998 = P · √ 1+ 5 2 0 998 0 √ 1− 5 2 que resulta A 998  · P −1 = P ·  √ 1+ 5 2 0 998  0 √ 1− 5 2 998  · P −1 = N ot P· a 0 · P −1 0 b √ √ 1 ( 5 + 1)a + ( 5 − 1)b √ 2(a − b) √ = √ 2(a − b) ( 5 − 1)a + ( 5 + 1)b 2 5 i d’aqu´ı, a partir de la relaci´ o que hem vist al principi, obtenim a1000 : √ √ 1 λ1000 − λ1000 2 a1000 = √ ( 5 + 1)a + ( 5 − 1)b + 2a − 2b = 1 λ − λ 2 5 1 2 4, 34665 · 10208 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/06 (nivell 3) Sigui En un K-espai vectorial i sigui T ∈ LK (En , En ), diagonalitzable i inversible. Comproveu que llavors T −1 ´ es diagonalitzable i busqueu els seus valors propis i una base de vectors propis.
Si T ´es diagonalitzable, ∃N , base d’En tal que λ1 .
=  ..
 [T ]N 0  ··· 0 .
..
. ..  · · · λn Com que T ´es inversible, l’anterior matriu tamb´e ho ´es i, per tant, λ1 , ..., λn = 0. Aix´ı, Algweb  1 λ1  .
[T −1 ]N = [T ]−1 N =  ..
0 ··· ..
.
···  0 ..  .  1 λn que tamb´e ´es una matriu diagonal. De manera que ∃N , base d’En en la qu`e la matriu associada a T −1 ´es diagonal. Llavors T −1 ´es diagonalitzable. Una base de vectors propis ´es, per exemple, la mateixa N en la qu`e diagonalitza T , i els valors propis s´ on λ11 , ..., λ1n .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/07 (nivell 3) Sigui un endomorfisme g ∈ LR (R3 , R3 ), del que s´ on vectors propis a = (2, 1, 1), b = (2, 3, 2), c = (0, 2, 1) i d = (1, 5, 3). Sabem tamb´ e que hi ha vectors de R3 que no s´ on vectors propis de g.
Trobeu tots els vectors propis de g.
Suposem que g(a) = λ1 a, g(b) = λ2 b, g(c) = λ3 c i g(d) = λ4 d.
Fixem-nos que b = a + c. Llavors, per una banda, g(b) = g(a + c) = g(a) + g(c) = λ1 a + λ3 c Algweb i per una altra, g(b) = λ2 b = λ2 (a + c) = λ2 a + λ2 c de manera que (λ2 − λ1 )a + (λ2 − λ3 )c = 0. Com que a i c s´on linealment independents, λ1 = λ2 = λ3 .
O sigui que a, b, c estan associats a un mateix valor propi, que anomenarem λ.
< a, c >R ⊂ Vg (λ) En general, considerarem Vg (λ4 ) =< d >R , amb la qual cosa N = {a, c, d} formen una base de vectors propis per a g. Aix´ı, g diagonalitza segons:   λ 0 0 [g]N =  0 λ 0  0 0 λ4 Ara es poden donar dues situacions: 1) λ4 = λ. Llavors, g = λId i ∀x ∈R3 ´es vector propi, cosa que contradiu l’enunciat.
2) λ4 = λ. Aquest ´es l’´ unic cas possible. Vg (λ) =< a, c >R i Vg (λ4 ) determinen tots els vectors propis que hi ha per a g.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/08 (nivell 3) Sigui En un K-espai vectorial i sigui T ∈ LK (En , En ), amb rang(T ) = 1, n > 1.
Demostreu que, o b´ eT ´ es diagonalitzable o b´ e´ es nilpotent, per` o no ambdues coses alhora.
Com que rang(T ) = 1, llavors dimK Im(T ) = 1 i podem considerar Im(T ) =< v >K . Considerem a m´es la base d’En B = {v, e2 , e3 , ..., en }, completant v amb n − 1 vectors linealment independents, de manera que la matriu associada a T en aquesta base ´es Algweb ··· ··· α1  0 [ T ]B =   ...
α2 0 ..
.
..
0 0 ···   αn 0  ..  .  .
0 sabent que ∃i ∈ {1, 2, ..., n}/ αi = 0 Considerem els seg¨ uents casos: 1) α1 = 0 =⇒ T (v) = α1 v llavors dimK VT (α1 ) = 1 i com que dimK VT (0) = n − 1, diagonalitza. Per tant,  α1  0  ∃N, base d’En tal que [T ]N =      ...
0 en aquest cas, ∀m ∈N tindrem que   [T m ]N =   α1m  0   = [0]n  ...
0 i, per tant, T no ´es nilpotent 2) α1 = 0 En aquest cas sabem que ∃i ∈ {2, ..., n} tal que αi = 0, de manera que seguim tenint dimK VT (0) = n − 1. Per` o ara en canvi, Pc T [x] = (0 − x)n , de manera que no diagonalitza. A m´es podem comprovar que [T 2 ]B = [0]n , essent aix´ı T nilpotent.
Alternativa 1: Considerem Ker(T ) =< u1 , ..., un−1 >K i definim la base B a partir de completar uents dos casos: l’anterior, B = {u1 , ..., un−1 , u}. Considerem els seg¨ cas 1) Ker(T ) ∩ Im(T ) = {0}. Llavors, podem escollir u tal que Im(T ) =< u >K , i ··· ··· 0 0 [T ]B =   ...
0 0 ..
.
..
0 0 ···   0 0 ..  . .
α amb α = 0. Directament, aquesta matriu ´es diagonal (i per tant, T diagonalitza). En canvi, ∀m ∈N tenim que   0 0  [T m ]B =     = [0]n  ...
αm i, per tant, T no ´es nilpotent cas 2) Ker(T ) ∩ Im(T ) = Im(T ). En aquest cas, Algweb ··· ··· 0 0 [T ]B =   ...
0 0 ..
.
...
 α1 α2  ..  .  0 0 ··· 0  on ∃i ∈ {1, ..., n − 1} tal que αi = 0. El que s´ı podem garantir ´es que el terme (n, n) ´es 0, perqu`e en cas contrari, u ∈ Im(T ) i com que Im(T ) ⊂ Ker(T ), llavors u seria combinaci´o lineal dels primers n − 1 vectors, i llavors B no seria base.
Ara tenim que Pc T [x] = (0 − x)n , de manera que no diagonalitza. A m´es podem comprovar que [T 2 ]B = [0]n , essent aix´ı T nilpotent.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/09 (nivell 3) Sigui E4 un K-espai vectorial i sigui f ∈ LK (E4 , E4 ), tal que qualsevol subespai d’E4 de dimensi´ o 3´ es invariant per f . Demostreu que tot vector d’E4 ´ es vector propi de f .
Algweb ∀x ∈ E4 , x = 0, considerem B = {x, e2 , e3 , e4 } una certa base d’E4 i definim W1 = def < x, e2 , e3 >R W2 = def < x, e2 , e4 >R W3 = def < x, e3 , e4 >R de manera que f (Wi ) ⊂ Wi , i = 1, 2, 3.
Sabent que la intersecci´ o de subespais invariants tamb´e ´es un subespai invariant, f (W1 ∩ W2 ) ⊂ W1 ∩ W2 =< x, e2 >R f (W2 ∩ W3 ) ⊂ W2 ∩ W3 =< x, e4 >R i tamb´e f ((W1 ∩ W2 ) ∩ (W2 ∩ W3 )) ⊂ (W1 ∩ W2 ) ∩ (W2 ∩ W3 ) =< x >R I aix´ı veiem que f (< x >R ) ⊂< x >R .
En concret, f (x) ∈< x >R =⇒ ∃λ ∈R tal que f (x) = λx, amb la qual cosa veiem que x ´es vector propi de f .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/10 (nivell 3) Sigui T ∈ LC (En , En ), amb n ≥ 2. Demostreu que existeix un subespai vectorial F d’En , invariant per T , de dimensi´ o n − 1.
T ∈ LC (En , En ) =⇒ ∃B = {e1 , ..., en }, base d’En en la que T triangula  λ1 ..
[T ]B =  αij .
0 Algweb ∀k = 1, ..., n definim Fk = def   λn < e1 , ..., ek >C . Llavors, j−1 ∀j = 1, ..., k αij ei + λj ej ∈ Fk T (ej ) = i=1 de manera que T (Fk ) ⊂ Fk , ∀k = 1, ..., n. Aix´ı, l’enunciat queda verificat prenent k = n − 1.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/11 (nivell 3) Sigui En un K-espai vectorial i siguin Ψ, Φ ∈ LK (En , En ). Demostreu que qualsevol arrel de Pc (Ψ · Φ) ho ´ es tamb´ e de Pc (Φ · Ψ), tant en el cas complex com en el real.
cas K=C: ∀λ, arrel de Pc (Ψ · Φ), llavors λ ´es valor propi de Ψ · Φ.
=⇒ ∃x ∈ En , x = 0 / Ψ · Φ(x) = λx =⇒ Φ(Ψ · Φ(x)) = λΦ(x) Algweb Considerant Φ(x) N=ot y suposem dos casos: cas 1): y = 0. Llavors Φ(x) = 0, i per tant (Ψ · Φ)(x) = 0 =⇒ 0 ´es valor propi de Ψ · Φ =⇒ η(Ψ · Φ) ≥ 1 =⇒ detn (Ψ · Φ) = 0 = detn (Ψ)detn (Φ) =⇒ detn (Φ · Ψ) = 0 =⇒ η(Φ · Ψ) ≥ 1 =⇒ 0 ´es valor propi de Φ · Ψ =⇒ 0 ´es arrel de Pc (Φ · Ψ) cas 2): y = 0. Llavors y ´es un vector propi associat a λ segons Φ · Ψ =⇒ λ ´es valor propi de Φ · Ψ =⇒ λ ´es arrel de Pc (Φ · Ψ) cas K=R: ∀λ arrel de =⇒ λ =⇒ λ =⇒ λ Pc (Ψ · Φ), considerem una certa base V d’En i la matriu A = [Ψ · Φ]V ∈ MC (n × n) ´es valor propi d’A ´es valor propi de B = [Φ · Ψ]V ∈ MC (n × n) (per l’apartat anterior) ´es arrel de Pc (Φ · Ψ) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/12 (nivell 3) Considerem l’espai vectorial de les funcions reals de variable real infinitament derivables, C ∞ (R). Definim: ϕ : C ∞ (R) −→ C ∞ (R) f −→ ϕ(f ) = Obtingueu tots els seus valors i vectors propis.
df dx Sigui f = ˜ 0, f ∈ C ∞ (R) vector propi de ϕ associat a λ ∈R. Llavors, Algweb ϕ(f ) = λf = =⇒ λdx = f1 df =⇒ λdx = 1 f df =⇒ ˆ = ln|f | λx + K =⇒ Keλx = f amb eK =⇒ f (x) = Keλx , ∀K ∈R, ∀λ ∈R ˆ = N ot K df dx Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/13 (nivell 3) Sigui A ∈ MR (3 × 3) tal que no triangula en R. Demostreu que diagonalitza en C.
Considerem Pc A[x] = (λ1 − x)(λ2 − x)(λ3 − x) tal que A no triangula en R.
Llavors, ∃i ∈ {1, 2, 3} tal que λi ∈ (C − R). Suposem, sense p`erdua de generalitat, que ´es i = 1.
Llavors, λ2 o b´e λ3 ´es λ1 . Suposem, sense p`erdua de generalitat, que λ2 = λ1 .
Algweb Llavors, λ3 ∈R (perqu`e si no, hauria d’existir λ3 , cosa que ´es impossible pel grau del polinomi) i per tant les tres arrels λ1 , λ2 , λ3 ∈C s´ on diferents, amb la qual cosa A diagonalitza en C.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/14 (nivell 3) Sigui A ∈ MR (2 × 2) que t´ e per valors propis λ1 = 1 i λ2 = 4, amb vectors propis associats ´ u v1 = (3, 1) i v2 = (2, 1) respectivament. Es ´ nica? Com que els valors propis s´ on diferents, A diagonalitza, de manera que ∃P ∈ MR (2 × 2) inversible tal que P −1 · A · P = 1 0 0 4 Algweb A m´es, coneixent els vectors propis associats, sabem que totes les P possibles s´on P = 3α α 2β β 1/α −1/β P −1 = −2/α 3/β amb α, β ∈R, α = 0 = β i aix´ı, A=P · 1 0 3α · P −1 = 0 4 α 2β 1 · β 0 0 1/α · 4 −1/β −2/α −5 = 3/β −3 18 10 Per` o tamb´e ens podr´ıem plantejar l’altre cas, on la diagonalitzaci´o fos P −1 · A · P = 4 0 0 1 i llavors tindr´ıem P = 2α α 3β β −1/α 1/β 3/α −2/β 0 −1/α · 1 1/β 3/α −2/β P −1 = amb α, β ∈R, α = 0 = β i aix´ı, A=P · 4 0 2α · P −1 = 0 1 α 3β 4 · β 0 amb la qual cosa podem veure que A ´es u ´nica.
= −5 −3 18 10 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/15 (nivell 3) Demostreu que ∀A ∈ MR (2 × 2) tal que det2 (A) < 0, ´ es diagonalitzable.
Pc A[x] = a11 − x a12 = a11 a22 − x(a11 + a22 ) + x2 − a21 a12 = x2 + xtr(A) + det2 A = 0 a21 a22 − x =⇒ x= tr(A) ± (tr(A))2 − 4det2 A 2 Algweb Com que det2 A < 0 llavors tr(A)2 − 4det2 A > 0 i per tant existeixen dues arrels reals x1 , x2 amb x1 = x2 . Aix´ı, existeixen dos valors propis diferents amb la qual cosa A diagonalitza.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/16 (nivell 3) Donades les matrius A= 0 0 a b B= 0 c 0 b A, B ∈ MK (2 × 2) Demostreu que ∀a, b, c ∈K, b = 0, existeix una matriu inversible P ∈ MK (2 × 2) tal que B = P −1 · A · P .
Pc A[x] = Algweb Pc B[x] = −x a = x(x − b) 0 b−x −x 0 = x(x − b) = Pc A[x] c b−x Aquests dos polinomis tenen com a arrels λ1 = 0 i λ2 = b = 0, i com que s´on diferents, tant A com B diagonalitzen. D’aquesta manera, ∃PA , PB ∈ MK (2 × 2) inversibles, tals que PA−1 · A · PA = 0 0 0 b PB−1 · B · PB = 0 0 0 b i i aix´ı, PA−1 · A · PA = PB−1 · B · PB Considerant PA · PB−1 = N ot =⇒ B = PB · PA−1 A · PA · PB−1 P , com que PA , PB s´ on inversibles, llavors P ´es inversible i ens queda B = P −1 · A · P Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/17 (nivell 3) Demostreu que si λ ∈K no ´ es valor propi de la matriu A ∈ MK (n × n), llavors per a qualsevol n´ umero natural r es verifica: Ker(A − λIn )r = {0}.
Siguin f, g : Kn −→ Kn tals que [f ]V = A i g = f − λId, amb V base de Kn i λ ∈K, de manera que [g]V = A − λIn .
λ no ´es valor propi de f =⇒ Ker(g) = {0} =⇒ rang(g) = n =⇒ detn ([g]V ) = 0 Algweb =⇒ detn ([g]rV ) = detrn ([g]V ) = 0 ∀r ∈N =⇒ rang(g r ) = n =⇒ Ker(g r ) = Ker([g]rV ) = {0} =⇒ Ker(A − λIn )r = {0} Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/18 (nivell 3) Sigui T ∈ LC (E3 , E3 ) i Pc (T )[λ] = (1 − λ)3 . Demostreu que existeix una base d’E3 , B = {v1 , v2 , v3 }, que verifica: (T − Id3 )i (vi ) = 0 ∀i = 1, 2, 3 Com que T ∈ LC (E3 , E3 ) llavors triangula en una certa base V = {e1 , e2 , e3 }:  Algweb 1 a [T ]V =  0 1 0 0  b c 1 Aix´ı, (T − Id)(e1 ) = T (e1 ) − e1 = 0 (T − Id)2 (e2 ) = (T − Id)(T − Id)(e2 ) = (T − Id)(T (e2 ) − e2 ) = (T − Id)(ae1 + e2 − e2 ) = = T (ae1 ) − ae1 = ae1 − ae1 = 0 (T − Id)3 (e3 ) = (T − Id)2 (T − Id)(e3 ) = (T − Id)2 (T (e3 ) − e3 ) = = (T − Id)2 (be1 + ce2 + e3 − e3 ) = b(T − Id)(T − Id)(e1 ) + c(T − Id)2 (e2 ) = 0 + 0 = 0 De manera que B pot ser qualsevol base en la que T triangula.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/19 (nivell 3) Sigui V = {e1 , e2 , ..., en } base de l’espai vectorial real En i f ∈ LR (En , En ) tal que: f (ei ) = ei+1 , i = 1, ..., n − 1 n f (en ) = − ai ei amb ai ∈ R ∀i = 1, ..., n i=1 Trobeu el polinomi caracter´ıstic de f .
 0 0 0 · · · −a1  1 0 0 · · · −a2    0 1 0 · · · −a3  [f ]V =  . . . .
..   .. .. ..
..
.  0 0 0 · · · −an  Algweb Llavors, el polinomi caracter´ıstic ser`a −x 0 0 1 −x 0 1 −x Pc f [x] = 0 ..
..
..
.
.
.
0 0 0 desenvolupant per la darrera columna, 1 −x 0 · · · 0 1 −x · · · 1 ··· Pc f [x] = (−1)n+1 (−a1 ) 0 0 ..
..
..
..
.
.
.
.
0 0 0 ··· −x 0 0 1 −x 0 0 1 +(−1)3+n (−a3 ) 0 ..
..
..
.
.
.
0 0 0 1+n = (−1) ··· ··· ··· ..
.
−a1 −a2 −a3 ..
.
· · · −an − x −x 0 0 0 1 0 0 + (−1)2+n (−a2 ) 0 0 ..
..
..
.
.
.
0 0 1 −x 0 0 ··· 1 −x 0 · · · 0 1 −x · · · ..
..
..
..
.
.
.
.
··· 0 ··· 0 · · · 0 +· · ·+(−1)j+n (−aj ) .
..
. ..
··· 1 0 0 2+n (−a1 ) + (−1) 3+n (−a2 )(−x) + (−1) ··· ··· ··· ..
.
0 0 0 + ..
.
1 [0]j−1×n−j · · · −x 0 1 −x 0 · · · 0 1 −x · · · 0 0 1 ··· ..
..
..
..
.
.
.
.
0 0 0 ··· [0]n−j×j−1 −x 0 0 1 −x 0 1 −x + · · · + (−1)2n (−an − x) 0 ..
..
..
.
.
.
0 0 0 0 ··· −x · · · 1 ··· ..
..
.
.
0 ··· 0 0 0 ..
.
0 0 0 ..
.
= · · · −x 2 (−a3 )x + · · · + (−1)j+n (−aj )(−x)j−1 + n + · · · + (−1)2n (−an − x)(−x)n−1 = (−1)n ai xi−1 + xn i=1 0 0 0 ..
.
1 + Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/20 (nivell 3) Siguin A, B ∈ MR (n × n) tals que A · B + B · A = In , i A2 = B 2 = [0]n . Demostreu que els u ´ nics valors propis de B · A s´ on 0 i 1.
Sigui λ un valor propi de B · A. llavors ∃x = 0 tal que B · A(x) = λx = (In − A · B)x = x − A · B(x) =⇒ A · B(x) = (1 − λ)x =⇒ A2 · B(x) = 0 = (1 − λ)A(x) Arribats a aquest punt tenim dues possibilitats: Algweb 1) λ = 1. Llavors x ´es un vector propi associat al valor propi 1.
2) A(x) = 0. Llavors B · A(x) = 0 = 0 · x =⇒ (B · A − 0 · In )(x) = 0 =⇒ x ´es un vector propi associat al valor propi 0.
Alternativa: A · B + B · A = In =⇒ =⇒ =⇒ B · A · B + B2 · A = B B·A·B =B B · A · B · A = (B · A)2 = B · A Aix´ı, ∀x = 0 vector propi de B · A associat a λ, tindrem que B · A(x) = λx =⇒ (B · A)2 (x) = λ2 x = B · A(x) = λx =⇒ (λ2 − λ)x = 0 =⇒ λ=1∨λ=0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/21 (nivell 3) Sigui A ∈ MR (3 × 3) tal que Pc (A)[x] = −x3 + 6x2 + x − 2. Demostreu que A ´ es inversible i calculeu A−1 .
Aplicant el Teorema de Cayley-Hamilton, Pc A[A] = −A3 + 6A2 + A − 2I3 = [0]3×3 =⇒ 1 2 2 (−A + 6A + I3 ) · A = I3 =⇒ ∃B ∈ MR (3 × 3) tal que B · A = I3 Algweb =⇒ A ´es inversible i A−1 = 21 (−A2 + 6A + I3 ) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/22 (nivell 3) Sigui A ∈ MR (n × n), tal que A2 + In = [0]n . Demostreu que: a) n ´ es un n´ umero parell i A no t´ e valors propis.
b) A no ´ es sim` etrica.
c) Si A ´ es antisim` etrica, llavors ´ es ortogonal.
d) Existeix una matriu B ∈ MC (n×n), inversible, tal que B −1 ·A·B ´ es una matriu diagonal.
a) Fixem-nos que −In = A2 . Llavors, prenent determinants a banda i banda, detn (−In ) = (−1)n = detn (A2 ) = det2n (A) ≥ 0 =⇒ (−1)n ≥ 0 Algweb cosa que implica que n ´es parell.
Per veure que no t´e valors propis procedirem per reducci´o a l’absurd. Suposem que λ ∈R ´es valor propi d’A associat al vector propi x = 0. Llavors, Ax = λx. Si ara apliquem A a banda i banda, A2 x = −In x = −x = λAx = λ2 x =⇒ (λ2 + 1)x = 0 i l’´ unica possibilitat que tenim ´es que λ2 + 1 = 0, per` o llavors, λ ∈R, / cosa que contradiu la nostra hip`otesi. Per tant, A no t´e valors propis.
b) Tamb´e ho veurem per reducci´ o a l’absurd. Suposem que A ´es sim`etrica. Llavors, A · AT = A2 = −In .
Si ara reprodu¨ım aquest resultat per components, amb la notaci´ o B = A · AT , n aik ajk = −δij bij = ∀i, j = 1, ..., n k=1 En concret, per a i = j, n bii = n a2ik = −1 ∀i = 1, ..., n aik aik = k=1 k=1 n a ser −1. Aquesta ´es la contradicci´ o que fa que la nostra hip` otesi Per` o k=1 a2ik ≥ 0, per tant mai podr` sigui falsa, de manera que A no ´es sim`etrica.
c) Suposem que AT = −A. Llavors, composant per l’esquerra per A, A · AT = −A2 = In amb la qual cosa queda vist que A ´es ortogonal.
d) Considerant A ∈ MC (n × n), hem vist a l’apartat a) que els u ´nics valors propis possibles s´on i i −i. Llavors, com que Pc A[x] ´es a coeficients reals, les multiplicitats dels dos valors propis han de coincidir, obtenint n n Pc A[x] = (i − x) 2 (−i − x) 2 D’aquesta manera, {A diagonalitza} ⇐⇒ dimC Ker(A − iIn ) = dimC Ker(A + iIn ) = n 2 n 2 ⇐⇒ Ker(A − iIn )2 = Ker(A − iIn ) Ker(A + iIn )2 = Ker(A + iIn ) Veiem aquestes dues u ´ltimes condicions: 1) Ker(A − iIn )2 = Ker(A − iIn ) 1.1.) Ker(A − iIn )2 ⊂ Ker(A − iIn ) ∀x ∈ Ker(A − iIn )2 , (A − iIn )2 x = (A − iIn )(A − iIn )x = 0 =⇒ (A2 − iA − iA − In2 )x = 0 =⇒ (A2 − 2iA − In )x = 0 =⇒ −2(iA + In )x = 0 =⇒ −2i(A − iIn )x = 0 =⇒ (A − iIn )x = 0 =⇒ x ∈ Ker(A − iIn ) Algweb 1.2.) Ker(A − iIn ) ⊂ Ker(A − iIn )2 ∀x ∈ Ker(A − iIn ), (A − iIn )x = 0 =⇒ (A − iIn )(A − iIn )x = (A − iIn )2 x = (A − iIn )0 = 0 =⇒ x ∈ Ker(A − iIn )2 2) Ker(A + iIn )2 = Ker(A + iIn ) 2.1.) Ker(A + iIn )2 ⊂ Ker(A + iIn ) ∀x ∈ Ker(A + iIn )2 , (A + iIn )2 x = (A + iIn )(A + iIn )x = 0 =⇒ (A2 + iA + iA − In2 )x = 0 =⇒ (A2 + 2iA − In )x = 0 =⇒ 2(iA − In )x = 0 =⇒ 2i(A + iIn )x = 0 =⇒ (A + iIn )x = 0 =⇒ x ∈ Ker(A + iIn ) 2.2.) Ker(A + iIn ) ⊂ Ker(A + iIn )2 ∀x ∈ Ker(A + iIn ), (A + iIn )x = 0 =⇒ (A + iIn )(A + iIn )x = (A + iIn )2 x = (A + iIn )0 = 0 =⇒ x ∈ Ker(A + iIn )2 Per tant A diagonalitza i llavors ∃B ∈ MC (n × n), inversible, tal que B −1 · A · B ´es una matriu diagonal.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/23 (nivell 3) Donat un cert En , C-espai vectorial, donats f, g ∈ LC (En , En ) tals que f · g = g · f , comproveu que: a) Si λ ´ es un valor propi de f i Vf (λ) el subespai de vectors propis associats a λ, llavors g(Vf (λ)) ⊂ Vf (λ) Algweb b) Existeix un vector propi com´ u a f i g.
c) Si a m´ es es verifica que: σ(f ) = {λ1 , ..., λn } amb λi = λj i = j σ(g) = {µ1 , ..., µn } amb µi = µj i = j llavors existeix una base d’En de vectors propis per a f i g alhora.
a) ∀y ∈ g(Vf (λ)) ∃x ∈ Vf (λ) / y = g(x). Llavors, f (y) = f (g(x)) = (f · g)(x) = (g · f )(x) = g(λx) = λg(x) = λy i per tant, y ∈ Vf (λ) b) Acabem de veure que Vf (λ) ´es un subespai invariant per a g. Suposant dimC Vf (λ) = r, considerem la restricci´ o de g sobre Vf (λ), g : g : Vf (λ) −→ Vf (λ) = g(x) x −→ g (x) def Llavors, g ∈ LC (Vf (λ), Vf (λ)) triangula, de manera que ∃V = {w1 , ..., wr }, base de Vf (λ) tal que   [g ]V =   µ1 ..
0   ∈ MC (r × r) .
µr En particular, g (w1 ) = g(w1 ) = µ1 w1 . Per`o a m´es w1 ∈ Vf (λ), i llavors f (w1 ) = λw1 , de manera que aquest ´es un vector propi com´ u als dos endomorfismes.
c) Considerem σ(f ) amb tots els valors propis diferents. llavors, f diagonalitza ja que dimC Vf (λi ) = 1 ∀i = 1, ..., n. I sigui B = {e1 , ..., en } una base en la que f diagonalitza. Segons el primer apartat, es verifica g(Vf (λi )) ⊂ Vf (λi ) ∀i = 1, ..., n Considerant Vf (λi ) =< ei >C tindrem que g(ei ) = αi ei ∀i = 1, ..., n, i per tant ei ´es vector propi per a g associat a αi , ∀i = 1, ..., n. Aix´ı, existeix una base d’En , B = {e1 , ..., en } de vectors propis per a g, amb la qual cosa g diagonalitza en la mateixa base que ho fa f (i a m´es αi = µi , ∀i = 1, ..., n).
(Nota: Per a la resoluci´ o d’aquest darrer apartat hem prescindit de σ(g)) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/24 (nivell 3) Sigui A ∈ MC (n × n). Definim: f : MC (n × n) −→ MC (n × n) B −→ f (B) = A · B a) Demostreu que els valors propis d’A i f coincideixen.
b) Demostreu que, si λ ´ es valor propi d’A, llavors es verifica dimC Vf (λ) ≥ n · dimC VA (λ) c) Demostreu que, si A ´ es diagonalitzable, llavors f tamb´ e ho ´ es.
Algweb d) Sigui A= 2 1 −2 5 Justifiqueu que A ´ es diagonalitzable i trobeu una base de MC (2 × 2) en la qual diagonalitzi l’endomorfisme f .
a) El que volem demostrar ´es: λ ´es valor propi d’A ⇐⇒ λ ´es valor propi de f ⇐=) ´ a dir que, per columnes, Si λ ´es valor propi de f , llavors ∃B = [0]n tal que f (B) = λB = A · B. Es    b1k b1k .
.
A ·  ..  = λ  ..   bnk ∀k = 1, ..., n bnk Prenent la notaci´ o bk = (b1k , ..., bnk ), veiem que Abk = λbk ∀k = 1, ..., n. I com que B = [0]n llavors sabem que ∃k ∈ {1, ..., n} tal que bk = 0, de manera que λ ´es valor propi per a A.
=⇒) Si λ ´es valor propi per a A, llavors ∃x ∈Cn , x = 0 tal que Ax = λx. Definim ara Bj  = def  ↑ ↑ ↑  0 x 0  ∈ MC (n × n) Bj = [0]n ↓ ↓ ↓ (on el vector x ocupa la columna j-`essima) ∀j = 1, ..., n D’aquesta manera      ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ f (Bj ) = A · Bj = A ·  0 x 0  =  0 Ax 0  =  0 λx 0  = λBj ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓  ∀j = 1, ..., n i aix´ı λ ´es valor propi per a f .
b) Suposem dimC VA (λ) = r i {v1 , ..., vr } Definim:  ↑ = 0 Bji def ↓ una base de VA (λ), de manera que Avi = λvi ∀i = 1, ..., r.
 ↑ ↑ vi 0  ∀j = 1, ..., n ↓ ↓ (on el vector vi ocupa la columna j-`essima) Llavors < Bji , i = 1, ..., r, j = 1, ..., n >C ⊂ Vf (λ) i ´es un conjunt de n · r vectors linealment independent.
Per tant, dimC Vf (λ) ≥ n · r = n · dimC VA (λ).
Algweb c) Siguin λ1 , ..., λm els valors propis d’A amb m ≤ n. Com que A diagonalitza tindrem que VA (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ VA (λm ) =Cn , i es verificar` a que dimC VA (λk ) = dk ∀i = 1, ..., m (on dk ´es la multiplicitat de λk ).
Considerem les bases Ck = {v1k , ..., vdkk } de cada subespai VA (λk ), ∀k = 1, ..., m i definim  k Dij = def ↑ 0 ↓ ↑ vik ↓  ↑ 0 ↓ (on el vector vik ocupa la columna j-`essima) k Llavors M =< Dij , i = 1, ..., dk , j = 1, ..., n, k = 1, ..., m >C est`a format per vectors propis per a f i t´e dimensi´o n · (d1 + d2 + · · · + dm ) = n2 , de manera que M = MC (n × n). Llavors f diagonalitza.
d) Pc A[x] = (4 − x)(3 − x), VA (4) =< (1, −1) >C , VA (3) =< (2, −1) >C . Segons els apartats anteriors, la base de vectors propis per a f ´es 1 −1 0 0 1 2 0 0 2 , , , 0 0 −1 −1 0 0 −1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/25 (nivell 3) Siguin x, y ∈Rn . Definim B = [x] · [y]T ∈ MR (n × n). Es demana a) Trobar els valors propis de B b) Determinar en quins casos B ´ es diagonalitzable i obtenir, en aquests casos, la matriu de canvi a la forma diagonal.
a) Considerant x = (x1 , ..., xn ) i y = (y 1 , ..., y n ), llavors  x1 .
B = [x] · [y]T =  ..  · [ y 1 xn   x1 y 1  · · · y n ] =  ...
xn y 1  · · · x1 y n ..  ..
.
.  · · · xn y n Algweb B = (bij ) ´es tal que bij = xi y j ∀i, j = 1, ..., n, de manera que rang(B) ≤ 1 (qualsevol fila ´es combinaci´o lineal de y i qualsevol columna ´es combinaci´ o lineal de x). Considerem els dos u ´nics casos possibles: cas 1): rang(B) = 0. Aix` o passa si i nom´es si x = 0 ∨ y = 0. Llavors B = [0]n i λ = 0 ´es l’´ unic valor propi possible.
cas 2): rang(B) = 1. Aix` o passa si i nom´es si x = 0 ∧ y = 0. Llavors η(B) = n − 1 = dimR VB (0), i per tant λ = 0 ´es valor propi. Aix`o ens indica que Pc B[x] = (0 − x)n−1 (µ − x), amb µ ∈R. Quant val µ? Fixem-nos que, si µ ´es valor propi, existeix un cert z ∈Rn , z = (z 1 , ..., z n ) = 0 vector propi associat tal que Bz = µz. O, en la notaci´ o de l’enunciat,  1  1  1 x z x n n .
.
.
yi zi = y i z i [x] = µ[z] B[z] = [x] · [y]T · [z] =  ..  · [ y 1 · · · y n ] ·  ..  =  ..  i=1 xn i=1 zn xn µ= I en aquest cas, si fem z = x = 0 les coses encaixen. De manera que x ´es un vector propi associat a n i i ı, Pc B[x] = (0 − x)n−1 (tr(B) − x).
i=1 x y = tr(B), valor propi. I aix´ Distingirem dos subcasos possibles: cas 2.1) tr(B) = 0 cas 2.2) tr(B) = 0 b) Seguirem la casu´ıstica exposada a l’anterior apartat per fer la discussi´o en cada cas.
´ a dir que ∀P ∈ MR (n × n), cas 1) B = [0]n , i per tant diagonalitza en qualsevol matriu de canvi. Es −1 inversible, P · B · P ´es diagonal (de fet, sempre ´es la mateixa B).
cas 2) cas 2.1) Com que tr(B) = 0 llavors Pc B[x] = (0 − x)n i la multiplicitat del valor propi 0 ´es n.
En canvi, per estar en el cas rang(B) = 1 tenim que η(B) = dimR (B − 0In ) = dimR VB (0) = n − 1, que no coincideix amb aquesta multiplicitat, i per tant B no diagonalitza.
cas 2.2) Com que tr(B) = 0 podem garantir que diagonalitza, ja que 1 ≤ dimR VB (tr(B)) ≤ d (on d ´es la multiplicitat de tr(B), que en aquest cas val 1). Per trobar la matriu de canvi, calculem primer els vectors de KerB. ∀u ∈ KerB, u = (u1 , ..., un ) n B[u] = [x] · [y]T · [u] = y i ui [x] = 0 i=1 n Per` o com que estem en el cas x = 0, llavors i=1 y i ui = 0. I d’aquest sistema d’equacions obtenim n − 1 vectors linealment independents de KerB, que anomenarem u1 , ..., un−1 .
Pel que fa a l’altre vector propi associat a tr(B), ja hem vist a l’apartat anterior que era x, de manera que VB (tr(B)) =< x >R , i per tant,  ↑ P =  u1 ↓ ↑ · · · un−1 ↓  ↑ x ↓ Algweb i ´es tal que   P −1 · B · P =   0  ..
.
   0 tr(B) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/26 (nivell 3) Sigui A ∈ MC (n × n). Essent λ1 , ..., λn les arrels complexes (iguals o diferents) del seu polinomi caracter´ıstic, proveu que per a qualsevol polinomi p(x), es verifica: Tra¸ca(p(A)) = p(λ1 ) + p(λ2 ) + · · · + p(λn ) detn (p(A)) = p(λ1 ) · p(λ2 ) · · · p(λn ) Considerem Pc A[x] = (λ1 − x)(λ2 − x) · · · (λn − x) el polinomi caracter´ıstic d’A, i sigui p(x) = p0 + p1 x + · · · + pr xr un polinomi de grau r ∀r ∈N. Llavors, Algweb p(A) = p0 In + p1 A + p2 A2 + · · · + pr Ar Com que A ∈ MC (n × n), llavors A ´es triangulable, ´es a dir, ∃B ∈ MC (n × n), inversible, tal que B −1  λ1  ..
·A·B = 0 .
 = N ot T =⇒ A = B · T · B −1 λn i llavors, observant que (B · T · B −1 )s = (B · T · B −1 )(B · T · B −1 ) · · · (B · T · B −1 ) = B · T s · B −1 ∀s ∈N, p(A) = p0 B · In · B −1 + p1 B · T · B −1 + p2 B · T 2 · B −1 + · · · + pr B · T r · B −1 = B · p(T ) · B −1 Aleshores, com que la relaci´ o entre p(A) i p(T ) ´es segons un canvi de base, es verificar`a que tr(p(A)) = tr(p(T )) i detn p(A) = detn p(T ). Mirem com ens queda p(T ):  1  ..
p(T ) = p0  0  λ1  ..
+p1  .
1 0  +p2   .
λn λ21  ..
0 .
λ2n  λr1   +· · ·+pr  ..
0 i aix´ı, tr(p(T )) = tr(p(A)) = p(λ1 ) + p(λ2 ) + · · · + p(λn ) i detn p(T ) = detn p(A) = p(λ1 ) · p(λ2 ) · · · p(λn )  .
λrn    =  p(λ1 ) ..
0   .
p(λn ) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 9/27 (nivell 3) Sigui A ∈ MC (n × n), una matriu m` agica (veure exercici 4/14) de par` ametre s.
a) Comproveu que s ´ es arrel de Pc A[x].
n b) Verifiqueu que si σ(A) = {λ1 , ..., λn } llavors i=1 λi = s.
c) Diagonalitzeu, si ´ es possible, la matriu m` agica de Mosc` opul (s.XVI): 1  12  8 13  14 7 11 2 15 6 10 3  4 9   5 16 a) Considerem el polinomi caracter´ıstic d’A: Algweb a11 − x a12 ··· a1n n−1 a21 a22 − x · · · a2n = · · · [n]f + [i]f Pc A[x] = ..
..
..
..
.
.
.
.
i=1 an1 an2 · · · ann − x a11 − x a12 · · · a1n a21 a22 − x · · · a2n = ··· = ..
..
..
..
.
.
.
.
s−x s − x ··· s − x a11 − x a12 · · · a1n a21 a22 − x · · · a2n = (s − x) ..
..
..
..
.
.
.
.
1 1 ··· 1 I amb aix`o ja n’hi ha prou per verificar que s ´es una arrel de Pc A[x].
b) Fixem-nos que A triangula, de manera que la diagonal, que tamb´e val s.
n i=1 λi = tr(A). Per`o tr(A) ´es la suma dels elements de c) Calculem el seu polinomi caracter´ıstic: 1−x 14 15 4 1−x 14 15 4 12 7−x 6 9 12 7−x 6 9 = = 8 11 10 − x 5 8 11 10 − x 5 34 − x 34 − x 34 − x 34 − x 13 2 3 16 − x +[1] + [2] + [3] 1−x 14 15 12 7−x 6 = (34 − x) 8 11 10 − x 1 1 1 +[3] − 2[4] 1 0 = (34 − x)(8 − x) 1 0 14 15 7−x 6 11 10 − x 1 1 8−x 14 15 4 0 7−x 6 9 = (34 − x) 8−x 11 10 − x 5 0 1 1 1 4 9 = (34 − x)(8 − x) 5 −[1] 1 4 9 = 5 1 1 14 15 0 7−x 6 0 −3 −5 − x 0 1 1 −[4] − [4] 4 9 = 1 1 1 10 11 0 −2 − x −3 = (34 − x)(8 − x) 0 −4 −6 − x 0 0 0 4 9 −9[4] = (34 − x)(8 − x) 1 −[4] 1 1 10 11 0 −2 − x −3 0 −4 −6 − x 0 0 0 4 0 = 0 1 = (34 − x)(8 − x)((2 + x)(6 + x) − 12) = (34 − x)(8 − x)(12 + 8x + x2 − 12) = (34 − x)(8 − x)(−8 − x)(0 − x) λ1 = 34     −33 14 15 4 x 0 6 9 y  0  12 −27    =   8 11 −24 5 z 0 13 2 3 −18 t 0  =⇒ x = y = z = t, ∀t ∈C =⇒ VA (34) =< (1, 1, 1, 1) >C λ2 = 8 −7 14  12 −1  8 11 13 2      15 4 x 0 6 9y  0   =   2 5 z 0 3 8 t 0 Algweb =⇒ y = 0, x = z = −t/2, ∀t ∈C =⇒ VA (8) =< (1, 0, 1, −2) >C λ3 = −8 9 14 15  12 15 6  8 11 18 13 2 3      4 x 0 9 y  0   =   5 z 0 24 t 0 =⇒ z = 0, x − 2t, y = t, ∀t ∈C =⇒ VA (−8) =< (−2, 1, 0, 1) >C λ4 = 0 1 14 15  12 7 6  8 11 10 13 2 3      4 x 0 9 y  0   =   5 z 0 16 t 0 =⇒ x = −t, y = 3t, z = −3t, ∀t ∈C =⇒ VA (0) =< (−1, 3, −3, 1) >C Aix´ı, la matriu P de canvi de base ser` a  1 1 −2 −1 1 3  1 0 P =  1 1 0 −3 1 −2 1 1  de manera que  34 0 0 0  0 8 0 0 P −1 · A · P =   0 0 −8 0 0 0 0 0  Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/01 (nivell 3) ` Sigui (En , < | >), espai euclidi` a real i T ∈ LR (En , En ) operador ANTISIMETRIC (´ es a dir, tal t que T = −T ).
a) Donada una base ortonormal D de (En , < | >), justifiqueu que [T ]D ´ es antisim` etrica.
b) Comproveu que T ´ es antisim` etric si i nom´ es si ∀x ∈ En , < x|T (x) >= 0.
c) Trobeu els valors propis d’un operador antisim` etric.
d) Si T ´ es antisim` etric, demostreu que: ∀x ∈ KerT , ∀y ∈ ImT , < x|y >= 0 e) Comproveu que si T ´ es antisim` etric i inversible, llavors la dimensi´ o de l’espai euclidi` a En ha de ser parella.
Algweb f ) Si T ´ es antisim` etric i dimR (En ) = 3, proveu que existeix un vector a ∈ En , tal que ∀x ∈ En T (x) = x ∧ a g) Siguin T0 , T1 ∈ LR (En , En ), T0 operador antisim` etric i T1 operador sim` etric. Comproveu que tr(T0 · T1 ) = 0 a) Sabem que per a qualsevol base V d’En , es verifica la relaci´ o, [t T ]TV = [< | >]V [T ]V [< | >]−1 V Si V ´es la base ortonormal D, [t T ]TD = [T ]D i si T ´es antisim`etric, [−T ]TD = −[T ]TD = [T ]D i aix´ı [T ]D ´es antisim`etrica.
b) =⇒) Si T ´es antisim`etric, −T =t T i llavors, ∀x ∈ En < x|T (x) >=< t T (x)|x >=< −T (x)|x >= − < x|T (x) > =⇒ 2 < x|T (x) >= 0 =⇒ < x|T (x) >= 0 ⇐=) ∀x, y ∈ En , 0 =< T (x + y)|x + y >=< T (x)|x > + < T (x)|y > + < T (y)|x > + < T (y)|y >= =< T (x)|y > + < T (y)|x >=< x|t T (y) > + < T (y)|x >=< x|(t T + T )(y) > i com que aquest resultat ´es cert ∀x, y ∈ En , llavors T +t T = ˜0, de manera que antisim`etric.
t T = −T i aix´ı T ´es c) Sigui λ ∈R un valor propi de T i sigui x ∈ En , x = 0 un vector propi associat. Llavors 0 =< T (x)|x >< λx|x >= λ < x|x >= λ||x||2 Com que x = 0, llavors ||x|| = 0 i per tant, λ = 0.
d) ∀x ∈ KerT , ∀y ∈ ImT, ∃z ∈ En tal que T (z) = y, < x|y >=< x|T (z) >=< t T (x)|z >=< −T (x)|z >= − < T (x)|z >= 0 e) Com que T ´es antisim`etric, =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ t T = −T detn (t T ) = detn (−T ) = (−1)n detn (T ). I com que detn (t T ) = detn (T ), detn (T ) = (−1)n detn (T ) detn (T )(1 − (−1)n ) = 0. I com que T ´es inversible, (−1)n = 1 n ´es parell.
Algweb f ) Sigui D = {e1 , e2 , e3 } una base ortonormal d’E3 matriu associada a T en aquesta base:  0 [T ]D =  −a −b i x un vector qualsevol d’E3 . Suposem la seg¨ uent  a b 0 c −c 0 Amb les notacions xD = (x1 , x2 , x3 ), aD = (a1 , a2 , a3 ), tenim T (x)D = (ax2 + bx3 , −ax1 + cx3 , −bx1 − cx2 ) x ∧ aD = (x2 a3 − x3 a2 , x3 a1 − x1 a3 , x1 a2 − x2 a1 ) Si igualem les coordenades,  2 3 2 3 3 2   ax + bx = x a − x a −ax1 + cx3 = x3 a1 − x1 a3   −bx1 − cx2 = x1 a2 − x2 a1 que reescrit matricialment,  0  a3 − a −b − a2 a − a3 0 a1 − c  1    b + a2 x 0 c − a1   x2  =  0  0 x3 0 I com que ha de ser cert ∀x ∈ E3 , tenim que la matriu principal d’aquest sistema ha de ser nul·la, i per tant, aD = (c, −b, a).
g) Sigui D base ortonormal d’En . llavors, [T0 ]D ´es antisim`etrica i [T1 ]D ´es sim`etrica. Llavors tr(T0 · T1 ) = tr([T0 · T1 ]D ) = tr([T0 · T1 ]TD ) = tr([T1 ]TD · [T0 ]TD ) = tr([T1 ]D · (−[T0 ]D )) = = −tr([T1 ]D · [T0 ]D ) = −tr([T0 ]D · [T1 ]D ) = −tr([T0 · T1 ]D ) = −tr(T0 · T1 ) =⇒ 2tr(T0 · T1 ) = 0 =⇒ tr(T0 · T1 ) = 0 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/02 (nivell 3) Donada una matriu A ∈ MC (n × n), direm que ´ es HERMITIANA, si A = A∗ .
a) Justifiqueu que si A ´ es hermitiana i inversible, llavors A−1 ´ es hermitiana.
b) Justifiqueu que si A ´ es hermitiana, llavors ∀i = 1, ..., n aii ∈R.
c) Justifiqueu que si A ´ es hermitiana i triangular, llavors ´ es diagonal.
d) Justifiqueu que si A ´ es hermitiana, llavors AT i A s´ on hermitianes.
e) Justifiqueu que si A i B s´ on hermitianes, llavors A + B ´ es hermitiana.
f ) Justifiqueu que si A i B s´ on hermitianes i commuten, llavors A · B ´ es hermitiana.
a) Com que A ´es inversible, A · A−1 = In (A · A−1 )∗ = In∗ = In (A−1 )∗ · A∗ = In (A∗ )−1 = (A−1 )∗ A−1 = (A−1 )∗ A−1 ´es hermitiana.
Algweb =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ b) Considerarem A = (aij ) i A∗ = (a∗ij ) amb a∗ij = aji ∀i, j = 1, ..., n. Com que A ´es hermitiana aij = aji ∀i, j = 1, ..., n. En concret, per a i = j, ajj = ajj ∀j = 1, ..., n. Com que els coeficients d’A s´ on complexos, considerarem ajj = bj + icj bj , cj ∈ R ∀j = 1, ..., n Si ajj = ajj llavors bj + icj = bj − icj , i per tant cj = 0, cosa que implica que ajj = bj ∈R ∀j = 1, ..., n.
c) Si A = (aij ) ´es triangular (posem triangular superior), aij = 0 ∀i, j = 1, ..., n, i > j. Per` o a∗ij = aji = aij , i llavors, aij = 0 ∀i, j = 1, ..., n, i > j =⇒ aji = 0 ∀i, j = 1, ..., n, i > j =⇒ aji = 0 ∀i, j = 1, ..., n, i > j =⇒ aij = 0 ∀i, j = 1, ..., n, i = j, i per tant A ´es diagonal.
d) (AT )∗ = (AT )T = A = A∗ = (AT ) = AT . I per tant AT ´es hermitiana.
(A)∗ = (A)T = A∗ = A. I per tant A ´es hermitiana.
e) (A + B)∗ = (A + B)T = AT + B T = AT + B T = A∗ + B ∗ = A + B. I per tant, A + B ´es hermitiana.
f ) (A · B)∗ = (A · B)T = B T · AT = B T · AT = B ∗ · A∗ = B · A = A · B. I per tant, A · B ´es hermitiana.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/03 (nivell 3) Sigui l’espai euclidi` a complex(En , < | >), amb W , un cert subespai vectorial.
LC (En , En ), operador. Justifiqueu que: a) Si T (W ) ⊂ W =⇒ ∗ T (W ⊥ ) ⊂ W ⊥ b) Si ∗ T = T i T (W ) ⊂ W =⇒ T (W ⊥ ) ⊂ W ⊥ a) ∀y ∈∗ T (W ⊥ ) ∃x ∈ W ⊥ tal que ∗ T (x) = y. Llavors, ∀z ∈ W , < z|y >=< z|∗ T (x) >=< T (z)|x >= 0 Algweb aix` o ´es aix´ı ja que T (z) ∈ W i x ∈ W ⊥ .
b) Aquest cas ´es exactament igual que l’anterior, per`o considerant T =∗ T .
Sigui T ∈ Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/04 (nivell 3) Sigui Rn , n > 2, amb el producte escalar can` onic, i siguin v1 , ..., vn−1 ∈Rn . Sigui l’aplicaci´ o n Φ :R −→ R donada per Φ(w) = detn (v1 , ..., vn−1 , w).
a) Demostreu que Φ ∈ (Rn )∗ .
b) Demostreu que existeix un u ´ nic v ∈Rn tal que ∀w ∈ Rn , < w|v >= Φ(w).
L’´ unic v ∈Rn donat per b) s’anomena producte vectorial de v1 , ..., vn−1 i el denotarem per v = v1 ∧ · · · ∧ vn−1 c) Demostreu que v ∈< v1 , ..., vn−1 >⊥ R.
Algweb d) Demostreu que el vector v = v1 ∧ · · · ∧ vn−1 = 0 si i nom´ es si v1 , ..., vn−1 s´ on linealment = {v , ..., v independents. Dedu¨ıu que si v1 ∧ · · · ∧ vn−1 = 0, llavors B def , v ∧ · · · ∧ v es base de 1 n−1 1 n−1 } ´ Rn .
a) Sabem que detn ´es una forma lineal per a cada component, per tant, ser` a una forma lineal si deixem ´ a dir, ∀x, y ∈Rn , ∀λ ∈R, una sola component lliure. Es Φ(λx + y) = detn (v1 , ..., vn−1 , λx + y) = λdetn (v1 , ..., vn−1 , x) + detn (v1 , ..., vn−1 , y) = λΦ(x) + Φ(y) i per tant, Φ ∈ (Rn )∗ .
b) Recordem l’isomorfisme can` onic Ψ existent entre Rn i el seu dual: Ψ : Rn −→ (Rn )∗ z −→ Ψ(z) = α =< |z > Per ser isomorfisme, existeix Ψ−1 i ser` a Ψ−1 : Rn −→ (Rn )∗ α −→ Ψ−1 (α) = z / α =< |z > Com que Ψ−1 ´es bijectiva i Φ ∈ (Rn )∗ , sabem que ∃!v ∈Rn tal que Ψ−1 (Φ) = v, i aquest vector ha de ser tal que Φ =< |v >. I llavors, ∀w ∈Rn es verificar`a que Φ(w) = (< |v >)(w) =< w|v >.
c) ∀i = 1, ..., n − 1, < v|vi >= Φ(vi ) = detn (v1 , ..., vn−1 , vi ) = 0 i per tant, v ∈< v1 , ..., vn−1 >⊥ R.
d) ⇐=) Ho demostrarem per reducci´ o a l’absurd. Definim F =< v1 , ..., vn−1 >R amb dimR F = n − 1 i ampliem aquest subespai amb G =< w >R de manera que F ⊕G =Rn . Llavors, {v1 , ..., vn−1 , w} formen base de Rn . Si ara considerem que v = 0, llavors < w|v >= 0, per`o < w|v >= Φ(w) = detn (v1 , ..., vn−1 , w) = 0 perqu`e els n vectors s´on linealment independents. Aquesta contradicci´o l’hem obtingut considerant que v = 0, per tant, v = 0.
=⇒) v = 0 =⇒ ||v||2 = 0 =⇒ 0 =< v|v >= Φ(v) = detn (v1 , ..., vn−1 , v) =⇒ {v1 , ..., vn−1 , v} s´ on linealment independents (i {v1 , ..., vn−1 } tamb´e), formant aix´ı una base de Rn .
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/05 (nivell 3) Sigui (En , < | >) un K-espai euclidi` a i T un operador definit sobre En . Comproveu que: a) t T i T tenen els mateixos valors propis (amb K=R).
on els valors propis de ∗ T b) Si {λ1 , ..., λn } s´ on els valors propis de T , llavors {λ1 , ..., λn } s´ (amb K=C).
Algweb Suposem que T ´ es ortogonal (amb K=R).
c) Si λ ´ es valor propi de T , llavors |λ| = 1.
d) |detn (T )| = 1 Suposem que T ´ es unitari (amb K=C).
e) Si λ ´ es valor propi de T , llavors t´ e m` odul unitat.
f ) El m` odul de detn (T ) ´ es igual a 1.
Per a tot l’exercici considerarem D una base ortonormal d’En .
a) λ ´es valor propi de T ⇐⇒ λ ∈R i 0 = Pc T [λ] = detn (T −λId) = detn ([T −λId]D ) = detn ([T −λId]TD ) = detn ([T ]TD − λIn ) = detn ([t T ]D − λIn ) = detn ([t T − λId]D ) = detn (t T − λId) = Pc t T [λ] ⇐⇒ λ ´es valor propi de t T b) Sigui λ un valor propi de T =⇒ 0 = Pc T [λ] = detn (T − λId) = detn ([T − λId]D ) Fixem-nos ara que si A ∈ MC (n × n) ´es tal que detn A = 0, llavors detn A∗ = 0. Per tant, 0 = detn ([T − λId]∗D ) = detn ([T ]∗D − λIn ) = detn (∗ T − λIn ) = Pc ∗ T [λ] ⇐⇒ λ ´es valor propi de ∗ T c) Sigui λ valor propi de T associat a x ∈ En , x = 0. Com que T ´es ortogonal, ∀z ∈ En es verifica ||T (z)|| = ||z||. En concret, fent z = x, ||T (x)|| = ||x|| = ||λx|| = |λ| · ||x|| =⇒ (|λ| − 1)||x|| = 0 =⇒ |λ| = 1 d) Com que T ´es ortogonal, es verifica t T · T = Id. Llavors, prenent determinants a banda i banda, 1 = detn (Id) = detn (t T · T ) = detn (t T ) · detn (T ) = detn ([t T ]D ) · detn (T ) = detn ([T ]TD ) · detn (T ) = detn ([T ]D ) · detn (T ) = detn (T 2 ) = det2n (T ) =⇒ |detn (T )| = 1.
e) Sigui λ valor propi de T associat a x ∈ En , x = 0. Com que T ´es unitari, ∀z ∈ En es verifica ||T (z)|| = ||z||. En concret, fent z = x, ||T (x)|| = ||x)|| = ||λx|| = |λ| · ||x|| =⇒ (|λ| − 1)||x|| = 0 =⇒ |λ| = 1 f) Com que T ´es unitari, es verifica ∗ T · T = Id. Llavors, prenent determinants a banda i banda, 1 = detn (Id) = detn (∗ T · T ) = detn (∗ T ) · detn (T ) = detn ([∗ T ]D ) · detn (T ) = detn ([T ]∗D ) · detn (T ) = detn ([T ]D ) · detn (T ) ( ( Algweb =⇒ |detn T )|2 = 1 =⇒ |detn T )| = 1.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/06 (nivell 3) Classifiqueu tots els operadors ortogonals sobre R3 .
Sigui (R3 , < | >) un espai euclidi`a real i T : R3 −→R3 , un operador ortogonal, ´es a dir, tal que T −1 =t T (i per tant, operador normal real).
Per classificar tots aquests operadors caldr` a discutir el car` acter de les arrels del seu polinomi caracter´ıstic.
Arrels del Pc T [x] Interpretaci´o i matrius associades Les tres arrels s´ on reals.
Identitat   1 0 0 [T ]D =  0 1 0  0 0 1 Llavors, existeix una base ortonormal D en la que T diagonalitza.
Algweb  Una arrel t´e part imagin` aria no nul·la. Llavors, existeix −1 [T ]D =  0 0 pla Y Z b = sin α pla XZ   1 0 0 0 [T ]D =  0 −1 0 0 −1 eix X Simetries  −1 [T ]D =  0 0  0 0 1 0 0 −1 pla XY Axials  0 0 1 0 0 −1 eix Y   −1 0 0 [T ]D =  0 −1 0  0 0 1 eix Z Simetria Central   −1 0 0 0 [T ]D =  0 −1 0 0 −1 Rotacions d’angle α     a b 0 a 0 b 1 0 0 a b  [T ]D =  0 1 0  [T ]D =  −b a 0  [T ]D =  0 0 0 1 −b 0 a 0 −b a  una base ortonormal D en la que T pren la forma can` onica.
a = cos α Simetries Especulars    1 1 0 0 0 0 1 0  [T ]D =  0 −1 0  [T ]D =  0 0 0 0 1 0 1   eix X eix Y eix Z Rotacions d’angle α + Simetria Especular      a b 0 a 0 b −1 0 0 0 a b  [T ]D =  0 −1 0  [T ]D =  −b a [T ]D =  0 0 0 −1 −b 0 a 0 −b a  pla Y Z pla XZ pla XY Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/07 (nivell 3) Sigui B = {e1 , e2 , e3 , e4 } base ortonormal de (R4 , < | >). Sigui f ∈ S2 (R4 , R), definida per 1 1 1 [f ]B =  2 1 1  1 1 −1 −1 1 −1 1 −1  1 −1   −1 1 a) Pel m` etode de la reducci´ o Gaussiana, trobeu una base V en la qual la matriu associada a f sigui diagonal.
b) Trobeu una base ortonormal D en la qual la matriu associada a f tamb´ e sigui diagonal.
Algweb a) [i]f − [1]f , ∀i = 2, 3, 4 columnes) [2]f + [3]f ∧ ∧ [i]c − [1]c , ∀i = 2, 3, 4 (a la fila i li restem la primera, i fem el mateix per  1/2 0 0 0 0 −1 −1   0   0 −1 0 −1 0 −1 −1 0  [2]c + [3]c [3]f − 1/2[2]f , [4]f − [2]f  1/2 0 0 0  0 −2 −1 −2    0 −1 0 −1 0 −2 −1 0  ∧ [3]c − 1/2[2]c , [4]c − [2]c 1/2 0  0 −2  0 0 0 0  0 0 1/2 0  0 0  0 2 Si ara apliquem totes les operacions de fila a I4 obtenim 1 0 1  −2 = 0 −1/2 1 −1  [Id]TV B  0 0 1 0  1/2 0 −1 1 b) Podem comprovar que V no ´es ortonormal ja que, en l’apartat anterior, [Id]V B no ´es una matriu ortogonal. Si apliquem Gram Schmidt a V obtindrem una base ortonormal N , per`o llavors ja no podem dir que [f ]N sigui diagonal (forma can` onica). Per poder garantir les dues coses assimilarem f al seu operador associat T de manera que, com que B ´es ortonormal, [f ]B = [T ]B amb la qual cosa T ´es un operador sim`etric i sabem que diagonalitza en una base ortonormal, que anomenarem D. Busquem-la.
Pc T [x] = (1 − x)3 (−1 − x) λ1 = 1 Per calcular Ker(f − λ1 Id) plantegem     −1 1 1 1 x 0 1  1 −1 −1 −1   y   0     =   1 −1 −1 −1 z 0 2 1 −1 −1 −1 t 0  que resolent, Ker(f − λ1 Id) =< (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) >R (coordenades en la base B).
λ2 = −1 Per calcular Ker(f − λ2 Id) plantegem     3 1 1 1 x 0 1  1 3 −1 −1   y   0     =   z 0 2 1 −1 3 −1 t 0 1 −1 −1 3 Algweb  que resolent, Ker(f − λ2 Id) =< (−1, 1, 1, 1) >R (coordenades en la base B).
De manera que definint una base N a partir de 1 1 = 0 0  [Id]N B  1 −1 0 1   0 1 1 1 1 0 1 0 tenim garantit que 1 0 = 0 0  [T ]N 0 1 0 0  0 0 0 0   1 0 0 −1 Per` o N no ´es ortonormal ja que [Id]N B no ´es una matriu ortogonal. Si ara apliquem Gram-Schmidt a la base N , obtindrem una altra base N = {u1 , u2 , u3 , u4 } que ser`a ortogonal. Treballant sempre en la base B, que ´es ortonormal, u1 = (1, 1, 0, 0) u2 = (1, 0, 1, 0) − u3 = (1, 0, 0, 1) − <(1,1,0,0)|(1,0,1,0)> <(1,1,0,0)|(1,1,0,0)> (1, 1, 0, 0) <(1,1,0,0)|(1,0,0,1)> <(1,1,0,0)|(1,1,0,0)> (1, 1, 0, 0) = (1/2, −1/2, 1, 0) − <(1/2,−1/2,1,0)|(1,0,0,1)> <(1/2,−1/2,1,0)|(1/2,−1/2,1,0)> (1/2, −1/2, 1, 0) = = (1/3, −1/3, −1/3, 1) u4 = (−1, 1, 1, 1) (ja que observem que el darrer vector de la base N ´es ortogonal a la resta).
Definim ara la base ortonormal que busquem, D, com D={ 1 1 1 1 u1 , u2 , u3 , u4 } ||u1 || ||u2 || ||u3 || ||u4 || de manera que √ √ √  1/√2 1/ √6 1/ √15 −1/2 −1/√6 −1/√15 1/2   1/ 2 √ =  0 2/ 3 −1/ √ √15 1/2 0 0 3/ 5 1/2  [Id]DB D’aquesta manera, tenim garantit que 1 0 [T ]D =  0 0  0 1 0 0  0 0 0 0   1 0 0 −1 Si ens fixem en el canvi de base per a T , [T ]D = [Id]−1 DB · [T ]B · [Id]DB Per` o ara, com que B i D s´ on ortonormals, [Id]DB ´es una matriu ortogonal i llavors [Id]TDB = [Id]−1 DB .
Per tant, substituint-ho en aquesta expressi´o [f ]D = [Id]TDB · [f ]B · [Id]DB Algweb I aquest canvi correspon al d’una bilineal, de manera que tenim garantit que D ´es ortonormal per una banda, i que [f ]D pren la forma can` onica, per una altra.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/10 (nivell 3) Sigui A, una matriu complexa unit` aria (A∗ = A−1 ). Demostreu que cadascun dels valors propis iθ d’A es pot expressar com e , amb θ ∈ [0, 2π).
Si A ∈ MC (n × n), considerant l’espai euclidi` a complex (Cn , < | >) i D una base ortonormal, llavors ∃!T, [T ]D = A, T operador unitari.
En aquest cas, ∀x ∈ Cn , ||T (x)||2 =< T (x)|T (x) >=< x|∗ T · T (x) >=< x|x >= ||x||2 , de manera que ||T (x)|| = ||x||. Si x ´es un vector propi associat al valor propi λ (els valors propis d’A i de T s´ on els mateixos), ||T (x)|| = ||x|| = ||λx|| = |λ| · ||x|| =⇒ (|λ| − 1)||x|| = 0 Algweb ´es a dir que |λ| = 1.
Com que λ ∈C podem considerar λ = a + ib on a, b ∈R. Per` o si |λ| = 1, llavors |λ|2 = 1 i es verifica 2 a + b = 1. Segons la respresentaci´ o polar dels complexos sobre R2 , aix` o vol dir que λ es troba en una circumfer`encia de radi 1, i per tant, ∃θ ∈ [0, 2π) tal que a = cosθ i b = sinθ, de manera que 2 λ = a + ib = cosθ + isinθ = eiθ Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/11 (nivell 3) Doneu la forma general de les matriusA ∈ MK (n × n), que s´ on, simult` aniament: a) Antihermitianes, unit` aries i diagonals amb K=C.
b) Antisim` etriques, ortogonals i diagonals amb K=R.
a) Es verifica  λ1  ..
A∗ = −A = A−1 =  .
 λn Algweb on λj = aj + ibj , aj , bj ∈R ∀j = 1, ..., n.
Per ser A unit` aria, |λj | = 1 =⇒ |λj |2 = 1 =⇒ a2j + b2j = 1, ∀j = 1, ..., n [1] Per ser A antihermitiana, λj = −λj =⇒ aj − ibj = −aj − ibj =⇒ λj = ibj , ∀j = 1, ..., n I segons la condici´ o [1], b2j = 1 =⇒ bj = ±1 =⇒ λj = ±i, ∀j = 1, ..., n. Llavors,  A= ±i  ..
.
 ±i b) Es verifica  AT = −A = A−1 =  λ1  ..
.
 λn Per ser antisim`etrica, els elements de la diagonal s´on zeros, i com que ´es diagonal, resulta A = [0]n .
Per` o llavors detn A = 0 i A no ´es inversible. I aix` o ´es una contradicci´o, ja que suposem que A tamb´e ´es ortogonal, i per tant, inversible. Aquesta contradicci´o ve de suposar que existeixen tals matrius, concloent que, per tant, no existeixen.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/12 (nivell 3) Considerem el producte escalar can` onic en R4 . Sigui B la base can` onica tal que ∀x ∈R4 , xB = (x, y, z, t). Trobeu [S]B sabent que l’operador S ´ es sim` etric i verifica les propietats seg¨ uents: 1) S(M ) ⊂ M , essent M = {(x, y, z, t) ∈ R4 / − x + z = 0, −x + t = 0} 2) S(P ) ⊂ P , essent P = {(x, y, z, t) ∈ R4 / z − t = 0, y + z − t = 0} 3) S(−1, 1, 3, 1) = (4, 3, −1, 3) Sabem que si un subespai ´es invariant per a S, llavors el corresponent subespai ortogonal ho ´es per a S. Com que S = t S es verificar` a Algweb t S(M ⊥ ) ⊂ M ⊥ S(P ⊥ ) ⊂ P ⊥ Tamb´e sabem que la intersecci´ o de dos subespais invariants tamb´e ´es un subespai invariant. Aix´ı, es verificar`a S(M ∩ P ) ⊂ M ∩ P S(M ∩ P ⊥ ) ⊂ M ∩ P ⊥ S(M ⊥ ∩ P ) ⊂ M ⊥ ∩ P S(M ⊥ ∩ P ⊥ ) ⊂ M ⊥ ∩ P ⊥ Calculant M ⊥ i P ⊥ , M ⊥ = {(x, y, z, t) ∈ R4 / y = 0, x + z + t = 0} P ⊥ = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x = 0, z + t = 0} si ara calculem aquestes quatre interseccions, treballant amb coordenades donades en la base B, M ∩ P =< u1 = (1, 0, 1, 1) >R M ∩ P ⊥ =< u2 = (0, 1, 0, 0) >R M ⊥ ∩ P =< u3 = (−2, 0, 1, 1) >R M ⊥ ∩ P ⊥ =< u4 = (0, 0, 1, −1) >R Per ser subespais invariants de dimensi´o 1, els vectors u1 , u2 , u3 , u4 s´on vectors propis per a S. I com que aquests subespais, dos a dos, s´ on ortogonals entre si, s´on linealment independents i podem definir una base de vectors propis i ortogonal de R4 , N = {u1 , u2 , u3 , u4 }. Aix´ı, la matriu associada [S]N ´es diagonal:   [S]N =  λ1  λ2   λ3 λ4 Si normalitzem aquests vectors obtenim una base D en la que S diagonalitza, [S]D = [S]N .
√ 1/ 3  0 = √ 1/√3 1/ 3  [Id]DB √  0 −2/ 6 0 1 0√ 0√   0 1/√6 1/ √2 0 1/ 6 −1/ 2 Per calcular els quatre valors propis usarem la imatge que ens donen a la propietat 3, amb la notaci´o S(x) = y. Per aplicar-la, canviarem les coordenades dels dos vectors a la base D amb la matriu [Id]BD = [Id]TDB (ja que B i D s´ on ortonormals): √ 1/ 3  0√ [x]D = [Id]TDB [x]B =  −2/ 6 0 √  1/ 3  0√ T [y]D = [Id]DB [y]B =  −2/ 6 0 Algweb  √ 0 1/ 3 1 0√ 0 1/√6 0 1/ 2 √ 0 1/ 3 1 0√ 0 1/√6 0 1/ 2 √   √  1/ 3 −1 3 0√   1   √1    = 1/ √6 3 √6 −1/ 2 2 1 √    √  2 3 1/ 3 4 0√   3   √ 3  =   −1 − √6 1/ √6 3 −1/ 2 −2 2 i aix´ı, expressant-ho en la nova base D, [y]D = [S(x)]D = [S]D [x]D  =⇒   λ1 λ2 λ3 √   √  2 3 3 3    √1   √ =   − √6 √6 −2 2 2 λ4 i per tant, λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = −1, λ4 = −2. I ara ja estem en condicions de trobar [S]B amb un canvi de base: T [S]B = [Id]−1 BD · [S]D · [Id]BD = [Id]BD · [S]D · [Id]BD 0 0 = 1 1   0 1 1 3 0 0   0 −1/2 3/2 0 3/2 −1/2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/14 (nivell 3) Sigui (En , < | >), espai euclidi` a complex. Sigui T ∈ LC (En , En ), tal que T = ∗ T .Siguin λ1 , ..., λn , els valors propis de T ordenats de menor a major. Demostreu que ∀x ∈ En , es verifica que λ1 ||x||2 ≤ < T (x)|x > ≤ λn ||x||2 Algweb Com que T ´es hermiti` a existeix una base ortonormal N = {v1 , ..., vn } en la que diagonalitza, amb tots els valors propis reals (per aix` o els podem ordenar). D’aquesta manera, si ∀x ∈ En considerem [x]TN = (x1 , ..., xn ) podem comprovar que n < T (x)|x >=< T ( n i=1 n n xi vi )| n xj vj >=< j=1 n i=1 j=1 i=1 n i=1 j=1 n xi xj λi δij = i=1 j=1 Per una banda, n n |xi |2 λn = λn [∗] ≤ i=1 xi xi = λn ||x||2 i=1 Per una altra banda, n n |xi |2 λ1 = λn [∗] ≥ i=1 n xi xj < T (vi )|vj >= n xi xj λi < vi |vj >= i=1 j=1 n xj vj >= j=1 n xi xj < λi vi |vj >= = n xi T (vi )| xi xi = λ1 ||x||2 i=1 de manera que podem concloure λ1 ||x||2 ≤ < T (x)|x > ≤ λn ||x||2 n xi xi λi = i=1 |xi |2 λi = [∗] i=1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/15 (nivell 3) Sigui (En , < | >), espai euclidi` a complex. Sigui Q ∈ LC (En , En ), operador normal. Sota quines condicions existir` a una base de vectors propis no ortogonal per a Q? Justifiqueu-ho.
Com que Q ´es normal, llavors els vectors propis associats a valors propis diferents s´on ortogonals entre ells. A m´es, existeix una base ortonormal B = {e1 , ..., en } en la que diagonalitza (considerarem σ(Q) = {λ1 , ..., λn }).
Es poden donar dues situacions: 1) ∀i, j = 1, ..., n, λi = λj , i = j =⇒ ∀B, base en la que Q diagonalitza, ´es ortogonal.
Algweb 2) ∃i = 1, ..., n / di ≥ 2 =⇒ dimC VQ (λi ) ≥ 2. Suposem VQ (λi ) =< ej , ..., ej+di −1 >C de manera que {ej , ..., ej+di −1 } ´es base ortonormal de VQ (λi ). Si ara definim ej+1 = def ej + ej+1 llavors {ej , ej+1 , ..., ej+di −1 } segueix essent base de VQ (λi ), per`o ara < ej+1 |ej >=< ej |ej > + < ej+1 |ej >= ||ej ||2 = 0 per la qual cosa B = {e1 , ..., ej+1 , ..., en } ´es una base de vectors propis no ortogonal.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/18 (nivell 3) Sigui R3 [x] = {polinomis reals de grau ≤ 3}. Sigui < | >: R3 [x] × R3 [x] −→ R 1 < p(x)|q(x) >= p(x)q(x)dx −1 producte escalar real, i T : R3 [x] −→ R3 [x] p(x) −→ T (p(x)) = p(−x) a) Comproveu que T ´ es lineal.
Algweb b) Comproveu que T ´ es operador sim` etric.
c) Comproveu que T ´ es ortogonal.
d) Apliqueu el teorema espectral a T .
a) ∀p(x), q(x) ∈ R3 [x], ∀λ ∈R, considerem λp(x) + q(x) N=ot r(x). llavors, T (λp(x) + q(x)) = T (r(x)) = r(−x) = (λp(−x) + q(−x)) = λp(−x) + q(−x) = λT (p(x)) + T (q(x)) b) Calculem les matrius [< | >]V i [T ]V on V = {1, x, x2 , x3 }:  1 0 0 0  0 −1 0 0  [T ]V =   0 0 1 0 0 0 0 −1  2  0 [< | >]V =  2/3 0  0 2/3 0 2/5 2/3 0 2/5 0  0 2/5   0 2/7 Ara, tenint en compte la bilineal relacionada amb l’operador f =< T ( )| >, sabem que 2 0  0 −2/3 [f ]V = [< | >]V [T ]V =  2/3 0 0 −2/5   2/3 0 0 −2/5   2/5 0 0 −2/7 i com que [f ]V ´es sim`etrica, f ´es sim`etrica, amb la qual cosa T ´es sim`etric.
c)∀p(x), q(x) ∈ R3 [x], p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + p3 x3 , q(x) = q0 + q1 x + q2 x2 + q3 x3 , < T (p(x))|T (q(x)) >= [q(x)]TV [T ]TV [< | >]V [T ]V [p(x)]V = [q(x)]TV [< | >]V [p(x)]V =< p(x)|q(x) > amb la qual cosa T ´es ortogonal.
d) Recuperant les dades de l’apartat anterior, Pc T [x] = (1 − x)2 (−1 − x)2 i la base trivial ja ´es una base en la que T diagonalitza. Per`o no ´es ortonormal ja que [< | >]V = I4 . Si apliquem Gram-Schmidt nom´es entre els vectors propis associats a un mateix valor propi (ja que entre valors propis diferents ja s´ on ortogonals), w1 (x) = 1 w2 (x) = x2 − <x2 |w1 (x)> <w1 (x)|w1 (x)> w1 (x) = x2 − <x3 |w3 (x)> <w3 (x)|w3 (x)> w3 (x) = x3 − 57 x 1 3 w3 (x) = x w4 (x) = x3 − Aix´ı, la base N = {w1 (x), w2 (x), w3 (x), w4 (x)} ´es una base de vectors propis ortogonal. Si els normalitzem obtenim D = { ||w11(x)|| w1 (x), ||w21(x)|| w2 (x), ||w31(x)|| w3 (x), ||w41(x)|| w4 (x)}, de manera que  Algweb [Id]DV     =     √ 1/ 2 √ −√ 5 2 2 0 0  0 0 √ √3 2 √ −7√ 21 2 13 0 √ 3√5 2 2 0 0 0 √ 5√21 2 13          0 0 i ´es tal que 1 0 = 0 0  [T ]D = [Id]−1 DV · [T ]V · [Id]DV  0 0 0 1 0 0   0 −1 0 0 0 −1 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/19 (nivell 3) Sigui B = {v1 , v2 , v3 } base ortonormal de l’espai euclidi` a real (R3 , < | >). Es considera l’endomorfisme 3 G definit sobre R tal que a tot vector li aplica un gir de 45o respecte de la recta r = {(x, y, z) ∈ R3 / 3x + 6y + 4z = 0, 4x + 7y + 5z = 0} a) Justifiqueu, sense cap c` alcul previ, quin tipus d’operador ´ es G.
b) Trobeu [G]B .
c) Existeix una base ortonormal en la que G diagonalitza? Justifiqueu-ho.
a) En R3 , un gir correspon a un operador ortogonal. Com que l’amgle el gir no ´es m´ ultiple de 180o , l’operador a m´es no ´es sim`etric.
Algweb b) El que farem ser` a determinar una base ortonormal D en la qual la matriu associada al gir tingui una expressi´o senzilla. Passant r a sistema de generadors tenim r =< (2, 1, −3) >R I si calculem r⊥ , r⊥ = {(x, y, z) ∈ R3 / 2x + y − 3z = 0} =< (1, −2, 0), (0, 3, 1) >R Si apliquem Gram-Schmidt a aquests dos vectors, t1 = (1, −2, 0) t2 = (0, 3, 1) − <(0,3,1)|(1,−2,0)> <(1,−2,0)|(1,−2,0)> (1, −2, 0) = 51 (6, 3, 5) Llavors, {2, 1, −3), (1, −2, 0), (6, 3, 5)} formen una base ortogonal de R3 . Si normalitzem els tres vectors tenim una base ortonormal D = { √114 (2, 1, −3), √15 (1, −2, 0), √170 (6, 3, 5)} N=ot {w1 , w2 , w3 }. Aquesta base consisteix en un vector w1 , situat sobre l’eix de rotaci´ o, i dos vectors situats sobre un pla ortogonal a l’eix que passa per l’origen de coordenades. En aquesta situaci´o, les imatges de cadascun dels tres vectors s´ on molt senzilles de trobar: De manera que G(w1 ) = w1 √ √ 2 2 G(w2 ) = cos αw2 + sin αw3 = w2 + w3 2 √ 2 √ 2 2 G(w3 ) = − sin αw2 + cos αw3 = − w2 + w3 2 2 i la matriu associada a G en aquesta base ´es  1  [G]D = 0 0 0 √ 2 √2 2 2 0√ − 22 √ 2 2   (que coincideix amb la forma can`onica de l’operador) i la matriu de canvi de base ´es √ 2/√14 =  1/ √14 −3/ 14  Algweb [Id]DB √ 1/ √5 −2/ 5 0 √  6/√70 3/√70  5/ 70 matriu que ´es ortogonal per ser un canvi de base entre dues bases ortonormals. Fent el canvi de base, T [G]B = [Id]−1 BD · [G]D · [Id]BD = [Id]DB · [G]D · [Id]DB = √ √ √   1 2−1 3 3−3 5+2 √ 2 − √ √ √ √ 2 − 7 2 2 7 7 2 2 7 7 2   √ √ √   2−1 1  3 3−3√ 2 13+√ 2  √ + √ √ +  7 2 14 2 7  14 2 2 7   √ √ √ 3−3 1 3−3√ 2 1 5+9√ 2 √ 2 + √ √ − 7 7 2 2 7 14 2 14 2 c) Per veure-ho n’hi ha prou calculant el seu polinomi caracter´ıstic (per comoditat el calcularem a partir de [G]D ): Pc G[x] = det3 ([G]D − I3 ) = (1 − x)( √ 2+ 2 √ 2i √ − x)( 2− 2 √ 2i Com que existeix alguna arrel que no ´es real, G no triangula ni diagonalitza.
− x) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/20 (nivell 3) Sigui r una recta que passa per l’origen, en R3 . Sigui G el gir d’angle α que t´ e per eix la recta r (amb 0 < α < π). Determineu una base de R3 en la que la matriu associada a G sigui  0 0 1 0 1 0  −1 0 2a on a = cos α Per ser G ortogonal, existeix una base ortonormal D = {e1 , e2 , e3 } en la que la matriu associada pren la forma can` onica Algweb  cos α [G]D =  0 sin α  0 − sin α 1 0  0 cos α La idea ´es construir una base V = {u1 , u2 , u3 } a partir de D. Per comen¸car, prendrem u2 = e2 (vector unitari en la direcci´o de la recta r) i imposarem que G(u1 ) = u3 G(u3 ) = −u1 + 2 cos αu3 Considerem [u1 ]TD = (a1 , b1 , c1 ) i [u3 ]TD = (a3 , b3 , c3 ). Llavors, G(u1 ) = a1 G(e1 ) + b1 G(e2 ) + c1 G(e3 ) = (a1 cos α − c1 sin α)e1 + b1 e2 + (a1 sin α + c1 cos α)e3 = = u3 = a3 e1 + b3 e2 + c3 e3    a3 = a1 cos α − c1 sin α =⇒ b 3 = b1   c3 = a1 sin α + c1 cos α I tamb´e, G(u3 ) = a3 G(e1 ) + b3 G(e2 ) + c3 G(e3 ) = (a3 cos α − c3 sin α)e1 + b3 e2 + (a3 sin α + c3 cos α)e3 = = −u1 + 2 cos αu3 = −a1 e1 − b1 e2 − c1 e3 + 2 cos αa3 e1 + 2 cos αb3 e2 + 2 cos αc3 e3    a1 = a3 cos α + c3 sin α b1 = b3 (2 cos α − 1) =⇒   c1 = −a3 sin α + c3 cos α I en particular, si b1 = b3 i tamb´e b1 = b3 (2 cos α − 1), llavors b3 = b1 = 0 (ja que, si 0 < α < π, cos α = 1 en qualsevol cas).
A m´es cal imposar que {u1 , u2 , u3 } s´ on linealment independents, ´es a dir que 0 = a1 c3 − a3 c1 = (a23 + c23 ) sin α, cosa que implica que a23 + c23 = 0 o el que ´es el mateix, a3 = ∨c3 = 0. La forma m´es general d’aquesta base vindr` a donada per  [Id]V D a3 cos α + c3 sin α 0 = −a3 sin α + c3 cos α Algweb Com a cas particular, fent u3 = e3 ,  [Id]V D sin α = 0 cos α  0 0 1 0 0 1  0 a3 1 0  0 c3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/21 (nivell 3) Sigui T un operador definit en l’espai euclidi` a real (E3 , < | >) i V una certa base. Definim el producte escalar i una forma bilineal f com  4 [< | >]V =  1 −1 1 2 −2   −1 −2  3 0 [f ]V =  −1 2 1 0 −3  −2 3 0 a) Trobeu [T ]V , essent T ∈ LR (E3 , E3 ) tal que ∀x, y ∈ E3 , f (x, y) =< T (x)|y >.
b) Obtingueu l’expressi´ o t T (x), ∀x ∈ E3 .
c) Calculeu < x|T (x) >, ∀x ∈ E3 .
d) Quin tipus d’operador ´ es T ? Justifiqueu si diagonalitza o triangula.
Algweb e) Sigui un endomorfisme Q definit en E3 diagonalitzable. Demostreu que es pot definir un producte escalar en E3 respecte del qual Q sigui un operador sim` etric. Obtingueu la matriu associada a aquest nou producte escalar en la base V .
a) Com que f =< T ( )| >, llavors [f ]V = [< | >]V · [T ]V . Per tant,   1/7 2/7 −1  3/7 −22/7 5  [T ]V = [< | >]−1 V · [f ]V = 1 −3 3 b) Com que [f ]V ´es antisim`etrica, f ´es antisim`etrica i T ´es antisim`etric, i llavors [t T ]V = [−T ]V . De manera que si ∀x ∈ E3 , [x]TV = (x1 , x2 , x3 ),    1  1 x /7 + 2x2 /7 − x3 x −1/7 −2/7 1 [t T (x)]V = [t T ]V · [x]V =  −3/7 22/7 −5  ·  x2  =  2x1 /7 − 22x2 /7 + 5x3  −x1 + 3x2 − 3x3 x3 −1 3 −3  c) ∀x ∈ E3 , < x|T (x) >=<t T (x)|x >= − < T (x)|x >= −f (x, x) =   1  0 −1 2 x 0 −3   x2  = 0 = [ x1 x2 x3 ]  1 −2 3 0 x3 =⇒ < x|T (x) >= 0 d) Tal i com hem vist en b), com que [f ]V ´es antisim`etrica, f ´es antisim`etrica i llavors T ´es antisim`etric.
L’´ unic valor propi d’un operador antisim`etric ´es λ = 0.
˜ Per`o aix`o no ´es aix´ı tal i com hem vist Si diagonalitz´es, la matriu diagonal seria [0]3 , i llavors, T = 0.
en a), per tant no diagonalitza.
Si triangul´es ho faria tamb´e en una base ortonormal, i llavors tindr´ıem una matriu antisim`etrica i triangular superior. Aquesta matriu nom´es pot ser la [0]3 , per`o llavors T = ˜0, cosa que no ´es certa. Per tant, T no triangula.
e) Sigui V la base de refer`encia considerada al llarg del problema. Suposem que existeix un cert producte escalar < | > tal que Q ´es operador sim`etric. Llavors, existeix una base ortonormal N en la qual diagonalitza. Si plantegem el canvi de base per a aquest suposat producte escalar, [< | > ]V = [Id]TV N · [< | > ]N · [Id]V N = [Id]TV N · [Id]V N = N ot PT · P Si [< | > ]V ´es una matriu sim`etrica i definida positiva, podr`a ser la matriu associada a un producte escalar. Verifiquem-ho: Algweb 1) AT = (P T · P )T = P T · P = A. Per tant, A ´es sim`etrica.
2) ∀X ∈ E3 , X = 0, X T · A · X = X T · P T · P · X N=ot Y T · Y ≥ 0. I com que P ´es inversible, X = 0 ⇐⇒ Y = 0. Per tant, A ´es definida positiva.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/22 (nivell 3) Sigui (En , < | >) espai euclidi` a complex i T ∈ LC (En , En ), amb rangT = r < n. Definim Q = i f =< Q( )| >. Demostreu que: ∗ T ·T a) f ´ es una forma sesquilineal hermitiana.
b) Existeix una base ortonormal D = {e1 , ..., en } en la que Q diagonalitza, verificant-se que:  α12  ..
    [Q]D =     .
        αr2 0 ..
.
0 Algweb on α1 , ..., αr ∈ R, αi = 0 ∀i = 1, ..., r c) {er+1 , ..., en } ´ es base de Ker T .
d) {e1 , ..., er } ´ es base d’Im ∗ T .
e) {T (e1 ), ..., T (er )} s´ on ortogonals i formen una base d’Im T .
f ) ||T (ei )|| = αi , ∀i = 1, ..., r.
g) T (ei ) ´ es un vector propi de T ·∗ T de valor propi αi2 , ∀i = 1, ..., r.
h) Si vi = α1i T (ei ), llavors ∗ T (vi ) = αi ei , ∀i = 1, ..., r.
a) Fixem-nos que ∗ Q =∗ T · T = Q, de manera que Q ´es hermiti` a. Aix`o ja implica directament que f ´es hermitiana. Verifiquem-ho: ∀x, y ∈ En , f (x, y) =< Q(x)|y >=< x|∗ Q(y) >=< x|Q(y) >= < Q(y)|x > = f (y, x) b) Com que Q ´es hermiti` a, ´es normal, i llavors existeix una base ortonormal N en la que diagonalitza, tal i com ens indiquen els teoremes espectrals. A m´es, per ser hermiti` a, els seus valors propis seran reals, de manera que  [Q]N =  λ1  ..
.
 λi ∈ R, ∀i = 1, ..., n λn Sigui λ un valor propi de Q associat al vector propi v = 0. Llavors, λ||v||2 =< Q(v)|v >=<∗ T · T (v)|v >=< T (v)|T (v) >≥ 0 Aix` o implica que λ ≥ 0.
A m´es, ´es immediat verificar que Ker(T ) ⊂ Ker(Q). Per`o tamb´e, ∀x ∈ Ker(Q), Q(x) = 0 =⇒ 0 =< Q(x)|x >=<∗ T · T (x)|x >=< T (x)|T (x) >= T (x) 2 =⇒ T (x) = 0 =⇒ T (x) = 0 =⇒ x ∈ Ker(T ) Aix´ı, Ker(Q) = Ker(T ) =⇒ η(Q) = η(T ) =⇒ rang(Q) = rang(T ) = r Si rang(Q) = r, vol dir que tindrem r valors propis que seran diferents de 0 i positius i que, per tant, podrem expressar com el quadrat de certs n´ umeros reals, α1 , ..., αr . Si reordenem la base N per tal de tenir els valors propis nuls al final, obtenim D.
c) Segons la matriu anterior, {er+1 , ..., en } ´es base de Ker(Q). Com que rang(T ) = rang(Q) = r, llavors η(Q) = η(T ), i ´es immediat verificar que Ker(T ) ⊂ Ker(Q). Ambdues condicions impliquen que Ker(Q) = Ker(T ), de manera que {er+1 , ..., en } ´es base de Ker(T ).
d) Si ens fixem en la base D de l’apartat b), {e1 , ..., er } ´es base de Ker(T )⊥ = Im(∗ T ).
e) ∀i, j = 1, ..., r, < T (ei )|T (ej ) >=< ei |∗ T · T (ej ) >=< ei |Q(ej ) >=< ei |αj2 ej >= αj2 < ei |ej >= Llavors, {T (e1 ), ..., T (er )} s´ on ortogonals i no nuls (ja que ||T (ei )||2 = αi2 = 0, ∀i = 1, ..., r), i per tant s´ on linealment independents. Com que {T (e1 ), ..., T (er )} ⊂ Im(T ) i rang{T (e1 ), ..., T (er )} = r = rang(T ), aleshores {T (e1 ), ..., T (er )} ´es base d’Im(T ).
αj2 δij .
Algweb f ) Hem comprovat a l’apartat anterior que ||T (ei )||2 = αi2 , ∀i = 1, ..., r. Llavors, ||T (ei )|| = αi , ∀i = 1, ..., r.
g) Sabem que ∀i = 1, ..., r, Q(ei ) = αi2 ei . Aleshores, T · Q(ei ) = αi2 T (ei ) =⇒ T ·∗ T · T (ei ) = (T ·∗ T )(T (ei )) = αi2 T (ei ) i llavors T (ei ) ´es vector propi de T ·∗ T associat al valor propi αi2 , ∀i = 1, ..., r.
h) ∀i = 1, ..., r ∗ T (vi ) = 1 ∗ 1 α2 ( T · T )(ei ) = Q(ei ) = i ei = αi ei αi αi αi Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/23 (nivell 3) Sigui (En , < | >) espai euclidi` a complex i T un operador hermiti` a definit sobre En . Demostreu que: a) ∀x ∈ En , ||x + iT (x)|| = ||x − iT (x)||.
b) ∀x, y ∈ En , x + iT (x) = y + iT (y) ⇐⇒ x = y.
c) Idn + iT, Idn − iT s´ on inversibles.
d) L’operador (Idn − iT )(Idn + iT )−1 ´ es unitari.
e) Sigui f un altre producte escalar definit sobre En . Demostreu que existeix una base ortogonal comuna per a f i < | >. Si a m´ es exist´ıs una base ortonormal comuna, quina relaci´ o hi hauria entre aquests dos productes escalars? Justifiqueu-ho.
Algweb a) Directament, 2 x + iT (x) =< x + iT (x)|x + iT (x) >= x = x = x 2 2 2 + i < T (x)|x > −i < x|T (x) > + T (x) + i < x|∗ T (x) > −i <∗ T (x)|x > + T (x) + i < x|T (x) > −i < T (x)|x > + T (x) =⇒ 2 2 2 = = = x − iT (x) 2 x + iT (x) = ||x − iT (x) b) =⇒) Si x + iT (x) = y + iT (y) llavors x − y = iT (y) − iT (x) = iT (y − x) = −iT (x − y) =⇒ T (x − y) = i(x − y) i llavors, si x − y = 0 ´es vector propi de T associat a i ∈ C - R. Per` o com que T ´es hermiti` a, nom´es pot tenir valors propis reals. Aix´ı que x − y no ´es vector propi i llavors x − y = 0, de manera que x = y.
⇐=) immediat.
c) Per ser T hermiti` a, existeix una base ortonormal D en la que diagonalitza:  λ1 [T ]D =   ..
.
 λj ∈ R ∀j = 1, ..., n λn Llavors,  [Id ± iT ]D =  1 ± iλ1  ..
.
 1 ± iλn i per tant, [Id ± iT ]D s´ on inversibles, i Id ± iT tamb´e.
1 ± iλj = 0 ∀j = 1, ..., n d) Considerant la mateixa base ortonormal D en la que T diagonalitza,   [Q]D = [Id − iT ]D · [Id + iT ]−1 D =   1 1+iλ1 ·  1 − iλ1 ..
.
 ..
 1+iλ1   = .
1 − iλn  1−iλ1 1 1+iλn ..
  .
1−iλn 1+iλn i aleshores,  1+iλ1  1−iλ1 ..
 [Q]−1 D =  ∗  = [Q]D .
1+iλn 1−iλn per tant, [Q]D ´es unit` aria i aix´ı Q ´es unitari.
e) Si f ´es producte escalar, llavors ´es una forma hermitiana. Sabem que ∃!P ∈ LC (En , En ) tal que f =< P ( )| >. Aquest operador P ´es hermiti` a, i per tant diagonalitza en una base ortonormal (segons < | >), B. I llavors, Algweb   [f ]B = [< | >]B · [P ]B = [P ]B =   µ1 ..
  .
µj ∈ R ∀j = 1, ..., n µn Com que [f ]B ´es diagonal, B ´es ortogonal per a f . Per ser B una base ortonormal per a < | >, doncs tamb´e ´es ortogonal per a < | >.
Si aquesta base B fos a m´es ortonormal per a f , llavors, [f ]B = In , i llavors [f ]B = [< | >]B , cosa que implicaria que f =< | >.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/24 (nivell 3) Sigui (En , < | >) espai euclidi` a real i Q una aplicaci´ o definida entre En i En que verifica ∀x, y ∈ En < Q(x)|Q(y) >=< x|y > Demostreu que Q ´ es lineal.
∀λ ∈R, ∀x1 , x2 ∈ En , considerarem 3 casos concrets: cas 1): Prenem x = λx1 + x2 i y = x1 . Llavors, < Q(λx1 + x2 )|Q(x1 ) >=< λx1 + x2 |x1 >= λ < x1 |x1 > + < x2 |x1 >= Algweb = λ < Q(x1 )|Q(x1 ) > + < Q(x2 )|Q(x1 ) >=< λQ(x1 ) + Q(x2 )|Q(x1 ) >= [1] cas 2): Prenem x = λx1 + x2 i y = x2 . Llavors, < Q(λx1 + x2 )|Q(x2 ) >=< λx1 + x2 |x2 >= λ < x1 |x2 > + < x2 |x2 >= = λ < Q(x1 )|Q(x2 ) > + < Q(x2 )|Q(x2 ) >=< λQ(x1 ) + Q(x2 )|Q(x2 ) >= [2] cas 3): Prenem x = λx1 + x2 i y = λx1 + x2 . Llavors, < Q(λx1 + x2 )|Q(λx1 + x2 ) >=< λx1 + x2 |λx1 + x2 >= λ < x1 |λx1 + x2 > + < x2 |λx1 + x2 >= = λ < Q(x1 )|Q(λx1 + x2 ) > + < Q(x2 )|Q(λx1 + x2 ) >=< λQ(x1 ) + Q(x2 )|Q(λx1 + x2 ) >= [3] I ara, si fem λ[1] + [2] − [3], λ < Q(λx1 + x2 )|Q(x1 ) > + < Q(λx1 + x2 )|Q(x2 ) > − < Q(λx1 + x2 )|Q(λx1 + x2 ) >= = λ < λQ(x1 ) + Q(x2 )|Q(x1 ) > + < λQ(x1 ) + Q(x2 )|Q(x2 ) > − < λQ(x1 ) + Q(x2 )|Q(λx1 + x2 ) > =⇒ < Q(λx1 + x2 )|λQ(x1 ) + Q(x2 ) − Q(λx1 + x2 ) >=< λQ(x1 ) + Q(x2 )|λQ(x1 ) + Q(x2 ) − Q(λx1 + x2 ) > =⇒ < λQ(x1 ) + Q(x2 ) − Q(λx1 + x2 )|λQ(x1 ) + Q(x2 ) − Q(λx1 + x2 ) >= 0 =⇒ ||λQ(x1 ) + Q(x2 ) − Q(λx1 + x2 )||2 = 0 =⇒ λQ(x1 ) + Q(x2 ) − Q(λx1 + x2 ) = 0 i per tant, Q ´es lineal.
=⇒ λQ(x1 ) + Q(x2 ) = Q(λx1 + x2 ) Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 10/28 (nivell 3) Sigui (En , < | >) espai euclidi` a complex i Q un operador definit sobre En . Suposem que cada vector propi de Q ho ´ es tamb´ e de ∗ Q.
a) Comproveu que existeix una base ortonormal de vectors propis comuna a Q i ∗ Q.
b) Comproveu que Q ´ es operador normal.
a) Per ser Q un operador complex, sabem que existeix una base ortonormal D = {e1 , ..., en } en la que triangula:  λ1  ..
[Q]D =  .
 Algweb λn  λ1  ..
=⇒ [∗ Q]D = [Q]∗D =  .
 λn e1 ´es vector propi de Q. Llavors e1 ´es vector propi de ∗ Q, i aix´ı, λ1  ...
   ..
 =⇒ [Q]D =  .
0 λ1 ...
..
.
0   λn λn i per tant, e2 ´es vector propi de Q. Llavors, e2 ´es vector propi de ∗ Q, i aix´ı, procedint de forma an`aloga veiem que e3 ´es vector propi de Q.
Aquest proc´es el podem anar repetint fins veure que D ´es una base ortonormal de vectors propis per a Q i per a ∗ Q.
b) Hem vist a l’apartat anterior que existeix una base ortonormal en la que Q diagonalitza. Segons el teorema espectral, aix`o implica que Q ´es normal. Verifiquem-ho:  λ1 [Q]D =    ..
.
;  [∗ Q]D =  λ1  ..
.
λn  =⇒ [Q]D · [∗ Q]D =  λ1 λ1 ..
.
λn λ n Per tant, [Q]D i ´es normal, i aix´ı Q tamb´e.
 λn    =⇒ [∗ Q]D · [Q]D =  λ1 λ 1  ..
.
 λn λ n Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/01 (nivell 3) Sigui f : R4 −→ R, aplicaci´ o definida aix´ı: f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 3x1 − 5x2 − x3 − 2x4 on (x1 , x2 , x3 , x4 ) s´ on les coordenades del vector x en la base can` onica. Comproveu que f ∈ (R4 )∗ i doneu la nova expressi´ o de f en la base determinada pels vectors: u1 = (2, 1, 0, 4), u2 = (1, 0, 3, 2), u3 = (0, 1, −3, 2) i u4 = (1, 1, 2, 2).
Per veure que f ∈ (R4 )∗ n’hi ha prou amb comprovar que ´es lineal. ∀λ ∈R, ∀x, y ∈R4 , y = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ), Algweb f (λx + y) = f (λx1 + y 1 , λx2 + y 2 , λx3 + y 3 , λx4 + y 4 ) = 3(λx1 + y 1 ) − 5(λx2 + y 2 ) − (λx3 + y 3 ) − 2(λx4 + y 4 ) = = λ(3x1 − 5x2 − x3 − 2x4 ) + (3y 1 − 5y 2 − y 3 − 2y 4 ) = λf (x) + f (y) Anomenant V a la base can` onica de R4 tenim que [f ]V {1} = [3 − 5 − 1 − 2] i per tant, considerant N = {u1 , u2 , u3 , u4 } 2 1 = [3 − 5 − 1 − 2]  0 4  [f ]N {1} = [f ]V {1} [Id]N V 1 0 0 1 3 −3 2 2  1 1  = [−7 − 4 − 6 − 8] 2 2 x1 , x ˆ2 , x ˆ3 , x ˆ4 ), ∀x ∈R4 , Sigui [x]TN = (ˆ f (ˆ x1 , x ˆ2 , x ˆ3 , x ˆ4 ) = −7ˆ x1 − 4ˆ x2 − 6ˆ x3 − 8ˆ x4 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/02 (nivell 3) Sigui E3 un espai vectorial real. Donada la base V = {e1 , e2 , e3 } i xV = (x1 , x2 , x3 ) ∀x ∈ E3 , definim: fi : E3 −→ R i = 1, 2, 3 f1 (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 4x2 + 3x3 f2 (x1 , x2 , x3 ) = x2 + x3 f3 (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 − x3 Comproveu que {f1 , f2 , f3 } ´ es base d’E3∗ i trobeu la base d’E3 de la qual n’´ es dual.
Considerem la matriu que t´e per columnes [f1 ]V D , [f2 ]V D i [f3 ]V D respectivament: Algweb   2 0 2 4 1 2  3 1 −1 = N ot A Podem comprovar que det3 A = −4 = 0, i per tant, {f1 , f2 , f3 } s´ on linealment independents, formant aix´ı una base d’E3∗ que anomenarem N D . D’aquesta manera A = [Id]N D V D .
= A−1 , Per trobar la base N obtindrem [Id]N V = [Id]TV D N D . Si calculem [Id]V D N D = [Id]−1 NDV D  [Id]V D N D  3/4 −1/2 1/2 2 −1  =  −5/2 −1/4 1/2 −1/2 i per tant, si considerem N = {u1 , u2 , u3 },    u1 = 3/4e1 − 1/2e2 + 1/2e3 u2 = −5/2e1 + 2e2 − e3   u3 = −1/4e1 + 1/2e2 − 1/2e3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/03 (nivell 3) Sigui C3 l’espai vectorial complex. Sigui B = {u1 = (1, 0, −1), u2 = (1, 1, 1), u3 = (2, 2, 0)}.
Comproveu que ´ es base de C3 i trobeu la seva base dual.
Anomenant V a la base can` onica de C3 , considerem la matriu que t´e per columnes [u1 ]V , [u2 ]V i [u3 ]V respectivament:   1 1 2  0 1 2 −1 1 0 = N ot A Podem comprovar que det3 A = −2 = 0, i per tant, {u1 , u2 , u3 } s´ on linealment independents, formant aix´ı una base de C3 . D’aquesta manera A = [Id]BV .
Algweb −1 Per trobar la base B D obtindrem [Id]B D V D = [Id]TV B . Si calculem [Id]V B = [Id]−1 , BV = A  1 −1 0 −1 1  = 1 −1/2 1 −1/2  [Id]V B i per tant, si considerem B D = {µ1 , µ2 , µ3 } i V D = {ε1 , ε2 , ε3 },  1 1 2  µ = ε − ε µ2 = ε1 − ε2 + ε3   3 µ = −1/2ε1 + ε2 − 1/2ε3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/04 (nivell 3) Considerem E3 , espai vectorial real. Sigui V una base d’E3 amb xV = (x1 , x2 , x3 ) ∀x ∈ E3 .
Definim Φi ∈ E3∗ , i = 1, ..., 5 Φ1 (x) = 2x1 + x2 + x3 Φ2 (x) = −x1 − x2 + x3 Φ3 (x) = x3 Φ4 (x) = x1 + x2 + x3 Φ5 (x) = x1 + x2 − x3 a) Justifiqueu que {Φ1 , Φ2 , Φ3 , Φ4 , Φ5 } ´ es un sistema de vectors linealment dependents en E3∗ Algweb b) Seleccioneu entre ells una base d’E3∗ c) Trobeu la base d’E3 de la qual l’anterior n’´ es dual.
a) dimR E3∗ = dimR E3 = 3. Per tant, un sistema de vectors d’E3∗ que tingui m´es de 3 elements sempre ser`a linealment dependent.
b) Fixem-nos que Φ5 (x) = −Φ2 (x) i Φ2 (x) = 2Φ3 (x) − Φ4 (x), ∀x ∈ E3 , de manera que Φ5 = −Φ2 i Φ4 = 2Φ3 − Φ2 . Considerem {Φ1 , Φ2 , Φ3 } i la matriu que t´e per columnes [Φ1 ]V D , [Φ2 ]V D i [Φ3 ]V D respectivament:   0 0 1 2 −1  1 −1 1 1 = N ot A Podem comprovar que det3 A = −1 = 0, i per tant, {Φ1 , Φ2 , Φ3 } s´ on linealment independents, formant aix´ı una base d’E3∗ que anomenarem N D . D’aquesta manera A = [Id]N D V D .
= A−1 , c) Per trobar la base N obtindrem [Id]N V = [Id]TV D N D . Si calculem [Id]V D N D = [Id]−1 NDV D  [Id]V D N D  1 −1 0 =  1 −2 0  −2 3 1 i per tant, si considerem N = {u1 , u2 , u3 } i V = {e1 , e2 , e3 },    u1 = e1 − e2 u2 = e1 − 2e2   u3 = −2e1 + 3e2 + e3 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/05 (nivell 3) Sigui D2 = {p(x) ∈ R[x]/ grau(p(x)) ≤ 2}. Definim Φ1 , Φ2 , Φ3 ∈ LR (D2 , R): 1 Φ1 (p(x)) = 0 p(x)dx Φ2 (p(x)) = p(0) Φ3 (p(x)) = dp(x) dx |x=1 a) Comproveu que {Φ1 , Φ2 , Φ3 } ´ es base de D2∗ b) Trobeu la base de D2 de la qual l’anterior n’´ es dual.
5 2 c) Donada Φ ∈ LR (D2 ,R), Φ(p(x)) = {Φ1 , Φ2 , Φ3 }.
p(x)dx. Trobeu les coordenades de Φ en la base Algweb a) Sigui V = {1, x, x2 } la base trivial de D2 i considerem la matriu que t´e per columnes [Φ1 ]V D , [Φ2 ]V D i [Φ3 ]V D respectivament:  1  1/2 1/3  1 0 0 1 0 2 = N ot A Podem comprovar que det3 A = −2/3 = 0, i per tant, {Φ1 , Φ2 , Φ3 } s´ on linealment independents, formant aix´ı una base de D2∗ que anomenarem N D . D’aquesta manera A = [Id]N D V D .
= A−1 , b) Per trobar la base N obtindrem [Id]N V = [Id]TV D N D . Si calculem [Id]V D N D = [Id]−1 NDV D  [Id]V D N D  0 3 −3/2 3/2  =  1 −3 0 −1/2 3/4 i per tant, si considerem N = {p1 (x), p2 (x), p3 (x)}, c) Fixem-nos que [Φ]V {1} = [ 3 T −1 A [Φ]V D = [ −27 30 24 ]  2   p1 (x) = 3x − 3x /2 p2 (x) = 1 − 3x + 3x2 /2   p3 (x) = −x/2 + 3x2 /4 21/2 39 ] = [Φ]TV D . D’aquesta manera, [Φ]N D = [Id]V D N D [Φ]V D = Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/06 (nivell 3) Sigui E3 un espai vectorial real. Considerem les seg¨ uents bases: C = {e1 , e2 , e3 } B1 = {u1 , u2 , u3 } B2 = {v1 , v2 , v3 } xC = (x, y, z) xB1 = (ˆ x, yˆ, zˆ) xB2 = (˜ x, y˜, z˜) ∀x ∈ E3 Les relacions de canvi s´ on: x ˆ = 2x − 2y yˆ = x + y + z zˆ = −3x + y + 3z e1 = v1 + v2 + v3 e2 = −v1 + v3 e3 = −v1 + 2v2 Algweb Expresseu per coordenades i per vectors (formes) tots els canvis de base possibles entre les bases duals C D , B1D i B2D .
A partir de les dades de l’enunciat dedu¨ım les seg¨ uents matrius:     2 −2 0 1 −1 −1 [Id]CB1 =  1 1 1 [Id]CB2 =  1 0 2 −3 1 3 1 1 0 Directament, [Id]B1D C D = [Id]TCB1 i [Id]B2D C D = [Id]TCB2 . Naturalment, els canvis inversos es corresponen a les matrius inverses: [Id]C D B1D = [Id]−1 , [Id]C D B2D = [Id]−1 .
BD C D BD C D 1 2 Finalment, [Id]B1D B2D = [Id]C D B2D [Id]B1D C D i [Id]B2D B1D = [Id]−1 B1D B2D ´ a dir, Es  [Id]B1D C D  [Id]B2D C D [Id]B2D B1D  2 1 −3 =  −2 1 1  0 1 3 1 1 =  −1 0 −1 2  1 1 0  2 5 −2 1 =  −2 7 6  8 −2 3 −2 [Id]C D B1D   1 −3 2 1 = 3 3 2 8 −1 −1 2  [Id]C D B2D   2 −2 −1 1 =  1 −1 2 5 2 3 −1  [Id]B1D B2D  8 −1 −11 1 =  4 2 2 5 −2 4 −6 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/07 (nivell 3) Sigui En un R-espai vectorial amb dimR (En ) = n > 2, i donades ϕ1 , ϕ2 ∈ En∗ , linealment independents, demostreu que dimR (Kerϕ1 ∩ Kerϕ2 ) = n − 2 Com que {ϕ1 , ϕ2 } s´ on linealment independents, sabem que ϕ1 = ˜0 i ϕ2 = ˜0, de manera que rang(ϕ1 ) = rang(ϕ2 ) = 1, concloent que Im(ϕ1 ) = Im(ϕ2 ) =R.
Si ara considerem la dimensi´ o de la suma dels nuclis de ϕ1 i ϕ2 , Algweb n ≥ dimR (Ker(ϕ1 ) + Ker(ϕ2 )) = dimR (Ker(ϕ1 )) + dimR (Ker(ϕ2 )) − dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) = = n − 1 + n − 1 − dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) =⇒ dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) ≥ n − 2 I d’aquesta manera, nom´es tenim tres opcions possibles, que s´ on: 1) dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) = n 2) dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) = n − 1 3) dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) = n − 2 Analitzem-les: 1) Si dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) = n, llavors Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 ) = En , de manera que ∀x ∈ En tindrem que ϕ1 (x) = ϕ2 (x) = 0. Per tant, ϕ1 = ϕ2 = ˜0, obtenint una contradicci´ o, tal i com hem vist al principi, per ser {ϕ1 , ϕ2 } linealment independents.
2) Si dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) = n − 1, considerem Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 ) = {e1 , ..., en−1 } i ampliem aquesta base a B = {e1 , ..., en−1 , v}, base d’En . Llavors, si considerem x = α1 e1 + · · · + αn−1 en−1 + λv, ∀x ∈ En tindrem que ϕ1 (x) = λϕ1 (v) i ϕ2 (x) = λϕ2 (v). Arribats aqu´ı tenim dos casos possibles: 2.1.)λ = 0. Llavors, ϕ1 (x) = ϕ1 (v) = ϕ2 (v) ϕ2 (x) N ot k · ϕ2 (x).
2.2.)λ = 0. Llavors, x ∈ Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 ) i ϕ1 (x) = 0 = k · 0 = k · ϕ2 (x).
De manera que, ∀x ∈ En hem comprovat que ϕ1 (x) = k · ϕ2 (x) . Aix`o implica que ϕ1 = k · ϕ2 , cosa que entra en la mateixa contradicci´ o trobada a l’apartat anterior.
Aix´ı doncs, l’´ unic cas possible ´es el 3), que demostra el que es demanava a l’enunciat.
Presentem a continuaci´o dues maneres alternatives de resoldre aquest exercici: a) A partir d’un sistema d’equacions lineals Sigui V = {e1 , e2 , ..., en } base d’En i considerem les matrius [ϕ1 ]V {1} = [α1 · · · αn ] [ϕ2 ]V {1} = [β1 · · · βn ] llavors, {ϕ1 , ϕ2 } s´ on linealment independents ⇐⇒ rang α1 β1 · · · αn · · · βn =2 Sigui un cert vector x tal que [x]V = [x1 · · · xn ]T . Llavors, x ∈ Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 ) ⇐⇒ =⇒ =⇒ α1 β1  1 x · · · αn  ..  0 = .
· · · βn 0 xn [1] Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 ) = { solucions del sistema homogeni [1] } N=ot S1 dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) = dimR (S1) = n − 2 b) A partir d’una base d’En∗ Algweb Com que {ϕ1 , ϕ2 } s´ on linealment independents podem definir una base B D d’En∗ tal que B D = {ϕ1 , ϕ2 , µ3 , ..., µn } Considerem ara la base B = {v1 , v2 , ..., vn } d’En de la qual B D n’´es dual. Llavors, per definici´o es verificar`a que ϕi (vj ) = δij amb i = 1, 2 i j = 1, ..., n. Amb aquestes condicions ja tenim determinades directament bases de Ker(ϕ1 ) i de Ker(ϕ2 ): Ker(ϕ1 ) =< v2 , v3 , ..., vn >R Ker(ϕ2 ) =< v1 , v3 , ..., vn >R i aix´ı, Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 ) queda determinat amb la seg¨ uent base: Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 ) =< v3 , ..., vn >R i, per tant, dimR (Ker(ϕ1 ) ∩ Ker(ϕ2 )) = n − 2 Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/08 (nivell 3) Siguin E, F espais vectorials sobre K de dimensi´ o finita. Sigui Φ ∈ LK (E, F ). Es defineix l’aplicaci´ o dual de Φ com Φ : F ∗ −→ E ∗ α −→ Φ (α) = α · Φ a) Demostreu que si Φ ´ es un isomorfisme, llavors Φ ∈ LK (F ∗ , E ∗ ) tamb´ e ho ´ es.
Siguin f ∈ LK (E, F ), g ∈ LK (F, E) i siguin f , g les respectives aplicacions duals.
Algweb b) Demostreu que (g · f ) = f · g c) Comproveu que [f ]B D N D = [f ]TN B , amb N base d’E, B base de F i N D , B D les respectives bases duals.
d) Demostreu que rang(f ) = rang(f ) a) Comprovem que Φ ´es injectiva: ∀α ∈ Ker(Φ ), Φ (α) = α · Φ = ˜0 α · Φ · Φ−1 = ˜0 · Φ−1 = ˜0 =⇒ =⇒ =⇒ α = ˜0 Ker(Φ ) = {ˆ0} i per tant, Φ ´es injectiva.
Comprovem que Φ ´es exhaustiva: ˆ ∀β ∈ E ∗ , β = β · Φ−1 · Φ N=ot βˆ · Φ = Φ (β) ˆ =β ∃βˆ ∈ F ∗ / Φ (β) =⇒ =⇒ β ∈ Im(Φ ) =⇒ E ∗ ⊂ Im(Φ ) =⇒ E ∗ = Im(Φ ) i per tant, Φ ´es exhaustiva.
b) Fixem-nos que g · f ∈ LK (E, E), de manera que (f · g) ∈ LK (E ∗ , E ∗ ), i llavors, ∀α ∈ E ∗ , (g · f ) (α) = α · g · f = (α · g) · f = f (α · g) = f (g (α)) = (f · g )(α) =⇒ (g · f ) = f · g c) Siguin dimK E = n, dimK F = m i N = {u1 , ..., un }, B = {e1 , ..., em }, N D = {µ1 , ..., µn }, B D = {ε , ..., εm }. Si calculem [f ]B D N D , 1   [f ]B D N D ↑     =  [f (ε1 )]N D    ↓   ↑         · · · [f (εm )]N D  =  [ε1 · f ]N D       ↓ ↓ ↑ ↑ n k=1 de manera que ∀i = 1, ..., m, εi · f =     m · · · [ε · f ]N D     ↓ = N ot A = (aij ) ∈ MK (n × m) aki µk [1] Per una altra banda,  Algweb [f ]N B  ↑     =  [f (u1 )]B    ↓ ↑     · · · [f (un )]B     ↓ de manera que ∀j = 1, ..., n, f (uj ) = Llavors, segons [1] m k=1 bkj ek = N ot [2] n εi (f (uj )) = B = (bij ) ∈ MK (m × n) n aki µk (uj ) = k=1 aki δjk = aji k=1 i tamb´e, segons [2] m εi (f (uj )) = m bkj εi (ek ) = k=1 bkj δki = bij k=1 i aix´ı, ∀i = 1, ..., m, ∀j = 1, ..., n bij = aji . Per tant, A = B T .
d) rang(f ) = rang([f ]N B ) = rang([f ]TN B ) = rang([f ]B D N D ) = rang(f ).
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/09 (nivell 3) Sigui f ∈ LK (E, F ) i sigui f la seva aplicaci´ o dual, amb dimK E = n i dimK F = m. Demostreu: a) Si f ´ es injectiva, llavors f ´ es exhaustiva.
b) Si f ´ es exhaustiva, llavors f ´ es injectiva.
a) Si f ´es injectiva, Ker(f ) = {0} =⇒ η(f ) = 0 =⇒ rang(f ) = n =⇒ rang(f ) = rang(f ) = n =⇒ Im(f ) = E ∗ (ja que sempre tenim que, a m´es, Im(f ) ⊂ E ∗ ) i llavors f ´es exhaustiva.
Algweb b) Si f ´es exhaustiva, Im(f ) = F =⇒ rang(f ) = m =⇒ rang(f ) = rang(f ) = m =⇒ η(f ) = 0 =⇒ Ker(f ) = {0} =⇒ f ´es exhaustiva.
Àlgebra i Geometria Enginyeria de Camins, Canals i Ports Exercici 11/10 (nivell 3) Sigui En un K-espai vectorial de dimensi´ o finita, i W un subespai vectorial d’En . Definim l’anul·lador de W com: W 0 = {f ∈ En∗ /∀v ∈ W f (v) = 0} Demostreu que: a) W 0 ´ es subespai vectorial d’En∗ b) dimK W + dimK W 0 = dimK En = dimK En∗ c) Si U, W s´ on subespais vectorials d’En i U 0 , W 0 els seus anul·ladors respectius, llavors (U + W )0 = U 0 ∩ W 0 ; (U ∩ W )0 = U 0 + W 0 ; (U 0 )0 = U Algweb d) Si En = U ⊕ W , llavors En∗ = U 0 ⊕ W 0 e) Sigui En = U ⊕ W . Llavors, ∀x ∈ En sabem que existeixen i s´