Tema 2 SSIS (2017)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Senyals i sistemes - SIS
Año del apunte 2017
Páginas 7
Fecha de subida 24/06/2017
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SSIS NR Tema 2: Funcions i Límits  Transformada: 𝑥(𝑡) → 𝑋(𝑓) ∞ TF DIRECTA: 𝑋(𝑓) = ∫ 𝑥 (𝑡) · 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 −∞ ∞ TF INVERSA: 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑋(𝑓) · 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 −∞ ∞ DFT: 𝑋(𝐾) = ∑ 𝑥[𝑛] · 𝑒 −𝑗2𝜋𝐹𝑡 −∞ 1 SSIS NR 2 SSIS Linealitat NR 𝑎 · 𝑥1 (𝑡) + 𝑏 · 𝑥2 (𝑡) → 𝑎 · 𝑋1 (𝑓) + 𝑏 · 𝑋2 (𝑓) Simetries 𝑥 (𝑡) → 𝑋(𝑓) Escalat Gir 𝑥 (𝑎𝑡) → 1 𝑓 𝑋( ) |𝑎| 𝑎 𝑥 (−𝑡) → 𝑋(−𝑓) 𝑥 (𝑡) ∗ ℎ(𝑡) → 𝑋(𝑓) · 𝐻 (𝑓) Convolució Desplaçament 𝑥 (𝑡) → 𝑋(𝑓) temporal 𝑥 (𝑡 − 𝑡𝑜) → 𝑋(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡0 𝑥 (𝑡) → 𝑋(𝑓) Dualitat 𝑋(𝑡) → 𝑥 (−𝑓) 3 SSIS Modulació Enfinestrament NR 𝑥 (𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑡𝑓0 → 𝑋(𝑓 − 𝑓0 ) 𝑋(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝑋 (𝑓 + 𝑓0 ) 𝑥 (𝑡) · cos(2𝜋𝑓0 𝑡) → 2 𝑥 (𝑡) · 𝑤(𝑡) → 𝑋 (𝑓) ∗ 𝑊(𝑓) 𝑑 𝑥(𝑡) → 𝑗2𝜋𝑓 · 𝑋 (𝑓) 𝑑𝑡 Temps Derivació Freq 𝑗2𝜋𝑓 · 𝑥 (𝑡) → 𝑡 Integració ∫ 𝑥 (𝜏) 𝑑𝜏 → −∞ 𝑑 𝑋(𝑓) 𝑑𝑓 𝑋 (𝑓) 1 + 𝑋(0) · 𝛿(𝑓) 𝑗2𝜋𝑓 2 𝑥 (𝑡) → 𝑋(𝑓 )|𝑓=0 = 𝐴𝑅𝐸𝐴 𝐷 ′ 𝑈𝑁 𝑆𝐸𝑁𝑌𝐴𝐿 4 SSIS NR ∞ ∞ ∗( ∫ 𝑥 (𝑡) · 𝑦 𝑡) 𝑑𝑡 → ∫ 𝑋(𝑓) · 𝑌 ∗ (𝑓) 𝑑𝑓 Parserval −∞ −∞ ∞ ∞ ∫ |𝒙(𝒕)|𝟐 𝒅𝒕 → ∫ |𝑿(𝒇)|𝟐 𝒅𝒇 −∞ −∞ Simetries: 5 SSIS NR ❖ Prop Trigonomètirques: cos(𝐴 + 𝐵) = 𝑐𝑜𝑠𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑠𝑖𝑛𝐴 · 𝑠𝑖𝑛𝐵 sin(𝐴 + 𝐵) = 𝑐𝑜𝑠𝐴 · 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 1 𝑠𝑖𝑛𝐴 · 𝑠𝑖𝑛𝐵 = [cos(A − B) − cos(A + B) ] 2 1 𝑐𝑜𝑠𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 = [cos(A − B) + cos(A + B) ] 2 𝑠𝑖𝑛𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 1 [sin(A − B) + sin(A + B) ] 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 2 sin 𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 𝑥 NOTA: Per veure QUANT de rapid baixa la TF: lim 𝑋(𝑓) = 𝑓→∞ 𝑘 𝑓 𝑛+1  Enfinestrament: 𝑥𝑤 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) · 𝑤(𝑡) → 𝑋𝑤 (𝑓) = 𝑋(𝑓) ∗ 𝑊(𝑓) La finestra ideal és una 𝛿(𝑡) 6 SSIS NR 𝑇 𝛼𝑝𝑠 f − 3 𝑇 − 2 1 − 𝑇 𝑇 ∆𝑓𝐿𝑃 t 1 𝑇 2 𝑇 3 𝑇 f 𝑤 (𝑡) = Π ( ) → 𝑊(𝑓) = 𝑇𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑇𝑓) 𝑇 ∆𝑓𝐿𝑃 = f 2 𝑇 𝛼𝑝𝑠 (𝑑𝐵) = 20𝑙𝑜𝑔 𝑊(0) |𝑊(𝑓𝑚𝑎𝑥 )| f NOTA: Si T>>augmenta La amplitud augmenta El lobul principal será més estret Finestres més utilitzades: 7 |𝑊(𝑓𝑚𝑎𝑥 )| ≥ |𝑊(𝑓)| ...

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