Interpolació (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería en Tecnologías Industriales - 3º curso
Asignatura Mètodes numèrics
Año del apunte 2013
Páginas 2
Fecha de subida 22/07/2014
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Interpolaci´ o de Lagrange x x0 x1 ··· f (x) f (x0 ) f (x1 ) · · · n Lk (x) = i=0 (i=k) xn f (xn ) (1) x − xi xk − xi (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn ) , (xk − x0 )(xk − x1 ) · · · (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) · · · (xk − xn ) = per k = 0, 1, 2, . . . , n. Aleshores: n Pn (x) = f (xk )Lk (x) k=0 = f (x0 )L0 (x) + f (x1 )L1 (x) + · · · + f (xn )Ln (x) ∈ Rn [x] ´es (l’ u ´nic!) polinomi de grau ≤ n que satisf`a: Pn (xi ) = f (xi ) per i = 0, 1, 2, . . . , n Pn ´es el polinomi interpolador corresponent a la mostra (1) en la seva forma de Lagrange 1/2 Error en l’interpolaci´ o de Lagrange Si: x0 , x1 , . . . , xn ∈ I, interval de R f ∈ C n+1 (I) Aleshores ∀ x ∈ I, ∃ ξx ∈ x0 , x1 , . . . , xn , x t. q.: f (x) − Pn (x) = f (n+1) (ξx ) (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ), (n + 1)! (2) on x0 , x1 , . . . , xn , x ⊆ I denota el (sub)interval m´es petit de I que cont´e a x0 , x1 , . . . , xn i x.
Observem que ξx dep`en de x La f´ ormula (2) es coneix com la f´ ormula de l’error en la interpolaci´ o de Lagrange A partir de (2) podem trobar expressions per acotar l’error en valor absolut, i. e., |f (x) − Pn (x)|. Aix´ı, per exemple, tindrem que: e(x) := |f (x) − Pn (x)| ≤ sup |f (n+1) (ξ)| × ξ∈I |(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )| , (n + 1)! (3) per tot x ∈ I.
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