Tema 1: jocs estatics (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura Microeconomía
Año del apunte 2014
Páginas 8
Fecha de subida 15/10/2014
Descargas 3
Subido por

Vista previa del texto

PART I: TEORIA DE JOCS La Teoria de Jocs proporciona una metodologia per l’estudi de problemes de decisió multipersonal; és a dir, per l’estudi de situacions de decisió interactiva, en les que les accions d’un individu d’un grup pot afectar el benestar dels altres membres del grup.
Aquestes situacions les anomenem jocs.
L’anàlisi d’un joc requereix distingir entre aquelles situacions en les què els individus tenen la possibilitat d’assolir acords “contractuals” en els que es comprometen a realitzar determinades accions, d’aquelles situacions on aquests acords no són possibles.
Les primeres són l’objecte d’estudi de la Teoria de Jocs cooperatius, que bàsicament el tema central és l’estudi de propostes alternatives de repartiment dels guanys que es deriven de la cooperació. La Teoria de Jocs no cooperatius estudia situacions en les què els individus no poden contractar les seves accions, ja sigui perquè no existeix una autoritat externa que garanteixi el compliment d’aquests contractes (com succeeix, per exemple, amb les relacions comercials, polítiques, etc., entre estats sobirans), o perquè involucren accions considerades il·legals (com, per exemple, els acords per la fixació de preus entre empreses). En els Temes 1 i 2 es presenta la Teoria bàsica de jocs no cooperatius.
En la Teoria de Jocs no cooperatius convé distingir entre jocs estàtics i jocs dinàmics.
Els jocs estàtics són aquells en els que els jugadors adopten accions de forma simultània, o quan, encara que no es realitzin de forma simultània, no són directament observables. En aquests jocs, els jugadors decideixen les seves accions en base a la seva informació disponible inicialment i durant el procés de presa de decisions no es genera informació addicional. Exemples d’aquest tipus de jocs són les eleccions per vot secret.
Aquest tipus de jocs els estudiarem en el Tema 1.
Els jocs dinàmics es caracteritzen pel fet que en el procés de presa de decisions alguns jugadors reben informació nova, que pot ser informació sobre les accions adoptades per altres jugadors (o per un mateix) o resultats de moviments de l’atzar. Aquest tipus de jocs els estudiarem en el Tema 2.
2 TEMA 1. JOCS ESTÀTICS Esquema: 1.1 Representació en forma normal d’un joc 1.2 Racionalitat i informació 1.3 Solucions als jocs estàtics 1.1 REPRESENTACIÓ EN FORMA NORMAL D’UN JOC En la representació d’un joc en forma normal cada jugador escull de forma simultània una estratègia, i la combinació de les estratègies escollides pels jugadors determina el guany de cada jugador.
Anem a il·lustrar la representació en forma normal amb un exemple clàssic: el dilema dels presoners.
Dos sospitosos són arrestats i acusats d’un delicte. La policia no té evidència suficient per condemnar als sospitosos, a menys que un confessi. La policia tanca els sospitosos en dues habitacions separades i els hi explica les conseqüències derivades de les decisions que prenguin. Si cap confessa, ambdós són condemnats per un delicte menor i sentenciats a un mes de presó. Si ambdós confessen, seran sentenciats a 6 mesos de presó. Finalment, si un confessa i l’altre no, el que confessa serà posat en llibertat i l’ altre sentenciat a 9 mesos de presó.
Representació gràfica: Presoner 1 No Confessar Confessar Presoner 2 No Confessar Confessar -1,-1 -9,0 0,-9 -6,-6 Cada jugador té dues estratègies possibles: confessar i no confessar.
En cada casella apareixen els pagaments (o guanys) dels jugadors. El primer correspon al jugador-fila (presoner 1) i el segon jugador-columna (presoner 2).
En cas general, la representació en forma normal d’un joc especifica: 1) Els jugadors en el joc 2) Les estratègies que disposa cada jugador 3) El pagament de cada jugador en cada combinació possible d’estratègies.
3 Notació: n: El número de jugadors S i : El conjunt d’ estratègies del jugador i si : Estratègia particular del jugador i s1 ,...., s n  : Combinació d’estratègies, una per cada jugador.
u i : Funció de pagaments del jugador i u i : S 1  ...  S n   Definició: La representació en forma normal d’un joc amb n jugadors especifica els conjunts d’ estratègies dels jugadors i les seves funcions de guanys. Formalment, un joc en forma normal ve representat per G  S1 ,...., S n ; u1 ,..., u n  1.2 RACIONALITAT I INFORMACIÓ Les propostes de solució que es presenten a continuació estan justificades sota dues hipòtesis fonamentals sobre la conducta dels individus i la seva informació bàsica.
Aquestes hipòtesis són: Racionalitat: L’objectiu de cada individu és maximitzar el seu benestar.
Aquesta hipòtesi no exclou la possibilitat que el benestar d’un individu depengui de la situació d’altres individus i, per tant, admet la possibilitat de comportaments tant individualistes com altruistes. Ara bé, qualsevol consideració sobre el benestar dels altres ha d’estar recollida explícitament en la funció de guanys de cada jugador.
Coneixement comú: El fet que els individus són racionals és de coneixement públic; és a dir, tots saben que els jugadors són racionals, tots saben que tots saben que els jugadors són racionals,....(ad infinitum) (Aumann (1976)).
1.3 SOLUCIONS ALS JOCS ESTÀTICS Predir el comportament dels jugadors d’un joc estàtic requereix identificar un perfil d’estratègies o accions i, per tant, identificar indirectament el resultat del joc. Proposem dos conceptes de solució pels jocs estàtics no cooperatius: el conjunt d’estratègies racionalitzables i el conjunt d’equilibris de Nash.
1.3.1 Estratègies racionalitzables En aquesta primera aproximació formulem un concepte de solució que no es basa en identificar positivament la conducta dels jugadors, sinó d’eliminar de la nostra consideració aquelles accions que definitivament no són compatibles amb les hipòtesis de racionalitat i coneixement comú i que, per tant, no és d’esperar que les adoptin els 4 jugadors. Per formalitzar aquest concepte necessitem introduir la noció d’estratègia estrictament dominada.
Informalment, una estratègia està estrictament dominada si existeix una altra estratègia possible que és sempre millor, es a dir, que aquesta última proporciona al jugador un pagament més gran independentment de les estratègies preses per la resta de jugadors.
Òbviament, un jugador racional mai utilitzarà una estratègia estrictament dominada, ja que aquesta conducta seria inconsistent amb la hipòtesi de que els jugadors adopten les accions que maximitzen el seu benestar.
Definició: En el joc en forma normal G  S1 ,...., S n ; u1 ,..., u n  , siguin si y s'i possibles estratègies del jugador i. L’estratègia s'i està estrictament dominada per si si per cada combinació possible de la resta de jugadors el guany d’ i per utilitzar s'i és estrictament menor que el guany d’ i per utilitzar si . Formalment, u i s1 ,..., si 1 , s 'i , s i 1 ,..., s n   u i s1 ,..., s i 1 , si , si 1 ,..., s n  ,  s1 ,..., s i 1 , s i 1 ,..., s n   S1  ...  S i 1  S i 1  ...  S n Utilitzant la idea que un jugador racional mai escollirà una estratègia estrictament dominada podem resoldre el joc del dilema dels presoners.
Exemple 1 (el dilema dels presoners): Presoner 1 No Confessar Confessar Presoner 2 No Confessar Confessar -1,-1 -9,0 0,-9 -6,-6 Notem que l’estratègia de no confessar és una estratègia estrictament dominada per a cada jugador, ja que és millor confessar independentment del que faci l’altre jugador.
Com els jugadors racionals no utilitzen estratègies estrictament dominades, en el dilema dels presoners (Confessar, Confessar) és l’ únic resultat factible.
Important: Notem que existeix un altre parell d’ estratègies (No Confessar, No Confessar) on ambdós jugadors estarien millor. Per tant, el resultat no és eficient.
Com hem comentat abans, l’ús d’estratègies estrictament dominades és inconsistent amb la hipòtesi de racionalitat. Per tant, aquestes estratègies poden ser eliminades com estratègies possibles. Donat que aquest fet pot ser inferit per qualsevol jugador que sàpiga que els jugadors són racionals, hem d’explotar aquest argument al màxim, ja que una vegada hem eliminat les estratègies estrictament dominades, poden aparèixer, successivament, noves estratègies estrictament dominades. Per proporcionar un concepte de solució consistent amb la hipòtesi de coneixement comú, hem d’eliminar iterativament totes les estratègies estrictament dominades. Aquest procediment s’anomena l’eliminació iterativa d’estratègies estrictament dominades. El conjunt de 5 perfils d’estratègies (una estratègia per cada jugador) que sobreviuen a aquest procés s’anomenen estratègies racionalitzables.
Anem a il·lustrar el procés d’eliminació iterativa d’estratègies estrictament dominades amb el següent exemple: Exemple 2: Considerem el següent joc: Jugador 1 Alt Baix Jugador 2 Esquerra Centre 1,0 1,2 0,3 0,1 Dreta 0,1 2,0 Pel Jugador 1, ni l’estratègia Alt ni Baix estan estrictament dominades.
Pel Jugador 2, Dreta està estrictament dominada per Centre. Així que el jugador 2 mai escollirà Dreta.
Si el Jugador 1 sap que el Jugador 2 és racional pot eliminar Dreta de l’espai d’estratègies del jugador 2 i quedar-se en el següent joc: Jugador 1 Alt Baix Jugador 2 Esquerra Centre 1,0 1,2 0,3 0,1 En aquest cas Baix està estrictament dominada por Alt. Llavors, el jugador 1 mai juga Baix.
Si el Jugador 2 sap que el Jugador 1 és racional pot eliminar Baix de l’espai d’estratègies del jugador 1 i quedar-se en el següent joc: Jugador 1 Alt Jugador 2 Esquerra Centre 1,0 1,2 Ara Esquerra està estrictament dominada per Centre. Així doncs, després d’aquesta eliminació successiva d’ estratègies estrictament dominades ens quedem amb una única estratègia (Alt, Centre).
1.3.2 Equilibri de Nash Un inconvenient de l’eliminació iterativa de les estratègies estrictament dominades és que sovint dóna lloc a una predicció imprecisa sobre el desenvolupament del joc. Això significa que després d’eliminar totes les estratègies estrictament dominades no ens quedem amb una única estratègia per cada jugador. A continuació, presentem l’equilibri de Nash, un concepte de solució que dóna lloc a prediccions molt més precises en una classe de jocs més amplia.
6 Una manera de fonamentar l’equilibri de Nash és l’argument que si la Teoria de Jocs ofereix una solució única a un determinat joc, aquesta solució ha ser un equilibri de Nash en el següent sentit: Suposem que la Teoria de Jocs fa una predicció sobre les estratègies escollides pels jugadors. Per a què aquesta predicció sigui correcta és necessari que cada jugador estigui disposat a escollir l’estratègia predita per la teoria. Per això, l’estratègia predita de cada jugador ha de ser la millor resposta de cada jugador a les estratègies predites dels altres jugadors. Cap jugador vol desviar-se de l’estratègia predita per a ell.
Definició: En el joc en forma normal G  S1 ,...., S n ; u1 ,..., u n  , les estratègies s *1 ,..., s *i 1 , s *i , s *i 1 ,..., s *n  és un equilibri de Nash si per qualsevol jugador i s *i és la millor resposta d’aquest jugador a les estratègies dels altres jugadors s *1 ,..., s *i 1 , s *i 1 ,..., s *n  . Per tant, u i s *1 ,..., s *i 1 , si , s *i 1 ,..., s *n   u i s *1 ,..., s *i 1 , s *i , s *i 1 ,..., s *n  ,  s i  S i , i  1,..., n Exemple 3: Jugador 1 Alt Mig Baix Jugador 2 Esquerra Centre 0,4 4,0 4,0 0,4 3,5 3,5 Dreta 5,3 5,3 6,6 Per cada estratègia del jugador j, subratllem el millor pagament pel jugador i. Llavors si en una casella tenim els dos pagaments subratllats, aquestes estratègies constitueixen un equilibri de Nash.
Jugador 2 Esquerra Centre Dreta 0,4 4,0 5,3 Alt Jugador 1 4,0 0,4 5,3 Mig 3,5 3,5 6,6 Baix Per tant, (Baix, Dreta) és un equilibri de Nash d’aquest joc.
Exemple 4: La batalla dels sexes Un home i una dona intenten decidir què fer aquesta nit. En llocs de treball separats i sense poder comunicar-se, han d’escollir entre anar al cine o a un partit de futbol.
Ambdós prefereixen passar la nit junts, però l’home prefereix el futbol i la dona prefereix el cine. Els pagaments són els següents: Dona Futbol Cine Home 2,1 0,0 Futbol 0,0 1,2 Cine Equilibris de Nash: (Futbol, Futbol) i (Cine, Cine) 7 Aquest exemple mostra que un joc pot tenir múltiples equilibris de Nash.
 Relació entre l’equilibri de Nash i les estratègies que sobreviuen a l’eliminació iterativa de les estratègies estrictament dominades L’equilibri de Nash és un concepte més poderós que l’eliminació iterativa de les estratègies estrictament dominades en el següent sentit: Si s *1 ,..., s *i 1 , s *i , s *i 1 ,..., s *n  és un equilibri de Nash sobreviuen a l’eliminació iterativa de les estratègies estrictament dominades, però poden existir estratègies que sobrevisquin a l’eliminació iterativa d’estratègies estrictament dominades i que no formin part d’ un equilibri de Nash. Formalment, Proposició 1: En el joc en forma normal amb n jugadors G  S1 ,...., S n ; u1 ,..., u n  , si s *1 ,..., s *i 1 , s *i , s *i 1 ,..., s *n  és un equilibri de Nash, llavors sobreviuen a l’ eliminació iterativa de les estratègies estrictament dominades.
Proposició 2: En el joc en forma normal amb n jugadores G  S1 ,...., S n ; u1 ,..., u n  si l’ eliminació iterativa de les estratègies estrictament dominades elimina totes les estratègies menys s *1 ,..., s *i 1 , s *i , s *i 1 ,..., s *n  , aquestes constitueixen l’únic equilibri de Nash del joc.
8 ...

Tags: