REPAS DE CONCEPTES FONAMENTALS. (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 2º curso
Asignatura Sistemes mecànics
Año del apunte 2014
Páginas 82
Fecha de subida 17/05/2014
Descargas 4
Subido por

Vista previa del texto

TEMA 0: REPAS DE CONCEPTES FONAMENTALS.
VECTORS Les imatges incloses en aquest arxiu han estat extretes del llibre: “Mecánica vectorial para ingenieros. Estática.” R.C. Hibbeler. Ed. Pearson 1 0.1 Forces - Les forces tenen caràcter vectorial ( Mòdul + direcció + sentit) - Unitats [N] Coordenades rectangulars: Vector: Mòdul: θ 2 Operacions amb vectors - Producte o divisió per un escalar: NOMÉS VARIA MAGNITUD I SENTIT 3 - Suma o resta de vectors: a) Construcció del triangle IMPORTANT: Llei del sinus i del cosinus.
4 b) Projecció en coordenades rectangulars - 5 Exemple: - Quina és la força resultant? 6 - Producte de vectors: • Producte escalar: Per projectar un vector en una determinada direcció.
La seva solució sempre serà un escalar.
• Vectors paral·lels: AB • Vectors perpendiculars: 0 7 • Producte vectorial: La solució del producte és un vector.
• Vectors paral·lels: 0 X • Vectors perpendiculars: AB 8 0.2 Moment • L’aplicació d’una força en el punt P ocasiona un gir del cargol en direcció z.
• El moment sempre és perpendicular al pla dels dos vectors.
En el pla s’utilitza la regla de la mà dreta.
O 9 Exemple: A 30º 15º d d = OA sin15º=30·sin15º Mo = F·d = 10·30·sin15º = 77,6 Nm 10 Exemple: A F1 F2 F1 no fa moment en el punt O.
Mo=F2·OA=10·sin15º·30=77,6 Nm 11 • Si tenim més d’una força, el moment resultant serà la suma de moments de cada una de les forces.
Exemple: F1 A F2 d1 d2 F1=F·sin30º F2=F·cos30º d1=OA·sin45º d2=OA·cos45º Mo=F1·d2-F2·d1=77,6 Nm 12 Parell: • Un parell són dues forces paral·leles, de sentits oposats i de mateix mòdul.
• No provoquen desplaçament. Provoquen un gir (parell) • Moment d’un parell: • El moment d’un parell de forces no té punt d’aplicació, val el mateix en qualsevol punt de l’espai.
13 0.3 Lleis de Newton 1ª llei: Tota partícula roman en repòs o en moviment rectilini uniforme (v=cte) si no es realitza sobre ella cap acció que modifiqui el seu estat.
2ª llei: Una partícula sobre la que actua una força F experimenta una acceleració a.
3ª llei: Quan dues partícules interaccionen, apareixen sobre elles dues forces iguals i oposades, dirigides al llarg de la recta que les uneix.
14 0.4 Equilibri de la partícula Partícula: Sòlid de petites dimensions amb massa. La massa la podem considerar negligible si és petita en front les altres forces que actuen sobre ella.
• Per tal de que una partícula es trobi en equilibri la resultant de totes les forces que actuen sobre ella ha de ser zero.
Diagrama del cos lliure: Representació d’un objecte o grup d’objectes connectats entre si, que aïlla el cos del seu entorn i representa les interaccions del seu ambient amb l’exterior mitjançant les forces externes adients.
Es considera partícula si totes les forces són concurrents en un sol punt.
15 Exemple: La tensió del costat del cable AB és de 240 N. El sistema està en equilibri. Quan val la tensió del costat del cable AC i l’angle θ? Solució: angle θ = 14º tensió AC = 189,4 N 16 TEMA 1: EQUILIBRI DEL SÒLID RÍGID 17 18 Equilibri del sòlid rígid Per tal de que un sòlid es trobi en equilibri, la resultant de totes les forces que actuen sobre el sòlid, i la suma de moments ha de ser zero.
1.1 Accions d’enllaç Per cada desplaçament impedit entre un sòlid de la unió i l’altre apareix una força d’enllaç.
Per cada gir impedit entre un sòlid de la unió i l’altre apareix un moment d’enllaç.
19 20 21 22 1.2 Tipus de càrregues Forces externes.
23 Forces internes.
Criteri de signes. D’esquerra a dreta i de baix a dalt 24 1.3 Armadures 25 • Les parts que conformen una armadura han de ser rígides.
• Element bàsic d’una armadura és un triangle.
26 Hipòtesis per resoldre armadures de manera ràpida:  Les càrregues només estan aplicades als nusos de l’armadura  Negligim el pes de les barres En armadures grans, hi ha molt pes de l’estructura i s’acostuma a posar la meitat del pes a cada un dels extrems de la barra.
 Els sòlids estan connectats entre si mitjançant passadors.
Tots són membres de dues forces.
27 1.3.1 Mètodes de resolució: 2000 a) Mètode dels nusos BARRA FORÇA (N) ESTAT AD 0 - AC 1118 T AB DC 0 1000 C BC 2500 C 28 b) Mètode de les seccions 2000 Mateixa resolució que sòlid rígid DCLL.
Suma de forces i moments coneixent la direcció de les forces.
29 DCLL DCLL 2000 2000 + By 30 Mirar si una barra treballa o no sense resoldre:  Si en un nus hi conflueixen dues barres i no hi ha cap força aplicada, les dues barres no estan sotmeses a cap força. Només donen regides.
31  Si en un nus hi conflueixen tres barres, no hi ha cap força aplicada, i dues de les barres són paral·leles, les dues barres paral·leles estan sotmeses a la mateixa força i la tercera barra no estan sotmeses a cap força.
+  → ∑ Fx = 0; + ↑ ∑F y = 0; FGF = FGH FGC = 0 32 • EXEMPLE: 4000 N 33 BARRA FORÇA (N) ESTAT AB 4996,5 N TRACCIÓ AE 1000 N TRACCIÓ BC 3331 N TRACCIÓ BD 2000 N TRACCIÓ BE 1665,5 N COMPRESSIÓ CD 2663,7 N COMPRESSIÓ DE 2663,7 N COMPRESSIÓ 34 TEMA 2: Cables 35 Suposicions prèvies:  Cables inextensibles.
 Cables totalment flexibles.
 La força interior resultant en qualsevol punt del cable està en la direcció tangent al cable.
36 h: (fletxa) diferència d’elevació entre el punt més baix del cable i el punt de subjecció.
a: (corda) Distància horitzontal entre dos punts de subjecció.
L: longitud del cable S’estudiarà la relació que hi ha entre la fletxa, la corda, la longitud del cable, la tensió que suporta i les càrregues aplicades sobre ell.
37 a) Cables sotmesos a càrregues concentrades: • Considerarem linies rectes entre càrregues.
• Negligim el pes del cable.
yc DADES: Càrregues a B,C i D, distància en horitzontal de les càrregues i valor de a.
INCOGNITES: yB, yC,yD 38 DCLL: Plantegem l’equilibri del cable.
∑M A = 0; − 4 ⋅ 3 − 15 ⋅ 8 − 3 ⋅16 + E y ⋅18 = 0 ∑F y = 0; − 4 − 15 − 3 + Ay + E y = 0 ∑F x = 0; E y = Ax 39 Podem dividir el cable en segments o en nusos: • La component horitzontal de la tensió del cable és la mateixa en tots els punts del cable.
• La tensió màxima es produeix en el segment del cable que tingui una major inclinació.
Ax = Ti cos θ i ⇒ θ i ↑, Ti ↑ 40 Falta trobar el valor de la reacció al suport en direcció horitzontal Podem conèixer l’elevació que es vol tenir en un dels punts, o bé la tensió màxima que pot aguantar el cable.
Depenent de la dada que coneguem, es farà un DCLL : 41 b) Cables sotmesos a càrregues uniformement distribuides al llarg de la horitzontal.
- Els eixos de coordenades sempre els situem amb origen el punt més baix del cable.
- Com que el pes del cable és negligible enfront la càrrega que suporta, no es té en compte.
42 DCLL: • Tensions en les direcció del cable.
To és la tensió en el punt més baix.
• Com que el cable es troba en equilibri, les tres forces han de ser concurrents.
43  La component horitzontal del cable és la mateixa per tots els punts i val el mateix que la tensió en el punt més baix.
- La tensió mínima estarà situada en x=0.
- La tensió màxima en el punt més allunyat del punt més baix.
44 • La forma de la corba del cable s’obté de la pendent: • Prenent els eixos amb origen al punt més baix, si x=0 i y=0, C=0; Forma del cable parabòlica To = ω⋅x 2h 2 Es pot trobar el valor de la tensió mínima coneixent la x i h d’un punt qualsevol 45  Aplicant condicions de contorn es poden trobar la tensió mínima, la màxima, la longitud del cable… Operant s’arriba a: 46 Per obtenir la longitud: 47 c) Cables sotmesos a càrregues uniformement distribuides al llarg del cable.
• La càrrega important és precisament el pes. Es considera que el pes està distribuït uniformement al llarg del cable.
• Si els suports estan alineats horitzontalment i la fletxa és petita (h/a <0,1) es pot considerar que el cable segueix una funció parabòlica com en el cas anterior.
48 • En qualsevol altre cas: DCLL: Com en el cas anterior, si el cable està en equilibri , les tres forces han de ser concurrents.
49 s Per trobar la corba 50 En aquest cas: Operant i aïllant s s’arriba a: Distància s en funció de x Equació d’una catenària y La solució es troba mitjançant aproximacions successives, mètodes iteratius ...
51 EXEMPLE: Si la màxima tensió del cable es de 5 kN, determinar: a) Reaccions en els recolzaments A i D.
b) Tensions T1, T2 i T3 de cada segment del cable.
c) Distàncies verticals yB i yC.
d) Longitud del cable.
52 TEMA 3: Fricció 53 INTRODUCCIÓ: Fins ara les superfícies es consideraven llises i per tant en el contacte només hi havia una força en la direcció normal. En realitat, hi ha fricció que s’oposa al moviment relatiu entre sòlids.
2 tipus:  fricció seca: component tangencial al contacte entre dues superfícies seques .
 fricció fluida: component tangencial de la força de contacte que hi ha entre capes adjacents en un fluid que es mou a diferents velocitats.
54 • Fricció seca en general:  Si P=0; Per condició d’equilibri només és necessari l’existència d’una força normal al contacte.
 Al afegir P, és necessària una força de fregament col·locada en sentit contrari al possible moviment.
55 DCLL: Equilibri: 56 Sempre en equilibri? Si P F pot augmentar fins el seu valor màxim. El valor de Fmàx ve donat per: A partir d’aquest instant , F passa a valer: És a partir d’aquest instant que el sòlid estarà en moviment 57 Casos possibles moviments: 1. Les forces aplicades sobre el cos no tendeixen a moure’l.
F=0; 2. Les forces tendeixen a moure’l però no són prou grans per aconseguir-ho.
a) N es troba dins el cos (en equilibri).
b) N localitzada fora del cos (no en equilibri, el sòlid bolcarà).
3. El sòlid està a punt de moure’s. Moviment imminent.
= 4. Les forces mouen el sòlid i les equacions d’equilibri estàtic ja no són valides.
58 DCLL: R = N 2 + Fs 2 Fs tan φ = N En moviment imminent: tan φ = µs N N = µs φs = atanµ s angle de fricció estàtic Si: 59 Exemple: Dades: Massa del bloc: 100 kg F= 800 N a=1 m Determinar si el bloc es troba en equilibri i el valor de FR.
60 Tascó (Falca): Utilitzat per : - transformar una força amb una altra major.
- per aconseguir desplaçaments petits.
- per fer ajustos de càrregues.
DCLL: 61 Exemple: Es vol moure un pes de 3000 N mitjançant un parell de tascons. Si el coeficient de fregament estàtic val 0,35 en totes les superfícies de contacte i no es tenen en compte els pesos dels dos tascons: quina és el valor mínim que ha de valdre la força P per començar a moure la càrrega? 62 Exemple: PA=60N PB=40N PC=20N Pmín perquè el bloc A es mogui? 63 Rosques de filet quadrat : L: pas. Distància que mou el cargol en una volta (rosca simple).
L=2·pas. (Rosca doble).
θ: angle d’inclinació de l’hèlix 64 Per collar el cargol es compleix que: W La rosca aplica una força normal i una força tangent al filet.
F N M (per collar).
M = rW tan (θ + φ ) 65 Si la superfície del filet és lliscant, al reduir el valor de M, el cargol pot tendir a descargolar-se i la força S és menor que abans.
θ >φ M = rW tan (θ − φ ) En un cargol auto blocant, no és necessari cap M perquè el cargol es mantingui en equilibri.
φ =θ 66 Per descargolar el cargol: θ <φ M = rW tan (φ − θ ) Serà necessari aplicar M per descargolar el cargol.
67 EXEMPLE: L’abraçadora de la figura manté les dues peces unides. Té una rosca quadrada de rosca doble de diàmetre mig en 10 mm i pas 2mm. El coeficient de fricció entre rosques és de 0,30. Si s’aplica un moment torcional màx. de 40 N·m per apretar.
Calcular: a) Força exercida sobre les peces.
b) Moment necessari per afluixar.
68 Corretges: • Si no hi hagués fricció la corretja patinaria sobre la politja i no es podria transmetre el moviment.
• El moment màxim aplicat a la politja té lloc quan la corretja està a punt de patinar.
• Si no es considera el fregament  T2=T1 i M=0; M s’aplica per mantenir l’equilibri.
• Si hi ha fregament  M=r (T2-T1) per mantenir l’equilibri.
69 Tal i com s’ha dibuixat el fregament s’assumeix que T2>T1.
DCLL : En direcció radial: (1) En direcció tangent: (2) • Si assumim que la corretja està a punt de lliscar: (3) 70 Mitjançant les equacions (1), (2) i (3) i operant arribem a: Integrant l’equació des dels contactes A1 i A2: β: angle de contacte entre la corretja i la politja, (sempre amb radians) Aquesta equació mostra el màxim canvi de tensió que experimenta la corretja.
T2>T1 (sempre)  T2 serà la tensió en la part de la corda que tendeix a patinar. T1 en la part que resisteix.
• Si la corretja llisca es pot utilitzar la mateixa expressió però utilitzant 71 Si la corretja té forma de U:  La corretja suporta dues normals i dues forces de fricció.
 Fent el raonament anterior s’arriba a: Coef. de fregament reforçat.
Les corretges trapezoidals sempre tenen una T2 major que les planes per un mateix valor de μs i β.
72 TEMA 4: Bigues 73 Tipus de càrregues. Càrregues distribuïdes 74 Càrrega resultant equivalent FR FR = ∫ ydx Àrea sota la corba geomètrica de càrrega La posició s’obté mitjançant la suma de moments.
d x M o = FR ⋅ d M o = ∫ xdy = ∫ xydx xydx ∫ d= ∫ ydx Centre de l’àrea geomètrica de càrrega 75 Càrrega resultant equivalent Càrrega rectangular.
FR=bh b 0 0 FR = ∫ hdx = h ∫ dx = bh b b/2 b h b b 0 0 xhdx h ∫ xdx ∫ d= = = bh hdx ∫ b 0 h 2x bh 2 b 0 b = 2 76 Càrrega resultant equivalent Càrrega triangular.
FR=bh/2 FR = ∫ b 0 h h b h 2 b bh xdx = ∫ xdx = = x 0 b b 0 2b 2 h b 2 h b h x dx xdx x 3 ∫0 b ∫ 2b 0 x 3 b b 0 = = = d= b bh bh h 3 xdx ∫0 b 2 2 b 2b/3 77 Forces internes.
Criteri de signes. D’esquerra a dreta i de baix a dalt 78 Bigues. Dimensionat.
Tipus d’esforços: Esforç tallant V = ∫ τdA A Si considerem distribució uniforme 79 Esforç normal: N x = ∫ σ x dA A Si considerem distribució uniforme M z = − ∫ σ x ydA A Mz σx = − y Iz N σx = A Mz σx = − Wz 80 Esforç total: Esforç resultant: 2 σ resultant max = σ max + 3τ 2 Exemple Von-Misses En el nostre cas: Mz σx = − Wz Considerem negligible l’esforç tallant en front del normal 81 σ adm ≥ σ resultant max 82 ...