Teoria_Mètode_Variacional (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 13
Subido por

Vista previa del texto

.
Teoria: M` etode Variacional Notem que la teoria pertorbativa que hem desenvolupat anteriorment en les classes de teoria, no ens ´es de gran ajuda si no coneixem d’entrada les solucions exactes al problema amb un hamiltoni`a similar a l’original. El m`etode variacional que es presenta en aquest pdf, ´es for¸ca u ´til per estimar l’energia de l’estat fonamental E0 , sense con`eixer tals solucions exactes.
La idea ´es considerar un estat de prova, |˜0Í, que s’assembli a l’estat propi amb energia E0 , |0Í (la dificultat d’aquest m`etode, b` asicament consisteix en escollir b´e l’estat de prova, ja que en principi, no en tenim ni idea de com ´es |0Í). Llavors, si definim ˜ ˜ ¯ = È0|H|0Í H Ș0|˜0Í (0.1) (on hem tingut en compte la possibilitat de que l’estat de prova |˜0Í, no estigui normalitzat), es verifica el seg¨ uent: ¯ Ø E0 .
H (0.2) Aix`o significa que podem obtenir una fita superior al nivell de m´ınima energia E0 , considerant diferents tipus d’estats prova |˜ 0Í. Demostrem que aix`o ´es aix´ı. A priori, no coneixem els estats propis de l’hamiltoni` a H, per` o suposem que l’estat |˜0Í es pot desenvolupar de la seg¨ uent manera: |˜0Í = Œ ÿ k=0 Èk|˜0Í|kÍ, (0.3) on |kÍ ´es un estat propi exacte d’H: H|kÍ = Ek |kÍ. Introduint (0.3) en (0.1), la desigualtat (0.2) sorgeix de la seg¨ uent igualtat trivial: Ek = Ek ≠ E0 + E0 . Se segueix que ¯ = H Œ ÿ |Èk|˜ 0Í|2 Ek k=0 Œ ÿ k=0 |Èk|˜ 0Í|2 = Œ ÿ k=0 |Èk|˜ 0Í|2 (Ek ≠ E0 + E0 ) Œ ÿ k=0 |Èk|˜0Í|2 = Œ ÿ k=0 |Èk|˜0Í|2 (Ek ≠ E0 ) Œ ÿ k=0 |Èk|˜0Í|2 + E0 Ø E 0 , (0.4) on s’ha considerat que la resta Ek ≠ E0 ´es positiva. Evidentment, si feim |0˜Í = |0Í tenim la ¯ = E0 , ja que qŒ |Èk|0Í|2 Ek = E0 i qŒ |Èk|0Í|2 = 1.
igualtat: H k=0 k=0 Aquest m`etode ´es for¸ca potent per estimar l’estat fonamental, per`o no diu res de quant ¯ respecte E0 . La u ¯ ´es major o igual que E0 . Com ja he difereix H ´nica cosa que ens diu ´es que H comentat anteriorment, el m`etode variacional tampoc ens diu quin ´es el tipus d’estat de prova que cal utilitzar per fer l’estimaci´ o, sin´ o que ens hem de servir de la nostra intu¨ıci´o f´ısica. A la pr`actica, el que un sol fer ´es caracteritzar l’estat de prova per un o m´es par`ametres ⁄i , i calcular ¯ com una funci´ H o dels ⁄i . Llavors sols es tracta de veure quin o quins valors de ⁄i minimitzen ¯ ¯ H, i per aix` o imposem: ˆ H/ˆ⁄ i = 0. Si aquesta manera de procedir l’aplicam a un estat de prova que ja t´e la forma funcional de l’estat fonamental exacte, obtindrem el vertader nivell de m´ınima energia. Veiem-ne alguns exemples.
1 .
Volem estimar el nivell fonamental d’una part´ıcula en un pou infinit d’amplada 2a. El problema ve caracteritzat pel seg¨ uent potencial: V (x) = I 0, per |x| < a Œ, per |x| > a (0.5) Del curs de f´ısica qu` antica, sabem que les solucions exactes a aquest problema, s´on 3 4 1 fix Â0 (x) = Èx|0Í = Ô cos , a 2a E0 = ~2 fi 2 ; 8ma2 (0.6) encara que per aplicar aquest m`etode, com ja he dit, les solucions exactes s´on irrellevants i en general no les coneixerem. El que si sabem ´es que la funci´o d’ona ha de fer-se zero a x = ±a (aquesta ´es una condici´ o de contorn del sistema), i la funci´o m´es simple que verifica aix`o ´es una par`abola. Sembla raonable, doncs, proposar: ˜0 (x) = Èx|˜0Í = a2 ≠ x2 . En aquest cas no hem ¯ introdu¨ıt cap par` ametre respecte el qual minimitzar. Calculem H, ¯ = H ~2 ≠ 2m ⁄ +a ≠a (a2 ≠ x2 ) ⁄ +a ≠a 2 d2 2 (a ≠ x2 )dx dx2 2 2 (a ≠ x ) dx = ... = 10 ~2 fi 2 ¥ 1.0132E0 ; fi 2 8ma2 (0.7) on he considerat el seg¨ uent: Ș 0|H|˜ 0Í = Ș 0| H |˜0Í = = ⁄ +Œ ≠Œ ⁄⁄ +Œ ˜0ú (x)dx ≠Œ ⁄ +Œ ≠Œ Ș0|xÍÈx|H|xÕ ÍÈxÕ |˜0ÍdxdxÕ Èx|H|x ͘0 (x )dx .
Õ Õ (0.8) Õ Si no especifiquem la forma de l’H, l’expressi´o anterior no es pot simplificar m´es. Aix´ı i tot, pels casos que ens surten sovint, hamiltonians del tipus H = P 2 /(2m) + V (X), sempre acabem tenint C D 3 42 ⁄ +Œ 1 d ú ˜|H|0 ˜Í = È0 ˜0 (x) ≠i~ + V (x) ˜0 (x)dx.
(0.9) 2m dx ≠Œ Com es pot apreciar, amb una funci´ o de prova tant simple com ho ´es la que hem utilitzat, s’estima for¸ca b´e el nivell fonamental. Aix´ı i tot, podem arribar a un resultat m´es exacte si utilitzem una funci´ o de prova de la forma: ˜0 (x) = |a|⁄ ≠ |x|⁄ , essent ⁄ el par`ametre respecte el qual minimitzarem. Procedint exactement com ho hem fet abans, s’arriba a: 2 2 ¯ = 2(⁄ + 1)(2⁄ + 1) fi ~ © f (⁄)E0 .
H fi 2 (2⁄ ≠ 1) 8ma2 (0.10) ¯ ´es m´ınim. Es troba que f Õ (⁄) ´es zero per Imposant f Õ (⁄) = 0, trobem per quin valor de ⁄, H Ô Ô ⁄± = (1 ± 6)/2, i f (⁄) t´e un m´ınim a ⁄+ = (1 + 6)/2 ¥ 1.7247, no molt lluny de ⁄ = 2, considerat al principi. Mitjan¸cant aquest procediment, la cota encara ´es millor, Ô 5+2 6 ¯ Hm´ın. = f (⁄+ )E0 = E0 ¥ 1.0030E0 .
(0.11) fi2 2 .
En el llibre del Ll. Garrido & J.M. Pons, aix´ı com al Griffiths, s’hi poden trobar altres exemples.
Aix´ı mateix, el m`etode variacional tamb´e ens serveix per estimar els nivells d’energia corresponents als primers estats excitats. El que cal fer llavors ´es treballar amb un estat de prova, ortogonal a l’estat fonamental exacte (si es coneix), o aproximat (que harem pogut calcular amb el mateix m`etode variacional).
3 ...