Equacions diferencials (2009)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2009
Páginas 14
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 4
Subido por

Vista previa del texto

1 Equacions diferencials ordinaries Una equaci´o diferencial (EDO) ´es una relaci´o que ha de complir una funci´o juntament amb alguna de les seves derivades. La inc`ognita no ´es un valor num`eric sino una funci´o. Per exemple • (y(x) )2 + sin(y(x)) = 3x2 • y(x) = y(x) + 5 S’anomena ordre d’una equaci´o diferencial a l’ordre de derivaci´o m´es alt que apareix en la funci´o inc`ognita de l’equaci´o. Per exemple, [1 ] y(x) = 2y(x), ´es una EDO d’ordre 1.
[2 ] y(x) = y(x) + 5, ´es una EDO d’ordre 2.
[3 ] y (4) (x) − y (3) (x) + y + 5 = x2 , ´es una EDO d’ordre 4.
La Soluci´ o d’una EDO d’ordre n ´es una funci´o, n vegades derivable, que en ser sustituida a l’equaci´o la converteix en una identitat. Aix´ı, y(x) = e2x ´es soluci´o de [1] doncs y (x) = 2e2x = 2y(x) . M´es encara, tamb´e ho ´es tota funci´o y(x) = Ce2x per a qualsevol constant C. A aquesta expressi´o, que, pot demostrar-se que recull totes les solucions de l’equaci´o, se l’anomena soluci´ o general. Per precisar una soluci´ o particular (´es a dir determinar un valor per C) caldr`a imposar a m´es alguna condici´o inicial (al conjunt de l’equaci´o i la dada inicial s’anomena problema de valors inicials). Per a [1], de primer ordre, basta imposar el valor de la soluci´o en un instant x donat: per exemple, y(0) = 7 determina y(x) = 7e2x . La soluci´o general d’una EDO d’ordre n contindr`a n constants arbitr`aries i haurem de donar n dades inicials (per a [3], cal donar els valors de y, y , y i y (3) en x = 0 o en un altre x = x0 ; [3] m´es aquests 4 dades ser`a el problema de valors inicials).
Generalment, per simplificar la notaci´o, la funci´o inc´ognita d’una equaci´o diferencial es representara simplement per y quan la variable de la funci´o estigui clarament determinada. Per exemple (y(x) )2 + sin(y(x)) = 3x2 la escriurem com (y )2 + sin y = 3x2 .
´ habitual trobar equacions diferencials on s’utilitza la notaci´o de les derivades, dy , d2 y2 , . . . , en Es dx dx lloc de la notaci´o y , y , . . .. Aix´ı les dos equacions diferencials seg¨ uents s´on la mateixa equaci´o per`o fent servir notacions equivalents: • (y )2 + sin y = 3x2 ; • dy dx 2 + sin y = 3x2 .
La forma standard per escriure una EDO de primer ordre ´es: y = g(x, y).
1 El problema consisteix en trobar solucions. Com ja hem dit abans, una soluci´o d’una equaci´o diferencial ´es qualsevol funci´o y(x) que al ser sustituida en l’equaci´o satisf`a la relaci´o que indica l’equaci´o diferencial, a dir compleix que y (x) = g(x, y(x)), per a tot x.
Aix`o no ens diu com trobar solucions, per`o si com verificar si una funci´o ´es soluci´o o no ho ´es d’una EDO donada.
Exemple: Comproveu si les funciones 1. y1 (x) = 3ex , 2. y2 (x) = sin x s´on soluci´o de y = y.
Observeu que (y1 ) (x) = 3ex = y1 (x) i per tant y1 ´es soluci´o.
(y2 ) (x) = cos x = sin x = y2 (x) i per tant y2 no ´es soluci´o.
Exemple: Modelitzaci´ o de la desintegraci´ o radioactiva Considerem el seg¨ uent fet (comprovat experimentalment): El proc´es de desintegraci´o d’un element radioactiu fa que la seva concentraci´ o disminueixi a una velocitat proporcional a la mateixa concentraci´ o.
Volem trobar una EDO que modelitzi aquest proc´es.
Quantitats implicades: • t = temps (variable independent).
• r(t) = quantitat de l’element radioactiu present en l’instant t (variable depenent).
• −λ = tasa de desintegraci´o (par`ametre λ > 0).
• r0 = r(0) quantitat inicial de l’element radioactiu L’EDO buscada ´es: dr (t) = −λr(t).
dt Les solucions s´on r(t) = Aeλt on A es una constant. Efectivament dr (t) = −λAeλt = −λr(t).
dt 2 Ja que a m´es volem que r(0) = r0 , cal que r0 = Aeλ0 = A i la soluci´o de l’EDO ´es r(t) = r0 eλt .
Observaci´ o 1.1. La concentraci´o es redueix a la meitat en un temps que no dep`en de la concentraci´ o inicial (aquest temps s’anomena ”vida mitja”de l’element en q¨ uesti´ o, es a dir r0 temps que tarda a passar de r0 a 2 ). Efectivament, si volem cercar per a quin t es compleix que r0 = r0 eλt 2 aix`o ´es equivalent a 1 = eλt 2 i a¨ıllant t obtenim que t = lnλ2 que no dep`en de la quantitat inicial r0 .
1.1 Equacions diferencials de primer ordre L’objectiu d’aquesta secci´o ´es el de descriure m`etodes de resoluci´o de certs tipus particulars d’equacions diferencials de primer ordre: y = dy = g(x, y) dx Observeu que involucra la funci´o inc`ognita y i la seva primera derivada y a m´es de la variable independent x d’aquesta funci´o inc´ognita.
1.1.1 EDOS en variables separades El cas m´es elemental d’equaci´o diferencial de primer ordre ´es quan no surt y en l’equaci´o i es pot posar y = Q(x). Llavors les solucions s´on y(x) = Q(x)dx; ´es a dir, les primitives de la funci´o coneguda Q(x).
Definici´ o 1.1. Es diu que una equaci´o diferencial de primer ordre ´es una equaci´ o en variables separables si es pot posar de la forma R(y)y = Q(x)(que ´es equivalent a R(y) dy = Q(x) i a R(y)dy = Q(x)dx).
dx On R(y) ´es una funci´o de y coneguda i Q(x) ´es una funci´ o de x tamb´e coneguda.
Per exemple, s´on equacions diferencials en variables separables les equacions: • y = 7y que es pot posar com y1 y = 6 • y = x3 y2 que es pot posar com y 2 y = x3 3 El m`etode per resoldre aquestes equacions diferencials, (suposant que les funcions R(y), Q(x) s´on cont´ınues) es basa en el m`etode del canvi de variable pel c`alcul de primitives: efectuant el canvi de variable t = y(x) es converteix R(y(x))y (x)dx en R(t)dt. A la pr`actica no cal canviar el nom de la variable, nom´es cal interpretar y com una nova variable i no com y(x).
Aix´ı R(y(x))y (x) = Q(x) ⇒ i llavors R(y)dy = Q(x)dx ⇒ R(y(x))y (x)dx = R(y)dy = Q(x)dx, Q(x)dx d´ona les solucions impl´ıcites de l’equaci´o.
Exemple: 1. y = x3 .
y2 Escrivim y 2 y = x3 i d’aqu´ı y 2 dy = La soluci´o expl´ıcita ´es y(x) = 3 3 4 x 4 x3 dx ⇒ y3 x4 = + C.
3 4 + C.
2. xy(1 + x2 2)y − (1 + y 2 ) = 0. Separant les variables, obtenim 1 y y = ⇒ 2 1+y x(1 + x2 ) per tant, 1 2 y dy = 1 + y2 1 dx x(1 + x2 ) ln(1 + y 2 ) = ln |x| − 12 ln(1 + x2 ) + C, ´es una soluci´o impl´ıcita de l’equaci´o.
la soluci´o expl´ıcita s’obt´e posant 2 2 1 + y 2 = eln x e− ln(1+x ) eC ⇒ y(x) = 1.1.2 2 K x2 − 1.
x2 + 1 Equacions diferencials lineals de primer ordre Definici´ o 1.2. Es diu que una equaci´o diferencial de primer ordre ´es lineal si es pot posar de la forma y + P (t)y = Q(t) (1) on P (t), Q(t) s´ on funcions conegudes de x.
La resoluci´o d’aquestes equacions diferencials es pot realitzar aplicant el seg¨ uents passos 1. Es considera l’EDO lineal homog`enia associada: y + P (t)y = 0 que ´es de variables separades i que t´e per soluci´o yh (t) = Ce −P (t) dt .
2. Es busca una soluci´o ”particular”de l’EDO, yp , es a dir una funci´o yp (t) que compleix yp (t) + P (t)yp (t) = Q(t). La soluci´o de l’EDO es: y(t) = yh (t) + yp (t).
4 3. Per buscar la soluci´o particular fem servir el ”m`etode de variaci´o de par`ametres”, ´es a dir suposem que yp (t) = C(t)e −P (t) dt i busquem condici´on sobre C(t) per tenir una soluci´o particular de (1). Per tant yp (t) = C(t)e −P (t)dt ⇒ (yp ) (t) = C (t)e −P (t)dt − C(t)P (t)e −P (t)dt imposem ara (1) i obtenim C (t)e −P (t)dt −P (t)dt − C(t)P (t)e = (yp ) (t) = −P (t)C(t)e −P (t)dt + Q(t) aix´ı que cal que C (t) = Q(t)e− P (t)dt ⇒ C(t) = Q(t)e P (t)dt dt.
Per tant la soluci´o general de (1) ve donada per y(t) = yh (t) + yp (t) = e Exemple: xy + 2y = x4 , o equivalentment y − y(t) = e 1 x2 = 1.1.3 − x2 dx C+ 2y x C+ Q(t)e P (t)dt dt .
= x3 , i per tant la soluci´o ´es x3 e+ x3 x2 dx C+ −P (t)dt 2 dx x = = e−2 ln x C + dx 1 x2 C+ x6 6 x3 e2 ln x dx .
Canvis de variable A vegades hi ha EDOs que mitjan¸cant un canvi de variables es transformen en un EDO de variables separades o lineal.
Exemple: 1. y = (t + y)2 . Fem el canvi t + y = u, per tant 1 + y = u ; transformem l’equaci´o inicial en u − 1 = u2 que es de variables separades i que te per soluci´o u − 1 = u2 ⇒ u2 u =1⇒ +1 du = +1 u2 dt ⇒ arctan u = t + C.
Desfent el canvi u(t) = tan(t + C) ⇒ y(t) = tan(t + C) − t.
2. y = −y t + t−1 .
2y Fem el canvi y 2 = u, per tant 2yy = u transformem l’equaci´o inicial en u u t−1 =− + 2 t 2 5 que ´es lineal i t´e per soluci´o u(t) = e = 1 t2 − 2t dt C+ t − 1 2 dt e t dt = e−2 ln t 2 t−1 2 1 1 t dt = 2 C + t4 − 2 t 8 C+ Per tant y 2 (t) = 1.1.4 1 t2 C+ t − 1 2 ln t e dt 2 1 3 t .
6 1 1 C + t4 − t3 .
8 6 EDOS lineals de segon ordre amb coeficients constants Aquest tipus d’equacions apareixen de forma natural en molts processos f´ısics. Un exemple senzill es: y (x) + 2ky (x) + ω 2 y(x) = F (x) en la que k i ω s´on constants reals. L’equaci´o es pot interpretar com l’expressi´o de la llei de Newton per a una part´ıcula amb un grau de llibertat, i en la que 1. ω 2 representa una for¸ca repulsiva dirigida cap a la posici´o x = 0 i proporcionalment a la dist`ancia.
2. 2ky (per a k > 0) representa una for¸ca amortiguadora proporcional a la velocitat.
3. F (x) ´es una for¸ca exterior variable.
L’objectiu d’aquesta secci´o ´es la resoluci´o d’aquest tipus d’EDOS.
Definici´ o 1.3. Es diu que una equaci´o diferencial ´es lineal homog`enia de segon ordre amb coeficients constants si pot posar-se de la forma ay + by + cy = 0 on a, b, c ∈ R. Podem suposar (dividint per a si fos necessari) que a = 1, i temin aleshores y + by + cy = 0.
(2) S’anomena polinomi caracter´ıstic de l’equaci´ o al polinomi pc (x) = x2 + bx + c.
La soluci´o general ´es: Teorema 1.1. Considerem el discriminat associat a la equaci´ o de segon grau x2 + bx + c = 0 ∆ = b2 − 4c.
Llavors: 1. Si ∆ > 0 la soluci´o general de (3) ´es √ −b + ∆ t + C2 exp y(t) = C1 exp 2 2 6 −b 2 √ − ∆ t , 2 (C1 , C2 ∈ R).
2. Si ∆ = 0 la soluci´o general de (3) ´es b b y(t) = C1 exp − t + C2 t exp − t , 4 4 3. Si ∆ < 0 la soluci´o general de (3) ´es √ b b −∆ t + C2 exp − t sin y(t) = C1 exp − t cos 2 2 2 (C1 , C2 ∈ R).
√ −∆ t , 2 (C1 , C2 ∈ R).
Observeu que en tots els casos la soluci´o ´es de la forma y(x) = c1 y1 (x) + c1 y2 (x).
a m´es y1 i y2 satisfan en cada cas l’EDO i s’anomenen sistema fonamental de solucions.
Exemple: 1. y − y − 6y = 0. El polinomi caracter´ıstic de l’equaci´o ´es pc (x) = x2 − x − 6, que te per arrels x = 2 i x = −3. Per tant la soluci´o general ´es y(x) = c1 e2x + c2 e−3x .
2. y + 6y + 9y = 0. El polinomi caracter´ıstic de l’equaci´o ´es pc (x) = x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 , ´es a dir x = 3 ´es arrel doble. Per tant la soluci´o general ´es y(x) = c1 e3x + c2 xe3x .
3. y + 6y + 13y = 0. El polinomi caracter´ıstic de l’equaci´o ´es pc (x) = x2 + 6x + 13 que t´e les arrels complexes 3 + 2i i 3 − 2i. Per tant la soluci´o general ´es y(x) = c1 e3x cos 2x + c2 e3x sin 2x.
1.1.5 M` etode dels coeficients indeterminats Volem resoldre ara y + by + cy = f (x).
(3) La resoluci´o d’aquestes equacions diferencials es pot realitzar aplicant el seg¨ uents passos 1. Es considera l’EDO lineal homog`enia associada: y + by + cy = 0 Que ´es lineal homog`enia de segon ordre amb coeficients constants i del la qual sabem trobar la soluci´o (Teorema 1.1).
2. Es busca una soluci´o ”particular”de l’EDO, yp , ´es a dir una funci´o yp (x) que compleix yp (x) + byp (x) + cyp (x) = f (x). La soluci´o general de l’EDO ´es: y(x) = yh (x) + yp (x).
7 3. El m`etode del variaci´o de par`ametres permet trobar una soluci´o particular de l’equaci´o, concretament aquesta soluci´o particular ve donada per yp (x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) on y1 (x), y2 (x) s´on un sistema fonamental de solucions de l’EDO homog`enia associada i, c1 (x), c2 (x) satisfan les equacions: c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) = 0 (4) c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) = f (x) (5) Efectivament, tenim que yp (x) = c1 (x)y1 (x) + c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) + c2 (x)y2 (x) c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) = per (4) i yp (x) = c1 (x)y1 (x)+c1 (x)y1 (x)+c2 (x)y2 (x)+c2 (x)y2 (x) = c1 (x)y1 (x)+c2 (x)y2 (x)+f (x) per (5) amb la qual cosa, yp (x) + byp (x) + cyp (x) = (c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) + f (x)) + b (c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x)) +c (c1 (x)y1 (x) + c1 (x)y1 (x)) = c1 (x) (y1 (x) + by1 (x) + cy1 (x)) +c2 (x) (y2 (x) + by2 (x) + cy2 (x)) + f (x) = f (x) ja que y1 (x) + by1 (x) + cy1 (x) = y2 (x) + by2 (x) + cy2 (x) = 0, doncs y1 i y2 s´on un sistema fonamental de solucions de l’equaci´o homog`enia associada.
Exemple: Resoldre: y − 4y + 4y = x3 e2x + xe2x.
El polinomi caracter´ıstic de l’equaci´o ´es pc (x) = x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 , ´es a dir x = 2 ´es arrel doble. Per tant la soluci´o general ´es y(x) = c1 e2x + c2 xe2x .
Una soluci´o particular, ve donada per yp (x) = c1 (x)e2x + c2 (x)xe2x .
on c1 (x)e2x + c2 (x)xe2x = 0 c1 (x)e2x + c2 (x) (e2x + 2xe2x ) = x3 e2x + xe2x 8 simplificant el terme e2x , c1 (x) + c2 (x)x = 0 c1 (x) + c2 (x) (1 + 2x) = x3 + x restant la primera equaci´o a la segona, −c2 (x)x + c2 (x) (1 + 2x) = x3 + x ⇒ c2 (x) = x3 + x 1+x i per tant c2 (x) = x3 + x 1 1 dx = x3 − x2 + 2x − 2 ln (1 + x) .
1+x 3 2 An`alogament c1 (x) = −c2 (x)x = −x x3 + x 1+x i per tant c1 (x) = −x x3 + x 1 1 dx = − x4 + x3 − x2 + 2x − 2 ln (1 + x) .
1+x 4 3 La soluci´o ´es: y(x) = yh (x) + yp (x) 1 1 = c1 e2x + c2 xe2x + − x4 + x3 − x2 + 2x − 2 ln (1 + x) e2x 4 3 1 3 1 2 + x − x + 2x − 2 ln (1 + x) xe2x .
3 2 1.1.6 Models de creixement d’una poblaci´ o L’objectiu d’aquesta secci´o consisteix en trobar lleis de creixement de la poblaci´ o ´es a dir equacions per a la ra´o de canvi dP/dt de la poblaci´o per unitat de temps.
Creixement exponencial o equaci´o de Malthus Es basa en el fet seg¨ uent: La velocitat de creixement de la poblaci´ o ´es proporcional a la mida de la poblaci´ o.
El model exponencial suposa taxes de naixements i morts (amb relaci´o al total de la poblaci´o) constants en el temps. Aix´ı, la ra´o de canvi de la poblaci´o nom´es dep`en de la mida (quantitat) d’individus. En particular, les limitacions d’espai o de recursos no tenen efecte. Aquesta hip`otesi ´es raonable en petites poblacions en grans entorns (com per exemple, primers brots de fongs en un tros de pa, primers brots d’infeccions per bacteris, primers colons dels Estats Units, etc.) Volem trobar una EDO que modelitzi aquest proc´es.
Quantitats implicades: 9 • t = temps (variable independent).
• P (t) = Poblaci´o (quantitat d’individus existents en l’instant t) (variable depenent).
• κ = Constant de proporcionalitat (par`ametre) entre la tassa de creixement i la poblaci´o.
(Per exemple: t = dies, segons, anys,... P (t) = `area dels fongs, concentraci´o de bacteris, habitats.....).
De les hip`otesi anteriors dedu¨ım dP (t) = κP (t).
(6) dt ` Obviament P (t) = 0 ´es soluci´o, per`o correspon a una especie no existent. Si el P (t0 ) > 0 en (t ) = κP (t0 ) = 0. Aix´ı la poblaci´o no ´es constant, a m´es la equaci´o (6) ens assegura algun t0 , dP dt 0 que: • Si κ > 0 i dP (t) dt > 0, la poblaci´o creix.
• Si κ > 0 i dP (t) dt < 0, la poblaci´o decreix.
Si la mida de la poblaci´o en l’instant inicial t = 0 l’anomenem P (0), llavors la soluci´o de (6) ´es: P (t) = P (0)eκt .
Exemple: La Poblaci´o dels Estats Units: Com exemple d’aquest model considereu en la seg¨ uent taula, el cens dels EU, des de l’any 1790: 10 Considerarem com a poblaci´o inicial (t = 0) la de l’any 1790, aix´ı P (0) = 3.9, que sabem que t´e per soluci´o P (t) = 3.9eκt .
No podem utilitzar aquest model per fer prediccions encara, ya que no coneixem el valor de κ.
No obstant aix`o, estem assumint que κ ´es una constant, aix´ı que podem utilitzar la condici´o inicial juntament amb la poblaci´o en l’any 1800 per estimar κ. Si fem 5.3 = P (10) = 3.9eκ10 tenim que eκ10 = 5.3 5.3 ⇒ κ10 = log ⇒κ 3.9 3.9 0.03067.
El nostre model ´es doncs P (t) = P (t) = 3.9e0.03067t .
Com veiem en la taula anterior, aquest model de P (t) ´es aceptable fins 1860, per`o despr´es la predicci´o obtinguda ´es massa gran. El nostre model ´es bastant bo quan la poblaci´o ´es relativament petita. L’error ´es conseq¨ u`encia de que el model estableix que la poblaci´o continuar`a creixent sense cap l´ımit, i `obviament, aix`o no pot succeir. Si volem un model que sigui m´es exacte sobre escala de temps, hem d’incorparar el fet que les poblacions existeixen en una quantitat d’espai finita i amb els recursos limitats.
Model Log´ıstic Com hem vist en l’exemple anterior, quan la poblaci´o el creixement de la qual pret´en ser estudiada arriba a una certa mida en relaci´o amb l’ambient ecol`ogic on es desenvolupa, el model exponencial deixa de ser adequat degut a factors que redueixen la taxa d’increment de la poblaci´o, com l’escassetat de recursos, espai, etc.
En aquests casos resulta adequat introduir un terme de ”control”a fi de mesurar la capacitat de l’ecosistema per sostenir una gran poblaci´o. El model resultant s’anomena model log´ıstic.
Aquest model vol descriure el creixement d’una poblaci´o de persones tant com el de bacteris en un cultiu o la manera com es propaga una epid`emia, per`o tenint en compte factors ambientals que redueixen la taxa de creixement de la poblaci´o, aix´ı la mida de l’esmentada poblaci´o P (t) estar`a limitada a un cert n´ umero m`axim de N (tassa de suport).
L’adust del model exponencial ´es el seg¨ uent.
• Si la poblaci´o ´es petita, l’´ındex de creixement de la poblaci´o ´es proporcional a la seva mida.
• Si la poblaci´o ´es massa gran per ser suportada pel seu ambient i recursos, disminuir`a ´es a dir, l’´ındex de creixement ´es negatiu per a aquest model.
Quantitats implicades: • t = temps (variable independent).
• P (t) = Poblaci´o (quantitat d’individus existents en l’instant t) (variable depenent).
• κ = ´ındex de creixement per poblacions petites (par`ametre) 11 • N = Tassa de suport Volem que – Si P (t) < N , llavors P (t) ´es creixent.
– Si P (t) > N llavors P (t) ´es decreixent.
Amb aquesta notaci´o, tenim que • dP (t) dt κP (t), si P (t) ´es petita.
• P (t) > N , dP (t) dt < 0.
Tamb´e voldr´ıem que el model fos el m´es ”simple”possible, per exemple de la forma: dP (t) = κ(alguna cosa)P (t).
dt on el factor alguna cosa estigui proper a 1 si P (t) es petit, per`o sigui negatiu si P (t) > N . Una expressi´o molt simple amb aquestes propietats ´es: alguna cosa = κ 1 − P .
N En resum, el model logistic ve donat per EDO: dP P (t) (t) = κ 1 − P (t) = f (P ).
dt N (7) Es clar que la funci´o quadr`atica f (P ) talla l’eix P en P = 0 i P = N llocs on dP = 0 per tant dt les funcions P (t) = 0 i P (t) = N s´on solucions de l’equaci´o diferencial. Aquestes dues solucions constants tenen sentit: Si la poblaci´o ´es zero, la poblaci´o segueix sent zero indefinidament; si la poblaci´o ´es igual a la seva tassa de suport, ni augmenta ni disminueix. Anomenarem aquestes soluciones solucions d’equilibri.
El comportament quan t ´es gran ´es el seg¨ uent, si la poblaci´o inicial est`a entre 0 i N , llavors = f (P ) est`a proper a zero tenim f (P ) > 0, la poblaci´o creix, per`o quan P ´es proper a N , dP dt i el creixement ´es cada cop menor. Es compleix que limt→∞ P (t) = N , ´es a dir P tendeix a la tassa de suport.
An`alogament, si P (0) > N , llavors dP/dt = f (P ) < 0, i la poblaci´o disminueix. Es compleix limt→∞ P (t) = N , i de nou P tendeix a la tassa de suport.
12 Soluci´o anal´ıtica de l’EDO (6): dP P 1− Per`o P N 1 P 1− P N =κ dt = κt + C.
1 −1/N + P P 1− N = per tant dP P 1− P N = ln |P | − ln 1 − P P = ln P N 1− N i d’aqu´ı Ceκt = Si P < N Ceκt = Si P < N Ceκt = P .
P 1− N P Ceκt P = ⇒ P (t) = κt .
P P 1− N 1− N 1 + CeN P P = P −1 + 1− N P N ⇒ P (t) = Observeu que en el dos casos lim P (t) = N.
t→∞ 13 Ceκt .
Ceκt −1 N Altres Models En lloc de considerar un sol par`ametre, N podem considerar-ne m´es, per exemple, suposem que volem un model en que: • Si P (t) < a, llavors P (t) ´es creixent.
• Si P (t) > N llavors P (t) ´es decreixent.
Llavors obtenim l’EDO P (t) dP (t) = κ 1 − P (t) − a P (t) dt N ara les solucions d’equilibri s´on P = 0, P = a i P = N , l’estudi del comportament de les soluciones per a temps grans, ´es realitza de manera an`aloga al cas del model logistic.
14 ...