Eines Matemàtiques i Informàtiques d'Anàlisi Polític (Apunts) (2015)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Ciencias políticas y de la Administración - 1º curso
Asignatura Eines Matemàtiques i Informàtiques d'Anàlisi Política
Profesor C.R.
Año del apunte 2015
Páginas 65
Fecha de subida 23/03/2015
Descargas 16
Subido por

Vista previa del texto

EINES MATEMÀTIQUES I INFORMÀTIQUES D'ANÀLISI POLÍTICA Ciències Polítiques i de l'Administració – 1r Curs, trimestre 2 Universitat Pompeu Fabra Eva Rodríguez López Març, 2015 Curs 2014-15 Eines matemàtiques i informàtiques d’anàlisi política (21290) Titulació/estudi: Grau en Ciències Polítiques i Socials Curs: 1r.
Trimestre: 2n Nombre de crèdits ECTS: 4 crèdits Hores dedicació estudiant: 100 Llengua o llengües de la docència: català (teoria) i castellà (seminaris) Professorat: Clara Riba i Paolo Moncagatta 1. Presentació de l'assignatura En l’actual societat de la informació i en un context de creixent utilització de dades quantitatives en tots els àmbits, els aspectes numèrics, així com la utilització de programes informàtics per a analitzar-los, constitueixen coneixements transversals bàsics i necessaris per a qualsevol disciplina.
L’heterogeneïtat de coneixements matemàtics previs dels alumnes que accedeixen al grau posa en evidència la necessitat d’assegurar uns coneixements mínims comuns en aquest àmbit. La incorporació d’aquesta assignatura en el pla d’estudis de Ciències Polítiques i de l’Administració pretén, doncs, subministrar als estudiants les eines matemàtiques bàsiques necessàries per a encarar amb èxit l’aprenentatge de les diferents matèries que s’imparteixen en el grau i per a dotar-los d’una capacitat d’anàlisi i comprensió de la realitat que els serà útil en el decurs de la seva futura carrera professional.
2. Competències a assolir L’assignatura pretén desenvolupar les competències de caire general i la part més elemental de les competències específiques següents, que seran desenvolupades amb més profunditat en cursos posteriors.
Competències generals    Habilitats bàsiques en el maneig de l’ordinador Resolució de problemes Capacitat d’aplicar els coneixements a la pràctica Competències específiques   Identificació dels mètodes i les tècniques d’investigació política i social. Capacitat per a plantejar l’estudi dels fenòmens polítics, disseny de tècniques per a la recollida de dades i verificació d’hipòtesis Capacitat d’operar amb dades d’investigació quantitatives i qualitatives. Domini dels instruments d’anàlisi de dades quantitatius i qualitatius per a la seva aplicació al procés d’investigació.
3. Continguts Les funcions com a models de la realitat i com a eines de predicció. Coneixement de les característiques d’algunes funcions elementals. Anàlisi matemàtica bàsica: conceptes de límits, continuïtat i derivada i la seva aplicació a funcions elementals. Matrius i determinants. Exercicis d’aplicació de models matemàtics elementals a l’anàlisi de la realitat política i social i la seva utilització per a la planificació i el disseny de polítiques públiques i socials.
Utilització de programari informàtic per a la presentació de taules i gràfics, per a l’anàlisi de dades i per a la realització de simulacions a partir de models matemàtics elementals.
4. Avaluació La qualificació final serà una combinació d’avaluació continuada (40%) i d’avaluació final (60%). A més, es recomana que l’estudiant realitzi regularment al llarg del curs les activitats d’avaluació formativa que, tot i que no tenen pes en la qualificació final, li serviran per a adquirir i/o millorar les habilitats de càlcul i li permetran conèixer quin és el seu grau d’assoliment de les competències L’avaluació final serà un examen. L’avaluació continuada consistirà en l’avaluació d’una sèrie d’activitats individuals: exercicis de càlcul i resultats del treball realitzat en les sessions de seminari. La qualificació de l’avaluació continuada serà la mitjana de les qualificacions de tots els elements d’avaluació que calgui lliurar.
Les condicions per a superar l’assignatura són:  Haver assistit a totes les sessions de seminari  Haver lliurat tots els elements d’avaluació continuada  Haver obtingut una nota mínima de 3,5 punts sobre 10 en l’examen  Haver obtingut una qualificació final mínima de 5.
Podran concórrer al procés de recuperació tots els estudiants que havent participat a més de la meitat de les activitats d’avaluació continuada i havent-se presentat a l’examen de l’assignatura, hagin obtingut una qualificació final inferior a 5.
La recuperació es realitzarà durant la quarta i cinquena setmana del tercer trimestre, segons el calendari establert per la Facultat, calendari que podrà incloure alguns dissabtes i/o horaris de tarda dins la setmana lectiva. En tot cas, la programació d’exàmens dins d’aquest període no coincidirà amb horari lectiu de les assignatures del tercer trimestre.
La recuperació per als alumnes que no hagin superat la qualificació de 3,5 en l’examen consistirà en la realització d’un segon examen de les mateixes característiques que el primer. Per als alumnes que no hagin assistit a algun dels seminaris, no hagin lliurat algun dels informes de práctiques o bé hagin obtingut una qualificació de suspès en els mateixos, la recuperació consistirà en la realització d’una pràctica a l’aula d’informàtica.
5. Bibliografia i recursos didàctics 5.1. Bibliografia bàsica BLANCO, Francisca (2004) Introducción a las matemáticas para las ciencias sociales.
Madrid: CIS (Colección Cuadernos metodológicos 33).
BAUM, A. M.; MILLES, S. J. i SCHULTZ, H. J. (1992) Cálculo aplicado. México: Limusa.
HAGLE, T. (1995) Basic Math for Social Scientists: Concepts. London: Sage (Series Quantitative Applications in the Social Sciences, 108).
HAGLE, T. (1996) Basic Math for Social Scientists: Problems and Solutions. London: Sage (Series Quantitative Applications in the Social Sciences, 108).
5.1. Bibliografia complementària Qualsevol llibre de matemàtiques per a les ciències socials de batxillerat.
5.3. Recursos didàctics Material docent de l’assignatura ubicat a l’Aula Global:  Material didàctic utilitzat en les sessions plenàries  Llistes d’exercicis i les seves corresponents solucions  Exercicis de consolidació i les seves corresponents solucions.
6. Metodologia Les activitats d’ensenyament aprenentatge consisteixen en sessions plenàries en les que el professor exposa els conceptes i les nocions teòriques de cada unitat didàctica, en sessions a l’aula d’informàtica on els estudiants han d’aprendre el funcionament de les eines informàtiques mitjançant la realització d’una pràctica guiada, i en sessions de resolució problemes i d’exemples en les que s’acaben de resoldre els dubtes existents i es clarifiquen fonts d’errors. Els estudiants han de treballar també pel seu compte resolent una sèrie d’exercicis que els ajuden a interioritzar els continguts teòrics i a adquirir els procediments i actituds necessaris per aplicar-los. Les activitats formatives dins i fora de l’aula són les següents: Dins de l’aula:  Sessions plenàries d’explicació dels conceptes i procediments.
 Sessions plenàries de resolució d’exercicis i problemes.
 Sessions de pràctiques a l’aula d’informàtica en les que es treballa amb un full de càlcul.
Fora de l’aula:  Treball individual consistent en la resolució d’exercicis i problemes, i en la finalització, ampliació o complementació de les pràctiques guiades realitzades en les sessions de seminari.
 Estudi i correcció dels errors en els exercicis i problemes i en els resultats de les pràctiques.
7. Programació d'activitats Setmana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10   Activitat a l’aula (sessió plenària) Funcions i tipus de funcions. Càlcul de dominis i recorreguts (sessió plenària 1) Funcions polinòmiques. Zeros i factorització de polinomis (sessió plenària 2) Operacions amb funcions. Funció inversa i funció logarítmica (sessió plenària 1) Càlcul amb logaritmes. El número e i el logaritme natural (sessió plenària 2) Límits i càlculs de límits (sessió seminari grup 101 i 201) Utilització de les funcions d’un full de càlcul (sessió plenària) Funcions contínues (sessió seminari grup 102 i 202) Utilització de les funcions d’un full de càlcul (sessió plenària) Concepte de derivada i derivades de funcions elementals (sessió seminari grups 101 i 201) L’ús d’Excel com a eina de gestió (sessió plenària) Aplicacions de la derivada: problemes d’optimització i representació gràfica de funcions (sessió seminari grup 102 i 202) L’ús d’Excel com a eina de gestió (sessió plenària) Funcions de dues variables explicatives. Derivades parcials (sessió seminari grup 101 i 201) L’ús de Solver per a trobar extrems d’una funció i resoldre equacions amb Excel (sessió plenària) Matrius i operacions amb matrius (sessió seminari grup 102 i 202) L’ús de Solver per a trobar extrems d’una funció i resoldre equacions amb Excel (sessió plenària) Determinants. Càlcul de la matriu inversa. Resolució de sistemes per càlcul matricial (sessió seminari grup 101 i 201) Càlcul matricial amb Excel (sessió plenària) Síntesi del curs i aclariment de dubtes (sessió seminari grup 102 i 202) Càlcul matricial amb Excel Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013    NORMES ELEMENTALS DE CÀLCUL      1. OPERACIONS AMB FRACCIONS     Sumes i restes quan les fraccions tenen el mateix denominador                  Mínim  comú  múltiple  de  dos  o  més  nombres  (m.c.m.)  és  el  menor  dels  múltiples  comuns a tots ells (diferent del zero).    Màxim  comú  divisor  de  dos  o  més  nombres  (m.c.d.)  és  el  major  dels  divisors  comuns a tots ells (diferent del 1).    Càlcul del mínim comú múltiple i del màxim comú divisor:  o Es  factoritzen  els  nombres  (és  a  dir,  s’expressen  com  a  productes  de  potències de nombres primers)  o El mínim comú múltiple és el producte del tots els factors elevats al major  dels exponents.  o El  màxim  comú  divisor  és  el  producte  dels  factors  comuns  a  tots  els  nombres elevats al menor dels exponents.    Exemple:  En factoritzar obtenim   24 = 23∙3 ;   36 = 22∙32    i  40 = 23∙5      m.c.m.(24, 36, 40) = 23∙32∙5 = 360       i       m.c.d. .(24, 36, 40) = 22 = 4    Sumes i restes quan les fraccions no tenen el mateix denominador:    o Calcula el mínim comú múltiple dels denominadors  o Transforma les fraccions per tal que totes tinguin com a denominador el  mínim comú múltiple (multiplicant el numerador i el denominador de cada  una d’elles pels factors que li falten al denominador).  o Suma o resta aplicant la norma per a les fraccions que tenen el mateix  denominador.    Exemple:                1    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013     Simplificació de fraccions    o Calcula el màxim comú divisor del numerador i del denominador  o Divideix el numerador i el denominador pel seu màxim comú divisor.    Exemple:    Es verifica que      m.c.d(24, 36) = 12              : :   Racionalització de fraccions    Racionalitzar una fracció és transformar‐la en una fracció equivalent sense radicals  en el denominador.    √ o o √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √       2. CÀLCUL AMB POTÈNCIES     Definicions. Sigui a un nombre real i n i m nombres naturals:    o ∙ ∙∙∙ ∙ o o √ o  Producte, quocient i potència de potències ∙ o : o ∙ o o Aquestes normes també s’apliquen a exponents que siguin negatius, zero o fraccionaris.  Potència d’un binomi. Siguin a i b nombres reals i n i p nombres naturals:     o 2    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013    o ⋯ o ó ! ó Exemple:   Potència d’un producte i d’un quocient   o ∙ ∙ o ∶ :   Suma per diferència  o            3    1: :      ! !∙ … Per a construir‐lo: a Comença amb un 1. b Després, escriu dos uns. a sota. c A les següents files, els números són el resultat de sumar els dos números immediatament superiors. d Els números situats als laterals són sempre uns.  ! : é Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013    3. RESOLUCIÓ D’EQUACIONS      Definició:     Una  equació  és  una  igualtat  entre  dues  expressions  algebraiques  formades  per  números, lletres i símbols matemàtics. A les lletres les anomenem incògnites.   o Resoldre una equació és trobar els valors de les incògnites que fan certa la  igualtat.   o Direm que l’equació té tantes incògnites com lletres diferents intervenen en  la seva expressió.   o El  grau  d’una  equació  amb  una  sola  incògnita  és  el  màxim  exponent  de  la  incògnita que hi ha en l’equació.    Equacions de primer grau     o Es realitzen les operacions indicades que hi ha a cada un dels dos membres,  de tal manera que a cada banda de l’equació hi hagi tant sols un terme amb  incògnita i un altre terme sense incògnita.  o Per  canviar  un  terme  de  membre  cal  canviar  el  signe  (el  que  suma  passa  restant  i  el  que  resta  passa  sumant).  Passa  els  termes  amb  incògnita  a  l’esquerra i els termes sense incògnita a la dreta de l’equació i agrupa’ls, de  manera  finalment  només  et  quedi  un  terme  amb  la  incògnita  igual  a  una  constant.   o Aïlla  la  incògnita,  passant  a  l’altre  membre  el  nombre  que  multiplica  a  la  incògnita a dividir i el que la divideix a multiplicar.    Exemple:     5 4 3 2 4 ⇒     2 3 14 3 14 3 5 3 5 5 10 4 3 10 3 3 3 3 6 4 ⇒  2 ⇒   2 10 ⇒   3 4 ⇒   3 4 3 ⇒   3 4 ⇒   4   5         4    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013     Equacions de segon grau     o S’apliquen  les  mateixes  normes  que  es  fan  servir  per  a  les  equacions  de  primer grau per tal d’aconseguir una expressió simplificada consistent en un  polinomi de segon grau igual a zero, és a dir, una expressió del tipus:    0    o Per a trobar les solucions s’aplica la següent fórmula:      √     Si l’expressió    és  negativa no hi ha solucions. Si és zero només n’hi  ha una (que és doble) i si és positiva n’hi ha dues.    Exemple:     2 6 3 5 ⇒     4 4 6 7 5 0 ⇒   7 √49 2 7 √29 ⇒   2 7    20 3 5 ⇒   ⇒   √29 ≅ 6,19 2 7 √29 ≅ 0,81  2   Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites  o S’apliquen  les  normes  de  resolució  d’equacions  de  primer  grau  per  tal  de  simplificar les dues equacions de tal manera que quedin expressades així:          o Es pot resoldre el sistema per substitució, aïllant la x de la primera equació i  substituint‐la en la segona. Llavors la segona queda amb una sola incògnita,  fet  que  permet  calcular  la  y.  Substituint  el  valor  de  la  y  en  la  primera  equació es calcula la x.  o Es pot resoldre el sistema per igualació, aïllant la x en les dues equacions i  igualant els membres de la dreta. Aquesta igualtat permet calcular la y. La x  es troba substituint el valor de la y en qualsevol de les dues equacions.  o Es pot resoldre el sistema per reducció, multiplicant les dues equacions pel  nombre  necessari  per  tal  que  els  coeficients  de  x  siguin  iguals  al  mínim  comú  múltiple  de  a1  i  a2  i  de  signe  contrari.  Després  es  sumen  les  dues  5    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013    equacions  resultants.  D’aquesta  manera  desapareix  el  terme  en  x  i  es  pot  calcular la y. De la mateixa manera s’aconsegueix que els coeficients de la y  en les dues equacions siguin iguals al mínim comú denominador de b1 i b2  però de signes contraris. Sumant les equacions resultants es calcula la x.    Exemple: suposem que el sistema un cop simplificat és:     2 6 7  4 9 2    a) Resolució per substitució:      ⇒ 4 21 12 ⇒ 9 2 ⇒ 14 7 12 ⇒ 21 12 9 2 ⇒   12 24 6 7 7 21 ⇒ 2 2 25   14   b) Resolució per igualació:    7 6 2 9 7 6 2 9 ⇒ ⇒ 14 12 2 9   2 4 2 4 12 24 7 6 7 7 12 25 21 21 12 ⇒ ⇒ ⇒   21 2 2 14   c) Resolució per reducció:     Es verifica que m.c.m.(2, 4) = 4  i  m.c.m.(6, 9) = 18. Per tant:      Per eliminar la x cal multiplicar la primera equació per ‐2 i no cal fer  res en la segona.    Per eliminar la y cal multiplicar la primera per 3 i la segona per 2.    4 12 14     Sumant s’obté:    21 12 ⇒   4 9 2    6 18 21          Sumant s’obté:    14 25 ⇒   8 18 4      6    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2014‐2015    FUNCIÓ LOGARÍTMICA      1. DEFINICIÓ    La funció logarítmica és la funció inversa de la funció exponencial de la mateixa  base   log ⇔     Els logaritmes més utilitzats i que trobareu a totes les calculadores i fulls de càlcul  són:   El logaritme decimal, que és el de base 10   El logaritme neperià o logaritme natural, que és el de base el número e     2. EXEMPLES    log 100 2 ⇔ 10 100 log 0,5 1 ⇔ 2 0,5 log √27 3 ⇔ 3 2 √27   3. PROPIETATS        El logaritme d’un producte  és la suma de logaritmes  El logaritme d’un quocient és la diferència de logaritmes  El logaritme d’una potència és el producte de l’exponent pel logaritme de la base    log log log / log log   log log   log     4. APLICACIONS    a) Com a eina de càlcul quan no es disposa de calculadora    b) Per a resoldre equacions en les que les incògnites són en els exponents    Exemple:  Volem resoldre la següent equació:              5 3 2     1    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2014‐2015    Calculem  els  logaritmes  dels  dos  termes  de  l’equació.  Podem  usar  la  base  que  vulguem (10 o e, que són les que tenim tabulades) i resolem l’equació resultant:    log 5 3 log 2 ⇒ log 5 1 log 3 4 3 log 2        4 log 2 log 5 log 3 ⇒ 0,0203  log 3 3 log 2     c) Per  a  transformar  variables  i  poder  treballar  amb  relacions  lineals,  que  són  molt  més senzilles de manejar.    Exemple: Suposem que tenim una variable Y amb un creixement exponencial al  llarg del temps. Si en comptes de treballar amb la variable Y treballem amb la seva  transformada Log(Y), el creixement serà aproximadament lineal.   2    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013    LÍMITS DE FUNCIONS      1. DEFINICIÓ    Direm que L és el límit d’una funció   quan x tendeix a a si podem aconseguir  que   s’aproximi tant com vulguem a L per a valors de x propers a a però  diferents d’a.    Cal tenir present que:   Pot existir el límit quan x tendeix a a tot i no existir la imatge de a   Poden existir el límit quan x tendeix a a i la imatge de a, però poden ser  diferents   Poden existir el límit quan x tendeix a a i la imatge de a i ser iguals    La notació que fem servir és:     lim ∈   →   2. CONDICIONS PER A L’EXISTÈNCIA DE LÍMIT     Existeix el límit per la dreta:      lim →  Existeix el límit per l’esquerra:  lim →  Els dos límits laterals coincideixen:  lim → lim →   Una funció pot no tenir límit en un determinat punt perquè no existeix algun dels  límits laterals o bé perquè, tot i existint els dos, aquests són diferents.    Quan una funció creix infinitament quan x tendeix a a, és a dir, quan podem  aconseguir que  sigui més gran que qualsevol nombre real per a valors de x  suficientment propers a a, direm que la funció té límit més infinit quan x tendeix a  a i ho indicarem de la següent manera:    lim ∞  →   Anàlogament, quan una funció decreix infinitament quan x tendeix a a, direm que  la funció té límit menys infinit quan x tendeix a a i ho indicarem de la següent  manera:    lim ∞  →   Cal tenir present que ni +∞ ni  ∞ són nombres reals i que, per tant, en aquestes  situacions direm que la funció no té límit en el punt a.  1    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013    3. LÍMITS EN L’INFINIT    Direm que límit de  quan x tendeix a  ∞ és el nombre real A si es pot  aconseguir que   s’acosti tant com vulguem a A per a valors de x suficientment  grans. Ho indicarem així:    lim   →   En aquest cas direm que la recta   és una asímptota horitzontal per la dreta.    Anàlogament, direm que límit de  quan x tendeix a  ∞ és el nombre real B si  es pot aconseguir que   s’acosti tant com vulguem a B per a valors de x  negatius i en valor absolut suficientment grans. Ho indicarem així:    lim   →   En aquest cas direm que la recta     és una asímptota horitzontal per l’esquerra.  4. PROPIETATS        El límit d’una funció constant és la mateixa constant:   lim   El límit de la funció identitat en el punt a és a:   lim →   El límit d’una suma és igual a la suma dels límits:     lim lim lim →  →    →     El límit d’un quocient és igual al quocient dels límits (si el límit del denominador  és diferent de zero)    lim / lim / lim lim 0   →  →   →   El límit d’un producte és igual al producte dels límits:    lim lim lim → → → → →   El límit d’una potència és igual a la potència del límit    → lim   →   Aquestes propietats permeten calcular límits de funcions si no hi ha  indeterminacions  2    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013        5. CÀLCULS AMB L’INFINIT    Ja s’ha dit que l’infinit no és cap nombre real, sinó un símbol que fem servir per a  indicar que la funció creix infinitament. A l’hora de calcular límits, tant si es tracta  de límits quan x tendeix a un punt a com si es tracta de límits quan x tendeix a més  o menys infinit, ens trobarem que hem de fer operacions en les que intervenen  infinits. Aquestes són les normes de càlcul que cal aplicar:     ∞ ∞ ∞   ∞ ∞ ∞   ∞ ∞ ∞   ∞ ∞ ∞   ∞ ∞ ∞   ∞ ∞,    ∞ / ∞,    / ∞ 0   0 1; ∞ 1    6. INDETERMINACIONS    Direm que es presenta una indeterminació quan el límit d’una funció no es pot  calcular directament a partir dels límits de les funcions més senzilles que la  composen aplicant les propietats anteriors. Les més habituals (amb independència  de l’aplicació de les regles dels signes), així com la manera de resoldre‐les són:     Quocient d’infinits: ∞/∞    Si la funció és el quocient de dos polinomis,    i estem calculant el  límit quan x tendeix a infinit, només cal que observem els graus dels dos  polinomis per a resoldre la indeterminació:    o Si   i   són del mateix grau, el límit és igual al coeficient del terme  de grau màxim de   dividit pel coeficient del terme de grau màxim de  .  o Si el grau de   és major que el de  , el límit és igual a infinit.  o Si el grau de   és menor que el de  , el límit és igual a zero.     Diferència d’infinits: ∞ ∞    Es transforma l’expressió de tal manera que desaparegui la diferència o bé es  transformi en un quocient i es pugui aplicar la norma anterior. Si no es pot fer  la diferència perquè en l’expressió de la funció hi ha radicals, es multiplica i es  divideix la funció per l’expressió conjugada de la que conté el radical.  3    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2012‐2013       Quocient de zeros: 0/0    Si es tracta de calcular el límit quan x tendeix a a d’un quocient de dos  polinomis, es divideix numerador i denominador per   i s’obté una funció  més senzilla que té el mateix límit i que no és indeterminada. Si hi ha radicals,  es multiplica el numerador i el denominador per l’expressió conjugada de la  que conté el radical.     Zero per infinit: 0 ∞    Si  → 0 i  → ∞, es transforma el producte   en l’expressió  /  que presenta una indeterminació del tipus 0/0 que es resol com  s’indica en el punt anterior.     U elevat a infinit: 1     Es transforma l’expressió de la funció   de manera que quedi:      1 1     Quan   tendeix a infinit, l’expressió de la base té per límit el número e. I  aplicant la norma que diu que el límit de la potència és la potència del límit,  s’obté que:    → lim   →     Nota: Per definició, el número e és:    4    lim → 1   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2014‐2015    DERIVADES PARCIALS    1. DEFINICIÓ    Una funció que depèn de dues variables és una superfície en un espai de tres  dimensions. Anomenem     i     a les dues variables i   ,   a la seva imatge.     Per exemple, la gràfica de la funció   , 10 12 80   és:    1 2 200 3 150 4 5 100 6 7 50 13 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 11 12 13 14 15 9 5 10 11     Les derivades parcials de la funció   ,   són les funcions que s’obtenen de  derivar     respecte cada una de les variables independents    i     mantenint l’altre  variable constant.    , ,   3 4 ⇒ , ,     2. EXEMPLES    Si   , Si   , 2 2 2 10 12 2 80 ⇒ 6     2 10 2   3. DERIVADES PARCIALS DE SEGON ORDRE     Són les derivades parcials de les derivades parcials. La notació que utilitzem és:    ;       ;       ;           Si les derivades parcials primeres són continues, llavors:          1            12    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2014‐2015    4. MÀXIMS, MÍNIMS I PUNTS DE SELLA       , En un punt   ,        , ,        , , ,    la funció   , ,    la funció    en un entorn de      presenta un mínim local si:     per a qualsevol punt   , En un punt     presenta un màxim local si:     per a qualsevol punt   , En un punt   ,    la funció    en un entorn de      presenta un punt de sella si:     és alhora un mínim en la direcció de l’eix      i un màxim en la direcció de l’eix      o a l’inrevés.    De manera intuïtiva, si pensem que la superfície definida per una funció de dues  variables és un terreny, un màxim local és el cim d’una muntanya; un mínim local  és el fons d’una vall; i un punt de sella és un coll de muntanya (que és el punt més  baix per on travessem la carena però, alhora, és el punt més alt per on passa el  camí).      5. CONDICIONS DELS EXTREMS I PUNTS DE SELLA    é à ⇒ 0 0 0 0   0 0 0 0       é í ⇒     0 é ⇒ 0     2      Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2014‐2015      PUNT SELLA      1. DEFINICIÓ    En una funció de dues variables, un punt sella és el que presenta un mínim en una  d’elles i un màxim en l’altra.    El seu nom prové de la semblança amb una sella de muntar cavalls.    Gràficament, una funció de dues variables és una superfície. Si imaginem que aquesta  superfície és un territori, el punt sella seria un coll de muntanya: és el punt més baix  entre dos pics d’una serralada però, alhora, és el punt més alt del camí que passa d’un  cantó a l’altre de la serralada.      2. EXEMPLE  ,         1    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2014‐2015    DETERMINANTS      1. DEFINICIÓ    El determinant d’una matriu quadrada és un nombre que s’obté operant els seus elements.     é ⇒ det | | é      Determinant d’una matriu d’ordre dos:     És el resultat de la diferència entre el producte dels elements de la diagonal principal i  el producte dels elements de la diagonal secundària:    | | ⇒ det     2. ADJUNT D’UN ELEMENT D’UNA MATRIU    Donada una matriu quadrada d’ordre n   , el menor complementari de  l’element     és el determinant de la matriu que s’obté eliminant de la matriu   la  fila   i la columna  .    Per tant, si tenim una matriu d’ordre 3, els menors complementaris dels seus  elements seran determinants d’ordre 2.    L’adjunt de l’element   , que indicarem per   , és el seu menor complementari  multiplicat per  1 .     De fet, l’adjunt d’un element d’una matriu d’ordre 3 serà un determinant d’ordre 2  multiplicat per un signe que serà positiu quan   sigui parell i negatiu quan    sigui senar. Per tant, per a calcular   usarem un signe positiu, per a calcular    usarem un signe negatiu, i així successivament. Podeu comprovar que Els signes  que cal usar per al càlcul dels adjunts segueixen l’esquema:  .      3. CÀLCUL DE DETERMINANTS DE MATRIUS D’ORDRE SUPERIOR A DOS     El determinant d’una matriu d’ordre superior a dos és igual a la suma dels productes  dels elements d’una de les seves línies (files o columnes) pels seus adjunts.    Tant és quina de les línies es faci servir per a calcular el determinant, ja que donarà el  mateix resultat. El valor del determinant és únic.    Per exemple, si decidim desenvolupar el determinant següent per la seva primera fila:  1    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política  Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració  Curs 2014‐2015          Obtindrem:       Però també podríem decidir desenvolupar‐lo per la seva primera columna:        La millor estratègia consisteix en desenvolupar el determinant per la fila o columna que  contingui més zeros, ja que llavors alguns dels productes surt zero i el càlcul és més senzill.      4. EXEMPLE    Anem a calcular el següent determinant desenvolupant‐lo per la seva primera fila:  1 2 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1        1 1 0 1 1 ; 2 0 1 1 2 ⇒ 1 2 1         5. PROPIETATS DELS DETERMINANTS    Es demostra que els determinants compleixen les següents propietats:      Si tots els elements d’una línia són zeros, el determinant val zero.   El determinant d’una matriu i el de la seva transposada són iguals.   Si multipliquem tots els elements d’una línia per un número, el determinat queda  multiplicat per aquest número.   Si intercanviem entre sí dues línies, el determinant canvia de signe.   Si un determinant té dues línies iguals el seu valor és zero.   Si un determinant té dues línies que són proporcionals, el determinant és zero   Si una línia és combinació lineal de les altres, el determinant val zero i recíprocament.   Si a una línia se li suma un múltiple d’una altre línia, el determinant no varia.   El determinant d’un producte de matrius quadrades és el producte dels seus  determinants.  2    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Mètode de Cramer Mètode de resolució d’un sistema d’equacions lineals     Volem resoldre el sistema d'equacions lineals següent:    2x 3y z 3 x 2y 3z 1   5x y 2z 8   2 3 1 3 La matriu dels coeficients és:     1 2 3  i  la dels termes independents és  1   5 1 2 8      Les matrius  , , i     són les que s’obtenen de substituir la primera, la segona i la tercera  columnes de   pels elements de  , respectivament. En aquest exemple són:    3 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3    1 1 3       1 2 1   8 1 2 5 8 2 5 1 8   Ara cal calcular els determinants d’aquestes quatre matrius:    100  det 46; det 98; det 78; det   La solució del sistema ve donada pels següents quocients:     det det det ; ;   det det det   Per tant, la solució del nostre sistema és:    98 78 100 ; ;   46 46 46     Pots comprovar que aquesta solució és la mateixa que surt si el sistema es resol pel mètode de Gauss  i si es resol aplicant el càlcul matricial.   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Mètode de Gauss Mètode de resolució de sistemes d’equacions lineals   Donat  un  sistema  d’equacions  lineals,  si  apliquem  les  normes  següents  s’obté  un  sistema  d’equacions equivalent (és a dir, que té les mateixes solucions):     Es pot canviar l’ordre de les equacions   Es pot multiplicar tots els termes d’una equació per una constant   Es pot sumar o restar a una equació una de les altres equacions    El  mètode  de  Gauss  consisteix  en  aplicar  aquestes  normes  per  tal  d’aconseguir  un  sistema  equivalent que sigui esglaonat, on cada equació tingui una incògnita menys que l’anterior.    Anem a utilitzar les matrius per a resoldre un sistema d’equacions lineals pel mètode de Gauss.    Volem resoldre el sistema d'equacions lineals següent:    2x 3y z 3 x 2y 3z 1   5x y 2z 8   La matriu ampliada del sistema és:     2   3    1  3   1  ‐2    3  1  ‐5    1   ‐2  8       En  aquesta  matriu  cada  fila  representa  una  equació.  Podem,  per  tant,  canviar  d’ordre  les  files,  multiplicar una fila per una constant i sumar o restar a una fila una altra fila.    Procedim així:    a) Posem la segona fila en el lloc de la primera (ja que volem tenir un 1 en la primera casella):     1  ‐2    3  1   2   3    1  3  ‐5    1   ‐2  8      b) Restem a la segona fila el doble de la primera i sumem a la tercera fila la primera multiplicada per  5 (ja que volem obtenir zeros sota de l’1 a la primera columna):    1  ‐2    3  1   0    7   ‐5  1   0  ‐9  13  13    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015     c) Sumem a la tercera fila la primera multiplicada per 9/7 (per aconseguir un 0 en la casella a32:    1  ‐2    3  1   0    7   ‐5  1   0    0  46/7 100/7     d) Ara ja estem en condicions de trobar la solució del sistema. De la tercera fila en deduïm que:        46 100     2,2    Substituint el valor de z en l’equació que tenim en la segona fila obtenim:    7 5 1    7 5 1   7       1,7    Finalment, substituint el valor de z i de y en l’equació de la primera fila, obtenim:    2 3 1     2 3 1     2,1   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Exercici 1 Funcions 1. Calcula el domini de la funció:   √ 4    2. Calcula el recorregut de la funció:  3 1    3. Escriu l’equació d’una funció que tingui per domini tots els reals excepte el punt 5.    4. Dibuixa una funció que tingui domini  [0, +) i recorregut  [‐3, 4).    5. Dibuixa una funció que sigui discontinua en  x = ‐2.    6. Escriu l’equació d’una funció que tingui la recta  y = 3 com a asímptota horitzontal per la dreta.            Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solució exercici 1 Funcions ∞, 2 ∪ 2, ∞ 1.
1, ∞ 2.
3.
La funció més simple que compleix aquesta condició és: 4.
Una posible funció és la que té la següent gràfica:  5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 ‐1,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 ‐2,0 ‐3,0   5.
‐4,0   La més senzilla és una hipèrbola desplaçada horitzontalment cap a l’esquerra per tal que tingui  2. La seva gràfica és la següent:  l’asímptota vertical en 25 20 15 10 5 0 ‐6 ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 ‐5 0 1 2 ‐10 ‐15 ‐20 ‐25     6.
La més senzilla és una hipèrbola desplaçada verticalment per tal que tingui la seva asímptota  horitzontal en  3 . La seva equació és:   3  Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Exercici 2 Funcions 1. Escriu l’equació d’un polinomi que tingui per zeros els nombres  ‐2, 1 i 4 i que passi pel punt (0, 1).    2. Escriu  l’equació  de  la  funció  que  té  la  mateixa  forma  que    f(x)  =  x2    però  està  desplaçada  de  tal  manera que el seu vèrtex és el punt (3, 4)    3 5 1 respecte l’eix de les x.  3. Escriu l’equació de la funció simètrica de   2   4. Escriu l’equació de la funció simètrica de   3 respecte l’eix de les y.    5.  Factoritza el polinomi:    7 6     6. Troba els zeros del polinomi:   7 6  7. Calcula el domini de la funció:     8. Calcula el domini de la funció:     log 2   4   9. Troba la funció inversa de la funció:       10. Troba la funció inversa de la funció:   √2 3    11. Escriu l’equació de la funció inversa de la funció  x   12. Donades les funcions   x   i   2x 1   sent x un nombre real positiu o zero.  1, escriu les equacions de les funcions compostes    f  g x    i    g  f x    13. Donades  les  funcions  log compostes    f  g  x    i     g  f 14. Donada la funció  √2       i  4 1,  escriu  les  equacions  de  les  funcions  x    3  descomposa‐la en dues funcions  més senzilles de tal  manera que es verifiqui que   y   f  g  x    15. Donada la funció   ln 2 3  , descomposa‐la en dues funcions  de tal manera que es verifiqui que   y   f  g  x           més senzilles  Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solució exercici 2 Funcions 1.
2 3 2.
2 3.
1 4     4  3 5 1 3 que també es pot escriure com 4.
5.
1 2    3     6. Hi ha tres zeros que són:   1, 2, 3    7.
Per tal que   0  i     existeixi s’ha de complir la condició:    2  Com que el signe d’un quocient depèn dels signes del numerador i del denominador, cal examinar  numerador i denominador per separat:    1 0   en l’interval   1, ∞   i    2 0   en l’interval   2, ∞      En  ∞, 2   Numerador i denominador són negatius ⇒ el quocient és positiu   En  1, ∞      Numerador i denominador són positius ⇒ el quocient és positiu   En  2, 1       Numerador negatiu i denominador positiu ⇒ el quocient és negatiu   En    1   el quocient val zero i en   2  no es pot calcular    Per tant, el domini és:   ∞, 2 ∪ 1, ∞     log 2x 4   8. Calcula el domini de la funció:  f x   Sabem que només es poden calcular logaritmes de nombres positius:   2 4 0 ⇒ 2    Per tant, el domini és:  ( 2, ∞     9.
f x     10. f 11.
12.
13.
14.
15.
  x f x √x 1 f∘g x e i g ∘ f x 2e 1       i         ∘ ∘ log 4 Definim  √   i   2 3    ⇒ Definim    i   2 3    ⇒ 1 4 log 1 ∘ √2 ∘ 2 3 3 Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Exercici 3 Límits de funcions 1. Calcula   Calcula els límits següents:  2 3 1.
x→3 2.
x→0 3.
x→ ‐2 4.
x→+∞ 5.
x→ ‐∞ 6.
x→ ‐∞ 2 7.
x→ ‐∞ 2 8.
x→ 5 3 5 2 2 2 3 9. lim → 3 ∞ √ 2 4 5 8 2 10.    2 3 √ 2 2 2 Indica si existeix el límit d’aquesta funció en  afirmatiu.  11. lim → 5 12. lim → √9 2 3 2 3 2  i  2 i calcula’l en cas  Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solució exercici 3 Càlcul de límits de funcions Calcula els límits següents:  2 1.
x→3 2.
x→0 3.
x→ ‐2 4.
x→+∞ 5.
x→ ‐∞ 3 5 13 3 5 2 0 2 2 6.
x→ ‐∞ 7.
x→ ‐∞ 8.
x→ 2 3 9. lim → ∞ 2 3 ∞ √ 2 5 8 4 2 3 √ 2 10.    ∞ √16 √9 4 3 1 2 2 2 Cal buscar els límits per la dreta i per l’esquerra de la funció en els dos punts indicats. El  resultat és que:    lim → 4 i lim → 4 ⇒ lim lim → 4 i lim → 2 NO coincideixen ⇒ NO existeix el límit 11. lim → 5 12. lim → √9 2 3 2 3 0 → 1 Sí que existeix Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Exercici 4 Càlcul de límits de funcions Calcula els límits següents: 2 1.
x→0 2.
x→0 3.
x→ ‐5 4.
x→2 5.
x→1 6.
x→ ∞ 7.
x→ ∞ 2 2 3 8. lim 2 √ 1 → 9. limx→ 10. limx→+∞ 11. lim √ √ → 12. limx→+∞ 13. lim 4 3 √ → 14. lim √ → 5 √4 1 15. limx→‐2 16. limx→ Calcula totes les asímptotes de les següents funcions: 17.
18.
19.
20.
Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solució exercici 4 Càlcul de límits de funcions Els límits són els següents: 2 1.
x→0 2.
x→0 3.
x→ ‐5 4.
x→2 5.
x→1 6.
x→ ∞ 7.
x→ ∞ 4 2 6 2 10 3 8. lim 12 2 √ ∞ 1 ∞ → 9. limx→ 10. limx→+∞ 11. lim 1 √ √ → 12. limx→+∞ 13. lim → 14. lim √ → 0 ∞ 4 ∞ 3 √ 5 √4 2 1 ∞ 15. limx→‐2 16. limx→ ∞ Càlcul d’asímptotes:  Els punts on poden existir asímptotes verticals són els punts en els quals s’anul·la el denominador.
En aquests punts caldrà calcular els límits laterals per veure si són infinit i per a saber si la recta corresponent és asímptota per la dreta o per l’esquerra.
Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015    Per a saber si existeixen asímptotes horitzontals cal calcular els límits de la funció quan x tendeix a més i menys infinit. Si aquests límits existeixen, llavors tenim una asímptota horitzontal per la dreta o per l’esquerra, respectivament.
 Les funcions racionals que poden tenir asímptotes obliqües són aquelles en les que el grau del numerador és una unitat major que el grau del denominador. Si es compleix aquesta condició, per a trobar l’asímptota cal dividir el polinomi del numerador pel del denominador. L’asímptota és el quocient (que serà un polinomi de primer grau).
17. Les asímptotes verticals de la funció lim ∞ → i lim → 3 i es troben en 3 ∞ Per tant, la recta 3 és asímptota ∞ Per tant, la recta 3 és asímptota vertical per la dreta i per l’esquerra.
lim ∞ → i lim → vertical per la dreta i per l’esquerra.
lim → ∞ 0 lim i 0 Per tant, la recta → ∞ 0 és asímptota horitzontal per la dreta i per l’esquerra.
No hi ha asímptotes obliqües ja que no es compleix la condició de què el grau del numerador sigui una unitat superior al grau del denominador.
18. L’asímptota vertical de la funció lim → ∞ i lim es troba en 2 2 és asímptota ∞ Per tant, la recta → vertical per la dreta i per l’esquerra.
lim → ∞ ∞ lim i ∞ Per tant, la funció No te asímptotes horitzontals.
→ ∞ Com que el grau del numerador és una unitat major que el del denominador, hi ha una asímptota 2 obliqua que és igual al quocient entre numerador i denominador: 19. L’asímptota vertical de la funció lim → ∞ i lim → lim → ∞ es troba en 1 1 és asímptota vertical ∞ Per tant, la recta per la dreta i per l’esquerra.
lim → ∞ ∞ i ∞ Per tant, la funció No te asímptotes horitzontals.
Com que el grau del numerador és una unitat major que el del denominador, hi ha una asímptota obliqua que és igual al quocient entre numerador i denominador: 2 4 Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   20. L’asímptota vertical de la funció lim ∞ → i lim → lim → ∞ es troba en 1 ∞ Per tant, la recta 1 és asímptota vertical per la dreta i per l’esquerra.
lim → ∞ 2 i 2 Per tant, la recta 2 és asímptota horitzontal per la dreta i per l’esquerra.
Com que hi ha una asímptota horitzontal per la dreta i per l’esquerra, no hi poden haver asímptotes obliqües.
Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Exercici 5  Continuïtat i càlcul de derivades     Analitza la continuïtat de les següents funcions explicant els raonaments o fent els càlculs que  et porten als teus resultats:  2 1.
2.
1 3     2 3.
6 1 1 5  5 Troba la derivada de les següents funcions:    4.
3 8    5.
6√ 4√ 2 3    6.
√ 4√ 1    7.
log     8.
5     9.
2 3 10     10.
3 2 4 5     11.
    2 12.
3 4     7 13.
    4 14.
3     15.
    16. Calcula el valor de la derivada de la funció  0 i x = 2.    17.  Calcula el valor de la derivada de la funció  5 2 en els punts x = ‐2, x =    en els punts x = 0  i x = ‐1.  Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solucions exercici 5  Continuïtat i càlcul de derivades     2 1. La funció  1 3  és continua en tot   ja que és producte d’un  polinomi per la composició d’una funció exponencial amb una polinòmica i totes tres  funcions són contínues.   és un quocient de dues funcions contínues. Per tant, els únics  2. La funció   punts de discontinuïtat poden ser els que anul∙len el denominador, que són ‐3 i 3. En  aquests dos punts no existeix la imatge i es verifica que:      lim lim ∞       i  →   . Per tant, la funció presenta:  →   una discontinuïtat asimptòtica en   Una discontinuïtat evitable en  2 3. La funció  6 3  3  1 1 5  és definida a trossos i en cada tros és una  5 funció contínua. Per tant, les úniques possibles discontinuïtats es troben en els punts  de canvi, que són 1 i 5. En el punt 1 no existeix la imatge però sí el límit:  lim lim → 1 . Hi ha una discontinuïtat evitable en  → 1.       En el punt 5 existeix la imatge però no existeix el límit ja que els límits laterals són  diferents:  lim 3 → 1 lim  . Hi ha una discontinuïtat de salt en  → 5.  4.
3 5.
6 8 ⇒ ′ 9 2 2 2       4 2 3 ⇒ 2⇒   6.
√ 4√ 7.
log ⇒ 1   ⇒ √ 3 √         8.
5 ⇒ 9.
2 3 10 ⇒         2 3 10 10    3 10.
  2 4 5 ⇒ 24 7      2 √ 2 √ 2  Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   ⇒ 11.
    2 12.
3 4 ⇒ 4 3        7 13.
⇒ 7 6 2   8 2     4 14.
3 ⇒   ⇒ 15.
  16. La funció derivada de  diuen val:   5 2 21; 2 és   0   17.  La funció derivada de  val:   0 5; 1 1;   és   7  .       10 2 1. En els punts que ens  19.     . En els punts que ens diuen  Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Exercici 6 Aplicacions de la derivada 1. Troba els extrems de la funció 5 4 2 2. Una línia d’aviació està planificant un vol entre dues ciutats. La capacitat màxima de l’avió és de 380 persones i, segons les seves previsions, com més alt sigui el preu, menys passatgers agafaran l’avió, variant el nombre de passatgers segons del preu d’acord amb la funció: 380 a) Escriu l’equació de la funció que et dóna els ingressos de la companyia per cada vol en funció del preu del bitllet i dibuixa-la.
b) Calcula el preu òptim que cal posar per tal de maximitzar els ingressos.
c) Quants passatgers agafaran l’avió si la tarifa és l’òptima? d) Quins seran els ingressos si la tarifa és la calculada en el punt b? 3. Les vendes d’un article varien en funció del preu de la següent manera: 2.000.000 10 On és el preu per Kg en euros i és el nombre que Kg venuts en una setmana.
Calcula a quin preu s’ha de vendre el producte si es vol obtenir el màxim d’ingressos en la seva venda. Calcula també, quin serà el nombre de Kg venuts i el valor d’aquests ingressos.
4. Considera la funció: a) b) c) d) e) f) Busca el seu domini i analitza la seva continuïtat Busca els seus zeros Calcula les seves asímptotes Calcula els seus extrems Calcula els punts d’inflexió Dibuixa la seva gràfica utilitzant tota la informació obtinguda en els apartats precedents.
5. Segueix els mateixos passos de l’exercici anterior i dibuixa la gràfica de la funció: 1 Nota: a l’hora de calcular límits, recorda que una funció exponencial de base més gran que 1 té un creixement més ràpid que una funció quadràtica.
6. Fes els càlculs necessaris per a dibuixar la gràfica de la funció:   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solució exercici 6 Aplicacions de la derivada 1. En els punts on la funció té un màxim o un mínim la seva derivada val zero. Per tant, per tal de determinar en quins punts poden haver-hi extrems, cal igualar la derivada a zero i resoldre l’equació resultant: 15 2 4 ⇒ 15 2 4 2 0 ⇒ 4 4 15 2 15 4 2 15,62 30 Els dos valors que anul·len la derivada són (amb una aproximació de dos decimals): 0,45 0,59 Per tal de determinar si en ells hi ha un màxim, un mínim o bé una inflexió, calculem el valor de la derivada segona en aquests punts i observem el seu signe: f ' ' (x)  30 x - 2  0,45 30 0,45 0,59 30 0,59 2 2 17,7 13,5 2 ≅ 15,5 0 2 ≅ 15,7 0 Com que la segona derivada és negativa, hi ha un màxim quan x = -0,45 Com que la segona derivada és positiva, hi ha un mínim quan x = 0,59 Ara cal calcular quines són les imatges d’aquests dos valors: 0,45 5 0,45 0,45 0,59 5 0,59 0,59 4 4 0,59 0,45 2 2 0,86 3.68 Per tant, podem dir que els punts (-0,45, -0,86) i (0,59, -3,68) són el màxim i el mínim de la funció (amb una aproximació de l’ordre de les centèsimes) 2. Es tracta d’un problema d’optimització. Hem de determinar quin és el preu òptim al qual cal cobrar els bitllets per tal de maximitzar els ingressos de la companyia.
a) Ens han dit que el nombre de passatgers varia segons el preu d’acord amb la funció: 380 És a dir, si el vol és gratuït (quan menys passatgers tindran.
Sabem que: Per tant, si definim 0), ompliran l’avió, i com més elevat sigui el preu, Ingressos = preu del bitllet * nombre de passatgers = nombre de passatgers; = preu del bitllet = ingressos de la companyia, 1   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   ⇒ la funció que ens demanen és: 380 ⇒ 380 Ingressos de la companyia 40000 30000 20000 10000 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -10000 -20000 Preu del bitllet b) Cal trobar el màxim de la funció dels ingressos  Cal derivar i igualar a zero: 380 2 ⇒ 0 380 2 ⇒ 190 ⇒ ò é 190 c) Si es cobra el bitllet a 190 €, el nombre de passatgers serà: 380 – ⇒ 190 d) 190 190 190 190 ⇒ ′ 3.610 ⇒ 190 36.100 € Si la tarifa és de 190 €, s’espera que hi haurà 190 viatgers que agafaran aquest vol i que els ingressos que obtindrà la companyia seran de 36.100 € 3. Aquest és també un problema d’optimització. Els ingressos que s’obtindran són el producte del nombre de Kg venuts pel preu per Kg. Si anomenem a la funció dels ingressos, la seva equació serà: 2.000.000 10 ⇒ 2.000.000 10 Per tal de trobar el màxim d’aquesta funció, cal derivar-la i igualar-la a zero: 2.000.000 10 2.000.000 2 10 2.000.000 10 10 10 0 ⇒ 10 5.000 ⇒ 10 10 50.000 Per tal de maximitzar les vendes cal que el preu del producte sigui de 10 €/kg. Amb aquest preu es preveu vendre 5.000 Kg i els ingressos seran de 50.000 €.
2   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   4. Analitzarem la funció a) Domini f x 0 0 ⇒ b) per tal de dibuixar després la seva gràfica.
És una funció discontínua en x 1 0 ⇒ 0 1. Com que no hi ha solució, no hi ha zeros.
0 ja que aquest és un punt de discontinuïtat asimptòtica. Però volem conèixer els signes dels límits per la dreta i per l’esquerra en aquest punt. Es verifica que: lim → ∞ i lim → ∞ c) Sabem que hi ha una asímptota vertical en Sabem que no hi ha asímptotes horitzontals ja que: ∞ i lim → ∞ lim → Sí que hi ha asímptotes obliqües ja que es tracta d’una funció racional on el grau del numerador és una unitat més gran que el grau del denominador. En aquests casos l’asímptota és el quocient que s’obté al fer la divisió dels dos polinomis: ⇒ l’asímptota obliqua és la recta Per comprovar-ho, comprovem que el límit quan funció i la recta és zero: lim lim → Per tant, la recta 0 → lim i tendeix a ∞ de la diferència entre la lim → 0 → és asímptota obliqua per la dreta i per l’esquerra.
d) El primer que cal fer per a buscar els extrems és calcular els punts crítics: ⇒ 0 ⇒ 1 0 ⇒ Els punts crítics són Ara cal observar el signe que pren la segona derivada en els punts crítics: ⇒ 1 hi ha un mínim en 1, 2 1 0 1 2 1, 2 i hi ha un màxim en 0 no té solució, no hi ha punts d’inflexió.
e) Com que f) La gràfica de la funció és: 6 4 2 Y=x 0 ‐6 ‐4 ‐2 0 2 4 6 ‐2 ‐4 ‐6 3   0 Per tant: f(x) 1, 1 1, 2 1, 1 Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   5. Aplicarem a la funció a) Domini f x la mateixa estratègia que en l’exercici 4.
És una funció contínua en tot el seu domini.
0 ⇒ b) 1 0 ⇒ 1 0 ⇒ 1. La funció té un zero en c) No hi ha cap asímptota vertical ja que la funció és contínua en tot .
lim 0 i lim → ∞ → Per tant, 0 és una asímptota horitzontal per la dreta.
No hi ha asímptota horitzontal per l’esquerra ni asímptota obliqua.
d) Busquem ara els punts crítics igualant a zero la derivada primera ⇒ 1 0 ⇒ ⇒ 1 1, hi ha un mínim en 1 1 1 Tenim dos punts crítics 0 1 2 0 Per tant: 1, 0 i hi ha un màxim en 1, 1 1, 1,47 e) Per trobar els punts d’inflexió igualem la segona derivada a zero: 0 ⇒ 0 ⇒ 1 2 0 ⇒ Hi ha dos punts d’inflexió que (aproximadament) són: f) La gràfica de la funció és: 8 6 4 Y=0 f(x) 2 0 ‐4 ‐2 0 2 4 6 ‐2 4   1 √2 0,4, 0,5 2,4, 1 1 Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   6. Aplicarem a la funció a) Domini f x g) la mateixa estratègia que en l’exercici 4.
És una funció contínua en tot el seu domini.
0 ⇒ 0 ⇒ 1 0 ⇒ 0; 1; 1.
La funció té tres zeros que són: -1, 0 i 1.
h) Com que es tracta d’una funció polinòmica, no té asímptotes.
i) Busquem ara els punts crítics igualant a zero la derivada primera: 2 4 ⇒ 2 4 0 ⇒ 2 1 2 0 ⇒ Hi ha tres punts crítics: 1 2 0; 1 2 0,71; 0,71 Calculem quin és el signe de la derivada segona en aquests tres punts: 2 12 ⇒ 0 0; 0,71 0; 0,71 0 Hi Ha un mínim en 0, 0 ; Hi ha un màxim en 0,71, 0,25 i un altre màxim en j) Per trobar els punts d’inflexió igualem la segona derivada a zero: 0 ⇒ 2 12 1 ⇒ 6 0 ⇒ 0,41 Per tant, hi ha dos punts d’inflexió. Amb una aproximació de dos decimals són: 0,41, 0,14 i 0,41, 0,14 k) La gràfica de la funció és: 1 0,5 0 ‐2 ‐1,5 ‐1 ‐0,5 0 ‐0,5 ‐1 ‐1,5 ‐2 5   0,5 1 1,5 2 f(x) 0,71, 0,25 Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Exercici 7 Derivades parcials 1. Troba les derivades parcials de primer ordre de f x, y 5x 3x y 2 2. Troba les derivades parcials de segon ordre de la funció de l’exercici 1.
3. Troba les derivades parcials de primer ordre de 4. Troba les derivades parcials de primer ordre de: f x, y f x, y ln 3x 7y e 5. Troba les derivades parcials de segon ordre de la funció de l’exercici 4.
6. Determina si la funció f x, y x 1 té extrems o punts sella.
4xy 1 Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solució exercici 7 Derivades parcials 1. f x, y 5x 3x y 2.
30x 2 1  6y; 15x 6xy 6x; 3x i 6x; 4y 4 3. f x, y ln 3x 7y 4xy  4. f x, y e 5.
6 e 6 8 e 8 e 6x 8y 8x 8 e 8x 14y 6  ∂ ∂f ∂y ∂y i 14 e 8 8x e 6x 14y 8x i 6 36x 14y 96xy e 64y e 14y e 8 48x 20xy 112y e 8y e 8 48x 20xy 112y e e 14 64x 224xy 196y e 6. En primer lloc, cal calcular les derivades parcials primeres i segones de la funció:    2x      2 i 0 2y      0 i 2     Per tal de determinar quins són els punts crítics, anul∙lem les derivades parcials de primer  ordre de la funció:    0 0  i 0 i 0  L’únic punt crític és , 0, 0 Ara cal conèixer el valor i el signe de les derivades parcials de segon ordre en aquest punt:    0, 0 2 0   ;     0, 0 2 0   ;     0, 0 0, 0 0    2 2 Com que es compleix la condició:     la funció té un mínim en (0, 0).  1   0 0 0   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Exercici 8 Matrius i determinants      1 2  0  1  3 0  ;   B    ;  i    C        2 3  2 1  1 3 1. Siguin les matrius:   A           Calcula:     Calcula:      Calcula:     Calcula: els elements d’una matriu     tal que  2 1  3 0 2. Siguin les matrius:   A   4 2  5 1         Calcula:  3 2   Calcula:     Calcula:     Calcula:     Calcula:   1 1 3 0           1  1 4 0    i    B   2 0  1 6        6 0 3 1          3. Les 5 ciutats més poblades d’Espanya en la dècada dels noranta eren Madrid, Barcelona,  València, Sevilla i Saragossa. Segons el padró de 1996, tenien 2,9  1,5  0,7  0,7  i  0,6 milions  d’habitants respectivament. Sembla, però, que durant els primers anys d’aquella dècada hi  va haver un cert descens en el nombre d’habitants de les grans ciutats, atès que les dades  del  cens  de  1991  deien  que  hi  havia  3,0    1,6    0,8    0,7    i    0,6  milions  d’habitants  respectivament en aquestes mateixes cinc ciutats.     Expressa tota aquesta informació en una única matriu.   Escriu una matriu columna que representi els habitants al 1996 i una matriu fila que  representi la població de València.    Sabem que el percentatge d’habitants que estava d’acord amb una determinada política  era molt alt a Madrid i Saragossa (70% i 63% respectivament) i bastant baix a Barcelona i  València (35% i 30% respectivament). En canvi, a Sevilla hi havia divisió d’opinions, amb un  50% d’habitants que hi estaven d’acord.     Construeix  una  matriu  columna  que  representi  el  grau  d’acord  amb  la  política  en  qüestió.   Multiplica la transposada de la matriu que representa el grau d’acord amb la política per la  matriu que representa els habitants de les grans ciutats al 1996. Divideix la matriu resultant  per 100 i interpreta el resultat.    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015     4. Els resultats de les eleccions autonòmiques de 19 de novembre de 1995 van produir el següent  repartiment d'escons per circumscripció entre les forces polítiques catalanes:      Barcelona: CIU va obtenir 34 escons, el PSC 22 escons, el PP 12 escons, IC 10 escons i  ERC 7  (en  les  eleccions  del  1992,  aquests  partits  varen  obtenir  41,  27,  5,  6  i  6  escons  respectivament).      Tarragona: CIU va obtenir 9 escons, el PSC 4 escons, el PP 2 escons, ERC 2 escons i IC 1 (en  les eleccions del 1992, el repartiment va ser de 9, 5, 1, 2 i 1 respectivament).      LLeida:  CIU  va  obtenir  8  escons,  el  PSC  3  escons,  ERC  2  escons  i  el  PP  2  escons  (en  les  eleccions del 1992, el repartiment va ser de 9, 4, 1 i 1 respectivament).      Girona: CIU va obtenir 9 escons, el PSC 5 escons, ERC 2 escons i el PP 1 (en les eleccions del  1992, els tres primers partits varen obtenir 11, 4 i 2 escons respectivament mentre que el  PP no en va aconseguir cap).      Es demana:    a)  Sintetitza tota aquesta informació en dues matrius: una corresponent a les eleccions de  1995 i una altra corresponent a les eleccions de 1992.  b)  Escriu el vector fila i el vector columna que representen el repartiment d'escons del PP i  de Lleida.  c)  Quin és el partit que en les autonòmiques de 1995 va obtenir 12 escons a Barcelona? En  quina circumscripció el PSC va obtenir tres escons en les mateixes eleccions? Quina és  l'única força política que no tenia representació en totes les circumscripcions? En quina  circumscripció ERC superava al PP?  d)  Calcula  una  matriu  que  expressi  el  nombre  d'escons  que  va  guanyar  o  va  perdre  cada  força política en les eleccions de 1995.  e)  Multiplica  la  matriu  que  expressa  els  canvis  d'escons  per  un  vector  en  el  que  tots  els  valors siguin 1. Quina interpretació es pot donar al vector resultant?       2 1  1  3   1 2  ;   B    ;  i    C        1 5 0 2   1 0 5. Siguin les matrius:   A          Calcula:  Calcula:  Calcula:  ; ; i                        ; ; i                                                                    6. Calcula el determinant de la matriu:    1 4 3 3 5 2 1 2   3 Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solució exercici 8 Matrius i determinants     1.
        1 2 2 3 3 1 0 3 4 2   1 6 1 2 2 3 3 1 0 3 2 2   3 0 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 0 2 3 1 1 1 0 ⇒ 3 3 1 0 3 0 3 4 1 1 2 3   5 2 ⇒ 3 2 3 2 ⇒ 0 2 2   3 0  1 2  3 0  3 0  1 2  2  2    D     D        D        2 3 1 3 1 3   2 3 3 0      2. 3   6 3 3 9 0 3 2 12 6 9 15 3 0 1 2 6             1 0 0 2 4 12 8 2 6 2 1 1 3 0 1 4 2 3 5 1 0 4 0 1 6 3 1 15 30 7 10 12 1 2 0 0 15 30 29 7 10 1 12 1   15 29 1   15 1 2 6 1 0 0 4 1 3 0 6 1 15 7 12 2 1 1 3 0 1 4 5 2 1 3 0 30 29 10 1 1 15 15 7 12 1    0 12   2 15 7 12 30 10 1 30 10 1 29 1 15 29 1   15 0 0 0 0 0 0 0 0 0   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   3. Construirem  una  matriu  de  cinc  files  per  dues  columnes  en  la  que  cada  una  de  les  files  representi una de les cinc grans ciutats (en el mateix ordre que ens les donen en l'enunciat) i  cada una de les columnes un any, primer el 1991 i després el 1996.    3,0 2,9 1,6 1,5 0,8 0,7   0,7 0,7 0,6 0,6     La  matriu  columna  que  representa  els  habitants  d'aquestes  ciutats  al  1996  és  la  segona  columna d'aquest matriu. La matriu fila que representa la població de València és la tercera  fila d'aquesta matriu.  2,9 1,5 0,7 0,8 0,7   1996 ó è 0,7 0,6   El grau d'acord amb la política serà una matriu de cinc files i una columna, on a cada fila hi  posarem el percentatge d'habitants que hi està d'acord en cada ciutat:    70 35 30   í 50 63   Si es multiplica la matriu transposada del grau d'acord (que serà una matriu fila) per la matriu  d’habitants al 1996 (que és una matriu columna) i es divideix per 100, s’obtindrà un nombre  que serà el total d'habitants que estan d'acord amb la política en el conjunt de les cinc grans  ciutats:  2,9 1,5 1 1 0,7 349,3 3,493  70 35 30 50 63 100 0,7 100 0,6   Interpretació:  En  el  conjunt  de  les  cinc  grans  ciutats  hi  ha  3,493  milions  de  persones  que  estan d'acord amb aquesta política.      4. a)  Construirem  dues  matrius  que  continguin  el  repartiment  d’escons  en  les  eleccions  autonòmiques catalanes de 1995 i de 1992 respectivament. L’ordre de les matrius serà 4 x 5,  on les quatre files corresponen a les circumscripcions de Barcelona, Tarragona, Lleida i Girona  i les cinc columnes als partits o coalicions CiU, PSC, PP, IC i ERC. Cada element de la matriu aij   indicarà en nombre d’escons a la província i obtinguts pel partit j.  2    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015         34 22 12 10 9 4 2 1 8 3 2 0 0 9 5 1 1995 41 27 5 9 5 1 9 4 1 11 4 0 1992                6 1 0 0 7 2 2 2 6 2 1 2 12 2    b)   8 3 2 0 2 ; 2 1       c)   El partit que en les eleccions de 1995 va obtenir 12 escons a Barcelona és el PP.  El PSC va obtenir tres escons en les mateixes eleccions a Lleida.  L'única força política que no tenia representació en totes les circumscripcions és IC.   ERC superava al PP a Girona.      d)   Serà la matriu diferència:   Ed = E1995 ‐ E1992  7 0 1 2 5 7 1 1 1 1 1 1 4 0 0 0 1 0   1 0   e) Per tal de poder fer la multiplicació, el vector ha de ser d’ordre 5 x 1 i el resultat serà una  matriu d’ordre 4 x 1:  7 0 1 2 5 1 1 1 4 0 0 0 7 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0   0 0 El vector resultant ens dóna la suma d’escons guanyats i perduts pel conjunt de les forces  polítiques en cada una de les quatre circumscripcions. Atès que el nombre d’escons en joc  en les dues eleccions era el mateix, si unes forces guanyen escons, forçosament les altres  n’han  de  perdre  de  tal  manera  que  la  suma  total  sigui  zero.  És  per  aquest  motiu  que  aquest vector és un vector nul.             5. Sabem  que  determinant  d’un  producte  de  dues  matrius  és  igual  al  producte  dels  seus  determinants. Per tant:      det(A) = 11,    det(B) = 2,    det(C) = ‐2   det(A∙B) = 22,    det(A∙C) = ‐22,    det(B∙C) = ‐4   det(A∙B∙C) = ‐44    6. det(D) = 66      3    Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Exercici 9 Aplicacions de les matrius     3 0 8 1. Calcula el determinant de la matriu     1 2 0 5 1     4   2. Calcula la matriu inversa   de la matriu A de l’exercici 1.    3. Comprova que     , sent I la matriu identitat    1  2  0  3 4. Calcula el determinant de la matriu  B   2 2   1 1  3 0  1  1    0 1  0 1    5. Calcula la matriu inversa de la matriu B de l’exercici 4.    6. Comprova que     , sent I la matriu identitat    7. Expressa el següent sistema d’equacions lineals en forma de matrius i troba la seva solució  mitjançant el càlcul matricial.     4 6 14  2 3 2 6 24  7 4 5 3 2 6  3 5 4 3 7  8 2 5 1  4   2 8. Resol el mateix sistema d’equacions lineals de l’exercici 7 pel mètode de Cramer.      2 5 2 9. Calcula la matriu inversa de la matriu    3 1 4   5 4 2 10. Busca algun exemple de matriu de dades diferent  de les que hem citat a classe i mostra la  matriu o explica què conté.        Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Primera llista d’exercicis per a l’avaluació Funcions √ 1. Calcula el domini de la funció: 2. Digues el nom de gràfica que tens representada, escriu l’equació de la funció que representa i explica les seves característiques.
12 10 8 6 4 (4, 3) 2 0 ‐6 ‐3 0 3 6 9 12 ‐2 ‐4 ‐6 ‐8 3. Digues el nom de la funció que tens representada en el següent gràfic i troba la seva equació.
8 6 4 2 0 ‐3 ‐2 ‐1 0 ‐2 1 2 3 4 5 (0, ‐2) ‐4 4. Donades les funcions 5. Calcula la funció inversa de: 3 i 2 5 , calcula: ∘ 6. Escriu l’equació de la funció que té una gràfica simètrica respecte la diagonal del primer quadrant a la de la funció:   3     7. Expressa el nombre següent en forma d’una única potència: 8. Calcula: log √ 9. Calcula: log 9 10. Resol l’equació: 8 18 √ ∙√ Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solucions a la primera llista per a l’avaluació Funcions 1.
2.
1, ∞ 3 i el seu recorregut és domini és 3. La recta y 3.
Es tracta d’una hipèrbola. L’equació de la funció que representa és: 2 . El seu 2 . Per tant, és una funció discontínua en 2 és asímptota horitzontal i la recta 3 és asímptota vertical.
Es tracta d’una funció polinòmica de tercer grau i la seva equació és: 1 3 4.
∘ 3 2 3 1 5 2 6 3 5 5.
La funció inversa de: 6.
La funció amb gràfica simètrica de l’exponencial respecte la diagonal del primer quadrant és log és la logarítmica de la mateixa base: 7.
10 8.
log 9.
log 27 √10 √ log 5 log 5 1 3 10. Sabem que 8 2  i que 4 2 2 2 3 9 2 ⇒ ⇒ 2 2 2 2 1 ⇒ 3 ⇒ 9 3 2 ⇒ 5 12 ⇒ ⇒  12 5 Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Segona llista d’exercicis per a l’avaluació Límits, asímptotes i continuïtat     1.
lim → 2.
lim → 3.
lim → 4.
lim → 5.
lim → 6.
lim → 7.
Analitza la continuïtat de la següent funció      8.
Analitza la continuïtat de la següent funció      9.
Troba les asímptotes de la funció       3 √ 2 1 √ √ √ 5   1       10. Troba les asímptotes de la funció       1 1       1 1 1   1 Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solucions segona llista d’exercicis per a l’avaluació Límits, asímptotes i continuïtat   1.
lim → 2.
lim → 3.
lim → 4.
lim → 5.
lim → 6.
lim → 7.
Els possibles punts de discontinuïtat de la funció          3 √ 5 √2 1 √ √ √ ∞  1 0  14  √   en el punt 1.    ja que és la derivada de la funció  1 1 1 són aquells en els que hi ha un canvi en l’equació que la defineix. És a dir,  a) 1 la funció és continua ja que lim En  1 hi ha una discontinuïtat de salt ja que lim b) En  1 i  0 → 0 i lim → → 1  1   1  1 no hi ha límit.   Per tant, en  8.
lim → 1 1   1 Els  possibles  punts  de  discontinuïtat  de  la  funció          1 i  denominador. És a dir,      són  aquells  que  anul∙len  el  2.  En tots dos casos hi ha una discontinuïtat de tipus asimptòtica, ja que:  a) lim b 9.
→ ∞ i lim → ∞ i La funció   recta    → →  té la recta  2 ∞  ∞ 2 com a asímptota vertical per la dreta i per l’esquerra i la  5    com  a  asímptota  obliqua  per  la  dreta  i  per  l’esquerra.  No  té  asímptotes  horitzontals.  10. La funció   recta       té la recta   com a asímptota vertical per la dreta i per l’esquerra i la  2  com a asímptota horitzontal per la dreta i per l’esquerra. No té asímptotes obliqües.  Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Tercera llista d’exercicis per a l’avaluació Tema derivades      Calcula les derivades de les següents funcions:        1.   10 2.   3.
4.
    √                 3 5.
2 6.
ln 3 7.
5 9                    ln   2 1                                    3 8.
Troba els extrems de la funció:        9.
Troba els punts d’inflexió de la funció:       7  10 10. Calcula les derivades parcials de primer ordre de la funció:   , 2 4     3 7   3  Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Problemes aplicats 1 Utilització de funcions 1. Un  servei  de  fotocòpies  té  un  cost  fix  de  3.000  Euros  al  mes  (en  concepte  de  lloguer,  llum,  manteniment,  etc...)  i  un  cost  variable  de  1  cèntim  d'euro  per  cada  pàgina  que  produeix.  L’empresari cobra als clients 5 cèntims per cada fotocòpia.    a) Expressa el cost total com a funció lineal del nombre de còpies fetes al mes.  b) Escriu la funció que proporciona els beneficis mensuals de l’empresari en funció del nombre  de còpies que faci cada mes  c) Calcula quin és el número mínim de còpies que ha de fer al mes per tal de no tenir pèrdues  d) Calcula el benefici mensual que espera obtenir si fa una mitjana de 140.000 còpies al mes  e) Dibuixa la gràfica que mostra el benefici en funció del número de còpies realitzades.    2. En una determinada regió s’ha produït una epidèmia. Sabem que el creixement del nombre de  persones  afectades  per  la  malaltia  segueix  un  model  exponencial  de  base  3.  És  a  dir,  quan  es  detecta que hi ha una persona que té aquesta malaltia, al cap d’un dia ja hi ha tres afectats, al  cap de dos dies 9, al cap de tres dies 27 i així successivament.    a) Escriu la funció que dóna el nombre de malalts en funció del nombre de dies transcorreguts  des de que es va detectar el primer cas.  b) Fes una gràfica que representi el creixement de l’epidèmia.  c) Calcula el nombre d’infectats que s'estima que hi haurà al cap d’una setmana.  d) Calcula  al  cap  de  quants  dies  l’epidèmia  pot  haver  afectat  a  100.000  persones  si  no  s’hi  ha  posat remei.      3. La cua que es forma davant d’una finestreta per a fer una gestió administrativa és inversament  proporcional al nombre de funcionaris que atenen al públic. Sabem que quan només hi ha dues  persones atenent el temps d’espera d’un ciutadà és de 20 minuts.    a) Escriu  la  funció  que  et  permet  calcular  el  temps  d’espera  en  la  cua  a  partir  del  nombre  de  funcionaris que atenen el servei.  b) Representa gràficament aquesta funció.  c)   Calcula quin temps d’espera hi haurà si es dediquen 5 funcionaris a atendre al públic.  d)   Calcula quants funcionaris hi ha al taulell si el temps d’espera és de 10 minuts.  e)   I si el temps d’espera és de 12 minuts? Interpreta aquest resultat.              Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Solució problemes aplicats 1 Utilització de funcions 1. Definim:    = número de còpies mensuals                         = cost total mensual                         = benefici mensual    a) 3.000 0,01   b) 0,05 3.000 0,01 ⇒ 0,04 c) 0 0,04 3.000 ⇒ 75.000 ò   d) 140.000 0,04 140.000 3.000 ⇒ 140.000   3.000  2.600€/   Benefici (€) 4000 3000 2000 1000 0 ‐1000 0 50000 100000 150000 200000 ‐2000 ‐3000 e) ‐4000     2. Definim:    = número de malalts                         = temps transcorregut des de que es va detectar el primer cas (dies)    a) 3    Nombre de malalts 7.000 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0 0 b) c) 7 d) 100.000 2 4 6 3 ⇒ 3 ⇒ log 8 7 10   2.187 malalts  100.000 log 3 ⇒ .
⇒ 10,5   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015     3. Definim:    = nombre de funcionaris que atenen al públic                         = temps d’espera (minuts)    a) , ∈     i sabem que si  2 llavors  2 20 ⇒ 20   Per tant, la funció és:         ⇒ 40   Temps d'espera (minuts) 40 35 30 25 20 15 10 5 0 b) 0   10 15 20 25 30 35 40   5 c) 5 ⇒ 8       d) 10   ⇒ 4   e) 12 ⇒ 3,3     Com que el nombre de funcionaris ha de ser un enter, aquest resultat es pot interpretar com  que hi ha tres funcionaris que només es dediquen a atendre al públic més un quart que tan  sols dedica un terç de la seva activitat a atendre al públic.        Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   Problema aplicat 2 La quota de l’IRPF     A Espanya s’acaba d’aprovar una reforma fiscal segons la qual els trams en els que s’estructura  l’Impost de Renda de les Persones Físiques (IRPF) passen de set a cinc i el tipus de gravamen  que  s’aplica  es  redueix.  A  més,  s’estableix  que  les  persones  amb  una  base  imposable  menor  que 12.000 euros no han de tributar i queden exempts de presentar la declaració d’IRPF.    A continuació es mostren les noves taules de càlcul de l’IRPF per als exercici del 2015 i 2016.     Aquestes taules indiquen que en l’exercici del 2015, una persona amb una base imposable, per  exemple, de 25.000 euros haurà de pagar a hisenda un 20% dels primers 12.450 euros, un 25%  de 7.750 euros  (que és la diferència entre 12.450 i 20.200) i un 31% de la quantitat restant, és  a  dir,  de  4.800  euros.  O,  per  exemple,  que  una  persona  que  tingui  base  imposable  12.000  euros  no  pagarà  res  però  una  persona  que  la  tingui  de  12.500  pagarà  un  20%  d’aquesta  quantitat.    La funció que ens dóna la quota de l’IRPF que tocarà pagar a una persona en funció de la seva  base imposable és, clarament, una funció definida a trossos, on cada tros correspon a un tram  d’aquesta taula, més un tram inicial corresponent als que no han de declarar.     I dins de cada tram, tenim una funció lineal, ja que la quota de l’IRPF és una quantitat fixa més  un  percentatge  de  la  quantitat  que  supera  el  llindar  del  tram.  Si  anomenem  x  a  la  base  imposable  i  f x   a  la  quota  que  cal  pagar  en  aquest  impost,  podem  definir  la  funció  de  la  següent manera:      Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   12.000 → 12.000 12.450 → 12.450 20.200 → 20.200 35.200 → 35.200 60.000 → 60.000 → 0 0,20 2.490 0,25 12.450   4.427,5 0,31 20.200 9.077,5 0,39 35.200 18.749,5 0,47 60.000   Si  fem  els  càlculs  indicats  per  tal  d’obtenir  unes  expressions  més  simples,  la  funció  quedarà  definida així:  0 12.000 0,20 12.000 12.450 0,25 625,5 12.450 20.200   0,31 1.834,5 20.200 35.200 35.200 60.000 0,39 4.650,5 60.000 0,47 9.450,5  El  gràfic  d’aquesta  funció  que  consisteix  en  sis  trossos  de  recta.  Tal  com  mostra  la  línia  de  punts, la inclinació del tros de funció corresponent al primer és menor que la corresponent al  segon tram i així successivament. Això és degut a què les pendents de les corresponents rectes  van  augmentant,  començant  per  0  i  continuant  per  0,20,  0,25,  0,31,  0,39  i  0,47.  Això  fa  que  l’IRPF sigui progressiu, en el sentit de què qui ingressa més, paga més.    La  funció  té  un  únic  punt  de  discontinuïtat  en  x 12.000  ja  que  en  aquest  punt  la  funció  queda tallada i hi ha un salt: si els ingressos són menors de 12.000 euros no es paga res, però si  són majors es paga un 20% de tots els ingressos.    40.000 35.000 30.000 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 0 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 90.000 100.000   Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015 El problema del transport escolar    Exemple resolt de problema d’optimització    Una  escola  contracta  una  empresa  d’autobusos  per  a  fer  el  transport  escolar.  Acorden  que  l’escola  pagarà  15  €  al  mes  per  cada  alumne,  sempre  que  n’hi  hagi  un  mínim  de  60.  A  més,  l’empresa  es  compromet  a  reduir  10  cèntims  d’euro  del  preu  mensual  per  cada  alumne  que  passi  dels  60.  Determina  quin  és  el  nombre  d’alumnes  apuntats  al  servei  de  transport  escolar  que proporciona el màxim ingrés mensual a l’empresa.       Solució    Es tracta d’un problema de d’optimització. Volem determinar el nombre òptim d’alumnes que  maximitza els ingressos de l’empresa.     En principi, li convé que molts alumnes s’acullin al servei de transport escolar. Però com que ha  promès un descompte per cada alumne que superi els 60, si hi ha molts alumnes el preu que  cobrarà per cada un d’ells serà menor i arribarà un moment que ja no li sortirà a compte. Es  tracta de conèixer quin és el nombre òptim d’alumnes que li convé  transportar.    Sigui:   =  nombre d’alumnes que passen de 60                  = els ingressos de l’empresa en euros    El ingrés mensual de l’empresa serà el que cobra a cada alumne multiplicat pel nombre  d’alumnes. Per tant:    9 900          15 0,1 60 ⇒ 0,1   Per maximitzar la funció cal trobar la seva derivada, igualar‐la a zero, i buscar la solució de  l'equació que s'obté:    ′ 0,2 9 ⇒ ′ 0 9 0,2 ⇒         Ara tenim un punt crític i hem de determinar si la funció en aquest punt presenta un màxim, un  mínim o una inflexió.     ′ ’ 0,2 ⇒ ′ ’ 45 0,2 0 , 45 à          Com que x és el nombre d’alumnes que passen de 60, el nombre total d’alumnes que  maximitzarà els ingressos de l’empresa serà 60 45. Per tant:    els ingressos de l’empresa seran màxims quan usin el transport escolar un total de 105  alumnes.    60 45 ⇒ 10,5 105 1.102,5  45 ⇒ 15 0,1 45   Si usen el transport escolar 105 alumnes, l’empresa cobrarà 10,5 euros per alumne i, en total,  1.102,5 euros al mes.  Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015   El problema dels adobs    Exemple resolt de problema d’optimització    Un  pagès  acostuma  a  obtenir  un  benefici  de  la  seva  collita  de  6  €  per  metre  quadrat.  Està  pensant en posar un adob al seu camp que li costa 0,05 € per gram. Ell sap que si adoba el camp  pot  augmentar  la  collita.  Però  també  sap  que  si  hi  posa  una  quantitat  d’adob  excessiva,  pot  perjudicar  a  les  plantes  i,  no  tant  sols  no  augmentaria  la  collita,  sinó  que  la  disminuiria.  Per  assegurar‐se’n,  pregunta  a  l’empresa  que  comercialitza  l’adob  que  ell  utilitza  quina  és  la  quantitat adequada. Li diuen que la funció que dóna el  percentatge d’augment del rendiment  per metre quadrat en funció dels grams d’adob és:    20 2    a) Calcula  quina  és  la  quantitat  d’adob  que  ha  de  posar  per  metre  quadrat  si  vol  obtenir  el  màxim rendiment del seu camp.  b) Quin percentatge d’augment de la collita pot aconseguir si posa 5 grams d’adob per metre  quadrat?  c) Quin és el percentatge màxim d’augment de la collita que pot aconseguir?  d) Escriu l’equació de la funció que et permeti calcular el benefici que obté el pagès en funció  dels grams d’adob per metre quadrat que posa en el seu camp.  e) Calcula la quantitat d’adob necessària per aconseguir el màxim benefici. Comprova si aquest  benefici concorda amb la que tu has calculat a l’apartat anterior.  f) Troba quin és el màxim benefici que pot obtenir d’adobar el camp.       Solució      Rendiment d'un camp en funció dels grams d'adob que s'hi posen.    Sigui:   =  nombre de grams d'adob                  = percentatge d'augment del rendiment per metre quadrat    Sabem que:        20       Això vol dir que si no hi posa adob (quan  0), no hi ha augment del rendiment del camp. Però  si n'hi posa massa (per exemple, quan  30), hi ha una disminució del rendiment, ja que    és negatiu. Volem trobar la quantitat òptima que fa que el rendiment sigui màxim.    a) Per maximitzar la funció cal trobar la seva derivada, igualar‐la a zero, i buscar la solució de  l'equació que s'obté:    20 2 ⇒ 0 20 2 0 ⇒ 10      Eines Matemàtiques i Informàtiques d’Anàlisi Política Grau en Ciències Polítiques i de l’Administració Curs 2014-2015 Com que   te per gràfica una paràbola invertida, ha de tenir un màxim que està en el  punt que hem trobat. Per tant, si el pagès posa 10 grams d'adob per m2 obtindrà el màxim  percentatge d'augment del rendiment del seu camp.    b) Si   5 ⇒ 20 5 – 5 ⇒ 75      Si posa 5 grams d'adob per m2, augmentarà la seva collita en un 75%.    c) Si    10 ⇒ 20 10 10 ⇒ 100            Com a màxim el pagès pot aconseguir augmentar la seva collita en un 100%.    d) Sigui    = benefici de la collita per m2    El benefici serà el benefici habitual (6 euros), més l'augment del benefici produït per  l'abonament (el percentatge d’augment aplicat als 6 euros), menys el cost de l'adob:      6 – 6 0,05 ⇒ 6 1,15 0,06       e) Per maximitzar el benefici, cal derivar la funció i trobar el valor x en el qual la derivada val  zero:    1,15 0,12 ⇒ 0, 1,15 0,12 0 ⇒ 9,58        Si vol obtenir el màxim benefici, ha de posar 9,58 grams d'adob per m2. Aquesta quantitat és  inferior a la que maximitza el rendiment, que era 10. Això és degut a que hi hem  comptabilitzat el cost de comprar l'abonament.    f) Si   9,58 ⇒ 9,58 6 1,15 ∗ 9,58 0,06 ∗ 9,582 11,51        Veiem que, tot i que podria doblar el rendiment del camp (quan l'augment del rendiment és  el 100%), el benefici màxim no arriba a doblar al benefici anterior (que era de 6) atès que cal  tenir en compte el cost de l'adob.      ...