Práctica 3 (2016)

Pràctica Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Estadística Aplicada - 3º curso
Asignatura Simulació, Remostreig i Aplicacions
Año del apunte 2016
Páginas 4
Fecha de subida 27/04/2016
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Pra´ctica 3: Monte Carlo (II) Anna Olmo, 1363013 March 5, 2016 1 Problema 1 1.1 (a) Obten el vector con los tiempos en los que se producen las llegadas si la trayectoria del proceso es λ(t) = 2t(9 − t) con t entre [0, 9].
> + + > > lambda<-function(t){ 2*t*(9-t) } lambda0<-max(lambda(seq(0,9,by=0.01))) lambda0 [1] 40.5 El valor m´ aximo de la funci´ on es λ0 = 40.5.
> > > > > > > + + + + + + + + + t<-0 tn<-0 S<-0 N<-0 u<-0 j<-1 while(S[j]<=9){ t[j]<-rexp(1,rate=lambda0) N<-rpois(1,lambda=lambda0*9) tn<-rexp(N,lambda0) u[j]<-runif(1) if(u[j]<=lambda(S[j]+t[j])/lambda0){ j<-j+1 S[j]<-S[j-1]+t[j-1] } } 1.2 (b) Si en cada instante de llegada la trayectoria hace un salto de tama˜ no 1, hacer un gr´afico con la trayectoria de este proceso.
El bucle parece ser infinito, y R no termina nunca los c´alculos, as´ı que no he podido hacer ning´ un gr´ afico.
2 Problema 2 A un parque llegan diariamente coches de acuerdo a un proceso de Poisson λ(t) = 2t(9 − t) autom´oviles por hora en t entre [0, 9].
El n´ umero de individuos en cada coche est´a en [1, 5] y sigue las probabilidades 0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1.
La entrada al recinto es individual y su precio es de 8 euros.
Simula 500 trayectorias y responde las cuestiones siguientes.
1 Antes de responder nada, las funciones que se necesitan son: • Tasa de Poisson para los coches.
Como los coches van llegando al largo de las horas, el c´alculo mediano de llegadas lo he hecho cada cuarto de hora, y la cantidad de coches por hora es la media de los cuatro correspondientes.
El c´ alculo es el mismo para todo el d´ıa, a excepci´on de las 18h donde se sobreentiende que solo pueden entrar si llegan a en punto, por lo que solo hay una posibilidad.
> + + > > + + + + > lambda<-function(t){ 2*t*(9-t) } lambda.val<-lambda(seq(0,9,by=0.25)) coches.hora<-c(mean(lambda.val[1:4]), mean(lambda.val[5:8]), mean(lambda.val[9:12]), mean(lambda.val[13:16]), mean(lambda.val[17:20]),mean(lambda.val[21:24]), mean(lambda.val[25:28]),mean(lambda.val[29:32]), mean(lambda.val[33:36]),lambda.val[37]) coches.hora2<-round(coches.hora,0) • Cantidad de personas.
Sabiendo cuantos coches llegan a la hora, mediante sus probabilidades, se puede estimar la cantidad de individuos que llegan cada hora al recinto.
Para poder usar las variables aleatorias de R, he pasado las probabilidades [0, 1] a una uniforme [0, 10] el n´ umero entero resultante dir´ a cuantas personas van en cada coche.
> simu<-function(coches.hora){ + grupo.hora<-0 + personas.hora<-0 + j<-1 + while(j<=9){ + grupo.hora<-trunc(runif(round(coches.hora[j],0),1,10)) + for(i in 1:length(grupo.hora)){ + if(grupo.hora[i]==1) {grupo.hora[i]<-1} + if(grupo.hora[i]==2) {grupo.hora[i]<-2} + if(grupo.hora[i]==3) {grupo.hora[i]<-2} + if(grupo.hora[i]==4) {grupo.hora[i]<-3} + if(grupo.hora[i]==5) {grupo.hora[i]<-3} + if(grupo.hora[i]==6) {grupo.hora[i]<-3} + if(grupo.hora[i]==7) {grupo.hora[i]<-4} + if(grupo.hora[i]==8) {grupo.hora[i]<-4} + if(grupo.hora[i]==9) {grupo.hora[i]<-4} + if(grupo.hora[i]==10){grupo.hora[i]<-5} + } + personas.hora[j]<-sum(grupo.hora) + j<-j+1 + } + personas.hora + } > 2 2.1 (a) Estima la esperanza del n´ umero de coches que llegan al d´ıa.
> sum(coches.hora2) [1] 242 2.2 (b) Estima la esperanza de la recaptaci´ on del parque en un d´ıa.
> rep<-replicate(500,simu(coches.hora)) > personas.hora<-apply(rep,1,mean) > sum(personas.hora)*8 [1] 5592.528 2.3 (c) Estima la probabilidad que en la primera hora hayan llegado m´as de 10 coches al parque.
En la primera hora se estima que llegan unos 6 coches, dado que 10 es casi el doble, la probabilidad de que eso suceda es m´ınima.
2.4 (d) Estima la probabilidad que en la primera hora hayan llegado m´as de 30 personas al parque.
En la primera hora se estima que llegan unas 18 personas, en 6 coches. Para que lleguen 30 personas o m´ as, todos los coches deberian tener 5 personas. La probabilidad de que eso suceda es de 0.16 = 0.000001 .
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