Examen Final Enero 2013 (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Electromagnetismo
Año del apunte 2013
Páginas 10
Fecha de subida 17/09/2014
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EXAMEN FINAL D’ELECTROMAGNETISME. ETSETB. 14-01-2013 Durada: 2h 50mn Publicaci´o de notes provisionals de l’examen final: 22-01-2013 Revisi´o presencial de l’examen final: 23-01-2013, de 9:30 a 11h. Lab. de F´ısica, A1 soterrani.
Publicaci´o de notes definitives: 24-01-2013 e = 1.60 × 10−19 C ε0 = 8.85 × 10−12 F/m µ0 = 4π × 10−7 H/m c = 3 × 108 m/s S’han de resoldre els quatre problemes 1. Una esfera de radio a y con una carga el´ectrica de valor QE distribuida uniformemente en todo su volumen, est´a centrada en el origen de coordenadas.
a) Obtenga el valor del campo el´ectrico en el interior y en el exterior de la esfera.
Se sit´ uan dos cargas puntuales de igual valor, q1 = −QE y q2 = −QE en los puntos (0, 0, 2a) y (0, 0, −2a) respectivamente.
b) Calcule el campo el´ectrico total que existir´a en el exterior de la esfera. Expr´ eselo en coordenadas cartesianas.
c) Particularice el campo anterior para los puntos del eje Y.
d) ¿Se cancela el campo total en alg´ un punto del eje Y? 2. Una corriente de intensidad I circula por un conductor filiforme rectil´ıneo e indefinido.
a) Enunciar la ley de Amp`ere y a partir de ella obtener razonadamente la expresi´on del campo magn´etico creado por esa corriente.
b) Si la intensidad de la corriente rectil´ınea e indefinida vale I1 = 1.0 A y circula por el eje Z en el sentido positivo, dar el valor del campo magn´etico en los puntos de coordenadas (0.0, 3.0, 4.0) cm, (−3.0, 0.0, 5.0) cm, (2.0, 2.0, 0.0) cm.
c) Supongamos ahora que existen dos corrientes rectil´ıneas e indefinidas: la anterior, y otra de intensidad I2 = 3.0 A, tambi´en paralela al eje Z, pero circulando en el sentido negativo y que pasa por el punto (0.0, 5.0, 0.0) cm c.1) Dar en coordenadas cartesianas la expresi´on del campo magn´etico en cualquier punto del plano x = 0, es decir en cualquier punto de coordenadas (0, y, z).
c.2) Decir si en este plano existen puntos en los que el campo magn´etico es nulo. En caso afirmativo decir cuales son.
d) Situamos en el plano x=0 una espira Z rectangular con su centro en el punto (0.0, 2.5, 0.0) cm tal como indica la figura; I1 siendo a = 3.0 cm y b = 4.0 cm. La a espira tiene una resistencia R = 2.0 Ω.
Si la intensidad I1 disminuyera seg´ un la b −λt expresi´on I1 = I0 e con I0 = 1.0 A Y y λ = 0.10 s−1 mientras la intensidad I2 se mantiene constante ¿cu´anto valdr´ıa la I2 X intensidad inducida en la espira y en qu´e sentido circular´ıa en el instante t = 2.0 s? 3. El fasor del camp el`ectric d’una ona plana uniforme que es propaga en el buit, lluny de densitats de c`arrega i corrents, en la direcci´o positiva de l’eix Z, val 2π E(z) = (40πe−j 3 )e−j 4π z 3 xˆ, en el sistema internacional d’unitats. Calculeu: a) El fasor del camp magn`etic.
b) La freq¨ u`encia ω per a la qual l’expressi´o anterior ´es un camp electromagn`etic.
c) El vector densitat de pot`encia mitjana (vector de Poynting) i la densitat d’energia mitjana.
d) El valor instantani dels camps el`ectric i magn`etic.
e) La pot`encia que travessa la superf´ıcie quadrada de costat a = 0.15 m continguda en el pla XY i centrada a l’origen, a l’instant t = 0 s.
4. Tenim un conductor pla en equilibri (medi 1) cobert per dues capes diel`ectriques, de permitivitat relativa εr2 = 2 (medi 2) i εr3 = 3 (medi 3). La primera superf´ıcie de separaci´o es troba a x = 1 m i el gruix del segon medi ´es d = 2 m. El potencial electrost`atic a cada medi ´es: 3 3 x V1 = , V2 = V3 = .
ε0 ε0 x 3ε0 X a) Trobeu el camp el`ectric en cadascun dels medis.
b) Quina ´es la densitat de volum de c`arrega en cada medi?.
c) Quina ´es la densitat superficial de c`arrega a cadascuna de les dues superf´ıcies de separaci´o?.
r3 2m r2 1m Z Y Solución Problema 1 – Examen Final Electromagnetismo  a) Campo eléctrico en el interior y en el exterior de la esfera Por la simetría de la distribución, aplicando la Ley de Gauss se obtiene:   Q r Eint (r )  E 3 rˆ 4 0 a y   Q 1 Eext (r )  E 2 rˆ 4 0 r b) Se añaden dos cargas puntuales, en el eje Z, en las posiciones (0, 0, 2a) y (0, 0, 2a).
Los campos que crean cada una de ellas son, respectivamente:   q E1 (r )  1 4 0    r  2azˆ q         y         E2 (r )  2  3 4 0 r  2azˆ  r  (2azˆ)    3 r  (2azˆ )   que en coordenadas cartesianas resultan:      QE xxˆ  yyˆ  ( z  2a ) zˆ    QE xxˆ  yyˆ  ( z  2a ) zˆ    y       E1 (r )  E 2 (r )  4 0 [ x 2  y 2 ( z  2a ) 2 ]3 / 2 4 0 [ x 2  y 2 ( z  2a) 2 ]3 / 2   El campo en el exterior de la esfera es ahora:         Q xxˆ  yyˆ  zzˆ    ( )  E r E ETotal (r )  E 1 2 (r ) 4 0 ( x 2  y 2  z 2 )3 / 2   c) Particularizado en los puntos del eje Y (x = z = 0),   ETotal (r ) x z 0  QE yˆ Q 2 yyˆ  E 2 2 4 0 y 4 0 ( y 4a 2 )3 / 2 d) Se comprueba que el campo se anula si 2 y 3  ( y 2  4a 2 )3 / 2 , es decir y   2,61a .
1. Enunciar la ley de Ampere y a partir de ella obtener razonadamente la expresi´on del campo magn`etico creado por una corriente rectil´ınea indefinida.
2. Una corriente rectil´ınea e indefinida de intensidad I1 = 1.0 A circula por el eje Z en el sentido positivo. Dar el valor del campo magn´etico en los puntos de coordenadas (0.0, 3.0, 4.0) cm, (−3.0, 0.0, 5.0) cm, (2.0, 2.0, 0.0) cm.
3. Supongamos ahora que existen dos corrientes rectil´ıneas e indefinidas: la anterior, y otra de intensidad I2 = 3.0 A tambi´en paralela al eje Z pero circulando en el sentido negativo y que pasa por el punto (0.0, 5.0, 0.0) cm (a) Dar en coordenadas cartesianas la expresi´on del campo magn´etico en cualquier punto del plano x=0, es decir en cualquier punto de coordenadas (0, y, z).
(b) Decir si en este plano existen puntos en los que el campo magn´etico es nulo. En caso afirmativo decir que puntos son.
4. Situamos en el plano x=0 una espira rectangular con su centro en el punto (0.0, 2.5, 0.0) cm tal como indica la figura; siendo a = 3.0 cm y b = 4.0 cm. La espira tiene una resistencia R = 2.0 Ω. Si la intensidad I1 disminuye seg´ un la expresi´on I1 = I0 e−λt con I0 = 1.0 A −1 −1 y λ = 1.0 × 10 s mientras la intensidad I2 se mantiene constante ¿cu´anto valdr´ıa la intensidad inducida en la espira y en qu´e sentido circular´ıa en el instante t = 2.0 s? Z I1 a b Y X I2 1. Hecho en teor´ıa 2. (0.0, 3.0, 4.0) cm B = −0.67 × 10−5 i T (−3.0, 0.0, 5.0) cm B = −0.67 × 10−5 j T (2.0, 2.0, 0.0) cm B = 0.5 × 10−5 (−i + j) T 3. (a) B= µ0 I1 I2 (− k + k) 2π y y − 0.05 con y en m.
(b) − 3.0 1.0 + =0 y y − 0.05 y = −0.025 m en los puntos (0.0, −2.5, z) cm) 4. Si cambia el flujo magn´etico a trav´es de la espira es debido a que la corriente I1 var´ıa con el tiempo. Calcularemos el flujo magn´etico a trav´es de la espira del campo creado por I1 y aplicaremos la ley de Faraday para obener la fem inducida Tomamos dS en sentido -k; de este modo fijamos como positiva una corriente en el sentido de las agujas del reloj cuando se mira desde la parte positiva del eje x.
Φ= B1 · dS = espira E(t) = − µ0 I1 µ0 I0 e−λt b ln 4 = b ln 4 2π 2π µ0 I0 λ dΦ = b ln 4 e−λt dt 2π en t = 2 la intensidad de ser´ a I= E(2) = 4.5 × 10−10 A R en sentido horario visto desde la parte positiva del eje x.
4. Tenim un conductor pla en equilibri electrostàtic (medi 1) cobert per dues capes dielèctriques, amb permitivitat relativa r2 = 2 (medi 2) i r3 = 3 (medi 3). La primera superfícies de separació es troben a x = 1m i el gruix del medi 2 és d = 2m. El potencial electrostàtic a cada medi és: V1  3 0 , V2  x 3 i V3  0 x 3 0 a) Trobeu el camp elèctric en cada un dels medis b) Quina és la densitat de càrrega de volum en cada medi.
c) Quina és la densitat de càrrega superficial a cada una de les dos superfícies de separació?  a) Aplicant E  V obtenim:    1 3 ˆ x E xˆ V/m E1  0 V/m, E2  V/m y 3  2 0 x 3 0  b) La densitat de càrrega de volum la trobarem fent   E   /( 0 r ) .
En el medi 1, com que és un conductor en equilibri electrostàtic no cal fer aquesta operació, ja que la densitat de càrrega ha de ser nul·la, 1  0 .
   3 (2) 12   3 C/m3.
En el medi 2, surt:  2  ( 0 r )  E  0 r 3 0 x x En el medi 3, com que el camp és constant,  3  0 c) la densitat de càrrega superficial s’obté aplicant les condicions de contorn     nˆ  ( D1  D2 ) que per la primera superfície, al ser un conductor en equilibri, ens queda:     0 xˆ   r 2 E2 ( x  1)  3 r 2  6 C/m2   I per la segona superfície podem escriure com    0 xˆ   r 3 E3 ( x  3)   r 2 E2 ( x  3)     r3 3  r2 5   C/m2 3 3  ...