Resum de continuitat i diferenciabilitat. (2014)

Resumen Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 1º curso
Asignatura Càlcul de diverses variables
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 30/03/2015
Descargas 14
Subido por

Descripción

Resum de continuitat i diferenciabilitat.

Vista previa del texto

Gastón  Creci   Funcions  contínues   Una  funció  és  contínua  en  𝑎  si   lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)   !→!   és  a  dir,  ∀𝜀 > 0, ∃𝛿  |   𝑥 − 𝑎 < 𝛿   ⟹   𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 < 𝜀  .     És  discontínua  si:   • 𝑎  no  està  definida.   • ∄  lim!→! 𝑓(𝑥).   • lim!→! 𝑓 𝑥 ≠   𝑓 𝑎 .     Derivada  parcial  i  derivada  direccional   Sempre  que  el  límit  existeixi:     𝑓 𝑎 + ℎ𝑢 − 𝑓 𝑎 𝑓′ 𝑎; 𝑢 =   lim   !→! ℎ   !! Si  la  direcció  𝑢  és  alguna  de  les  direccions  de  la  base  canònica  → !! (𝑎).   • • ! Les  derivades  poden  existir  tot  i  que  la  funció  no  sigui  contínua.   Si  les  derivades  existeixen,  també  poden  NO  ser  contínues.  (Exemple  (2.7)   pàgina  18  del  llibre).     Diferencial  d’una  funció   Una  funció  𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅! → 𝑅!  és  diferenciable  en  el  punt  𝑎   ∈ 𝐼𝑛𝑡(𝐷)  si  existeix:     • Una  transformació  lineal  𝑇! : 𝑅! → 𝑅!     • I  una  funció  vector  𝐸 𝑎, ℎ : 𝑅! → 𝑅!     tals  que:   𝑓 𝑎 + ℎ = 𝑓 𝑎 + 𝑇! ℎ +   ℎ  𝐸(𝑎; ℎ)     on  𝑇! ℎ  és  el  diferencial  total  de  la  funció  en  𝑎.     Si  𝑓 𝑥  és  diferenciable  en  𝑎   →    𝑇! 𝑢 = 𝑓′ 𝑎; 𝑢 .       Però  l’existència  de  totes  les  derivades  direccionals  no  garanteix  que  la  funció  sigui   diferenciable.     Equació  del  pla  tangent  en  el  punt  𝑎:   𝑧 = 𝑓 𝑎 +   𝑇! (𝑥 − 𝑎)             Gastón  Creci     o Expressió  del  diferencial  per  funcions  escalars.  Gradient   Sigui  𝑓 𝑥  una  funció  escalar  diferenciable  de  𝑅! → 𝑅.  El  seu  diferencial  es   pot  escriure  com:   𝑇! ℎ = ∇𝑓! · ℎ         Equació  del  pla  tangent  a  la  superfície  en  el  punt   𝑎, 𝑓 𝑎 :     𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑎! , 𝑎! + 𝑥 − 𝑎! + 𝑦 − 𝑎!   𝜕𝑥 ! 𝜕𝑦 !   o Expressió  del  diferencial  per  funcions  vectorials.  Matriu  Jacobiana.   Sigui  𝑓 𝑥  una  funció  vectorial  de  𝑅! → 𝑅! .  El  seu  diferencial  es  pot   escriure  com:   𝑇! ℎ = 𝐷𝑓 ! (ℎ  )     on   𝐷𝑓 !  és  la  matriu  jacobiana.     𝐷𝑓 ! 𝜕𝑓! 𝜕𝑥 =   ⋮ 𝜕𝑓! 𝜕𝑥 ⋯ ⋱ ⋯ 𝜕𝑓! 𝜕𝑥! ⋮   𝜕𝑓! 𝜕𝑥!   Condicions  de  diferenciabilitat:   • Continuïtat:   Si  una  funció  és  diferenciable  en  un  punt  𝑎,  aleshores  és  contínua  en  aquest   punt.  (Podem  tenir  funcions  contínues  que  no  siguin  diferenciables).     • Existència  de  les  derivades  parcials:   Si  una  funció  és  diferenciable  en  un  punt  𝑎,  aleshores  existeixen  les  seves   derivades  direccionals.  (Poden  haver  funcions  en  que  les  derivades   existeixin  i  que  no  siguin  diferenciables).     • Continuïtat  de  les  derivades  parcials:   Sigui   una   funció  𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅! → 𝑅! ,   si   existeix   una   de   les   derivades   parcials   𝐷! 𝑓   , … , 𝐷! 𝑓    en   el   punt  𝑎  i   la   resta   n-­‐1   d’aquestes   derivades   existeixen   en   un   entorn  de  𝑎  i  són  contínues  en  el  punt  𝑎,  aleshores  la  funció  és  diferenciable   en   el   punt   𝑎.  (Podem   trobar-­‐nos   funcions   on   més   d’una   de   les   seves   derivades  parcials  no  siguin  contínues).     Com  sabem  si  una  funció  es  diferenciable?     1. Calculem   el  𝑇! ℎ = ∇𝑓! · ℎ  i   mirem   que   sigui   una   funció   lineal   (del   tipus   ∇𝑓! · ℎ =  𝜆ℎ! + 𝜇ℎ! .   2. Comprovar  que  el  lim!→! 𝐸 𝑎; ℎ = lim!→! ! !!!! !! ! !∇!! ·! ! = 0   Gastón  Creci   Concepte  de  diferencial   El  diferencial  d’una  funció  és  com  varia  aquesta  funció  si  els  increments  són  molt   petits.  En  una  variable  𝑑𝑦 = 𝑓 ! 𝑎  𝑑𝑥  i  és  una  recta.  En  dues  variables  𝑑𝑓 = 𝑓 𝑎 + ∇𝑓! · ( 𝑥, 𝑦 − 𝑎)  i  és  un  pla.           ...