Resumen Fourier Espacios Euclideos (2015)

Resumen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ciencias y Tecnologías de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Calculo Avanzado - ACAL
Año del apunte 2015
Páginas 5
Fecha de subida 24/01/2015
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Carlos Angulo Resúmenes ACAL Serie de Fourier Espacios Euclídeos Espacio Euclídeo 𝐸 Espacio vectorial Condiciones Conclusiones • • 𝐸 espacio Euclídeo Norma en Esp. Euclídeo 𝐸 esp vec sobre ℝ Con prod. escalar 𝑥 = 𝑥𝑥 Desigualdad de Cauchy-Schwarz Desigualdad triangular 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 Distancia 𝑥𝑦 Conclusiones 𝑥·𝑦 =0 𝑋 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝐸𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑒𝑜 𝑆 ⊂ 𝑋 𝑛𝑜 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 , 𝑥≠𝑦 • • 𝑆 subconjunto ortogonal 𝑆 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑥 =1 𝑆 subconjunto ortonormal 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃 ∈ [0, 𝜋] 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑥 𝑦 Conclusiones 𝑥, 𝑦 ≠ 0 Construir Base ortogonal Condiciones 𝑋 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝐸𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑒𝑜 dim 𝑋 = 𝑛 Construir una base ortogonal 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 con Gram-Schmidt 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑋 Base Ortonormal 𝑧1 , … , 𝑧𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑧𝑖 = Normalizamos 𝑦𝑖 ≤ 𝑥 𝑥 𝑦𝑦 𝑥+𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 Condiciones Subconjuntos Ortogonales 2 1 𝑦𝑖 𝒚 𝟏 = 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒚 𝟏 𝒚 𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒚 𝒚𝟏 𝒚𝟏 𝟏 ⋮ 𝒏−𝟏 𝒚 𝒏 = 𝒙𝒏 − Vector Ortogonal 𝑋 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝐸𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑒𝑜 𝑆⊂𝑋 𝑥∈𝑋 Condiciones Conclusiones • • 𝒙 es ortogonal al subconjunto 𝑆 𝒙𝒚= 𝟎 ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝒌=𝟏 𝒙𝒏 · 𝒚 𝒌 𝒚 𝒚𝒌 · 𝒚𝒌 𝒌 Proyección Ortogonal Todo vector de 𝑋 se puede expresar como suma de un vector 𝑆 y otro 𝑆 ⊥ 𝑥∈𝑋 2 𝑥=𝑧+𝑦 𝑦∈𝑆 𝑦= Conjunto de todos los vectores ortogonales a 𝑆, es 𝑆 ⊥ 𝑆 ⊥ = 𝑦 ∈ 𝑋: 𝑥 𝑦 = 0 ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑆⊥ ⊂ 𝑋 𝑋 = 𝑆 ⊕ 𝑆⊥ El vector más próximo a 𝑥 es su proyección ortogonal Proyección Ortogonal 𝑛 𝑦= 𝑥 𝑦1 𝑥 𝑦𝑛 𝑦 +⋯+ 𝑦 𝑦1 𝑦1 1 𝑦𝑛 𝑦𝑛 𝑛 𝑦 es la proyección ortogonal ÚNICA de 𝑥 𝜆𝑘 𝑦𝑘 𝑘=1 𝜆𝑘 = Donde 𝑦1 , … 𝑦𝑛 𝑠𝑢𝑐. 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 que conseguimos mediante Gram-Schmidt 𝑥 𝑦𝑘 𝑦𝑘 𝑦𝑘 Componente Ortogonal 3 𝑧 ∈ 𝑆⊥ 𝑧=𝑥−𝑦 𝑧 es ortogonal al subespacio 𝑆, es el componente ortogonal de 𝒙 Método 1 Método 2 1.
2.
1.
3.
Sacar base ortogonal con Gram Schmidt Proyectar 𝑥 en la base ortogonal y conseguir 𝑦 (pro. Ortogonal) Sacar componente ortogonal 𝑧 𝑧 = 𝑥−𝑦 Carlos Angulo 2.
3.
Suponemos la forma de la proyección 𝑦 con una base ortogonal 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 𝑒𝑛 ℝ2 [𝑥] ↔ 𝑦 = 𝜆1 𝑥1 + 𝜆2 𝑥2 + 𝜆3 𝑥3 𝑒𝑛 ℝ3 Suponemos la forma de 𝑧 𝑧 =𝑥−𝑦 Montamos un sistema de ecuaciones basándonos en z ⊥ 𝑆 𝑧 ⊥ 𝑥𝑖 →< 𝑧, 𝑥𝑖 > =< 𝑥 − 𝑦, 𝑥𝑖 > = 0 Resum Serie de Fourier ACAL 1 Carlos Angulo Resúmenes ACAL Serie de Fourier Espacios Euclídeos necesarios Norma 1 𝐶 𝑎, 𝑏 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓. 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏] 2 𝐿2 𝑎, 𝑏 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓. 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑏 2 𝑥 = 𝑥 𝑡 2 𝑑𝑡 𝑎 𝑏 𝑥 𝑡 2 𝑑𝑡 < ∞ 𝐶 𝑎, 𝑏 ⊂ 𝐿2 (𝑎, 𝑏) 𝑎 Producto escalar 𝑏 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 Esto lo cumple una función que sea cero en todo punta salvo en un conjunto 𝑇 de medida cero 𝑎 𝑏 𝑥𝑥 = 𝑥 𝑡 2 𝑑𝑡 = 0 ↔ 𝑥 𝑥 = 0 Para cada 𝜖 > 0 es posible recubrir T por una colección numerable de rectángulos la suma de cuyas áreas sea < 𝜖 𝑎 Con Sucesiones Convergencia 𝑋 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝐸𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑒𝑜 Sucesión {𝑥𝑛 } de vectores de 𝑋 Conclusiones Condiciones 𝑑 𝑥𝑛 , 𝑥 = 𝑥𝑛 − 𝑥 𝑛→∞ 𝑥𝑛 converge a 𝑥 : • 𝑥𝑛 𝑥 0 𝑛→∞ ∀𝜖 > 0 ∃ 𝑛0 ∈ ℕ 𝑡. 𝑞. 𝑥𝑛 − 𝑥 < 𝜖 ∀𝑛 ≥ 𝑛0 Condiciones ∞ 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∞ 𝑥𝑘 𝑘=1 𝑐𝑜𝑛 𝑥𝑘 ∈ 𝑋 𝑠∈𝑋 Conclusiones 𝑥𝑘 converge a s 𝑠𝑛 = • 𝑘=1 ∞ 𝑘=1 𝑥𝑘 tiene por suma a ∞ 𝑘=1 𝑥𝑘 = s Condiciones Conclusiones Se llama con. en media cuadrática En: 𝐶 𝑎, 𝑏 𝐿2 (𝑎, 𝑏) Convergencia en media cuadrática Sucesión de Cauchy Espacios de Hilbert 𝑋 esp. vectorial con prod. Escalar X esp. Euclídeo Suc. ortonormal 𝑋 esp. Euclídeo 𝑥𝑛 𝑠𝑢𝑐. 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚. ∈ 𝑋 𝑥𝑘 𝑠𝑢𝑐. 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙.
𝑥∈𝑋 𝑏 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 𝑥 𝑥𝑛 𝑡 − 𝑥 𝑡 𝑎 Condiciones {𝑥𝑛 } sucesión ∀ sucesión de Cauchy es convergente X espacio vectorial con Condiciones Conclusiones X espacio vectorial con ∞ 𝑥= 𝑐𝑘 𝑥𝑘 𝑛→∞ 0 ℝ𝑛 𝐿2 Resto Sucesión convergente producto escalar completo X Espacio de Hilbert producto escalar completo ℝ𝑛 es un espacio de Hilbert Total o completa 𝑐𝑘 = 𝑥𝑥𝑘 𝑥𝑘 suce. completa 𝑘=0 ∞ 𝑥− 𝑐𝑘 𝑥𝑘 𝑘=0 Carlos Angulo En Conclusiones Si cada elemento 𝑥 de 𝑋 se puede expresar 𝑑𝑡 {𝑥𝑛 } sucesión de Cauchy Condiciones 𝒙𝒊 𝒙𝒋 = 𝟎 ∀𝑖, 𝑗 𝑖 ≠ 𝑗 𝒙𝒊 = 𝟏 ∀𝑖 2 Conclusiones ∀𝜖 > 0 ∃ 𝑛0 ∈ ℕ 𝑡. 𝑞. ∀𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛0 𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 < 𝜖 • • 𝑠: Resum Serie de Fourier ACAL 𝑛→∞ 0 2 Carlos Angulo Resúmenes ACAL Serie de Fourier Resumen Fourier Serie de Fourier Serie de Fourier respecto de {𝑥𝑘 } SdF Ortogonal ∞ Sea 𝑋 esp. Euclídeo 𝑥𝑘 𝒔𝒖𝒄. 𝒐𝒓𝒕𝒐𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 ∈ 𝑋 𝑥∈𝑋 𝑘=0 Serie de Fourier respecto de {𝑥𝑘 } ∞ 𝑦𝑘 𝒔𝒖𝒄. 𝒐𝒓𝒕𝒐𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 ∈ 𝑋 𝑦𝑘 𝒔𝒖𝒄. 𝒐𝒓𝒕𝒐𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝑦𝑘 𝑦𝑘 𝑥 𝑥0 2 𝑥2𝑛−1 = sin 𝑛𝑡 = 2𝜋 𝑥2𝑛−1 Y si queremos una combinación lineal de sin 𝑛𝑡 𝑦 cos 𝑛𝑡 ortonormal 𝑦𝑖 = Sucesión Ortonormal 𝑥0 = En 𝐿2 (−𝜋, 𝜋) 𝑥0 𝑥2𝑛−1 = 2𝜋 =1 𝑥2𝑛−1 𝑎𝑜 𝑥𝑥0 = 2 𝑥0 𝑥0 SdF Trigonometrica con Suc. Ortogonal 1 𝑎𝑜 1 = 2 2𝜋 𝑎𝑘 = 𝜋 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑏𝑛 = −𝜋 1 𝜋 2 𝑥2𝑛 = cos 𝑛𝑡 =𝜋 𝑥2𝑛 2 =𝜋 𝑥𝑖 𝑥𝑖 1 2 Coeficientes de Fourier 𝑦𝑘 𝑐𝑘 = 𝑥 2 𝑦𝑘 𝑦𝑘 𝑥0 = 1 En el espacio de Hilbert 𝐿2 (−𝜋, 𝜋) Sucesión Ortogonal Necesaria 2 𝑦𝑘 𝑘=0 Sucesión Ortogonal 1 𝑐𝑘 = 𝑥𝑥𝑘 𝑥 𝑥𝑘 𝑥𝑘 SdF Ortonormal Sucesión Ortogonal Necesaria Coeficientes de Fourier sin 𝑛𝑡 𝜋 2 𝑥2𝑛 = =1 𝑥2𝑛 𝑥𝑥2𝑛 𝑥2𝑛 𝑥2𝑛 𝑏𝑘 = 𝜋 𝑎𝑛 = 𝑥 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 −𝜋 1 𝜋 cos 𝑛𝑡 𝜋 2 =1 𝑥𝑥2𝑛−1 𝑥2𝑛−1 𝑥2𝑛−1 𝜋 𝑥 𝑡 con 𝑛𝑡 𝑑𝑡 −𝜋 Como es ortogonal 𝒙𝒊 𝒙𝒋 = 𝟎 ∀𝑖, 𝑗 𝑖 ≠ 𝑗 𝑎0 𝑥 𝑡 = + 2 ∞ 𝑎𝑘 cos 𝑘𝑡 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑡 𝑘=1 Serie de Fourier trigonométrica Interpretación El termino 𝑥 𝑥𝑘 𝑥𝑘 1 • • De 𝑥 Respecto de la sucesión Ortonormal 𝑥𝑘 SdF 2 • • ∞ 𝑘=0 Es la proyección ortogonal ∞ 0 𝑥 𝑥𝑘 𝑥𝑘 De 𝑥 Sobre el espacio engendrado por el vector unitario 𝒙𝒌 Es la proyección ortogonal De 𝑥 Respecto de la sucesión Ortonormal 𝑥𝑘 Carlos Angulo • • • • Resum Serie de Fourier ACAL De 𝑥 Sobre el espacio engendrado por los vectores 𝒙𝟎 , … , 𝒙𝒏 3 Carlos Angulo Resúmenes ACAL Serie de Fourier 𝑎0 𝑆𝑛 = + 2 ∞ 𝑎𝑘 cos 𝑘𝑡 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑡 𝑘=1 Observaciones 𝜋 𝑆𝑑𝐹𝐿2 (−𝜋, 𝜋) converge en media cuadrática 1 𝑥 − 𝑠𝑛 = 2 𝑥 𝑡 − 𝑠𝑛 𝑡 𝑛→∞ −𝜋 0 𝑆𝑑𝐹𝐿2 −𝜋, 𝜋 𝑦 𝑥(𝑡) 2 𝑥 −𝑡 = 𝑥(𝑡) cos −𝑥 −𝑡 = 𝑥(𝑡) sin Par 𝒌 Si la función es Par 𝑏𝑘 = 0 Impar 𝑎0 = 0 𝑎𝑘 = 0 cos(𝑘𝜋) = −1 sin 𝑘 Impar Desarrollo de SdF 𝜋 = −1 2 𝑘 2𝑘+1 𝑎0 Par En serie de cosenos 𝑎𝑘 Par En serie de senos 𝑏𝑘 Impar 𝑇 Par 3 𝑆𝑑𝐹 𝐿2 Intervalos no simétricos 0, 𝐿 Desarrollo de SdF Extender función 𝑓(𝑥) 0 Reflejar 𝑓 𝑥 0<𝐿 𝑓(−𝑥) −𝐿 < 0 𝑓= En cosenos 𝑓= En senos Convergencia Puntal 2 𝑓 𝑥 0<𝐿 −𝑓(−𝑥) −𝐿 < 0 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥0 𝑆𝑑𝐹 𝑥0 = 𝑓(𝑥0 ) 𝑓 𝑒𝑠 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝑒𝑛 𝑥0 𝑆𝑑𝐹 𝑥0 = 𝑓(𝑥0 ) Desigualdad de Bessel 𝑓 𝑥0+ + 𝑓(𝑥0− ) 2 Parseval Condiciones 𝑋 esp. Euclídeo, ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥𝑘 𝑠𝑢𝑐. 𝒐𝒓𝒕𝒐𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝐿 𝐿 𝑆𝑑𝐹 𝐿2 − , 2 2 𝑋 esp. Euclídeo, 𝑥 ∈ 𝑋 𝑥𝑘 𝑠𝑢𝑐. 𝒐𝒓𝒕𝒐𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝐿 𝐿 𝑆𝑑𝐹 𝐿2 − , 2 2 Conclusiones ∞ ∞ 𝒙𝒙𝒌 𝟐 ≤ 𝒙 𝟐 𝑥𝑘 es total 𝒙𝒙𝒌 𝒌=𝟎 ∞ 𝒌=𝟎 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝒌=𝟎 𝒙𝒙𝒌 𝟐 ≤ 𝒙 𝒙𝒌 𝒙𝒌 ∞ 𝟐 𝑥𝑘 es total 𝒌=𝟎 𝒙𝒙𝒌 𝟐 = 𝒙 𝒙𝒌 𝒙𝒌 Identidad de Parseval 𝟐 ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑎02 + 2 Carlos Angulo Resum Serie de Fourier ACAL ∞ 2 (𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘2 ) = 𝐿 𝑘=1 𝐿 2 𝐿 2 𝑓 2 𝑥 𝑑𝑥 4 Carlos Angulo Resúmenes ACAL Serie de Fourier Serie de Fourier Trigonométricas Intervalo 𝐿2 (−𝜋, 𝜋) 𝐿2 (−𝐿, 𝐿) SdF 𝑥 𝑡 = 𝑎0 + 2 𝑎0 𝑥 𝑡 = + 2 Coeficientes ∞ 𝑎𝑘 cos 𝑘𝑡 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑡 𝑘=1 ∞ 𝑎𝑘 cos 𝑘=1 𝜋 𝜋 𝑘𝑡 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑡 𝐿 𝐿 𝜋 𝑎𝑜 1 = 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 2 2𝜋 −𝜋 𝜋 1 𝑎𝑛 = 𝑥 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝜋 −𝜋 1 𝜋 𝑏𝑛 = 𝑥 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝜋 −𝜋 𝑎𝑜 1 𝐿 = 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 2 2𝐿 −𝐿 1 𝐿 𝜋 𝑎𝑛 = 𝑥 𝑡 cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡 𝐿 −𝐿 𝐿 1 𝐿 𝜋 𝑏𝑛 = 𝑥 𝑡 sin 𝑘𝑡 𝑑𝑡 𝐿 −𝐿 𝐿 Integrales Trigonométricas sin 𝑛𝑡 𝑃′ 𝑡 𝑃′′′ 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑃′′ 𝑡 𝑃 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 = − +⋯ + −𝑃 𝑡 + −⋯ 𝑛 𝑛 𝑛3 𝑛 𝑛2 sin 𝑛𝑡 𝑃′′ 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑃′ 𝑡 𝑃′′′ 𝑡 𝑃 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡 = 𝑃(𝑡) − +⋯ + − +⋯ 𝑛 𝑛2 𝑛 𝑛 𝑛3 Carlos Angulo Resum Serie de Fourier ACAL 5 ...