problemes 2 (2010)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 3º curso
Asignatura Modelització ambiental
Año del apunte 2010
Páginas 5
Fecha de subida 31/08/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Modelitzaci´ o Ambiental Llicenciatura de Ci`encies Ambientals. Curs 2010-2011 Models Continus 1.
(a) Trobeu les solucions de les seg¨ uents equacions diferencials i representeu-les gr`aficament (1) dy = y(1 + t), dt (2) dy = y 2 (1 − 3t).
dt En cada cas trobeu la soluci´o que satisf`a la condici´o inicial y(1) = 2.
(b) Trobeu les solucions de (1) dy = y 2 − y, dt y(0) = −2, (2) dy = 5y + sin t, dt y(0) = 0.
2. Suposeu que 10 bacteris es posen en una soluci´o nutritiva en un temps inicial, t = 0, i que x(t) ´es la poblaci´o de la col` onia en un moment posterior t. Si els aliments i l’espai vital s´on ilimitats llavors la poblaci´o augmenta amb un ´ındex proporcional a la poblaci´o en cada moment. Si x(2) = 20, quina ´es la poblaci´o de bacteris a cada instant t? Quan temps ha de passar per tal que la poblaci´o es tripliqui? Proveu que aquest temps no dep`en de la quantitat inicial de bacteris.
3. El radi, element radioactiu, es desintegra amb una velocitat proporcional a la quantitat d’element encara present i t´e una vida mitjana (temps que tarda una quantitat en reduir-se a la meitat) de 1600 anys. Expresseu la quantitat de radi present en funci´o del temps. Quin percentatge es desintegra en 100 anys? 4. En un model de creixement depenent de les estacions, s’introdueix una funci´o peri`odica del temps per tenir en compte les variacions en la velocitat de creixement degudes a les estacions. Per al model dP = kP cos(rt + ϕ) dt on k, r i ϕ s´on constants positives (a) Trobeu la soluci´o general en funci´o de k, r, ϕ i P (0). Qu´e es pot dir del l´ımit de P (t) quan t tendeix a ∞? (b) Representeu gr`aficament la soluci´o per r = 2 π, ϕ = 0, k = 2 i P (0) = 3.
(c) Repetiu els apartats anteriors per al model dP = kP cos2 (rt + ϕ).
dt 5. Segons la llei de refredament de Newton, si un objecte a temperatura T es posa en un medi que es troba a temperatura constant M , llavors la velocitat de refredament ´es proporcional a la difer`encia de temperatura M − T . Aix`o porta a l’equaci´o diferencial dT = k(M − T ) dt (a) Trobeu la soluci´o general de l’equaci´o diferencial anterior.
(b) Un term`ometre que marca 100o C es posa en un medi que es troba a una temperatura constant de 70o C. Passats 6 minuts, el term`ometre marca 80o C. Quina ´es la lectura passats 20 minuts ? 1 6. Per raons obvies, la sala de disecci´o d’un forense es mant´e freda a una temperatura constant de 5o C. Mentre es trobava realitzant l’autopsia d’una v´ıctima d’un assassinat, el mateix forense ´es assassinat, i el cos de la v´ıctima robat. A les 10 del mat´ı l’ajudant del forense troba el seu cad`aver a una temperatura de 23o C. A les 12 del mat´ı la seva temperatura ´es de 18.5o C. Si suposem que el forense tenia en vida la temperatura normal de 37o C, a quina hora va ser assassinat ? 7. Per modelitzar l’evoluci´o a la sang d’un antihistam´ınic (AH) que un individu pren per combatre un refredat, considerem l’equaci´o y˙ = −cy + bαe−bt , b = c, on y(t) ´es la quantitat d’AH a la sang en el temps t, α > 0 ´es la dosi que pren l’individu, b > 0 ´es una constant que depen de la velocitat amb que l’AH passa de l’aparell digestiu a la sang i, c > 0, ´es una constant que depen de la velocitat amb que l’AH ´es eliminat de la sang pel propi organisme.
Suposem y(0) = 0 ja que en el moment inicial l’AH es troba a l’aparell digestiu per`o no a la sang.
(a) Determineu la soluci´o de l’equaci´o diferencial anterior que satisf`a la condici´o inicial y(0) = 0.
Qu´e succeeix quan el temps augmenta (t → ∞) ? (b) Una companyia farmac`eutica ha estimat els valors de les constants b = 0.7 hores−1 , c = 0.02 hores−1 . Si α = 1 calculeu el nivell d’AH a la sang despr´es de 6 hores.
8. A un llac hi arriben dos rius amb un cabal constant de 45m3 per minut i 27 m3 per minut respectivament. Una comporta mant´e el volum d’aigua en el llac constant i igual a 3 ·105 m3 . Inicialment l’aigua que entra al llac est`a neta per`o a partir d’un cert moment el riu de menor cabal porta en suspensi´o una subst`ancia t` oxica amb una concentraci´o de 2gr/m3 . Suposem que la concentraci´o d’aquesta subst`ancia en el llac en un instant donat ´es la mateixa a qualsevol punt del llac.
(a) Trobeu la concentraci´o de la subst`ancia al llac en funci´o del temps.
(b) Si el m`axim nivell de contaminaci´o perm´es ´es de 0.5gr/m3 , de quant de temps disposem, des de que comen¸ca l’abocament, abans de que la poblaci´o de peixos estigui en perill ? 9. Una soluci´o d’`acid n´ıtric flueix a ra´o constant de 6 litres per minut cap a l’interior d’un dip`osit que inicialment cont´e 200 litres d’una soluci´o d’`acid n´ıtric al 0.5 %. La soluci´o continguda al dip`osit ´es homog`enia i flueix cap a l’exterior a ra´o de 8 litres per minut. Si la soluci´o que entra al dip`osit cont´e un 20 % d’`acid n´ıtric, determineu la quantitat d’`acid n´ıtric present al dip`osit en funci´ o del temps. En quin moment el percentatge d’`acid n´ıtric contingut al dip`osit ser`a del 10 % ? 10. L’any 1998 es van introduir en un llac 1000 exemplars d’un cert tipus de peixos. Al 2005 la poblaci´o de peixos havia augmentat a 3000. Suposem que aquesta poblaci´o segueix la llei log´ıstica x′ = 0.23x 1 − x k on x(t) ´es el nombre de peixos en el temps t.
(a) Calculeu la poblaci´o que prediu aquest model per a l’any 2010.
(b) Quina ´es la capacitat de suport del sistema? (c) Suposem que l’any 2010 s’inicien les captures a ra´o constant, c. Considerant el model x′ = 0.23x 1 − x − c, k amb el valor de k calculat a l’apartat (a), determineu per a quins valors de c podem garantir que la poblaci´o no s’extingir`a.
2 11. Donada l’equaci´o diferencial x˙ = (x − λ)(x2 − λ), trobeu tots els retrats de fase en funci´o de λ. En cada cas, representeu tamb´e les corbes soluci´o.
12.
(a) Una poblaci´o est`a governada per l’equaci´o diferencial x˙ = x(e3−x − 1). Trobeu tots els punts d’equilibri i determineu la seva estabilitat.
(b) Una fracci´o p (amb 0 < p < 1) de la poblaci´o de la part (a) desapareix en una unitat de temps de manera que la poblaci´o, ara, est`a governada per l’equaci´o x˙ = x(e3−x − 1) − px. Per a quins valors de p hi ha un punt d’equilibri asimpt`oticament estable ? 13. Una poblaci´o governada pel model de Gompertz: x˙ = rx log K x (a) Trobeu la soluci´o general en funci´o dels par`ametres r i K. Representeu gr`aficament les corbes soluci´o.
(b) Suposem que la poblaci´o est`a sotmesa a recol.lecci´o constant (´es a dir, x˙ = rx log K x − H).
L’´ındex de recol .lecci´ o cr´ıtic es defineix com el valor de H que porta la poblaci´o a l’extinci´o.
Trobeu l’´ındex de recol.lecci´ o cr´ıtic en funci´o dels par`ametres r i K.
14. Per al seg¨ uent sistema d’equacions diferencials x˙ = 2x + 3y y˙ = ax + 5y Feu el retrat de fase en els casos a = 6, a = 0 i a = −3.
15. Dos dip`osit A i B que contenen 100 litres d’aigua ensucrada cadascun, es troben interconnectats mitjan¸cant dos tubs. Per un dels tubs flueix un cabal de 3 litres per minut de A cap a B, i per l’altre 1 litre per minut de B cap a A. El l´ıquid a l’interior de cada dip`osit es mant´e ben agitat.
Al dip`osit A hi entra aigua ensucrada amb un ritme de 6 litres per minut amb una concentraci´o de α gr/l de sucre. La soluci´o surt del sistema per A i B a ra´o de 4 litres per minut i 2 litres per minut respectivament. Suposem que inicialment, A nom´es cont´e aigua mentre que B cont´e aigua amb 200 gr de sucre disolt. Si α = 0 quina ser`a, a la llarga, la concentraci´o de sucre a cada dip`osit ? I si α = 20 ? 16. Considereu el sistema d’equacions diferencials x′ = x(−5 + 3y), y ′ (1) = y(−6 + 4x).
(a) Estudieu les seves isoclines al primer quadrant, x ≥ 0, y ≥ 0.
(b) Calculeu els seus punts cr´ıtics i estudieu de quin tipus s´on.
(c) Feu un esb´os del seu retrat de fase.
(d) Suposant que x i y representen les poblacions de dues especies que interactuen tal i com indica el sistema, comenteu el tipus d’interacci´o i els resultats obtinguts.
17.
(a) Calculeu els valors i vectors propis de la matriu associada al seg¨ uent sistema lineal i feu el retrat de fase.
x˙ = −4x + 4y, 3 x − 3y.
y˙ = 2 3 (2) (b) Doneu una interpretaci´o del tipus d’interacci´o que modelitza el seg¨ uent sistema x˙ = x(1 − x + y), 1 y˙ = y 1 − y + x .
2 (3) Trobeu els equilibris i determineu el seu tipus i estabilitat. Representeu gr`aficament les isoclines. Feu el retrat de fase. Doneu una interpretaci´o del retrat de fase en termes de l’evoluci´o de les poblacions a llarg termini.
18. Considerem el seg¨ uent model per a dues poblacions 1 x˙ = x(1 − y − x) 2 1 y˙ = y(−1 + x − y).
2 (a) Expliqueu quin tipus d’interacci´o representa aquest model.
(b) Trobeu els punts d’equilibri que tenen significat f´ısic i classifiqueu-los.
(c) Representeu gr`aficament les isoclines i el camp vectorial per x ≥ 0, y ≥ 0.
19. Considerem el seg¨ uent model per a dues poblacions, N (t), P (t) dN dt dP dt = r1 N = r2 P N P +A , k1 k1 P N 1− +B , k2 k2 1− on r1 , r2 , k1 , k2 , A, B s´on constants positives.
(a) Doneu una interpretaci´o del tipus d’interacci´o que, d’acord amb aquest model, hi ha entre les dues poblacions.
(b) Comproveu que amb un escalat de N i P i un canvi de temps el model anterior es pot escriure com dx dτ dy dτ = x(1 − x + ay), = ry(1 − y + bx), amb a > 0, b > 0.
(c) Feu el retrat de fase del sistema obtingut a l’apartat anterior prenent r = 1, a = 1 i b = 1/2.
20. Es considera el seg¨ uent model de dues poblacions (x ≥ 0, y ≥ 0).
x˙ = x(1 − x + 2y), x − y), y˙ = y( 1+x amb a positiu.
(a) Estudieu les isoclines i els punts d’equilibri.
(b) Feu el retrat de fase del sistema.
4 21. El seg¨ uent ´es un model de poblacions per a la interacci´ o dels gl`obuls blancs i els bacteris en el curs d’una infecci´o cr`onica (en unitats adequades) x′ = (2 − y)x x y′ = 1 + − y 2 (a) Trobeu els equilibris del sistema i la seva estabilitat.
(b) Dibuixeu les isoclines.
(c) Feu un esb´os del retrat de fase en el primer quadrant suposant que no hi ha `orbites peri`odiques.
(d) Quina de les variables correspon a la poblaci´o de bacteris i quina a la de gl`obuls blancs? Raoneu-ho. Perqu`e s’afirma a l’enunciat que es tracta d’una infecci´o cr`onica ? 22. Un model d’epidemiologia amb vacunaci´o ´es el seg¨ uent sistema d’equacions diferencials dS dt dI dt = (n − aI − c)S, = (aS − b)I, per al nombre de susceptibles (individus sans susceptibles d’emmalaltir) S(t) i el d’infectats I(t), on n ´es la taxa relativa de creixement vegetatiu de la poblaci´o de susceptibles, a l’´ındex de contagi (nombre de contagis per unitat de temps per a cada susceptible i cada infectat), b la virul`encia de la malaltia (´es l’invers de la durada mitjana de la malaltia) i c ´es l’esfor¸c de vacunaci´o (nombre de vacunacions per unitat de temps dividit pel nombre de susceptibles). Discutiu l’evoluci´o de les poblacions S(t) i I(t) segons c sigui menor o b´e m´es gran que n.
23. El sistema d’equacions y x−x 1+y y x−y+β y˙ = − 1+y x˙ = α ´es un model per al desenvolupament de microorganismes en un quimiostat, un dispositiu de laboratori en el que un nutrient d’una font d’aliment flueix cap a una c`amara de creixement. En el sistema x denota la concentraci´o de microorganismes a la c`amara de creixement, y denota la concentraci´o de nutrients i α > 1 i β > 0, s´on constants que l’experimentador pot ajustar. Determineu condicions en α i β que assegurin que el sistema t´e un u ´nic punt d’equilibri positiu, ´es a dir, un punt (x∗ , y ∗ ) amb x∗ > 0, y ∗ > 0. Estudieu l’estabilitat d’aquest equilibri.
5 ...